FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) HELMHOLTZ TEOREMİ KOORDİNAT SİSTEMLERİ
(del) operatörü, Bir f skaler alanına etkirse: f GRADİYENT Bir A vektör alanı ile skaler çarpılırsa: A DİVERJANS Bir A vektör alanı ile vektörel çarpılırsa: A ROTASYONEL
GRADİYENT: f(x,y,z) her noktada sürekli ve türevlenebilir bir skaler alan olsun. Herhangi bir (x,y,z) noktasından (x+dx,y+dy,z+dz) noktasına gidildiğinde skaler alandaki değişim f f f df = dx+ dy+ dz x y z f f f = x ˆ + y ˆ + zˆ xdx+ ˆ ydy+ ˆ zdz ˆ x y z f dl f dl f : bir vektördür ve f skaler alanının gradiyentidir. dl : ( x, y, z) noktasından ( x dx, y dy, z dz) noktasına yerdeğiştirme vektörüdür.
= x ˆ + y ˆ + zˆ " del" operatörü x y z del operatörünün kendisi bir vektör değildir ve tek başına bir anlamı yoktur. Skaler bir alana uygulandığında, o alanın gradiyent vektörünü verir. df df = f dl f dl cos f dl cos Gradiyent vektörü doğrultusunda gidildiğinde ( = 0) f skaler alanındaki artış (df) maksimum olur. Skaler alanın bir noktadaki gradiyent vektörü, alandaki maksimum artışın gerçekleştiği yöndedir. Gradiyent vektörünün büyüklüğü ise, konuma göre skaler alandaki maksimum artış hızıdır. df dl max. = f f(x,y,z) = sabit olması durumunda f(x,y,z) skaler alan bir yüzeyi temsil eder. Yüzey üzerindeki herhangi bir yerdeğiştirme sonucunda alanda bir değişim olmaz. f df = f dl 0 f dl dl Bu durumda gradiyent vektörü yüzeye her noktada diktir.
NOT: Herhangi bir (x,y,z) noktasında skaler alanın gradiyenti sıfır ise, o nokta civarındaki küçük yer değiştirmelerde skaler alan değişmez kalır (df = 0). Bu durumda, söz konusu nokta skaler alanın durgun noktası olarak adlandırılır.
Q f C C 2 1 P f C 1 Q P Q df f dl C C P 2 1 Q P f dl f ( Q) f ( P) Gradiyent için temel teorem
DİVERJANS:,,,,,, A A x y z xˆ A x y z yˆ A x y z zˆ x y z biçiminde tanımlı herhangi bir vektör alanı olsun. (x,y,z) noktasını merkez kabul eden dx,dy,dz boyutlarında bir küpün tüm yüzeylerinden geçen akıyı hesaplayalım. x z ˆn L (x,y,z) dy dz R dx y ˆn dy d R A da A y x, y, z dxdz R 2 Ay dy Ay dxdz y 2 dy d L A da A y x, y, z dxdz L 2 Ay dy Ay dxdz y 2 Ay Ax Az drl dxdydz d FB dxdydz dtb y x z dxdydz
Küpün yüzeyinden dışarı doğru çıkan toplam akı: A A A x y z x y z dtot d F B d RL dt B dxdydz Ad A d A, A vektör alanının diverjansıdır : Ada S A d S yüzeyinin çevrelediği d hacmi sonsuz küçük seçilirse A önemli ölçüde değişmez. Böylece diverjans için, 1 A lim Ada 0 S yazılabilir. Bir vektör alanının bir noktadaki diverjansı, hacim sıfıra giderken, noktayı çevreleyen yüzeyi birim hacim başına terkeden akı miktarıdır.
S yüzeyinin çevrelediği V hacmini sonsuz küçük küplere böldüğümüzü varsayalım. Dolayısıyla komşu küpleri de hesaba katmamız gerekecektir. Komşu küplerin birbirine temas eden yüzeylerinden geçen net akı sıfır olacaktır. Bu durumda toplam akı, V hacmini çevreleyen dış yüzeyden çıkan akı kadar olur. tot S i i i i i1 i1 A da A d S V S Diverjans Ada A d Gauss teoremi V Green Diverjans için temel teorem
Bir vektör alanının bir noktadaki diverjansı, vektör alanının ilgili noktadan ne kadar ıraksadığının veya ilgili noktaya ne kadar yakınsadığının bir ölçüsüsüdür. A 0 A 0 A, ilgili noktadan ıraksar. A, ilgili noktaya yakınsar. A 0 A, ilgili noktadan ne ıraksar ne de ilgili noktaya yakınsar. Bu tür alanlara " solenoidal" denir.
ROTASYONEL (KÖRL):,,,,,, A A x y z xˆ A x y z yˆ A x y z zˆ x y z biçiminde tanımlı herhangi bir vektör alanı olsun. xy-düzleminde, (x,y) noktasını merkez kabul eden dx,dy boyutlarında dikdörtgensel bir halka boyunca vektör alanının çizgi integralini hesaplayalım. y dx Ay x, y,0 2 xy dy Ax x, y,0 2 4 3 (x,y,0) 1 dx 2 dy Ax x, y,0 2 dy dx Ay x, y,0 2 x C xy C xy Adl y x Cxy Adl C1 C2 C3 C4 dxdy x y C dy Ax dy C1 Ax x, y,0dx Ax dx 2 y 2 dx Ay dx C2 Ay x, y, 0dy Ay dy 2 x 2 dy Ax dy C3 Ax x, y,0dx Ax dx 2 y 2 dx Ay dx C4 Ayx, y,0dy Ay dy 2 x 2 A A
Benzer işlemler, sırasıyla, zx-düzleminde ve yz-düzleminde bulunan halkalar için yapılırsa aşağıdaki bağıntılar bulunurdu. x z Czx Adl C1 C2 C3 C4 dxdz z x C zx yz A A A A z y Cyz Adl C1 C2 C3 C4 dydz y z C En genel durumda, xyz-eksen takımındaki herhangi bir kapalı halka için, z y x z y x C Adl dydz dxdz dxdy C A A A A A A y z z x x y A Ay z Ax A A z y A x xˆ yˆ zˆ xdydz ˆ ydxdz ˆ zdxdy ˆ y z z x x y sonucuna ulaşılır. A da
A, A vektör alanının rotasyonelidir : C halkasının çevrelediği S yüzeyi sonsuz küçük seçilirse ölçüde değişmez. Böylece rotasyonel için, 1 A lim Adl S0 S C C Adl A da A önemli yazılabilir. Bir vektör alanının bir noktadaki rotasyoneli, yüzey alanı sıfıra giderken, birim yüzey başına noktayı çevreleyen kapalı halka boyunca vektör alanının çizgi integralidir ve ilgili nokta etrafında ne kadar kıvrıldığının bir ölçüsüdür. Bir vektör alanının rotasyoneli, del operatörü ile vektör alanı arasındaki vektörel çarpma işlemi ile de bulunabilir. xˆ yˆ zˆ A x y z A A A x y z
C halkasının çevrelediği S yüzeyini sonsuz küçük halkalara böldüğümüzü varsayalım. Bu durumda komşu halkaları da hesaba katmamız gerekecektir. Komşu halkaların birbirine temas eden çizgileri boyunca alınan çizgi integrallerinin toplam katkısı sıfır olacaktır. Bu durumda toplam integral, S yüzeyini çevreleyen dış halka üzerinden alınanla aynı olur. C A dl A da i i1 C i1 i i i C S C S Stokes teoremi A dl A da Rotasyonel için temel teorem
Bir vektör alanının bir noktadaki rotasyoneli, vektör alanının ilgili nokta etrafında hangiyönde ne kadar kıvrıldığının bir ölçüsüsüdür. A 0 (rotasyon saat ibrelerinin tersi yönünde) A 0 (rotasyon saat ibreleri yönünde) z z A 0 ilgili nokta etrafında rotasyon yoktur. Bu tür alanlara " dolanımsız" denir.
Bazı önemli vektör özdeşlikler: Bir gradiyentin rotasyoneli her zaman sıfırdır: 0 f = ˆ ˆ ˆ x y z f x y z f f f x y z 2 2 2 2 2 2 f f f f f f xˆ yˆ zˆ yz zy zx xz xy yx 0
Bir rotasyonelin diverjansı her zaman sıfırdır: A 0 A Ay A x A z x y zˆ x y z y z z x x y Az y Ax Az x ˆ + y ˆ + ˆ ˆ ˆ A A A A A A x x y z y z x z x y z y x z y 2 2 2 2 2 2 A A z y A A x A z y Ax xy xz yz yx zx zy 0
Bir gradiyentin diverjansı fonksiyonun Laplasyenine eşittir: f = 2 f f f f x + y + z x+ y+ zˆ x y z x y z f ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 f f f + + x y z 2 2 2 2 2 2 + + f 2 2 2 x y z f 2 f
TEOREM-1: Dolanımsız vektör alanları aşağıdaki özellikleri sağlarlar. F = 0 b a F dl çizgi integrali yoldan bağımsızdır. F dl 0 C Kapalı bir halka için F = V V : skaler potansiyel SONUÇ: F = 0 F V
TEOREM-2: Solenoidal vektör alanları aşağıdaki özellikleri sağlarlar. F=0 F da S yüzey integrali yüzeyden bağımsızdır. F da 0 S Kapalı bir yüzey için F = A A : vektör potansiyel SONUÇ: F = 0 F A
HELMHOLTZ TEOREMİ: Uzayın her noktasında tanımlı, sürekli ve türevlenebilir herhangi bir vektör alanı, dolanımsız ve solenoidal olmak üzere iki terimin toplamı şeklinde verilebilir. F = F + F dol. sol. F dol. = 0 F sol. = G F = F dol. = g ve F = g F = 0 F = F = G dol. sol. sol. Helmholtz teoremi: Bir vektör alanı belirlemek, hem diverjansı hem de rotasyoneli biliniyorsa mümkündür.
Sınırlandırılmamış bir bölge söz konusu ise, sonsuzdaki bir noktada vektör alanının diverjansı ve rotasyoneli sıfır olmalıdır. Sınırlandırılmış bir bölge söz konusu ise, vektör alanının sınırdaki normal bileşeni, bölgenin her yerindeki diverjansı ve rotasyoneli bilinmelidir. F = 0 F V dol. dol. F = 0 F A sol. sol. V A : Skaler Potansiyel Alan : Vektör Potansiyel Alan F = V + A
SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR: Herhangi bir P noktası, silindirik koordinatlarda (s,,z) cinsinden verilir. z : P noktasının z koordinatı s : P noktasının z-ekseninden olan dik uzaklığı : P noktasını z-eksenine birleştiren doğrunun x-ekseni ile yaptığı açı Silindirik koordinatlarda yüzey ve hacim elemanları: da da da s z sddz sˆ sdds zˆ dsdz ˆ dτ ds sd dz z d sd ds s z s z P x dz ẑ ˆ ŝ ˆ ˆ dl ds s sd dz zˆ y
GRADİYENT: f 1 f ˆ ˆ f f = s+ + zˆ s s z DİVERJANS: 1 1 F = sf s + F + F s s s z ROTASYONEL (KÖRL): 1 F F z Fs Fz ˆ 1 Fs F sˆ sf zˆ s z z s s s z
KÜRESEL KOORDİNATLAR: Herhangi bir P noktası, küresel koordinatlarda (r,,) cinsinden verilir. r : noktanın orijinden olan uzaklığı : orijini P noktasına birleştiren doğrunun z-ekseni ile yaptığı açı : orijini P noktasına birleştiren doğrunun xy-düzlemindeki iz düşümünün x-ekseni ile yaptığı açı Küresel koordinatlarda yüzey ve hacim elemanları: 2 dar r sindd r sin ˆ rdrd ˆ da r drd da dτ = dr rdθ rsinθd ˆ x z P r x z rsind dr d y rd ˆr ˆ ˆ ˆ dl = dr r + rdθ θ + rsinθd ˆ r ˆ y
GRADİYENT: f ˆ 1 f = r + f θ+ ˆ 1 f ˆ r r θ rsinθ DİVERJANS: 1 2 1 1 F F 2 r Fr sin F r r r sin r sin ROTASYONEL (KÖRL): 1 F sin ˆ 1 1 ˆ 1 Fr Fr F F r rf rf ˆ r sin r sin r r r