LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH) Dersi Final Sınavı.Ö. 02.0.207 Ad Soyad : (25p) 2(25p) 3(25p) 4(25p) Toplam Numara : İmza : Kitap ve notlar kapalıdır. Yalnızca kalem, silgi, sınav kağıdı bulundurulacaktır. Süre: 85dk Sınavda 4 adet soru vardır ve soruların ağırlıkları yukarıda verilmektedir. Yanıtlar soru altında boş bırakılan yerlere yazılacaktır. Ayrıca yanıt kağıdı kullanılmayacaktır. ) Bir dönüşüm, üç boyutlu uzayda önce xz-düzleminden yansıtma (aynalam yapmakta, sonrasında yz-düzlemine dikgen izdüşüm almakta, sonra da yz-düzleminde saat yönünün tersine π/4 derece döndürme yapmaktadır. Bu dönüşümün standart matrisini bulunuz. Bu dönüşümün ters dönüşümünün tespit edilmesi mümkün müdür? Mümkün ise ters dönüşümün standart matrisini bulunuz. Değilse neden mümkün olmadığı gösteriniz. c) Bu dönüşüm (3 2 2) vektörüne uygulanınca elde edilen vektör nedir, hesaplayınız. 0 0 0 0 cos ( π T A = 4 ) sin (π 4 ) 0 0 0 0 0 [ 0 sin ( π [ 0 0] [ 0 0] 4 ) cos (π 4 ) 0 0 0 0 ] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = [ 0 cos(π/4 ) sin(π/4 )] [ 0 0] = [ 0 cos(π/4 ) sin(π/4 )] 0 sin(π/4 ) cos(π/4 ) 0 0 0 sin(π/4 ) cos(π/4 ) 0 0 0 = [ 0 / 2 / 2] 0 / 2 / 2 det(t A ) = 0, matrisin tersi alınamaz, dolayısıyla dönüşümün tersi yoktur c) 0 0 0 3 0 [ 0 / 2 / 2] [ 2] = [ 2 2] 0 / 2 / 2 2 0
2) Bir vektör kümesinin bir vektör uzayına taban (basis) oluşturması için iki koşulu sağlaması gerekmektedir. Bu koşullar, kümedeki vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olması ve span lerinin ilgili vektör uzayı olmasıdır. Bu bilgi doğrultusunda, S = {( 0 ), (2 2 2 2), (3 4 3 4), (4 3 2 )} vektör kümesinin R 4 için bir taban (basis) olduğunu gösteriniz. S = {(0 0 ), (2 2 2 2), (3 4 3 4), (4 3 2 )} vektör kümesinin R 4 için bir taban (basis) olmadığını gösteriniz. 2 3 4 2 4 3 2 3 4 2 3 4 det ([ 2 4 3 ]) = ( ) + 2 3 2 + ( ) 2+ 2 3 2 + 0 + ( ) 4+ 2 4 3 2 4 2 4 2 3 2 2 4 = (6 6 + 6 8 + 24 8) (6 6 + 2 6 + 32 24) (6 8 + 8 2 + 24 32) 2 3 4 [ 2 4 3 2 4 = 4 4 ( 4) = 4 0 => Vektörler R 4 ü span etmektedir 2 3 4 2 4 ] S +S 2 S 2 0 0 2 S 2 S 3 0 0 3 ] S 3+S 4 S 4 2 3 4 0 0 3 ] S +S 4 S 4 0 0 2 0 0 0 2 ] 3S 3+S 2 S 2 => Vektörler doğrusal olarak bağımsızdır => Vektör kümesi tabandır 0 0 2 ] 0 0 3 ] S 3+S S 0 0 2 0 0 0 0 2 0 5 ] [ 0 0 0 ] 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 Not: Determinantın sıfıra eşit olmadığının gösterimi ve 4 boyutlu uzayda 4 tane vektör olduğu için bu durumun doğrusal bağımsızlığa neden olacağının belirtilmesi de yeterlidir. 0 2 3 4 2 3 4 2 3 4 det ([ 2 4 3 ]) = 0 + ( ) 2+ 2 3 2 + 0 + ( ) 4+ 2 4 3 2 4 2 3 2 2 4 = (6 6 + 2 6 + 32 24) (6 8 + 8 2 + 24 32) = (4) ( 4) = 0 => Vektörler R 4 ü span etmemektedir => Vektör kümesi taban değildir
3) A 3 0 ise sisteminin çözüm uzayının 2 4 5 Orijinden geçen bir doğru ya da düzlem olduğunu, parametrik eşitliklerini bularak açıklayınız. Varsa doğru eşitliklerini ya da düzlem eşitliğini bulunuz. c) R 3 deki çözüm uzayını çiziniz. Ax= 0 0 0 2 2 3 0 0 2 3 0 2 3 0 3 0 3 0 3 2 2 2 2 4 5 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z t alındığında çözüm: x, y, z t, 3t, t 2 2 dir ve orijinden geçen bir doğruyu tanımlar. 2x t, 2 y 3 t, z t 2x 2 y z ya da 6x 2 y 3z 3 c) Çözüm doğru x, t için (,3, 2) t 0 için x (0,0,0) olacağından, bu iki noktadan geçen z -2 3 y x
4) u=(,5) vektörü ve 2x + 3y = 0 doğrusu için u vektörü doğruya izdüşürüldüğünde elde edilecek vektörü bulunuz. u ile doğru arasındaki mutlak açıyı bulunuz. c) (,5) noktasının yukarıdaki doğruya uzaklığını bulunuz. x Doğru üzerinde bir a vektörü tanımlayalım: 2 3 y x3 2 3 2 y ua,5 3, 2 7 2 4 projau a 3,2 3,2, 2 2 2 a 3 3 3 a 3,2 u a u a cos 7 7 2 cos 26 3 26 7 2 cos 26 c) ax by c 0 doğrusuna uzaklık: d 2.3.5 0 7 d 2 2 2 3 3 ax by c 0 0 a b 2 2
LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH) Dersi Final Sınavı 2.Ö. 02.0.207 Ad Soyad : (25p) 2(25p) 3(25p) 4(25p) Toplam Numara : İmza : Kitap ve notlar kapalıdır. Yalnızca kalem, silgi, sınav kağıdı bulundurulacaktır. Süre: 85dk Sınavda 4 adet soru vardır ve soruların ağırlıkları yukarıda verilmektedir. Yanıtlar soru altında boş bırakılan yerlere yazılacaktır. Ayrıca yanıt kağıdı kullanılmayacaktır. ) Not: Aşağıdaki şıklardaki sorular birbirleri ile bağıntılı değildir. Eğer mümkünse, R 2 yi span eden örnek üç adet vektör belirtiniz. Mümkün değilse nedenini belirtiniz. (5p) S = {( 2 ), (2 5 3), ( 4 h)} vektör kümesinin doğrusal olarak bağımlı olması için h değeri ne olmalıdır? (0p) c) T: R 3 R 3 dönüşümü doğrusal bir dönüşümdür ve aşağıda üç vektör için bu dönüşümle elde edilen vektörler verilmiştir. Bu dönüşümün standart matrisini bulunuz. (0p) 2 0 3 2 0 T ([ 0]) = [ 4], T ([ ]) = [ ], T ([ ]) = [ 2 ] 0 0 2 Span için doğrusal bağımsızlık şart değildir. R 2 yi span eden üç örnek vektör: [ 0 ], [0 ], [ 2 ] 2 [ 2 5 4 3 h 2 2 5 4 0 h + ] S +S 3 S 3 2 0 2 0 h + ] 2S +S 2 S 2 2 0 2 ] 0 0 h + 3 ] S 2+S 3 S 3 Doğrusal olarak bağımlı olması için I n e indirgenemiyor olması gerekmektedir. Bu nedenle h = 3 c) 0 0 2 2 3 0 7 T ([ 0]) = T ( 2 [ 0] [ ] + [ ]) = 2 [ 4] [ ] + [ 2 ] = [ ] 0 0 2 5 0 0 2 3 7 A = [T ([ 0]) T ([ ]) T ([ 0])] = [ 4 ] 0 0 2 5
2) S = {( 2 0), (2 2 2), (3 4 } vektör kümesinin span (germe) inin R 3 olması için a hangi değeri almalıdır / hangi değerleri alabilir? (5p) S = {( 2 0), (2 2 2), (3 4 } vektör kümesinin span i R 3 olmadığı durumda, oluşacak alt uzay eşitliğini elde ediniz. (0p) c) a = 5 değeri için yukarıdaki S vektör kümesi R 3 de bir taban olmaktadır. u = (4 4 4) vektörünün bu tabandaki koordinat değerlerini elde ediniz. (5p) S vektör kümesine göre koordinatları u s = ( 2 ) olan vektörün standart R 3 tabanındaki (i,j,k) koordinatlarını elde ediniz. (5p) 2 3 Span in R 3 olması için, det ([ 2 2 4]) 0 koşulu sağlanmalıdır. 0 2 a 2 3 det ([ 2 2 4]) = 2a 8 + 0 4a + 2 0 = 4 2a 0 a 2 0 2 a 2 3 x [ 2 2 4 y 0 2 2 z 2 3 x 0 2 2 y 2x 0 2 2 z ] 2S +S 2 S 2 2 3 x 0 0 0 y 2x + z] 0 2 2 z ] S 3+S 2 S 2 Span: y 2x + z = 0 düzlemidir c) Soruda verilen taban ortogonal olmadığı için izdüşüm yaklaşımı doğru sonuç vermemektedir. Bu nedenle sorunun bu şıkkının ilk bölümünün puanı iptal edilerek, ilgili puan sorunun a şıkkına kaydırılmıştır. İkinci bölümün çözümü: u s = ( 2 ) u = ( 2 0) + 2(2 2 2) (3 4 5) = (2 2 )
3) P(,) noktasından geçen ve u=(,5) vektörüne paralel doğru eşitliğini bulunuz. (0p) e=(,0) vektörünün bu doğruya izdüşümünü bulunuz. (0p) c) Bu doğru ile 2x 3y = 0 doğrusu arasındaki açıyı bulunuz (ϴ=cos - (X) biçiminde göstermek yeterlidir). (5p),,,5 x P tu x y t x t, y 5t y x 5 5x y 4 0 Doğru üzerinden izdüşüm için alınacak bir vektör u vektörü olacağından proj e ue,5,0 5 u,5,5, u 5 26 26 26 u 2 2 2 c) 2x3y 0 doğrusu üzerinde bir arasındaki açıdır: u v u v cos v (3,2) vektörü tanımlayalım. Soruda istenen, u ile v 3 2 cos 26 3 2 2 cos 2 4
3 4) A 2 6 2 ise sisteminin çözüm uzayının 3 9 3 Orijinden geçen bir doğru ya da düzlem olduğunu, parametrik eşitliklerini bularak açıklayınız. (0p) Varsa doğru eşitliklerini ya da düzlem eşitliğini bulunuz. (0p) c) R 3 deki çözüm uzayını çiziniz. (5p) Ax= 0 3 3 2 6 2 0 0 0 ve z s alındığında çözüm: x, y, z 3 r s, r, s dir. 3 9 3 0 0 0 İki serbest değişken olduğundan çözüm orijinden geçen bir düzlemdir. y r x 3r s x 3y z 0 düzlem eşitliğidir. c) Çözüm dır. r s için x (2,,), r s 0 için x (0,0,0), r, s 0 için x (3,,0) z x 3 2 y -2