ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Öncelikle çembein tanımını hatılayalım. Neydi çembe? Çembe, düzlemde bi noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktala kümesiydi. O halde çembein analitik incelenmesinde en önemli fomülümüz uzaklık fomülü olacaktı. Bundan yola çıkaak çembe fomülünü uzaklık fomülü üzeine inşa edeceğiz. Çembe çizmek için bize geeken iki eleman çembein mekez noktası ve yaıçaptı. noktasını mekez kabul eden çembein yaıçap uzunluğu olsun. Çembe üzeinde değişken bi P(x,y) noktası alacak olusak haliyle bu değişken noktalaın çembein mekezine olan uzaklığı da yaıçap olan ye eşit olacaktı. İşte bu noktada iki nokta aasındaki uzaklık fomülünü kullanaak çembe denklemini elde edeceğiz. ( ) + ( ) He iki taafın da kaesini alısak (x-a) + (y-b) = İle çembein standat denklemini elde etmiş oluuz. Önek: Mekezi (,3) ve yaıçapı 4 olan çembein standat denklemini bulalım. (x-) +(y-3) =4 (x-) +(y-3) =16 Önek: Standat denklemi (x+1) +(y-) =9 olan çembein mekez noktasını ve yaıçapını bulalım. (x-a) + (y-b) = a=-1, b=+ ve =9 =3 Mekezi M(-1,) ve =3 He iki eksene biden teğet olan çembe denklemi (-,) (-,-) 1. Bölgede (x-) +(y-) =. Bölgede (x+) +(y-) = 3. Bölgede (x+) +(y+) = 4. Bölgede (x-) +(y+) = Önek: Eksenlee 4. bölgede teğet olan çembein mekezi x+3y+4=0 doğusundan geçtiğine göe bu çembein standat denklemini bulalım. Çembe eksenlee 4. Bölgede teğet olduğuna göe mekez koodinatlaı M(,-) olacaktı. Bu nokta aynı zamanda doğu üzeinde olduğundan doğu denklemini de sağlamalıdı. + 3.(-) + 4 =0 - + 4 =0 =4 Çembe denklemi de; (x-4) +(y+4) =16 olu. MERKEZİ EKSENLERDE OLAN ÇEMBER DENKLEMLERİ Mekezi X ekseni üzeinde olan çembe denklemi: M(a,0) (,) (,-) (x-a) +y = EKSENLERE TEĞET OLAN ÇEMBERLER X eksenine teğet olan çembe denklemi: Mekezi Y ekseni üzeinde olan çembe denklemi: =b (x-a) +(y-b) = b M(0,b) x +(y-b) = Y eksenine paalel olan çembe denklemi: =a (x-a) +(y-b) = a Mekezi Oijin olan Çembe Denklemi (Mekezil Çembe) Önek: Mekezi M(-4,5) olan çembe: a) X eksenine teğetse, b) Y eksenine teğetse, Standat denklemi nedi? M(0,0) x +y = a) (x+4) +(y-5) = 5 b) (x+4) +(y-5) = 16

ÇEMBERİN GENEL DENKLEMİ Çembein standat denkleminde kae açılımlaını yapasak çembein genel denklemini elde etmiş oluuz. Mekez noktası ve yaıçapı olan çembein standat denkemi (x-a) +(y-b) = Bu denklemde kae açılımı yapalım. x -ax+a +y -by+b - = 0 Bu denklemi düzenlesek; x +y -ax-by+a +b - = 0 D=-a E=-b ve F= a +b - desek çembein genel denklemini elde edeiz: x +y +Dx+Ey+F=0 Genel Denklemi Veilen Çembein Mekezi ve Yaıçapının Elde Edilişi: x +y +Dx+Ey+F=0 denkleminde; D=-a E=-b F= a +b - dolayısıyla; a=-d/ b=-e/ = + eşitlikleini elde edeiz. Buadan mekez nokta koodinatlaı M(-D/,-E/) Önek: x +y -x+6y-6=0 çembeinin mekezini ve yaıçapını bulalım. D=- E=6 F=-6 M(-D/, -E/) ÇEMBERİN VEKTÖREL DENKLEMİ: = + 4 M(1,-3) = 4 + 36 + 4 = 4 P(x,y) Mekezi olan ve yaıçapı olan çembe üzeinde değişken bi P(x,y) noktası alalım. Mekezden P noktasına bi vektö oluştuusak: =P-M = (x-a,y-b) olu ve vektöün boyu = Önek: (x+4,y-) ve = 4 sisteminin x eksenini kestiği noktala aasındaki mesafe kaç biimdi? ÇEMBERİN PARAMETRİK DENKLEMİ: Mekezil Çembein Paametik Denklemi: x=cost y=sint Mekezi ve yaıçapı olan çembein Paametik Denkemi: Mekez ötelemesi ile çembein paametik denklemi: x = a + cost y = b + sint Önek: Paametik denklemi: x = -1 + 3cost y = 4 + 3sint olan çembein standat denklemini bulalım. a=-1 b=4 ve =3 Çembein standat denklemi: (x+1) +(y-4) = 9 olu. Önek: Genel denklemi x +y +4x-y-4 olan çembein paametik denklemini bulalım. M(-D/,-E/) = + 4 M(-,1) = 16 + 4 + 16 = 3 Çembein paametik denklemi: x = - + 3cost y = 1 + 3sint Önek: Paametik denklemi x = 5 + 6 cost y = -3 + 6sint olan çembein t 1 = 0 o ve t = 110 o paameteleine kaşılık gelen noktala aasındaki mesafe kaç biimdi? vektöünün boyunu hesaplasak = ( + 4) + ( ) 4 eşitliğin he iki taafının kaesini alısak: (x+4) +(y-) = 16 mekezi M(-4,) ve yaıçapı =4 olan çembe denklemi elde edeiz. K 6 M(5,-3) =6 Pisagodan KL yi buluuz KL = 4 - KL = 3 6 M(5,-3) 6 =6 L t 1 = 0 o ve t = 110 o aalaındaki fak 90 o olup ikizkena dik üçgen oluşu. 3 K 3 L Çembein x eksenindeki mesafesi. 3 = 4 3 KL = 6 olu.

BİR ÇEMBER İLE BİR DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE KONUMLARI Buada da kıyaslamayı çembein mekezinin doğuya olan uzaklığı ile yaıçap aasında yapacağız. Eğe doğuya olan uzaklık yaıçaptan fazla ise mantıken doğu çembei kesmeyecekti. Eğe mekezin doğuya olan uzaklığı yaıçapa eşitse bu duumda doğu çembee teğetti. Eğe mekezin doğuya olan uzaklığı yaıçaptan küçükse bu duumda da doğu çembei iki noktada kese deiz. Bu hesaplamalaı yapaken iki faklı yöntem kullanıız. 1. yöntem: Noktanın doğuya olan uzaklığını kullanma. yöntem: Otak çözüm ile diskiminant kullanma İki yöntemi de bu konu ile ilgili tüm soulada kullanabiliiz. Ancak doğu denkleminin veiliş fomatına göe seeçeceğim yöntem işimi daha kolaykaştıacaktı. Eğe denklem; mx+ny+c=0 fomatında ise 1. yöntemi y =mx+n fomatında ise. yöntemi kullanıız. Öncelikle 1. Yöntemin kullanımından bahsedelim ve önek sou çözümlei yapalım. Doğu ile çembe kesişmez + + + 5.3 + ( 1). ( ) + 13 5 + 1 5 13 = 4 d= dolayısıyla doğu ile çembe bibiine teğetti. Önek: x +y -6x-4y+9 = 0 çembeinin 3x+4y+8=0 doğusuna en yakın noktasının doğuya olan uzaklığı kaç biimdi? M(3,) = Mekez noktasının doğuya olan uzaklığı: 3.3 + 4. + 8 3 + 4 d d > 5 M(3,) = x +y -6x-4y+9 = 0 3.3 + 4. + 8 3 + 4 5 5 = 5 mx+ny+c=0 3 Doğu çembee teğetti 3x+4y+8=0 d + + + d = Doğu çembei iki noktada kese mx+ny+c=0 d A B mx+ny+c=0 AB = Doğu ile çembein bibileine göe duumlaını kıyaslaken kullanılacak bi diğe yöntem de diskiminant yöntemidi. Öncelikle doğu denkleminde y yi x cinsinden yazaız. Daha sona çembe denkleminde aynı şekilde y yeine x cinsinden bulduğumuz ifadeyi yazıp çembe denklemini x e bağlı ikinci deeceden bi denklem haline getimiş oluuz. Bu denklemin diskiminantını hesaplaız. Önek: (x-3) +(y+) =16 çembei ile 5x-1y+13=0 deoğusunun bibiine göe duumunu inceleyelim. Çembein mekez noktası M(3,-) ve yaıçapı =4 tü. Mekez noktasının doğuya olan uzaklığını incelesek: Şimdi de ikinci yöntemde neyden bahsediyouz onu açıklayalım: Buada doğu denkleminde veilen y=mx+n eşitliğini çembe denklemindeyeine yazaız. Öneğin çembe denklemim (x-a) +(y-b) = olsun. Buada y yeine mx+n yazaak otak çözüm yapaız. (x-a) +(mx+n) =0 İle. deeceden x e bağlı bi bilinmeyenli denklem elde edeiz. Bu denklemde diskiminantı hesaplaız. >0 ise doğu çembei iki noktada kese =0 ise doğu çembee teğetti <0 ise doğu ile çembe kesişmez deiz. Önek: (x+4) +(y-) =9 çembei ile y=x-1 doğusunun bibiine göe duumlaını kıyaslayın. Çembe denkleminde y yeine x-1 yazıp diskiminantı hesaplayalım. (x+4) +(x-1-) -9=0 (x+4) +(x-3) -9=0 x +8x+16+x -6x+9-9=0 x +x+16=0 x +x+8 =0 =b -4ac =1-4.1.8=-31<0 (doğu çembei kesmez)

İKİ ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI İki çembein bibiine göe duumunu inceleken çembelein mekez noktalaı aasındaki mesafe ile yaıçaplaı kıyaslaız. M 1(-1,3) M (5,-5) 1= =3 A M 1M =( 1 5) + (3 ( 5)) M 1M =10 1. Çembele kesişmez.. Çembele dıştan teğetti. M 1M > 1 + B 5 15 b En uzak mesafe 5 b En kısa mesafe C 3 3 M 1M = 1 + D Önek: (x-6) +(y-1) =49 çembei ile x +y -4x-8y+k=0 çembelei içten teğet olduğuna göe k nedi? 3. Çembele içten teğetti. M 1(6,1) 1=7 M (,-4) M 1M = 1 4. Çembele içiçe kesişmez. = 5 = 7 Çembele içten teğet M 1M = 1-5 = 7- = = + 4 = ( 4) + ( 8) 4 k=16 M 1M < 1 Önek: (x+7) +(y-8) =144 çembei ile (x-5) +(y-3) = çembelei dik kesiştiğine göe kaçtı? 5. Çembele iki noktada kesişi. 1 < M 1M < + 1 M 1(-7,8) 1=1 M (5,3) = M 1M = ( 7 5) (8 3) M 1M = 13 Çembele dik kesiştiği için M 1M = 1 + 13 =1 + =5 6. Çembele dik kesişi. 1 13 =5 1 + = M 1M Önek: (x+1) +(y-3) = 4 çembei ile (x+5) +(y+5) =9 çembelei aasındaki en uzak mesafe kaç biimdi?

ÇEMBERDE KUVVET NOKTANIN ÇEMBERE GÖRE KUVVETİ Çembein dışında alınan bi noktadan çembee çizilen teğet uzunluğunun kaesi noktanın çembee göe kuvvetini vei. A(x 1,y 1) B Çmebein analitik incelenmesinde bi noktanın çembee göe kuvvetini hesaplamak oldukça kolaydı. A(x 1,y 1) noktasının koodinatlaını çemebein kapalı denkleminde yeine yazaız. Sonuç bize kuvveti vei. Kuvveti P (Powe) ile gösteiiz. P=(x-x 1) -(y-y 1) - veya genel denklemde; P=x 1 +y 1 -Dx 1+Ey 1+F bize kuvveti vei. P>0 ise nokta çembein dışındadı. P=0 ise nokta çembe üzeindedi. P<0 ise nokta çembein içindedi. Kuvvet aynı zamanda teğet uzunluğunun kaesini vei. P = AT Aynı zamanda yine çembede dış kuvvetten AT = AB. AC eşitliğinden P= AB. AC ile de kuvveti hesaplayabiliiz. Önek: A(1,) noktasının (x-5) +(y+3) =9 çembeine göe kuvveti nedi? Bulunan kuvvet değeinden yola çıkaak nokta ve çembein bibiine göe duumunu inceleyin. P=(1-5) +(+3) -9 P=16+5-9 P= 3 P>0 olduğu için nokta çembein dışındadı. T Önek: A(-3,) noktasından x +y -x+4y+9=0 çembeine çizilen teğet uzunluğunu bulalım. P=(-3) + +(-).(-3)+4.+9 P=9+4+6+8+9 P=36 Teğet uzunluğunun kaesi kuvvete eşitti.dolayısıyla AT =P=36 AT =6 C Önek: A(-1,3) noktası x +y +4x-6y+k=0 çembeinin içinde olduğuna göe k nın alacağı en büyük tamsayı değeini bulalım. Nokta çembein iç bölgesinde olduğuna göe kuvvetin negatif olması geeki. P=(-1) +3 +4.(-1)-6.3+k < 0 P=1+9-4-18+k < 0 P=-1+k < 0 k<1 k nın alacağı en büyük tamsayı değei 11 olu. İKİ ÇEMBERİN KUVVET EKSENİ İki çembein kuvvet ekseni bi doğudu. Yani elimizdeki çembe denklemleinden bi şekilde doğu denklemi elde etmemiz geek. Bunu da çembe denklemleinin taaf taafa fakını alaak elde edeceğiz. Tabi bu işlemi kolaylıkla yapmak için çembelein genel denklemini kullanmalıyız. Önek: x +y -4x+8y-1=0 çembei ile x +y+6x-y+0=0 çembeinin kuvvet ekseninin denklemini bulalım. x +y -4x+8y-1=0 x +y+6x-y+0=0 He iki denklemin taaf taafa fakını alısak (öneğin. denklemden 1. denklemi çıkaısak) 10x-10y+3=0 denklemlei sadeleştiisek; 5x-5y+16=0 denklemini elde edeiz ve bu bize çembelein kuvvet ekseninin denklemini vei. ÇEMBER DEMETİ Bi Çembei belitmek için 3 nokta geeki. noktadan sonsuz çembe geçe. Genel denklemlei x +y +D 1x+E 1y+F 1=0 ve x +y +D x+e y+f =0 olan çembeleinin kesişim noktalaından çizilebilecek tüm çembelein genel denklemi x +y +D 1x+E 1y+F 1 + k(x +y +D x+e y+f )=0 denklemi ile elde edili. Bu konu ile ilgili gelecek soulada önce veilen noktanın koodinatlaını çembe demetinin genel denkleminde yeine yazıp k değeini buluuz. sona bulduğumuz k değeini denklemde yeine yazıp bizden istenen çembe denklemini elde edeiz. Önek: x +y +x-6y+8=0 ve x +y +4x+4y-10=0 çembeleinin kesim noktalaından ve A(1,-) noktasından geçen çembe denklemini bulalım. x +y +x-6y+8+k(x +y +4x+4y-10)=0 A(1,-) noktasını denklemde yeine yazıp k yı bulalım. 1 +(-) +.1(-6)(-)+k[(1 +(-) +4.1+4(-)-10]=0 7-9k=0 k=3 Şimdi de k denklemde k yeine 3 yazıp bizden istenen çembe denklemini bulalım. x +y +x-6y+8+3(x +y +4x+4y-10)=0 x +y +x-6y+8+3x +3y +1x+1y-30=0 4x +4y +14x+6y-=0 çembe denklemini elde edeiz.

TEĞET VE NORMAL DENKLEMİ Mekezi ve yaıçapı olan çembee üzeindeki T(x 1,y 1) noktasından çizilen teğet ve nomal denklemleini bulalım. Doğu denklemleinde eğimden yaalanıldığı için önce teğetin ve nomalin eğimleini bulaak işe başlayalım. Nomalin eğimi: m N= Teğet ve nomal bibiine dik ve dik doğulaın eğimlei çapımı -1 e eşit olduğundan Teğetin eğimi: m T= ( ) Eğimi ve bi noktası bilinen doğu denklemi fomülünü kullanaak da teğet ve nomalin denklemleini elde edebiliiz. Buada teğet değme noktası hem teğetin hem de nomalin üzeinde olduğu için bu noktayı kullanıız) Nomal denklemi: y-y 1=M N(x-x 1) Teğet Denklemi: y-y 1=M T(x-x 1) elde edili. Önek: (x-4) +(y+3)=5 çembeine üzeindeki A(1,1) noktasından çizilen teğet ve nomal denklemkleini bulalım. T(x1,y1) Teğet doğusu Nomal doğusu Önek: x +y -4x+6y+5=0 çembeine üzeindeki A(4,-1) noktasından çizilen teğet ve nomal denklemleini bulalım. Teğet denklemi: y+1=(-1) (x-4) y+1=-x+4 d N:x+y-3=0 m N= () m n= 1 m T=-1 Nomal denklemi: y+1=1. (x-4) y+1=x-4 d t:x-y-5=0 Önek: x +y =100 çembeine üzeindeki A(-6,8) noktasından çizilen teğet ve nomal denklemleini bulalım. Teğet denklemi: (y-8)= (x+6) 4x+4=3y-4 4x-3y=0 A(-6,8) M(,-3) M(0,0) A(4,-1) m N= m t= Nomal denklemi: (y-8)= (x+6) 3x+18=-4y+3 3x+4y-14=0 A(1,1) M(4,-3) m N= m n= m T= Nomal denklemi: y-1= (x-1) 3y-3=-4x+4 d t:4x+3y-7=0 Teğet denklemi: y-1= (x-1) 4y-4=3x-3 d N:3x-4y+1=0