KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 009 ANKARA
Muhib ABULOHA tarafıda hazırlaa KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ adlı bu tezi Doktora tezi olarak uygu olduğuu oaylarım. Doç. Dr. A. Dura TÜRKOĞLU Tez Daışmaı, Matematik Aabilim Dalı. Bu çalışma, jürimiz tarafıda oy birliği ile Matematik Aabilim Dalıda Doktora tezi olarak kabul edilmiştir. Doç. Dr. Ayha ŞERBETÇİ Matematik Aabilim Dalı, Akara Üiversitesi Doç. Dr. A. Dura TÜRKOĞLU Matematik Aabilim Dalı, Gazi Üiversitesi Doç. Dr. Nurhayat İSPİR Matematik Aabilim Dalı, Gazi Üiversitesi Doç. Dr. Alev KANIBİR Matematik Aabilim Dalı, Haettepe Üiversitesi Yrd. Doç. Dr. Çeti VURAL Matematik Aabilim Dalı, Gazi Üiversitesi..... Tarih : / 06 / 009 Bu tez ile G.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü Yöetim Kurulu Doktora dereesii oamıştır. Prof. Dr. Nail ÜNSAL Fe Bilimleri Estitüsü Müdürü.
TEZ BİLDİRİMİ Tez içideki bütü bilgileri etik davraış ve akademik kurallar çerçeveside elde edilerek suulduğuu, ayrıa tez yazım kurallarıa uygu olarak hazırlaa bu çalışmada orijial olmaya her türlü kayağa eksiksiz atıf yapıldığıı bildiririm. Muhib ABULOHA
iv KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ (Doktora Tezi) Muhib ABULOHA GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Hazira 009 ÖZET Bu çalışmada, koik metrik uzay üzeride bazı temel topolojik yapılar ve taımlar geelleştirildi. Öreği, dizisel kapalı küme, sıırlı ve tamame sıırlı kümeler, ağı, Lebesgue elemaı, kompakt küme, sürekli ve dizisel sürekli döüşümler. Ayrıa, her koik metrik uzayı topolojik uzay, birii sayılabilir topolojik uzay ve T4 uzayı olduğu ispatladı. Koik metrik uzay üzerideki Baire i kategori teoremii ispatlamak içi yoğu olmaya, birii (Meager) ve ikii (Meager değil) kategoride taımlar verildi. Ayrıa, koik ormlu uzaylar ve koik Baah uzaylar taımladı. İki küme arasıdaki uzaklık koik metrik uzay üzeride taımlaarak, koik metrik uzaylar üzeride bazı örekler verildi. Koiği kuvvetli miihedral koik olduğu kabul edilerek, bazı sabit okta teoremleri elde etmek içi koik metrik uzaylar üzerideki çapsal büzülebilir ve asimptotik çapsal büzülebilir döüşümleri taımları verildi.
v Souç olarak, koik metrik uzay üzerideki iki okta arasıdaki skaler uzaklığı taımlayarak geelleştirilmiş büzülme döüşümleri, bazı sabit okta teoremleri ve ortak sabit okta teoremleri elde edildi. Bilim Kodu : 04..3 Aahtar Kelimeler : Metrik uzay, koik metrik uzay, koik ormlu uzay, koik Baah uzay, sabit okta, çapsal büzülebilir, asimptotik çapsal büzülebilir ve geelle ştirilmiş döü şümler, miihedral koik, kuvvetli miihedral koik. Sayfa adedi : 66 Tez Yöetiisi : Doç. Dr. A. Dura TÜRKOĞLU
vi CONE METRIC SPACES AND SOME FIXED POINT THEOREMS ( Ph.D. Thesis ) Muhib ABULOHA GAZI UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Jue 009 ABSTRACT I this study, some topologial oepts ad defiitios are geeralized to oe metri spaes suh as: sequetially losed set, bouded ad totally bouded sets, et for sets, Lebesgue elemet, ompat sets ad otiuous ad sequetially otiuous mappigs. It is proved that every oe metri spae is topologial spae, first outable topologial spae ad T4 spae. To prove Baire s Category theorem i oe metri spaes, owhere dese (Rare), Meager (first ategory) ad Nomeager (seod ategory) sets are defied. Also, oe ormed spaes, oe Baah spaes ad the distae betwee two sets i oe metri spaes are defied. Furthermore, aompaied with some examples. To obtai some fixed poit theorems i oe metri spaes, by assumig that the oe is a strogly miihedral oe, diametrially otrative ad asymptotially diametrially otrative mappigs are defied i oe metri spaes.
vii Fially, some fixed poit theorems ad ommo fixed poits theorems of geeralized otratio mappigs are obtaied by defiig the salar distae betwee two poits i oe metri spaes. Siee Code : 04..3 Key Words : Metri spae, oe metri spae, oe ormed spae, oe Baah spae, fixed poit, diametrially otrative mappig, asymptotial diametrially otrative mappig, geeralized otratio mappig, miihedral oe, strogly miihedral oe. Page Number : 66 Adviser : Asso. Prof. Dr. A. Dura TÜRKOĞLU
viii TEŞEKKÜR Bu tez kousuu baa vere, çalışmalarım boyua, destekleye ve yöledire hoam Doç. Dr. A. Dura TÜRKOĞLU a teşekkürü bir borç bilirim. Ayrıa tez döemi boyua baa burs vere TÜBİTAK ( Türkiye Bilimsel ve Tekik Araştırma Kurumu), Tez izleme komitesie, Matematik Bölümü elemalarıa, Filisti ve Türkiye halkıa, tezi yazımıda yardımı ola Arş. Gör. Mustafa AŞÇI ya, bede desteğii hiçbir zama esirgemeye aem, babam, eşim ve çok sevdiğim çouklarıma teşekkür ederim.
ix İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...iv ABSTRACT...vi TEŞEKKÜR...viii İÇİNDEKİLER...ix SİMGELER VE KISALTMALAR...x. GİRİŞ.... BAZI TEMEL KAVRAMLAR...4 3. KONİK METRİK UZAYLAR... 3.. Koik Metrik Uzaylarda Bazı Temel Taım ve Teoremler... 3.. Koik Metrik Uzayda Baire Kategori Teoremi...9 3.3. Koik Normlu Uzaylar...37 4. SABİT NOKTA TEOREMLERİ...4 4.. Koik Metrik Uzaylarda Çapsal Büzülebilir ve Sabit Nokta Teoremleri...4 4.. Koik Metrik Uzaylarda Geelleştirilmiş Büzülme Döüşümleri...49 4... Geelleştirilmiş büzülme döüşümleri içi sabit okta teoremleri...49 4... Geelleştirilmiş büzülme döüşümleri içi ortak sabit okta teoremleri...56 5. SONUÇ...6 KAYNAKLAR...6 ÖZGEÇMİŞ...66
x SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullaıla bazı simgeler, açıklamaları ile birlikte aşağıda suulmuştur. Simgeler ( X, ρ ) Açıklamalar Metrik uzay ( xy, ) ρ Metrik, x ile y arasıdaki uzaklık ( X, d ) d( xy, ) sup A max A if A φ A A Koik metrik uzay Koik metrik, x ile y arasıdaki uzaklık A ı e küçük üst sıırı (Supremum) A ı e büyük elemaı (Maksimum) A ı e büyük alt sıırı (İfimum) Bo ş küme A kümesii kapaışı A kümesii tümleyei { x } Dizi x x { x } dizisi x e yakısar Do ğal sayılar kümesi Reel say ılar kümesi + Pozitif reel say ılar kümesi Alt küme Elema
xi Simgeler Açıklamalar P E İçP Elema de ğil Öyle ki E az Her ( herhagi) Koik Reel Baah uzay P i içi x y ( y x) P x < y x y fakat, x y x<< y ( y x) İçP δ ( A) δ ( A) = sup{ d( x, y) : x, y A} δ ( A ) δ A ) limδ ( A ) a =, ({ A } a ( T : X X T, X te X e bir döüşüm, ( A ı çapı deir) ı asimptotik çapı deir) τ Topoloji ( X, τ ) Topolojik uzay. Norm ( X,.) Normlu uzay. Koik orm ( X,. ) Koik ormlu uzay
xii Simgeler Açıklamalar d ( xy, ) d( xy, ) θ S ıfır vektör C m ([ ab, ]) [, ] ab aralığıda m. dereede türevi sürekli, reel de ğişkeli reel değerli foksiyolar L p L p [ π] x:0, Lebesgue ölçülebilir ve x = x() t dt <, < p < p 0 = π p p l p p p lp = x : x = xi, p p < < < i. Mutlak de ğer f f + f ' f { () } f = if M 0:heme heme herx içi f x M
. GİRİŞ Moder matematiği gelişimi, aalizi soyut ve aksiyomatik yötemleride etkilemiştir. Kümeleri ebirsel özelliklerii aalizi geli şimie çok fazla faydası olmadığı içi metrik uzaylara ihtiyaç duyulmuştur. Metrik uzaylar ilk olarak 906 yılıda Maurie Frèhet tarafıda verilmiştir [9]. Metrik veya metrik uzay kavramı, klasik aalizde moder aalize geçiş sağlaya çok öemli bir köprüdür. Öyle ki reel ve kompleks teorilerde bilie bir çok öemli özellikleri herhagi bir uzayda asıl yapılaağıı bize gösterir. Ayrıa topolojide soyut ola bir takım kavramlar, metrik uzaylarda daha somut kavramlarla açıklama imkaıı sağlar. Maurie Frèhet 96 yılıdaki bir çalışmasıda da lieer metrik uzayları taımlamıştır [0]. Metrik uzaylarla ilgili detaylı bilgiler ve uygulama alaları şu kayaklarda vardır [,, 4, 43, 44]. Normlu lieer uzaylarda sabit okta teori çalışmaları 90 da Brouwer ile başlamıştır. Brouwer, i kapalı birim yuvarıda yie kedi üzerie taımlaa sürekli döüşümü sabit oktasıı varlığıı kaıtlamıştır []. Daha sora 930 da Shauder, Brouwer i teoremii aşağıdaki şekilde geişletmiştir [4]. yerie herhagi bir ormlu lieer uzay alarak X bir ormlu lieer uzay, C X kapalı ve koveks bir alt küme ve f : C C olsu. O zama f, C de bir sabit oktaya sahiptir. Metrik uzaylarda sabit okta teorisi 9 de Baah ı büzülme presibi ile başlamıştır [8]. Geel olarak sabit okta teori çalışmaları iki yöde gelişmektedir. Biriisi tam metrik uzaylar üzeride taımlı büzülme ve büzülme tipi döüşümler içi sabit okta teori, diğeri ise ormlu lieer uzayları kompakt koveks alt kümeleri üzeride taımlı sürekli döüşümler içi sabit okta teoridir.
So yüzyılda sabit okta teorisi matematiği, foksiyoel aaliz, lieer olmaya foksiyoel aaliz, matematiksel aaliz, operatör teori, geel topoloji, diferesiyel deklemler, yaklaşım teorisi, potasiyel teori, kotrol sistemleri ve oyu teorisi gibi birçok alaıda uygulamaları vardır. Buları dışıda istatistik, mühedislik, matematiksel ekoomi ve eseklik teorisi gibi alalarda uygulamalar ıı görebiliriz. Yukardaki çalışmaları ve sabit okta teorisi ile ilgili bazı çalışmaları şu kayaklarda bulabiliriz [5, 9, 0, 7,, 4, 8, 30, 46]. Sabit okta teorisi içi metrik uzaylar yeterli midir sorusu so zamalarda soruldu. Huag ve Zhag 007 de sabit oktayı ispatlamak içi metrik uzayları bütüüyle yeterli olmadığıı ve metrik uzaylarda daha geiş bir uzayı olabileeğii gördüler ve buu içi de bu problemi üsteside gelmek içi koik metrik uzayı kavramıı verdiler [5]. Yazarlar koik metrik uzaylarda yakısaklık, tamlık taımı ve koik metrik uzaylarda büzülebilir döüşümlerle ilgili bazı sabit okta teoremleri ispatlamışlardır. E = ve ( ) {, : 0, 0} P= xy E x y, olarak bir örek vermişlerdir. Bu örek üzeride taımlaa döüşüm öklid metrik uzayıda büzülebilir değildir. Fakat koik metrik uzayda büzülebilirdir. K < ormal sabitie sahip ormal koikler olmadığıı ve herbir s > içi K ormal sabitli koikler olduğuu göstermişlerdir [39]. Ayrıa ormal sabiti ile ormal koiği kaldırarak ormal olmaya koikler içi bazı souçları geelleştirmesi verilmiştir [5]. Bazı ortak sabit okta teoremleri koik metrik uzaylarda ispatlamıştır [, 7, 3, 6, 47]. Raja ve Vaezpour geişlemeye, (, λ ) düzgü yerel büzülebilir döüşümü, f kapaışı ve izometrik gibi bazı taımlar koik metrik uzaylarda taımlaarak bazı sabit okta teoremleri ispatlamışlardır [35]. Ayrıa, koik metrik uzaylarda sabit okta teoremleri içi bazı > s
3 ilgiç uygulamalar vermişlerdir. Abbas ve Rhoades, Huag ve Zhag ı çalışmasıda verile bazı sabit okta teoremlerii kedi çalışmalarıdaki koik metrik uzaylarda ispatlamışlardır [, 5]. Ilić ve Rakoćević koik metrik uzaylarda zayıf büzülme taımıı vererek bazı sabit okta teoremleri ispatlamışlardır [7]. Koik metrik uzaylarda küme değerli büzülme döüşümü taımı ilk olarak Wardowski tarafıda verilmiştir [48]. Rezapour koik metrik uzaylardaki e iyi yaklaşımları karakterizasyou hakkıda bazı souçlar vermiştir [38]. Bu çalışmada, koik metrik uzay üzeride bazı temel topolojik yapılar ve taımlar geelleştirildi. Öreği, dizisel kapalı küme, sıırlı ve tamame sıırlı kümeler, ağı, Lebesgue elemaı, kompakt küme, sürekli ve dizisel sürekli döüşümler. Ayrıa, her koik metrik uzayı topolojik uzay, birii sayılabilir topolojik uzay ve T4 uzayı olduğu ispatladı. Koik metrik uzay üzerideki Baire i kategori teoremii ispatlamak içi yoğu değil, birii (Meager) ve ikii (Meager değil) kategoride taımlar verildi. Ayrıa, koik ormlu uzaylar ve koik Baah uzaylar taımladı. İki küme arasıdaki uzaklık koik metrik uzay üzeride taımlaarak, koik metrik uzaylar üzeride bazı örekler verildi. Koiği kuvvetli miihedral koik olduğu kabul edilerek, bazı sabit okta teoremleri elde etmek içi koik metrik uzaylar üzerideki çapsal büzülebilir ve asimptotik çapsal büzülebilir döüşümleri taımları verildi. Souç olarak, koik metrik uzay üzerideki iki okta arasıdaki skaler uzaklığı taımlayarak geelleştirilmiş büzülme döüşümleri, bazı sabit okta teoremleri ve ortak sabit okta teoremleri elde edildi.
4. BAZI TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde ileride kullaaağımız bazı temel taımlara yer verileektir... Taım X φ bir küme ve T : X X bir döüşüm olsu. Bu durumda Tx 0 = x 0 (.) olaak şekilde bir x 0 X varsa, x 0 oktasıa T i X de bir sabit oktası deir. Aşağıdaki öreklerde de görüleeği gibi T : X X ile taımlaa bir T döüşümüü bir tek sabit oktası olabilir veya birde çok olabilir veya hiç olmayabilir... Örek () = [ 0, ) X ve T : X X, tek sabit oktasıdır. x Tx = olsu. Bu durumda 0 0 = x bu döüşümü bir () = [ 0, ) X ve T : X X, döüşümü iki sabit oktasıdır. Tx = x olsu. Bu durumda = 0 0 x, x bu = (3) = (, ) X ve T : X X, Tx 3 = x olsu. Bu durumda = 0 0 x, x, = x = bu döüşümü üç sabit oktasıdır. (4) = [ 0, ) X ve T : X X, sabit oktası yoktur. Tx= x + b, b >0 olsu. Bu durumda T i hiç bir
5 I, X üzerideki birim döüşüm olmak üzere T: X X döüşümüü sabit oktası aslıda ( T I)( x) = 0 deklemii çözümleridir. O halde bu deklemi çözümüü bulmak içi stadart bir tekik, bua karşılık gele döüşümü sabit oktalarıı bulmaktır... Taım Boş olmaya bir X kümesi ve bir ρ : X X +, ( xy, ) ρ ( xy, ) döüşümü verilsi. Eğer bu ρ döüşümü her xyz,, X içi (M) ( ) ρ xy, = 0 x= y; (M) ρ( xy, ) ρ( yx, ) = ; (M3) ρ( xy, ) ρ( xz, ) ρ( z, y) + ; ( üçge eşitsizliği) özelliklerii sağlıyorsa X üzeride uzaklık foksiyou ya da metrik adıı alır ve bu durumda ( X, ρ ) ikilisie bir metrik uzay deir. Burada (M) - (M3) özelliklerie metrik aksiyomları deir..3. Taım E bir reel Baah uzayı ve P, Ei bir alt kümesi olsu. Aşağıdaki şartları sağlaya P kümesie bir koik deir.
6 P) P boş olmaya kapalı bir küme ve P { θ} ; P) ab,, a, b 0 olsu x, y P ike ax+ by P; P3) x P ve x P ike x = θ..4. Taım E bir reel Baah uzayı ve P, Ei bir alt kümesi olsu. x y aak ve aak ( y x) P ile taımlı bağıtıya P ye göre kısmi sıralama deir. x < y ile x y fakat x y yi kastediyoruz. x << y ile ( y x) İçP yi kastediyoruz. ( İçP P i içi) [5]. İspatsız verile bir ot, aşağıda öerme olarak verildi [39]... Öerme E bir reel Baah uzayı, P ifadeler vardır. E bir koik ve λ > 0 reel sayı olsu. Aşağıdaki (i) İçP + İçP İçP. (ii) λiçp İçP. İspat (i) x İçP ve y İçP olsu. Bu durumda e az ε > 0 ve ε > 0 vardır öyle ki (, ε ) P ve B( y, ) B x ε P dir. Şimdi (, ε mi { ε, ε} ) B= B x+ y = P olduğuu göstereeğiz. z B olsu. Bu durumda
7 z x y < ε olur. Bu ise z x y < ε ve z x y < ε Olmasıı gerektirir. Burada ( z x) B( y, ε ) P ve ( ) (, ε ) z y B x P dir. Şimdi (P) özelliğide, ( z x y) P dir. x P olduğuda ( z x y+ x) P olur. Burada ( ) ( z y+ y) P dir. Burada z P dir. (P) de dir. Yai B( x+ y, ε ) P olur. O halde ( ) z y P dir. y P olduğuda x+ y İçP olur. z P olur ve böylee z P (ii) λ > 0 bir reel sayı ve x İçP şekilde bir ε > 0 vardır. x İçP olduğuu göstereeğiz. z B( λx, λε ) olsu. Bu durumda (, ε ) x B x P olaak λ olduğuu göstermek içi (, ) olsu. Bu ise B λx λε P z λx < λε olur. λ z x λε λ < ve z x ε λ <
8 olur. Bu ise z P dir. (P) de z P λ λx İçP olur. dir ve böylee (, ) B λ x λε P dir. Yai.5. Taım E bir reel Baah uzayı ve P, Ei bir alt kümesi olsu. Her x, y E ve θ x y içi x K y olaak şekilde K sayısı varsa P koiğie ormal koik deir [5]. Koik, fakat ormal koik olmaya bir örek verelim... Örek E ([ 0,] ) = C, f ormu ile ve her = + ' f f içi P = { f E : f θ} olsu. O zama [ 0,] g = k + olur. Ayı zamada, k k, f ( x) = x ve g( x) = x x olduğuda θ g f, f = ve ( ) ( ) = f x < g x = k + olur ve böylee, ( ) ( ) k = k f x < g x = k + olduğuda k, P i ormal sabiti değildir. O zama, P ormal koik değildir [39].
9.6. Taım E bir reel Baah uzayı ve P, Ei bir alt kümesi olsu. Arta bir dizii üstte sıırlı her dizisi yakısak ise P ye düzgü (regüler) koik deir. Eğer { x } dizisi içi x x... y olaak şekilde bir y E varsa o zama x x 0, olaak şekilde bir x E vardır. Dek olarak azala altta sıırlı her dizi yakısak ise P ye düzgü (regüler) koik deir [5]..7. Taım E bir reel Baah uzayı ve P, Ei bir alt kümesi olsu. Eğer her x, y E içi { x, y} sup varsa P ye miihedral koik deir ve E i üstte sıırlı her alt kümesii supremumu varsa E ye kuvvetli miihedral deir. Souç olarak E i altta sıırlı herhagi bir alt kümesii ifimumu vardır [8]..3. Örek E =, ( ) {, : 0, 0} P = xy E x y olsu. P bir koiktir. Ayrıa P bir kuvvetli miihedral koiktir..4. Örek {,,..., : i 0,,,3,..., } E =, ( ) P= x x x x i= olsu. ( x x,..., x ) y ( y, y ) x =,..., aak ve aak her i =,,3,..., içi,, = y ( x ) 0 y. i i Bu durumda P i herhagi bir alt kümesii ifimumu vardır.
0.8. Taım E bir reel Baah uzayı ve P, Ei bir alt kümesi olsu. Eğer her x, y E içi θ x y olması, x y olmasıı gerektiriyorsa E ormua mootoik deir [8]... Not Her ve a, b E içi a. b ike a 0 oluyorsa böyle bir kısmi sıralamaya Arhimedea deir. Eğer kısmi sıralama bir kapalı koik ile veriliyorsa sıralamaı Arhimedea olduğu açıktır. Gerçekte, a, b E ve her içi a. b olsu. Kısmi sıralama taımıda (. ) b a P olur. (P) de b a P olur. Burada b a elde edilir. b b b lim a ( a) = lim = lim = 0 x x olur. O halde a 0 dır. b a a dır. P kapalı olduğuda a P olur ve böylee Burada belirtmekte fayda vardır ki bazı reel Baah uzaylarda içi boş ola koikler vardır. Bua örek olarak l p, p < dizi uzayları ve L p, p < Lebesgue itegralleebilir uzayları verebiliriz [8]. Diğer tarafta koiği içi boş değildir. Öreği deki, öklid uzaydaki pozitif
{(, ) : 0, 0} P = xy E x y pozitif koiğii içi {(, ) : 0, 0} İçP = xy E x > y > olup, boş değildir. Koiklerle ilgili daha fazla bilgi içi şu kayağa bakılabilir [6]. Bu çalışmada, E bir reel Baah uzayı ve P, E de İçP ve, P ye göre bir kısmi sıralamadır. φ olaak şekilde bir koik
3. KONİK METRİK UZAYLAR 3.. Koik Metrik Uzaylarda Bazı Temel Taım ve Teoremler Bu kısımda koik metrik uzaylar üzeride bazı temel taım ve teoremlere yer verileektir. 3.. Taım X boş olmaya küme, d : X X E döüşüm olsu. (d) (d) (d3) x, y X içi θ < d( xy, ) ve dxy (, ) = θ x = θ ; x, y X içi d ( x, y) = d( y, x) ; x, y X içi d ( x, y) d( x, z) + d( y, z) ; ( üçge eşitsizliği) şartları sağlaıyorsa d ye koik metrik, ( X, d ) ikilisie de koik metrik uzay deir. Burada (d) - (d3) özelliklerie koik metrik aksiyomları deir [5]. 3.. Örek E =, ( ) {, : 0, 0} P = xy E x y, X =, d : X X E, ( α ) dxy (, ) = x y, x y, 0 uzaydır. α olsu. ( X, d ), (, ) EP üzeride bir koik metrik Gerçekte, (d) : dxy (, ) = ( x y, α x y) > θ, ) dxy (, ) = θ x y = θ, α x y = θ x = y. ( α ) ( ) ) x = y d( xy, ) = x y, x y = 0,0 d( xy, ) = θ.
3 (d) : d ( x, y) = ( x y, x y ) = ( y x, α y x ) = d( y, x) α. (d3): dxy (, ) ( x y, α x y) ( x z z y, α x z z y) = = + + ( α α ) ( α ) ( α ) x z + z y, x z + z y = x z, x z + z y, z y = dxy (, ) + dz (, y). 3.. Örek E =, ( ) d {, : 0, 0} P = xy E x y, d: E, (( x, x ), ( y, y )) = ( x y x y ) olsu. ( X, d ), (, ), metrik uzaydır. EP üzeride bir koik 3.. Not Not edelim ki her metrik uzay bir koik metrik uzaydır. E + koik metrik uzayı ( X, ρ ) metrik uzayıa döüşür. = alıırsa ( X, d ) 3.3. Örek =, P = { x } E x θ = olsu. Ayrıa, (, ρ ) E l { } uzay ve d: X X E içi, :, her,,... içi X metrik ( xy, ) ρ dxy (, ) = taımlası. Gerçekte, ( X, d ) bir koik metrik uzay ve P i ormal sabiti K = dir [39].
4 3.. Taım ( X, d ) bir koik metrik uzay, X içide bir dizi { } θ << içi m öyle ki > m içi d x, x) << x ve x X olsu. E, ( oluyorsa { } x dizisie yakısak dizi deir ve içi x x ya da lim x = x şeklide gösterilir [5]. 3.3. Taım ( d ) X, bir koik metrik uzay ve X içide bir dizi { } içi N öyle ki, m > N içi d x, xm ) << Cauhy dizisi deir [5]. ( ise { } x olsu. Eğer E, θ << x dizisie X içide bir 3.4. Taım Bir ( X, d ) koik metrik uzayıdaki her Cauhy dizisi X içide bir oktaya yakısak ise ( X, d ) ikilisie tam koik metrik uzay deir [5]. 3.5. Taım ( X, d ) bir koik metrik uzay ve A X olsu. x x olaak şekildeki x A içi x A ise A ya dizisel kapalı deir. 3.6. Taım ( X, d ) bir koik metrik uzay olsu. Eğer X θ << öyle ki d x, y) A ve her x, y A içi E ve ( ise A ya üstte sıırlı küme δ ( A) = sup{ d( x, y) : x, y A} mevut ise A ya sıırlı küme deir. Eğer supremum mevut değilse A ya sıırsız küme deir.
5 3.. Lemma ( X, d ) bir koik metrik uzay olsu. Her θ <<, E içi e az bir δ > 0 vardır öyle ki x < δ ike ( x) İçP (yai x << ) dır. İspat θ <<, E olduğuda İçP δ > 0 bulabiliriz. dir. { x E x < δ} İçP : olaak şekilde bir Şimdi x < δ ise x = x = x < δ olur. Burada ( x) < δ olur. Bu ise ( x) İçP olduğuu verir. 3.. Lemma ( d ) X, bir koik metrik uzay P, ormal sabit K ile ormal koik ve { x } içide bir dizi olsu. Bu durumda { x } dizisii X içide yakısak olması içi gerek ve yeter şart ike dx (, x) θ olmasıdır [5]., X İspat ( ) x x olsu. ε > 0 içi E olaak şekilde bir θ << ve K < ε seçebiliriz. Bu durumda e az bir N vardır ki öyle ki her d( x, x) << dır. Böylee, > N ike > N içi d( x, x) K < ε
6 olur. Bu ise ike dx (, x) θ olduğuu verir. ( ) ike dx (, x) θ olsu. θ << olaak şekildeki E içi e az bir δ > 0 vardır öyle ki x < δ ike ( x) İçP dir. Bu δ içi e az bir N vardır öyle ki her içi Bu da d x, x) << ( olduğuu verir. Bu edele { } d( x, x) < δ olur. Böylee ( d( x, x)) İçP olur. x dizisi x oktasıa yakısar. 3.3. Lemma ( d ) X, bir koik metrik uzay, P ormal sabit K ile bir ormal koik ve { x } içide bir dizi olsu. { x } ve { }, X y, X içide iki dizisi ve ike x x ve y y olsu. ike d( x, y ) d( x, y) olur [5]. İspat ε > 0 içi θ << ve ε < olaak şekilde bir 4 k + E seçelim. x x ve y y olduğuda N > N içi d( x, x) << ve d( y, x) << olur. d( x, y ) d( x, x) + d( x, y) + d( y, y ) d( x, y) +, (3.) d( x, y ) d( x, x) + d( x, y ) + d( y, y ) d( x, y ) +, (3.) olur. Böylee, Eş. 3. de, θ d( xy, ) + d( x, y ) ve Eş. 3. de,
7 θ d( x, y ) + + dx (, y ) = 4 elde edilir. Ohalde θ d( xy, ) + d( x, y ) 4 ve dx (, y ) dxy (, ) = d( xy, ) d( x, y ) + d( xy, ) + d( x, y ) + 4K + = (4K + ) < ε. O halde içi dx (, y ) d( xy, ) olur. 3.4. Lemma ( d ) X, bir koik metrik uzay, P ormal K sabiti ile ormal koik ve { x } içide bir dizi olsu. { x } dizisii X içide Cauhy dizisi olması içi gerek ve, X yeter koşul, m ike dx (, x ) θ olmasıdır [5]. m İspat ( ) { x } bir Cauhy dizisi olsu. ε > 0 içi θ << ve K < ε olaak şekilde bir E seçelim. N, m > N içi d( x, xm ) << olur. Burada, d( x, xm ) K < ε elde edilir. O halde, m ike dx (, x ) θ. m
8 ( ) dx (, x ) θ,, m olsu. m θ << olaak şekilde E seçelim. δ > 0 x < δ ike Lemma 3. de ( x) İçP dir. Burada N, m > N içi d x, x ) < δ dır. O zama, ( d( x, x )) İçP dir. Bu ise dx (, x ) dizidir. m m ( m << olur. Bu edele { } x bir Cauhy 3.5. Lemma ( d ) X, bir koik metrik uzay, K ormal sabiti ile P bir ormal koik, { } { y }, X içide iki dizi ve x y ise x y olur. x ve içi x x, y y olsu. Eğer her içi İspat x y olsu. y x ise ( y x ) P olur. x x, y y olduğuda, ( y x ) ( y x) olur. P kapalı olduğuda ( y x) P dir. Bu ise x y olduğuu verir. 3.6. Lemma ( d ) X, bir koik metrik uzay, K ormal sabiti ile P bir ormal koik, { x } içide bir dizi olsu. { x } tektir [5]. x ve { x } y ise y x = dir. Yai { }, X x dizisii limiti İspat θ << olaak şekilde herhagi bir E olsu. { } x yakısak olduğuda N > N içi d( x, x) << ve d( x, y) << olur.
9 d( x, y) d( x, x) + d( x, y) olur. Böylee d ( x, y) K 0 olur. O halde dxy (, ) = θ olur. Böylee x= y olur. 3.7. Lemma ( d ) X, bir koik metrik uzay, { x }, X içide bir dizi olsu. { x } oktasıa yakısıyorsa { x }, X içide bir Cauhy dizidir [5]., X içide x İspat θ << olaak şekilde herhagi bir E olsu. N, m > N içi d( x, x) << ve olur. O halde { x } bir Cauhy dizidir. d( x m, x) << olur. d( x, xm ) d( x, x) + d( xm, x) = + = 3.8. Lemma ( X, d ) bir koik metrik uzay olsu. Her >> θ ve >> θ,, E içi E ve θ << << ve <<. İspat >> θ olsu. Lemma 3. de δ > 0 bulabiliriz öyle ki x < δ ike x << olur. 0 δ < olaak şekilde bir 0 sayısı seçelim. = olsu. Bu durumda 0 = = < δ olur ve böylee, << dir. Fakat ayı zamada açıktır ki 0 0
0 θ << ve = olduğuda halde << ve <<. 0 << ve dır ve böylee, << demektir. O 3.9. Lemma K < ormal sabiti ile bir ormal koik yoktur [39]. İspat ( X, d ) bir koik metrik uzay ve P ise K < ormal sabiti ile ormal koik olsu. K < ε olaak şekilde x P, 0< ε < bir elemaıı seçelim. O zama, ( ε ) x x olur. Fakat ( ε ) x > K x olur. Bu bir çelişkidir. 3.0. Lemma Her düzgü koik bir ormal koiktir [39]. İspat P bir düzgü koik olsu fakat ormal koik olması. Her içi t, s P seçelim öyle ki t s P ve t s < olsu. Her, y t = ve x = t t s olsu. O zama her içi y x P, y = ve < x olur. = y serisi yakısak ve P kapalı olduğuda y = y olaak şekilde bir y P vardır. = Şimdi 0 x x + x x + x + x... y alalım. Dolayısıyla, 3 3 = x
x yakısaktır çükü P düzgüdür. Souç olarak, lim = 0. Bu bir çelişkidir. İspat tamamlaır. Şimdi Lemma 3.9 kullaılarak yazarlar K = ormal sabiti ile ormal koiği buluabileeğii ve ayı zamada Lemma 3.0 ı tersii doğru olmadığıa dair aşağıdaki öreği vermişlertir [39]. 3.4. Örek E = C ([ 0,] ) supremum ormu ve P { f E: f θ} = olsu. P, K = ormal sabiti ile bir koiktir. Şimdi elemaları E de ola azala ve altta sıırlı fakat E de yakısak olmaya u tersi doğru değildir [39]. 3 x x x... θ dizisii ele alalım. O zama, Lemma 3.0 3.. Teorem Her ( X, d ) koik metrik uzay bir topolojik uzaydır. İspat θ <<, E içi B x, ) = { y X : d( x, y) << } ( ve β = { Bx (, ): x X, >> θ} olsu. τ { : içi β } = U X x U B x B U ailesix üzeride bir topolojidir. Gerçekte, τ φ, X τ ) τ U, V τ olsu. x U I V x U ve x V. ) >> θ, >> θ bulabiliriz öyle ki x B( x, ) U ve x B( x, ) V dır. Lemma 3.8 de θ << bulabiliriz öyle ki << ve <<. O halde,
x B x, ) B( x, ) I B( x, ) U IV ( o halde U I V τ. 3 ) τ α içi U α τ olsu. x U α U α olsu. Bu durumda α 0 x dır. x Bx (, ) U U U olaak şekilde bir θ << bulabiliriz. O U α α α α halde U Uα τ. α 3.7. Taım ( X, d ) bir koik metrik uzay, θ << ve E olsu. Eğer her bir p A içi d( p, ei ) << olaak şekilde 0 alt kümesie bir ağı deir. e i 0 N varsa X kümesii N = { e, e,..., e } solu 3.8. Taım ( d ) X, bir koik metrik uzay olsu. Eğer her bir >> θ, E, δ ( N i ) << ike i =,,3,..., içi A U N i sağlaya N i kümelerii birleşimi A ise A ya X de i= tamame sıırlı küme deir. 3.9. Taım ( X, d ) bir koik metrik uzay, X A ve i,,3,..., = içi L { G i } τ = olsu. A ı her B alt kümesi içi δ ( B ) < ike B G i0 olaak şekilde bir G i0 L varsa E, θ << elemaıa bir L örtüsü içi bir Lebesgue elemaı deir. i I
3 3.0. Taım ( X, d ) bir koik metrik uzay ve A X olsu. τ kümesii A alt kümesii her örtüsüü solu bir örtüsü varsa, A ya ( X, d ) i bir kompakt alt kümesi deir. 3.. Taım ( X, d ) bir koik metrik uzay ve A X olsu. Eğer A daki her { } x dizisii A da yakısak ola bir { x i } alt dizisi varsa A ya dizisel kompakt koik metrik uzay deir [5]. 3.. Taım ( X, d ) bir koik metrik uzay ve X olaak şekilde x oktasıı içere süreklidir deir. T döüşümü her süreklidir deir. x olsu. Tx i içere her V τ içi T( U) V U τ varsa T döüşümüe x oktasıda x X oktasıda sürekli ise X üzeride 3.3. Taım ( d ) X, bir koik metrik uzay ve T : X X olsu. x X içi x x ike Tx Tx ise T döüşümüe dizisel süreklidir deir. 3.. Öerme ( X, d ) bir koik metrik uzay olsu. θ << olaak şekilde bir E içi { y X : d( x, y } B( x, ) = ) kümesi dizisel kapalıdır.
4 İspat y B( x, ) bir dizi ve y y olsu. Bu durumda d( y, x) ve d( y, x) θ,. O halde, y B( x, ) olması içi gerek ve yeter şart d( x, y) olması içi gerek ve yeter şart ( d( x, y)) P. Lemma 3.3 de d( y, x) d( x, y). P kapalı olduğuda lim ( d( y, x)) = ( d( x, y)) P. 3.. Öerme K ormal sabiti ile P kuvvetli miihedral koik ve A E olsu. A ı sıırlı olması içi gerek ve yeter koşul δ'( A) = sup d( xy, ) < olmasıdır. xy, A İspat ( ) A sıırlı olsu. Bu durumda x, y A içi E ve θ << öyle ki d( x, y) dır. Bu durumda her x, y A içi d( xy, ) K < dır. Böylee sup d( xy, ) xy, A < olur. ( ) δ '( A) = sup d( xy, ) = M < olsu. Sabit xy, A >> θ alalım. Lemma 3. de e az bir δ > 0 var öyle ki z < δ ise her x, y A içi >> z olur. xy, δ d( xy, ) δ = olsu. Bu durumda x, y = < δ olur. Böylee dxy (, ) δ d( xy, ) δ dxy (, ) >> ve böylee ( ) İçP olur. d( xy, ) dxy (, ) çarparak d( xy, ) δ ile d( xy, ) ( d( xy, )) İçP δ
5 olur. O halde, d( xy, ) M dxy (, ) << = İçP δ δ dir. Burada d( x, y) olur. P kuvvetli miihedral olduğuda A sıırlıdır. 3.3. Öerme ( X, d ) bir koik metrik uzay ve A X olsu. A ı tamame sıırlı olması içi gerek ve yeter koşul her >> θ, E içi A ı bir ağı olmasıdır. İspat A tamame sıırlı ve >> θ, E olsu. N, N,..., N bulabiliriz öyle ki i =,,3,..., içi, δ ( N i ) << ike A U N i= i dir. i =,,3,..., içi herbir N i de i e seçebiliriz. N { e e,..., } = olsu. N i, e A ı bir ağı olduğuu gösterelim. p A olsu. Bu durumda p N i0 olaak şekilde i = 0,,3,..., içi e az bir e vardır. p ve i 0 e N ve δ ( N i ) << i0 i 0 olduğuda d( p, ei ) <<. 0 Tersie olarak, >> θ, E olsu. Her p A içi e i0 N ve d( p, ei ) << 0 olaak şekilde X i solu bir N { e e,..., } = alt kümesii bulabiliriz. i =,,3,..., içi N i = B( ei, ) = { x X : d( x, ei ) << } olsu. Bu durumda açıkça, i =,,3,..., içi A U N i ve δ ( N i ) << olur. i= e
6 3.4. Öerme ( X, d ) bir koik metrik uzay ve A X olsu. A dizisel kompakt ise A tamame sıırlıdır. İspat E az bir >> θ, E içi A kümesi bir ağıa sahip olması. Böylee, bir x A içi e az bir x A var öyle ki ( d( x, x)) İçP olur. Bu durumda { x, x }, A içi ( d( x, x )) İçP ve 3 ağı olmaz. O halde e az bir x 3 A var öyle ki ( d( x, x )) İçP olur. Ayı şekilde devam edersek bir. O halde { x } x A dizisi elde ederiz öyle ki m, içi ( d( x, x )) İçP i her alt dizisi Cauhy dizisi olmaz ve { x } yakısak bir diziye sahip değildir. O halde A dizisel kompakt değildir. m 3.5. Öerme A bir koik metrik uzayı dizisel kompakt alt uzayı olsu. Bu durumda A içi τ i her L { G i } i I = örtüsüü elemaları bir Lebesgue elemaıa sahiptir. İspat { G i } i I L =, A ı Lebesgue elemaıı içermeye örtüsü olsu. O zama her G i L içi sabit >> θ, E ve her içi B A ile δ ( B ) < ve B Gi elde edilir. A dizisel kompakt olduğu içi b A dizisi p A ola alt dizisie b k sahiptir. Fakat A = U G dir ve dolayısıyla i I i p G i0 olaak şekilde bir i 0 I vardır. p B olaak şekilde bir >> θ, E buluruz. p ve ( p, ) Gi 0 b k
7, İçP olduğuda i öyle ki 0 d p, bi ) << ve << olaak şekilde 0 i ( 0 bir i 0 vardır. Eğer x B i ise o zama, 0 d( x, p) d( x, b ) (, ). i + d bi p << + << + = 0 0 i 0 x G i0 ve B G olur. Bu ise Gi i 0 B olmasıyla çelişir. O halde L { G i } i I =, A ı Lebesgue elemaıı içere örtüsü olmak zorudadır. 3.6. Öerme ( X, d ) bir koik metrik uzay ve A X olsu. Her dizisel kompakt koik metrik uzay kompakttır. İspat { G i } i I L =, A ı bir açık örtüsü olsu. A dizisel kompakt olduğuda e az bir >> θ, E vardır öyle ki δ ( B ) < olaak şekildeki her B A içi e az bir i I 0 öyleki B G i0. A tamame sıırlı olduğuda A N i i= U ve δ ( N i ) <<. Her i =,,3,..., içi N i Gi olaak şekilde G, G,..., G L vardır. O halde, A U N U G i i= i= i dır ve böylee, A kompakttır.
8 3.7. Öerme Her ( X, d ) koik metrik uzayı birii sayılabilirdir. İspat p X ve >> θ, E olsu. βp = B( p, ): kümesii p oktasıı yerel tabaı olduğuu gösterelim. p U ve U açık olsu. >> θ bulabiliriz öyle ki p B( p, ) U. Lemma 3.8 de bir 0 bulabiliriz öyle ki << dır. O 0 halde B( p, ) B( p, ) U. 0 3.8. Öerme ( d ) X, bir koik metrik uzay ve T : ( X, d) ( X, d) bir döüşüm olsu. T i sürekli olması içi gerek ve yeter koşul T i dizisel sürekli olmasıdır. İspat x x ve θ << olsu. T, x de sürekli olduğuda >> θ bulabiliriz öyle ki T ( B( x, )) B( Tx, ). x x olduğuda e az bir 0 bulabiliriz öyleki 0 içi d( x, x) <<. O halde, 0 içi d Tx, Tx) << sayılabilir topolojik uzay olduğuda tersi doğrudur. (. ( d ) X, birii 3.9. Öerme ( d ) X, bir koik metrik uzay ve T : ( X, d) ( X, d) dizisel sürekli bir döüşüm olsu. A X içi T A TA.
9 İspat Öerme 3.8 de dizisel sürekli bir döüşüm süreklidir. Her A X içi TA TA dır. Dolayısıyla A T ( TA) T ( TA) dır. TA kapalı ve T sürekli olduğuda T ( TA) dır ve X de kapalı ve A kümesii kapsıyor. Halbuki A yı kapsaya e dar küme A dır. A A T ( TA ) olur. O halde T A TA olur. 3.. Lemma ( d ) X, bir koik metrik uzay ve A ( X, d) dizisel kompakt olsu. Bu durumda e az bir x 0, y 0 A var öyle ki δ ( A ) = sup{ d( x, y) : x, y A} = d( x 0, y0 ). İspat Sabit bir >> θ, E içi δ ( A) < δ ( A) vardır. Supremum taımıda her, x, y A bulabiliriz öyle ki δ ( A) < d( x, y ) δ ( A) dır. A dizisel kompakt olduğu içi x x 0 A ve y 0 A vardır. Lemma 3.5 de, y lim( δ ( A) ) < lim d( x, y ) δ ( A) o halde δ ( A) < lim d( x, y ) δ ( A) olur. Bu durumda (δ ( A) lim d( x, y )) P ve ( lim d( x, y ) δ ( A)) P olur. (P 3) de δ A) = lim d( x, y ) = d( x 0, y ) olur. ( 0 3.. Koik Metrik Uzayda Baire Kategori Teoremi Bu kısımda koik metrik uzaylarda Baire kategori teoremii ispatlamak içi bazı temel taım ve lemmalara yer verileektir.
30 3.4. Taım ( X, d ) bir koik metrik uzayıı boşta farklı iki alt kümesi A ve B olsu. A ile B arasıdaki uzaklık d ( A, B) ile gösterilir ve d( A B) = if{ d( x, y) : x A, y B} taımlaır. Eğer A = { a} ise o zama d ( A, B) yerie ( a B), ile d, kullaılır. 3.5. Örek E =, ( ) {, :, 0} P= xy E x y, d: E d (( x, x ), ( y, y )) = ( x y x y ) olsu., {(, ) :0, 0 } A= xy x y {(, ) : 3, 0 } B = xy x y {( 0,0) } C =, D =, olsu. Bu durumda d ( A, B) = (,0), d ( A, C) = ( 0,0), ( C, B) = (,0) d. 3.6. Örek E =, ( x y) {, E : x, 0} P = y, d: E d (( x, x ), ( y, y )) = ( x y x y ), olmak üzere
3 {(, ) :0, 3} A= xy x y {(, ) :3 4, 0 3} B = xy x y olsu. Bu durumda, ( A, B) = (,) d. 3.. Lemma, P olsu. Her θ << içi < + ise dir. İspat Her θ << içi < + olsu. θ << ise içi >> θ dir. < + olduğuda içi < + olur. ( + ) θ olduğuda içi, + ) P, olur. içi, ( + ( ) = = 0 olur. O halde, halde. + ) ( ) P. P kapalı olduğuda ( ) P. O (
3 3.. Teorem K ormal sabit ile ( X, d ) bir koik metrik uzay ve A, X i boşta farklı alt kümesi olsu. x A olması içi gerek ve yeter koşul dxa (, ) = θ olmasıdır. İspat x A olsu. θ << ve her içi B x, I A φ. O zama her içi e az bir a A var öyle ki θ d( xa, ) d( xa, ) <. Her içi (, ) d xa K. O halde dxa (, ) = θ. Tersie U τ ve x U olsu. U, koik metrik uzayda açık bir küme olduğuda B ( x ) U, olaak şekilde bir ( x a) d, < olaak şekilde bir A θ << vardır. d( xa, ) θ = < olduğuda a vardır. O halde a ( A I B( x ) ) A IU,. 3.. Not Teorem 3. de A ( X, d ) kapalı bir alt küme ve A x ise d( xa, ) > θ olur. 3.3. Teorem Her ( d ) X, koik metrik uzayı bir T uzaydır. 4
33 İspat İlk olarak ( X, d ) koik metrik uzayıı Hausdorff uzay olduğuu gösterelim. Böylee, T uzay olur. x, y X içi, x y iki okta olsu. Bu durumda dxy (, ) = > θ. O halde B( x, ) I B( y, ) = φ. O zama ( X, d ) Hausdorff uzaydır. Şimdi ormal uzay olduğuu göstereeğiz. A, B X, A, B kapalı ve A I B = φ olsu. { x X : d( x, A) d( x, B) } U = < { x X : d( x, A) d( x, B) } V = > olsu. V ve U u taımıda U I V = φ. Eğer a A ise daa (, ) = θ ve a B ise B kapalı olduğuda dab (, ) > θ. Teorem 3. de θ = daa (, ) < dab (, ). O halde a U ve A U olur. Eğer b B ise dbb (, ) = θ ve b A ise A kapalı olduğuda dba (, ) böylee > θ olur. Teorem 3. de θ = dbb (, ) < dba (, ) ve b V olur ve B V dır. Şimdi U ve V i açık kümeler olduğuu gösterirsek ispat biter. U u açık bir küme olduğuu gösterelim. x 0 U ise = = d( x0, A) < d( x0, B) olur. O halde ( ) > θ dır. yai ve ( ) P dir. = ( ) taımlayalım ve B ( x 0, ) açık yuvarıı düşüelim. x B( x 0, ) olsu. Her s >> θ içi d ( x 0, A) ı taımıda e az bir a A öyle ki d ( x, a + s dır. Böylee 0 ) <
34 d ( x, A) d( x, a) d( x, x0 ) + d( x0, a) < + + s = ( + ) + s Lemma 3. de d ( x, A) + = ( + 3 ) olduğu görülür. Ayı zamada her 4 b B içi d b, x ) d( b, x) + d( x, ) olur. d b, x ) d( x, ) ve ( 0 x0 ( 0 0 B olduğuda d ( b, x) + > d( x0, B) = yazabiliriz. Böylee, d ( x, x0 ) < d ( b, x) > = (3 + ). 4 + 3 + olduğuda d ( x, A) < d( x, B) olur. Bu durumda x U ve U < 3 açık bir kümedir. V i açık bir küme olduğuu gösterelim. x 0 V ise = d( x0, A) > d( x0, B) = olur. O zama ( ) > θ. Yai ( ) P,. = ( ) taımlayalım ve B ( x 0, ) açık yuvarıı düşüelim. x B( x 0, ) olsu. Her s >> θ içi d ( x 0, B) ı taımıda e az bir b B var öyle ki d ( x, b + s dir. Böylee 0 ) < d ( x, B) d( x, b) d( x, x ) + d( x0, b) < + + s = ( + ) + s 0. Lemma 3. de d ( x, B) + = ( ) + = ( + 3 ) olduğu görülür. 4 4 Ayı zamada her a A içi d a, x ) d( a, x) + d( x, ) olur. d a, x ) d( x, ) ( 0 x0 ( 0 0 A ve d ( x, x0 ) < olduğuda d ( a, x) + > d( x0, A) = yazabiliriz. Böylee
35 d ( a, x) > = ( ( )) = (3 + ). 4 + 3 + olduğuda d ( x, A) > d( x, B) olur. Bu durumda x V ve V açık < 3 bir kümedir. 3.5. Taım ( X, τ ) topolojik uzayıı bir alt kümesi M olsu. (i) Eğer İç (M ) = φ isem ye X de hiçbir yerde yoğu değil deir. (ii) Eğer M kümesi X de hiçbir yerde yoğu olmaya kümeleri sayılabilir bir birleşimi ise birii kategoridedir (Meager) deir. (iii) Eğer X de M birii kategoride değil ise M ye ikii kategoride (Meager değil) deir. 3.3. Lemma ( X, d ) bir koik metrik uzay ve ormal sabit K ile P bir ormal koik olsu. Her içi b a ve a a olaak şekilde bir a E varsa b a dır. İspat Her içi b olsu. Bu durumda ( a b) P olur. a a olduğuda, a lim( a b) = ( a b) P olur. P kapalı olduğuda ( a b) P olur. O halde b a dır. 3.4. Teorem ( Baire kategori teoremi) Her boşta farklı tam koik metrik uzay ikii kategoridedir. Yai X = k= U M, k M k kapalı ise boş olmaya e az bir açık alt küme içerir.
36 İspat ( X, d ) bir tam koik metrik uzayı birii kategoride olsu. X de her biri yoğu olmaya M k ile X oluşturalım ve bu limit U M dir. X de limiti x ola bir Cauhy dizisii = k = k M k da olması. Böylee bir çelişki elde edileektir. Kabulümüzde M, X de yoğu değildir ve M taımda boşta farklı açık bir küme içermez. Fakat X içerir. Bu M X demektir. O zama, x X M ve < olaak şekilde B = Bx (, ) bir açık yuvar seçelim. Burada İçP bir sabittir. Kabulümüzde M X de yoğu değil ve M taımda boşta farklı açık küme içermez. O zama, B ( x, ) açık yuvarıı da içermez. Bu da M I B( x, ) i boşta farklı ve açık olmadığıı gösterir. B < olmak üzere = B( x, ) M I B( x, ) olaak şekilde bir B( x, ) açık yuvarıı k seçebiliriz. Tümevarım ile Bk Mk olaak şekilde bir B k = B( xk, ), k < açık k yuvarlarıı bir dizisii oluşturabiliriz. yuvar dizisi oluşturabiliriz. bir Cauhy dizisidir. X tam olduğuda k B (, Bk, k =,,3,... ola B k k k + B xk ) < olduğu içi yuvarları merkezlerii x k k dizileri x k x X dir. Her m ve > m içi m B B( xm, ) dır. Lemma 3. yardım ile eğer ike her m içi x Bm. Bm M m olduğu içi her m içi M m çelişkidir. O halde x X dır. x, yai x X = U M m. Bu ise bir m=
37 3.3. Koik Normlu Uzaylar Bu kısımda koik ormlu uzaylar ve koik Baah uzaylar taımları verileek ve bu uzaylar üzeride bazı yei taımlar ve teoremler elde edileektir. 3.6. Taım X bir ismi üzeride bir vektör uzayı ve E bir reel Baah uzay olsu.. : X E döüşümü her x, y X ve her α içi C) θ < x ; C) x = θ x = θ ; C3) α. x = α x ; C4) x + y x + y ; özelliklerii sağlıyorsa. ifadesie X üzeride koik orm ( X,. ) ikilisie bir koik ormlu uzay deir. 3.0. Öerme Her koik ormlu uzay koik metrik uzaydır. Üstelik, d : X X E dxy (, ) = x y şeklide taımlaır. İspat Her x, y, z X içi, d) dxy (, ) = θ x y = θ x y = θ x = y. d) d ( x, y) = x y = ( y x) olur. (C3) de y x = d( y, x).
38 d3) d( x, y) = x y = x z + z y olur. (C4) de x z + z y x z + z y = d( x, z) d( z, y). + 3.3. Not Koik ormlu uzayda yakısaklık ormda idirgemiş koik metrik ile taımlaır. Öreği her ise θ << içi 0 vardır öyle ki her > 0 içi d( x, x) = x x << x X dizisi x X e yakısak deir. Dolayısıyla [5] te x x aak ve aak içi d( x, x) = x x 0. 3.7. Taım ( X,. ) koik ormlu uzay ve x X olsu. Her θ << içi e az bir 0 var öyle ki her, m > 0 içi d( x, xm ) = x xm << ise { x } dizisie X içide bir Cauhy dizisi deir. Dek olarak lim dx (, x ) = lim x x = 0. m m m, m, 3.8. Taım ( X,. ) koik ormlu uzay olsu. X içide her Cauhy dizisi X de bir oktaya yakısak ise ( X,. ) koik ormlu uzayıa koik Baah uzayı deir.
39 3.7. Örek ( E. ),, E =, ( ) ( xy, ) ( α x, β y) {, : 0, 0} P = xy E x y olsu. αβ>, 0 olmak üzere = ile taımlı ve koik Baah uzaydır.. foksiyou ( E. ), bir koik ormlu uzay Gerçekte, C) ( xy, ) > θ olur. ( xy, ) = θ ( α x, β y) = ( 0,0) α x = 0 ve ( ) ( ) β y = 0 x = 0, y = 0 xy, = 0,0. C) λ( xy, ) ( λx, λy) ( λαx, λβ y) λ ( α x, β y) λ ( xy, ) = = = =. C3) ( xy, ) + ( zw, ) = x + z, y + w = ( α x + z, β y + w ) ( α x + α z, β y + β w ) ( α x, β y) ( α z, β w) ( xy, ) ( zw, ) = + = +. O halde. bir koik ormlu uzaydır. Şimdi koik Baah uzay olduğuu gösterelim. (, ) z x y = bir Cauhy dizisi olsu. Bu durumda ( α β ) lim z z = lim x x, y y = lim x x, y y m m m m m m, m, m, = lim m, α x x + β y y = 0. m m
40 O halde m, içi x x 0, y y 0. ismide { }, { } m m x y Cauhy dizileridir. tam olduğuda x x 0 ve y y 0 olaak şekilde xy, sayıları vardır. Koik ormlu uzayda z z olduğuu gösterelim. ( α β ) lim z z = lim x x, y y = lim x x, y y = lim α x x + β y y = 0. O halde ( E. ), tamdır. 3.. Öerme Her koik ormlu uzay topolojik uzaydır. İspat Teorem 3. de her koik metrik uzay topolojik uzay ve her koik ormlu uzay koik metrik uzaydır.
4 4. SABİT NOKTA TEOREMLERİ 4.. Koik Metrik Uzaylarda Çapsal Büzülebilir ve Sabit Nokta Teoremleri Metrik uzaylarda çapsal büzülebilir döüşümü ilk olarak Xu. H. K, tarafıda verilmiştir. Yazar bu çalışmasıda metrik uzaylarda bazı sabit okta teoremleri vermiştir [49]. Bu kısımda koik metrik uzaylarda çapsal büzülebilir döüşümü taımlayarak bazı sabit okta teoremleri ispatı verileektir. 4.. Taım ( X, d) bir tam koik metrik uzay, T X X x, y X içi : bir döüşüm ve [ 0,) α olsu. d ( Tx, Ty) < d( x, y) ise T ye büzülebilir döüşüm ve dtx (, Ty) α d( xy, ) ise T ye büzülme döüşümü deir. 4.. Taım ( X, d) bir koik metrik uzay, L 0 ve T : X X bir döüşüm olsu. Eğer x, y X içi dtx (, Ty) Ldxy (, )
4 koşulu sağlaıyorsa T döüşümüe Lipshitz döüşümü deir ve L ye Lipshitz sabiti deir. 4.3. Taım ( X, d) bir tam koik metrik uzay ve T : X X bir döüşüm olsu. θ < δ( A) olaak şekilde X i her sıırlı, kapalı A alt kümesi içi δ ( TA) < δ ( A) oluyorsa, T döüşümüe çapsal büzülebilir döüşüm deir. ( ( A) sup{ d( xy, ): xy, A} δ = sayısıa A ı çapı deir). 4.. Öerme ( X, d) bir koik metrik uzay ve T : X X bir döüşüm olsu. T çapsal büzülebilir döüşüm ise büzülebilir döüşümdür. İspat T : X X çapsal büzülebilir döüşüm olsu. x, y X ve y x içi A = { x, y} diyelim. A kümesi X ı kapalı bir alt kümesi ve θ < δ( A) < dxy (, ) olsu. O halde T çapsal büzülebilir olduğuda ( TA) δ ( A) δ < dır. TA = T{ x, y} = { Tx, Ty} olduğuda δ ( TA ) = d( Tx, Ty) < δ ( A) = d( x, y) olur. Yai x, y X, x y içi d ( Tx, Ty) < d( x, y) olur.
43 4.. Teorem ( X, d ) bir tam koik metrik uzay, K ormal sabiti ile P bir ormal koik ve T : X X bir döüşüm olsu. ( Tx, Ty) kd( x, y) tek d xy, X, k [ 0,) x X sabit oktasıa sahiptir. Üstelik herhagi bir X dizisi yakısaktır [5]. ise T bir x içi { T x} iterasyo 4.. Öerme ( X, d ) bir tam koik metrik uzay, K ormal sabiti ile P bir ormal koik olsu. E az bir pozitif tam sayısı içi her xy, X içi T : X X P döüşümü ve k [ 0,) olmak üzere d( T x, T y) kd( x, y) koşuluu sağlıyorsa, T bir tek sabit oktaya sahiptir [5]. 4.. Teorem ( X, d ) bir dizisel kompakt koik metrik uzay, K ormal sabiti ile P bir ormal koik ve T : X X bir döüşüm olsu. T döüşümü büzülebilme koşuluu sağlıyor (yai her xy, X, x y içi d ( Tx, Ty) < d( x, y) ) ise T, X içide bir tek sabit oktaya sahiptir [5]. 4.. Not Rezapour ve Hamlbarai, Teorem 4., Teorem 4. ve Öerme 4. ifadeleride P i ormal koik kavramıı kaldırarak tekrar ispatlamışlardır [39].
44 4.. Örek E =, ( ) {, : 0, 0} P= xy E x y {(,0) :0 } {(0, ) :0 } X = x x x x d : X X E 4 d(( x,0),( y,0)) = ( x y, x y ), 3 d(( 0, x),(0, y)) = ( x y, x y ), 3 4 d (( x,0),(0, y)) = d((0, y),( x,0)) = ( x + y, x + y) olur. Bu durumda ( X, d) bir tam 3 3 koik metrik uzaydır. T : X X, T (( x,0)) = (0, x), T (( 0, x)) = ( x,0) olur ve T büzülebilme koşuluu sağlar. Yai ( x, x ),( y, y ) X içi d( T( x, x ), T( y, y )) kd(( x, x ),( y, y )) olur. Burada = [ 0,) 3 k dir. T bir tek ( 0,0) X sabit oktasıa sahiptir fakat T 4 döüşümü metrik uzayda büzülebilir değildir [5]. 4.3. Teorem ( d ) X, bir dizisel kompakt koik metrik uzay ve T : X X çapsal büzülebilir döüşüm ise T bir sabit oktaya sahiptir.
45 İspat { } F= A X: A, X i boşta farklı dizisel kompakt alt kümesi, vet ivaryat olsu. TA A ise T ivaryattır. X dizisel kompakt ve TX X olduğuda F φ ve x F. F ailesi, A, A F olmak üzere, A A aak ve aak A A ile kısmi sıralıdır. F deki her S ziiri solu arakesit özelliğie sahiptir. Dizisel kompaktlık, kompaktlığı gerektirdiğide B = I{ A : A S} aittir. Dolayısıyla B φ dır. B dizisel kompakt ve φ kümesi F ye { A : A S} I{ TA : A S} { A A S} B TB = T I : =. Açıkça B, F içi bir alt sıırdır. Zor Lemmasıda A F miimal elema olsu. A = TA 0 olarak alalım. Kompakt kümei sürekli görütüsü kompakt olduğuda ve T ivaryat olduğuda TA 0 TA = A0 dır ve A 0 kompakttır. Yai A F dır. A miimal olduğuda A 0 = A olmak zorudadır. Dolayısıyla A = TA dır. O halde δ ( A) = δ ( TA) dır. T çapsal büzülebilir olduğuda δ( A) = θ dır. Yai A ı e az bir z oktası vardır. A, T ivaryat olduğuda Tz = z dır. Yukarıdaki Teorem 4.3 ispatı geelleştirilemez. Her bir { T x} yörügesii z oktasıa yakısak olup olmadığı bilimiyor. Eğer çapsal büzülebilir döüşüm daha kuvvetli ola asimptotik çapsal büzülebilir döüşüm ile yer değiştirirse, T sıırlı yörügeye sahip olduğuda her zama T i bir sabit oktaya sahip olduğu { } m gösterileektir. E de sup d( T xt, x ) : m, mevut ise bir { T x} sıırlıdır deir. yörügesie
46 4.4. Taım ( X, d) tam koik metrik uzay, T X X : bir döüşüm olsu. Eğer θ δ { A } δ { TA }) < δ ({ A }) olaak şekilde X i her artmaya{ } a ( a < ve A kapalı ve sıırlı küme dizisi varsa T döüşümüe asimptotik çapsal büzülebilir deir ( δ A ) = limδ ( A ), { A } ı asimptotik çapı ). a ( a 4.. Öerme Eğer T : X X asimptotik çapsal büzülebilir döüşüm ise T çapsal büzülebilir döüşümdür. İspat Her içi A = A olsu. δ TA) = limδ ( TA ) = δ ( TA ) ( a asimptotik çapsal büzülebilir olduğuda δ ( TA ) < δ ( A ) = limδ ( A ) = δ ( A). O halde a a δ ( TA) < δ ( A) olur. 4.. Öerme ( X, d) bir dizisel kompakt koik metrik uzay ve T : X X bir büzülebilir döüşüm olsu. Bu durumda T asimptotik çapsal büzülebilir döüşümdür.
47 İspat { } A ( X, d) bir kapalı, sıırlı ve artmaya dizi ve δ ( A ) = lim δ ( A ) > θ olsu. (, d) X kompakt (dizisel kompakt) olduğuda her bir { } kompakt). T sürekli olduğu içi a A kompakttır (dizisel TA kompakttır. Kompaktlıkta ve Lemma 3. de x, y A seçebiliyoruz öyle ki d( Tx, Ty ) = δ ({ TA }). { A } bir artmaya ve kompakt dizi olduğu içi x x, y y vardır. T sürekli olduğuda ve ayı zamada Lemma 3.3 de δ ( TA ) = lim δ ( TA ) = lim d( Tx, Ty ) d( Tx, Ty). a = Eğer x = y ise δ ( TA ) = dtx (, Ty) = θ < δ ({ A }). a a Eğer x y ise δ ( TA ) = dtx (, Ty) < d( xy, ) = a ( ) { } δ { } δ { } = lim d x, y limsup d ( xy, ): xy, A = lim ( A ) = ( A ). a 4.. Lemma ( X, d) bir koik metrik uzay, P kuvvetli miihedral ve A X sıırlı olsu. Bu durumda δ ( A) = δ ( A). İspat P kuvvetli miihedral ve A A olduğuda δ ( A) < δ ( A).
48 Tersie x, y A olsu. Öerme 3.7 de ( X, d) birii sayılabilir topolojik uzay olduğuda e az x kapalı olduğuda, y A var öyle ki x x, y y. Lemma 3.3 de ve P d( x, y) = lim d( x, y ) δ ( A). P kuvvetli miihedral koik ve xy, A herhagi iki elema olduğu içi δ ( A) < δ ( A). O halde δ ( A) = δ ( A) olur. 4.4. Teorem ( X, d) bir tam koik metrik uzay, P kuvvetli miihedral koik ve T : X X bir asimptotik çapsal büzülebilir döüşüm olsu. Kabul edelim ki bazı x 0 X içi T i { x } 0 =0 T ile sıırlı yörügesi olsu. O zama z X, T i bir tek sabit oktasıdır ve her x X içi { T x } 0 dizisi z ye yakısar. =0 İspat T büzülebilir döüşüm olduğuda bir { T x 0 } { T x} yörügelerii sıırlı olmasıı gerektirir. 0 içi m { : } {, +,... } A = T x m = T xt x yörügesii sıırlı olması tüm olsu. Her içi A = TA olsu. O zama T i sürekliliği, Teorem 3. ve Lemma 4. de { A }) δ ({ A }) = δ ({ TA }) = δ ({ TA }) δ ({ T }) δ ( = = A. a a a a a
49 T asimptotik çapsal büzülebilir döüşüm olduğuda δ { A } { x} a ( ) = θ. Bu demektir ki T m m bir Cauhy dizisidir ve yakısaktır. z = lim T x olsu. T ( T x) Tz, m T m + x z ve her metrik uzay T uzayı olduğuda Tz = z. Sabit oktaı tekliği T i büzülebilirliğide açıktır. 4.. Koik Metrik Uzaylarda Geelleştirilmiş Büzülme Döüşümleri Sabit okta teoriside çok öemli ola geelleştirilmiş büzülme döüşümleri ilk olarak Ćirić vermiştir [4]. So yıllarda J. Goriki, ve B. E. Rhoades ortak sabit okta teoremleri elde etmek içi geelleştirilmiş büzülme döüşümlerii kullamışlardır [3]. Geelleştirilmiş büzülme döüşümleri değişik yazarlar tarafıda çalışılmıştır [3, 4, 5, 6, 3-34, 36, 37, 40, 45]. Ćirić i bazı temel souçları bu bölümde, geelleştirilmiş büzülme döüşümleri içi koik metrik uzaylarda bir sabit teoremi ve bir ortak sabit okta teoremi olarak ispatladı [4, 5]. 4... Geelleştirilmiş büzülme döüşümleri içi sabit okta teoremleri Bu kısımda koik metrik uzaylarda geelleştirilmiş büzülme döüşümleri içi bir sabit okta teoremi ispatlamıştır. ( X, d) bir koik metrik uzay ve x, x X olsu. x, x arasıdaki skaler uzaklık (, ) (, ) d x x = d x x ile taımlaır. 4.3. Teorem ( X, d ), K ormal sabit ile bir tam koik metrik uzay ve T : X X döüşümü αβγδ:,,, X X [ 0,) ve
50 { ( xy) ( xy) ( xy) K ( xy) } λ = sup α, + β, + γ, + δ, < (4.) olmak üzere, her xy, X içi (, ) α(, ) (, ) + β (, ) (, ) + γ (, ) (, ) d Tx Ty x y d x y x y d xtx x y d yty ( x y) d ( xty) d ( ytx) + δ,, +,, (4.) koşuluu sağlası. O zama, (i) u X olaak şekilde T bir tek sabit oktaya sahiptir. (ii) Her x X içi içi λ. λ (iii) d ( T xu, ) d ( xtx, ) T x u. İspat Sabit bir x X oktası seçelim. { } x dizisii x0 = x, x = Tx0, x = Tx,, x + = Tx, ile taımlayalım. Eş. 4. de (, ) = (, ) d x x d Tx Tx + (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) αd x x + βd x x + γd x x + δ d x x + d x x + + veya (, ) = (, ) d x x d Tx Tx + ( ) ( ) ( ) ( ) αd x, x + βd x, x + γd x, x + δd x, x. (4.3) + +
5 Burada,, eşitsizliğide αβγ ve δ, ( x x ), oktasıda değer ala foksiyolardır. Üçge (, ) (, ) (, ) d x x d x x + d x x (4.4) + + dur. Dolaysıyla (, ) (, ) + (, ) d x x K d x x d x x + + (, ) (, ) K d x x + d x x + { ( ) ( + ) } K max d x, x, d x, x (4.5) Eş. 4.5 de Eş. 4.3, (, + ) ( α + β + γ) max { (, ), (, + ) } + δ max { (, ), (, + ) } d x x d x x d x x K d x x d x x eşitsizliğie döüşür. O zama { } (, ) λmax (, ), (, ) d x x d x x d x x + + dir. λ < olduğuda (, ) λ (, ) d x x d x x (4.6) + dir. Tümevarım ile (, ) λ (, ) λλ. (, )... λ (, ) d x x d x x d x x d xtx (4.7) + elde edilir.
5 Koik metriği üçge eşitsizliğide m > içi (, ) (, ) (, )... (, ) d x x d x x + d x x + + d x x (4.8) m + + + m m elde edilir. Koiği ormal olması, Eş. 4.7 eşitsizliği,. ve üçge eşitsizliği sağladığıda (, ) (, ) + (, ) +... + (, ) d x x K d x x d x x d x x m + + + m m λ Kd λ + (, ) (, )... (, ) m K λ d xtx + λ d xtx + + λ d xtx ( xtx, ) veya λ d x xm Kd xtx λ (, ) (, ) (4.9) elde edilir., dizisidir. (, ) m içi, Eş. 4.9 da ve Lemma 3. de { } X d bir tam koik metrik uzay olduğuda u X içi x dizisi bir Cauhy limx = u (4.0) olur. Şimdi u u T i sabit oktası olduğuu gösterelim. Eş. 4. ve Eş. 4. de
53 (, ) α (, ) + β (, ) + γ (, ) + δ (, ) + (, ) d Tu Tx d ux d utu d x Tx d utx d x Tu d( ux, ), d ( utu, ), (, ), (, ), (, ) ( α + β + γ + δ) max d x x+ d ux+ d x Tu { d( ux) d ( utu) d ( x x+ ) d ( ux+ ) d ( x Tu) } λmax,,,,,,,,,, olur. içi limit alırsak, Eş. 4.0 ve Lemma 3.3 de (, ) λ (, ) d Tu u d Tu u (4.) elde edilir. dolayısyla λ < olduğu içi d ( Tu, u ) = 0 dir. Souç olarak ( ) d Tu, u = 0 ve d( Tu, u) = θ olur. Bu da Tu = u olmasıı gerektir. Teklik içi xy, X ve x y olaak şekilde T i iki sabit oktaya sahip olduğuu kabul edelim. Eş. 4. de (, ) = (. ) α (, ) + β (, ) + γ (, ) + δ (, ) + δ (, ) d xy d TxTy d xy d xtx d yty d xty d ytx olur. ( α δ) d ( xy, ) + λd ( xy, ) λ < olduğu içi ( ) olduğu içi Eş. 4.0 da (ii) elde edilir. d xy, = 0 olur ve dolayısyla, x= y dir. x X keyfi