İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI MATEMATİK SBELIAN Bu çalışma notunda İstanbul Bilim Olimpiyatı matematik sorularının bir bölümünün soru metinleri ve çözümleri verilmiştir. Soruların tamamının yayın hakkı sadece Fatih Üniversitesi ve İstanbul milli eğitim müdürlüğü ne aittir. Sbelian.
durumlarını inceleyelim, yani n sayısının tek yada çift sayı olması durumlarını inceleyerek çözüme ulaşöaya çalışalım; asaldır. olur. Ancak bu sayı sadece iken olur. Bu sayı sadece yani iken olur ki bu durum da asal sayı vermemektedir. Buna göre tek çözüm ikilisi
Oluşabilecek tüm durumlardan 4 tanesinin, 2 tanesinin ve 1 tanesinin doğru yere gitmesini çıkarırsak istenen cevabı bulabiliriz. Buna göre, Olası tüm durumların sayısı 24 1 6 8 9 9 3 24 8 Bu durumda, ise olur.
5 tane K, 1 tane S, 1 tane Y, 1 tane M, 1 tane SR, 1 tane B; Eğer prizmanın ayrıtları x, y ve z olarak alınırsa, 4x 4y 4z 4 x y z 80 2 xy yz zx 216 x y z 20 xy yz zx 108 ve xyz 144 olduğu kolaylıkla görülebilir. Eğer kökleri x,y,z olan 3. dereceden bir denklem yazarsak denklemimiz 3 2 a a a 20 108 144 0 Eğer bu denklemi çarpanlarına ayırırsak
a a a 12 6 2 0 Buradan x=12, y=6 ve z=2 olarak bulunacaktır. Buna göre en büyük ayrıt x=12 ise sayısının böleni vardır. olup, böleni vardır. Bunlardan, tane n den küçük bölen n i bölmez. olsun. Bu çarpımı çarpanlarına 2 ayırırsak 2009.2010.2011 2.3.5.7.67.2011 Aslında bulmamız gereken sayı k, m, n üçlüsüne 2,3,5,7 2, 41, 67, 2011 elemanlarının bu üçlüye kaç farklı biçimde paylaştırılacağımızın sayısıdır. Buna göre istenen cevap 6 2 31 6 4! 7 6 3 3 23 63 31 2! 2!
13. x y olmak üzere x 3 y 3 3x 2 y 2 denklemini sağlayan, xy tamsayı ikilisi kaç tanedir? A) 3 B) 2 C) 0 D) 6 E) 5 Soruda verilen eşitliği çarpanlarına ayıralım. Buna göre, x yx 2 xy y 2 x y 3 3 0 ise x ybir çözümdür. Ancak bu durum soruda verilen x yile çelişkiye düşecektir.bu durumda son 2 2 eşitliğin ikinci çarpmını yanix xy y 3x 3y 0 denklemini x2i değişken y yi ise sabitler 2 kabul ederek çözmeye çalışalım. Buna göre bu eşitlik x x y 3 y 3 y 0 Eğer bu ikinci dereceden denklem çözülürse y 1,3 olarak bulunacaktır. y değişkeni bir tamsayı olduğuna göre, y 0,1, 2 değerlerini alabilir. Eğer bu değerler kullanılırsa ikililer 3,0, 1,1, 1,2, 2,2 olarak bulunacaktır. Ancak bu ikililerden 1,1, 2,2 soru metnine göre çözüm değildir. Öyle ise tek çözüm ikilisi 3,0, 1,2 Not: Bu soru iptal edilmiştir. 2 x x 1 = 1 = 2 b 45 a
olmalıdır. Buna göre koşula uyan toplam 23 tane 2 basamaklı sayı vardır. Bahsedilen kurulda Venezüellalı delegenin Amerikalı delegelerle yan yana oturmaması için iki Brezilyalı delegenin arasına oturması gerekmektedir (B 1 V B 2 ) ve bu üç kişi hesaplama yapılırken tek kişi varsayılacaktır. Bu durumda 5+3+1=9 kişinin yuvarlak masa etrafında sıralanmasını verecek olan (9 1)! faktörüne, Brezilyalı delegelerden ikisinin seçilmesi durumu 2! da dahil edilerek sonuç bulunur; ve bu ikisinin yer değiştirme
Soruda verildiği üzere denklemin kökleri arasında denklem şu şekilde yazılabilir; ilişkisi vardır. Bu durumda 2 olduğundan, z nin tamsayı olması koşulu sağlanamadığı için çözüm yoktur.
2011 parayı 3 eşit parçaya bölelim ve 1 parayı dışarıda bırakalım (670, 670, 670, 1). Daha sonra herhangi iki 670 i tartalım. Eğer ağırlıklar farklı gelirse ağır gelen grubu aynı şekilde üçe bölüp tartalım ve bu işlemi en az sayıda para kalana kadar devam ettirelim. Buna göre en az 7 tartma işlemi uygulanması gerektiği anlaşılır. seçilip diyafont denklem tekrar düzenlendiğinde;
olduğuna göre istenilen koşullarda toplam 7 tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır. Bir zarı 3 kez atmak ile 3 zarı 1 kez aynı anda atmak aynı durumları vereceğinden; İlk zarda asal sayı gelmesi;,2, 3, 5} İkinci zarda çift sayı gelmesi;,2, 4, 6- Buna göre, (2, 2); (2, 4); (2, 6); (3, 2); (3, 4); (3, 6); (5, 2); (5, 4); (5, 6); ve bunların ters dönmüş halleriyle birlikte 17 durum istenen koşulu sağlamaktadır. Zarın 3 kez atılmasından dolayı genel durumumuz ve istenen durum olasılığıdır. Soruda verilen toplama S diyelim ve eşitliğin her iki tarafını ile çarpalım 2sin1.cos0 2sin1.cos 2 2sin1.cos 4 2sin1.cos88 S 2 sin1 sin89 sin1 S 2 sin1
Açıortay olan *AE+, BC kenarını komşu kenarların uzunluklarıyla oranlı olarak 4k ve 6k, kenarortay olan *AD+ de tam ortadan 5k ve 5k şeklinde böler. Buna göre;