GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE

ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan b. Küre Tabakas I. Tan m II. Küre Tabakas n n Hacmi c. Küre Kapa I. Tan m II. Küre Kapa n Alan ç. Küre Parças I. Tan m II. Küre Parças n n Hacmi d. Küre Kesmesi I. Tan m II. Küre Kesmesinin Hacmi e. Küre Dilimi I. Tan m II. Küre Diliminin Alan III. Küre Diliminin Hacmi 5. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖZET ALIfiTIRMALAR TEST V 133

BU ÜN TEN N AMAÇLARI Bu üniteyi çal flt n zda; * Küreye ait tan mlar aç klayabilecek ve bir kürenin belirli olma flartlar n belirtebile cek, * Bir küre ile bir düzlemin ara kesitini çizerek aç klayabilecek, * Kürenin alan n bulabilecek, * Kürenin hacmini bulabilecek, * Küre kapa n tan yabilecek ve alan n bulabilecek, * Küre parças n tan yabilecek ve hacmini bulabilecek, * Küre kesmesini tan yabilecek ve hacmini bulabilecek, * Küre dilimini tan yabilecek, alan ve hacmini bulabilecek, * Küreye ait çeflitli uygulamalar yapabilecek ve problemleri çözebilecektir. * Dik dairesel kesik koninin alan n bulabilecek, * Dairesel kesik koninin hacmini bulabilcek, * Konilere ait çeflitli uygulamalar yapabilecek ve problemleri çözebilecektir. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Örnek sorular dikkatle okuyunuz. Kitaba bakmadan çözmeye çal fl n z. * Bu konular ile ilgili Matematik kitaplar ndan yararlan n z. * Konular anlamadan bir baflka konuya geçmeyiniz. * Her bölümün sonunda verilen al flt rma ve de erlendirme sorular n çözünüz. * Test sorular ile kendinizi deneyiniz. Baflar s z iseniz, baflar s z oldu unuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz. 134

ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m Uzayda, sabit bir noktadan eflit uzakl kta olan noktalar n birleflim kümesine (geometrik yerine) küre yüzeyi, bu yüzeyle s n rlanan cisme küre denir. (fiekil 5.1) de al nan 0 sabit noktaya kürenin merkezi, küre yüzeyi ile merkezi aras ndaki sabit uzakl a kürenin yar çap, küre yüzeyinde al nan A ve B gibi farkl iki noktay birlefltiren do ru parças na kürenin kirifli, kürenin merkezi olan 0 noktalar ndan geçen kirifle de, kürenin çap denir. fiekil 5.1 Merkezi 0 ve yar çap r olan bir küre k saca (0, r) fleklinde yaz l r. Küre yüzeyi, bir yar m dairenin çap üzerindeki ekseni etraf nda döndürülerek elde edilebilir. Yar çap uzunluklar eflit tüm küreler, birbirine efltir. b. Bir Kürenin Belirli Olmas Bir küre, merkezi ve yar çap bilindi i taktirde belirli olur. Bir kürenin belirli olmas için, küre yüzeyine ait kaç noktan n bilinmesi gerekti ini bulal m. 1. Bir noktadan, sonsuz say da küre geçer. Verilen bir K noktas ndan geçen kürelerin yar çaplar r kadar ise, merkezlerinin geometrik yeri, r yar çapl K merkezli küre yüzeyi olur. 135

2. ki noktadan, sonsuz say da küre geçer. Bu kürelerin merkezlerinin geometrik yeri, bu iki noktay birlefltiren do ru parç s n n orta dikme düzlemidir. 3. Do rusal olmayan üç noktadan, sonsuz say da küre geçer. Bu kürelerin merkez lerinin geometrik yeri, bu üç noktadan geçen çemberin düzlemine, merkezinden ç k lan dik do rudur. 4. Ayn bir düzlem içinde bulunmayan dört noktadan, yaln z küre geçer. Ayn bir düzlem içinde bulunmayan dört noktadan eflit uzakl kta bulunan yaln z bir nokta vard r. O halde, bir kürenin belirlenmesi için, üçü birden ayn düzlemde olmayan en az dört nokta verilmelidir. c. Bir Küre le Bir Düzlemin Ara Kesiti Teorem: Bir küre yüzeyinin, bir düzlemle ara kesiti bir çember, kürenin bir düzlemle ara kesiti de bir dairedir. spat: (fiekil 5.2) de, 0 merkezli r yar çapl bir küre, P düzlemiyle kesildi inde, [0M] [MN] olacak flekilde bir 0MN dik üçgeni çizelim. Bu üçgende 0N = r, 0M = d ve MN = r 1 olsun. fiekil 5.2 0MN dik üçgeninde pisagor teoremine göre, r 2 = d 2 + r2 1, r2 1 = r 2 - d 2 ise, r 1 = r 2 - d 2 dir. r 1 uzunlu u sabit oldu una göre, N noktalar sabit bir M noktas ndan eflit uzakl ktaki noktalar kümesidir. 136 Buna göre, ara kesit M merkezli ve r yar çapl bir çemberdir. Bu çemberle s n rlanan düzlemsel bölge de daire olur.

d. Bir Küre ile Düzlemin Birbirine Göre Konumlar Bir küre ile düzlemin birbirine göre, üç farkl konumu vard r. Kürenin yar çap r ve kürenin merkezinin düzleme olan uzakl d olsun. (fiekil 5. 3). Buna göre; fiekil 5.3 1. d < r ise, küre ile düzlemin ara kesiti bir dairedir. 2. d = r ise, küre bir T noktas nda düzleme te ettir. Bu durumda, küre ile düzlemin ara kesiti bir noktad r. Bu noktaya de me noktas, düzleme de te et düzlemi denir. 3. d > r ise, düzlem küreyi kesmez. Ara kesit bofl kümedir. Küre merkezinin düzleme uzakl d = 0 ise, düzlem kürenin merkezinden geçer. Bu durumda, küre yüzeyi ile düzlemin ara kesitine, kürenin bir büyük çemberi denir. Büyük çemberin yar çap, kürenin yar çap na eflittir. Teorem: Uzayda, bir do ru parças n, dik aç alt nda gören noktalar n geometrik yeri, bu do ru parçalar n çap kabul eden bir küre yüzeyidir. spat: Sabit do ru parças [AB] ve geometrik yere ait bir nokta C olsun (fiekil 5.4). 137

ABC üçgeni C köflesinde dik ise, bir dik üçgende hipotenüs kenarortay n yar s na eflit olaca ndan, 0C = AB 2 olur. fiekil 5.4 O halde, C noktas n n geometrik yeri, merkezi 0 ve yar çap yüzeyidir. 2. KÜREN N ALANI Teorem: Yar çap r olan bir kürenin alan, A = 4.π.r 2 dir. spat: Çap AF = 2r olan bir yar m çember, [AF] çap etraf nda döndürülürse, r yar çapl bir küre yüzeyi oluflur. Bu yar m çemberin içine çizilen herhangi bir yar m düzgün çokgen ABCDEF olsun. Bu düzgün çokgenin iç çemberin yar çap n r 1 ile gösterelim (fiekil 5.5). AB 2 olan bir küre 138 fiekil 5.5

ABCDEF düzgün yar m çokgenin, AF etraf nda dönmesinden oluflan cismin alan n A 1 ile gösterelim. Bu alan [AB], [BC], [CD], [DE], [EF], nin dönmesinden elde edilen alan n toplam na eflittir. Buna göre, A 1 = 2.π.r 1 AB + 2πr 1 B C +2πr 1 C D + 2πr 1 D E +2πr 1 E F A 1 = 2. π.r 1 AB + B C + C D + D E + E F 2r A 1 = 2.π.r 1. 2r = 4.π.r 1. r bulunur. Burada, düzgün yar m çokgenin kenarlar n n say s n, sonsuz say da art r l rsa, yar m çokgenin çevresi [AF] çapl yar m çemberin çevresine, r 1 yar çap r ye, A 1 alan da, kürenin A alan na eriflir. O halde, kürenin alan : A = 4.π. r. r = 4.π. r 2 olur. Bu teoremle göre afla daki ifadeleri söylebeliriz. 1. Bir kürenin alan, bir büyük dairesinin alan n n 4 kat na eflittir. 2. ki kürenin alanlar n n oran, yar çaplar n n karelerinin oran na eflittir. ÖRNEK 5.1 Yar çap 6 cm olan bir kürenin alan n bulal m. Yar çap r = 6 cm olan kürenin alan : A = 4.π. r 2 ifadesinden, A = 4. π. 6 2 = 4. π. 36 = 144 π cm 2 olur. 4 3 3. KÜREN N HACM Yar çap r olan bir kürenin hacmi, yar çap n n küpü ile π say s n n çarp m n n kat d r. Buna göre, r yar çapl bir kürenin hacmi, V = 4 3.π.r3 dür. ki kürenin hacimlerinin oran, yar çaplar n n küplerinin oran na eflittir. ÖRNEK 5. 2 Yar çap 4 cm olan bir kürenin hacmini bulal m (π = 3 al nacakt r). Yar çap r = 4 cm olan kürenin hacmi: V = 4 3. π. r3 ifadesinden, V = 4 3. 3. 43 = 4 4 = 256 cm 3 olur. 139

4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m Bir küre yüzeyinin, P ve Q gibi iki paralel düzlem aras nda kalan kürenin parças na, küre kufla denir (fiekil 5. 6). fiekil 5.6 Birbirine paralel düzlemsel kesit çemberlerine, küre kufla n n tabanlar ve tabanlar aras ndaki uzakl a da, küre kufla n n yüksekli i denir (fiekil 5. 7). fiekil 5.7 140 II. Küre Kufla n n Alan (fiekil 5.7) deki küre kufla, AB çember yay n, [0 1 0 2 ] yüksekli i etraf nda 360 döndürülmesi ile meydana gelir. Kürenin yar çap r, küre kufla n yüksekli i h ise, küre kufla n n alan : A = 2. π. r. h d r.

ÖRNEK 5. 3 Yar çap 6 cm olan bir kürede, küre kufla n n yüksekli i 3 cm ise, bu küre kufla n n alan n bulal m. Verilen küre kufla n n yüksekli i h = 3 cm ve kürenin yar çap r = 6 cm dir. Küre kufla n n alan : A = 2. π. r. h ifadesinden, A = 2. π. 6. 3 = 36 π cm 2 olur. b. Küre Tabakas I. Tan m Küre kufla ile paralel P ve Q düzlemleri aras nda kalan cisme, küre tabakas denir (fiekil 5. 8). fiekil 5.8 Birbirine parelel olan düzlemsel kesitlere, küre tabakas n n tabanlar, tabanlar aras ndaki uzakl a da, küre tabakas n n yüksekli i denir. Küre kufla üstten ve alttan aç k, küre tabakas ise kapal d r. Küre kufla, küre tabakas n n yanal yüzüdür. Yükseklik ise ikisinde de ayn d r. II. Küre Tabakas n n Hacmi (fiekil 5.8) deki küre tabakas n n yüksekli i 0 1 0 2 = h, alt taban n yar çap, 0 2 C = r 2, üst taban n yar çap 0 1 D = r 1 ise, Küre tabakas n n hacmi: V = π.h 3r2 6 1 + 3r2 + h 2 dir. 141

ÖRNEK 5.4 Bir küre tabakas n n yüksekli i 4 cm, alt taban n yar çap 5 cm, üst taban n yar çap 3 cm oldu una göre, bu küre tabakas n n hacmini bulal m (π 3 al nacakt r). Verilen küre tabakas n n yüksekli i h = 4 cm, alt taban n yar çap r 2 = 5 cm ve üst taban n yar çap r 1 = 3 cm dir. Küre taban n n hacmi: V = π.h 3r2 1 + 3r2 + h 2 6 verilen de erler yerine konulursa, V = 3.4 3. 3 2 +3.5 2 + 4 2 = 12 3. 9 + 3. 25 + 16 6 6 V = 2 27 + 75 + 16 = 2 118 = 236 cm 3 olur. ifadesinde, c. Küre Kapa I. Tan m Bir küre yüzeyinin, P düzlemi ile kesilmesinden elde edilen parçalardan her birine, küre kapa denir (fiekil 5.9). Küre kapa n n içi bofltur. fiekil 5.9 II. Küre Kapa n Alan (fiekil 5.9) daki küre kapa, tabanlardan birinin yar çap s f r olan küre kufla gibidir. Bu nedenle, r yar çapl bir küreden kesilen, h yüksekli indeki bir küre kapa n n alan : 142 A = 2π. r. h dir.

ÖRNEK 5.5 Yar çap 8 cm olan bir küre, merkezden 5 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen küre kapa n n alan n bulal m. Verilen kürenin yar çap r = 8 cm ve küre kapa n n yüksekli i h = 8-5 = 3 cm dir. Küre kapa n n alan : A = 2π. r. h ifadesinden, A = 2π. 8. 3 = 48 π cm 2 olur. ç. Küre Parças I. Tan m Küre kapa ile, kesit düzlemi aras nda kalan cisme, küre parças denir (fiekil 5.10). Küre parças n n içi doludur. fiekil 5.10 II. Küre Parças n n Hacmi (fiekil 5.10) da, r yar çapl bir küreden kesilen, h yüksekli indeki küre parças n n hacmi: V = 1 3 π.h2 3r - h d r. 143

ÖRNEK 5. 6 Yar çap 12 cm olan bir küreden kesilen, 4 cm yüksekli indeki küre parças n n, hacmini bulal m (π = 3 al nacakt r). Verilen kürenin yar çap r = 12 cm ve kesilen küre parças n n yüksekli i h = 4 cm dir. Küre parças n n hacmi: V = 1 3 π. h2 3r - h ifadesinden, V = 1 3 3. 42 3. 12-4 = 16 36-4 = 16. 32 = 512 cm 2 olur. d. Küre Kesmesi I. Tan m Bir AOB daire diliminin, kendisini kesmeyen, [EF] çap etraf nda 360 dönmesinden elde edilen cisme, küre kesmesi denir. (fiekil 5.11) deki küre kesmesinin ABDC yüzü bir küre kufla, di er iki yüzü ise, birer koni yüzeyidir. Burada h, küre kufla n n yüksekli i ayn zamanda küre kesmesinin de yüksekli idir. II. Küre Kesmesinin Hacmi (fiekil 5.11) deki küre kesmesi, ABDC küre kufla ile, (0, BD) ve (0, AC) koni yüzeylerinin s n rlad cisimdir. Küre kesmesi, tepeleri kürenin merkezinde, tabanlar küre kufla üzerinde bulunan, sonsuz say da konilerin toplam fleklinde düflünülebilir. Bu konilerin yükseklikleri, kürenin yar çap na eflit ve r kadard r. Küre kesmesinin yüksekli i h ise, küre kufla n n alan, A= 2π. r.h oldu undan, küre kesmesinin hacmi, V = 1 3 A. r = 2π. r. h. r 3 = 2 3 π. r2. h dir. 144 fiekil 5.11

ÖRNEK 5. 7 Yar çap 8 cm olan bir kürede, küre kesmesinin yüksekli i 3 cm dir. Bu küre kesmesinin hacmini bulal m. Kürenin yar çap r = 8 cm ve küre kesmesinin yüksekli i h = 3 cm dir. Küre kesmesinin hacmi: V = 2 3 π. r2. h ifadesinden, V = 2 3 π. 82. 3 = 2 3 π. 64. 3 = 128 π cm3 olur. e. Küre Dilimi I. Tan m Kürenin bir [AB] çap ndan geçen, iki yar m düzlem aras nda kalan k sm na, küre dilimi denir (fiekil 5. 12). II. Küre Diliminin Alan (fiekil 5.12) deki kürenin yar çap r, düzlemler aras ndaki merkez aç n n ölçüsü θ olsun. Küre diliminin yüzey alan : Bu küre dilimi, merkezinden kesilen bir karpuz dilimi gibi düflünülürse, iki yan yüzeyin alan r yar çapl dairenin alan olur. Buna göre, küre diliminin tüm alan : fiekil 5.12 Y = 4π. r 2. θ 360 A = π.r2. θ 90 eflitli inden, Y = π.r2. θ 90 + π.r 2 dir. dir. 145

III. Küre Diliminin Hacmi Küre diliminin hacmi, V = 4 3.π.r3. θ 360 eşitliğinden, V = π. r 3. θ 270 olur. ÖRNEK 5. 8 Yar çap 9 cm olan bir kürede, merkez aç s n n ölçüsü 45 dir. Buna göre, küre diliminin yüzey alan n, tüm alan n ve hacmini bulal m. (π 3 al nacakt r.) Verilen kürenin yar çap r = 9 cm ve merkez aç s n n ölçüsü θ = 45 dir. Küre diliminin yüzey alan : Y = 3.92. 45 90 = 3. 81. 45 90 Küre diliminin tüm alan : A = 3. 92. 45 90 Y = πr2 θ 90 = 1215 cm 2 dir. ifadesinden, A = π r2 θ 90 + π. r2 ifadesinden, + 3. 9 2 = 1215 + 2 43 = 3645 cm 2 dir. Küre diliminin hacmi: V = πr3. θ 270 V = 3. 93. 45 270 = 3. 729. 45 270 ifadesinden, = 729 2 = 3645 cm3 olur. 5. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖRNEK 5. 9 Çap 10 cm olan kürenin alan n ve hacmini bulal m ( π = 3 al nacakt r.) Verilen kürenin çap 10 cm ise, yar çap r = 10 2 = 5 cm dir. Kürenin alan : A = 4.π.r 2 ifadesinden, A = 4. 3. 5 2 = 12. 25 = 300 cm 2 dir. Kürenin hacmi: V = 4.π. r3 ifadesinden, 3 V = 4 3. 3. 53 = 4. 125 = 500 cm 3 olur. 146

ÖRNEK 5. 10 Büyük dairelerden birinin alan 36 π cm 2 olan kürenin, alan n ve hacmini bulal m. Küredeki büyük daire, kürenin merkezinden geçen dairedir. Buna göre, büyük dairenin alan : A = π. r 2 oldu undan, 36. π = π.r 2 eflitli inden, r 2 = 36 ise, r = 6 cm dir. Kürenin alan : A = 4π. r 2 ifadesinden, A = 4. π 6 2 = 4. 36π = 144 π cm 2 dir. Kürenin hacmi: V = 4 3.π. r 3 ifadesinden, V = 1 3.π. 63 = 4 3. π. 216 = 288 π cm3 olur. ÖRNEK 5. 11 Yar çap 5 cm olan bir küre fleklindeki tahta yontularak yüksekli i 8 cm olan en büyük hacimli bir silindir yap l yor. Bu tahtan n yontulan k sm n n hacmini bulal m. ( π 3 al nacakt r.) Verilen kürenin yar çap O 1 B = r 1 5 cm ve silindirin taban yar çap O 2 B r 2 olsun. Karenin içine çizilen, en büyük hacimli silindir (fiekil 5.13) deki gibi olmal d r. fiekil 5.13 147

Burada, [BD] kürenin çap oldu undan, BD = 2.r 1 = 2. 5 = 10 cm dir. [AD] silindirin yüksekli i oldu undan, AD = 8 cm dir. DAB dik üçgeninde pisagor teoremine göre, AB 2 = BD 2 - AD 2 ifadesinden, AB 2 = 10 2-8 2 = 100-64 = 36 ise, AB = 6 cm dir. [AB] silindirin çap oldu undan, silindirin yar çap, Buna göre, O 2 B = r 2 = 6 2 = 3 cm dir. Yontulan k sm n hacmi = Kürenin hacmi - Silindirin hacmi Kürenin hacmi: V 1 = 4 3. π.r 1 3 ifadesinden, V 1 = 4 3.3.53 = 4. 125 = 500 cm 3 tür. Silindirin hacmi: V 2 = π. r 2 2 h ifadesinden, V 2 = 3. 3 2. 8 = 27. 8 = 216 cm 3 tür. Yontulan k sm n hacmi: V = V 1 - V 2 V = 500-216 = 284 cm 3 olur. oldu undan, ÖRNEK 5. 12 Bir kürenin merkezinden 3 cm uzakl ktaki kesitinin alan 50, 24 cm 2 oldu una göre, bu kürenin, a. Yar çap n, b. Alan n, c. Hacmini bulunuz (π 3.14 al nacakt r). a. Küre kesitinin merkezi H, yar çap AH = r 1, ve 0H = 3 cm dir. Kürenin merkezi 0, yar çap OA = r 2 olsun (fiekil 5.14). 148

Önce, kesit dairenin yar çap n bulal m. Kesit dairenin alan 50, 24 cm 2 oldu undan, A = π. r 1 2 ifadesinden, fiekil 5.14 50, 24 = 3, 14. r2 1 : r2 50, 24 1 = 3, 14 = 16 ise, r 1 = 4 cm dir. 0AH dik üçgeninde pisagor teoreemine göre, 0A 2 = AH 2 + 0H 2 ifadesinden, 0A 2 = 4 2 + 3 2 = 16 + 9 = 25 ise, 0A = r 2 = 5 cm dir. b. Kürenin alan ; A = 4. π. r 2 2 ifadesinden, A = 4. 3,14. 5 2 = 12, 56. 25 = 314 cm 2 dir. c. Kürenin hacmi: V = 4 3. π. r 2 3 ifadesinden, V = 4 3. 3,14. 53 = 12,56 3. 125 = 1570 3 cm 3 olur. ÖRNEK 5.13 Yar çap 10 cm olan bir kürenin merkezinden 4 cm uzakl kta bulunan bir düzlemle kesilerek, elde edilen küre parças n n hacmini bulal m. Verilen kürenin yar çap r = 10 cm ve küre parças n n yüksekli i, h = 10-4 = 6 cm dir. Küre parças n n hacmi: V = 1 3. π. h2 3. r - h ifadesinden, V = 1 3. π. 62 3. 10-6 = 1 3 36 π 30-6 = 12π 24 = 288π cm3 olur. 149

ÖRNEK 5.14 Yar çap 8 cm olan bir kürede, merkez aç s n n ölçüsü 45 olan bir küre dilimi (fiekil 5. 15) de veriliyor. Bu küre diliminin, a. Yüzey alan n, b. Tüm alan n, c. Hacmini bulal m. fiekil 5.15 Verilen kürenin yar çap r = 8 cm ve merkez aç n n ölçüsü θ = 45 dir. a. Küre dileminin yüzey alan : Y = 4.π. r 2. θ 360 ifadesinden, Y = 4.π. 8 2. 45 = 4. 64. 45 π = 11520 360 360 360 π = 32 π cm2 dir. b. Küre diliminin tüm alan : A = π. r2. θ 90 A = π.82. 45 90 + π.8 2 = 32π + 64 π = 98 π cm 2 dir. + πr 2 ifadesinden, c. Küre diliminin hacmi: V = π. r3. θ ifadesinden, 270 V = π. 83. 45 π. 512. 45 = = 270 23040 270 270 π = 256 3 π cm3 olur. 150

ÖRNEK 5.15 Yar çap r birim olan bir kürenin, 0 merkezinden ve kürenin merkezinden r 2 birim uzakl ktaki H noktas ndan geçen, paralel iki düzlemle kesiliyor. Meydana gelen küme parças n n hacmini bulal m. Verilen kürenin yar çap r birim, küre parças n n yüksekli i h = r 2 birimdir (fiekil 5.16) fiekil 5.16 Küre parças n n hacmi: V = 1 3. π. h2. 3r -h ifadesinden, V = 1 3.π. r 2 2. 3r - r 2 = π. r2 12 6r - r 2 V = πr 2 12. 5r 2 = 5 πr3 birimküp olur. 24 ; ÖRNEK 5.16 Yar çap r ve yüksekli i h olan bir dik dairesel silindirle, bu silindire içten te et olan bir küre yerlefltiriliyor.küre ile dik dairesel silindirin, a. Hacimleri, b. Alanlar aras ndaki ba nt y bulal m. (fiekil 5. 17) deki kürenin ve dik dairesel silindirin taban yar çap r, silindirin yüksekli i h = 2r dir. 151

fiekil 5.17 a. Dik dairesel silindirin hacmi: V 1 = πr 2. h ifadesinden, V 1 = π. r 2. (2r) = 2. π. r 3 tür. Kürenin hacmi: V 2 = 4 3. π. r3 tür. Küre ile dairesel silindirin hacimleri aras ndaki ba nt y yazarsak, V 1 V 2 = 3 2. π.r = 2. 3 4 3. π.r3 4 = 3 2 olur. b. Dik dairesel silindirin alan, A 1 = 2.π. r (r + h) ifadesinden, A 1 = 2.π. r (r + 2r) = 2.π. r (3r) = 6. π. r 2 dir. Kürenin alan, A 2 = 4. π. r 2 dir. Küre ile dairesel silindirin alanlar aras ndaki ba nt y yazarsak, 152 A 1 A 2 = 6.π.r2 4.π.r 2 = 6 4 = 3 2 olur. O halde, küre ile dairesel dik silindirin hacimlerini ve alanlar n oranlad m zda birbirine eflit, 3 2 oluyor.

ÖRNEK 5.17 Bir kürede, küre merkezinden 6 cm uzakl kta, bir düzlemle kesiliyor. Kesit dairesinin alan 64 π cm 2 dir. Buna göre, kürenin hacmini bulal m. (fiekil 5. 18) deki kesit dairesinin yar çap HB = r 1, Kürenin yar çap OB = r 2 olsun. fiekil 5.18 Buna göre, kesit dairenin alan A = π. r 1 2 olduğundan, 64π = π r2 1 ; r2 1 = 64 ise, r 1 = 8 cm dir. Böylece, HB = r 1 = 8 cm olur. fiimdi de kürenin yar çap n bulal m. 0HB dik üçgeninde pisagor teoremine ve 0H = 6 cm oldu una göre, 0B 2 = 0H 2 + HB 2 ifadesinden, 0B 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 ; 0B 2 = r 2 2 = 100 ise, r 2 = 10 cm dir. Kürenin hacmi: V = 4 3.π. r 2 3 ifadesinden, V = 4 3.π. 10 3 = 4000 3 π cm 3 olur. 153

ÖRNEK 5.18 Yar çap 5 cm olan bir kürenin hacmini, bir ayr t n n uzunlu u 5 cm olan küpün hacmine oran n bulal m (π = 3 al nacakt r.) Yar çap 5 cm olan kürenin hacmi: V 1 = 4 3.π.r3 ifadesinden, V 1 = 4 3. 3. 53 = 4. 125 = 500 cm 3 tür. Bir ayr t n n uzunlu u 5 cm olan küpün hacmi: V 2 = a 3 ifadesinden, V 2 = 5 3 = 125 cm 3 tür. Kürenin hacmini küpün hacmine oranlarsak, V 1 V 2 = 500 125 = 4 olur. 154

ÖZET Uzayda sabit bir noktadan, eflit uzakl kta olan noktalar n birleflim kümesine küre yüzeyi, bu yüzeyi ile s n rlanan cisme küre denir. Sabit noktaya, kürenin merkezi, küre yüzeyi ile merkezi aras ndaki sabit uzakl a kürenin yar çap, denir. Küre yüzeyinde al nan farkl iki noktay birlefltiren do ru parças na kürenin kirifli, kürenin merkezinden geçen kirifle de, kürenin çap denir. Merkezi 0 ve yar çap r olan bir küre k saca (0, r) fleklinde yaz l r. Bir küre, merkezi ve yar çap bilindi i taktirde, belirli olur. Bir kürenin belirli olmas için, küre yüzeyine ait, kaç noktan n bilinmesi gerekti ini bulal m. 1. Bir noktadan, sonsuz say da küre geçer. 2. ki noktadan, sonsuz say da küre geçer. 3. Do rusal olmayan üç noktadan, sonsuz say da küre geçer. 4. Ayn bir düzlem içinde bulunmayan dört noktadan, yaln z bir küre geçer. Bir küre yüzeyinin, bir düzlemle ara kesiti bir çember, kürenin bir düzlemle ara kesiti de bir dairedir. Bir küre ile düzlemin birbirine göre, üç farkl konumu vard r. Yar çap r ve kürenin merkezinin düzleme olan uzakl d olsun. 1. d < r ise, küre ile düzlemin ara kesiti bir dairedir. 2. d = r ise, küre bir noktada, düzleme te ettir. Bu durumda, küre ile düzlemin ara kesiti bir noktad r. 3. d > r ise, düzlem küreyi kesmez. Ara kesit bofl kümedir. Kürenin merkezinden geçen düzlemin ara kesitine, kürenin büyük çemberi denir. Uzayda bir do ru parças n, dik aç alt nda gören noktalar n geometrik yeri, bu do ru parçalar n çap kabul eden, bir küre yüzeyidir. Yar çap r olan bir kürenin alan : A = 4.π. r 2 dir. Yar çap r olan bir kürenin hacmi: V = 4 3.π.r3 dür. Bir küre yüzeyinin, paralel iki düzlem aras nda kalan kürenin parças na, küre kufla denir. Birbirine paralel düzlemsel kesit çemberlerine, küre kufla n tabanlar ve tabanlar aras ndaki uzakl a da, küre kufla n n yüksekli i denir. 155

Kürenin yar çap r, küre kufla n n yüksekli i h ise, küre kufla n n alan ; A = 2. π. r. h d r. Küre kufla ile iki paralel düzlemler aras nda kalan cisme, küre tabakas denir. Küre kufla, üstten ve alttan aç k, küre tabakas ise kapal d r. Küre tabakas n n yüksekli i h, alt taban yar çap r 2, üst taban yar çap r 1 ise, küre tabakas n n hacmi: V = π. h 3r2 1 + 3r2 + h 2 dir. 6 Bir küre yüzeyinin, bir düzlemle kesilmesinden elde edilen parçalardan her birine, küre kapa denir. r yar çapl bir küreden kesilen h yüksekli indeki bir küre kapa n n alan : A = 2π. r. h d r. Küre kapa ile, kesit düzlemi aras nda kalan cisme, küre parças denir. Küre parças n n içi doludur. r yar çapl bir küreden kesilen, h yüksekli indeki küre parças n n hacmi: V = 1 3. π.h2 3r - h d r. Bir daire diliminin, kendisini kesmeyen bir çap etraf nda, 360 dönmesinden elde edilen cisme, küre kesmesi denir. Kürenin yar çap r ve küre kesmesinin yüksekli i h ise, küre kesmesinin hacmi: V = 2 3. π.r2.h d r. Kürenin bir çap ndan geçen, iki yar m düzlem aras nda kalan k sm na, küre dilimi d e n i r. Kürenin yar çap r, düzlemler aras ndaki merkez aç n n ölçüsü θ olsun. Küre diliminin yüzey alan : Y = π. r2. θ dir. 90 Küre diliminin tüm alan : A = π. r2. θ 90 + π.r 2 dir. Küre diliminin hacmi: V = π.r3. θ 270 dir. 156

ALIfiTIRMALAR 1. Afla da yar çap verilen kürelerin, alan ve hacimlerini bulunuz (π 3 al nacakt r). a. 12 cm b. 8 cm c. 2 3 cm 2. Büyük dairenin alan 78,5 cm 2 olan kürenin, yar çap n ve hacmini bulunuz (π = 3.14 al nacakt r). 3. Yar çap 13 cm olan bir kürenin, merkezinden 12 cm uzakl kta, bir düzlemle kesiliyor. Kesiti olan dairenin alan n bulunuz (π 3 al nacakt r). 4. Yar çap 4 cm olan bir dairenin herhangi bir çap etraf nda 180 dönmesiyle oluflan cismin, alan n ve hacmini bulunuz. 5. Çap 8 cm olan kurflun bir küre, eritilerek çap 2 cm olan kurflun küreler yap l yor. Eritme esnas nda fire söz konusu olmad na göre, kaç tane küre yap labilece ini bulunuz. 6. Bir ayr t n n uzunlu u 10 cm olan küpün içine, maksimum hacimli kürenin, alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 7. Yar çap 8 cm olan bir küre, merkezden 3 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen küre kapa n n alan n ve küre parças n n hacmini bulunuz. 8. Yar çaplar 4 cm ve 5 cm olan iki kürenin, alanlar ve hacimleri oran n bulunuz. 9. Yar çap 10 cm olan bir küreden, merkez aç s n n ölçüsü 30 olan bir dilim kesiliyor. Bu dilimin, tüm alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 1 0. Yar çap 5 cm olan küre içine (fiekil 5.19) daki gibi, bir dik dairesel koni çizilmifltir. Küre merkezinin, dik dairesel koninin taban na uzakl 4 cm oldu una göre, dik dairesel koninin ve kürenin hacimleri fark n bulunuz (π 3 al nacakt r). 157

fiekil 5.19 11. Yar çap 15 cm olan bir küre, merkezinden 12 cm uzakl ktaki bir düzlemle kesiliyor. Oluflan küre kapa n n alan n ve küre parças n n hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 12. Taban yar çap 5 cm ve ana do rusu 13 cm olan bir koninin içine, taban na ve yan yüzüne te et olarak çizilen bir kürenin hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 13. Taban yar çap 6 cm olan bir dik dairesel silindir içinde bir miktar su vard r. Suyun içine, yar çap 3cm bir çelik bilye at l rsa suyun yüksekli inin kaç cm yükselebile ce ini bulunuz. 14. Bir kürenin merkezinden 3 cm uzakl ktaki kesitinin çevresi 24 cm oldu una göre, bu kürenin alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 15. Yar çap 5 cm olan bir küre, merkezinden 3 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Kesit dairesini taban kabul eden ve tepe noktas küre üzerinde bulunan, en büyük hacimli dik dairesel koninin hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 158

DE ERLEND RME SORULARI 1. Bir kürenin alan, bir büyük dairesinin alan n n kaç kat d r? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 2. Hacmi, alan na say ca eflit olan kürenin, en büyük dairesinin alan kaç π birim karedir? A) 3 B) 6 C)9 D) 12 3. Alan 36 π cm 2 olan bir kürenin hacmi kaç π cm 3 tür? A) 36 B) 54 C) 68 D) 72 4. (fiekil 5. 20) deki yar çap 4 cm olan bir yar m dairesi, [AB] çap etraf nda 360 döndürüldü ünde, oluflan cismin hacmi kaç cm 3 dür? (π 3 al nacakt r). fiekil 5.20 A) 64 B) 82 C) 128 D) 256 159

5. ki kürenin alanlar oran 9 ise, hacimlerinin oran kaçt r? A) 18 B) 21 C) 24 D) 27 6. Yar çap 2 cm olan küre fleklindeki bir cismin, yüzeyini boyamak için bir tüp boya k u l l a n l y o r. Yar çap 6 cm olan, ayn cinsten küreyi boyamak için kaç tüp kullan l r? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 7. Yar çap 9 cm olan kurflun bir küre eritilerek, Yar çap 3 cm olan küreler elde ediliyor. Kaç tane küre elde edilir? A) 9 B) 27 C)54 D) 81 8. Yar çap 4 cm olan bir kürenin alan n n, hacmine oran kaçt r? A) 1 4 B) 1 2 C) 2 3 D) 3 4 9. (fiekil 5.21) deki küre, merkezinden 2 cm uzakl ktaki bir düzlemle kesilirse, elde edilen dairenin alan 5π cm 2 dir. Bu kürenin hacmi kaç π cm 3 dür? 160

fiekil 5.21 A) 36 B) 54 C) 72 D) 108 10. Taban çap, yüksekli ine eflit olan bir silindirin içine en büyük hacimli, bir küre y e r l e fl t i r i l i y o r. Silindirin hacmi 48 cm 3 ise, kürenin hacmi kaç cm 3 t ü r? (π 3 al nacakt r). A) 28 B) 32 C) 36 D) 40 11. Yar çap, 3 cm olan bir kürede, merkez aç s n n ölçüsü 30 olan bir küre diliminin hacmi, kaç π cm 3 tür? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 161

12. Yar çap 6 cm olan bir küre, merkezinden ve merkezden 3 cm uzakl ktaki bir noktadan geçen, paralel iki düzlemle kesiliyor. Meydana gelen küre parças n n hacmi, kaç π cm 3 tür? A) 18 B) 24 C) 36 D) 45 13. Alan 100 π cm 2 olan bir küre, merkezden 3 cm uzakl kta olan bir düzlemle kesiliyor. Meydana gelen kesit dairesinin çevresi, kaç π cm dir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 14. Bir kürenin hacmi 32 Küre yüzeyinde, en büyük yar çapl dairenin 3 π cm3 dür. alan, kaç, π cm2 dir? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 15. Yar çap 5 cm olan bir küre, merkezinden 3 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. K e s i t dairesini taban kabul eden, küre içinde en büyük koninin hacmi kaç cm 3 tür? (π 3 al nacakt r). A) 32 B) 64 C) 96 D) 128 16. Yar çap 5 cm olan bir küre, merkezinden ve küre yüzeyinden 2 cm uzakl kta iki paralel düzlemle kesiliyor. Bu iki düzlem aras nda kalan küre kufla n n alan kaç π cm 2 dir? A) 24 B) 26 C) 30 D) 32 162

1 7. Kürenin yar çap 15 cm ve küre merkezinden 9 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen ara kesit dairesinin alan, kaç cm 2 dir? (π 3 al nacakt r). A) 144 B)1216 C) 368 D) 432 18. (fiekil 5.22) de, yar çap 6 cm olan dairenin 1 v e r i l m i fl t i r. Bu dairenin [0A] 4 ü kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile meydana gelen cismin hacmi, kaç cm3 tür? (π 3 al nacakt r). fiekil 5.22 A) 432 B) 688 C) 864 D) 1096 19. Bir küre parças n n yüksekli i 8 cm ve hacmi 256 cm 3 tür. Bu parçan n kesilmifl oldu u kürenin yar çap, kaç cm dir? (π 3 al nacakt r). A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 163

20. (fiekil 5.23) de, yar çap 6 cm olan bir küre, paralel iki düzlemle çap, üç eflit k sma ayr lm flt r. Elde edilen küre parças n n hacm, kaç cm 3 tür? (π 3 al nacakt r). fiekil 5.23 A) 224 B) 238 C) 242 D) 256 164