7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik, Çözülebilirlik, ve Üstelsıfırlılık Üstelsıfır elemanların oluşturduğu Lie cebirlerinin doğrusal etkilerinin önemli yok etme özellikleri vardır. V, üzerine kompleks genel doğrusal grubun GL(V ) tersinir elemanlarla etki ettiği kompleks n boyutlu vektör uzayı olsun. Birbirinden farklı, n 1 tane iç içe bulunan bir dizi vektör altuzaylarına F : V 0 = 0 V 1 V n 1 V n = V (tam) bayrak denir. V için bir baz seçiyoruz ki GL(V ) = GL n (n n lik tersinir matrislerin grubu) olsun. B n GL n ile üst üçgensel matrislerin altgrubunu, U = U n B ile de birimgüçlü üst üçgensel matrislerin altgrubunu gösterelim. Bu derste ispatlamayacak olsak da GL n /B, boyutu dim C (GL n /B) = ( ) n = 2 n(n 1) 2 olan düzgün izdüşümsel cebirsel varyete olduğu gerçeği bilinmelidir. 1

GL n /B kosetindeki bir elemanı bir bayrak ile aşağıda tarif edildiği gibi eşleyebiliriz. Gauss-Jordan eleme metoduyla gösterebiliriz ki bir g GL n için u U, b B, ve w bir permütasyon matrisi olması kaydıyla g = uwb olacak şekilde tek bir biçimde yazılabilir (bir 0/1 matrisinin eğer her sütun ve satırında tam olarak bir tane 1 varsa bu matrise permütasyon matrisi denir). Bu yüzden, GL n deki bir koseti ḡ = gb, uw U S n ile tek bir şekilde gösterebiliriz. Örnek olarak, n = 3 durumunda, 1 a b 0 1 0 b 1 a uw = 0 1 c 0 0 1 = c 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 matrisini düşünelim. Buna karşılık gelen bayrak su şekilde tarif edilir: 0 C 1 C 1, C 2 C 1, C 2, C 3 = C 3, burada C 1 = be 1 + ce 2 + e 3, C 2 = e 1, C 3 = ae 1 + e 2 ; uw matrisinin sütunları ve e i, i = 1, 2, 3, C 3 ün standard bazıdır. Bu örnek keyfi bir n için genelleştirilebilir ve GL n /B yi, C n nin üzerindeki tam bayrakların kümesi olarak düşünebiliriz. Bayrak varyetelerinin ve onunla ilişkili diğer nesnelerin çalışılması modern cebirsel geometri ve temsil teorisi için çok büyük bir önem arz etmektedir. Bu derslerin geri kalanında B nin Lie cebiriyle alakalı bazı temel fikirleri sunacağız. Daha açık belirtmek gerekirse bir vektör uzayına etki eden üstelsıfır bir Lie cebirinin sıfırdan farklı bir vektörü yok ettiğini göstereceğiz, ve çözülebilir bir Lie cebiri bir vektör uzayına etki ettiğinde bütün elemanları için ortak bir özvektörünün olduğunu göstereceğiz. Bir çok sonucun yanı sıra çözülebilirlik ve üstelsıfırlık için kriterleri de sunacağız. 2

1.1 Çözülebilir Lie Cebirleri g bir Lie cebiri olsun. g nin türetilmiş dizisi g (i) asağıdaki gibi tanımlanır: g (0) = g, g (1) = [g, g], g (2) = [g (1), g (1) ],. g (i+1) = [g (i), g (i) ], eğer bir i > 0 için g (i) = 0 oluyorsa g ye çözülebilir denir.. Örnek 1.1. b n ile n n lik bütün üst üçgensel matrislerin uzayını gösterelim. Bir X gl(n, C) için, tek parametreli altgrup exp(tx), t R, B n nin içinde olur ancak ve ancak X b n. Burada B n ile tersinir üst üçgensel matrislerin grubunu gösteriyoruz. Bu yüzden, b n, B n nin Lie cebiridir. i, j {1,..., n} olmak üzere e i,j ile (i, j) girdisi 1 diğer bütün girdileri 0 olan yalın matrisi gösterelim. Dikkat ederseniz 1 i j n olacak şekilde e i,j ler b n nin bir bazını vermektedir. e i,j yalın matrisinin seviyesini j i olarak tanımlayalım. b n (k) b n ile seviyesi 2 k 1 olan e i,j ler ile gerilmiş altuzayı gösterelim. Barizdir ki, b n = b n (0) b n (1) b n (2) Aşağıdaki bilgiyi kullanarak, e i,l if j = k [e i,j, e k,l ] = 0 otherwise 2 (i 1) > n 1 olduğunda b (i) n Sıradaki önermenin ispatı kolay. = b n (i) = 0 olduğunu göstermek kolay. 3

Önerme 1.2. g bir Lie cebiri olsun 1. Eğer g çözülebilir ise bütün altcebirleri ve homomorfik görüntüleri de çözülebilirdir 2. a çözülebilir ideal ve g/a çözülebilirse g de çözülebilirdir 3. a ve b çözülebilir ideallerse a + b de çözülebilir idealdir. 1. ve 2. kısımları tanımları kullanarak ispatlamak kolay. 3. kısmı ispatlamak için (a + b)/a b/a b olduğunu kullanınız. 1.2 Üstelsıfır Lie Cebirleri Bir Lie cebirinin azalan merkezi dizisi g i asağıdaki gibi tanımlanır: g 0 = g g 1 = [g, g 0 ] g 2 = [g, g 1 ]. g i+1 = [g, g i ]. eğer bir i > 0 için g i = 0 oluyorsa g ye üstelsıfır denir. Açıktır ki g (i) g i. Bu yüzden, eğer g üstelsıfırsa aynı zamanda çözülebilirdir. Bu ifadenin tersi genelde doğru değildir. Gerçekten de n n lik mutlak üst üçgensel matrislerin uzayı n n üstelsıfırdır ancak çözülebilir değildir. 3. dersteki notasyonumuzu hatırlayalım: g nin merkezi Z(g) = {x g : [x, y] = 0 her y g icin }. Önerme 1.3. g bir Lie cebiri olsun. 4

1. Eğer g üstelsıfırsa bütün altcebirleri ve homomorfik görüntüleri de üstelsıfırdır. 2. Eğer g/z(g) üstelsıfırsa g de üstelsıfırdır. 3. Eğer g üstelsıfırsa ve g 0 ise Z(g) 0 olur. g den bir eleman x aldığımızda eğer (ad x) m = 0 olacak şekilde bir m 1 varsa x e eşlek-üstelsıfır denir. Üstelsıfırlığı eşlek-üstelsıfırlıktan ayırmak önemlidir. g deki bir eleman x, üstelsıfır olmadığı halde eşlek-üstelsıfır olabilir. Örnek vermek gerekirse gl(v ) deki birim elemanı eşlek-üstelsıfırdır ancak üstelsıfır değildir. Ancak önermenin tersi doğrudur. Önsav 1.4. Eğer x gl(v ) üstelsıfırsa aynı zamanda eşlek-üstelsıfırdır. İspat. ad x i sol ve sağ ötelemelerin farkı olarak yazarsak; λ x ve ρ x, burada λ x (y) = xy ve ρ x (y) = yx, λ x ve ρ x in birbiriyle değişmeli olduğunu ve ikisinin de üstelsıfır olduğunu görmek kolay. Değişmeli üstelsıfır operatörlerin farkları da her zaman üstelsıfırdır. Teorem 1.5. V sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve g de gl(v ) nin bir Lie altcebiri olsun. Eğer g üstelsıfır elemanlardan oluşuyorsa o zaman sıfırdan farklı öyle bir eleman v V vardır ki g v = 0 dır. İspat. n = dim g üzerinden tümevarım yapacağız. Eğer n = 1 ise v V öyle bir vektör olsun ki bir tane x g için v := x v sıfırdan farklı olsun. g değişmeli olduğu için y v = (xy + [y, x]) v = 0 her y g için doğru olur. Şimdi, a g nin bir maksimal özaltcebiri olsun. g, V üzerindeki üstelsıfır operatörlerden oluştuğu için a da böyle elemanlardan oluşmaktadır. Özel olarak a nın elemanları eşleküstelsıfırdır. Dolayısıyla g üzerine üstelsıfır operatörler olarak etki ederler. Bu sebeple a, g/a üzerine de üstelsıfır olarak etki eder. Tümevarımın varsayımından biliyoruz ki a x a olacak şekilde bir koset x + a a vardır. Etki, eşlek etki olduğundan a x = {[y, x] : y a} a olur. Diğer bir deyişle x, a nın g deki normalleyeninde N g (a) kalır. x / a ve a olduğu için a nın normalleyeni g olmalıdır. Bu yüzden a g bir ideallerdir. π ile doğal izdüşüm fonksiyonunu π : g g/a gösterelim. Eğer dim g/a birden büyükse g/a nın π altındaki öngörüntüsü a dan mutlak olarak daha büyüktür ve bir Lie altcebirdir. 5

Bu a nın maksimal olmasıyla çelişir. Bu yüzden dim g/a = 1 olur ve dolayısıyla bir x g için g = kx + a olur. (Burada k kullanılan cisim.) a ideal olduğundan W = {v V : a v = 0} uzayı g nin etkisi altında değişmezdir. Gerçekten de x g ve v W için y x v = [y, x] v = 0 olur. Şimdi x g i öyle seçelim ki g = kx + a olsun. x, V üzerine etki ettiğinden üstelsıfır olduğu için tek bir özdeğeri vardır o da sıfırdır. Bu yüzden x v = 0 dır. Dolayısıyla kx + a, W ya bayağı etki eder. Teorem 1.6 (Engel). Eğer g nin her elemanı eşlek-üstelsıfırsa g bir üstelsıfır Lie cebirdir. İspat. dim g üzerinde tümevarım yapacağız. Varsayalım ki eğer a eşlek-üstelsıfır elemanlardan oluşan bir Lie cebirse ve dim a < dim g ise a üstelsıfırdır. g nin kendi üzerine eşlek temsil ile etkisini düşünelim. Teorem 1.5 e göre, [g, x] = 0 olacak şekilde sıfırdan farklı bir x g vardır. Diğer bir deyişle g nin merkezi Z(g) boş değildir. Bu da V = g/z(g) nin g den az boyutlu bir Lie cebir olduğunu ve dahası V nin eşlek-üstelsıfır operatörlerden oluştuğunu göstermektedir. Dolayısıyla, tümevarım varsayımımızdan ötürü g/z(g) üstelsıfırdır. Önerme 1.3 ün 2. kısmından dolayı g üstelsıfırdır. 1.3 Çözülebilir Bir Lie Cebirinin Değişmez Vektörü Eğer bir x gl(v ), bayrak F : V 0 = 0 V 1 V n 1 V n = V ve her i = 1,..., n 1 için x V i V i oluyorsa x e bayrağı değiştirmez (ya da sabit bırakır) denir. Dikkat ediniz ki üstelsıfır bir eleman x gl(v ) için x F = F ancak ve ancak x V i V i 1 olduğunda doğru olur. Sonuç 1.7. g, sonlu boyutlu vektör uzayı olan V nin üzerindeki gl(v ) nin bir altcebiri olsun. Eğer g üstelsıfır operatörlerden oluşuyorsa, o zaman sabit bırakılan bir bayrak F vardır. 6

İspat. Bunu V nin boyutu üzerinde tümevarım yaparak ispatlayacağız. v V yi öyle seçelim ki g v = 0 olsun. V 1 = span{v} olarak tanımlayalım. g nin W = V/V 1 üzerine indirgenmiş etkisi de üstelsıfır operatörler ile olur. Bu yüzden tümevarım varsayımımızdan dolayı W nun g tarafından sabit bırakılan bir bayrağı vardır. Bu bayrağı V ye geri çekersek V deki aradığımız tam bayrağı buluruz. Teorem 1.8. V sıfırdan farklı sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve g gl(v ) çözülebilir bir Lie cebiri olsun. O zaman öyle bir doğrusal fonksiyonel λ : g k ve v V vardır ki her x g için x v = λ(x)v olur. Diğer bir deyişle g nin elemanlarının V de ortak bir ozvektoru vardır. İspat. İspatın ana fikri Teorem 1.5 in ispatındakiyle aynı. dim g üzerinden tümevarım yapacağız. dim g = 0 olduğunda iddia açıkça doğru bu yüzden dim g > 0 olduğunu varsayacağız. g çözülebilir ve dim g > 0 olduğundan [g, g] g olur. Aksi halde g (i) = g olurdu ve bu bir çelişki. g = g/[g, g] ını düşünelim. Bu değişmeli bir Lie cebiridir. Bu yüzden g nin içindeki herhangi bir vektör altuzayı da bir Lie altcebiridir. O zaman tersboyutu bir olan bir altuzay g alalım ve onun g deki ters görüntüsünü a ile gösterelim. Açıktır ki a, g de tersboyutu bir olan bir idealdir ve [g, g] dan mutlak olarak daha büyüktür. g nin altcebiri olarak a çözülebilirdir ve dahası, tümevarım varsayımımızdan dolayı, biliyoruz ki öyle bir doğrusal fonksiyonelimiz λ : a k (1.9) ve v V vardır ki her x a için x v = λ(x)v olur. a bütün ortak özvektörlerinin uzayını W ile gösterelim: W := {w V : x w = λ(x)w, her x a icin }. a nın g deki tersboyutu bir olduğu için bir z g a vardır ve g = kz +a olur. z ile gerilen < z > Lie altcebiri 1 boyutludur ve dolayısıyla değişmelidir. Özel olarak çözülebilirdir. Şimdilik < z > nin W üzerinde bir etkisi olduğunu varsayalım. O zaman, tümevarım 7

varsayımımızdan dolayı, z v 0 = cv 0 olacak şekilde bir v 0 W vardır. Bu yüzden λ : a k yı λ(z) = c olarak tanımlayarak g ye (doğrusal olarak) genişletebiliriz; ve v 0, g deki her eleman için ortak bir ozvektor olur. Şimdi g nin W yu değişmez bıraktığını göstermemiz gerekiyor. x g, y a ve w W olsun. x w W olduğunu, ya da denk olarak, y xw = λ(y)xw olduğunu göstermeliyiz. yx w = xy w [x, y] w = λ(y)x w λ([x, y])w olduğu için λ([x, y]) = 0 olduğunu göstermeliyiz. İspatın geri kalanı aydınlatıcı fakat dolambaçsız; [x, y] operatörünün belli bir vektör uzayı üzerindeki etkisini analiz edeceğiz. Bir w W alalım ve {w, x w,..., x n w} V setinin doğrusal bağımsız olduğu en küçük n > 0 değerini alalım. W i ile ilk i vektör ile gerilen uzayı gösterelim. O halde W n n boyutlu bir altuzay ve x altında değişmezdir. y a ve i = 1,..., n için yx i w = λ(y)x i w mod W i olur (i üzerinden tümevarım yapınız.) {w, x w,..., x n 1 w} bazına göre y a nin matrisi üst üçgensel ve köşegendeki her bir girdi λ(y) ye eşittir, dolayısıyla Tr(y) = nλ(y) olur. y, a dan keyfi bir eleman olduğuna göre, özel olarak, iddialarımız [x, y] a için de doğrudur ve Tr([x, y]) = nλ([x, y]) olur. İki fonksiyonun değişmeli yapanı her zaman izsizdir (hatırlayın ki Tr(xy) = Tr(yx)), dolayısıyla nλ([x, y]) = 0 olur bu da λ([x, y]) = 0 ı verir. Not: Tabi ki, son adım n nin k da tersinir olmasına bağlı. Dolayısıyla k nin karakteristiği 0 olduğunda iddialarımızda problem yoktur. Sonuç 1.10 (Lie nin teoremi). g, sonlu boyutlu vektör uzayı olan V nin üzerindeki gl(v ) nin bir altcebiri olsun. Eğer g çözülebilirse g nin etkisi tarafından sabit bırakılan bir bayrak F vardır. Diğer bir deyişle V nin öyle bir bazı vardır ki bu baza göre g nin her bir elemanı üst üçgensel matristir. Lie nin sabit bayrak teoremi ni ad g gl(g) ye uygularsak görürüz ki g nin içinde ide- 8

allerden oluşan bir tam bayrak vardır: 0 g 1 g 2 g n = g, (1.11) burada g i g, i-boyutlu bir altcebirdir. Önsav 1.12. g çözülebilir bir Lie cebiri olsun. Eğer x [g, g] ise ad x üstelsıfırdır. İspat. Lie nin teoreminden biliyoruz ki g için ad g deki bütün elemanları üst üçgensel matris olarak gösterilebilecek bir baz vardır. Üst üçgensel matrislerin türetilmiş cebiri mutlak üst üçgensel matrislerin üstelsıfır cebiri olduğundan görüyoruz ki ad x bir mutlak üst üçgensel matris ile gösterilir ve dolayısıyla üstelsıfırdır. Sonuç 1.13. g bir Lie cebiri olsun. g çözülebilirdir ancak ve ancak [g, g] üstelsıfırsa. İspat. Yardımcı önerme 1.12 den biliyoruz ki eğer g çözülebilirse [g, g] ının elemanları eşleküstelsıfırdır, dolayısıyla Engel in teoreminden üstelsıfırlardır. Özel olarak, [g, g] üstelsıfır bir Lie cebiridir. Diğer yandan hatırlayın ki üstelsıfır bir Lie cebiri çözülebilirdir. Bu yüzden eğer [g, g] üstelsıfırsa çözülebilirdir. [g, g], g nin türetilmiş dizisindeki ilk terim olduğundan görüyoruz ki g çözülebilirdir. 2 Cartan ın Çözülebilirlik Kriteri k karakteristiği 0 olan cebirsel kapalı bir cisim olsun. Dolayısıyla içerisinde rasyonel sayıların cismini içermektedir. Bu bölümde bir Lie cebirinin ne zaman çözülebilir olduğuna karar verirken faydalı olan bir kriteri ifade edeceğiz ve ispatlayacağız. Bu pratik bilginin ispatı asağıdaki akıllıca yapılmış gözlemi gerektirmektedir. Önsav 2.1. A B gl(v ) iki altuzay olsun (burada V sonlu boyutlu bir vektör uzayı.) M = {x gl(v ) : [x, B] A} olsun. Eğer x M, her y M için Tr(xy) = 0 ı sağlıyorsa üstelsıfırdır. 9

İspat. x = s + n, x in Jordan ayrışımı olsun, burada s yarıbasit ve n üstelsıfır. s = 0 olduğunu göstereceğiz. Bu amaçla v 1,..., v n V nin öyle bir bazı olsun ki s bu bazda köşegen matris s = diag(a 1,..., a n ) olsun. E, k nin x in oödeğerleriyle a 1,..., a m gerilen Q-vektör altuzayı olsun. s = 0 olduğunu göstermek için E = 0 olduğunu göstermek yeterli. f : E Q, E üzerinde bir doğrusal fonksiyonel olsun. y = diag(f(a 1 ),..., f(a m )) yi düşünelim; bu gl(v ) de yarıbasit olan bir eleman. Sıradaki hesabı yapmak kolay: {e ij }, gl(v ) nin öyle bir bazı olsun ki e ij (v k ) = δ jk v i sağlansın, burada v 1,..., v n yukarıdaki baz. O zaman s ve y nin eşlek operatörleri ad s(e ij ) = (a i a j )e ij, ad y(e ij ) = (f(a i ) f(a j ))e ij şeklindedir. Lagrange ara değer bulmayı kullanarak r yi r((a i a j )) = f(a i ) f(a j ) olacak şekilde sabit terimi olmayan polinom olarak tanımlayalım. O halde ad y = r(ad x) olur. ad s, (ad x) üzerinde sabit terimi olmayan bir polinom olduğundan ad y de ad x üzerinde sabit terimi olmayan bir polinomdur. Dahası, ad x(b) A olduğundan aynı şey ad y için de geçerli. Diğer bir deyişle y M. Dikkat ediniz ki iki köşegen matrisin çarpımının izi özdeğerlerinin çarpımlarının toplamına eşittir. Ayrıca varsayımımızdan biliyoruz ki Tr(xy) = 0. Bu yüzden i a if(a i ) = 0 olur. Ayrıca dikkat ediniz ki eşitliğin sol tarafi E de kalmaktadır, ve f i uygulayarak i f(a i) 2 = 0 ı elde ederiz. E, Q üzerine sonlu boyutlu bir vektör uzayı olduğu için ve f bir doğrusal fonksiyonel olduğu için görüyoruz ki her i = 1,..., n için f(a i ) = 0 dır. Bu yüzden, f 0. f keyfi olduğu için E 0 olmak zorundadır. Önsav 2.2. V sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. O zaman gl(v ) deki her x, y ve z için Tr(x[y, z]) = Tr([x, y]z) olur. İspat. Düz hesaplama. 10

Teorem 2.3 (Cartan ın Kriteri). g gl(v ) bir Lie altcebiri olsun. x [g, g] ve y g için Tr(xy) = 0 doğru. O halde g çözülebilirdir. Farz edelim ki her İspat. Sonuç 1.13 ten dolayı [g, g] ının üstelsıfır olduğunu göstermemiz yeterlidir. Yardımcı önerme 1.4 ten ve Engel in teoreminden biliyoruz ki her bir x [g, g] in V üzerinde üstelsıfır bir operatör olduğunu göstermemiz yeterli. Yardımcı önerme 2.1 i A = [g, g], B = g, ve M = {x gl(v ) : [x, g] [g, g]} alarak uygularız. Dikkat ediniz ki g M. Varsayımımızı hatırlayınız: her x [g, g] ve y g için Tr(xy) = 0 doğru. Dolayısıyla, x in üstelsıfır olduğunu göstermek için her y M için Tr(xy) = 0 olduğunu göstereceğiz. x = [x, y ], [g, g] ın tipik bir üreteci olsun ve y M olsun. O zaman, yardımcı önerme 2.2 den, Tr([x, y ]y) = Tr(x [y, y]) = Tr([y, y]x ) olur. y, M nin bir elemanı olduğundan [y, y] [g, g] doğrudur. Varsayımımızdan dolayı Tr(([x, y ]y) = Tr([y, y]x ) = 0 olduğunu elde ederiz. Diğer bir deyişle, her y M ve x [g, g] için Tr(xy) = 0 olur. Bu yüzden x üstelsıfırdır ve ispat bitmiştir. Sonuç 2.4. g, gl(v ) nin bir Lie altcebiri olsun öyle ki her x [g, g] ve y g icin B(x, y) = 0, burada B(x, y) = Tr(ad x ad y). O zaman g çözülebilirdir. İspat. Cartan ın kriterini ad : g gl(g) ın görüntüsüne uygularsak görürüz ki ad g = g/ ker(ad) üstelsıfırdır ve dolayısıyla çözülebilirdir. Öte yandan g nin merkezi ker(ad) dır. Değişmeli olduğundan çözülebilirdir. Bu yüzden, önerme 1.2 nin 2. kısmından, g çözülebilirdir. References [1] Humphreys, J. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory 11