İNTEGRAL İLE ALAN HESABI UYARI =f() =f() =f() [,] rlığınd f() işret değiştiriors, f onksi on prçlr rılır =f() Şekilde =f() eğrisile ekseni ltınd kln lnı ulmk için eğrinin ltınd kln ölgei dikdörtgenlere ırır ve u lnlrı toplrk ir Riemnn toplm ı elde ederiz. Elde edilen Riemnn toplmın integrl hesın temel teoremini ugulrk şğıdki sonuçlrı çıkrırırız Trlı toplm ln = A 1+A = f ( ) d= A 1 f ( )d+ A f ( )d ALAN HESABI f : [, ] Rsürekli f fonksionu ile =, = ve O ekseni rsınd kln ölgenin lnı f ( ) d ile hespln ır. Trlı ln f ( )d =f() =f() w w w. m t z. o m UYARI 3 Şekildek i trl ı ölgelerin lnlr ı verilmiştir Soru 1 f ( )d =? İstenen lnlrın işretli ( eirel) toplm ı olup evp -9+3=-6 olur Soru [,] rlığınd O ekseni ve =f() eğrisile sınırlı ln kç r dir? İstenen toplm lnlr olup integrlle ifdesi f ( ) d ve eşiti 9+3=1 olur 9 =f() 3 UYARI 1 Not f()<0 ise Trlı ln f ( ) d Aln sorulrını çözmek için ugun şekli çizeriz, gerekirse integrlleri prçlr ve ugun rlıklrd integrlleri hesplrız Örnek...1 : = +3 doğrusu =-1, = doğrulrı ve ekseni rsınd kln ln kç r dir? =f() 1. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 01 015 1/1010
Örnek... : = prolü, =0 ve = doğrulrının sınırldığı kplı ölgenin lnı kç r? Örnek...6 : Grf iği verilen =f() fonksionu için 0.f ( +3)d=? =f() 6 3 7 5 Örnek...3 : =3 eğrisi ile o ekseni rsınd kln 3 kplı ölgenin lnı kç r dir? Örnek...7 : = 9 - eğrisi = - 1 ve =1 doğrulrı ve o ekseni rsınd kln ölgenin lnı kç r dir. Örnek... : Şekildeki =f() prolü ve ek seni rs ınd kln trlı ln kç irim kredir? =f() -1-1 1 w w w. m t z. o m Örnek...8 : = ², = 8 ve =5 doğrusu ve ekseni rsınd kln lnı hesplınız Örnek...5 : Şekildeki tepe noktsı A oln = f( ) prolü ile ekseni rsınd kln ln kç irim kredir? A(,) =f() 1. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 01 015 /10
DEĞERLENDİRME 1 1) =+1 doğrusu =0, =3 doğrulrı ve ekseni rsınd kln ln kç r dir? 5) Grfiği verilen =f() =f() fonksionu için 0.f' ( )d 9 3 7 8 ) Şekildeki =f() prolü ve ekseni rsınd kln ln kç =f() irim kredir? 8-6) =²- prolü =1 ve =5 doğrulrı ve ekseni rsınd kln lnı hesplınız. 3) Şekildeki tepe noktsı T(r,6) oln =f() prolü ile = ve = ve ekseni rsınd kln ln kç irim kredir? 7 T =f() 7) = 5, =e ve =e19 doğrulrı ve ekseni rsınd kln lnı hesplınız ) = - eğrisi = 1 ve =3 doğrulrı ve O ekseni rsınd kln ölgenin lnı kç r dir 1. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 01 015 3/10
İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN =f() A =g() =f() =g() Örnek...9 : = eğrisi ile = + 1 doğrusu rsınd kln kplı ölgenin lnı kç r dir? İki eğri rsı ln ulunurken grfikler rsındki ln ine dikdörtgenlere ölünerek ln Riemnn toplm ın dönüştürülür. K L =g() =f() Örnek...10 : = -1 ve = - prolleri rsınd kln kplı ölgenin lnı kç r dir Genel olrk eğriler rsındki lnı ulm k için grfikler çi zildik ten sonr O eksenine prlel KL şeridi çizilir. Bu şeridi kendisine prlel olrk k dırrk ölgei trdığım ızd üst ve hep = f() eğrisi üzerinde lt uu d hep g() eğrisi üzerinde değişmesi gerekir. Şekli inele i niz Bu durum d lna= f ( ) g () dolur. Ak si tk dirde integrli prçlm k gerek ir Örnek...11 : = ve = eğrileri rsınd kln lnı ulunuz. K =g() L =f() Trlı lnlr toplm ı f ( ) g ( ) d= (f ( ) g ( ) )d + (g( ) f ( ) )d 1. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 01 015 /10
Örnek...1 : = 3 ve u eğrie =1 de çizilen teğeti rsınd kln ölgenin lnını Örnek...1 : 16 d integrlini hesplınız. 0 Örnek...13 : = ve =- doğrusu ve ekseni rs ınd kln lnı ulunu z. Örnek...15 : ( 1 )d 0 Örnek...16 : Şekildeki merkezil direninn çpı 1 irimdir. trlı lnı integrlle ifde edini z Htırltm Stndrt çemer denklemini kullnrk şğıdki ğıntılrı elde ederiz = r = r = r = r 1. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 01 015 5/10
X=F(Y) VE Y EKSENİYLE SINIRLANDIRILMIŞ ALANLAR Örnek...1 : =f() fonksionlrı prol denklemlerini zınız 1) A(3,18) =f() Y EKSENİNDE ALAN HESABI Trl ı ln= f ()d UYARI 1 Not =f()<0 ise trlı ln= - f () d =f() =f() UYARI ) - =f() [,] rlığınd f() işret değiştiriors, f onksi on prçlr rılır - Trlı toplm ln 3) =f() 3 = f () d= f ( )d f ( )d =f() 7-3 İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN ) =f() trl ı ln g ( ) f ( ) d (f ( ) g ())d+ (g () f () )d =g() L K T(,-7) =f() 5) A(5,1) =f() UYARI =f() eğrisi verilip ekseni ile sınırlı ölgenin lnı sorulduğund sıklıkl verilen fonksionun tersile işlem prız. 1. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 01 015 6/10
Örnek... : Verilen proller ve eksenile s ınırlnd ır ılm ış trlı lnlrı ulunu z 1) A(1,3) Örnek... : = ln eğrisi, = 1 ve = 3 doğrulrı ve o ekseni rsınd kln kplı ölgenin lnı kç r dir? =f() Örnek...5 : ) A(,3) Grfiği verilen =f() fonksionun göre 3 f ()d+ 1 f 1 ( )d kçtır? =f() -3-1 - =f() 3) =f() 1 Örnek...6 : Grfiği verilen = ve = 8/ fonksionlrı ve ekseni rs ınd kln trlı ölgenin lnı k ç irim kredir? 8 = =8/ -1 Örnek...3 : =e eğrisi =1,=e ve ekseni rsınd kln ln kç irim kredir? Örnek...7 : Şekildeki merkezil direninn çpı 1 irimse trlı lnı integrlle ifde edini z 1. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 01 015 7/10
DEĞERLENDİRME 1) = ve=+8 doğrusu rsınd kln lnı ulunuz. 5) d=? ) = ve=- rsınd kln lnı ulunuz. 6) =e fonksionu =e ile ekseni rsınd kln trlı ölgenin lnı kç irim kredir? e =e 3) = 3 ve= rsınd kln lnı ulunuz. 7) = - +6 prolü ile = doğrusu trfındn sınırlnn kplı ölgenin lnı kç r dir? ) f()= ve g()=(-) ile ekseni rsınd sınırlı ölgenin lnı kç r dir. 8) Şekilde doğru ile merkezil dire rsındki trlı ölgenin lnını integrlle - ifde ediniz 1. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 01 015 8/10
9) = 7 ve = eğrileri ve =10 doğrusu rsınd sınırlı ölgenin lnı kç irim kredir? 1) + =1 ğıntısıl irini ölgede sınırlı ölgenin lnı kç irim kredir? + =1 10) =-²++6 ile =+ doğrusu rsınd kln lnı ulunuz. 13) Şekilde =f() fonksionunun türevinin grfiği verilmiştir. f(0)=3 ise f(3) kçtır? -1 1 1 3 =f ı () 11) = 3 fonksionu =1 noktsındki normli ve =0 doğrusu ile sınırlndırılmış ölgenin lnı kç irim kredir? 1) f ( )=, g ( )= + fonkionlrı ve =18 ile =18 doğrulrı ve eksenler rsınd kln ölgenin lnı kç irim kredir? 1. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 01 015 9/10
15) Şekilde =f() fonksionunun grfiği verilmiştir. Bun göre 7 f '( ) d kçtır? - 5 7 =f() 18) = ile =3 doğrusu ve ekseni ile düzlemin 1. ölgelsinde sınırlndırılmış ölgenin lnı kç irim kredir? 19) 16) = prolü ile = 0 ve = doğrulrı rsınd kln ölgenin lnı kç r dir? Şekilde merkezi orjin oln dörtte ir çemer ı verilior. Doğru ile dire rsınd kln trlı ölgenin lnını integrlle ifde ediniz -1-17) = e eğrisi ile = 6 doğrusu ve o ekseni rsınd kln kplı ölgenin lnı kç r dir? 0) Şekildeki merkezil elips ve doğru ile sınırlndırılmış ölgei integrlle ifde ediniz. - - -3 1. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 01 015 10/10