LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA
İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti... Mutlk Değer Fonksionun Limiti... 6 Prçlı Fonksionlrın Limiti... 0 Trigonometrik Fonksionlrın Limiti... 5 0 Belirsizliği... 0 0 Belirsizliği... 6 Bzı Özel Belirsizlikler... Sonsuz Geometrik Dizilerin Limiti... 50 Süreklilik... 58 Genel Tekrr 5 Test... 66
LİMİT Limit kee nlmı olrk sınır, uç nokt demektir. SOLDAN VE SAĞDAN YAKLAŞIM ir reel sı olsun. soldn klşım sğdn klşım ( ile gösterilir) ( ile gösterilir) Soldn it, sğdn ite eşitse fonksionun = noktsınd iti vrdır. f ( ) = f ( ) = L " " O hlde f ( ) = L " Soldn it, sğdn ite eşit değilse fonksionun = noktsınd iti oktur. GRAFİK ÜERİNDE LİMİT KAVRAMI. c f ( ) = f ( ) = c " " f()! c olduğundn f() fonksionunun = noktsınd iti oktur. LİMİT TANIMI VE GRAFİK SORULARI f ( ) oktur. " ÖRNEK = 6 olsun. 6. f(). f() 5 5, 5,5 5,8 5,9 6,0 6, 6,5 6,6 7 8 c soldn klşım sğdn klşım d Burd = 6 sısın sğdn zln değerlerle, soldn rtn değerlerle klşım olmktdır. SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT c f(). f ( ) = f ( ) = " " O hlde; f ( ) = " f() f ( ) = f ( ) = c " "! c olduğundn f() fonksionunun = noktsınd iti oktur. f ( ) oktur. " f() = d olmsı iti etkilemez. Şekildeki noktsın soldn rtn değerlerle klşılırs fonksion rtrk gii ir nokt kınsr. Bu durum fonksionun soldn iti denir. f ( ) = " Şekildeki noktsın zln değerlerle klşılırs fonksion zlrk c gii ir nokt kınsr. Bu durum fonksionun sğdn iti denir. f ( ) = c " f ( ) = f ( ) = " " O hlde; f ( ) = " Burd f() fonksionunun = noktsınd tnımlı olmmsı iti etkilemez. 5. f() c f ( ) = f ( ) = " f ( ) = " " f() = c olmsı iti etkilemez.
.. 5. 6 5 5 5 5 Yukrıd = f() fonksionunun grfiği verilmiştir. Bun göre f() fonksionunun ( 6, 5) rlığındki kç tm sı değeri için iti oktur? B) C) 5 D) E) 6 Yukrıd grfiği verilen f() fonksionu için şğıdkilerden hngisi nlıştır? f ( ) = " B) f ( ) = " C) f ( ) = " D) f ( ) = " 0 E) f ( ) = " Grfiği verilen f() fonksionu için şğıdkilerden hngisi nlıştır? f ` j = " B) f ` j = " 0 C) f ` j = " 5 D) f ` j = 0 " E) f ` j = " 6... Grfiği verilen = f() fonksionunun (, ) rlığındki kç tm sı değeri için it vrdır? B) 5 C) 6 D) 7 E) 5 Yukrıd grfiği verilen f() fonksionu için = f ` j " = f ` j " c= f ` j " 5 d= f ` j " 0 olduğun göre cd toplmı kçtır? B) C) 9 D) E) 5 Yukrıd f() fonksionunun grfiği verilmiştir. Bun göre I. f ` j = " II. f ` j = " III. f ` j = 0 " 0 ifdelerinin hngileri doğrudur? Ylnız I B) I ve II C) I ve III D) I, II ve III E) II ve III. A. B. E. C 5. E 6. D
AÇIK UÇLU SORULAR. ` 67j " ifdesinin değeri kçtır? (0) 5. 0 " 8 ifdesinin değeri kçtır? (6) 9. k k ` 6 j = 0 h" m" g" u olduğun göre k nın pozitif değeri kçtır? (). e " o ifdesinin değeri kçtır? ( ) 6. f ( ) = 5 " " g ( ) = olduğun göre 8 f ( ) g ( ) B " ifdesinin değeri kçtır? 0. eln ln o " e ifdesinin değeri kçtır? (6) (6). f p " ifdesinin değeri kçtır? ` j 7. f " 5 p 5 ifdesinin değeri kçtır? f 5 p. ( )( )( ) = " 5 ( )( )( 5 ) = " olduğun göre. çrpımı kçtır? (7!) `m j m. = " n 6 olduğun göre m n toplmı kçtır? 7 e o k 8. = " olduğun göre k kçtır? (6). > 0 olmk üzere 9 = " " olduğun göre kçtır? ` j 0
SÜREKLİLİK SÜREKLİLİK f : A R ve d A olsun. f fonksionunun = noktsınd sürekli olmsı için f ` j = f ` j = f ` j " " olmlıdır. Yni fonksionun sğdn iti soldn iti ve = noktsındki görüntüsü iririne eşit olmlıdır. ÖRNEK Yukrıd f() fonksionunun grfiği verilmiştir. Bun göre f() fonksionunu (, 5) rlığınd sürekli olduğu ve süreksiz olduğu tm sı değerlerini ulunuz. ÇÖÜM Süreklilik Süreksizlik Noktlrı Noktlrı 0 5 f() f(), (,) rlığınd süreklidir. f() f(),, rlığınd süreklidir. Limit konusund, uç noktlrdki it değeri hesplnırken sdece sğdn ve soldn ite kılcğını htırlın. Bundn dolı f ` j = f ` j " f ` j = f ` j " olduğundn f() uç noktlrd süreklidir. f ve g fonksionlrı = noktsınd sürekli ve g() 0 olmk üzere (f g)(), = d süreklidir. (f g)(), = d süreklidir. (f.g)(), = d süreklidir. ÖRNEK, > f ( ) = 0, =, = fonksionu = noktsınd sürekli olduğun göre. çrpımı kçtır? ÇÖÜM f() fonksionu = noktsınd sürekli olduğu için f ( ) = f ( ) = f ( ) " " olmk zorunddır. =. = 0 = 8 ve = ulunur. O hlde. = ( 8).( ) = 6 ÖRNEK 0, > 0 6 f ( ) =, G 0 6 olduğun göre f() fonksionu in kç frklı değeri için süreksizdir? ÇÖÜM Pdı sıfır pn değerlerde fonksion süreksizdir. 6 = 0 denkleminin çözümünden = ve = ulunur. > 0 olduğundn sdece = için fonksion süreksizdir. ÖRNEK sin, 0 f ( ) =, = 0 fonksionu = 0 noktsınd sürekli olduğun göre kçtır? ÇÖÜM f ( ) = f ( ) = f0 ( ) " 0 " 0 sin sin = = " 0 " 0 = = f e o g ( ), = d süreklidir. (fog)(), = d sürekli de olilir süreksiz de olilir. Bu üzden kesin ir şe sölenemez. Rsonel ifdelerde pdı sıfır pn değerler Çift dereceli köklerde kökün içerisini sıfırdn küçük pn değerler log f ( ) şeklindeki denklemlerde f ( ) G 0pn değerler süreksizlik noktlrıdır. 6 = 0 denkleminin çözümünden = ve = ulunur. G 0 olduğundn sdece = için fonksion süreksizdir. = 0 kritik nokt olduğu için fonksionun sürekli olup olmdığın klım. 0 0 e 0 o= " 6 6 = 0 " 0 e o 6 Sğ it sol ite eşit olmdığı için = 0 noktsı d süreksizlik noktsıdır. 58
AÇIK UÇLU SORULAR 5. f ` j= m fonksionu her reel sısı için sürekli olduğun göre m nin lcğı tm sı değerleri kç tnedir? (7)., > 5 f ` j= 6, G fonksionunun sürekli olduğu en geniş rlık nedir? (R) 7. f() = I 6 I fonksionu için şğıdki ifdelerden hngileri doğrudur? I. = de süreksizdir. II. = 6 d süreksizdir. III. Reel sılrd süreklidir. (Ylnız III)., < f ` j=, G <, H fonksionu R de sürekli olduğun göre kçtır? () 5. 7, 0 9 f ` j=, G 0 f() fonksionu in kç frklı değeri için süreksizdir? () 8. f ` j= log 9 fonksionunun sürekli olduğu tm sı değerleri toplmı kçtır? (5). sin, > 0 f ` j=, = 0, < 0 fonksionu R de sürekli olduğun göre. çrpımı kçtır? 6. f ` j= fonksionu = noktsınd süreksiz olduğun göre kçtır? 9. f ` j= g ` j= fonksionlrı verilior. Bun göre (fog)() fonksionunu süreksiz pn kç frklı değer vrdır? ( ) ( ) () 6
. n " e n n e o. e o n n n o. e o. e o n itinin değeri kçtır? B) C) 0 D) E) 7. sin ` 9j " 7 9 itinin değeri kçtır? B) 98 9 D) 0 E) C) 9. ve gerçel sılrdır. ` j `j0 = " ` j = 0 olduğun göre toplmı kçtır? 0 B) 0 C) 5 D) E). " 5 5 5 5 itinin değeri kçtır? C) 5 5 6 5 E) B) D) 5 5 6 5 5 5. " ln itinin değeri kçtır? B) C) D) 0 E) cos sin 8. " 0 cos sin itinin değeri kçtır? B) C) D) E) 0 9. m n = n 0 " n 8 tn. `m nj m olduğun göre n kçtır? 0 B) C) 0 D) E) 7. " itinin değeri kçtır? 5 6 B) 8 C) D) 80 E) 6 7. " 5 5 itinin değeri kçtır? 5 B) C) D) E) 0 7 r cose o 6. " itinin değeri kçtır? B) C) 0 D) E) 0 0.. lne o " itinin değeri kçtır? e B) 0 C) D) 0 E). f ` j= fonksionunun = için iti şğıdkilerden hngisidir? B) 8 C) D) 0 E) 8. E. E 5. A 6. B 7. A 8. D 9. D 0. B. C. D. A. A
7. f ` j= fonksionunun sürekli olduğu en geniş rlık şğıdkilerden hngisidir? R B) R C) R D) {} E) R {}. 0 Yukrıdki verilen f() fonksionunun (, ) rlığınd; süreksiz olduğu noktlrın psisler toplmı, (, ) rlığındki tm sılrd vr oln itler toplmı olduğun göre toplmı kçtır?. sin tn f ` j=,, > 0 G 0 fonksionu = 0 noktsınd sürekli olduğun göre kçtır? 0 B) C) 7 D) E) 0 B) C) D) E). 0 f() 5, >. f ( ) = *, G fonksionu reel sılrd sürekli olduğun göre kçtır? B) C) D) E). I. f ` j= II. sin` 9j f ` j = III. f ` j= Yukrıdki fonksionlrdn hngileri reel sılr kümesinde süreklidir? Ylnız I B) Ylnız II C) Ylnız III D) I ve II E) I, III Yukrıd f() fonksionunun grfiği verilmiştir. Bun göre şğıdki fonksionlrdn hngileri = noktsınd süreklidir? I. II. III. f ` j f ` j f ` j f ` j f ` j f ` j Ylnız I B) Ylnız II C) I ve II D) Ylnız III E) I, III k, > 0. f ( ) = 6, G 0 fonksionu reel sılrd sürekli olduğun göre k kçtır? 5 B) C) D) E). f ` j=,, 0 G 0 fonksionunun süreksiz olduğu kç frklı nokt vrdır? 0 B) C) 9 D) E)., < f ` j= m 7, = mk., > f() fonksionunun = noktsınd sürekli olmsı için k nın lcğı değerler çrpımı kçtır? 55 B) D) E) 0 C) 6. E. B. C. D. A. E. B. A. A
. = `j ( 7) G = 5 " 5 olduğun göre kçtır? B) C) 0 D) E), <. f ( ) =, H fonksionu verilior. Bun göre ` fof j` j " itinin değeri kçtır? 7. f() 6 B) C) D) E) Yukrıd verilen = f() fonksionun (, 6) rlığınd sürekli olduğu tm sı değerlerinin toplmı kçtır? 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) 0, H. f ( ) = *, <, > g ( ) = *, G fonksionlrı verilior. Bun göre ` fog j` j itinin " değeri kçtır? 0 B) 5 C) 0 D) 7 E) 9 5. " itinin değeri kçtır? D) 5 B) C) E) sin 8, 0 8. f ( ) = 5, = 0 fonksionunun sürekli olduğu en geniş rlık şğıdkilerden hngisidir? (, ) B) R {0} C) D), ) E) (, ). " itinin değeri kçtır? 0 B) C) E) E) 5 6. k " = olduğun göre `k k5j "75 itinin değeri kçtır? B) 5 C) 7 D) E) 6 9. Belirli ir ükseklikten ere ırkıln ir top ere her çrpışınd ir önceki üksekliğinin %60 ı kdr ükselior. Bun göre topun durunc kdr düşede ldığı ol 80 olduğun göre top şlngıçt kç metre ükseklikten ırkılmıştır? 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) 0. D. A. C. A 5. E 6. A 7. C 8. B 9. E 77