DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI

DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI Ağırlık ve Ters Ağırlık (Kofaktör) Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Yrd. Doç. Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü Trabzon, 016

AĞIRLIK Ağırlık, ölçülerin duyarlıklarını ve ne derece güvenilir olduklarını tanımlayan bir katsayıdır. Ölçüler duyarlıklarına göre üç gruba ayrılır: Duyarlıkları Eşit Ölçüler Duyarlıkları Farklı Ölçüler Korelasyonlu Ölçüler

AĞIRLIK Duyarlıkları Eşit Ölçüler Ölçü±Ortalama Hata l 1 ± m l ± m. l n ± m Duyarlıkları Eşit Ölçüler: Aynı kişiler, aynı zamanda, aynı aletlerle yaptıkları ölçülerdir. Bu ölçülerin duyarlıkları eşittir. Dolayısıyla ağırlıkları da «1» e eşittir.

AĞIRLIK Duyarlıkları Farklı Ölçüler Ölçü±Ortalama Hata l 1 ± m 1 l ± m. l n ± m n Duyarlıkları Farklı Ölçüler: Farklı kişiler, farklı aletlerle, değişik zamanlarda yapılan ölçülerdir. Bu ölçülerin duyarlıkları eşit değildir. Dolayısıyla ağırlıkları da eşit değildir.

AĞIRLIK Duyarlıkları farklı ölçüler genellikle, farklı sayıdaki gözlemlerden oluşan ilk ölçülerin fonksiyonları olarak ortaya çıkmaktadır. İlk Ölçüler Sözgelimi bir uzunluk aynı duyarlıkla 15 kez ölçülmüş olsun. L 1 ± L ± L 15 ± x = L 1+L + +L 15 15 = L = et L 15 15 Kesin Değer (Aritmetik Ortalama)

AĞIRLIK İlk bağımsız ölçülerden 7 tanesi 1. Grup, 5 tanesi. Grup, 3 tanesi 3. Grup olarak ele alınırsa bu grupların en uygun değerleri u 1 = L 1 + L + L 3 + L 4 + L 5 + L 6 + L 7 7 u = L 8 + L 9 + L 10 + L 11 + L 1 5 x = 7u 1 + 5u + 3u 3 7 + 5 + 3 u 3 = L 13 + L 14 + L 15 3 u 1, u, u 3 ün katsayıları olan 7, 5, 3 sayılarına dengeleme hesabında ağırlık denir. x = p 1L 1 +p L + +p n L n p 1 +p + +p n = pl p = PT L e T P Kesin Değer Genelleştirilmiş Aritmetik Ortalama (Ağırlıklı Ortalama)

AĞIRLIK İlk bağımsız ölçülerin fonksiyonu olan u 1, u, u 3 büyüklüklerinin ortalama hataları hata yayılma kuralı uygulanarak hesaplanabilir. u 1 = L 1+L +L 3 +L 4 +L 5 +L 6 +L 7 7 du 1 = 1 7 dl 1 + 1 7 dl + 1 7 dl 3 + 1 7 dl 4 + 1 7 dl 5 + 1 7 dl 6 + 1 7 dl 7 m u1 = ( 1 7 ) + ( 1 7 ) + ( 1 7 ) + ( 1 7 ) + ( 1 7 ) + ( 1 7 ) + ( 1 7 ) m u1 = 7( 1 7 )

AĞIRLIK m u1 = 7 Benzer yolla m u = 5 m u3 = 3 Bu eşitliklerin paylarındaki 7, 5, 3 sayılarının u 1, u, u 3 büyüklüklerinin ağırlıkları oldukları gözönüne alınırsa m i = p i p i = s 0 m = sabit i m i = c m i Ağırlığın Tanımı

ARİTMETİK ORTALAMANIN AĞIRLIĞI x = L 1+L + +L n n dx = 1 n dl 1 + 1 n dl + + 1 n dl n AĞIRLIK Duyarlıkları eşit ölçüler L 1 ± L ± L n ± m x = ( 1 n ) + ( 1 n ) + + ( 1 n ) m x = n Aritmetik Ortalamanın varyansı Ağırlığın tanımı p i = m i bağıntısı uygulandığında p x = m = s 0 x n p x = n Aritmetik Ortalamanın Ağırlığı

ARİTMETİK ORTALAMANIN AĞIRLIĞI Matris Gösterimi x = et L n dx = = 1 n 1 n m x = AK ll A T AĞIRLIK Aritmetik Ortalama K ll = 1 n dl 1 dl dl n =A dl Ölçülerin Varyans-Kovaryans Matrisi m x = n p x = n Aritmetik Ortalamanın Ağırlığı

AĞIRLIK AĞIRLIKLI ORTALAMANIN AĞIRLIĞI y = p 1L 1 +p L + +p n L n p 1 +p + +p n dy = p 1 P dl 1 + p P dl + + p n P dl n m y = ( p 1 P ) m 1 + ( p P ) m + + ( p n P ) m n m y = m y = p 1 m y = P + p 1 p P + + p n p P P (p 1 + p + + p n ) P p n Ağırlıklı Ortalamanın Varyansı Duyarlıkları farklı ölçüler L 1 ± m 1 L ± m L n ± m n m i = p i Ağırlığın Tanımı p i = m i p i = m i p 1 = m 1 p = m p n = m n p y = m = s 0 y P p y = P Ağırlıklı Ortalamanın Ağırlığı

AĞIRLIK AĞIRLIKLI ORTALAMANIN AĞIRLIĞI Ölçülerin Ağırlık Matrisi p 1 Matris Gösterimi y = et PL e T Pe Ağırlıklı Ortalama P = p p 3 p n dy= p 1 P p P m y = AK ll A T p n P dl 1 dl dl n =A dl Ölçülerin Varyans-Kovaryans Matrisi K ll = m 1 m m 3 m n m y = P = s 0 e T Pe p y = P = e T Pe Ağırlıklı Ortalamanın Ağırlığı

AĞIRLIK Ağırlıkları farklı büyüklükler,: Duyarlıkları farklı aletlerle yapılan ölçümler sonucunda ortaya çıkabildikleri Farklı yöntemlerle yapılan gözlemler Farklı meteorolojik koşullarda yapılan ölçüler Yetenekleri farklı ölçmeciler tarafından yapılan ölçüler Ortalama hata ve ağırlık kavramlarının her ikisi de ölçülerin duyarlıklarını tanımlayan ölçütler olduklarından, bunlar arasında p 1 p = m m 1 Ağırlıkları belirlemek için gözlemlerden uygun birinin ağırlığı p=1 olarak seçilir. Bu durumda, seçilen gözlemin ortalama hatası olarak seçilmiş olacağından diğer gözlemlerin ağırlığı ağırlığın tanımından hesaplanırlar. Hesaplama tekniği yönünden ağırlıkların 1 ile 10 arasında seçilmesi uygun olur. Ağırlıkların bir katsayı ile çarpılması sonucunda elde edilecek yeni ağırlıklarla işlem yapılırsa kesin değerle ve hesaplanan duyarlıklar değişmez. Yalnızca birim ölçünün ortalama hatası değişir. Bu değer, yeni tanıma göre ağırlığı p=1 olan ölçünün ortalama hatasıdır.

AĞIRLIK Aynı türden gözlemlerin ağırlıkları birimsizdir. Ancak ölçüler farklı türdense birimli olurlar. Örneğin doğrultu kenar ağlarında doğrultuların (r) birimi (g) duyarlıklarının birimi (cc) ve kenar (s) ölçülerinin birimi (m) duyarlıklarının birimi (cm) ise Doğrultu (g) ± Ortalama Hata (cc) r 1 ± m r1 r ± m r r n ± m rn Doğrultu (m) ± Ortalama Hata (cm) s 1 ± m s1 s ± m s s n ± m sn Ölçülerin ağırlıkları, doğrultuların duyarlıklarından en büyüğü (m ri )birim ölçünün öncül ortalama hatası ( ) olarak seçilirse, ağırlığın tanımından Doğrultuların ağırlığı p ri = = (cc) (cc) m ri birimsiz Kenarların ağırlığı p si = = (cc) (cm) m si birimli

Uygulama 1) Bir doğrultu duyarlıkları m 1 = ±10 cc ve m = ±8 cc olan iki aletle ölçülmüştür. Birinci aletle yapılan ölçünün ağırlığı p 1 = 1 olarak seçildiğine göre ikinci aletle yapılan ölçünün ağırlığını (p =? ) hesaplayınız. p 1 p = m m 1 p = p 1 m 1 m = (10) (8) = 1. 56

Uygulama ) Bir açı duyarlıkları farklı 3 teodolitle bir kez ölçülmüştür, m 1 = ±6 cc, m = ±15 cc, m 3 = ±10 cc. olan iki aletle ölçülmüştür. İkinci teodolitle yapılan ölçünün ağırlığı p = 4 seçildiğine göre, p 1 =? ve p 3 =? hesaplayınız. p 1 p = m m 1 p 1 = p m m 1 = 4 (15) (6) = 5 p 3 p = m m 3 m p 3 = p m 3 (15) = 4 = 9 (10)

Uygulama 3) Aynı aletle yapılan doğrultu ya da açı ölçülerinde ölçü sayısı ile ağırlık arasındaki ilişkinin belirlenmesi: Aynı açı (β) aynı aletle n 1 ve n kez ölçülmüş ise 1. Ölçülerden hesaplanan açının kesin değeri β 1 = β 11 + β 1 + + β 1n1 n 1. Ölçülerden hesaplanan açının kesin değeri β = β 1 + β + + β n n Bu aletle bir kez ölçülen bir açının ortalama hatası ise kesin değerlerin ortalama hatası m β1 = n 1 m β = n p 1 p = m m 1 olduğundan p β1 p β = m β m β1 = n n 1 = n 1 n p β1 = m β p β m β1 = n 1 n Sonuç: Aynı aletle yapılan doğrultu ya da açı ölçülerinde ağırlıklar ölçü sayıları ile doğru orantılıdır.

Uygulama 4) İki açısı ölçülen bir düzlem üçgende P α = 6, P β = 3 olarak verildiğine göre 3. açının hesapla bulunan değerinin ağırlığı nedir? γ = 00 (α + β) dγ = dα dβ m γ = m α + m β = + P γ P α P β m i = p i 1 P γ = 1 P α + 1 P β 1 P γ = 1 3 + 1 6 P γ =

Uygulama 5) Geometrik nivelman geçkilerinde ağırlığın belirlenmesi Δh = Δh 1 + Δh + + Δh n Nivelman miraları arasındaki uzaklıklar (d) yaklaşık olarak eşit seçildiğinden n = S d Δh = Δh 1 + Δh + + Δh n dδh = dδh 1 + dδh + + dδh n m Δh = m + m + + m = n m Aynı geçkide aynı aletle aynı ölçmece tarafından ölçülen yükseklik farklarının ortalama hatalarının birbirine eşit oldukları varsayılabilir. m Δh = S d m p Δh = sabit m Δh = c Ağırlığın Tanımı m Δh p Δh = c d 1 m S c, d, ve m sabit sayılar olduklarından p Δh = k S

Uygulama 5) Geometrik nivelman geçkilerinde ağırlıkların belirlenmesi p Δh = k S Geometrik nivelmanda ağırlık geçki uzunluğuyla ters orantılıdır. Ağırlıkların 1 ile 10 arasında olma koşulu dikkate alınarak geçki uzunluklarının km biriminde değerlerine bakılarak k değeri seçilir. Geçki Uzunluğu S i (km) 0. 5 0.3 p Δh = k S i = 1km S i Geçki Uzunluğu S i (km) 5.13 3.678 p Δh = k S i = 10km S i Geçki Uzunluğu S i (km) 51.3 36.78 p Δh = k S i = 100km S i

Uygulama 6) Çelik şeritle ölçülen uzunlukların ağırlıkların belirlenmesi l = S 1 + S + S 3 + + S n m l = m + m + + m = n m S 1 = S = S n = S Çelik şerit ya da şeritlerle yapılan uzunluk ölçümlerinde ağırlık, ölçülen uzunlukla ters orantılıdır. Uzunluk l i (km) 0. 5 0.3 p l = k l i = 1km l i p i = k l i Uzunluk l i (km) 5.13 3.678 p l = k l i = 10km l i n = 1 s m l = 1 s m P l = c c s = m l m = k l Uzunluk l i (km) 51.3 36.78 p l = k l i = 100km l i

TERS AĞIRLIK (KOFAKTÖR) Ağırlığın tersi olan q i = 1 p i büyüklüğüne ters ağırlık (kofaktör) denir. Gauss tarafından ortaya atılan ağırlık kavramı, bağımsız ölçülerin dengelenmesi ve bunlara hata yayılma kuralının uygulanması için yeterlidir. Buna karşın korelasyonlu ölçülerin dengelenmesi ya da korelasyonlu ölçülere genel hata yayılma kuralının uygulanması için ters ağırlık tanımına gerekir. Ağırlık ile ters ağırlık arasındaki basit ilişki: Duyarlıkları Farklı Ölçüler Ölçü±Ortalama Hata l 1 ± m 1 l ± m. l n ± m n Ölçülerin Varyans-Kovaryans Matrisi K ll = m 1 m m 3 m n

TERS AĞIRLIK (KOFAKTÖR) Bu ölçülerin bir fonksiyonu y nin ortalama hatası y = a 1 L 1 + a L + + a n L n = a 1 a a n dy = a 1 dl 1 + a dl + a n dl n = A dl m y = a 1 m 1 + a m + + a n m n = AK ll A T L 1 L L n = A L Ağırlığı p=1 olan ölçünün ortalama hatası olmak üzere m i = p i bağıntısı eşitlikte yerine konursa = a p 1 + a y p + + a 1 p n p n

TERS AĞIRLIK (KOFAKTÖR) = a p 1 + a y p + + a 1 p n Duyarlıkları Farklı Ölçülerin Ağırlık Matrisi Bu eşitliğin her iki tarafı ( ) ye bölünür p n P = p 11 p p 33 p nn 1 p y = a 1 1 p 1 + a 1 p + + a n 1 p n = AP 1 A T q 11 q i = 1 p i olduğundan ters ağırlık matrisi Q ll = q q 33 q nn q y = a 1 q 11 + a q + + a n q nn = AQ ll A T

TERS AĞIRLIK (KOFAKTÖR) Sonuç olarak tek bir ölçünün ağırlık ve ters ağırlıkları tanımı p i = m i Ağırlığın Tanımı q i = 1 = m i p i s 0 Ters Ağırlığın Tanımı Ağırlık ve ters ağırlık matrisleri arasındaki ilişki q i = 1 p i

HATA YAYILMA KURALI y = a 1 L 1 + a L + + a n L n AÇIK FORMÜL Varyans m y = a 1 m 1 + a m + + a n m n = AK ll A T Ağırlık 1 p y = a 1 1 p 1 + a 1 p + + a n 1 p n = AP 1 A T Ters Ağırlık q y = a 1 q 11 + a q + + a n q nn = AQ ll A T

HATA YAYILMA KURALI y = a 1 L 1 + a L + + a n L n = a 1 a a n L 1 L L n = A L MATRİS GÖSTERİMİ Varyans m y = AK ll A T K ll = m 1 m m 3 m n q 11 Ters Ağırlık q y = AQ ll A T Q ll = q q 33 q nn Ağırlık P y = 1 q y

TERS AĞIRLIK (KOFAKTÖR) Korelasyonlu ölçülerde ters ağırlık matrisi ve ağırlık matrisi Korelasyonlu Ölçüler Ölçü±Ortalama Kovaryans Hata l 1 ± m 1 l ± m. l n ± m n m 1 m 13 m 3. m 1n Korelasyonlu Ölçülerin Varyans-Kovaryans Matrisi m 1 m 1 m 13 m 1n K ll = m 1 m m 3 m n m 13 m 3 m 3 m 3n m 1n m n m 3n m n

TERS AĞIRLIK (KOFAKTÖR) Korelasyonlu ölçülerde ters ağırlık matrisi ve ağırlık matrisi Korelasyonlu Ölçüler Ölçü±Ortalama Korelasyon Hata Katsayısı l 1 ± m 1 l ± m. l n ± m n r 1 r 13 r 3. r 1n Korelasyonlu Ölçülerin Varyans-Kovaryans Matrisi K ll = m 1 m 1 m 13 m 1n m 1 m m 3 m n m 13 m 3 m 3 m 3n m 1n m n m 3n m n = m 1 r 1 m 1 m r 1n m 1 m n r 1 m 1 m r 1n m 1 m n m r n m m n r 3n m 3 m n r n m m n m n

TERS AĞIRLIK (KOFAKTÖR) Korelasyonlu ölçülerde ters ağırlık matrisi ve ağırlık matrisi K ll = s 0 Q ll Q ll = 1 K ll = q 11 q 1 q 13 q 1n q 1 q q 3 q n q 13 q 3 q 33 q 3n q 1n q n q 3n q nn Korelasyonlu Ölçülerin Ters Ağırlık Matrisi Dolu Matris P ll Q ll = Q ll P ll = E Birim Matris P ll = Q 1 ll = p 11 p 1 p 13 p 1n p 1 p p 3 p n p 13 p 3 p 33 p 3n p 1n p n p 3n p nn Korelasyonlu Ölçülerin Ağırlık Matrisi

TERS AĞIRLIK (KOFAKTÖR) Duyarlıkları Farklı ölçülerde ters ağırlık matrisi ve ağırlık matrisi K ll = m 1 m m 3 m n = Q ll Duyarlıkları Farklı Ölçülerin Varyans- Varyans-Kovaryans Matrisi Matrisi Q ll = m 1 m m 3 m n = q 11 q q 33 q nn Duyarlıkları Farklı Ölçülerin Ters Ağırlık Matrisi Köşegen Matris p 11 P ll = Q ll 1 = p p 33 Duyarlıkları Farklı Ölçülerin Ağırlık Matrisi p nn

TERS AĞIRLIK (KOFAKTÖR) Duyarlıkları eşit ölçülerde ters ağırlık matrisi ve ağırlık matrisi K ll = = Q ll Duyarlıkları Eşit Ölçülerin Varyans-Kovaryans Matrisi Q ll = 1 1 1 1 Duyarlıkları Eşit Ölçülerin Ters Ağırlık Matrisi Birim Matris P ll = Q 1 ll = 1 1 1 1 Duyarlıkları Eşit Ölçülerin Ağırlık Matrisi

TERS AĞIRLIKLARIN YAYILMA KURALI Korelasyonlu ölçülerin bir fonksiyonunun ters ağırlığı y = F L dy = F L dl = A dl m y = AK ll A T q y = m y m y = q y ve K ll = s 0 Q ll eşitlikte yerine konursa q y = AQ ll A T q y = AQ ll A T Bir tek fonksiyon için ters ağırlıkların yayılma kuralı

TERS AĞIRLIKLARIN YAYILMA KURALI Korelasyonlu ölçülerin u adet fonksiyonunun ters ağırlık matrisi f = y 1 y y u F 1 L 1, L,, L n F L 1, L,, L n F u L 1, L,, L n = F(L) df = F 1 F 1 F 1 L 1 L L n F F F L 1 L L n F u F u F u L 1 L L n dl 1 dl dl n = A dl K ff = AK ll A T Genel Hata Yayılma Kuralı K ff = s 0 Q ff ve K ll = s 0 Q ll eşitlikte yerine konursa Q ff = AQ ll A T Q ff = AQ ll A T Genel Ters Ağırlıkların Yayılma Kuralı

TERS AĞIRLIKLARIN YAYILMA KURALI Fonksiyonlar fonksiyonu vektörünün ters ağırlık matrisi Fonksiyon vektörlerinin de m sayıda fonksiyonlarından oluşan bir g = F f fonksiyonunun varyans-kovaryans matrisi K gg ya da ters ağırlık matrisi Q gg Genel Hata Yayılma Kuramına göre hesaplanır. g = F f K gg =? g = F f dg = G df K gg = GK ff G T K gg = G A K ll A T G T f = F L df = A dl K ff = A K ll A T g = F f dg = G df dg = G A dl K gg = (GA)K ll (G A) T K gg = G A K ll A T G T

TERS AĞIRLIKLARIN YAYILMA KURALI Fonksiyonlar fonksiyonu vektörünün ters ağırlık matrisi Benzer yollaters ağırlık matrisi Q gg Ters Ağırlıkların Yayılma Kuramına göre hesaplanır. g = F f Q gg =? g = F f dg = G df Q gg = GQ ff G T Q gg = G A Q ll A T G T f = F L df = A dl Q ff = A Q ll A T g = F f dg = G df dg = G A dl Q gg = (GA)Q ll (G A) T Q gg = G A Q ll A T G T

UYGULAMA 7 (m a, m b ve m c ) nin birimi (mm) olduğundan, katsayılarında (a, b ve c) nin birimi (mm) alınmalıdır!! b α c a = 115.80 m ± 16. mm m ab = 187.76 mm b = 984.730 m ± 15.3 mm m bc = 196.16 mm c= 1198.30 m ± 0.6 mm m ac = 17.63 mm β Q αβγ =? K αβγ =? a a = b + c bc cos α b = a + c ac cos β c = a + b ab cosγ cosα = b + c a bc cosβ = a + c b ac cosγ = a + b c ab sinα dα = a b c da + b b c c b+ c a ( b c) db + c b c b b + c a ( b c) dc sinβ dβ = a a c c a + c b ( a c) da b a c db + c a c a a + c b ( a c) dc sinγ dγ = a a b b a + b c ( a b) da + b a b a a + b c ( a b) db c ( a b) dc

UYGULAMA 7) devamı dα = a da b b c c b+ c a b c sinα ( b c) sinα db c b c b b + c a ( b c) sinα dc dβ = a a c c a + c b ( a c) sinβ da + b db c a c a a + c b a c sinβ ( a c) sinβ dc dγ = a a b b a + b c ( a b) sinγ da b a b a a + b c ( a b) sinγ db + c a b sinγ dc dα = k aα da + k bα db + k cα dc dβ = k aβ da + k bβ db + k cβ dc dγ = k aγ da + k bγ db + k cγ dc Q ll = dα dβ dγ = Q αβγ = AQ ll A T k aα k bα k cα k aβ k bβ k cβ k aγ k bγ k cγ da db dc K ll = = A dl m a m ab m ac m ab m b m bc m ac m bc m c q aa q ab q ac q ab q bb q bc = (ρ cc ) q ac q bc q cc q ii = m i = = 15 mm 16. 187.76 17.63 187.76 15.3 196.16 17.63 196.16 0.6 1.1664 0.8345 0.967 0.8345 1.0404 0.8718 0.967 0.8718 1.8860 q ij = m ij Q αβγ = q αα q αβ q αβ q αβ q ββ q βγ q αγ q βγ q γγ = 0. 3185 0. 043 0. 345 0. 043 0. 1809 0. 05 0. 345 0. 05 0. 5479