ÜNİTE 1 8.1.1 Çarpanlar ve Katlar Anla-Uygula 1 A B ++ :8. SINIF C D UYGULAMA BÖLÜMÜ 8.1.1.2 İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) hesaplar; ilgili problemleri çözer. İkinci Yol: Asal bölen listesi yardımıyla da sayıların EBOB u bulunabilir. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB) : İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne denir. A ve B sayılarının EBOB u, Ebob(A,B) şeklinde gösterilir. İki veya daha fazla doğal sayının EBOB unu bulmak için iki farklı yol vardır. Birinci Yol: Sayıların bölenleri karşılarına yazılır. Daha sonra karşılaştırma yapılıp ortak olanlar belirlenir ve büyük olan, bu sayıların EBOB udur. 24 ün pozitif tam bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 36 nın pozitif tam bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Ebob(24,36) = 12 Aynı anda sayıları tam bölebilen sayılar işaretlenir. Burada 15 sayısının aynı şekilde alta yazılmasının sebebi 15 in 2 ye tam bölünememesinden kaynaklanıyor. 60 80 2 30 40 2 15 20 2 15 10 2 15 5 3 5 5 5 32 nin pozitif tam bölenleri 1, 2, 4, 8, 16, 32 40 ın pozitif tam bölenleri 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 48 in pozitif tam bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 Ebob(32, 40, 48) = 8 Şimdi siz de aynı şekilde verilen sayıların EBOB unu bulunuz. Aynı anda sayıları tam bölebilen bölenler çarpılarak sayıların EBOB u bulunur. Buna göre; Ebob(60, 80) = 2. 2. 5 = 20 Asal bölen listesine göre sayıların EBOB unu bulurken sayıları tam bölen en küçük asal sayıdan başlayarak bütün sayılar 1 olana kadar devam etmeliyiz. Bir başka deyişle önce 2 ile bölünebilen sayılar bitene kadar sonra aynı şekilde 3, 5, 7, 11,... gibi sayılar 1 olana kadar işlemi sürdürmeliyiz. 24 ün pozitif bölenleri 30 un pozitif bölenleri Şimdi siz de aynı şekilde aşağıdaki sayıların EBOB unu bulunuz. Ebob(24, 30) = 40 56 42 nin pozitif bölenleri 56 nın pozitif bölenleri Ebob(42, 56) = Ebob(40, 56) = 25 in pozitif bölenleri 35 in pozitif bölenleri 50 nin pozitif bölenleri Ebob(25, 35, 50) = 18
60 90 81 27 36 48 70 98 Ebob(60, 90) = Ebob(81, 27) = Ebob(36, 48) = Ebob(70, 98) = 75 100 120 200 95 85 135 180 Ebob(75, 100) = Ebob(120, 200) = Ebob(95, 85) = Ebob(135, 180) = 160 300 600 1000 540 324 150 500 Ebob(160, 300) = Ebob(600, 1000) = Ebob(540, 324) = Ebob(150, 500) = 19
45 90 120 100 150 300 Ebob(45, 90, 120) = Ebob(100, 150, 300) = 54 27 90 20 48 72 Ebob(54, 27, 90) = Ebob(20, 48, 72) = 125 75 200 320 400 560 Ebob(125, 75, 200) = Ebob(320, 400, 560) = 20
Aşağıda asal bölen listesi yöntemiyle sayıların EBOB u bulunmak istenmiştir. Verilmeyen harflerin yerine gelmesi gereken sayıları yanlarına yazınız ve sayıların EBOB unu bulunuz. 12 16 2 A B 2 C D 2 3 2 2 A 45 C 2 15 D 25 3 5 15 25 3 5 B 25 5 5 5 1 3 1 3 Ebob(12, 16) = Ebob(A, 45, C) = 24 A 2 12 50 2 B 25 2 3 C 3 1 25 5 1 D 5 375 225 175 B 125 D 175 3 A 25 175 5 25 5 35 C 5 1 7 5 7 7 1 Ebob(24, A) = Ebob(375, 225, 175) = 150 A 2 75 90 2 75 B 3 C 15 3 25 D 5 5 1 5 Ebob(150, 180) = 32 80 100 2 A 40 50 2 8 20 25 B 4 10 25 2 2 C 25 2 1 5 25 5 D 5 1 Ebob(32, 80, 100) = 21
Anla-Uygula EBOB ile ilgili çıkabilecek soru tarzları aşağıda örnekler üzerinde gösterilmiştir. Siz de aynı şekilde çözülmeyen soruları cevaplayınız. Örnek 1 27 kg ve 42 kg ağırlığındaki iki patates çuvalı eşit miktarlardaki poşetlere hiç artmayacak bir şekilde konulmak isteniyor. Buna göre a) Bir torbanın ağırlığı kaç farklı şekilde olabilir? b) Bir torbanın ağırlığı en fazla kaç kg olabilir? c) Her iki çuval da birbirine karıştırılmadan en az kaç tane torba oluşturulabilir. a) Bir torbanın ağırlığı, 27 42 2 çuvalların ağırlıklarının EBOB larının 27 21 3 pozitif çarpanlarından 9 7 3 biri olabilir. Buna göre 3 sayısının çarpanları 3 7 3 1 ve 3 olduğundan 2 farklı şekilde torbanın 1 7 7 ağırlığı olabilir. Ebob(27, 42) = 3 2 Önce verilen uzunlukların EBOB unu bulmamız gerekir. Buna göre; 30 45 2 15 45 3 5 15 3 5 5 5 Ebob(30, 45) = 15 Çevre En az ağaç sayısı = = Ebob(a,b) Örnek 3 5 2.75 = = 10 15 Demek ki ağaçların en az ve eşit aralıklı olmasını istiyorsak uzunlukların EBOB u kadar aralık bırakmalıyız. Buna göre bahçenin tüm çevre uzunluğunu bulduğumuz 15 sayısına bölersek en az ağaç sayısını elde etmiş oluruz. 2.(30+ 45) 15 Kenar uzunlukları 480 cm ve 500 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir zemine kare şeklinde fayanslar döşenecektir. Buna göre, a) Bu iş için bir fayansın kenar uzunluğu kaç cm olabilir? b) Zemin için en az kaç tane fayans gereklidir? b) Bir torbanın ağırlığı en fazla bu çuvalların ağırlıklarının EBOB u kadar olabilir. Yani cevap 3 kg olacaktır. c) Çuvallar birbirine karıştırılmıyorsa her iki çuvalı da EBOB sayısına bölüp çıkan sonuçları topladığımızda en az oluşan torba sayısı elde edilecektir. 27 : 3 = 9 9 14 23 42 : 3 = 14 + = Örnek 2 Kenarları 30 m ve 45 m olan bir bahçenin kenarlarına eşit aralıklarla köşeleri de dahil olmak üzere ağaç dikilecektir. Bu iş için en az kaç ağaç gereklidir? a) 480 500 2 240 250 2 120 125 2 60 125 2 30 125 2 15 125 3 5 125 5 1 25 5 1 5 5 Bu iş için uzunluklarının EBOB unun pozitif çarpanlarına bakmamız gerekir. Buna göre bir fayansın kenar uzunluğu 20 nin çarpanları olan 1, 2, 4, 5, 10 ve 20 cm olmak üzere 6 farklı uzunlukta olabilir. Ebob(480, 500) = 2. 2. 5 = 20 22
b) Zemine döşenecek en az sayıdaki fayans sayısını bulmak için: 24 25 Dikdörtgenin alani Bir fayansin alani = 480. 500 20 20 = 600. =600 U1) 48 kg ve 80 kg olan iki farklı domates çuvalları birbirine karıştırılmadan aynı miktarda hiç artmayacak şekilde kasalara konulacaktır. Buna göre; a) Bir kasanın ağırlığı kaç kg olabilir? Örnek 4 Boyutları 20 m, 40 m, 35 m olan dikdörtgenler prizması şeklindeki ambarın içine hiç boş kalmayacak şekilde içi dolu küp şeklinde kutular yerleştirilecektir. Buna göre a) Kutunun bir kenarı kaç metre olabilir? b) Bu iş için en az sayıda kaç kutu gereklidir? a) Önce boyutların EBOB unu bulursak; 20 40 35 2 10 20 35 2 5 10 35 2 Boyutların EBOB u 5 olduğundan kutunun bir kenarı 1 m ve 5 m olabilir. b) Bu iş için en az kaç tane kasa gereklidir? 5 5 35 5 7 7 1 Ebob(20, 40, 35) = 5 b) Kutuların en az sayıda olmasını istiyorsak, bir kenarını 5 m olarak seçmeliyiz. Buna göre; En az kutu sayısı = 4 8 7 Pr izmanin hacmi.. Bir kutunun hacmi = 20 40 35 555.. = 224 1 U2) 75 kg ve 100 kg olan iki farklı pirinç çuvalı birbirine karıştırılmadan eşit miktarda hiç artmayacak şekilde poşetlere konulacaktır. Buna göre; a) Bir poşetin ağırlığı kaç kg olabilir? Şimdilik bu kadar örnek yeterli. Tabi sorular sadece bundan ibaret değil ama diğer farklı tipteki örnekleri de uygulamamıza sakladık. Şimdi de bu örneklerden esinlenerek size verilmiş olan örnekleri çözünüz. b) Bu iş için en az kaç tane poşet gereklidir? 23
U3) Kenar uzunlukları 180 m ve 210 m olan bir dikdörtgen şeklindeki tarlanın etrafına eşit aralıklarla direk dikilip tel örgü yapılacaktır. Buna göre; a) İki direk arası kaç farklı uzunlukta olabilir? U5) Boyutları 45 cm, 50 cm, 60 cm olan bir dikdörtgenler prizması şeklindeki karton kutunun içine hiç boş yer kalmamak şartıyla küp şeklinde hediye kutuları yerleştirilecektir. Buna göre; a) Hediye kutusunun bir ayrıtının uzunluğu kaç cm olabilir? b) Bu iş için en az kaç direk gereklidir? b) En az sayıda yerleştirmek istenirse kaç tane hediye kutusu gereklidir? U4) Kenar uzunlukları 300 m ve 270 m olan bir dikdörtgen şeklindeki arsanın etrafına eşit aralıklarla boş kalmayacak şekilde fidan dikilecektir. Buna göre a) İki fidan arası kaç farklı uzunlukta olabilir? U6) Pisagor elinde bulunan 3 kutudaki farklı renkteki kalemleri öğrencilerine dağıtmak istemektedir. Kutularda sırasıyla 100 tane kırmızı kalem, 120 tane yeşil kalem, 150 tane de mavi kalem bulunmaktadır. Kalemleri birbirine karıştırmadan her öğrenciye aynı renkli ve eşit sayıda kalem vermek koşuluyla en az kaç öğrenciye bu şekilde tam olarak dağıtabilir? b) Bu iş için en az kaç fidan gereklidir? 24
U7) Boyutları 120 m, 150 m, 175 m olan bir dikdörtgenler prizması şeklindeki karton kutunun içine hiç boş yer kalmamak şartıyla küp şeklinde kargo paketleri yerleştirilmek isteniyor. Buna göre; a) Kargo paketinin bir ayrıtının uzunluğu kaç cm olabilir? U10) Thales in odası dikdörtgen şeklindedir. Thales bu odaya kare şeklinde taşlarla zemini kaplamak istemektedir. Odanın boyutlar 600 cm ve 810 cm olduğuna göre Thales bu odayı daha az taş kullanması için en az kaç tane gerektiğini bulunuz? b) En az kaç tane kargo paketi gereklidir. U8) A = 2. 3. 5 3 4 2 B = 2. 3. 5 7 2 1 Yukarıda A ve B sayıları çarpanlarına ayrılmıştır. Buna göre Ebob(A, B) kaçtır? U11) En büyük ortak bölenleri 12 olan iki farklı doğal sayının toplamı 48 ise bu sayılardan büyük olanı kaçtır? U9) İki farklı doğal sayının çarpımı 240 tır. Bu sayıların EBOB u 4 ise bu sayıla kaç farklı şekilde değer alabilirler? 25
Anla-Uygula 3 EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK) : İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne denir. A ve B sayılarının EKOK u, Ekok(A,B) şeklinde gösterilir. İki veya daha fazla doğal sayının EKOK unu bulmak için iki farklı yol vardır. Birinci yol: Önce verilen sayıların pozitif katları yazılır ve ortak katlar belirlenir. Sonra da en küçük ortak kat seçilir. 6 ve 9 un EKOK unu bulmak istersek; 6 nın katları 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66 9 un katları 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 96 Ekok(6, 9) = 18 İkinci yol: Asal bölen listesi yardımıyla da bulunabilir. 25 30 Ekok(25, 30) = 16 22 Ekok(16, 22) = 8 12 2 4 6 2 2 3 2 1 3 3 Görüldüğü gibi sayıların Ekok unu bulmak için bölen listesindeki çarpanların hepsini çarptığımızda en küçük ortak kat çıkmaktadır. 60 80 27 18 Ekok(8, 12) = 2. 2. 2. 3 = 24 Ekok(60, 80) = Ekok(27, 18) = Siz de aşağıda verilen sayıların Ekok unu hesaplayınız. 15 20 9 14 84 40 28 32 Ekok(15, 20) = Ekok(9, 14) = Ekok(84, 40) = Ekok(28, 32) = 26
75 125 48 64 2 3 5 Ekok(75, 125) = Ekok(48, 64) = Ekok(2, 3, 5) = 15 20 8 21 12 15 20 Ekok(15, 20) = Ekok(8, 21) = Ekok(12, 15, 20) = 24 36 45 36 40 54 72 Ekok(36, 40) = Ekok(54, 72) = Ekok(24, 36, 45) = 27
Anla-Uygula 4 EKOK ile ilgili çıkabilecek soru tarzları aşağıda örnekler üzerinde gösterilmiştir. Siz de aynı şekilde çözülmeyen soruları cevaplayınız. Örnek 1 Bir okulda iki farklı zil vardır. Birinci zil 30 dakikada bir, ikinci zil ise 40 dakika bir çalmaktadır. Ders sabah 7.00 da başladığına göre ilk defa saat kaçta aynı anda çalarlar. 30 40 2 15 20 2 15 10 2 15 5 3 5 5 5 Ekok(30, 40) = 2 3. 3. 5 = 120 Sayıların Ekok u ilk kez karşılaşacakları zamanı gösterir. Buna göre 120 dakika yani 2 saat sonra ilk kez aynı anda çalarlar. Cevap saat 9.00 dır. Örnek 2 Platon elindeki cevizleri 3 er, 5 er ve 6 şar saydığında her defasında 2 cevizi artıyor. Buna göre Platon un cevizleri 100 den fazla olduğuna göre en az kaç cevizi vardır? 3 5 6 2 3 5 3 3 1 5 1 5 1 Ekok (3, 5, 6) = 2. 3. 5 = 30 3, 5, 6 nın Ekok u 30 olduğundan cevizler 30 ve 30 un katlarına her defasında 2 eklersek Platon un cevizlerinin olma ihtimallerini ortaya çıkarırız. Ama 100 den fazla ve en az ceviz olmasını istiyorsak, cevizlerimiz 30 un katı olan 120 ve 120 ye de 2 eklememiz gerekir. Buna göre cevap 122 olacaktır. Örnek 3 Boyutları 12 cm, 15 cm ve 20 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tahtalarla en küçük hacimli Bir küp yapılmak isteniyor. Bunun için en az kaç tane tahtaya ihtiyaç vardır? 12 15 20 2 6 15 10 2 3 15 5 3 1 5 5 5 1 Ekok (12, 15, 20) = 2 2. 3. 5 = 60 Boyutların Ekok ları 60 olduğundan elde edilebilecek en küçük hacimli küpün bir kenar 60 cm olmalısır. Buna göre tahta sayısını elde etmek için aşağıdaki formülü uygulamamız gerekir. 5 4 3.... Kupun hacmi 60. 60. 60 En az tahta sayisi= = = 60 Bir tahtanin hacmi 121520.. Şimdi de aşağıda verilen soruları çözünüz. U1) Bir limana, biri 10 günde bir diğeri 25 günde bir gelen iki gemi aynı günde yola çıkmak için hareket ediyor. Bu gemiler en az kaç gün sonra tekrar karşılaşabilir. 28
U2) İki kişinin çalıştığı bir işyerinde biri 12 günde bir, diğeri ise 18 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu iki kişinin aynı anda nöbet tuttukları gün ise tatil edilmektedir. Buna göre bu iki kişi işe başlayıp ilk tatillerini aldıklarından en az kaç gün sonra tekrar tatile çıkarlar? U5) Pisagor kendi okulunun merdivenlerini 3 er 3 er, 4 er 4 er ve 5 er 5 er çıkabilmektedir.pisagor un okulunun merdivenlerinin basamak sayısı 100 den fazla olduğuna göre bu merdiven en az kaç basamaklıdır? U3) Bir sayı 5 ile bölündüğünde 4 kalanını, 6 ile bölündüğünde 5 kalanını ve 9 ile bölündüğünde 8 kalanını vermektedir. Buna göre bu sayı en az kaçtır? U4) 302 sayısına en az kaç eklenmelidir ki bu sayı 3 e, 4 e ve 5 e tam olarak bölünebilsin? U6) Öklit elindeki elmaların 2 şer 2 şer, 3 er 3 er ve 4 er 4 er saydığında her defasında 1 elması artmaktadır. Öklit in elmaları 50 den fazla ise en az kaç elması vardır? 29
U7) Dechartes, elinde bulunan kalemlerini hayır için fakir öğrencilerine dağıtmak istemektedir. Yalnız elindeki kalemleri 10 ar 10 ar, 12 şer 12 şer ve 15 er 15 er saydığında her defasında 2 eksik kalem çıkmaktadır. Dechartes in elinde en az kaç kalem bulunmaktadır? U9) Ebatları 2 m, 3 m, 4 m olan dikdörtgenler prizması şeklindeki karton kutular küp şeklindeki bir depoya hiç boş kalmayacak şekilde en az sayıda yerleştirilmek isteniyor. Buna göre bu şartlarda kaç tane karton kutu gerekir? U8) A B 2 C D 2 U10) Bir doğal sayıya 2 eklendiğinde 3 e ve 4 e tam bölünebilmektedir. Bu sayıdan 2 çıkarıldığında ise 4 e ve 5 e tam bölünebilmektedir. Buna göre bu sayı en az kaç olabilir? C E 3 E E 5 Yukarıdaki asal bölen listesine göre her harf bir doğal sayıyı temsil ettiğine göre A+B toplamı kaçtır? 30