Düzlemde Eğik ve Dik Koordin Sisemleri -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ.Düzlemde Eğik ve Dik Koordin Sisemi Bu bölüme Anliik Geomerinin kuruluşun emel eşkil eden ve dın Nok-Vekör eşlemesi dieceğimiz düzlemin fin ksiomlrını vererek bşlmk ugun olckır. Afin Aksiomlr :. Düzlemin herhngi A B gibi iki noksı verildiğinde ; u AB olck şekilde bir ek u vekörü vrdır.. Düzlemde bir A noksı ve R vekör uzının bir u vekörü verildiğinde ; u AB olck şekilde bir ek B noksı vrdır...düzlemde Eğik Koordin Sisemi Şekil.. Düzlemde bir A noksı ve lineer bğımsız { v} u vekör cümlesi verildiğinde Nok-Vekör eşlemesinden ; u AB v AC olck şekilde
Düzlemde Eğik ve Dik Koordin Sisemleri -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ B C noklrının vrlığını bilioruz. A noksındn geçen ve u vekörüne prlel oln doğruu d v vekörüne prlel oln doğruu d d ile göserelim. Düzlemin kefi bir noksı P olsun. P noksındn d doğrusun prlel çizip d doğrusunu kesiği nok Q ve d doğrusun prlel çizip d doğrusunu kesiği nok d R dielim. AP AQ QP QP AR olduğundn ve AP AQ AR AQ P u AR P v olrk zılbileceğinden AP P u P v bulunur. Bölece düzlemin her bir P noksın { A u v} urk P P cümlesini sbi reel sı ikilisini krşılık urız. A u v cümlesi sbi klmk üzere; bir b Tersine { } reel sı ikilisi verildiğinde AP u bv olck şekilde bir ek P noksının buluncğı Nok-Vekör eşlemesinden çıkır. O hlde düzlemin noklrı ile reel sı ikililerinin cümlesi oln R A u v cümlesini sbi uulrk bire-bir eşleme kurmuş oluruz. rsınd { }
3 Düzlemde Bir Noknın Yer Vekörü -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Burdki { A u v} üçlüsüne düzlemin bir eğikfinprlel koordin sisemi A noksın bu koordin siseminin orijini P P ikilisine de bu koordin sisemine göre P noksının eğikfinprlel koordinlrı denir. Biz bu eşleme nedenile düzlemin her bir P noksı için P P P göserimini kullncğız. Arıc d d doğrulrın bu koordin siseminin koordin eksenleri AB. u. v AC. u. v olduğundn d B C noklrın koordin siseminin birim noklrı denir. Yukrıdki nımlrdn ; P noksındn her bir eksen üzerine diğer eksen doğrulusund prlel izdüşümler lınrk oluşuruln reel sı ikilisi ile eğik koordin siseminde bir P noksının koordinlrının göserildiği görülür. İlk eksen X ekseni genellikle olrk çizilir. u v A u v { } vekör cümlesinin oronorml olmsı hlinde ; { } cümlesine düzlemin KrezenDik DörgenselDikÖkliden koordin sisemi krşılık gelir. Düzlemde { }...Düzlemde Bir Noknın Yer Vekörü A u v fin koordin sisemi seçelim. Q noksının bu koordin sisemine göre koordinlrı b olsun. Afin koordin siseminin ukrıdki nımındn; AQ b u b v ve AQ b b b
4 Düzlemde iki Nok Arsındki Uzklık -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ vekörüne Q noksının er vekörü denir....düzlemde İki Nok Arsındki Uzklık Düzlemin koordin eksenleri rsındki poziif önlü çısıα oln A u v fin koordin sisemini seçelim. Bu koordin siseminde { } koordinlrı b PQ PQ bulunur. oln noklr d sırsıl P Q olsun. b Afin koordin siseminin ukrıdki nımındn; b u b v ve b b d : R R R d P Q PQ PQ değerine ve d P Q b b b b cosα değerine... P Q noklrı rsındki uzklık denir. α Şekil...
5 Düzlemde Aln -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ..3.Düzlemde Aln Şekil...3. Düzlemde doğrudş olmn herhngi üç nok P Q R olsun. R noksındn P Q noklrındn geçen doğru dik indirip bu dikin ğın H dielim. Şekil...3. den PH PR PQ PQ PQ PQ vekörüne PR vekörünün PQ üzerine dik izdüşüm vekörü denir. RH PR PQ PQ PQ PQ PQ PQ PR vekörüne de P Q R noklrı üzerine kuruln prlel kenrın PQ kenrın i ükseklik vekörü denir. RH vekörünün uzunluğun d prlel kenrın PQ kenrın i üksekliği denir. Bun göre ;
6 Düzlemde Aln -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ RH PQ PQ PQ PR PR PQ PR ve [ PQ PR] RH PQ.de bulunur. Burdn d bu noklr üzerine kuruln prlel kenrın lnı ν P Q R ile göserilmek üzere; [ PQ PR] ν P Q R de. bulunur. Koordin eksenleri rsındki çısı α oln { A u v} fin koordin sisemine göre bu noklrın koordinlrı b b c b b ν P Q R de sinα c c dır. ise c. Düzlemde Dik Krezen Koordinlr Bugün emel memiğin gereksinim duduğu ilk ensrümn krezen koordin sisemidir. Krezen koordin siseminde bir noknın koordinlrı ; bu noknın er vekörünün koordin eksenleri üzerine lınn dik izdüşümlerden oluşcğı eğik koordin sisemlerinin nımındn çıkır. Eğer koordinlrın biri diğeri ile belirilip eksenlerde X ekseni ve Y ekseni die sölenirse P şeklinde göserilir. Burdki eşilik krşılık gelme nlmınddır.
7 Düzlemde Aln -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Genellikle X ekseni olrk çizilip orijinden iibren sğ doğru rr ; Y ekseni de düşe olrk çizilip orijinden iibren ukrı doğru rr Şekil... Şekil..: Krezen koordinlrd P43 Q-.3.5 R-.5-.5 S3.5- ve T4.5. Eksenler düzlemi dör bölgee ırırlr. Şekil.. de P birinci bölgede Q ikinci bölgede R üçüncü bölgede ve S de dördüncü bölgededir. T X ekseninin poziif kısmınddır. Krezen koordinlrd P Q noklrı rsındki uzklığın d P Q b b şeklinde olcğı... eşiliğinde π α lınrk görülür.
8 Düzlemde Doğrulr -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ.3.Düzlemde Doğrulr denklemi Düzlemde A B noklrındn geçen doğrunun λ şeklinde λ prmeresine bğlı olrk verilebilir. Bu eşiliğe noklrındn geçen doğrunun prmerik denklemi denir..3..düzlemde Doğrulrın Bzı Özellikleri A B.3 de λ prmeresi ok edilerek olmk üzere; λ bulunur. Bu eşiliklerinden doğrunun kplı denklemi de b c şeklinde olur. Doğrunun eğimi Düzlemde bir doğrunun X ekseni ile pığı çının njnın bu k π doğrunun eğimi denir. Bu çı k π den frklı olsun. Bir doğru üzerindeki herhngi iki nokdn X eksenine çizilen prlellerin doğru ile pığı poziif önlü çı nı olduğundn doğrunun eğimi doğru için bir krkerisikir. Yni ; nı nokdn geçen ve nı eğime ship bir ek doğru vrdır. b c doğrusunun eğimi
9 Düzlemde Doğrulr -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ m b ve A B noklrındn geçen doğrunun eğimi de m eşiliklerinden bulunur. Doğrunun X ekseni ile kesişiği noknın orijine uzklığı ve Y ekseni ile kesişiği noknın orijine uzklığı d c b c birimdir. birim Eğer ise ve doğru X ekseni ile k π çısı pıors X eksenine prlel b ise ve doğru X ekseni ile çısı pıors doğru b ve c ise b c Y eksenine prleldir. k π denklemine doğrunun norml formu ve burdki p c değerine de doğrunun orijine uzklığı denir. w rcsin rccos b çısın orijinden doğru indirilen dikmenin pığı çı denir. Bu hlde N b cos w sin w X eksenin poziif kısmıl vekörüne doğrunun birim norml vekörü denir. γ b vekörüne de doğrunun birim doğrulmn vekörü denir.
Düzlemde Doğrulr -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Şekil..3.. : L doğrusunun norml formu p cos w sin w Herhngi b c denklemli doğrunun norml formunu elde emek için şğıdki ol izlenir : Denklemin her iki nını c < ise b değerine > c ise b değerine ve c olmsı hlinde b > ise b b < ise b değerine bölerek norml formu bulunur..3..düzlemde Doğrunun Bzı Özel Hlleri X ekseni ile d kesişen m eğimli doğrunun denklemi m dır. Y ekseni ile d kesişen m eğimli doğrunun denklemi m dır. X ekseni ile d Y ekseni ile d kesişen doğrunun denklemi
Düzlemde Doğrulr -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ olup bu denklem eğik koordinlrd d nen geçerlidir. Arıc bu denkleme ; doğrunun eksenlerden ırdığı prçlr cinsinden denklemi denir. Eğimi m oln ve noksındn geçen doğrunun denklemi dir. m A B noklrındn geçen doğrunun denklemi şeklinde deerminn rdımıl d bulunur. Bu formül eğik koordinlrd d geçerlidir. P Q noklrıl sınırlı doğru prçsını λ ornınd bölen noknın koordinlrı λ λ B λ λ ve P λq B dır. λ
Düzlemde Doğrulr -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ P noksındn Q noksın oln olun k noksının koordinlrı ve diğer bir deişle P Q noklrıl sınırlı doğru prçsını bölen noknın koordinlrı k olup k k k. k λ ornınd k P Q noklrıl sınırlı doğru prçsını λ ornınd bölen noknın koordinlrı dır..3.3.düzlemde Bir Noknın Bir Doğru Uzklığı P N A H Şekil..3.3.
3 Düzlemde Doğrulr -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Düzlemde bir P noksının A noksındn geçen ve normli N oln doğru oln uzklığı bu nokdn doğru indirilen dikmenin uzunluğu olrk nımlnır. Şekil.3.3. den PH µ N AH AP AH N olduğundn PH AP N N N ve PH AP N N bulunur. Bun göre; L... b c denklemli doğrunun P noksın oln uzklığı d P L olur. b b c.3.4.düzlemde İki Doğru Arsındki Açı d... b c d... b c
4 Düzlemde Doğrulr -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ doğrulrı rsındki çı θ ise θ için şğıdki özellikler geçerlidir. Doğrulr rsındki çı θ rcn b θ rcn N N N N b rcn eşiliklerinden elde edilebilir. b b b rcn iken doğrulr prlel bb iken de doğrulr dikir. Eğimleri m m oln iki doğru için θ m m rcn mm. b b b Eğimleri m m oln iki doğru için m m ise doğrulr prlel m m ise doğrulr dikir..3.5.düzlemde Doğrulrın Nokdşlığı ve Noklrın Doğrudşlığı Düzlemde üç doğru eğik koordinlrd
5 Düzlemde Doğrulr -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ......... 3 c b d c b d c b d olmk üzere;şğıdkilerin doğru olduğu lineer denklem siseminin çözümünden görülebilir. Üç doğru nokdşır c b c b c b Üç noknın koordinlrı olsun. Üç nok doğrudşır
6 Düzlemde Poligonlr ve Özellikleri -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ.4.Poligonlr k 3 olmk üzere;düzlemdeki sırlı A A... Ak noklrını rdışık olrk birbirine ve sonuncusunu d birincisine doğru prçlrıl bğlrk elde edilen geomerik şekle düzlemde bir gen denir. Burdki d epe noklrı k kenrlı poligon d k A i i... k noklrın poligonun köşe A i A i i... k doğru prçlrın d poligonun kenrlrı d rılrı denir. k 3 ise poligon üçgen k 4 ise poligon dörgen şeklinde isimlendirilir. Bir poligonun rdışık kenrlrı nı doğru üzerinde olmn ve herhngi iki kenrı -rdışık iken ork epeleri hriç- kesişmeen poligonlr bsi poligon denir. Şekil..4. : İki bsibşki ve ordki bir bsi olmn poligon Bundn böle poligon sözcüğünden bsi poligonu nlcğız Poligonun herhngi epe noksındki- iki kenrı rsındki - çı poligonun bir iç çısı denir ve epe noksının sembolüle göserilir. Bu çının ümleenine - ve geomerik olrk epe noksındki bir kenr ile
7 Düzlemde Poligonlr ve Özellikleri -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ diğerinin uznısı rsındki çı-poligonun bu epe noksındki dış çısı denir. Herhngi k genin iç çılrının oplmı k π. Bun göre; üçgenin iç çılrı oplmı π dörgeninki de π olur. Seçilen bir koordin siseminde ;epe noklrının koordinlrı Ai i i i... k oln bir poligonun sınırldığı bölgenin lnı eksenler rsındki çı α ve k k olmk üzere ; k ν A A... Ak i i i i sinα i şeklinde olcğı..3. prgrf kullnılrk görülebilir.
8 Düzlemde Ö eleme Ve Özellikleri -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ.Düzlemin Bzı Dönüşümleri Düzlemde her bir noksını nı koordin siseminde bir bşk nok ile eşleşirme kurlın düzlemin bir dönüşümü denir. Bir dönüşümün kurlı : f f F R R F şeklinde belirilir. Örneğin ; noksını d birim şğı öeleme dönüşümünün kurlı d F R R F : şeklindedir. Bu örneke de olduğu gibi ; koordinlrı bilinen bir nok üzerine bir dönüşümün ekisi dönüşüm rdımı ile hemen bulunbilir. Diğer rfn C kplı denklemi ile verilen bir nesnenin F dönüşümü lındki görünüsünün denklemini bulmk için bu dönüşümün G F F G özelliğinde : G R R G
9 Düzlemde Ö eleme Ve Özellikleri -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ biçimindeki ersine ihicımız vrdır. Eğer F dönüşümünün G ersini bulbiliorsk verilen nesnenin dönüşüm lındki görünüsünün kplı denklemini C G şeklinde bulbiliriz...düzlemde Öeleme ve Özellikleri Düzlemin bir { A u v} fin koordin sisemini sbi ulım. β b olmk üzere ; T : R R T b β β dönüşümüne düzlemde β b doğrulusund öeleme dönüşümü denir. Öelemelerin şğıdki özellikleri öeleme nımı kullnrk göserilebilir.. T T T β γ T T β γ γ α öelemeler bileşke işlemine göre kplı ve değişmelidir. T : R R T b β β Her öelemenin ersi de ers doğrulud bir öelemedir 3. d T P T Q d P Q u u öelemeler uzunluklrı korur 4. ν T P T Q T R ν P Q R u u u öelemeler lnlrı korur
Düzlemde Ö eleme Ve Özellikleri -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ 5. RS PQ S u T R u T Q u T P u T öelemeler çılrı korur Kplı denklemle verilen bir nesnenin verilen bir dönüşüm lındki görünüsünün kplı denklemini bulm örnek olrk ; verilen nesnei C denklemli bir çember verilen dönüşümü de verilen her nokı d birim kdr Y ekseni doğrulusund şğı öeleme lırsk ers dönüşüm de d birim kdr Y ekseni doğrulusund ukrı öeleme olur.bu dönüşüm için : d G R R G olur. Çemberin öelenmiş denklemi de d G C şeklinde bulunur.
Düzlemde Bir Nok Erfınd Dönme-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ..Düzlemde Bir Nok Erfınd Dönme ve Özellikleri Düzlemde koordin eksenleri rsındki çı α oln { A u v} fin koordin sisemini llım. α R : R R β α θ γ θ α P θ α cosθ cos α cos β cos γ cos α cosθ cos α cosθ cos β cosθ cos α cos γ R θ sin α sin α dönüşümüne düzlemde A noksı erfınd θ çısı kdr dönme dönüşümü denir. Özel olrk dik koordin siseminde A noksı erfındki dönme dönüşümü ukrıd R θ θ : R R R π α lrk cosθ sinθ sinθ cosθ şeklinde bulunur. Bu dönüşümlerin erslerine A noksı erfınd θ çısı kdr ers dönme dönüşümleri denir ve sırsıl; R α θ : R R β α θ γ θ α α cosθ cosα cosγ cosγ cosα cosθ cosα cosθ cos β cosθ cosα cos β R θ R : R R θ R θ şeklinde bulunur. sin α cosθ sinθ sinθ cosθ sin α
Düzlemde Bir Nok Erfınd Dönme-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ.3.Bir Nok Erfınd Dönme Dönüşümünün Özellikleri Dik koordin siseminde orijin erfınd dönme nımı kullnılrk; dönmenin şğıdki özellikleri göserilir.. R R R R R θ θ θ θ θ θ Dönmeler bileşke işlemine göre kplı ve değişmelidir. R R θ θ Her dönmenin ersi de ers önde bir dönmedir 3. d R P R Q d P Q θ θ Dönme dönüşümleri uzunluklrı korur 4. R P R Q R R ν P Q R θ θ θ Dönme dönüşümleri lnlrı korur 5. R P R Q R S R L θ θ θ θ R PQ R SL θ θ PQ SL Dönme dönüşümleri çılrı korur 6. R λ AP µ AS λr AP µ R AS θ θ θ Dönme dönüşümü lineerdir. 7. ~ cosθ sinθ R θ mrisine düzlemde poziif önde dönme mrisi sinθ cosθ denir.
3 Düzlemde Bir Nok Erfınd Dönme-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ ~ 8. cosθ sinθ R θ mrisine düzlemde poziif önde ers dönme sinθ cosθ mrisi denir..4. Diğer Dönme Örnekleri.4..Hiperbolik Dönme R H : R R R H µ µ şeklindeki dönüşüme Hiperbolik Dönme denir. Bu dönüşüm c hiperbolünü değişirmediğinden ve deerminnı olduğundn Ökliden dönmenin Lorenz düzlemindeki versionudur. Bu nedenle de dın hiperbolik dönme denir. Bu dönüşüm çemberleri elipslere ln korurk dönüşürür..4..prbolik Dönme : R R R P R P şeklinde nımlı dönüşüme Prbolik Dönme denir. Bu dönüşüm prbolünü değişirmediğinden prbolik dönme denmekedir..4.3.öelemeli Dönme Bir öeleme ve bir dönmenin bileşkesinden oluşn dönüşüme öelemeli dönme denir. Öelemeli dönmenin ifdesi öeleme ve dönme dönüşümlerinin ifdelerinin bileşkesinden bulunbileceğinden burd vermeeceğiz.
7 - Düzlemde Diğer Ynsım Örnekleri -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ.5.Düzlemde Ynsım.5..Düzlemde Bir Nok Göre Ynsım S M P M P Şekil.5.. Düzlemin sbi noksı M ve değişken noksı d P olsun. P M noklrındn geçen doğru üzerinde bulunn ve PM vekörüle nı doğrulud nı önde eşi uzunlukki M P vekörünün uç noksı oln P noksın P noksının M noksın göre simeriği denir ve P S M P şeklinde göserilir. S M : R R S M P M P dönüşümüne de M noksın göre nsım denir..5..düzlemde Bir Doğru Göre Ynsım P d H A S P Aα Şekil.5.. d... X Düzlemde A λ α
8 - Düzlemde Diğer Ynsım Örnekleri -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ prmerik denklemile verilen doğruu göz önüne llım. Bir P noksındn d doğrusun indirilen dikmenin ğı H olsun PH vekörüle nı önde nı doğrulud ve eşi uzunlukki H P vekörünün uç noksı oln P noksın ; P noksının d doğrusun göre simeriği denir ve P S P A α şeklinde göserilir. Bun göre ; PP PH ve P P H olur. H doğru üzerinde olduğundn F A λ α olck şekilde bir ek λ R vrdır. Burdn P P A λ α.5.. ve nım nedenile P P α P α P α dır..5.. eşiliğinin her iki nını α ile iç çrpım bi urk AP α λ α bulunur. Bölece.5.. den AP α P A P α α bulunur. S : R R A AP α α S P A P A α α α şeklinde nımlı dönüşüme d doğrusun göre nsım denir.
9 - Düzlemde Diğer Ynsım Örnekleri -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Düzlemde bir doğru göre nsım ukrıd olduğu gibi doğrunun doğrulmn vekörüne bğlı olrk hesplndığı gibi doğrunun norml vekörüne bğlı olrk d hesplnbilir. Her ikisinde de nı nsım elde edilir. Düzlemde d... X A λ α prmerik denklemile verilen doğrunun normli N olsun PH µ N ve AH AP µ N eşiliğinden AH N µ N N ve AH N PH N N N bulunur. Burdn ; AP N S P P N A N N N şeklinde nsım dönüşümü elde edilir.5.3.diğer Ynsım Örnekleri.5.3..Hiperbolik Ynsım
3 - Düzlemde Diğer Ynsım Örnekleri -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ S H : R R S H µ µ Şeklindeki dönüşüme Hiperbolik Ynsım denir. Bu dönüşüm c hiperbolünün kollrını birbirlerine dönüşürür. deerminnı olduğundn Ökliden Ynsımnın Lorenz düzlemindeki versionudur..5.3..prbolik Ynsım S : R R S P P şeklinde nımlı dönüşüme Prbolik Ynsım denir..5.3.3.öelemeli Ynsım glide-reflecion Bir L... b c doğrusun göre nsım T ku u S ve L doğrusu bounc L olmk üzere ; T S dönüşümüne Öelemeli Ynsım denir. u L k u Bu nım göre ; k birim öeleme u
3 - Düzlemde Kırpm Dönüşümü -Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ T k u u S L b b c ± d b b b bc bd b elde edilir..5.4.düzlemde Bir Doğru Göre Kırpm Dönüşümü Verilen bir doğru üzerindeki noklrı sbi bırkn ve diğer büün noklrı d doğru oln uzklıklrının belli kı ornınd doğru bounc öeleen dönüşüme Kırpm Dönüşümü denir Şekil.5.4. den ; u HQ kd P L u ve H P HQ QP H P HQ HP P P kd P L ve u u Şekil..5.4.
3 - Düzlemde Prlel ve Merkezcil İzdüşümler-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Κ P P kd P L u u Eğer L... b c ise Κ bk b b olur. b c k b c.6.düzlemde İzdüşümler.6..Bir Doğrunun Diğer Doğru Üzerine Prlel Ve Dik İzdüşümü d d p φp w Şekil..6.. Düzlemde d... b c d... b c doğrulrı ve w vekörü verilsin. d doğrusunun normli N b doğrusunun normli de N b ve d olduğu çıkır. d doğrusu üzerindeki
33 - Düzlemde Prlel ve Merkezcil İzdüşümler-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ P noksındn w vekörüne prlel çizip bu prlelin d doğrusunu kesiği nok P φ dielim Bun göre ; w P P φ λ olur. Bu eşiliğin her iki nını N ile iç çrpım bi urk; N w olmk üzere; N N w P c λ ve w w P c P P N N φ bulunur. Gerekli hesplmlrı prk w b w w c w w w c w b w b φ dönüşümüne ulşılır. Bu dönüşüme d doğrusunun d doğrusu üzerine w doğrulusundki prlel izdüşümü denir. Eğer N w ise b b c b c b b φ dönüşümüne de d doğrusunun d doğrusu üzerine dik izdüşümü denir.
34 - Düzlemde Prlel ve Merkezcil İzdüşümler-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ.6..Düzlemde Merkezcil İzdüşüm M ψ M P d Düzlemde d... b c... b c Şekil.6.. doğrulrı ve bu doğrulr üzerinde bulunmn M noksı verilsin. M noksındn geçen doğrunun d doğrusunu kesiği nok P ve d doğrusunu kesiği nok d Ψ M P olsun. Şekil.6.. den MΨ M P λmp olur. Bu eşiliğin her iki nını d doğrusunun N bi urk; MP N olmk üzere; λ c M N MP N normli ile iç çrpım
35 - Düzlemde Prlel ve Merkezcil İzdüşümler-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ ve MP N MP N M c M P M Ψ bulunur. m m M olmk üzere; Ψ m b m b m c c m m m b m b m c m b m b c P M bulunur. Bu dönüşüme d doğrusunun d doğrusu üzerine M merkezli merkezcil izdüşümü denir. d doğrusunun normli b N olmk üzere;bu dönüşüm lınd görünüsü bulunmn b b m b m b b b m bb bm b S noksın izdüşümün d üzerindeki sıfır noksı denir..6...merkezcil İzdüşümün Özel Hlleri M koordin siseminin orijini ise Ψ b c b c P O d doğrusu X ekseni ise
36 - Düzlemde Prlel ve Merkezcil İzdüşümler-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Ψ m m m P M d doğrusu Y ekseni ise Ψ m m m P M olur.
37 Düzlemde Sereogrfik İzdüşüm-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ.6.3.Düzlemde Sereogrfik İzdüşüm Ve Özellikleri d Q M X σ X Düzlemde d... b c Şekil..6.3. doğrusu ve MX r çemberi verilsin.çemberin M merkezinden d doğrusun indirilen dikmenin çemberi kesiği nok Q olsun.q noksındn geçen herhngi doğrunun çemberi ve d doğrusunu kesiği noklr sırsıl X σ X olsun. Bun göre ; Şekil..6.3. den MQ λ N r MQ λ N
38 Düzlemde Sereogrfik İzdüşüm-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ ve MQ vekörünün önü N vekörünün önü ile nı ise Q M r N dir. N ers ise ; ukrıdki Q noksının M noksın göre simeriğinden Q M r N N olur. Diğer rfn Q σ X µ QX olduğundn σ X Q µ X Q olur. σ X d üzerinde olduğundn µ ve Q N c Q N X N Q N c σ X Q X Q Q N X N bulunur. Bu dönüşüme M merkezli r rıçplı çemberin d doğrusu üzerine sereogrfik izdüşümü denir. Örnekler: M O d... ise
39 Düzlemde Sereogrfik İzdüşüm-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ r r R S : σ σ dir.... d O M ise r r R S : σ σ olur. Bu örneklerle nımlı sereogrfik izdüşümler - ören dönüşümler olduğundn ersleri vrdır ve sırsıl : X X r X X X S R σ σ : X X X X r X S R σ σ şeklindedir.
4 Düzlemde İnversion Dönüşümü-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ.7.Düzlemde İnversion C α I Cα S Şekil..7. { } { } CP CP r P r C I C R C R r C I : dönüşümüne C kuuplu r α kuvveli inversion denir..7..inversionun Bzı Özellikleri { } C R I r C I { } { } CQ CP PQ r Q r C I P r C I C R C R r C I :
4 Düzlemde İnversion Dönüşümü-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ r CP CQ I P CQ CQ CP C r CP CP burd I inversion dönüşümünün Jkobinıdır. Cr Şekil..7. den I dönüşümüne ; C merkezli r rıçplı S C r Cr çemberini değişirmediğinden C r denir. S çemberine göre inversion d 4 r I P CQ I P CR CQ CR C r C r 4 CP olduğundn inversion çılrı korur.
4 Düzlemde Benzerlik Dönüşümleri-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ.8.Benzerlik Dönüşümleri Düzlemin şekillerini korun dönüşümlerinin ümüne Benzerlik Dönüşümü denir. Düzlemin her benzerlik dönüşümü ; bir homoei ile izomerinin bileşkesinden oluşuğundn burd şğıdki homoei ve izomeri nımını vermek ugun olckır..8..homoei Dönüşümü Fookopi mkinsınd büülme küçülme pn işlev bir homoei dönüşümüdür. P H P Mλ M H H M λ M λ : R R P M λ P M şeklinde nımlı dönüşüme M merkezli λ ornlı Homoei denir..8...homoeinin Bzı Özellikleri Homoei bir merkezcil izdüşüm çeşididir. H H H M λ M µ M λµ
43 Düzlemde Benzerlik Dönüşümleri-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Orijin merkezli ornlı homoei dönüşümünün homogen koordinlrdki mrisi H Orijin merkezli ornlı homoei dönüşümü kuupsl koordinlrd : θ ρ θ ρ ρθ ρθ H R R H şeklinde nımlnır. β α β α M M M H I I dır..8..izomeri Q P Q F P F R R F : özelliğini sğln dönüşüme bir izomeri denir. İzomeriler ileride göreceğimiz merik dönüşümlerin özel hli olrk d göz önüne lınbilir.
44 Düzlemde Koordin Sisemlerinin Değişimi-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ 3.Koordin Sisemlerinin Değişimi Şekil.3. Koordin eksenlerini hreke eirme ile koordin eksenlerini sbi uup nesnei hreke eirmek denklem üzerinde nı ekii pığındn koordin sisemlerinin değişim formülleri bzı krışıklıklr ol çr. Örneğin ; okuduğumuz bir prgrfın lındki prgrfı okumk için gözümüzü şğı doğru hreke eiririz d sfı ukrı doğru kdırırız. Birincisinde koordin sisemini hreke eirmiş ikincisinde ise nesnei hreke eirmiş oluruz. Krışıklıklrı önlemek için Düzlemin Dönüşümlerini ve Koordin Sisemlerinin Değişimini birbirinden ırcğız. Bir noknın bir koordin sisemine göre koordinlrı ile nı noknın bir bşk koordin sisemine göre koordinlrı rsındki bğınılr "Koordin sisemlerinin değişimi " d " Bir koordin siseminden diğerine geçiş formülleri " denir.
45 Düzlemde Koordin Sisemlerinin Değişimi-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ XOY koordin siseminden X OY koordin sisemine geçiş formülleri F F F şeklinde olur. Bunun mcı XOY koordin siseminde verilen bir nesnenin denkleminde erine F ve erine F zılrk nı nesnenin X OY koordin sisemindeki denklemini elde emekir. Örneğin; X OY koordin sisemi X eksenini d birim uzunluk kdırrk XOY koordin siseminden elde edilmiş ise F F d olur. Bun göre ; XOY koordin siseminde denklemi oln çemberin X OY koordin sisemindeki denklemi d şeklindedir. Bu nedenle ; XOY koordin siseminde kplı denklem ile verilen bir nesnenin hemen bulunur. X OY koordin sisemindeki kplı denklemi bu oll XOY koordin siseminde P b şeklinde verilen noknın X OY koordin sisemindeki koordinlrı
46 Düzlemde Koordin Sisemlerinin Değişimi-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ b F F denklemlerinden ve çözülerek bulunur. Bu örneken de nlşılcğı gibi ; F F denklemlerinden ve bulunbiliors ni; G F F G olck şekilde bir G fonksionu bulunbiliors G G G formüllerine de Y O X koordin siseminden XOY koordin sisemine geçiş formülleri denir. 3..Dönüşümleri Kullnrk Koordin Sisemini Değişirmek Anı ipen iki koordin sisemi rsındki değişimdönüşümlerin denklemlerinden kolc elde edilebilir. Bunu çıklmk için şğıdki örneği inceleelim.
47 Düzlemde Koordin Sisemlerinin Değişimi-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Şekil.3.. Dönme ile Koordinlrın Değişimi X OY koordin siseminde X koordin sisemindeki ekseninin poziif kısmının XOY X ekseninin poziif kısmını orijin erfınd poziif önde θ çısı kdr döndürerek elde edildiğini kbul edelim Şekil.3...Eğer bir noknın XOY koordin sisemindeki koordinlrı ise X OY koordin siseminde ki koordinlrı koordinlrının ers dönme lındki görünüsü ile nıdır. Yni XOY koordin siseminden X OY koordin sisemine geçiş formülleri ukrıd gördüğümüz ers dönme dönüşümünden şğıdki şekilde elde edilir. cosθ sinθ sinθ cosθ R θ eşiliğinin sğ rfının olduğunu kbul edip burdn çekilerek geçiş formüllerinin şeklinde olduğunu görürüz. XOY ve değişirerek ni; cosθ sinθ sinθ cosθ X OY koordin sisemlerinin rollerini
48 Düzlemde Koordin Sisemlerinin Değişimi-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ XOY koordin sisemindeki X ekseninin poziif kısmının X OY koordin siseminin X ekseninin poziif kısmının orijin erfınd poziif önde θ çısı kdr döndürerek elde edildiğini kbul edip bun denk geçiş formüllerinin de olduğunu görürüz. Bu son eşiliklere cosθ sinθ sinθ cosθ koordin sisemine geçiş formülleri denir. Yukrıdkine benzer şekilde XOY ve X OY koordin siseminden XOY X OY koordin sisemlerinin bir öeleme ile birbirinden rıldığını kbul edelim. O zmn bir noknın koordinlrı rsındki bğınılr; şeklinde olur. 3..Düzlemde Eğik Koordinlrd Koordin Sisemlerinin Değişimi { O e OE e OE } { O e O E e O E } dik koordin sisemlerini llım. Bir P noksının birinci koordin sisemine göre koordinlrı ikinci koordin sisemine göre koordinlrının d olduğunu kbul edelim. O E E noklrının birinci siseme göre koordinlrı sırsıl; b olsun. b
49 Düzlemde Koordin Sisemlerinin Değişimi-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ O P OO OP E O O E P O olcğındn E O O E OO OP O O OE OO OE OO OP ve koordinlr cinsinden b b b b ve mris göserimi ile; ' b - X X X b A olmk üzere ; { } OE e OE e O koordin siseminden { } E O e O E e O koordin sisemine geçiş formülleri AX ' X X
49 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ olur. Burd ; A mrisinin orogonl olmsı için gerek ve eer şr O e OE e OE O e O E e O E koordin sisemlerinin dik { }{ } koordin sisemleri olmsıdır. 4.Düzlemde Kuupsl Koordinlr θ P ρ θ ρ θ π... n ρ θ nπ P ' ρ θ ρ θ π... ρ θ n π Şekil 4. Düzlemde sbi O noksı ve bir OX ışını llım. Düzlemin değişken bir noksı P olmk üzere OP ışınının sbi OX bşlngıç ışını ile pığı poziif önlü çı θ P olsun. ρ P OP olmk üzere eğer θ P çısının bir kenrı OP ışını ise ρ P poziifdeğilse negif olrk llım. Bölece düzlemin P noksın bir P θ P ρ reel sı ikilisi krşılık umuş oluruz. Bu şekilde P noksın krşılık uuln reel sı ikilileri ek değildir. Düzlemin her bir P noksın n ρ P θ P nπ n Z için gibi sonsuz ne reel sı ikilisi krşılık gelir. ρ P > ve dim θ P [ π lınırs O noksı hriç düzlemin diğer herhngi noksın bir ek ρ P θ P reel sı ikilisi krşılık gelir. O noksın ise θ O
5 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ gibi sonsuz sıd reel sı ikilisi krşılık gelir. P > olmk üzere ; { ρθ} ρ ve θ P [ π O üçlüsüne düzlemin bir kuupsl koordin sisemi O noksın kuup noksı P θ P P noksının { ρθ} ρ reel sı ikilisine de O koordin sisemine göre kuupsl koordinlrı denir. 4..Kuupsl Koordinlrd İki Nok Arsındki Uzklık ρ θ θ ρ Şekil 4.. Kuupsl koordinlrı ρ θ Q ρ θ P oln iki nok rsındki uzklıkopq üçgenine cosinüs eoremi ugulnrk; θ d P Q ρ ρ ρρ cos θ bulunur. 4..Kuupsl Koordinlrdn Krezen Koordinlr Geçiş Formülleri Bir kuupsl koordin siseminde kuup noksınd kuup eksenine dik bir Y ekseni lrk krezen koordin sisemi oluşurulurs kuupsl
5 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ koordinlrı ρ θ oln bir P noksının bu şekilde seçilen krezen koordin sisemine göre koordinlrı ρ cos θ ρ sinθ ve ρ cosθ ρ sinθ bulunur. 4.3.Krezen Koordinlrdn Kuupsl Koordinlr Geçiş Formülleri Krezen koordin siseminin orijinini kuup noksı X eksenini de kuup ekseni olrk lıp kuupsl koordin sisemini oluşurlım. Krezen koordinlrı oln P noksının kuupsl koordinlrı rcn olur. Krezen koordinlrdn kuupsl koordinlr geçiş formülleri de ρ θ rcn olur. 4.4.Kuupsl Koordinlrl Eğriler 4.4..Kuupsl Koordinlrl Verilen Bir Eğrinin doğrulusu
5 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ θ ρ f θ Şekil.4.4. ρ f θ denklemile verilen bir eğrii göz önüne llım. Eğrinin değişken bir P noksındki eğe doğrusunu çizelim ve bu eğe üzerindeki poziif önü θ nın rığı ön olrk llım. Bu bir n ve bir de çısı nımlr. nn eğrinin P noksındki doğrulusunu nımlr. nn değeri birz krezen koordinlrdki eğime benzerdir. Şekil.4.4. den θ n n θ n n θ n n n.n θ P noksının krezen koordinlrı ise d n d n θ 4.4... d d d d n n d d d. d
53 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ ρ cos θ ρ sinθ eşiliklerinden d cosθ. dρ ρ sinθ. dθ d sinθ. dρ ρ cosθ. dθ bulunur. Bunlrı 4.4.. eşiliğinde erine zrk; n n n n ρ. dθ ρ ρ. dρ dρ dθ ρ. ρ bulunur. Bölece eğrinin her bir P noksındki doğrulusu ρ nn 4.4.. ρ olur 4.4.. Eşçılı İzogonl Eğriler Eğrinin her bir noksınd n doğrulusu sbi olck şekildeki eğrilere izogonl eşçılı eğriler denir. Bun göre ; 4.4.. eşiliğinden ρ co n ln ρ k ρ olduğunu kbul edelim.. k ise lnρ sbi ve burdn ρ sbi olcğındn; ln ρ denklemli eğriler merkezleri kuup noksınd oln çemberler olur.
54 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ. k ise ln ρ k d ln ρ k dθ ln ρ k θ sbi ln ρ kθ ln m ρ me kθ Eğer sbi lnm lırsk bulunur. Bu eğriler de ileride.6 bölümde inceleeceğimiz logrimik Bernoulli spirlleridir. Şekil.4.4...Logrimik Spirl 4.4.3.Kuup Eksenine Prlel Teğe Doğrulrı Şekil.4.4. den eğe doğrusunun kuupsl eksene prlel olmsı θ n kπ olmsını ve
55 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ n θ n n ρ n θ ρ olmsını gerekirir. Bölece bu rigonomerik denklemin her θ çözümü eğe doğrusu kuup eksenine prlel oln ρ θ noksını verir. 4.4.4.Kuup -Eksenine Dik Teğe Doğrulrı Şekil.4.4. den n eğe doğrusunun kuupsl eksene dik olmsı π θ n kπ olmsını ve n θ co n n θ ρ ρ olmsını gerekirir. Bölece bu rigonomerik denkleminin her θ çözümü eğe doğrusu kuup eksenine dik oln ρ θ noksını verir. 4.5.Kuupsl Denklemli Eğri Örnekleri Aşğıd dresini vereceğimiz bir inerne siesinde kuupsl denklemli meşhur eğrilerin grfiklerini özelliklerinirihini bulbilirsiniz. hp://www-hisor.mcs.s-ndrews.c.uk/hisor/curves/curves.hml 4.5..Kuupsl Koordinlrd Doğru Denklemi
56 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Kuup noksındn geçen doğrunun denklemi θ Şekil.4.5.. Şekil.4.5.. den de görüleceği gibi ;kuup noksındn geçen d doğrusu üzerindeki noklr için kuupsl çı sbi olduğundnbu doğrunun denklemi θ sbi şeklinde olur. Örnek : θ kuupsl eksendir π θ kuup noksındn geçen ve kuupsl eksene dik oln doğrunun kuupsl denklemidir. b Kuup noksındn geçmeen doğrunun denklemi
57 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ ρθ Nρ θ Şekil.4.5.. Verilen bir d doğrusun dik oln ve kuup noksındn geçen doğrunun d doğrusu ile rkesi noksı N ρ θ olsun. d doğrusu üzerinde bulunn değişken bir P ρ θ noksı için PN ON ve ρ ρρ cos θ θ olur. ρ θ değerleri sıfırdn frklı olduğundn; ρ ρ cos θ θ doğrunun kuupsl denklemi olur. 4.5..Kuupsl koordinlrd Çember Denklemi Merkezi kuup noksınd ve rıçpı R oln çemberin kuupsl denklemi
58 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ ρ θ ρ Şekil.4.5.. Bu hlde ; çember üzerindeki noklrın kuupsl uzunluğu sbi olcğındn çemberin denklemi de ρ sbi şeklinde olcğı Şekil.4.5.. den görülebilir. b Merkezi kuup noksınd olmn çemberin denklemi C P ρ ρ θ - θ Şekil.4.5.. Şekil.4.5.. den ; merkezi C ρ θ ve rıçpı R oln çemberin denklemi P ρ θ çember üzerindeki değişken nok olmk üzere; CP R
59 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ eşiliğinden OP OP OP OC OC OC R olur. Burdn; ρ ρρ cos θ θ ρ R bulunur. c Kuup Noksındn Geçen Çemberin Kuupsl Denklemi Merkezi R ve rıçpı R oln çemberin kuupsl denklemi ukrıdki formülden ρ R θ lrk ρ R cosθ bulunur. 4.6.Kuupsl Koordinlrd İç Çrpım Düzlemin ρ θ ρ θ koordinlı noklrının er vekörleri u v olmk üzere;bu iki vekörün iç çrpımı u v ρρ cos θ θ şeklinde nımlnır. 4.7.Kuupsl Koordinlrd Doğrudşlık Kuupsl koordinlrd üç nok ρ θ ρ θ ρ olsun Bu noklrı doğrudş ise θ ρ ρ sin θ θ ρ ρ sin θ θ ρ ρ sin θ θ olur. 4.8.Kuupsl Koordinlrd Bir Poligonun Alnı
6 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ ρ θ Eğer epe noklrının kuupsl koordinlrı A i k ise poligonun lnı ρ k ρ θ k θ olmk üzere; ν k A k i i sin i i A A... ρ ρ θ θ şeklinde bulunur. i i i i... 4.9.Kuupsl Koordinlrd Kuup Noksını Değişirme Ve Öeleme θ θ ρ θ θ ρ θ ρ θ ρ O θ Şekil.4.9. { ρθ} O kuupsl koordin sisemini llım. Eğer bu kuupsl koordin siseminin kuup ekseninin doğrulusunu ve önünü
6 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ sbi uupo kuup noksını { ρ θ } O ρ θ noksın şımk isersek; eni O kuupsl koordin sisemini elde ederiz. Bu eni koordin ise sisemine göre bir P noksının kuupsl koordinlrı ρ θ ρ ρ ρ ρρ.cos θ θ ρ.sin θ ρ.sin θ θ rcn ρ.cos θ ρ.cos θ bulunur. Bu bğınılr { ρ θ } koordin sisemine geçiş bğınılrı denir. Gerçeken Şekil.4.9. deki O koordin siseminden{ O ρθ} OO'T den OT ρ cosθ QR O' T ρ sinθ OPR OR den ρ. cosθ PR ρ. sinθ ve bu eşiliklerden de TR OR OT ρ.cosθ ρ.cosθ PQ PR QR ρ.sinθ ρ.sinθ olur. PO'Q den de
6 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ nθ PQ O Q ρ.sinθ ρ.sinθ ρ.cosθ ρ.cosθ bulunur. Kosinüs eoreminden ρ ρ ρ ρρ.cos θ θ olcğı d çıkır. Benzer şekilde ; { ρθ} { ρ θ } O koordin sisemine geçiş bğınılrı d ρ ρ ρ ρ ρ.cos θ θ ρ.sin θ ρ.sin θ θ rcn ρ.cos θ ρ.cos θ olrk bulunur. O koordin siseminden 4..Kuupsl Koordinlrd Ynsım 4...Kuupsl Koordinlrd Bir Doğru Göre Ynsım Bir d doğrusun göre nsımnın kuupsl koordinlrdki ifdesini bullım. d doğrusunun denklemi cos θ θ cosθ sinθ.cosθ ρ ρ ρ ρ.sinθ şeklinde ise kuup noksını N ρ θ noksın öelersek ni; ρ ρ ρ ρ ρ.cos θ θ ρ.sin θ ρ.sin θ θ rcn ρ.cos θ ρ.cos θ
63 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ lırsk { ρ θ } O kuupsl koordin siseminde doğrunun denklemi θ θ olur. O hlde kuup noksındn geçmeen bir doğruu kuup noksındn geçecek şekilde eni kuupsl koordinlr seçebiliriz. Bu nedenle ;sdece kuup noksındn geçen doğru göre nsımnın kuupsl koordinlrdki ifdesini bulmk eerlidir. 4...Kuup Noksındn Geçen Doğru Göre Ynsım ρ θ θ θ θ P ρ θ θ θ θ θ θ θ Şekil.4...
64 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Şekil.4... den S θ dır. θ Kuup noksındn geçen doğru θ θ olsun. O zmn θ θ 4..Kuupsl Koordinlrd Kuup Noksı Erfınd Dönme P' ρθ α P ρθ α θ θ α Şekil.4..
65 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Dönme dönüşümleri lınd uzunluklr değişmediğinden α çısı kdr kuup noksı erfınd dönme dönüşümü; R α ρ θ ρ θ α şeklinde nımlı olur. 5.Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş 5..Homogen Koordinlrın Kullnım Modelleri Doğrulrı noklrı rkesileri ve eğrilerin denklemleri ile ilgili büün formülleri elde emek için sou görüşleri ele lmlıız. Çeşili mnıklr çısındn homogen koordinlr fdlı olupbunlrın en önemlilerinden birisi bu koordinlrın düzlemin büün simerilerinin bir ek şemsie lınd birleşirilmesine müsde emesidir. Homogen koordinlr dik koordinlrın kullnıldığı Öklid geomerisinin dışınd bşk geomerilerin kurulmsınd d kullnılır. Öklid geomerisinin kurulmsınd dik izdüşümün kullnıldığını bilioruz. Leonrdo De Vinci nin "Bir nesnenin nsıl göründüğü değil gözlemcinin onu nsıl gördüğünü göz önüne lmk gerekir" düşüncesinden or çıkmış oln ve merkezcil izdüşüm kullnılrk kuruln projekif geomeri de bu koordin sisemi kullnıldığındn homogen koordinlr bzen projekif koordinlr d denir. Örneğin ; bir gözlemci düz bir lnd prlel olrk gerilmiş uzun demir olunun rlrının ufuk bir erde birleşeceğini görür. Bu nedenle de her hreke ve düşüncesini bun göre rlr. De Vinci bu düşüncei üç boulu bir mnzrı iki boulu görünü olrk nsıl plnlrız düşüncesine urldı. Göz reinmızın eğrildiğini lensimizin ışığı
66 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ engellediğini bein işlemcimizin ne gördüğümüze büük eki eiğini hesb kmzsk bu model lnızc bir klşımdn ibre ols d hem resim hem memiksel olrk ilginçir. Projekif geomerinin kurulmsınd kullnıln ve dh önce verdiğimiz merkezcil izdüşümün üç değişik hli vrdır : Bunlrdn birincisi ; film projekörü ile pıln izdüşüm modelidir. Bu modeli ;nım düzlemindeki her bir knk nokı nım düzleminden görünü düzlemindeki nok imek şeklinde lgılbiliriz. İkinci model ise bir ressmın gördüğü mnzrı önündeki beze çekme modeli olupbirincisinde knk gözlemci ile görünü rsınd olmsın rğmen bu modelde görünü knk ile gözlemci rsınddır. Üçüncü modelde de gözlemci knk ile görünü rsınddır. Bu izdüşümlerin geomerik ekilerinden bzılrını nımlmk için;gözlemcinin koordin siseminin orijinine konulduğunu ve üsünün de cm rı-küre ile kpıldığını düşünelim. Gözlemcinin cm küreden bkığı doğruludki her nesne - gözlemcile cm küre rsındki noklr d dhil olmk üzere-gözlemcie cm küre üzerinde ek bir nok olrk gözükür. Gözlemcinin görüş doğrulusu v v vekörüne prlel oln ve orijinden geçen λ. v λ λ R { } ise projekif düzlemdeki v noksını doğrusu olrk nımlrız. Eğer gözlemci şğı bkrs bkığı doğrulu gözlemcinin rksındki diğer bir projekif nokı verecekir. Yni gözlemci kubbenin lındn iibren görüş doğrusunu seçerse ;ekvor
67 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ gelincee kdr projekif nok bu görüş doğrulusul ers önde ekvoru geçince nı önde olur. Projekif düzlem için bşk model de merkezi orijinde oln küre modelidir. Orijinden geçen doğrulr kürei iki frklı nokd keser ki bu noklr kürenin zınipol noklrı denir. O hlde ; orijinden geçen bir doğru ile projekif düzlemdeki bir nokı belirlersek bu iki nok ile de belirleebiliriz. Projekif noknın iki zınipol nok ile belirilmesinin sonucu olrk; iki zınipol nok çifi ldığımızd bu noklrdn geçen bir ek büük çember vrdır. Bu büük çember zınipol nok çifinin beliriği düzlem ile kürenin rkesi eğrisi olrk göz önüne lınbileceğinden bu zınipol noklrdn geçen düzlem verildiğinde çember bellidir. Bu nedenle;bu iki projekif nokdn geçen projekif doğru olrk bu düzlemi ve projekif doğrunun denklemi olrk bu düzlemin denklemini lbiliriz. Bu düzlemler orijinden geçiklerinden denklemleri sdece norml vekörlerine bğlıdır. Yni bu düzlemleri norml vekörlerile emsil edebiliriz. Örneğin ; z düzlemini { λ λ λ } [ ] d R şeklinde projekif doğru olrk lbiliriz. Bölece genel olrk bir projekif doğru b c 3 { } N R
68 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ olmk üzere { λ N λ b c λ R} [ b c] d λ şeklinde belirilir. Bir projekif v noksının verilen bir d projekif doğrusu üzerinde olmsı için gerek ve eer şr v N olmsıdır. Yukrıdki önermeden de görüleceği gibi projekif nliik geomerinin Ökliden nliik geomeriden bir ek frkı herhngi bir noknın denkleminin vr olmsıdır. Ökliden geomeride düzlemdeki herhngi iki doğru prlel d kesişir. Küre üzerindeki iki büük çember bir ek zınipol nok çifinde kesişeceğinden projekif iki doğru mulk bir projekif nokd kesişir. Bu nedenle projekif geomeri Ökliden geomeriden dh bsi ve düzgün geomeridir. 3 Ökliden ve projekif geomerilerden birbirine geçiş için R de projekif düzlemin küre modelini birim küre olrkökliden düzlemi de z düzlemi olrk llım. Bu seçim bize projekif noklrı Ökliden noklr indirgeme kollığı sğlr. Çünkü;düzlem üzerindeki büün noklr küre üzerindeki zınipol noklrın orijin merkezli merkezcil izdüşümüdür. Kürenin ekvoru üzerindeki zınipol noklr düzlem üzerindeki bir nok iz düşürülemezler. Bu noklr sonsuz iz düşürülürler. Bu nedenle;projekif düzlemin Ökliden düzleme bzı noklr ilve ederek oluşurulcğını düşünüp Ökliden düzlemin projekif düzleme gömüldüğünü söleebiliriz. Kürenin ekvoru üzerindeki zınipol nok çiflerine projekif düzlemin idel noklrı d
69 Düzlemde Homogen Koordinlr Giriş-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ sonsuzdki noklrı denir. Ekvorun belirlediği büük çembere de projekif düzlemin idel ve sonsuzdki doğrusu denir. Kürenin ekvoru üzerindeki zınipol nok çifinde kesişen büük çemberlerin düzlem üzerindeki izdüşümleri prlel olmn Ökliden doğrulrdır.
7 Projekif Noklr-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ 5..Bir Noknın Homogen Koordinlrı 3 R de bğınısını λ. λ 3 3 3 3 şeklinde nımllım. Bu bğınının bir denklik bğınısı olduğu çıkır. bğınısını her bir denklik sınıfı d { } [ ] λ. 3 3 3 3 λ şeklinde olckır. 3 olck şekildeki [ ] denklik sınıfın ;düzlemin koordinlı noksı krşılık gelir. Bu özellikeki 3 3 noklr düzlemin sonlu noklrı denir. Tersine düzlemin her sınıfı krşılık gelir. bğınısının 3 koordinlı noksın bir [ ] olck şekilde ni [ ] 3 denklik şeklinde de denklik sınıflrı vrdır. Şimdi bu özellikeki denklik sınıflrını irdeleelim. 5...Düzlemin Sonsuzdki Noklrı Düzlemin P noksındn geçen ve doğrulmn vekörü v b oln doğrusu d olsun. O zmn " P noksındn frklı bir P noksının d doğrusu üzerinde olmsı için gerek ve eer şr r r. b olck şekilde bir r. reel sısının vrolmsıdır." ifdesini söleebiliriz. r olmk üzere bu özellikeki P noksının homogen koordinlrı [ r r. ]. b
7 Projekif Noklr-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ ve b r r r denklik sınıfının krşılık geleceğini bilioruz. Eğer r reel sısı sonsuz büürse P noksı d doğrusu bounc nımsız hle dönüşür ve [ b] denklik sınıfın klşır. Fk [ b] denklik sınıfı düzlemin sonlu noksının homogen koordinlrı değildir. O hlde bu bğınının denklik sınıflrı ile düzlemin sonlu noklrı bire-bir eşlenemez. Bu eşlemei pbilmek için düzleme dın sonsuz nok dieceğimiz ilve bir nok eklememiz gerekir. [ b] denklik sınıfın krşılık gelen bu nok düzlemin d doğrusu üzerindeki sonsuzdki idel noksı denir. [ b] denklik sınıfı P noksındn bğımsız olduğundn bu denklik sınıfın krşılık gelen nok düzlemin v b doğrululu sonsuzdkiidel noksı d denir. Burdn;büün prlel doğrulrın nı idel nok ship olduğunu görürüz. Tersine nı idel nok ship oln doğrulr prleldirler. Diğer bir deişle büün prlel doğrulr nı bir idel nokd kesişirler. Örnekler Doğrulmn vekörü b oln doğrunun sonsuzdki noksının homogen koordinlrı [ b ] Bun göre X ekseni üzerindeki sonsuzdki noknın homogen koordinlrı [ ] dır. dır.
73 Projekif Noklr-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Y ekseni üzerindeki sonsuzdki noknın homogen koordinlrı [ ] dır. Eğimi m oln herhngi bir doğru üzerindeki sonsuzdki noknın homogen koordinlrı [ ] m olur. P Q noklrındn geçen doğrunun sonsuzdki noksının homogen koordinlrı [ ] olur. b c denklemli doğrunun sonsuzdki noksının homogen koordinlrı [ ] b bulunur. 6.Afin ve Projekif Düzlem 6..Projekif Noklr Büün sonlu noklrın kümesine fin düzlem sonlu ve sonsuzdki büün noklrın oluşurduğu kümee mmlnmış fin düzlem denir. Bir noknın sonlu d sonsuz olmsıl ilgilenmiorsk ; bu noklrın oluşurduğu kümee projekif düzlem ve bu düzlemin herhngi noksın d projekif nok denir. Yni projekif nok sonlu d sonsuz nok olbilir. 6..Bölme Ornı -Bir Doğru Üzerinde Diğer Bir Prmere P P bir d doğrusu üzerinde iki nok ve P de P den frklı bir nok olsun. P noksı d doğrusu üzerindedir PP k PP olck şekilde bir k sısı vrdır.
74 Projekif Noklr-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Burdki k sısın P P nok çifine göre P noksının bölme ornı denir ve k P P P PP k PP şeklinde göserilir. Arıc P P P olduğunu d belirelim. Doğru üzerindeki P noksının bölme ornının sonsuz olduğunu kbul edeceğiz.
75 Düzlemde Sonlu Ve Sonsuzdki Doğru-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ 6...Bölme Ornı ve Krezen Koordinlr P P bir d doğrusu üzerinde iki nok ve P de P den frklı bir nok olsun. P P P P k özellikli d doğrusu üzerindedir PP k PP OP OP k OP OP kop OP k k k P k k OP Burdn doğrunun P değişken noksının homogen koordinlrı k k ve k k [ k k k ] olur. k değişiğinde P noksı d d doğrusunu oluşurur. 6...Bir Doğrunun Sonsuzdki Noksının Bölme Ornı 6...kesimden doğrunun P değişken noksının homogen koordinlrı P P P k olmk üzere ; [ k k k ] olduğunu bilioruz. k için [ ] ve [ ]
76 Düzlemde Sonlu Ve Sonsuzdki Doğru-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ d doğrusunun sonsuzdki noksı olduğundn k değerine d doğrusunun sonsuzdki noksının bölme ornı denir. 6.3.Düzlemde Bir Doğrunun Homogen Denklemi Düzlemde dik koordinlrdki denklemi u. v. w oln bir d doğrusunu göz önüne llım. P noksı d doğrusunun sonlu noksıdır homogen koordinlrd [ X Y Z ] P Z dik koordinlrd X Y P Z Z P d doğrusunun sonsuzdki noksıdır homogen koordinlrd [ X Y Z ] P Z V vekörü u v doğrusunun Bu iki hlden herhngi P noksı için ; doğrulmn vekörüdür. ux vy wz. Z
77 Düzlemde Sonlu Ve Sonsuzdki Doğru-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ P d doğrusu üzerindedir. ux vy wz. O hlde d doğrusunun homogen denkleminin ux vy wz olduğunu söleebiliriz. Bu denklemin sıfırdn frklı her reel sı ile çrpımı d bu doğrunun denklemidir. 6.3..Sonlu Doğru ve Sonsuzdki Doğru [ X Y Z ] P noksı sonsuzdki nokdır Z. X. Y. Z Herhngi sonsuzdki P noksı Z denklemli eğrie iir. Bu denklemin ux vy wz şekline ship olmsı nedenile Z sonsuzdki doğrunun denklemidir. Diğer büün doğrulr sonlu doğrulrdır. Eğer doğrulrın sonlu olup olmdığını ır emezsek büün doğrulr projekif doğrulr diebiliriz. Projekif doğru dediğimizde doğrunun sonlu ve sonsuz olmsı rsınd bir frk gözemeeceğiz. 6.4.Doğrusl Koordinlr Düzlemde d... ux vy wz d... u X v Y w Z gibi herhngi iki doğru için u v w λ u v w d d şeklinde nımlı bğını denklik bğınısıdır. Bu bğınının her bir denklik sınıfı d [ u v w] { d d d} şeklinde nımlıdır.
78 Düzlemde Doğrusl Koordinlr-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ ux vy wz denklemli her bir doğru bir ek [ u v w] kümesi krşılık gelir. Bu kümenin her bir elemnın d doğrusunun doğrusl koordinlrı denir. Bölece herhngi u. v. w doğrusunun homogen koordinlrı { } [ u v w] u v w u v w λ u v w λ olur. Örnek: 5 3 4 doğrusunun homogen koordinlrı [ 53 4] olur. 6.4..Doğrulr ve Noklr Arsınd Dulie Bir doğrunun denkleminin ux vy wz olmsı için gerek ve eer şr P [ X Y Z ] noksının [ u v w] ux vy wz Bir noknın denkleminin doğrusu üzerinde olmsıdır. olmsı için gerek ve eer şr [ u v w] doğrusunun P [ X Y Z ] noksını kpsmsıdır. Bu benzerliğe noklr ve doğrulr rsındki dulie denir.
79 Projekif Düzlemde Formüller Ve Özellikler-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ 6.5.Projekif Düzlemde Formüller Ve Özellikler Bu kesimde çeşili özellikleri kullnrk doğrulrın rkesi noklrı ve doğrulrın homogen denklemleri için özel formüller elde edeceğiz. Projekif düzlemde çlışığımızdn noklr sonlu d sonsuz d olbilirler. Bunlr rsınd bir rım pmcğız. Bu nedenle de bu bölümde büün noklrı projekif noklr olrk lcğız. 6.5..Projekif Düzlemde Üç Projekif Noknın Doğrudşlığı [ X Y Z ] P [ X Y Z ] P [ X Y Z ] P 3 3 3 projekif noklr olsun. [ X Y Z ] P [ X Y Z ] P [ X Y Z ] P 3 3 3 noklrı nı doğru üzerindedir [ X Y Z ] P [ X Y Z ] P [ X Y Z ] P noklrı 3 3 3 ux vy wz doğrusu üzerinde olck şekilde hepsi birden sıfır olmn u v w reel sılrı vrdır. 3 3 3 u v wz u v wz u3 v3 wz3 olck şekilde hepsi birden sıfır olmn u v w reel sılrı vrdır
8 Projekif Düzlemde Formüller Ve Özellikler-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ 3 3 3 wz v u wz v u wz v u Homogen denklem siseminin dn frklı çözümü vrdır 3 3 3 z z z Bu üç noknın nı doğru üzerinde bulunmsı doğrudşlıkiçin gerekli ve eerli şrır. 6.5..Projekif Düzlemde Üç Projekif Doğrunun Nokdşlığı [ ] [ ] [ ] 3 3 3 3 w v u d w v u d w v u d nokdş üç projekif doğru olsun. Yni; bu doğrulrın sonlu d sonsuz olmsı önemli olmsın. [ ] [ ] [ ] 3 3 3 3 w v u d w v u d w v u d doğrulrı ork nok shipir Bu üç doğru üzerinde bulunn bir [ ] Z Y X P noksı vrdır. 3 3 3 z w v u z w v u w z v u
8 Projekif Düzlemde Formüller Ve Özellikler-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ olck şekilde hepsi birden sıfır olmn X Y Z reel sı üçlüsü vrdır. u X v Y w Z u X v Y w 3 3 3 Z u X v Y w Z homogen denklem sisemi dn frklı bir çözüme shipir. u u v w u v w 3 v 3 w 3 6.5.3.Projekif Düzlemde İki Projekif Noksı Verilen Projekif Doğrunun Denklemi X X [ X Y Z ] P [ X Y Z ] P gibi sonlu d sonsuz iki nokdn geçen doğrunun denklemi X Y Z Y Z Y ile bellidir. Z 6.5.4.Projekif Düzlemde Bir Projekif Doğrunun Değişken Noksı [ X Y Z ] P [ X Y Z ] P gibi sonlu d sonsuz iki nokdn geçen doğru d olsun.
8 Projekif Düzlemde Formüller Ve Özellikler-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ [ X Y Z ] P noksı d doğrusu üzerinde X Y Z X Y Z olmsıdır. P P iki frklı nok olduğundn bunlrdn biri diğeri cinsinden zılmzlr X X X Y Y Y Z Z Z olduğundn bu deerminnın üçüncü sırı diğer iki sırın lineer birleşimidir. O hlde X Y Z k X Y Z l X Y olck şekilde Z ikisi nı nd sıfır olmn değişken noksının koordinlrı [ k l k l kz ] P lz bulunur. Burdki denir. X k l sılrı vrdır. Bu nedenle P X Y Z Y Z [ ] k l sılrın d doğrusunun homogen prmereleri k için P P.Eğer P P ise değişken noksının homogen koordinlrı l h lrk k [ h h z ] P hz k olcğındn P [ X Y Z ] l l l z k k k z
83 Projekif Düzlemde Formüller Ve Özellikler-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ şeklinde buluruz. Burdki h prmeresine homogen olmn prmere denir. Bölece iki noksı verilen bir doğrunun homogen prmerelere ve homogen olmn prmeree bğlı denklemlerinin verileceğini görmüş olduk. 6.5.5.Projekif Düzlemde İki Frklı Doğru ile Tnımlnn Değişken Doğru d u v w d u v w d u v w [ ] [ ] [ ] projekif doğrulr olsun. d d d doğrulrı nokdşır u v w u v w u v w olmsıdır. d olduğundn u v üçlüsü u v cinsinden zılmz. Bu d nedenle; u u u v v v w w w w w eşiliğinin sğ nındki deerminnın üçüncü sırı ilk iki sırın lineer birleşimi olmlıdır. Bun göre; u v w k u v w l u v w olck şekilde ikisi nı nd sıfır olmn k l sılrı vrdır. Bölece d d doğrulrının rkesi noksındn geçen değişken doğrunun homogen koordinlrı [ u v w] [ ku lu kv lv kw lw ]
84 Projekif Düzlemde Formüller Ve Özellikler-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ olur. Burdki k l sılrın değişken doğrunun homogen prmereleri denir. Değişken doğrunun homogen denklemi de ku lu X kv lv Y kw lw Z ve k u X vy wz l u X vy wz olur. Eğer d doğrusunun homogen denklemini A ve d doğrusunun homogen denklemini de B olrk lırsk d doğrusunun homogen denklemi de; ka lb olur. ka lb denkleminde eğer k ise d d.eğer d d l ise k ve k bölerek A B ve k l h lrk A hb k denklemini elde ederiz. Bu denkleme d değişken doğrusunun homogen olmn denklemi denir. h d d nin homogen olmn prmeresi denir. Örnek: d doğrusunun homogen denklemi X Y Z d doğrusunun homogen denklemi de d X Y 3Z ise
85 Projekif Düzlemde Formüller Ve Özellikler-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ d den frklı d d doğrulrının rkesi noksındn geçen değişken d doğrusunun homogen prmerelere bğlı denklemi 3 Z Y X l Z Y X k ve homogen olmn prmeree bğlı denklemi de 3 Z Y X h Z Y X olur. 6.5.6.İki Frklı Doğru ile Belirlenen Arkesi Noksı...... Z w Y v X u d w Z Y v X u d projekif doğrulr olsun. Bu doğrulrın rkesi noklrının homogen koordinlrı Z w Y v X u w Z Y v X u homogen denklem siseminin bir çözümüdür. d d olduğundn w v u üçlüsü w v u cinsinden zılmz. Bu nedenle; Z w Y v X u w Z Y v X u denklem siseminin ksılr mrisinin rnkı iki olduğundn çözümü ek prmeree bğlıdır. Bun göre ;
86 Projekif Düzlemde Formüller Ve Özellikler-Düzlem Anliik Geomeri-Bki Krlığ Z w Y v X u Z w Y v X u. lmk genelliği bozmz. Bu denklem sisemini Crmer kurlın göre çözersek ;.. v u v u Z w u w Z u Y v u v u v Z w v w Z X ve Z v u v u w u w u Y Z v u v u v w v w X.. olur. Z nin her seçilişi için bir çözüm elde edileceğinden v u v u Z için de bir çözüm elde ederiz. O zmn bu iki doğrunun rkesi noksının homogen koordinlrı w u w u Y w v w v X v u v u Z ve