C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 4, Sayı, 3 97 ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ Yalçı KARAGÖZ Cumhuriyet Üiversitesi İİBF, İşletme Bölümü Özet Bu çalışmada üstel ve Ki-Kare dağılımları hakkıda geel bilgiler verilmiş ve aralarıdaki ilişki teorik olarak icelemiştir. Bu dağılımlar içi bilgisayar ortamıda simülasyo tekiği ile radom sayı üretimi yapılmıştır. Bu amaçla, üstel ve Ki-Kare dağılımlarıı programları, delphi programlama dili kullaılarak yapılmıştır. Herbir dağılım içi adet radom sayı üretilmiştir. Bu radom sayılar arasıdaki ilişkii belirlemesi içi Ki-Kare uyguluk testi yapılmıştır. Aahtar Kelimeler: Olasılık, Dağılımlar arasıdaki İlişki, Radom Sayılar, Simülasyo, Radom Sayı Üretimi Abstract Demostratio of Relatioship betwee Expoetial ad Chi-Square Distributios With Radom Numbers Produced by Simulatio I this study, the geeral iformatio about expoetial ad Chi-Square distributios have bee give ad relatio betwee them have bee examied theoretically. For these distributios radom umbers have bee geerated by the simulatio method i computer. For this purpose, programmes of expoetial ad Chi-Square distributios have doe by usig delphi programmig laguage. For each distributios radom umbers have bee geerated. For determiatio of relatio betwee this radom umbers the Chi-Square goodess-of-fit test have bee doe. Keywords: Probability, Relatio Betwee Distributios, Radom umbers, Simulatio, Radom Numbers Geeratio GİRİŞ Üstel ve Ki-Kare dağılımları arasıdaki teorik ilişkiyi, üretilecek radom sayılarla da göstermek içi, bu dağılımları belirli parametrelerie göre üretilecek ola radom sayı değerleri arasıdaki uyguluk iceleecek ve %5 öem seviyeside Ki-Kare uyguluk testi yapılacaktır.. ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI VE ARALARINDAKİ İLİŞKİ İÇİN TEORİK BİLGİLER a) Üstel Dağılım Üstel Dağılımı Olasılık Yoğuluk Foksiyou:
98 KARAGÖZ X radom değişke ve α > olmak üzere, λe, x > içi f (x) =, diğer durumlarda foksiyoua, üstel dağılımı olasılık yoğuluk foksiyou deilir. Foksiyodaki λ skala parametresidir. Üstel Dağılımı Birikimli Olasılık Yoğuluk Foksiyou: Üstel dağılımı birikimli foksiyou, olasılık yoğuluk foksiyouda x x x λt λt λt F(x) = λe dt = λ e = e = ( e e ) = e λ olarak elde edilir ve e F(x) = biçimide yazılır. b) Ki-Kare Dağılımı,, x x < içi içi Ki-Kare Dağılımıı Olasılık Yoğuluk Foksiyou: X radom değişke ve tamsayı olmak üzere, f (x) = Γ( / ) / x e x /,, < x < x foksiyoua, Ki-Kare dağılımı olasılık yoğuluk foksiyou deilir. dağılımı serbestlik derecesii göstere şekil parametresidir. Ki-Kare Dağılımıı Birikimli Olasılık Yoğuluk Foksiyou: Ki-Kare dağılımıı birikimli foksiyou, olasılık yoğuluk foksiyouda x t.e e F(x) = P(X x) = dt = - / Γ( / ) biçimide yazılır (Aytaç 999: 38). t k= c) Üstel ve Ki-Kare Dağılımları Arasıdaki İlişki f (x) = λe -x (x) k! k, x >
C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 4, Sayı, 3 99 üstel dağılım foksiyouda λ = / alıdığıda, serbestlik derecesi = ola x χ (x) = e Ki-Kare dağılımı meydaa gelir (Leemis 986 43-44).. RANDOM SAYI ÜRETİMİ Bu çalışmada, radom sayı üretimi içi simülasyo tekiği kullaılacaktır aralığıda düzgü (üiform) olarak dağılmış, her birii seçilme olasılığı diğerie eşit ve meydaa geliş sıraları birbiride bağımsız ola sayılardır (Sarıasla, 998: 74). Radom sayılar; [,] Simülasyo; gerçek sistemi modelii tasarımlaması ve bu model ile, sistemi işletilmesi amacıa yöelik olarak, sistemi davraışıı alayabilmek veya değişik stratejileri değerledirebilmek (ölçütler kümesii verdiği sıırlar içide) içi deeyler yürütme sürecidir (Erkut 99: ). Dağılımları Algoritmaları a) Üstel dağılım: Üstel dağılımı,, x < içi F(x) = e, x > içi birikimli olasılık yoğuluk foksiyoua, ters döüşüm metodu uygulaarak, ( U) l - U = F(x) = e e = - U λx = l( - U) x = λ buluur. -U ifadeside U radom sayı olduğua göre U(.) de radom sayıdır. Dolayısıyla, l U x =, x <, λ > λ yazılır (Şahi : 64;Pfeiffer 99: 57; Keedy-Getle 98: 77; Tuckwell 988: 84; Bajpaı-Calus-Fairley 986 3 7; Kheir 988: 8; Ripley 987: 59; Rice 988: 58; Pritsker 986: 73; Hoower-Perry 99: 66). Radom sayı üretimi:. U = U(,) üretilir.
KARAGÖZ l U. x = olarak hesaplaır ve souç dödürülür. λ b) Ki-Kare Dağılımı: Z, i, Z,..., Z i =,..., olmak üzere, tae bağımsız stadart ormal dağılım içi Z toplamı ile, serbestlik dereceli Ki-Kare dağılımı elde edilir ve χ i= Z i biçimide yazılır (Ross989: 49; Matloff 988: 95,8-9; Sobol 984: 8-8). i değeri arttıkça, stadart ormal dağılım, ki-kareye yaklaşmaktadır (Dagpuar 988: 8-9). Radom sayı üretimi:. Z i, i =,..., bağımsız stadart ormal dağılımı üretilir.. χ Z i olarak hesaplaır ve souç dödürülür. i= 3. DAĞILIMLAR ARASINDAKİ İLİŞKİNİN BELİRLENMESİ Üstel dağılım ile Ki-Kare dağılımı arasıdaki ilişkiyi, üretile radom sayılarla da göstermek içi, olduğu durumlarda güçlü bir test ola (Halaç, 998: 5) Ki-Kare uyguluk testi uygulaacaktır. a) Üstel Dağılım ile Ki-Kare Dağılımı Arasıdaki İlişki.3 de, üstel dağılım içi λ = / alıırsa; = serbestlik dereceli Ki- Kare dağılımı elde edildiği teorik olarak izah edilmiştir. Burada, λ = / parametresie göre EK 3 de üretilmiş ola üstel dağılımı radom sayı değerleri ile, = parametresi kullaılarak EK 4 de üretilmiş ola Ki-Kare dağılımıı radom sayı değerleri arasıdaki uyguluğu tespiti içi Ki-Kare uyguluk testii uygulaması aşağıda yapılmıştır.. Hipotezler. H : λ = / içi üretile üstel dağılımı radom değerleri ile = içi üretile Ki-Kare dağılımıı radom değerleri arasıda ilişki vardır. H : λ = / içi üretile üstel dağılımı radom değerleri ile = içi üretile Ki-Kare dağılımıı radom değerleri arasıda ilişki yoktur.
C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 4, Sayı, 3. Test İstatistiği Her iki dağılım içi elde edile değerleri birbirie uygu olup olmadığıı tespit etmek içi Ki-Kare testi uygulaırsa, Tablo: Ki-Kare ve Üstel Dağılımları içi Ki-Kare Uyguluk Testi Üstel içi radom sayı aralıkları.3.3.6.6 3.9 3.9 5. 5. 6. 5 6.5 7.8 7.8 9. 9..4.4.7.7 3 3 8 Üstel içi aralıklara düşe radom sayı miktarı 46 79 5 63 38 7 7 3 3 Ki-Kare içi radom sayı aralıkları.3.3.6.6 3.9 3.9 5. 5. 6. 5 6.5 7.8 7.8 9. 9..4.4.7.7 3 3 8 Ki-Kare içi aralıklara düşe radom sayı miktarı 484 47 9 73 33 8 9 Ki-Kare uyguluk testi.9 4.5.3.37.76.76.3 4...5. Toplam χ = 3. 6 χ = 3.6 soucu buluur. 3. Karar Modeli ve Karar Üstel ve Ki-Kare dağılımlarıda tahmi edile parametre sayısı bir olduğuda m = alıır (Akyol-Gürbüz : 4) ve kritik değer χ tablosuda, s.d = r -- m = -- = 9 χ α =.5 olarak buluur..5; 9 = 6.9 χ = 3.6 < χ.5; 9 = 6.9 olduğuda H hipotezi kabul edilerek λ = / içi üretile üstel dağılımı radom değerleri ile, = içi üretile Ki- Kare dağılımıı radom değerleri arasıda ilişki olduğua %5 öem seviyeside karar verilir. SONUÇ Bu çalışmada, teorik olarak aralarıda ilişki bulua üstel ve Ki-Kare dağılımları içi simülasyo tekiği ile radom sayı üretimi yapılmıştır. Her iki
KARAGÖZ dağılım arasıdaki teorik ilişkii, üretile radom sayılar arasıda da, buluup bulumadığı icelemiştir. Bu amaçla; radom sayıları üretimi içi delphi programlama dili ile programları yapılarak her iki dağılım içi adet radom sayı üretilmiştir. Üretile bu radom sayılar arasıdaki ilişkii varlığıı tespit etmek içi; EK 3 de üretilmiş ola λ = / parametreli üstel dağılımı radom sayı değerleri ile, EK 4 de Ki-Kare dağılımıı = parametresi içi üretilmiş ola radom sayı değerleri arasıdaki ilişkii tespiti içi Ki-Kare uyguluk testi yapılmış ve %5 öem seviyeside uygu olduğu gözlemiştir. Kayaklar Akyol, Mehmet ve Fikret Gürbüz (), Üç Yölü Tablolarda χ İstatistiğii Kullaılması, İstatistik Araştırma Dergisi, DİE Yayıları, Cilt, No:, 3-7 Aytaç, Mustafa (994), Matematiksel İstatistik, Uludağ Üiversitesi Basımevi, Bursa. Bajpai, A. C., I. M. Calus ad J. A. Fairley (986), Statistical Methods for Egieers ad Scietists, Joh Wiley ad Sos, New York. Dagpuar, Joh (988), Priciples of Radom Variate Geeratio, Cleredo Press, Oxford. Erkut, Haluk (99), Yöetimde Simulasyo Yaklaşımı, İrfa Yayımcılık, İstabul. Halaç, Osma (998), İşletmelerde Simülasyo Tekikleri, 3.Baskı, Alfa Basım Yayım Dağıtım, İstabul. Hoover, Stewart V. ad Roald F. Peery (99), Simulatio, Addiso-Wesley Publishig Compay, Lodo. Keedy, William Jr. ad James E. Getle (98), Statistical Computig, Marcel Dekker, Ic. New York. Kheir, Naim D. (988), Systems Modellig ad Computer Simulatio, Marcel Dekker, Ic. New York. Leemis, Lawrace M. (986), Reliatioships Amog Commo Uivariate Distributios, The America Statisticia, Vol. 4, No:, -3; 43-46 Matloff, Norma S. (988), Probability Modelig ad Computer Simulatio, PWS- KENT Publishig Compay, Bosto. Pfeiffer, Paul E. (99), Probability for Applicatios, Spriger-Verlag, New York. Pritsker, A. Ala B. (986), Itroductio to Simulatio ad Slam II, Joh Wiley ad Sos, New York.
C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 4, Sayı, 3 3 Rice, Joh A. (988), Mathematical Statistics ad Data Aalysis, Califoria. Ripley, Bria D.(987), Stochastic Simulatio, Joh Wiley ad Sos, New York. Ross, Sheldo M. (989), Itroductio to Probability Models, Academic Press, Ic., New York. Sarıasla, Halil (998), Simulasyo Tekiği, Turha Kitabevi, Akara. Sobol, I. M. (975), The Mote Carlo Method, (Çevire ve Uyarlaya: V.I. Kisi), Mir Publishers, Moskow. Şahi, Süleyma (), İstatistiksel Kalite Kotrolüde Üstel ve Weibull Dağılımları X-Kotrol Grafiklerie Uygulaması Üzerie Teorik Bir Yaklaşım, Basılmamış Doktora Tezi, Sivas. Tuckwell Hery C. (988), Elemetary Applicatio of Probability Theory, Chapma ad Hall, Lodo. EKLER EK : Üstel Dağılım İçi Radom Sayı Ürete Delphi Programı procedure TForm.ustel_dagilim; var i,adet:logit; Lamda,u,x:real; f:textfile; dosya:strig; begi adet:=strtoit(edit5.text); Lamda:=strtofloat(edit.text); dosya:=edit4.text; assigfile(f,dosya); rewrite(f); writel(f,'üstel Dağılım',' ','Lamda=',Lamda:5:,' ','radom sayı adeti=',adet); radomize; for i:= to adet do begi u:=radom; x:=-l(u)/lamda; if x> the
4 KARAGÖZ writel(f,x::); ed; closefile(f); ed; EK : Ki-Kare Dağılım İçi Radom Sayı Ürete Delphi Programı procedure Tform.ki_kare_dagilim; var,i,j,adet:logit; u,u,x,x:real; f:textfile; dosya:strig; begi :=strtoit(edit.text); adet:=strtoit(edit5.text); dosya:=edit4.text; assigfile(f,dosya); rewrite(f); writel(f,'ki-kare Dağılımı',' ','Serbeslik derecesi=',,' radom sayı adeti=',adet); radomize; for i:= to adet do begi x:=; for j:= to do begi u:=radom; u:=radom; x:=sqrt(-*l(u))*si(*pi*u); x:=x+x*x; ed; writel(f,x::); ed; closefile(f); ed;
C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 4, Sayı, 3 5 EK 3: Üstel Dağılım (λ =.5, radom sayı adeti = ).8.9..73.95.9.47.5 5.34.6 3.7.65.4.66 6.73.4.. 3.8.5.55.54.63.43.3.5.53.3.46.38.48..8.7.3..3 3.85.88.8.4 3.4.3 3.8. 6.5.57.83.86.96.78.94.86 3.88.5 6.7.6 3...4.47.8.4.6.3..4.49.7.5.4.84.97.9 4.39.9.46.3.8.9 4.4.5.5.3.8.78.4.53.4 4.9.6.6.47.44.3.4 5.46.37.47. 4.8..4 3.55.4.9.7.54.38.35.89 6.7.74.69.86.66.66 3.87.3..98.86.6.7 5.6..89 3.43.7..95.66.49.94..39.3.87.4.4.33.8.74.89 4.84.4.3.44 5.88 3.67.53.6.88.9...49.56 3.9 4.96.8.56.6.3.97 4.34.83 3.4.6.3.5 3.64 6.76 3.4.38.99.5 4.3.7.45.57.3.64.9 4.7.5.68.5.96.65.33...89..48 4.48 4.9.43.56.63.89.86.73.37 3.33.8.8.97..5 3.53 4.4 3.6 3.36.47.8.4 5.63.37.7.77.68 6.7.9.6.85.6.6.3.5.38..6.4.4..4..5..4.84.66. 3.7.6.93..5.54.57.67 3.4.35.4.55.86.36.7.93.3.74.43.56.4.37.3. 4.63.89 5.43 5.8.76.4.59.37.34.6 3.9.56.66.94.6.8.73.33.54 4.88 3.6.86.3.5 3.6.4.38.4.97.8.83 4..37.33.54 5.37.77.3.58.3 3.55.93.8.76 3.58.3 7.8.6.53 3.6.88.8.97.66.48.8 3.8.5.4.4 3.34.75 3.43 3.3 3.4.35.8.7.8.43.4 6.7 3.9.4.6.74.8.5.4.33.65 5..7. 4.57.6.75..7.46 4.68.53.5.49 5.35 5.3 3.9.53.9.9. 5.5 4.44.33.84. 4.9.3.85.3.33.57.89.4.6 3.89.45 4.43 3.6 3.59.3. 5.8.63.4 3.6.6.37.66.69.79 5.88.9 6.3.36.87.87.37.5
KARAGÖZ 6.4.94..79.58 5.5.97.8.93.8.6.35.39.79 3.4 3.7.89.56 5.4.77 3.45 7.44.5.58.8.4.57. 8.5.4.86 3.9.6.43.9.6.5.57.8.4 3.8 3.7 5.6.48.65.44.6 3.3.8..4 7.5..5.8.7 3.56.39.98.85.53 8.6.76.56.68.34 3.85.5.69 5.39.35.8 4.64 3.3.3.63 3.35.5.68.44 5. 3.95.3 3.66.3.93.4 3.47.4.46.64.5 7..33 6.53 3.5.93.6.46.76.54.45 4.4.93 4.35 7.4.3 6.4.34.9.57.94.3 7.5.3.4..4 6.4.5.59.4.48..66.48 7.86 3.33.7 4.8.44.5 3.46.8.37 4.5.9..95 3.56 8.67..78.4.74.38 3.39.33.86..6.98.39 3.3.74.44.66.9 3.95.65 5..5.6 4.6 9.59.8.3.6.97 4.9.. 3.3..9.88.8.53.6.95.4.6.38.8.35 3.56.4 3.8 5.5 4.45.3.73.8.88 3.88.8.7 3.45...88.5..4.4.99.7.4.4.4.46.9.3..8.55.77.8.3.9.34.8.73.5.7.9.3 3.98.54.6.69.6 3.98.64.58.4.6.55.3.39.5.57.8.6.36.8 4.46 5.57.53.77 4.8.5 5.7.9.69.5.6 3.98.7.8.5.93.9 9.5.45.96.6.6 6.78.54.9.7.3 4.56.3.7.37.5. 3..9 3.4.5.4.45.77.45.3.64.7.35.34 4.6.9 3..48.6.4.4 3.38.5 5.45.64.5.7.47.56. 3.37 4.8 3.47.8.47.97 3.4.9.9 5.6..3.8.66.8 4.5.5..3.7.5.46.64.56.88 6.93 5.79.7.5.9.9..8.8.85.87 6..3.67...8 8.86.76.8.4.33.46.3.4.8.63.6.87.67 4..7.7..44 9.95 8.9.77.77 3.68.56.88.4.3 6.6.6.8. 3.49 4.88 4.5.7.34.56 6.6..86.5 3.. 6.77.5 5.4 3.59.7 6.8.99.46.7.8 6.36 5.6.3.5.4.6.54.8.6.4..67.4.56.3. 3.8 3.49.8.77.4.6
C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 4, Sayı, 3 7 6.43.36. 7.65.97.55..77.64.37 3.89 4..56.64.9.57 4.47.3.9.93.74 4.6.83.9.75.66.4.93.99.89.7 3.73.6 4.3.8.75.36 6. 6.49.3 5..67.8.48.9.4.37.75.4.7.5.93.85 7.55 5.9 4.49.34.74.99 4.7.59 9.59.9.7.8.3.86.67.8.7.4.38.88.35.43..7.93.6.5.99.7.48.4. 4.47.3.55.7..88.79.6 5.3 4..4.37 3.3 4.73.5.49.33.64..79. 3.7 3.36.9.7.93.78..6.7.4 3.63..47 3.83.7.3.35.98 3.9..47 5.4 4.4.94.5.8.4.85.73.6.56.8.33.3.74 3.4.4.64.45.9.47 3.73.8.57.6.9.5.53.59 5.39.54 3.3 EK 4: Ki-Kare Dağılımı ( =, radom sayı adeti = ) 4.84.74.3.99.66 4.7.78.4.53.76.6.73.89 3.7.6 3.5.43.7.96 6.6 5.6.3.5.8.5.36.77 4.63.4.9.3 3.38.3.3. 3.5.84.3 3.9.7.3.3.3.3 4.74..55 3.9 3.7.8 6.49.85.35..54..6.4 4.9 3. 3.6 3.6 5. 3...56.5.5.8.37.3.5.98.73.6.7 5.44.39.6 3.85.44.3 4..5. 6.58.79 3.59.97.6.7.36.7.89. 3.48.56.54.4.39.6.58..4 4.8.5.56.45.47.63.5.6.85.8.97.58.6.3.47.9..89.9.59..54.9 3..96.68.34 4.93..65 3.7.7 9.65.57.3 3.6.7.69.8.7.57.4.9 5.94 3.97.53.8.67.6.34.7 3.33 4.8 6.5..3 9.77 4.68 3.33.83 3.7.77.5..8.6.4.64 6.46.8.74.54.5 4.48.33 4. 5.54.7.94 6.7 7.56.6.7.9.65 3.7.9.3.44.8.6.73.7.7.7..6 5.5 6.35.87.4 3.34.3.75.85 4.88.4.3..43 3.66.36.47.35.37.69.3.83. 5.3 5.59.4 5.5.8 3..44..9.48.8.57 4.37 5.48..6.9.6.9.6.98.74
KARAGÖZ 8.7.46.66.3.59 4.5 3.8.5.48.6.77 3.3.33.5 3.59 5.5.77 7. 6.9.7.5. 3.3 4.46.8.9 5.53.45.77.83.87.83.73.64...35.99.9.93...9.3.4.53 4.3..93.3..38.83.76.8.4.94.49.4.8.66.48.4.84 3.59.3.94 3.43.8.69.4.4.3.5 3.44.58 4.99.4.53..57 3..4.4.5.9.6.9.44.3.57.33..85 4.3.35.5 3.4.65.57 7..3 8.4 3.39.33.3..38.73.9.7 4.64.3.95..98..95..85 6. 7.4.8..45 7.3.8 4.9 3.4.4 3.4.6 3.66.5.84.75 8.46.39.48.8.53.3.5 3.36 5.35.36.59.64 3.3.67 4.46.66.4.97.84.48.6 5.79.3.67.7.7.9 4.8.78.34.96.9.7.67.89.58..6.5.89 3.6.9.47 4..83.83.39.44.69 4.48.64.98.97.69.3.57.75.63 9.96.6.4 3.4.5.66.4.7.3.86.3 4.4.86.56 3. 6.55 6.4.. 3.4 5.7.44.6.59.4.39 5.6.58 6. 4.8 3.3.53.3 3.65 4.6 3.6.55 3.34..8...73 6.83 7.5 3.9.7.3.74.4.38.85.7.3.6.39.38.7.6..58.33. 5.47 5.8.94.53.5.53. 3.67.8.8.84..7.79 4.38.33..97.33.6. 5.9.8.7.8 4.7.4..6.67.46.79.83 6.6.44.66.66 6.73.9 8.98 3.86.7 3.6 3.94.55 4.36.79.3.64.39.3.84.53. 7.5.53.4.38.73.4.47.79.7.88.5.44.46.87.6..4.4 3.87.87.4.6 3.8.9.93.7.67.3 4.83.7 5.78.97.9.58.54.49.8.63 3.9 3. 3.8.9.59.3.7.67.64 3.43.8.8..3. 7.46.78.3 3.7.69.39.97 4.85.3.6.8.4 7.8.36 4.56..9 7.7.7.4 3.99.77.4.9.3.79.9 4..7.67.4.6.48.45.64.79.3.5.5.47 6.3 4.8 3.73.4.7.56.37.86.4..3.45.9..75.47.7.93.45.59.39
C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 4, Sayı, 3 9.45. 3.53..9.34.63 3.98.37.85 3..64.65 5.98 3.75 6.75.3.65..3.86 4.79.9.96.6.5.56.94 7.4.55 9.43.9 5.73.3 4....47.7.69 4.7..4.8 5.9.77 4.9.7.6.36.5..74 4.95.4.78.96 3.38 4.77.8.58..49 4.47.5.6.9.48 3.96.9.48.67 3.79.7.33 5.99 5.85..88.35.9.6.86.98.9.4 3.63.56.3.6 4.84 3...77.59.7.54.5.87.4.6.3.9.39.35.9 3. 4.55.7.7.55.3.45.5 6.88 3.6 4 3.6.35 4.58.4.7.55.3.37.4.97.59.9.73.5 5.3.7.44.69.78 3.66 5.9 6.3 5.5.7.98.64 5. 3.5 3.94.46 6.5.39.8.4.4.78.49.84 3.47.48 3.3 5.36.94..66.76.86.6.74.48.4.3.53 3.67.3.5..4. 3.5.8.45 7.88.3.5.5.6.69.35.86.77.6 5.98.3.35 7.89 8.56.6.5.6.87 5.9.49.8 7.3.37.3.4 3.88.9.89 5.84..8 5.87.9 9.36.7.57 4.48.9.8 3.37 4.5.4.8.93.6.58.7.55.54.38.77.53.7.3.74 5. 8.6.44 4.6.46 3..74.5.5. 3.99.5.7.83.47.98.4..3 8.4.7.76 9.47.77.4.77.74.47.78.99.6 6.89..77.3.9.49.74.39 9.8 3.57.8.35.4.87.74.56.4.4.74.3.9 4.76.5 3.76 4.67.5 4.9.4.4.33..34.69.3.83.8 3.3.94 3.45.9.3.67.34.3..3.3.5