DİFERENSEYELLENEBİLİR MANİFOLDLAR
|
|
- Savas Ulusoy
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 DİFERENSEYELLENEBİLİR MANİFOLDLAR M herhagi bir küme olsu. i) x: M R ii) V = Rg( x) R açık cümle olmak üzere; Dom( x) = U içi U x R x i = Pox i P i i R
2 ( ) ( U, x) ikilisie -boyutlu harita, x( m) x ( m),..., x ( m) = ye m U i (, ) U x haritasıa göre lokal koordiatları, U ya koordiat komşuluğu, deir. i x foksiyolarıa da lokal koordiat foksiyoları Örek: M = R 3 x: M a a a 6 3 R, x A= = ( a, a, a3, a, a, a3 ) a a a 3 şeklide taımlı foksiyo haritadır. (,,,,, ) koordiatları deir. 3 3 dir. ( ) 6 a a a a a a altılısıa V = Rg x = R ve A R 3 6 R açık olduğuda (, 3 ) oktasıı ( R, 3 ) R x, R de bir x haritasıa göre lokal 3
3 Örek : x: S p p R, x( p) =, p3 p3 { } foksiyou U Dom( x) S ( 0,0,) ( S {( 0, 0, )}, x) ikilisi p U oktasıa; x ( p) = = da dir. ( ) Rg x S üzeride iki boyutlu bir haritadır. p p =, x ( p) = şeklide ( ), ( ) 3 p p karşılık tutabiliriz. Bu x ( p), x ( p ) reel sayı ikilisi (, ) koordiatları olur. ( ) 3 = R ve R açık olduğuda ( ) x p x p reel sayı ikilisii U x haritası içi p oktasıı lokal 3
4 Birici örekte olduğu gibi M = R 3 kümesii tamamıı bir haritayla(yai bir koordiat komşuluğu ile) koordiatladırmak mümküdür. İkici örekte ise M = S i tamamıı tek bir haritayla koordiatladırmak mümkü değildir. Bu örekte S yi koordiat komşulukları ile örtmeliyiz. Bu durumda bir diğer ( V, y ) haritasıı; y: S p p R, y( p) =, + p3 + p3 { } şeklide alabiliriz. Bu döüşümü -, Dom( y) = S ( 0,0, ) ve Rg ( y) R olduğuu görebiliriz. O zama U V kümesii her bir p oktasıa; = özelliğide p p = p3 p3 ( ), x p p p = + p3 + p3 ve y( p), 4
5 gibi iki koordiat komşuluğu karşılık getirmiş oluruz. Bu durum her bir oktaya bir tek reel sayı ikilisi karşılık getirmeye( R deki tek türlü koordiatlamaya) ters bir durumdur. O zama bu durumu ortada kaldırmak içi lokal koordiat foksiyoları arasıda bir tür uyumluluk istemesi doğaldır. y x =, y = ( x ) + ( x ) ( x ) + ( x ) x biricide ikiciye geçiş bağıtılarıdır. { i i } Taım : (, ) A = U x i I M i haritalarıı bir koleksiyou olsu. i) M i (örtü aksiyomu) U i I ii) ( U, x),( V, y) A, U V yο x : x( U V) y( U V) döüşümü diffeomorfizm (haritaları uyumluluk aksiyomu) Özellikleri sağlaıyorsa A ya M i bir atlası deir. 5
6 M U α V α U α V α x α y α ( ) yα ( Uα Vα) x U V α α α y αοx α 6
7 { } { } Örek deki ( U, x ), ( V, y ) koordiat komşulukları içi U = S ( 0,0,), V = S ( 0,0, ) olmak üzere; U V = { p S p 3 } ( ) yο x : x U V R ( yο x )( x( p) ) = y( x ( p) ) q x( U V) içi q q q q x ( q) + =,, + q + q + q + q + q + q ο q q =, q + q q + q ( y x )( q) 7
8 olup - örte ve dif.bilirdir. Tersi kedisi olduğuda tersi de dif.bilirdir. O halde ο y x diffeomorfizmdir. { cos,si 0 } Örek 3: ( π π ) U = s s < s< S x: U R, x( p) = s, p = ( cos π s,siπ s) olarak taımlayalım. O zama P = ( cos π s,si π s ) ve Q ( cos πs,si πs ) = olsu. ( ) = ( ) = x P x Q s s P = Q olduğuda x - dir. xu ( ) = ( 0,) ve R i topolojisie göre açık olduğuda (, ) U x, S içi - boyutlu haritadır. 8
9 U = s s < s< S ( cos π,si π ) y : U R, y( p) s (, ) diğer -boyutlu haritadır. = de - ve ( ) (, ) yu = açık olduğuda S içi bir 9
10 (0,) (-,0) (,0) x y (0,-) 0 0 0
11 U U = { p S p S {(,0 )(,,0 ) } { U U } ( U U ) = s ( 0,)( cos πs,si πs ) x ( cos π s,si πs ) = (,0 ) ve ( cos s,si πs ) = (,0 ) π olacak şekilde s değerlerii bulalım. cos πs = πs = si πs = 0 s = k kπ 0 < s = k < olacak şekilde tam sayı yoktur. O halde çıkacak s değeri yoktur.
12 cos π s = πs = ( k + ) π si π s = 0 k + s = k + 0< < 0< k + < < k < < k < < k < ( )... * k = 0 ve buu (*) da yerie yazarsak s = buluur. O halde s = değeri atılacak, yai; x ( U U ) = 0,, y ( U U ) = s, ( cos πs,si πs ) U U
13 ( cos πs,si πs ) = (,0) s = k < k k = 0 s = 0 < s = 0 değeri atılacak. ( cos πs,si πs ) = (,0 ) k + s = k + < < < k + < < < k < 0 k < 0 olacak şekilde k yoktur. Dolayısıyla atılacak s değeri de yoktur. 3
14 4 ( ) = 0,,0 U U y 0,,0, 0, : x yο ( ) =, 0, p x s olmak üzere; ( ) ( ) ( ) =,, 0,, s s s s p x x yο
15 0 < x < ( p) < y( p) = x( p) x ( p) < y( p) = x( p) olduğuda yox : x( U U ) y( U U ) foksiyou tersi xoy : y ( U U ) x ( U U ), olup döüşümü -, örte ve dif.bilir bir döüşümdür. Bu ( xο y )() t t, t 0, = + t, t,0 döüşümü dif.bilirdir. 5
16 { } {( ) } Örek 3: M = ( s, 0) < s < s, s 0 < s <, ( ) {( s 0) < s 0} ( s, s) { 0 < } V =, s < olsu. {,0 } U = s < s< ve ( ) ( ) x: U R, x s,0 = s, ( ) ( ) y: V R, y s,0 = s,0 (, ) = s ( 0,) y s s olarak taımlaırsa ( U, x) ve ( y) V, M i birer haritası olurlar. Halbuki ( ) ( ] ( ) ( ] yο x : x U V =,0 y U V =,0 döüşümü dif.bilir değildir. Çükü taım kümesi R de açık olmadığıda sürekli değildir. O halde; {( U x),( V, y) }, M içi bir atlas değildir. 6
17 Taım: İki atlası birleşimi de yie bir atlas ise bu iki atlasa dek atlaslar deir. Örek: U ( z z ) { S 0} =, z > U R, x, ( z z ) x : = z döüşümü - dir. Gerçekte; (, ) (, ) x z z = x z z z = z z + z =, z + z = z = z ( z, z ) ( z, z ) = 7
18 olur. x ( z, z ) z Rg( x ) (,) < = < = ve x S içi bir haritadır. ( ο ) J : S R, x = P J U olur. {(, ) 0} U = z z S z > {(, ) 0} U = z z S z < 3 {(, ) 0} U = z z S z < 4 8
19 ( ) ( ο ) x : U R, x z, z = z, x = P J ( ) ( ο ) x : U R, x z, z = z, x = P J ( ) ( ο ) x : U R, x z, z = z, x = P J U U U 3 4 U, U ve U kümeleri U, 3 4 S i örterler. 9
20 y S (0,) (-,0) (,0) x (-,0) 0
21 ( ) ( ) ( ) = x :, S, x s s, s ( ) ( ) ( ) = x :, S, x t t, t ( ) ( ) ( ) = x :, S, x u u, u 3 3 ( ) ( ) ( ) = x :, S, x v v, v 4 4 {(, ) 0, 0} U U = z z S z > z > ( ) = ( 0,) ( ) = ( 0,) x U U x U U
22 ( ) ( ) x οx : x U U x U U ( )( ) ( ) xο x s = x s, s = s diffeomorfizmdir. xοx döüşümüe U U3 3 = olduğuda bakmaya gerek yoktur. {(, ) 0, 0} U U = z z S z > z < 4 4 ( U ) = (, 0) x U 4 ( ) = ( 0,) x U U 4 4
23 ( ) ( ) x οx : x U U x U U ( )( ) ( ) x4ο x s = x4 s, s = s diffeomorfizmdir. ( ) ( ) xοx : x U U x U U ( )() ( ) x3ο x t = x3 t, t = t diffeomorfizmdir. x οx döüşümüü U U4 = olduğuda icelemeye gerek yoktur. 4 3
24 ( ) ( ) x οx : x U U x U U ( )( ) ( ) x4ο x3 u = x4 u, u = u { } diffeomorfizmdir. A = ( U, x ),( U, x ),( U, x ),( U, x ) S içi diferesiyelleebilir atlastır. { } S içi A ( U x) ( U y) =, ( π π ),,, { si,cos 0 } U = s s < s< ve U = ( si πs,cos πs) < s< olmak üzere; 4
25 ( ) ( π π ) x: U 0,, x si s,cos s = s y : U,, y ( si πs,cosπs) = s döüşümleri taımlaıyor. A ve A atlasları dektir. Gerçekte; U {( z z ) S 0} =, z > 5
26 ( ) si πs,cos πs U U si πs> 0 ve 0 < s< si π s> 0 ve 0 < πs< π 0< πs < π 0 < s < U U = ( si πs,cos πs) 0 < s< {(, ) 0} U = z z S z > 6
27 ( ) si πs,cos πs U U cos πs> 0 ve 0 < s< cos πs > 0 ve 0 < πs< π π 3π 0< π s < veya < πs < π 3 0< s< veya < s< U U = ( si πs, cosπs) s 0,, 4 4 7
28 {(, ) 0} U = z z S z < 3 ( ) 3 si π s,cos πs U U si πs< 0 ve 0 < πs< π π < πs < π < s < U3 U = ( si πs,cos πs) < s< {(, ) 0} U = z z S z < 4 8
29 ( ) 4 si πs,cos πs U U cos πs< 0 ve 0 < s< cos π s< 0 ve 0 < πs< π π 3π < π s < 3 < s < U4 U = ( si πs,cos πs) < s< 4 4 9
30 ( U) xu ( U) = (,) x U = 0, ( ο )( ) x x s = cos π s döüşümü diffeomorfizmdir. 30
31 ( ) = (,) x U U ( U) xu x οx 3 = 0,, 4 4 ( ο )( ) 3 : 0,,, 4 4 x x s = si πs ( ) döüşümü diffeomorfizmdir. 3
32 ( ) = (, 0) x U U 3 3 ( U) xu 3 3 xοx =, ( 3ο )( ) :,,0 ( ) x x s = cos πs döüşümü diffeomorfizmdir. 3
33 ( ) = (,) x U U 4 4 ( U) xu 4 4 x οx 3 =, 4 4 ( 4ο )( ) 3 :,, 4 4 ( ) x x s = si πs diffeomorfizmdir. 33
34 U = ( si πs,cos πs) < s< si πs,cos πs U U si πs > 0 ve < s< ( ) si π s > 0 ve π < πs< π 0 < s < 34
35 U U = ( si πs,cos πs) 0 < s< si πs,cos πs U U cos πs > 0 ve < s< ( ) cos π s> 0 ve π < πs< π π π < π s < < s <
36 U U = ( si πs,cos πs) < s< 4 4 ( ) 3 si π s,cos πs U U si πs< 0 ve π < πs< π π < π s < 0 < s < 0 U3 U = ( si πs,cos πs) < s< 0 si πs,cos πs U U cos πs< 0 ve < s< ( ) 4 cos π s< 0 ve π < πs< π 36
37 π π π < πs< < πs< π < s< < s< 4 4 U4 U = ( si πs,cos πs) < s< < s< 4 4 ( U ) = (,) x U ( U ) yu = 0, xο y : 0, (, ), ( xοy )( s) = cosπs diffeomorfizmdir. 37
38 ( ) = (,) x U U ( U ) yu =, 4 4 xο y :, (, ), ( xοy )( s) = siπs 4 4 diffeomorfizmdir. ( ) = (,) x U U 3 3 ( U ) yu 3 =,0 x3ο y :,0 (, ), ( x3οy )( s) = cosπs diffeomorfizmdir. 38
39 ( ) = (,) x U U 4 4 ( U ) yu 4 =,, 4 4 x ο y 4 ( 4ο )( ) :,,, 4 4 x y s = si πs ( ) diffeomorfizmdir. O zama A A de S i bir dif.bilir atlasıdır. O halde A A olur. 39
40 { } E = s s s R, sekiz eğrisi Örek: ( si,si ) {( si,si ) 0 π } U = s s < s< = E ( ) x: U R, x si s,sis = s ( ) = ( 0, π ) açık olup A ( U x) xu { } = E içi bir atlastır., {( si,si ) π π} V = s s < s< ( ) y: V R, y si s,sis = s ( ) = ( π, π ) açık olup A ( V y) yv { } = E içi bir atlastır., 40
41 yο x : x U y V örte ( ) ( ) s ( 0, π ) içi ( yο x )( s) y( V) ( ππ, ) = olmalıdır. ( )( ) ( π, π ) s s yο x s = s π s= π s π s π,π ( ) lim s π ( yο x )( s) = π lim ( yο x )( s) s π O halde A ve A dek atlaslar değildir. + = π olduğuda s = π de foksiyo sürekli değildir. 4
42 Taım: M cümlesi bir A atlası hiçbir atlas tarafıda ihtiva edilmiyorsa A ya tam atlas deir. Teorem: M de R içie her bir dif.bilir atlas bir tek tam atlas içidedir. { α α α } + İspat: A bir atlas olsu. (, ) ο (, ) A = U x x x diffeomorfizm U x A taımlayalım. A +, M i bir dif.bilir atlasıdır. Gerçekte;( U, x),( V, y) A + olsu. A + taımıda diffeomorfizmlerdir. O halde x U V, z U α olmak üzere x x α ο ve xαο y ( α ) ( α ) xο x ο x οy = xοy bir lokal diffeomorfizmdir.(z i bir komşuluğu olduğuda) 4
43 Böylece (x, y i koordiat foksiyoları olması edeiyle x y ο - dir.) x y ο lokal diffeomorfizm ve - olduğuda diffeomorfizmdir. Bu ise A + ı bir C atlas olduğuu gösterir. Diğer tarafta A A + A + ı taımıda A yı kapsaya herhagi B atlasıı göz öüe alalım. ( W, ϕ ) A ve ( W, ϕ ) B olacak şekilde B i bir (, ) W ϕ haritası göz öüe alıarak A + ı taımı kullaılıp B A + olduğu görülebilir. Taım: M i bir tam dif.bilir atlasıa M de bir dif.bilir maifold yapısı deir. Yukarıdaki teorem gereğice M de bir dif.bilir yapıyı yai bir tam atlası verile herhagi bir atlasta daima elde edebiliriz. O halde M de bir dif.bilir yapıda bahsedebilmek içi bir dif.bilir atlas(tam olması gerekmez) almak yeterlidir. Atlasları ayı tam atlasta olmaları bu dif.bilir yapıı tek türlülüğüü gösterir. Daha açık olarak A tam atlası içi bir tek dif.bilir yapı vardır. 43
44 S de A ve A olarak taımlaa ve dek ola iki atlas görmüştük. O halde bu atlasları ikisi de tam değildir. Taım: Verile bir dif.bilir maifold yapısıyla birlikte bir M cümlesie diferesiyelleebilir maifold deir. Örek: M ve M iki diferesiyelleebilir maifold olsu. M M de {(, ) (, ) (, ) } A A = U U x x U x A ve U x A de bir dif.bilir yapı taımlar. Gösteriiz. xu ( ) ve xu ( ) R ve m R de açık olduklarıda xu ( ) xu ( ) de R R m de çarpım topolojisie göre açıktır. 44
45 ( ) ( x x )( u, u ) = x( u), x ( u ) ( ) ( x x )( v, v ) = x( v), x ( v ) ( x x )( u, u ) = ( x x )( v, v ) ( ) ( ) ( x u, x u ) = ( x( v), x ( v )) ( ) = xv ( ) ( ) = x ( v ) xu x u xx, olduğuda u = v veu = v ve x x - dir. ( uu, ) ( vv, ) = 45
46 (, ) x x U U A A (, ) y y V V A A olacak şekilde iki harita alalım. ( y y ) ο ( x x ) : ( x x )( U U ) ( y y )( V V ) ( y y ) ο( x x ) = ( y y ) ο( x x ) ( x( u), x ( v )) ( x x )( U U ) 46
47 (( y y ) ο ( x x ) )( a, b) = ( y y ) x ( a), x ( b) ( ) ( ) ( y y ο x x = yοx ) ( y οx ) = = = ( ) ( y( x ( a) ), y ( x ( b) )) (( yοx )( a),( y οx )( b) ) (( yοx ),( y οx ))( a, b) olduğuda diffeomorfizmdir. O halde A A uyumluluk aksiyomu sağlar. Burada A A M M de bir atlastır. A A ü belirlediği C yapı ile M M bir difereesiyelleebilir maifoldtur. M M moifoldua M ile M maifoldlarıı çarpım maifoldu deir. 47
48 Örek: A i alıırsa; A = ( I, R) i M i maifoldları içi birer atlas ise A... A { } R... R bir maifoldtur. ta e de M... M içi atlastır. M i = R Örek: =... maifoldtur bu çarpım maifoldua -boyutlu tor deir. T S S 48
49 MANİFOLD ÜZERİNDE DİFERENSİYELLENEBİLİR FONKSİYONLAR M, M iki dif.bilir maifold olsu. f : M M bir foksiyo olsu. f M M x x R F R () = foksiyoua f i bir koordiat temsili deir. F x ο f οx : R R () x( m ) de F dif.bilir ise f ye m de dif.bilirdir deir. Teorem: f : M M foksiyouu m M de difereesiyelleebilir olması M ve M deki harita seçimide bağımsızdır. 49
50 İspat: M U V f U M V x y x y ο y x y οx R R R R 50
51 R F = x ο f οx R y x ο x f M M x y ο x y y R G = y ο fο y R = de dif.bilirdir. Yai M deki (, ) F dif.bilir ise ( ) ( ) ( ) yο fοy G, yοx οfο yοx M deki ( x, U ) haritaları içi f dif.bilir ise ( yv, ),( y, V) haritaları içide dif.bilirdir. xu ve 5
52 Örek: M = R, M = R 3 3 ( ) ( ) x M R x A a a a a a a 6 :, =,, 3,,, 3 {(, )} M x M i atlasıdır. ( ) ( ) x M R x A a a a a a a 6 :, =,,,, 3, 3 {( M, x )} M i atlasıdır. ( ) f : M M, f A = A T F = x ο fοx : R R 6 6 5
53 (,,,,, ) ( ο ) F x x x x x x x f x x x 3 = x4 x5 x 6 x x x x x x x 4 = = ( x, x, x, x, x, x ) diferesiyelleebilir olduğuda f difereesiyelleebilirdir. 53
54 Örek: ( ) f : R R, f A = det A {( )} x: R R, x x x = x, x, x, x ( ) 4 x x xr,, M R { } = i bir atlasıdır. ( I x, R) = de M = R i bir atlasıdır. = ο ο = 4 F x f x R R (,,, ) x x ο F x x x3 x4 = x f x3 x 4 = xx xx
55 döüşümü diferesiyelleebilir olduğuda f : R R determiat foksiyou diferesiyelleebilirdir. Taım: M, M diferesiyelleebilir maifoldlar f : M M -, f, f diferesiyelleebilir ise f ye bir diffeomorfizm deir. M, M gibi iki dif.bilir maifold verildiğide bular arasıda global bir diffeomorfizm varsa M, M maifoldları diffeomorfiktir deir. { } Örek: ( si,si ) E = s s s R, sekiz eğrisi {( si,si ) 0 } U = s s < s< π ( ) x: U R, x si s,sis = s {(, )} (, ) A = xu M= E A maifolduu ve 55
56 {( si,si ) π π} V = s s < s< ( ) y : V R, y si s,sis = s {(, )} (, ) A = y V M = E A maifolduu göz öüe alalım. ( ) ( si,si ) = si ( π ),si ( π ) f s s s s f E E x y R F = yο fοx R 56
57 ( ) ( ) F = yο fοx : 0, π π, π ( ο ο )( ) y f x s = s π diffeomorfizmdir. EE, tek haritalı olduğuda f global diffeomorfizmdir. O halde EE, maifoldları diffeomorfiktir. ( J( F s), = [], det J( F, s) 0 ve F - olduğuda F diffeomorfizmdir.) 57
58 BİR MANİFOLDUN İNDİRGENMİŞ TOPOLOJİSİ Teorem.4.: ( M, A ) bir maifold (, ), ( ) açık ise ( W, x W ) U x A W U ve x W R A dır. İspat: x: U R ise x : W R W - dir. Ayrıca hipotezde xw ( ) R açık olarak verildiğide ( W, x W ) M i bir haritasıdır. Şimdi bu haritaı A ya ait olduğuu gösterelim. Buu içi ( V, y) A ve V W y ( ) ο x, x ο y döüşümlerii dif.bilir olduğuu göstermek yeterlidir. W W V W, W U V U olur. O zama ( ) ( ) yο x : x V U y V U 58
59 döüşümü diffeomorfizmdir(x, y harita olduğuda). Burada ο ( ) y x W difeomorfizmii bir açık alt cümleye kısıtlamışı olduğuda diffeomorfizmdir. döüşümü y x ο y ο x x W V y W V xw : ( ) ( ) ( V) döüşümü diffeomorfizmdir. O zama ( W, x W ) uyuşabilirlik aksiyomu sağlıyor. A olur. Çükü herhagi ( V, y) A ile Teorem: M dif.bilir maifold ve M i bir tam atlası A + olsu. A + daki koordiat bölgelerii cümlesi M deki topolojii bazıdır. 59
60 İspat: ( X, τ ) topolojik uzayıda B τ u i) i B i I X ii) B, B B içib B Bi i I özellikleri sağlaıyorsa B ye τ u bir bazı diyorduk, A + bir atlas olduğuda i) aksiyomu sağlaır. ii) aksiyomuu sağladığıı göstermek içi ( U, x),( V, y) A + alalım. U V y x ο diffeomorfizm ve buu taım kümesi xu ( V) teoremde ( U ) bir haritadır. Yai ( ) sağlaır. V x, U V, U V ise R de açık olmak zorudadır. Öceki U V x A + olur. O halde ii) aksiyomu Yukarıdaki teorem edeiyle aşağıdaki taımı verebiliriz. 60
61 Taım: M i bir atlası A olsu. A ı tam atlasıı koordiat bölgelerii baz olduğu topolojiye M i A da (dif.bilir yapısıda) idirgemiş topolojisi deir. Souç: ( ) U M açık m Uiçi U, x, m U haritası vardır. m m m İspat:( ) ( i, i ) 0 0 i i, haritaları U = Ui yazılabilir. m U, i içi 0 m U U, i 0 U M açık ( U, x ) U x bir haritadır. ( ) U m ler açık olduğuda birleşimleri de açık yai i I U = U açık m { } Ödev: ( R, x I) = i idirgediği R deki topoloji ile R i stadart topolojisi ayıdır. Gösteriiz. 6
62 Teorem.4.4.: Maifold topolojisie göre M dif.bilir maifolduu her haritası bir homeomorfimdir. İspat: x i M de idirgemiş topolojiye göre sürekli ve açık döüşüm olduğuu göstermeliyiz. (, ) :, ( ) U x A x U R x U = V açıktır. V R ve ( ) x V = W U olacak şekilde V açık cümlesii seçelim. x old. ( ) ( ) ( ) W U = W x W = x W x U ( ) = xw V = V V 6
63 V, V açık olduğuda ( ) xw açıktır ve Teorem.4. de ( W x ), W A olur. M i koordiat komşulukları M i idirgemiş topolojisie göre açık olduğuda W M de idirgemiş topolojiye göre açıktır. O halde x (bir V açığıı ters resmii M deki idirgemiş topolojiye göre M deki açığa döüştürdüğüde) M deki idirgemiş topolojiye göre süreklidir. ( ) U U, U, y A olsu. y x ο R de diffeomorfizm olduğuda bu döüşümü taım kümesi xu ( U ) = xu ( ) R de açıktır. M i U da yata herhagi açık alt kümesi bazdaki temel kümeleri birleşimi olduğuda ve bu temel kümeleri görütüleri de açıktır. O halde x, M de idirgee topolojiye göre açık döüşümdür. R de açık olduğuda bu açık kümei görütüsü 63
64 Teorem: M, M iki dif.bilir maifold f : M M m M de dif.bilir ise f ; M, M üzerideki idirgemiş topolojiye göre m M de süreklidir. İspat:, x x sırasıyla ( ) m M ve f m M de iki harita olsu. f M M x x R x ο fοx F R F x U ( ) ( ) x V ( ) : m f m 64
65 döüşümüü göz öüe alalım. x, x de dfibilirdir. O halde F x( m ) de süreklidir. x, x döüşümleri idirgemiş topolojiye göre homeomorfizm olduklarıda(teorem.4.3. de) f x οfοx = idirgemiş topolojiye göre süreklidir. Teorem.4.4. de ( M, M üzerideki idirgemiş topoloji kullaılarak) f : M M dif.bilir foksiyou süreklidir. Bu edele f : M M dif.bilir foksiyouu taım kümesi M i açık alt cümlesi olmalıdır. Şimdi Öklid uzayıda geçerli ola dif.bilir foksiyoları bazı özellikleri daha geel ola maifoldlar üzerideki foksiyolar içide geçerli olduğuu göstereceğiz. 65
66 Teorem.4.5: f : M M dif.bilir foksiyo ve U da f i taım kümesiyle arakesiti boş olmaya M i herhagi açık alt cümlesi olsu. i) f dif.bilirdir U ii) f diffeomorfizm ise f de diffeomorfizmdir. U İspat: f i taım kümesii V olduğuu kabul edelim. O zama U f foksiyouu taım kümesi U V de açıktır. Çükü f dif.bilir olduğuda V taım kümesi açık ve U açık olduğuda U V de açıktır. Bu edele m U V, U V de yata W koordiat komşuluğua sahiptir. 66
67 U f M U M x x xu ( V) R F U R x, taım kümesi W ola M i bir haritası x de M ü taım kümesi f ( m ) yi kapsaya haritası olsu. f, f foksiyoları W üzeride ayı olduklarıda bu haritalara göre ayı gösterime U sahiptirler. Gerçekte p W içi ( x ο fοx )( x( p) ) = ( x ο f )( p) = ( ( )) x f p 67
68 ( ) ( ) U ( ) = ( )( ) x ο f οx x p x ο f p U = = ( ( )) x f p U ( ( )) x f p olur. f, m de dif.bilir olduğuda f da m de dif.bilirdirdir. U Şimdi de f diffeomorfizm olsu. O zama f dif.bilir foksiyo olduğuda sürekli ve bu edele f ( U ), M de açıktır. O zama f, -, örte olduğuda f : U f ( U) dif.bilirdir. U -, örtedir ve ( f U ) = f f ( U ) olduğuda(gösteriiz), ( ) f U dif.bilirdir. 68
69 Teorem: M, M, M dif.bilir maifoldlar, f : M M, g: M M dif.bilir foksiyolar ise gο f bileşke foksiyou da dif.bilirdir. f, g diffeomorfizm ise gο f de diffeomorfizmdir. ( ) İspat: gο f i taım cümleside herhagi m oktasıı seçelim ve x, y, w, m, f ( m), g f ( m ) oktasıdaki haritalar olsular. O zama; gösterimleri olur ve F y f x = ο ο ve G = wο gο y sırasıyla f ve g i koordiat gof f g M M M R F R G R
70 G F ο de gof i w ( g f ) x ο ο ο koordiat gösterimii kısıtlaması olur. Öklid uzayları arasıdaki iki foksiyo difbilir ise buları bileşkesi de difbilirdir. O halde, f g sırasıyla, ( ) olduğuda Gο F x( m ) de difbilirdir. Bu edele de wο ( gο f ) οx de ( ) gof m de difbilirdir. m f m de dif.bilir x m de difbilirdir. Burada Eğer f, g diffeomorfizmler ise gof de difbilir ve - örtedir. ( ) gο f = f οg olduğuda ( gο f ) de difbilirdir. O halde gof diffeomorfizmdir.
71 DİFERENSİYELLENEBİLİR VARYETELER Teorem: f : R R difbilir S f ( 0) (-)-boyutlu maifold yapısı tespit edilebilir. = olsu. O zama z S içi rakj ( ) f z = ise S de bir difbilir İspat: Herhagi z 0 0 ( ), r 0 f S oktasıı seçelim. f,r = z r olmak üzere, o zama e az bir r tamsayısı içi f z olur. Kapalı foksiyo teoremi m=, özel halide (^ yı atılmış alamıda kullaırsak) R deki tek zˆr z i komşuluğuu; ( z, z,..., z,..., z ) içi ( ) 0 r ˆ 0 r V oktasıı var olduğuu gösterir. Ayrıca ayı teoremde ; f z, z,..., z = 0 olacak şekilde bir 0 ψ r : R R şeklideki W üzeride taımlaa foksiyo difbilirdir.
72 Hatırlatma: m m [ F : Ω R R R, dom( F) =Ω, F = ( F,..., F ), (,..., x x x ), y ( y,..., y ) açık + + m (,...,,,..., ) z = z z z z bir = = olmak üzere k C döüşümüü olsu. Eğer ( 0, 0) x y Ω içi i F F( x0, y0) = 0; det ( x0, y0) 0 i, l m l y olsu. Bu durumda her bir ( x, y) U V R içi (, ) = 0 = ( ) F x y y f x 0 0 olacak şekilde x 0 ve y 0 ı sırasıyla U R ve V m R açık komşulukları ile bir tek k f : U V, domf = U, C döüşümü vardır.
73 i m i i F F m Df ( z) = ( Df )( z) = R( ) j j t + m x x t m T, R i z r foksiyouu V ve ( z,..., z,..., z ) W olacak şekildeki açık altcümlesi olsu. ˆ r R üzeride (,..., ˆr,..., ), θr( ) θ r : R R z z z z T = W olacak şekilde taımlamış difbilir döüşüm olarak alalım. O zama; θ r i U = S T üzerie kısıtlamışı ola döüşümügörütü kümesi R i W açık alt cümlesi ola R R - örte döüşümdür. Bu edele j, S i R içie doğal gömmesi olmak üzere, ( θο ) : x = j S R r U de 0 z ı içie ala U taım kümesie sahip bir haritadır.
74 Bu yolla elde edile haritaları taım kümeleri S yi örter. Şimdi bu haritaları S i atlası olduğuu gösterelim. R içie difbilir Kabul edelim ki x de U taım kümesi U ile kesişe bir diğer harita olsu. Böyle bir haritayı 0 fz s 0 olacak şekilde 0 z oktasıı seçerek elde edebiliriz. jο x : R R ( z,..., zˆ ) ( ( ˆ r,..., z z,..., ψ r z,..., zr,..., z),..., z) foksiyou taım cümlesi W ola difbilir foksiyodur. x ο x foksiyou taım cümlesi x( U U ) ve bu cümle üzeride difbilirdir ve s ( j x ) θο ο foksiyouyla çakışır.
75 l Eğer U, R i f : R R difbilir foksiyouu taım cümlesi ile çakışa açık altcümlesi ise f da U difbilirdir. öermeside göstermek ispat içi yetecektir. οx foksiyouu x( U U ) x taım kümesii R de açık olduğuu A R kümesi içi; A ı jο x ayı olduğu açıktır. x( U U ), i açık alt cümlesi ise U T S görütüsüdür ve buu içide O halde altıdaki ters görütüsüü x altıda U ü ters görütüsüdür. Fakat T ; = olur. Bu edele x( U U ) R i açık alt cümlesidir. x οx koordiat değişimi difbilirdir ve ayı şeyleri olduğuu görebiliriz. görülebilir. x οx, xο x x altıda A S i ters görütüsü ile kümesi T ü xο x T ye karşılık gele jο x R altıdaki ters koordiat değişimi içi de doğru döüşümlerii - ve örte olduğu; x ve x i harita olmasıda
76 Taım: Yukarıdaki difbilir yapıyla belli S maifoldua ( ) boyutlu difbilir varyete deir. Örek: : f R R f z = z + z z + foksiyou difbilirdir. +, ( ) f f z = z, = z z... z [ ], i i + zi 0 dır. Çükü 0 z i O zama; f rak = zi o halde f ( ) 0 = S -boyutlu difbilir varyetedir. z = ise f ( z ) = 0 olduğuda ({ 0} ) z f = S olur. O halde 0 olmalıdır. z i
77 Bu S üzerie bir difbilir yapı verir. Bu yapı ( ) + tae haritada oluşa bir atlasla şöyle taımlaabilir. {(,..., ) 0 + } U = z z z > i i {(,..., ) 0} U = z z z < ++ i + i olmak üzere; x = θοj: U R, x = θοj: U R ( ) ( ) i i i + + i i + + i ( ) ( ˆ ) x z,..., z,..., z = z,..., z,..., z, z U i i + i + i x z = z,..., zˆ,..., z, z U ( ) ( ) ( i + ) ( ) + + i + + i {(, ), ( ( ), ( ) ),,..., i i + + i + + i } A= U x U x i = + S i C atlasıdır. Gerçekte;
78 Ui U + + = i ( ) olduğuda (, ) ( ) ( U, x ) ( U, x + + i + + i) içi Ui x i ve ( ) i ( ) i i j, Ui, xi ve ( ) ( ) haritaları atlas içi uyumluluk aksiyomuu sağlarlar. U U + + ( ) i i olduğuda bu haritalar içi, uyumluluk aksiyomuu sağladığıı göstermeliyiz. ( x jο x( ) ): x( ) ( U ( ) U j) x i i i i( U( ) U i j) ( x ( ) )( ˆ jο x z,..., zi,..., z ) j(,..., j,..., i,..., i + = x z z z z ) = ( z,..., z ˆ j,..., z + )
79 döüşümü difbilir olduğuda. A atlası difbilir yapı taımlar. S i yukarıdaki atlasıa dek (stereografik) iki haritalı atlasıı kullamak daha uygudur. {{ 0,...,0, }}, {{ 0,...,0, } } U S U S = = y: U R, y z,..., z = z,..., z z + ( ) ( ) y : U R, y z,..., z = z,..., z + ( ) ( ) z + döüşümleri örtedir, gerçekte; u R u u = z z z + (,..., ) (,..., )
80 z u = z = z u ( ) i i i + i z+ z i z ui i= i= ( ) + = ( ) ( ) + + i + i= z = z u = z u ( ) + z = z u + + ( ) u = z + u + u z = + + u i, + u u + z = = + u + u + ui zi = i =,..., + u z u u,..., u =, + u + u + u R +
81 buluur. O halde y örtedir. O zama yu ( ) R = ve R açık olduğuda ( U y),, S içi bir haritadır. Bezer şekilde y ü de harita olduğu gösterilebilir. u u,..., u + y =, R + u + u + u + ( ) ( ) yο y : y U U y U U ο y y : R R ( yο y )( u) = y y ( u) ( ) u u,..., u = y, + u + u + u
82 u u =,..., u + u + u + u ( yο y )( u) = u u buluur. Bu döüşüm y ( U U) üzeride u y ( U U) u 0 halde; olduğuda difbilirdir. Bu döüşüm {(, ),(, )} A = U y U y S içi bir diğer haritadır.
83 Ödev: A ve A ü dek haritalar olduğuu gösteriiz. ÖrekGemici Halkası(Achor Rig): 3 R de ( ) z A + z = B, z = 0, A> B> 0 3 çemberii z3 eksei etrafıda dömeside meydaa gele döel yüzeydir. Bu yüzeyi deklemii aalitik geometride; ( x3) ( x ) F x, x, = 0 C... G x, x, 3 = 0 eğrisii buluduğu düzlemdeki ( 0 0 0,, 3) x x x oktasıda geçe ve doğrultma vektörü (,, ) doğru etrafıda dömeside meydaa gele döel yüzeyi deklemi abc ola
84 ( x3) ( x ) F x, x, = 0 G x, x, = 0 3 ax + bx + cx = λ 3 ( x x ) ( x x) ( x3 x3) = µ deklemleride x, x, x 3 yok edilerek buluur. Bua göre 3 doğrultma vektörü ( 0.0, ) ola doğru olduğuda z eksei ( 0,0,0 ) ( z 0 0 0, z, z3) = da geçe ve z3 = λ z + z + z3 = µ F( z, z, z3) = ( z A) + z3 = B, A> B> 0 G( z, z, z3) = z = 0
85 µ = z + z + λ z + z = µ λ z = µ λ z = µ λ ( µ ) λ A B = 0 = ϕ( λ, µ ) ϕ ( z, z + z + z ) = ( ) z + z A + z = B 3 döel yüzeyi deklemi olur. ( 3) ( 3 ) ( ) f : R R, f z, z, z = z + z + z + A B 4A z + z 3 şeklide taımlı difbilir foksiyouu sıfır yerlerii cümlesidir.
86 f = z + z + z3 + A B z A z z = 4 z + z + z + A B 8A z = 0 ( ) 8 ( ( ) ) 3 f = ( z + z + z + 3 A B ) z 8A z = 0 z f = ( z + z + z + 3 A B ) z 3 8A z = 3 0 z 3 z = z = z3 = 0 { } 3 ( ) f ( ) z R f ( z) 0,0,0 0 = = 0 olduğuda Deizci Halkası bir difbilir varyetedir.
87 Örek: ( ) f R R f x y = x + y + :,, { } ( ) ( ) S = f 0 = x, y R x + y + = olduğuda difbilir varyete değildir. Örek: :, (, ) f R R f x y = x y f = x = 0 x x= y = 0 f = y = 0 y ve ( 0,0) f ( 0) olduğuda f cebirsel varyete değildir.
88 Örek: ( ) 3 f : R R, f x, y = y x x, R α α α α fα = x fα = y 3α x ( ( )) x rakj f, x, y α = olduğuda reel cebirsel varyetedir. Herhagi (, ) x0 y0 S içi y 0 ı V komşuluğu ve x 0 ı W komşuluğu ψ :W V ψ 3 ( x) α x x 3 ( ) = α = 0 ψ x x x difbilir döüşümü vardır. V=W=R alıabilir.
89 Örek: :, (,, ) f R R f x y z = x + y z f = x x f = y y f = z z 3 ( 0,0,0) f ( 0) ve rakj f (( 0,0,0) ) = 0 olduğuda ( ) uygulaamaz. O halde dif.bilir varyete değildir. 0,0,0 oktasıda kapalı foksiyo teoremi Örek: ( ) 3 f : R R, f x, y = x + 5y + x { } ( ) ( ) S f x y R x y 3 x = 0 =, = 0 J f (( x, y) ) f f = x x
90 = x + 5y rakj = f ( 0,0 ) oktasıı civarıda f (( 0,0) ) [ 0] rakj =, z = 0, z = ı W komşuluğuda 0 ı V komşuluğua; ψ :W V y ψ ( y) = x Kapalı Foksiyo Teoremii
91 ( ) () i ψ y = x 0 0 ( ( ) ) ( ii) f ψ y, x = 0 ( iii) ψ difbilir özellikleri kullaılarak ψ ( ψ ( ), ) = 0 3 ( y) y ψ ( y) f y y = 0 3 = 0y ψ ( y) ± 0y = 3
92 ψ ( 0 ) = 0 özelliğii sağlaya ( ) 3 ψ y f f z z 0 ( ) ( ), r = 0 0 xr {( W, ψ )}, S f ( 0) ± 0y = döüşümü olur. olacak şekilde z 0 = ( 0,0) oktası içi, W = (, ) olmak üzere = maifoldu içi bir atlastır. BİR MANİFOLD ÜZERİNDE DİFERENSİYEL l Moder ileri aalizde f : R R dif.bilir foksiyouu, taım cümlesii herhagi bir z oktasıdaki türevi ( ) : l Df R R z foksiyou matrisi J ( ) lieer foksiyou olarak taımladığıı biliyoruz. Doğal bazları kullaarak, bu f z i asıl taımlaacağıı da bu dersi birici döemide görmüştük. Bu düşüceleri Φ: M M geel dif.bilir foksiyoa geişletmek içi şimdide bir maifoldu her bir oktasıda tajat vektör uzayıı asıl taımlaacağıı göreceğiz. Ayrıca M, M maifoldları
93 arasıdaki Φ döüşümüe karşılık gele p M oktasıda tajat uzaylar arasıdaki türetilmiş lieer foksiyoları vereceğiz.kavramıa gireceğiz. Kısmi Türevler: x i bir M difbilir maifolduu U taım kümeli bir haritası olduğuu kabul edelim. Bu haritaya ve R üzerideki özdeşlik haritasıa göre taım kümesi V = domf ola f : M R difbilir foksiyou
94 M f R x I f = IοFο x = Fο x x( U ) F R U V üzeride f = Fοx koordiat gösterimie sahiptir. f : R R foksiyou difbilir ve buu F F f = kısmi türevleri de difbilirdir. Şimdi F, i x: M R i = ο y y,i i foksiyolar taım kümesi U M V ola difbilir foksiyolardır. şeklide taımlayalım. Bu = R ve x de özdeşlik haritası olduğuda böyle foksiyolar kısmi türevler olurlar. Özel olarak R f üzerideki özdeşlik haritası geellikle t ile belirtilecek ve f : R R dif.bilir foksiyo ise, t türevi olacaktır. df dt adi
95 f Geelde i x koordiatları ile verilmiş foksiyoları kısmi türevlere bezer durumdadır. Mesela bir ( V, x ) haritasıı x, x lokal ( ) f x, x = six + cosx foksiyouu koordiat gösterimi, p V ( ( )) ( ο )( ( )) ( ) F = fοx, F x p = f x x p = f p = si + ( ) cos ( ) x p x p ( )( ) = ( ) ( ( ) ( ( ))) f x, x p F r x p, r x p olduğuda
96 V x R i i U ο x= x i U R olduğuda ( ( )) si ( ο )( ) ( ) cos( ( ο )( )) F x p = u x p + u x p ( u ( x( p) )) cos u ( x( p) ) = si + ( si u cosu )( x( p) ) = + ( )
97 ( ο ( ), ο ( )) = ( si + cos )( ( )) F u x p u x p u u x p (, )( ( )) = ( si + cos )( ( )) F u u x p u u x p iki foksiyou eşitliği taımıda ( ) F u, u = siu + cosu F F = cosu = si u u u F, x= F x= cos u x = cos x u ( ) ο ο ( ο ) F, x= F x= si u x = si x u ( ) ο ο ( ο ) olur.
98 { } E = s s s R Örek: ( si,si ) {( si,si ) 0 } U = s s < s< π ( ) = ( si,si ) = = ( ) x p x s s s y s ( ) ( ) 3 f : E R, f si s,sis = f p = s olduğua göre df dx türevii hesaplayıız. ( ( )) ( ) = = = ( ) ( ο )( ( )) F fοx F x p F y s f x x p = f ( si s,si s) 3 = s 3 3 ( y ( s) ) ( y ) ( s) = =
99 3 ( F( y ))( s) ( y ) ( s) = F F y = y = y y ( ) ( ), 3( ) F F = 3( ) x y x x y ο = ο 3 ( ο ) = 3 y x = 3( x )
100 Örek: ( V, x ) haritasıa göre lokal koordiat foksiyoları i x olmak üzere; M x R i i y x x ο = i y R i i f = x : M R foksiyouu kısmi türevlerii hesaplayıız. ( ) i i F = xοx : x U R i i i ( x οx )( x( p) ) = x ( p) = ( yοx)( p) i ( ( )) = ( ο )( ) i F x p y x p F i i i i F y = y, = = δ j j ij y y
101 Öerme 4... f, g M üzeride reel değerli dif.bilir foksiyolar ve α, β R ise f g α + β = α + β i i i x x x f g fg. =. g+ f. i i i x x x a) ( f g) b) ( ) dir. İspat: ( U, x ) M i bir haritası ve F, G de M i ( U, x ) ve R i (, ) f, g foksiyolarıı koordiat gösterimi olsular. O zama; a) h= α f + β g foksiyouu koordiat gösterimi, ( ) hο x = α f + βg οx R I haritalarıa göre
102 ( ) ( ) H = α fοx + β gοx = α F + βg olur. R i koordiat foksiyoları (,..., ) y y olmak üzere; H F G = j j ( αf + βg) = α + β j j y y y y H h F G οx α οx β = = οx j j j + j y x y y f g j ( α f + βg) = α + β j j x x x buluur.
103 b) h= f. g olsu. (. ) H = f g οx = ( f οx ).( gοx ) H F G =. G+ F. j j j y y y H F G οx =. G οx F. οx j j + j y y y h F G ο x.( Gοx) ( Fοx). = x j j + ο j y y y f g =. g+ f. j j x x
104 TANJANT VEKTÖRLER M, -boyutlu dif.bilir maifold ve m M olsu. m M oktasıı taım kümeside kapsaya bütü dif.bilir foksiyoları kümesii F ( m) ile belirtelim. Yai; ( ) = { :, } F m f f M R m domf olsu. O zama f, g F ( m) dom( af + bg ) = domf domg olur. F ( m) ve ab, R içi af + bg F ( m) ve kümesi, f F ( m) içi f + 0 = f olacak şekilde bir tek 0 foksiyouu da kapsar. Bu foksiyoa M üzerideki sıfır foksiyou deir. Fakat, geel olarak f F ( m) içi f + ( f ) = 0 M olacak şekilde f F ( m) foksiyou yoktur. Çükü;
105 f ( f ) 0 U + = U dir. Bu edele; ( ) ( ) ( ) : F m F m F m ( f g )( p) = f ( p) + g ( p), p domf domg ( ) ( ) λ ( ) : R F m F m R ve f F m içi ( λ )( ) λ ( ), f p = f p p domf
106 olmak üzere ( ) ( F m,,, R, +,.) lieer foksiyoa F ( m) altılısı bir vektör uzayı değildir. F ( m) üzeride bir lieer operatör deir. üzerideki R- Öerme 4... Λ: F ( m) R bir lieer operatör ve f, g F ( m) komşuluğu üzeride çakışa foksiyolar ise foksiyoları m i bir Λ f =Λ g dir. İspat: f, g F ( m), f = g olacak şekilde m i U komşuluğuu var olduğuu kabul U U edelim. O zama; f f sıfır foksiyou olduğuda; U
107 ( f f ) f ( f ) Λ =Λ Λ = 0 olur. Burada; U U ( 0 { f f }) U =Λ (Λ lieer olduğuda) ( f f ) = 0. Λ U ( ) ( ) Λ f =Λ f =Λ g =Λ g U U buluur.
108 Taım: ( f. g) ( f ) g( m) f ( m) ( g) Λ =Λ + Λ özelliğie sahip bir lieer operatöre F ( m) üzeride derivasyo deir. Öerme de x, M üzeride m M oktasıı kapsaya taım kümeli bir haritaysa; f : F ( m) R, i i ( f ) = i x x x m m m şeklide taımlı kısmi türevler F ( m) üzeride birer derivasyodur.
109 Öerme 4... Λ, F ( m) üzeride bir derivasyo ve f F ( m) m i e az bir komşuluğu üzeride sabit değere sahip ise Λ f = 0 dır. İspat: f foksiyouu m M i bir komşuluğu üzeride c değerie sahip olduğuu kabul edelim., M üzerideki sabit değerli foksiyou belirtmek üzere Öerme 4... de, f ( c. ) c(.) Λ =Λ (.) = ( Λ.) + ( Λ.) Λ =Λ = Λ (Λ lieer olduğuda) olduğuda Λ = 0 buluur. Bu edele Λ f = 0 buluur. Eğer Λ, Ω F ( m) üzeride derivasyolar ve ab, Rolsu.
110 aλ+ bω: F ( m) R, ( aλ+ bω )( f ) = a( Λ f ) + b( Ω f ) şeklide taımlı foksiyouda derivasyo olduğu kolayca gösterilebilir. O halde F ( m) üzerideki bütü derivasyoları cümlesi de R-lieer yapıya sahiptir. Yai; bütü derivasyoları cümlesii m TM ile gösterirsek ( TM,,, R, +,.) olur. Bu uzaya m M oktasıdaki tajat uzay deir. F ( m) derivasyoa( TM i m elemaıa) m oktasıda bir tajat vektör deir. m altılısı bir vektör uzayı üzerideki her bir Klasik vektör aalizdeki bezer vektörlere bu açıda bakmak öemlidir. v vektörü 3 R de z oktasıdaki
111 .( ) f v gradf şeklide taımlı F ( z) F ( z) üzeride bir derivasyo belirler. Aşağıdaki Öerme 4..3 de üzeride bu yolla elde edile derivasyo z oktasıdaki bir tek vektörde ortaya çıkar. Geel hale döersek şimdi TM m tajat uzayıı boyutuu -olduğuu gösterelim. Lemma 4... x, M i x( m) e az bir komşuluğu üzeride f i = a olacak şekildeki bir haritası olsu. f F ( m) ise m i i i ( ) + ( ) f m x a h i i
112 foksiyouyla çakışacak şekilde h h F ( m),..., foksiyoları vardır. İspat: y = x a ile taımlaa M i bir haritası y olsu. f ο y i taım bölgeside kapsaa orji merkezli B açık yuvarıa kısıtlamışı F olsu. z B içi; d F( z,..., z ) F( 0,...,0 ) = F( sz,..., sz) ds ds 0 = i 0 (,..., ) F sz sz zds i, i = zihi( z,..., z) Hi( z,..., z) = Fi, ( sz,..., sz) ds i 0
113 buluur. foksiyolardır. H i foksiyoları dif.bilir olduğuda i i h = Hο y istee özelliğe sahip Öerme x, verile bir m oktasıı içie ala taım kümeli M i bir haritasıysa i x m ( i =,..., ) TM i m bir bazıdır. İspat: x( m) Öerme 4... de; = a olsu. TM m Λ ise f F ( m) içi Lemma 4..., Öerme 4... ve
114 i i Λ f =Λ f ( m) + ( x a ) hi i i i i i ( ( x a ))( hi) ( x ( m) a )( hi( m) ) = Λ Λ + i= i= i ( x )( hi ( m) ) = Λ i= özel olarak; Λ= j x m alıarak x ( f ) = ( hi( m) ) = hj( m) j j m i= m x x i ve buu yerie yazarak;
115 ( ) ( ) i i i m f x f x = Λ = Λ veya iki foksiyou eşitliği taımıda; ( ) i i i m x x = Λ= Λ (4..) buluur. O halde i m x vektörleri m TM uzayıı gererler.
116 0 i i i m a x = = ( ) ( ) 0, i j j i i m a x x j x = = 0, j j i i i m x a a j x = = = olduğuda lieer bağımsızdırlar. O halde i m i x m TM uzayıı bazıdır. i m i x bazıa m TM uzayıı x haritasıyla eşleşmiş Kaoik(Doğal) bazı deir. Eğer y, M i m oktasıı kapsaya taım kümeli bir diğer haritasıysa bu haritayla eşleştirilmiş diğer baz da (4..) eşitliğide;
117 i x = y y x (4..) m j j i m i= m şeklide verilir. Burada verdiğimiz tajat uzay taımı diğer taımlara göre basit ve adaptasyou daha kolaydır. Daha başka tajat uzay taımları da vardır.
118 TÜRETİLMİŞ LİNEER FONKSİYONLAR m, φ : M M = olsu. dif.bilir foksiyouu taım kümesii bir oktası ve m φ ( m) ( ) ise f οφ F ( m) ve (, ),(, ) f F m U x V y olmak üzere; m φ M M m f οφ f R
119 φ M M f R x y f y ο R yοφο x R f οφ i koordiat gösterimi; ( ) ( ) f οφ = fο y ο yοφο x = ( f ) οφ ο x olur. Her bir v T M vektörü f v( fοφ ) = θ ( f ) şeklide m v
120 ( ) ( ) θ : T M R, θ f = v fοφ v m v foksiyou F ( m ) üzeride derivasyodur. Gerçekte; ab, R, f, g F ( m ) içi, ( af + bg ) οφ = a ( f οφ ) + b( gοφ ) ( fg. ) οφ = ( fοφ).( gοφ) olduğuda; (. ) = ((. ) ) = (( ).( )) θv fg v fgοφ v fοφ gοφ (( οφ ))( οφ ( )) ( οφ ( )) ( οφ ) = v f g m + f m v g
121 v ( f )( g ( m) ) ( f ( m) ) v( g) = θ οφ + οφ θ v ( f ) gm ( ) f( m ) θ ( g) = θ + v O halde θ v, Tm M i bir vektörüdür. Bu vektörü φ ( v) *m v = θ şeklide belirteceğiz. φ * m : TM m Tm M ( ) φ = θ : * v * m v v T M R m ( v)( f ) = ( f ) = v( f ) φ θ οφ *m v şeklide taımlı θ v foksiyou lieerdir. Gerçekte;
122 ( av + bw)( f ) = ( f ) = ( av + bw)( f ) φ θ οφ *m av+ bw ( av + bw) = a ( v) + b ( w) φ φ φ * m * m * m θav+ bw = aθv + bθw ( οφ) bw( f οφ) = av f + ( )( ) φ ( )( ) = aφ v f + b w f * m * m ( aφ* m( v) bφ* m( w) )( f ) = + olur. Buradaki *m φ foksiyoua türetilmiş lieer foksiyo deir. ( ) w= φ v T M *m m olduğuda ve (4..) eşitliğide x, y sırasıyla M ve M i m ve φ ( m) oktalarıdaki haritaları ise
123 α ( ) ( ) = φ* m = α α = y w v w y φ( m) dir. α α ( ) = φ*m ( )( ) = v( y α οφ ) w y v y olur. Bu edele φ *m lieer foksiyou φ *m i TM i m x haritasıyla eşleştirilmiş bazı üzerie etkisiyle; i x m
124 α ( y οφ ) ( m ). α φ( ) (4.3.) x x x y φ i * m i = i m m α = m şeklide taımlaır. J φ, φ foksiyouu olmak üzere bu döüşüme karşılık gele matris J x( m) Φ= yοφο x koordiat gösterimii Jakobiaı φ ( ) α ( y οφ ) = i x m Öerme A bir reel vektör uzayı { e,..., e } de herhagi baz olsu. şeklidedir. i x: A R, x α ei = α,..., α i= ( )
125 şeklideki döüşüm örte olduğuda x( A) R haritadır. {( Ax, )} atlası dif.bilirdir. { e,..., e} = ve diğer bir baz ike; R açık olduğuda (, ) Ax A içi bir ve {(, )} {(, )} y: A R, y α iei = α,..., α i= ( ) A y da diğer dif.bilir atlastır. Bu iki atlası birbirie dekliği gösterilebilir. Bu Ax atlasıyla belli dif.bilir yapıya A vektör uzayı üzerideki stadart dif.bilir yapı deir. a A vektörü içi; J : A T A a a
126 kaoik izomorfizmii taımlayalım. (t,r) özdeşlik haritası olmak üzere v A vektörü c= α + tv: R A dif.bilir foksiyo belirler. Ja ( v) = c*0 t 0 olarak alalım. y, { e,..., e } stadart bazıa karşılık gele harita olsu. v= ise i= i vei
127 c T R T A *0 : 0 a α ( y οc) t t t y c*0 = ο α α = c( ) α ( y οc) = α α = t y 0 α α = ( a + tv ) 0 α α = t y a a O halde; α = v α α = y a
128 ( ) a a L v v y α α α = = olur. i i e e α α α δ = = olmak üzere; ( ) ( ) 0,,..., a i t a L e a tv i t y α α α α = = = + = ( ) 0,,..., i t a i t y α α α δ = = = =,,..., i a i y = =
129 Öerme A, B kedi stadart didf.bilir stadart yapılarıyla reel vektör uzayları ve φ : A B de dif.bilir foksiyo olsu. Eğer a, φ i taım kümesii bir oktası ise φ TA T Bşeklide lieer foksiyo taımlarız. Bu φ( ) : * a a a ( φ) φ( a) D = L οφ οl A B a * a a : Şeklideki lieer foksiyou verir. Bu foksiyoa a oktasıda φ i türevi deir. { },{ } ei E α sırasıyla A, B vektör uzaylarıı bazları ve x, y de bu bazlarla eşletirilmiş stadart haritalar ise ( Dφ) ( ei) = ( L ( a) οφ* aοla)( ei) a φ
130 ( L ( ) οφ φ a *a ) = i x a φ*a i x a = Lφ ( a) α = L ( a) i ( y οφ )( a φ ) α α = x y α ( y οφ ) ( ) a L i φ( a) = α α = x y = α = α ( y οφ ) ( ) x i a E α φ( a) φ( a)
131 olur. ( ) a Dφ lieer döüşümüe yukarıda seçile bazlara karşılık gele matris J ( a) Φ= yοφο x l dir. Özel olarak f : R R φ olup dif.bilir foksiyo ise doğal bazları kullaarak ( ) : l Df R R z matrisi J ( ) f z ola lieer döüşümdür. x R + özdeşlik haritası Örek 4.3. deki Lz= z, L : R TR i + + z i z z x z Şeklideki izomorfizmi ve S üzerideki;
132 {( + ) } + + ( + ) { } u = z,..., z z > 0, u = z,..., z z < 0 i i i i ( ) ( ˆ ) i : θο i : i, i,..., i,..., + =,..., i,..., + x j U R x z z z z z z ( ) ( ˆ ) x : U R, x z,..., z,..., z = z,..., z,..., z ++ i ++ i ++ i i + i + atlasıı alalım. y bu atlastaki ilk haritayı göstermek üzere; σ ( Lz) α ( y οσ ) = z α y i * z z i i, α x z z
133 y α οσ sıfırıcı derecede homoje foksiyo olduğuda Euler Teoremi de bu vektörü kedisi sıfırdır. Bu edele σ *z i çekirdeği gerilir. TR + z i alt uzayıdır ve z Lz vektörü tarafıda Bütü TM m tajat uzaylarıı birleşimie (m, M üzeride değişirke) tajat demet deir. Bu M maifolduu bütü tajat vektörleride oluşur. TM ( ) π : TM M, π v = m v Tm M bir izdüşüm ortaya çıkarır. φ :M M
134 dif.bilir foksiyou bir ( ) φ* : TM TM, φ* m v = m = πv şeklide bir foksiyo taımlar. Bu foksiyoa φ foksiyouu diferesiyeli deir. Ψ: M M diğer dif.bilir foksiyo ike Ψ οφ döüşümü de ( Ψ οφ) =Ψ * οφ* dir. *
TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR
TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.
Detaylı6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
Detaylı(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.
Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit
DetaylıIV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR
Bölüm 1 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR Bir öceki bölümde bir yüzeyi oktalar yeterice küçük kom³uluklaryla ilgileebildik. Bu prosesi soyut realizasyou içi, souçta bizi diferesiyelleebilir maifold
Detaylı1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.
Detaylıf n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi
4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie
DetaylıBAĞINTI VE FONKSİYON
BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı
Detaylı2.2. Fonksiyon Serileri
2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m
DetaylıAnaliz II Çalışma Soruları-2
Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II
Detaylı6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
Detaylı18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005
8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi
DetaylıLİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2
LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık
DetaylıH.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel
DetaylıBir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı
5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.
Detaylı( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri
V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı
DetaylıMATEMATİK ANABİLİM DALI
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN
DetaylıVenn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak
Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt
Detaylı5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ
5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii
DetaylıTÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi
DetaylıT.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ.
T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ İsmail AYDOĞDU Balıkesir, Hazira-009 ÖZET CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...
İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı
DetaylıORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ
ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze
DetaylıKONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 009 ANKARA Muhib ABULOHA tarafıda hazırlaa KONİK METRİK UZAYLAR
DetaylıProblem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ
PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar
DetaylıFonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla
Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya
Detaylı0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322
Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem
DetaylıPOLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ
POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı
Detaylı2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğreciler, Matematik ilköğretimde üiversiteye kadar çoğu öğrecii korkulu rüyası olmuştur. Bua karşılık, istediğiiz üiversitede okuyabilmeiz büyük ölçüde YGS ve LYS sıavlarıda matematik testide
DetaylıBağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)
Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici
DetaylıBÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER
BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii
DetaylıİDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)
T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650
DetaylıÖrnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1
Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault
DetaylıTOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER
TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7 TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI
DetaylıTümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...
MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız
DetaylıAnalitik. Geometri. Prof. Dr. Salim YÜCE
Aalitik Geometri Prof. Dr. Salim YÜCE Prof. Dr. ANALİTİK GEOMETRİ ISBN 978-605-318-811-7 DOI 10.14527/9786053188117 Kitap içeriğii tüm sorumluluğu yazarlarıa aittir. 2017, PEGEM AKADEMİ Bu kitabı basım,
Detaylısorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir
BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri taımlamak içi iki yol vardır: uzayda oktalara karşılık gele bir koordiat sistemideki oktalar veya büyüklük ve yöü ola eseler. Bu kısımda, ede iki vektör taımıı buluduğu açıklaacak
DetaylıDiferansiyel Geometri
Öklid Uzayıda Diferasiyel Geometri Salim Yüce Prof. Dr. DİFERNSİYEL GEOMETRİ ISBN 978-605-318-812-4 DOI 10.14527/9786053188124 Kitap içeriğii tüm sorumluluğu yazarlarıa aittir. 2017, PEGEM KDEMİ Bu kitabı
DetaylıA= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?
ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}
DetaylıDIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ
DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ UFUK KAYA Mersi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aa Bilim Dalı YÜKSEK LİSANS TEZİ Tez Daışmaı Prof. Dr. Nazım KERİMOV MERSİN Hazira - 8 ÖZ Bu çalışmada
Detaylı3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10
Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık
Detaylıİstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı
İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi
DetaylıOLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10
. ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma
DetaylıGAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz
GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı
DetaylıAnalitik. Geometri. Prof. Dr. Salim YÜCE. 3. Baskı
Aalitik Geometri Prof. Dr. Salim YÜCE 3. Baskı Prof. Dr. ANALİTİK GEOMETRİ ISBN 978-605-318-811-7 DOI 10.14527/9786053188117 Kitap içeriğii tüm sorumluluğu yazarlarıa aittir. 2017, PEGEM AKADEMİ Bu kitabı
DetaylıTahmin Edici Elde Etme Yöntemleri
6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme
DetaylıGİRİŞ. Daha karmaşık yapıda olan ve bu ders kapsamına girmeyen denklemler için örnekler ise;
GİİŞ Matematik bakış açısıyla doğrusal modelleri büyük bir avataı vardır. Doğrusal olmaya sistemleri matematiği aalitik yötemlerle oldukça zordur ve geellikle bir ümerik bir çözüm elde edebilmek içi bilgisayar
DetaylıGERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK
GERÇEL ANALİZ Hüseyi IRMAK Prof. Dr. Hüseyi IRMAK Çakırı Karateki Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Çakırı 207 2 . BÖLÜM DİZİ KAVRAMI Dizi kavramı matematik bilimide oldukça kullaışlı
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102
DetaylıSAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr.
SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER - Döemi Ders Notları Pro. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri
Detaylıdenklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy
Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada
DetaylıA) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B
. +? + + işlemii soucu aşağıdakilerde xy } y 5,x 4 5x 4y Ç 6y +7x 6.5+7.4 58 cm Yaıt:C hagisie eşittir? A) 7 B) 4 C) 7 4 D) 7 7 E ) 7 4. Aşağıda alaları verile dairelerde hagisii alaı sayıca çevresie eşittir?
DetaylıSAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr.
SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9- Döemi Karma Eğitim Ders Notları Doç. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri
DetaylıM Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R
İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY
DetaylıPOLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,
POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x
DetaylıDers 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)
DetaylıLİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ
LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel
DetaylıÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LATİS SIRALANMIŞ -BÖLÜNEBİLİR RUPLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA,008 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LATİS SIRALANMIŞ -BÖLÜNEBİLİR
Detaylı7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzayıı bir başka W ektör uzayıa döüştüre foksiyolar şu şekilde gösterilir: : V W Burada kullaıla termioloji foksiyolarla ayıdır. Öreği, V ektör
Detaylın ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10
KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise
DetaylıPROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları
PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Detaylı7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu
DetaylıDers 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve
Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz
DetaylıT.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER
T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER ESRA ULUOCAK DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK
DetaylıMÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS
DetaylıTÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)
TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu
DetaylıBÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve
BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre
DetaylıBASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI
Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei
Detaylın ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10
KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise
Detaylıİşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.
OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre
DetaylıÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Yüksek Lisas Tezi İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER VE İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN DOĞURULAN YARIGRUPLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 0 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN
Detaylı( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.
KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri
DetaylıT.C. HEİSENBERG GRUBUNUN GEOMETRİSİ VE HEİSENBERG GRUBUNDA ÖZEL
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HEİSENBERG GRUBUNUN GEOMETRİSİ VE HEİSENBERG GRUBUNDA ÖZEL EĞRİLER HÜLYA BAŞEĞMEZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR AĞUSTOS - 2011
DetaylıBÖLÜM 3. ile gösterilir. m-boyutlu öklit kümesini tanımlayan m adet kümenin kartezyen (Catesian) çarpımı,
BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ Bölüm de, doğrusal regresyo tek değişkeli basit model olarak ele alıarak açıklamıştı. Bölüm 4 de ise çok değişkeli (k değişkeli) model içi
DetaylıSTANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU ELİPTİK TİPTEN FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ. Sezgin OĞRAŞ
T.C DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ STANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU ELİPTİK TİPTEN FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ Sezgi OĞRAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Temmuz DİYARBAKIR TEŞEKKÜR
DetaylıAKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ
AKT MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ KESİKLİ RASLANTI DEĞİŞKENLERİ & KESİKLİ DAĞILIMLAR. X aşağıdaki olasılık foksiyoua sahip kesikli bir r.d. olsu. Bua göre;. ; x =.. ; x =. 4. ; x =. 5 p X
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ
MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta
Detaylı{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI
OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {
DetaylıBu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -
18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ İSTİSNAİ LIE GRUPLARININ SELF HOMOTOPI GRUPLARININ DEMETI. Beyhan KUTSAL
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ İSTİSNAİ LIE GRUPLARININ SELF HOMOTOPI GRUPLARININ DEMETI Beyhan KUTSAL MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2005 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi
Detaylıv = ise v ye spacelike vektör,
D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,
DetaylıAfyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. Quadratic (Exceptional) Jordan Algebra of Dimension 54
Afyo Kocatepe Üiversitesi Fe ve Mühedislik Bilimleri Dergisi Afyo Kocatepe Uiversity Joural of Sciece ad Egieerig AKÜ FEMÜBİD 8 (08) 00 (- 55) AKU J. Sci. Eg. 8 (08) 00 (- 55) DOİ: 0.5578/fmbd.66855 54
Detaylı(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.
Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..
DetaylıİKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ
Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce
DetaylıEME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9
..7 EME 37 Girdi Aalizi Prosedürü SİSTEM SIMÜLASYONU Modelleecek sistemi (prosesi) dokümate et Veri toplamak içi bir pla geliştir Veri topla Verileri grafiksel ve istatistiksel aalizii yap Girdi Aalizi-II
DetaylıYrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir
DetaylıT.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.
T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Saısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 8. Hafta İNTERPOLASYON Saısal Çözümleme 2 İÇİNDEKİLER Ara Değer Hesabı İterpolaso Doğrusal Ara Değer Hesabı MATLAB ta İterpolaso Komutuu Kullaımı Lagrace
DetaylıVII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )
Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k
DetaylıDOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ MATRİS ORTOGONAL POLİNOMLARININ ve MATRİS FONKSİYONLARININ BAZI ÖZELLİKLERİ Ali ÇEVİK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 9 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora
DetaylıT.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ
T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ Tezi Hazırlaya Abdulkadir KURAG Tez Daışmaı Doç. Dr. Necdet BATIR Matematik Aabilim Dalı Yüksek
DetaylıREEL ANALĐZ UYGULAMALARI
www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (
DetaylıLecture 2. Mahir Bilen Can. Mayıs 10, 2016
Lecture 2 Mahir Bilen Can Mayıs 10, 2016 1 Klasik Lie Cebirleri Klasik Lie cebirlerinin hepsi içinde son derece büyük öneme sahip dört sonsuz aile vardır. Bunlar A, B, C, D harfleri ile indekslenmekte
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Merve BAYSAL MATEMATİK ANABİLİM DALI. ANKARA 2007 Her hakkı saklıdır
ANKARA ÜNİVERSİESİ FEN BİİMERİ ENSİÜSÜ YÜKSEK İSANS EZİ ŞEKİ OERAÖRÜ VE EME FORMAR Mere BAYSA MAEMAİK ANABİİM DAI ANKARA 007 Her hakkı saklıdır Doç. Dr. Mstafa Kemal SAĞE daışmalığıda Mere BAYSA tarafıda
DetaylıAlıştırmalara yanıtlar
Alıştırmalara yanıtlar Alıştırma 7. Derste tanımlanan yama kürenin yalnızca {z S 2 : z > 0} kısmını parametrize etmekte. Yapmamız gereken şey bütün küreyi böyle yamalarla örtmek. Önce ϕ : D 2 S 2, (x 1,
DetaylıOLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)
OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza
DetaylıTG 12 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testleri her hakkı saklıdır. Hagi amaçla olursa olsu, testleri tamamıı vea
Detaylısonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz.
Ders 1: Önbilgiler Bu derste türev fonksiyonunun geometrik anlamını tartışıp, yalnız R n nin bir açık altkümesinde değil, daha genel uzaylarda tanımlı bir fonksiyonun türevi ve özel noktalarının nasıl
DetaylıPermütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar
0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl
Detaylı