SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan sınırlarda ise kendisi ve normal doğrultuda türevi bilinen fonksiyonun bulunmasıdır. Hacım kuvvetlerinin sabit olması halinde düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme problemi 4 4 4 4 F F F Bölgede ( x y) F 0 4 4 x x y y df Sınırda Qt () s () dn F M s şeklinde yazılır. Burada M(s) ifadesi, sınırda alınan bir başlangıç noktasından itibaren sınır kuvvetlerini sınır üzerindeki noktalara göre momentidir. Q t (s) ise sınır kuvvetlerinin, teğetin pozitif yönü eğrinin artım yönü ile aynı olmak üzere, teğet üzerinde izdüşümleridir. Yukarıda verilen problem diferansiyel denge denklemi ayrıklaştırılarak bir cebirsel denklem dönüştürülerek sayısal olarak çözülür. Denklemin ayrıklaştırılmasında temel düşünce türevler yerine fonksiyon değerlerinin kullanılmasıdır. Bu ayrıklaştırılma sonunda fonksiyon değerlerine; yani F değerlerine bağlı bir cebrik denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi çözülerek nokta nokta F değerleri bulunur. F değerleri bulunduktan sonra sayısal olarak türev değerleri yazılarak σ x,σ y,τ xy gerilmeleri bulunur.
Elastisite Sayısal türev bağıntıları: Ayrıklaştırma için bölge üzerinde şekilde görüldüğü gibi ağ alalım. İki bağımsız değişkenli fonksiyon u ve bağımsız değişkenler x, y olsunlar. Bu fonksiyonun x i ve y noktasındaki değerini ui, u( xi, y) (11.78) Şekil 11.1 ile gösterelim. u(x,y) fonksiyonu, şekil 11.1 de görüldüğü gibi, serbest değişkenleri x ve y gibi eşit aralıklarla sıralanan bir ağ üzerinde verilsin. Şekilde ağ üzerindeki noktaların indisleri görülmektedir. x i ve y noktası civarında u i+1, ve u i1, değerleri, 3 3 4 4 u ( x) u ( x) u ( x) u i1, i, 3 4 4 u u x R (11.79) x! x 3! x 4! x 3 3 4 4 u ( x) u ( x) u ( x) u ui1, ui, x R 3 4 4 (11.80) x! x 3! x 4! x u(x,y) fonksiyonun (x i,y ) noktasında x e göre kısmi türevi, u/x, yukarıda verilen birinci bağıntıdan veya ikinci bağıntıdan veya birinci ile ikinci bağıntının birbirinden çıkartılmasından aşağıda verilen üç ayrı şekilde elde edilir (Not yukarıdaki denklemlerin sağ tarafındaki terimlerden ikisi kullanılmış üçüncü terim hata mertebesini vermektedir).
Sonlu Farklar 3 u ui1, u i, O( x) x x u ui, u i1, O( x) x x u ui1, u i1, O[( x) ] x x (11.81) Bu türevlerden birincisi ileriye doğru, ikincisi geriye doğru ve üçüncüsü ise merkezi farklar formunda yazılmıştır. Benzer şekilde; u(x,y) fonksiyonun (x i,y ) noktasında y e göre kısmi türevi, u/y, aşağıda verildiği şekilde bulunur. u u u i, 1 i, O y u y u ( y) u i, i, 1 O y y ( y) u ui, 1 u i, 1 O([ y] ) y y (11.8) İkinci türev ise (11.79) ile (11.80) bağıntılarının birbirleri ile toplanmasından aşağıda verilen şekilde bulunur. u x u u u i1, i, i1, O x ( x) [( ) ] (11.83) Fonksiyonun y e göre ikinci kısmi türevi, benzer şekilde, aşağıda verildiği gibi bulunur. u y u u u i, 1 i, i, 1 O y ( y) [( ) ] (11.84) Karışık türev ise, (11.8) da verilen birinci türevin merkezi fark bağıntısı kullanılarak aşağıda verilen şekilde bulunur.
4 Elastisite u u u 1 u u ( ) [( ) i, 1 ( ) i, 1] yx y x y x x u u u u u u xy yx 4xy i1, 1 i1, 1 i1, 1 i1, 1 O x y [( ) ] (11.85) u fonksiyonunun x e göre üçüncü, dördüncü ve karışık türevlerinin hesaplanışı ve sonuçları aşağıda verilmiştir. Üçüncü Türev 3 u u 1 u u ( ) [ ] O[( x) ] x x x x x x 3 i1, i1, 3 u ui, ui 1, ui 1, ui, O[( x) ] 3 3 x ( x) 3 u ui, ui, 1 ui, 1 ui, O[( y) ] (11.88) 3 3 y ( y) Karışık Türev 3 u u 1 u u ( ) [ ] O[( x y) ] xy x y x y y i1, i1, 3 u u u u u u u xy ( x)( y) (11.89) O[( x y) ] i1, 1 i1, i1, 1 i1, 1 i1, i1, 1 Karışık Türev 3 u u 1 u u ( ) [ ] O[( x y) ] yx y x yx x i, 1 i, 1 3 u u u u u u u yx ( y)( x) (11.90) O[( x y) ] i1, 1 i, 1 i1, 1 i1, 1 i, 1 i1, 1
Sonlu Farklar 5 Dördüncü Türev 4 u u 1 u u u ( ) 4 ( ) [ ] O[( x) ] x x x x x x x i 1, i, i 1, 4 u ui, 4ui 1, 6ui, 4ui 1, ui, O[( x) ] 4 4 x ( x) 4 u ui, 4ui, 1 6ui, 4ui, 1 ui, O[( y) ] 4 4 y ( y) Karışık Türev (11.91) 4 u 1 u u u [ ] O [( x y ) ] y x ( y) x x x i i i, 1,, 1 u u u u u 4u u u u u y x ( x) ( y) (11.9) 4 i1, 1 i, 1 i1, 1 i1, i, i1, i1, 1 i, 1 i1, 1 Yukarıda verilen türevlerde fonksiyon değerlerinin katsayıları hatırlamak ve bazı uygulamalarda yardımcı olması için aşağıda şekil 11. de verilen şablonlar kullanılır. Şablonlarda, tek dereceli türevlerde (birinci ve üçüncü türev) ilgili eksenin yönü önemli olduğundan, eksenin yönü şekilde gösterilmiştir. Eksen yönü olarak şekilde gösterilen yönün tersi alındığında, değiştirilen eksen doğrultusundaki katsayıların simetriğini almak gerekir. Buna ait örnek şekilde u/xy ve 3 u/x 3 türevinde gösterilmiştir.
6 Elastisite
Sonlu Farklar 7 Biharmonik denklemin ayrıklaştırılması: 4 4 4 4 u u u ( u) u f( x, y) (15.188) 4 4 x x y y Yukarıda verilen biharmonik denklemin aşağıdaki şekilde görülen (i,) noktasında, türevleri yerine (11.91) ve (11.9) ile verilen türev bağıntıları diferansiyel denklemde yerlerine yazılarak ayrıklaştırılır. Ayrıklaştırma sonunda elde edilen bağıntıda x=y alınıp bağıntı düzenlendiğinde aşağıda verilen sonuç bulunur. 0u 8( u u u u ) ( u u u u ) i, i1, i1, i, 1 i, 1 i1, 1 i1, 1 i1, 1 i1, 1 u u u u ( x) 4 f (15.189) i, i, i, i, i, Yukarda verilen bağıntıda i indisi x doğrultusunu indisi ise y doğrultusunu kontrol etmektedir. Yukarıda verilen bağıntı yerine şekil 15.38 de görülen şablon da kullanılabilir. Şablon aynı bağıntının şematik gösterimi olup kullanımı kolaydır. Şablon yukarıda verilen bağıntıdan elde edileceği gibi şekil 11. de verilen 4 u/x 4, 4 u/y 4 ve * 4 u/x y şablonlarını toplayarak da elde edilebilir.
8 Elastisite Sonlu fark denklemlerinin yazılması: Aşağıda verilen şekilde görüldüğü gibi biharmonik denklemin çözüleceği bölgede bir ağ teşkil edelim. Ağda M satır N kolon bulunsun. Bu durumda ağda M.N nokta bulunacak. Ağda üç tip nokta vardır.
Sonlu Farklar 9 a) Sınır noktaları: Bu noktalar sınırda bulunan noktalardır. Şekilde dikdörtgen ile gösterilmiş olup M+N-4 adettir. b) İç noktalar: Bu noktalar bölgenin içindedir. Şekilde daire ile gösterilmiş olup (N-)(M-) adettir. c) Dış noktalar: Bu noktalar bölgenin tamamen dışındadır. Şekilde üçgen ile gösterilmiştir. Gerektiğinde kullanılır. Tamamı kullanılmayabilir. Bunlar gerektiği kadar kullanılacağı için sayıları önemi değildir. Ayrıca bu noktalar dış bölgedeki noktalar olduğu için teorik olarak sayıları sonsuzdur. Şekilde belirli sayıda gösterilmiştir. Problemde sınırdaki Airy gerilme fonksiyonun değerleri verildiğinden sadece iç noktalardaki değerleri bilinmiyor. Dolayısıyla problemdeki bilinmeyen sayısı (N-)(M-) dir. Kısaca, bilinmeyenlerin sayısı iç nokta sayısına eşittir. Sonlu fark denkleminde veya sonlu fark şablonunda görülen u i, noktasına pivot nokta adı verilir. Pivot nokta iç noktalara getirilerek sonlu fark denklemleri yazılır. Bu şekilde bilinmeyen sayısı kadar sonlu fark denklemi elde edilir. Bu denklemler çözülerek her noktada Airy gerilme fonksiyonun değerleri bulunur. Airy gerilme fonksiyonu nokta nokta bulunduktan sonra (i,) noktasında σ x,σ y,τ xy gerilmeleri F Fi, 1 Fi, Fi, 1 x y ( y) F Fi 1, Fi, Fi 1, y x ( x) F Fi 1, 1 Fi 1, 1 ( Fi 1, 1 Fi 1, 1) xy xy 4 x y bağıntıları ile bulunur.
10 Elastisite Sonlu fark denklemleri yazılırken pivot nokta olarak sınırın hemen yanındaki nokta alındığında şekil 15.40 daki durum ortaya çıkar. Şekil 15.40 da görüldüğü gibi, pivot nokta (P noktası) sınıra yakın olduğunda denklemlere bir sıra dış noktadaki fonksiyon değerleri girer. Bu durumda dış noktalar nedeni ile bilinmeyen sayısı artar. Bu bilinmeyenlerin hesabı için ek bağıntılara ihtiyaç vardır. Bu bağıntılar Airy gerilme fonksiyonun sınırdaki türevi ayrıklaştırılarak elde edilir. Şekil 15.40 da görülen P 0 noktasında birinci türev merkezi farklar kullanılarak ayrıklaştırıldığında u up ( 1) up ( ) u ( P0) up ( 1) up ( ) x ( P0) x x x (15.195) bağıntısı elde edilir. Bu bağıntı görülen kısmı türev -Q t (s) eşit olduğundan bilinmektedir. Dolayısıyla dış nokta değerleri iç nokta değerlerine bağlanmıştır. Sonuç olarak bilinmeyen sayısı kadar denklem elde edilir. Bu denklemler doğrusaldır.
Sonlu Farklar 11 Sonlu fark denkleminin çözümde kullanılan yöntemler: Sonlu fark denklemlerinin çözümünde kullanılan dolaysız yöntemler ile ardışık yaklaşım yöntemleri kısaca aşağıda karşılaştırılmıştır. Bilinmeyen sayısı az ise dolaysız yöntemlerden Gauss eliminasyon yöntemi uygulanır. Katsayılar matrisinin içinde fazla miktarda sıfır var ise bunlar Gauss eliminasyonda kaybolurlar. Bu sıfırları muhafaza etmek için en iyi yöntem ardışık yaklaşım yöntemidir. Ayrıca katsayılar matrisinin mertebesi büyük ise, örneğin 100 den fazla, ardışık yaklaşım yöntemi önerilir. Ayrıca ardışık yaklaşım yöntemi elektronik tablolarda düşük mertebeli matrisler için de uygun çözüm yöntemidir. Ardışık yaklaşım yöntemleri, (15.189) bağıntısı aşağıda verilen şekilde yazılarak uygulanır. 1 ui, [8( ui 1, ui 1, ui, 1 ui, 1 ) ( ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ) 0 ( u u u u ) ( x) f ] 4 i, i, i, i, i, Excel tablolarının kullanılması: Excel tablosunda, tablonun dairesel döngü özelliği kullanılarak biharmonik denklem ardışık yaklaşım ile kolay bir şekilde çözülür. Tabloya kontrol altında tutabilmek için bilinmeyenler çok fazla olmamalıdır. Excel tablolarında fark denklemleri çok kolay bir şekilde yazılır ve sonuçlar bir matris şeklinde elde edildiğinden yorumlanması da çok kolaydır. Excel tablolarının kullanımının esası, her ağ noktasına bir hücre karşı getirip bu hücrede aranan fonksiyonun değerini saklamaktır. Ardışık yaklaşımda aranan fonksiyonun değeri işlem sırasında bu hücrede değiştirilir. Hücrelerin dizilişi ağ noktalarının dizilişi ile aynıdır. İşlem sırası aşağıda verilmiştir: a) Excel tablosunda önce her ağ noktasına karşı gelen hücreler belirlenir. b) Sınır noktalarına karşı gelen hücrelerdeki değerler bellidir ve değerleri yerlerine yazılır.
1 Elastisite c) Dış noktaların değerleri iç noktalara formül ile bağlanır. Her hangi bir dış noktanın değeri iç noktanın değerine u up ( 1) up ( ) x ( P0) up ( ) xqt x (15.195) formülü ile bağlanır. d) İç karşı gelen hücrelere ise başlangıç değerleri, genelde sıfır, yazılır. Daha sonra iç noktalardan birine 1 ui, [8( ui 1, ui 1, ui, 1 ui, 1 ) ( ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ) 0 4 ( u u u u ) ( x) f ] i, i, i, i, i, bağıntısı formül olarak yazılır ve sonra bu formül bütün iç noktalara kopyalanır. Kopyalama işlemi bittikten sonra dairesel döngü çalışarak, hücrelerdeki değerleri ardışık yaklaşım ile hesaplayıp yerlerine yazar. Dairesel döngünün çalışabilmesi için Exel in, Araçlar, Seçenekler, Hesaplama menüsünde Yineleme düğmesine onay verilmiş olması gerekir. Ayrıca aynı menüde En büyük değişiklik kısmına yazılan sayı ile iki yinelenen değer arasında fark belirlenir; bu fark sağlanınca yineleme durur. Bu kısım ile istenilen hesap inceliği ayarlanır. Yine aynı menüde En fazla yineleme sayısı ile yineleme sayısına bir sınır konulur. Yineleme yeterli olmadığı takdirde, yineleme sayısı büyültülür veya F9 tuşuna basılarak tekrar aynı miktarda yineleme yaptırılır. Burada görüldüğü gibi denklemler formül olarak yazılmakta sonuçlar ise ilgili hücrelerde matrisi formunda elde edilmektedir.
Sonlu Farklar 13 e) Airy gerilme fonksiyonları nokta nokta hesaplandıktan sonra F x y F y x xy F F F i, 1 i, i, 1 ( y) F F F i1, i, i1, ( x) F Fi 1, 1 Fi 1, 1 ( Fi 1, 1 Fi 1, 1) xy 4 x y bağıntıları ile gerilmeler nokta nokta hesaplanır. Örnek Problem: Şekilde görülen levhayı düşey doğrultuda 10 aralığa yatay doğrultuda 4 aralığa ayıran ağı kullanarak levhadaki gerilmeleri sonlu farklar yöntemi ile bulunuz. Çözüm: Şekilde görüldüğü gibi levhayı üzerinde aralıkları eşit ağ kuralım. Ağdaki sınır noktalar 1,, 8 olarak işaretlenmiştir. İç noktalar çarpı işaretleri ile dış noktalar ise daireler ile gösterilmiştir. Şekilde 8 sınır nokta ve 7 iç nokta bulunmaktadır. Başlangıç noktası olarak her hangi bir nokta şeçilebilir.
14 Elastisite Sınır noktalarında Airy gerilme fonksiyonun değerleri dış yüklerin noktalara göre momentleri alınarak aşağıda verilen şekilde bulunur: F 1 = F = F 3 = F 4 =F 5 = F 6 = F 7 =0 F 8 =p 0 a / F 9 =p 0 a F 10 =4p 0 a F 11 = F 1 =F 13 =F 14 =F 15 =F 16 =F 17 =F 18 =F 19 =F 0 =4p 0 a F 1 =p 0 a F =p 0 a / F 3 = F 4 = F 5 = F 6 =F 7 = F 8 = 0 Sınır noktalarında, Airy gerilme fonksiyonun normal doğrultudaki türevlerini değerleri aşağıda verilmiştir. 6,10,0 ve 4 noktalarında türevde süreksizlik olduğunda iki değer verilmiştir. 6 ve 4 noktalarında türev değerleri iki doğrultuda da sıfır olduğundan tek değer verilmiştir. 10 ve 0 noktasında iki türev değeri bulunduğundan ayrı ayrı verilmiştir. (df/dn) 1 = (df/dn) = (df/dn) 3 = (df/dn) 4 =(df/dn) 5 = (df/dn) 6 = (df/dn) 7 =0 (df/dn) 8 =(df/dn) 9 =0 (df/dn) 10 =(0,p 0 a) (df/dn) 11 =(df/dn) 1 =(df/dn) 13 =(df/dn) 14 =(df/dn) 15 =(df/dn) 16 =(df/dn) 17 = (df/dn) 18 =(df/dn) 19 =p 0 a (df/dn) 0 =(p 0 a,0) (df/dn) 1 =(df/dn) =(df/dn) 3 = (df/dn) 4 = (df/dn) 5 = (df/dn) 6 =(df/dn) 7 = (df/dn) 8 = 0
Sonlu Farklar 15 Sayısal hesaplar a=1 ve p 0 =1 alınarak yapılmıştır. Aşağıda verilen Excel tablosunda en altında ve en üst satırda nokta numaraları görülmektedir. Excel tablosuna önce sınır noktalarında Airy gerilme fonksiyonunun değerleri yazılır. İç noktalardaki Airy gerilme fonksiyonun değerleri tabloda sıfır olarak yazılır. Bu noktalardaki değerler, ardışık yaklaşımla bulunacağı için ilk yaklaşımdaki değerleri sıfır alınmaktadır. Şekilde verilen tabloda sıfır değerleri görülmemektedir. 0 19 18 17 16 15 14 13 1 11 10 6,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 6,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 0,000,000,000 0,000 0,000 0,500 0,500 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 4 5 6 7 8 1 3 4 5 6 Dış noktaların hesabına gelince bu değerler formül olarak girilir. Dış noktaya karşı gelen iç noktanın değerine df/dn eklenecek (köşe noktalarda gelen noktalar sınır noktalardır). İç nokta değerleri başlangıçta sıfır alındığından tabloda görülen değerler sadece Δx(dF/dn) değerleridir. Daha sonra iç noktalardan birine 1 ui, [8( ui 1, ui 1, ui, 1 ui, 1 ) ( ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ) 0 ( u u u u )] i, i, i, i, bağıntısı yazılır. Bu bağıntı diğer gözlere kopyalanır. Kopyalanma bittiğinde dairesel döngü çalışarak denklem takımını çözer sonuç aşağıda verilen tabloda görülmektedir. Tablonun altında diğer gerilmeleri hesaplayan tablolar bulunmaktadır. Bu tablolar Airy gerilmelerinin bulunduğu tablodan yararlanarak elde edilmiştir.
16 Elastisite 6,000 6,089 6,176 6,3 6,43 6,48 6,43 6,3 6,176 6,089 6,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000,089,000,089,176,3,43,48,43,3,176,089,000,089 0,699 0,500 0,699 0,863 0,950 0,986 0,995 0,986 0,950 0,863 0,699 0,500 0,699 0,089 0,000 0,089 0,176 0,3 0,43 0,48 0,43 0,3 0,176 0,089 0,000 0,089 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,089 0,176 0,3 0,43 0,48 0,43 0,3 0,176 0,089 0,000 x 0,000 0,178 0,351 0,447 0,486 0,496 0,486 0,447 0,351 0,178 0,000 0,500 0,51 0,51 0,503 0,499 0,498 0,499 0,503 0,51 0,51 0,500 1,000 0,780 0,65 0,547 0,515 0,507 0,515 0,547 0,65 0,780 1,000 0,500 0,51 0,51 0,503 0,499 0,498 0,499 0,503 0,51 0,51 0,500 0,000 0,178 0,351 0,447 0,486 0,496 0,486 0,447 0,351 0,178 0,000 y 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,178-0,00-0,039-0,08-0,015-0,010-0,015-0,08-0,039-0,00 0,178 0,398-0,035-0,078-0,051-0,07-0,018-0,07-0,051-0,078-0,035 0,398 0,178-0,00-0,039-0,08-0,015-0,010-0,015-0,08-0,039-0,00 0,178 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 xy 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,091 0,063 0,031 0,011 0,000-0,011-0,031-0,063-0,091 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-0,091-0,063-0,031-0,011 0,000 0,011 0,031 0,063 0,091 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000