ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI

YILDIZ TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI Oa GERÇEK FBE Matemati Aabilimdalı Matemati Programıda Hazırlaa DOKTORA TEZĐ Tez Savuma Tarii: 7.6. Tez Daışmaları : Prof. Dr. Ziya SOYUÇOK (Yıldız T.Ü.) : Prof. Dr. Allabere ASHYRALYEV (Fati Ü.) üri Üyeleri : Prof. Dr. Ömer GÖK (Yıldız T.Ü.) : Prof. Dr. Ayşe KARA (Yıldız T.Ü.) : Prof. Dr. Feyzi BAŞAR (Fati Ü.) : Doç. Dr. Yaşar SÖZEN (Fati Ü.) ĐSTANBUL,

ĐÇĐNDEKĐLER Sayfa SĐMGE LĐSTESĐ...iii KISALTMA LĐSTESĐ... v ŞEKĐL LĐSTESĐ...vi ÇĐZELGE LĐSTESĐ...vii ÖNSÖZ...viii ÖZET...ix ABSTRACT... x. GĐRĐŞ.... ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEM ĐÇĐN ÇOK NOKTALI LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMĐ... 36.. Temel Teorem... 36.. Uygulamalar... 5 3. BĐRĐNCĐ BASAMAKTAN DOĞRULUKLU FARK ŞEMASI... 55 3.. Far Şeması... 55 3.. Uygulamalar... 84 4. ĐKĐNCĐ BASAMAKTAN DOĞRULUKLU FARK ŞEMASI... 89 4.. Far Şeması... 89 4. Uygulamalar... 5. SAYISAL SONUÇLAR... 6 5.. Birici Basamata Doğrululu Far Şeması... 7 5.. Đici Basamata Doğrululu Far Şeması... 3 5.3. Hata aalizi... 8 6. SONUÇLAR... KAYNAKLAR... 6 EKLER... 3 E E Euler-Rote far şeması (5.3) ü uygulaması içi yazıla Matlab Programı...3 Cra-Nicolso far şeması (5.5) i uygulaması içi yazıla Matlab Programı35 ÖZGEÇMĐŞ... 39 ii

SĐMGE LĐSTESĐ C( H ) C( H ) = C([ a, b], H ), değerleri H Baac uzayıda ola ve [ a, b] aralığıda C ( H), C ( H), C ( H), taımlı ϕ ([, ], ) = max ϕ( t) ormuda taımlaa düzgü fosiyoları C a b H a t b H oluşturduğu Baac uzayı. C ( H) = C ([,], H), < <,,, ( t) ϕ( t + ) ϕ( t) H ϕ = ϕ + sup C, ([,], H ) C([,], H ) < t< t+ < ormuyla verile [, ] aralığı üzeride taımlamış H uzayıda değer ala düzgü ϕ ( t) fosiyoları ümesii taımlaması ile elde edile ağırlılı Hölder uzayı. C ( H) = C ([,], H), < <,,, ( t) ( t + ) ϕ( t + ) ϕ( t) H ϕ = ϕ + sup C, ([,], H ) C ([,], H ) < t< t+ < ormuyla verile [, ] aralığı üzeride taımlamış H uzayıda değer ala düzgü ϕ ( t) fosiyoları ümesii taımlaması ile elde edile ağırlılı Hölder uzayı. C ( H ) = C ([,], H ), < <,,, t C,,,H C,,H sup t t H t t ( t) ( t + ) ϕ( t + ) ϕ( t) H + sup < t< t+ < ormuyla verile [, ] aralığı üzeride taımlamış H uzayıda değer ala düzgü ϕ ( t) fosiyoları ümesii taımlaması ile elde edile ağırlılı Hölder uzayı. C ( H ) C(, H ) = C([ a, b], H ), a,b t,n a N b, N a a,n b b de taımlı N b Na ağ fosiyoları uzayıda ϕ H ( ) içi C C ϕ = C ([ a, b], H ) max H Na Nb C ( H) = C ([,], H),, < <, ( H ), C,,H C,,H ϕ ormu ile verile Baac uzayı. iii sup N r r E r, ormuyla verile [,] aralığı üzeride taımlamış C ( H ) üzeride değer ala H-değerli N b Na ağ fosiyoları ümesii taımlaması ile elde edile ağırlılı Hölder uzayı. C ( H) = C ([,], H), < <, ( H ), ( ) ( + r) ( N ) ϕ = ϕ ([,], ) sup C, ([,], H ) C H + ϕ+ r ϕ E < + r N r ormuyla verile [,] aralığı üzeride taımlamış C ( H ) üzeride değer ala

C H-değerli { } N b ϕ = ϕ ağ fosiyoları ümesii taımlaması ile elde edile N a ağırlılı Hölder uzayı. C ( H ) = C ([,], H ), < <, ( H ), F { u } L { u } Ω Ω + C,,,H C,,H sup N r ( ) r E r ( + r ) ( N ) + sup ϕ + r ϕ E < + r N r ormuyla verile [,] aralığı üzeride taımlamış C ( H ) üzeride değer ala H-değerli { } N b ϕ = ϕ ağ fosiyoları ümesii taımlaması ile elde edile N a ağırlılı Hölder uzayı. u fosiyouu Fourier döüşümü. u fosiyouu Laplace döüşümü. {( x, x,..., x ) : x R, < x <, } ile verile açı birim üp. S, bu üpü sıırları ve Ω = Ω S. {( x, x,..., x ) : x R, < x <, } ile verile açı üme. S +, bu ümei sıırları ve Ω + = Ω + S +. iv

KISALTMA LĐSTESĐ BBDFŞ Birici basamata doğrululu far şeması ĐBDFŞ Đici basamata doğrululu far şeması v

ŞEKĐL LĐSTESĐ Şeil 5. Gerçe çözüm... 8 Şeil 5. Birici basamata doğrululu far şeması... 9 Şeil 5.3 Đici basamata doğrululu far şeması... vi

ÇĐZELGE LĐSTESĐ Çizelge 5. u(t,x) içi ata aalizi... vii

ÖNSÖZ Bu tez çalışması sırasıda yaptığı değerli atılar içi, bede iç bir yardımı esirgemeye, değerli tavsiyeleriyle aademi ayatımda süreli yol göstere daışma ocam Prof. Dr. Allabere Asyralyev e sosuz teşeür ederim. Bu çalışma sırasıda destelerii esirgemeye daışma ocam Prof. Dr. Ziya Soyuço a, maddi ve maevi yardımlarıı esirgemeye aileme ve aradaşlarıma teşeürü bir borç bilirim. viii

ÖZET Bu araştırmada, H Hilbert uzayıda self-adjoit pozitif taımlı A operatörlü diferesiyel delemi içi ço otalı loal olmaya d u( t) + Au( t) = g( t),( t ), dt du( t) dt Au( t) = f ( t),( t ), u() = iu( λi ) + ϕ i= λ < λ < < λ (.) sıır değer problemi iyi oumlamışlığı i varsayımı oşulu altıda çalışılmıştır. i= Bu sıır değer problemii iyi oumlamışlığı ağırlılı Hölder uzaylarıda doğruluğu gösterilmiştir. Elipti-paraboli delemleri loal olmaya sıır değer problemlerii çözümü içi oersiv eşitsizlileri elde edilmiştir. Loal olmaya sıır değer problemii yalaşı çözümü içi birici ve iici derecedei yaılaşması ola far şemaları suulmuştur. Far şemalarıı da iyi oumlamışlığı Hölder uzaylarıda ortaya oulmuştur. Uygulamalarda loal olmaya arma problemleri yalaşı çözümü içi oluşturula far şemalarıı çözümleride ararlılı estirimleri, eme eme ararlılı estirimleri ve oersiv ararlılı estirimleri elde edilmiştir. Bu far şemalarıı çözümleri içi teori ifadeleri sayısal deey souçları ile destelemiştir. Aatar elimeler: Loal olmaya sıır değer problemi, ço otalı elipti-paraboli diferesiyel delemleri, far şemaları, ararlılı, oersiv ararlılı, birici basamata doğrulu, iici basamata doğrulu, iyi oumlamışlı. ix

ABSTRACT I te preset wor, we cosider te multipoit olocal boudary value problem d u( t) + Au t = g t t dt du( t) dt i= ( ) ( ), ( ), Au( t) = f ( t), ( t ), u() = iu( λi ) + ϕ, λ < λ <... < λ for te elliptic-parabolic equatio i a Hilbert space H wit te self-adjoit positive defiite operator A uder te assumptio i=. Te well-posedess of tis problem i Hölder i spaces wit a weigt is establised. Te coercivity iequalities for te solutios of te boudary value problems for elliptic-parabolic equatios are obtaied. Te first ad secod order of accuracy differece scemes for approximate solutios of tis olocal boudary value problem are preseted. Te well-posedess of tese differece scemes i Hölder spaces is establised. I applicatios, te stability, almost coercivity iequalities, coercivity iequalities for te solutios of differece sceme for te approximate solutio of tis olocal boudary value problem for mixed equatio are obtaied. Te teoretical statemets for te solutio of tese differece scemes are supported by te results of umerical experimets. Keywords: Nolocal boudary value problem, multipoit elliptic-parabolic differetial equatios, differece scemes, stability, coercive stability, first order accuracy, secod order accuracy, well-posedess. x

. GĐRĐŞ Loal olmaya problemler fizi, biyoloji, imya, eoloji, müedisli ve edüstrii çeşitli süreçlerii matemati modellemeleri içi bilimeye fosiyou sıır değerlerii belirlemesii olaasız olduğu durumlarda yaygı olara ullaılır. Kısmi türevli diferesiyel delemler içi loal olmaya sıır değer problemleri teori ve sayısal çözüm metotları birço araştırmacı tarafıda araştırılmatadır. (baıız, [Agarwal, Boer ve Samurov, 5], [Asyralyev, 3], [Asyralyev, 6b], [Asyralyev, 7a], [Asyralyev, 7b], [Asyralyev, 9], [Asyralyev, Dural ve Soze, 9], [Asyralyev, Haalyev ve Sobolevsii, ], [Asyralyev, Karatay ve Sobolevsii, 4], [Asyralyev ve Sobolevsii, 6], [Asyralyev ve Soltaov, 998], [Cipot ve Lovat, 997], [Dautray ve Lios, 988], [Dega, 5a], [Dega, 5b], [Ewig, Lazarov ve Li, ], [Gordeziai, Natalii ve Ricci, 5], [Guli, Ioi ve Morozova, ], [Ioi ve Morozova, ], [Lagese, 97], [Martí-Vaquero ve Vigo-Aguiar, 9], [Pao, 995], [Pao, ], [Sapagovas, 8], [Samarsii ve Bitsadze, 969], [Samurov, 6]). Bizim ilgi alaımız loal olmaya sıır değer oşulu ile ço otalı elipti-paraboli diferesiyel ve far problemleri iyi oumlamışlığıı (well-posedess) çalışmatır. Aışalar meaiğidei birço problemlerde (reasiyo-difüzyo delemleri diamileri, modelleme süreçleri ve teori gaz idrodiami uygulama problemleri), ısı aışı, füzyo süreci ve diğer fizisel alalarda arşımıza elipti-paraboli tipidei diferesiyel delemler çımatadır. Bu türdei delemler içi loal olmaya sıır değer problemleri çözüm metotları üzerie birço araştırma yapılmıştır. (baıız, [Salaatdiov, 974], [Drujaev, 979], [Vragov, 983], [Kroer ve Rodrigues, 985], [Karatopralieva, 99], [Hilorst ve Hulsof, 99], [Asyralyev ve Soltaov, 994], [Bazarov ve Soltaov, 995], [Asyralyev ve Soltaov, 995b], [Nausev, 995], [Glazatov, 998], [Diaz, Lerea,, Padial, ad Raotoso, 4], [Asyralyev, 6a]). Loal olmaya sıır oşuluyla ço otalı elipti-paraboli problemi Fourier serileri metodu, Laplace döüşümü metodu, ad Fourier döüşümü metoduyla çözülebiliir. Bu üç farlı aaliti metodu örelerle açılayabiliriz. Biricil olara Fourier serileri metodu uygulamasıı ele alalım.

Öre.. Aşağıdai ço otalı elipti-paraboli problemi u u + = t si x, < t <, < x < π, t x u u t t + ( e t) si x, t, x π, x = + < < < < ( ) ( ) ( e ) 7 u, x = u, x + u, x + ( e e + 4)si x, u ( +, x) = u (, x), u ( +, x) = u (, x), x π, u ( t, ) = u ( t, π ) =, t. (.) loal olmaya sıır oşulu içerside etüt edelim. (.) problemii çözümü içi Fourier serileri metoduu ullaırız. Problemi çözme içi, fosiyouu u ( t x) v( t x) w( t x) u( t x), =, +, şelide ii ısma ayıralım. Şöyle i v v + =, < t <, < x < π, t x v v t +, t, x π, x = < < < < ( ) ( ) ( e ) 7 v, x = v, x + v, x + ( e e + 4)si x, v( +, x) = v(, x), v ( +, x) = v (, x), x π, v( t, ) = v( t, π ) =, t (.) ve

3 w w + = t si x, < t <, < x < π, t x w w t t + = ( e + t)si x, < t <, < x < π, x w(, x) = w(, x) + w(, x), w( +, x) = w(, x), w ( +, x) = w (, x), x π, w( t, ) = w( t, π ) =, t (.3) olara yazılabileceği görülür. Öcelile değişeleri ayırma yötemi ile problem (.) i çözümüü elde edeceğiz. Değişelerie ayırma yötemi gereğice v( t, x) = T ( t) X ( x) olara abul edelim. < t < oşuluda ie, ısmi türevleri alıp (.) delemide yerie yazarsa T t T t X x X x delemi elde ederiz ve bu delemi düzelediğimizde ( ) ( ) ( ) ( ) T t X x = = λ T t X x (.4) eşitlileri şelide yazarız. Böylece, biz (.4) delemide ve (.) dei sıır oşullarıda

( ) λ ( ) ( ) ( π ) X x = X x, X = X = (.5) 4 delemlerii elde ederiz. Eğer λ, ise o zama (.5) sıır değer problemii sadece basit çözümü X ( x ) = vardır. λ > içi, bu problemii çözümleri λ =, X ( x) = si x, =,, olara yazılabilir. Bu edele, sıır değer problemii basit olmaya çözümleri ( ) λ = ad X x = si x, =,, (.6) şelidedir. (.4) te verile birici derecede türevli delem ( ) λ ( ) λ T t = T t, =, =,, şelidedir. Sorasıda, bu eşitliğii çözümü ( ) t =, =,, şelidedir. T t A e Böylece, ( ) t delemii elde ederiz. = = v t, x = v ( t, x) = A e si x < t < oşuluda problem (.) yi bezer yötemle ele alabiliriz. Buu yapma içi, v( t, x) = T ( t) X ( x) formuu bir çözümü öerilir. Sora, ısmi türevlerii alıp soucu (.) delemide yerie yerleştirere ( ) ( ) T t X x + = T ( t) X ( x) veya

5 ( ) ( ) T t X x = = λ T ( t) X ( x) (.7) eşitlilerii elde ederiz. Sıır oşullarıı uygulayara ve (.7) eşitliğii ullaara ( ) λ ( ) ( ) ( π ) X x = X x, X = X = olur. Bu eşitliği öcei ısımda çözmüştü. Çözümü (.6) da verilmiştir. (.7) de suula diğer delemi çözümü ( ) λ ( ) =, λ =, =,, şelidedir. T t T t Bu eşitliği çözümü t t ( ) ( ),,, T t = B e + C e = şelide yazabiliriz. Bu edele, t t ( ) v( t, x) = v ( t, x) = B e + C e si x = = eşitliği olduğu görülür. Loal olmaya sıır oşuluu ve t= ie v( t x) uygulayara,,, v ( t, x) içi sürelili özellilerii ( ) ( ) ( ) e 7 v, s = v, s + v, s + ( e e + 4)si x, v( +, x) = v(, x), v ( +, x) = v (, x)

6 delem sistemii elde ederiz. olsu. Burada Be + Ce = A e + A e B + C = A, ( B C ) = A, elde edip çözümlediğimizde, bütü içi, şartıda B = C = A = oşullarıı elde ederiz. Aşağıdai delem sistemii de = durumuda ie e 7 Be + Ce = A e + A e + ( e e + 4), B + C = A, B C = A yazılır ve C =, A ( e e e + 7 ) 4 e ( e + e ) = B = bilimeyeleri buluara çözeriz. Böylece, (.) i çözümü e 7 e + 4 ( + ) ( e ) t v( t, x) e si x elde edilir. e e e Đicisi, (.3) ü çözümü içi

7 w t, x = D t si x eşitliğii varsayalım. ( ) ( ) = < t < oşuluda ie, delemimize yerleştirdiğimizde, w tt w xx D t D t six t six elde ederiz. Buu sorasıda ( ) ( ) D t D t =,, ( ) ( ) D t D t = t yazabilir ve çözümü çıarmasıı ( ) = cos + si,, D t C t B t ( ) D t = C cos t + B si t + t elde ederiz. Böylece, w( t, x) = v ( t, x) = ( C cos t + B si t)si x = = + ( C cos t + B si t + t) si x eşitliğii yazabiliriz. < t < oşuluda olduğu zama,

( ( ) ( )) t t xx = w + w = D t D t si x = ( e + t)six 8 eşitliğii elde ederiz. Buu taip edere, D t D t, t D t D t = ( e + t) olur ve çözdüğümüzde, ve ( ) ( ) t ( ) ( ) t = + = yazabiliriz. D t A e t, D t A e, Böylece, = = t t t t w( t, x) = v ( t, x) = A e si x + ( A e + t + e e )si x soucua ulaşırız. durumuda loal olmaya sıır oşuluu, t= ie w( t x) özellilerii ve,, w ( t, x) içi sürelili w(, s) = w(, s) + w(, s), w( +, x) = w(, x), w ( +, x) = w (, x) (.8) delem sistemii ullaara

9 B si + C cos = A e + A e C = A, B = A delem sistemii elde ederiz. = durumuda (.8) delem sistemii ullaara, B si+ C cos+ = ( A e + e e ) + ( A e + e e ) C = A, B + = A + elde ederiz ve olaylıla durumuda B = C = A = olur. = durumuda ( e 7 e e + ) 4 e e e B = A, C = A = + çözümlerii elde ederiz. Böylece, (.3) ü çözümü t t w( t, x) = (( ϕ ) e t e )si x e ( e + e ) + + olara buluur. E souda, v (t, x) ve w (t, x) çözümlerii (, ) = (, ) + (, ) u t x v t x w t x

formülüde yerleştirilere ( ) t u t, x = ( e + t)si x elde ederiz. Bezer matığı ullaara, ço boyutlu elipti-paraboli eşitli içi aşağıdai loal olmaya sıır değer problemii çözümüü elde ederiz. u( t, x) u( t, x) r t r= xr + a = g( t, x), x = ( x,, x ) Ω, < t < T, u( t, x) u( t, x) t r r= xr + a = f ( t, x), x = ( x,, x ) Ω, T < t <, u, x u, x, u, x u, x, ( ) = ( ) ( ) = ( ) u( T, x) = u( λ, x) + ϕ( x), + t + t =, x Ω, = T λ < λ < < λ, u( t, x) =, x S. Burada Ω, S, Ω=Ω S ile sıırları verile boyutlu Ölid uzayı R(< x <, ) de birim açı üp ve a ( x ) ( a ( x) a >, x Ω ), ϕ ( x) [ ] r r ( x Ω ), g( t, x) ( t, T, x Ω ), (, ) ( t T,, x Ω ) verile düzgü (smoot) fosiyolardır. f t x [ ] Buula beraber, değişelerie ayırma yötemi, yalızca, delemi tüm atsayılarıı sabit olması durumuda ullaılabilir. Oysai far şemaları yötemi ısmi türevli diferasiyel delemleri çözme içi, atsayıları t de veya uzay değişeleride bağımlı olduğu durumlarda da ullaılabile etiliği iyi bilie bir yötemdir.

Đicisi, Laplace döüşüm metoduu ele alalım. Öre.. Elipti paraboli problemi delemleri içi arma problemii u u t x + = ( e + t) e, < t <, < x <, t x u u x t + ( t) e, t, x, x = + < < < < 7 (, ) ( ) ( e ) x u x = u, x + u, x + ( e e + 4) e, u ( +, x) = u (, x), ut ( +, x) = ut (, x), x <, t t u ( t, ) = t + e, ux ( t, ) = ( t + e ), t (.9) ele alalım. Đl olara < t < içi bu problemi iceleyelim. Diferesiyel delemi u tt u xx e t t e x er ii tarafıı da Laplace döüşümüü alırsa L u tt L u xx L e t t e x veya { u ( t, x) } s { u ( t, x) } su ( t, ) ux ( t,) L + L = tt t e + t s + elde ederiz. Laplace döüşümü yardımı ile çözebilmemiz içi L { u( t, x)} = v( t, s) olara gösterelim. Böylece,

v tt t, s s v t,s s t e t t e t e t t s veya tt (, ) (, ) v t s + s v t s = t t e + s ( t + e ) s + şelide yazılabilir. Tamamlayıcı (complemetary) çözüm ( ) v t, s = c si st + c cos st şelidedir. c Özel (particular) çözüm içi v p ( t, s) t t + e = s + olara yazabiliriz. Böylece, problemimiz t t + e v( t, s) = c si st + c cos st + (.) s + olur. t içi, ( ) u u t e x t + xx = + alie gelir. Diferesiyel eşitliği Laplace döüşümü L u t L u xx L t e x veya + = + t s + ( L{ u ( t, x) }) s L { u ( t, x) } su ( t, ) ux ( t,) t şelide yazılır. O zama bu problem

3 v t t,s s v t, s s t e t t e t t s veya t (, ) (, ) v t s + s v t s = t t e + s ( t + e ) s + olur. Buu çözere, ( ) t s t t + e 3 v t, s = c e + (.) s + elde ederiz. Loal olmaya sıır oşuluu, t= ie u( t x),, u ( t, x) içi sürelili özellilerii ve ( ) ( ) ( e ) 7 x u, x = u, x + u, x + ( e e + 4) e, u ( +, x) = u (, x), u ( +, x) = u (, x) delem sistemii ullaara 7 ( e e e ) 4 v (, s) v (, s) v (, s) + = + + + s, v ( +, s) = v(, s), v ( +, s) = v (, s) delem sistemii buluruz.

4 Bu oşulları uygulayara ve (.), (.) ullaara, + e s e c si s + c cos s + s+ = ( c3e s+ ) + ( ) +, 7 s e ( e e e + ) 4 c3e s+ + s c = c3, sc + = s c + s+ 3 s+ delem sistemii elde ederiz. Bu delem sistemii çözere, c = c = c3 = yazabiliriz. O alde, (, ) v t s t t + e = s + olur. Burada, ters Laplace döüşümü uygulaıca u ( t, x) = L { v( t, s) } = L = ( t + e ) L = ( t + e ) e s + s + t t + e t t x elde edilir. Böylece, verile loal olmaya değer problem (.9) u çözümü ( ), ( t x u t x = e + t) e olur. Ço boyutlu elipti-paraboli eşitli içi aşağıdai loal olmaya sıır değer problemii çözümüü bezer yötemi ullaara bulabiliriz.

5 u( t, x) u( t, x) + ar = g( t, x), t r= xr + x = ( x,, x) Ω, < t < T, u( t, x) u( t, x) t + ar = f ( t, x), r= xr + x = ( x,, x) Ω, T < t <, u( T, x) = u( λ, x) + ϕ( x),, = = T λ < λ < < λ, + u ( +, x) = u (, x), ut ( +, x) = ut (, x), x Ω, u( t, x) + u( t, x) =, =, r =,,, x S. xr Burada + + + + + Ω, S, S Ω = Ω ile sıırları verile boyutlu Ölid uzayı + R ( < x <, ) de birim açı üp ve a ( x ) ( a ( x) a >, x Ω ), + + Ω g( t, x) ( t [, T ], x Ω ), [ ] ϕ () x ( x ), fosiyolardır. + r f ( t, x) ( t T,, x Ω ) verile düzgü (smoot) r Buula beraber, Laplace döüşümü metodu, yalızca, delemi tüm atsayılarıı sabit olması durumuda ullaılabilir. Oysai far şemaları yötemi ısmi türevli diferesiyel delemleri çözme içi, atsayıları t de veya uzay değişeleride bağımlı olduğu durumlarda da ullaılabile etiliği iyi bilie bir yötemdir. So olara, Fourier döüşümü metoduu uygulamasıı ele alacağız.

Öre.3. Elipti-paraboli eşitliği içi loal olmaya sıır değer problemii 6 u u t t x + = ( e + ( e + t)(4x )) e, t x < t <, < x <, u u t t x + = ( e + + ( e + t)(4x )) e, t x < t <, < x <, u ( +, x) = u (, x), u ( +, x) = u (, x), u (, x) = u (, x) + u (, x) + ϕ ( x), e 7 ( ) ( x ϕ x = e e + 4) e, < x < (.) iceleyelim. { u ( t, x) } = v( t, s) F olara gösterelim. (.) dei diferesiyel eşitliği er ii tarafıı Fourier döüşümüü < t < içi alırsa, t t t x (, ) (, ) = {( + + ( + )(4 ) } v t s s v t s F e e t x e elde ederiz. x x ( e ) = (4x ) e olduğu içi, { } { } { } x x x x e = e = s e F (4 ) F ( ) F (.3) delem sistemii yazabiliriz. Böylece, t t t x (, ) (, ) = ( + + ( + ) ) F { } v t s s v t s e e t s e

7 elde eder ve çözümlediğimizde, s ( ) { } t t x = + + F v t, s c e ( e t) e (.4) eşitliğii yazabiliriz. Problemimiz (.) dei diferesiyel eşitliği er ii tarafıı Fourier döüşümü < t < içi t t x alırsa, vtt ( t, s) s v( t, s) = F{ ( e + ( e + t)(4x )) e } elde ederiz. (.3) dei eşitliği ullaara, tt t t x (, ) (, ) = ( + ( + ) ) F { } v t s s v t s e e t s e buluruz ve çözümlediğimizde t x ( ) 3 { } = + + + F v t, s c cosst c si st ( e t) e (.5) eşitliğii yazabiliriz. Loal olmaya sıır oşullarıı ve ( ) ( ) ( ) ϕ ( ) u, x = u, x + u, x + x, e 7 ( ) ( x φ x = e e + 4) e, u, x u, x, ( ) = ( ) + u + x u x (, ) = (, ) delem sistemii ullaara,

8 ( ) ( ) ( ) { } e 7 x v, s = v, s + v, s + ( e e + 4) F e, v( +, s) = v(, s), v ( +, s) = v (, s) delem sistemii elde ederiz. Bu oşulları uygulayıp ve (.4) ve (.5) ulladığımızda, x { } e 7 4 F x x { } F{ } x s x { } F{ } c cos s + c si s + ( e + ) F e = c e ( e + ) e + ( e e + ) e, 3 c = c, sc + 3 F e = s + e bulduğumuz delem sistemi çözüüldüğüde c = c = c3 = olduğu olaylıla alaşılır. Böylece, x { } v( t, s) = ( e t + t) F e delemie ulaşırız. Souç olara, ters Fourier döüşümü uygulaıca, (.) problemii ( ) t x = + soucuu elde ederiz. u t, x ( e t) e Ayı yötemi ullaara, iici derecede ço boyutlu elipti paraboli eşitli içi loal olmaya sıır değer problemii

9 u u + ar r r... δu = g( t, x), t r m x x = < t < T, x, r R, r = r + + r, u u t + ar r (, ), r x... x δu = f t x r = m T < t <, x, r R, r = r + + r, T λ < λ < < λ u( T, x) = u( λ, x) + ϕ( x),, x Ω = = çözümüü elde ederiz. Burada ar ( x ) ( a ( x) a >, x R ), δ yeterice büyü pozitif sabit bir sayı olup g( t, x) ( t [, T ], x R ), [ ] düzgü (smoot) fosiyolardır. r f ( t, x) ( t T,, x R ) ve ϕ () x ( x R ) verile Öte yada, Fourier döüşümü metodu, yalızca, delemi tüm atsayılarıı sabit olması durumuda ullaılabilir. Temelde bilgisayarlarla gerçeleştirile ve sayısal metot olara bilie far metoduu bağımlı atsayılara saip ısmi diferesiyel problemlerii çözümüde e faydalı metot olduğu ço iyi bilimetedir. Faat sayısal metotlarda ullaıla farlı far şemalarıı ararlığıı aıtlamaya veya teori olara doğrulamaya itiyacı vardır. [Asyralyev ve Gerce, 8], [Asyralyev ve Gerce, 9] ve [Gerce, 6] da H Hilbert uzayıda self-adjoit pozitif taımlı delemleri içi loal olmaya d u( t) + Au( t) = g( t),( t ), dt du( t ) dt Au( t) = f ( t),( t ), u() = u ( ) + µ sıır değer problemi ele alımıştır. Bu sıır değer problemii iyi oumlamışlığı ağırlılı Hölder uzaylarıda doğruluğu ortaya oulmuştur. Elipti paraboli delemleri loal olmaya

sıır değer problemlerii çözümü içi oersiv eşitsizlileri elde edilmiştir. Loal olmaya sıır değer problemlerii yalaşı çözümü içi birici ve iici derecedei yaılaşması ola far şemaları suulmuştur. Bu far şemalarıı iyi oumlamışlığı Hölder uzaylarıda aıtlamıştır. Uygulamalarda elipti-paraboli delemleri far şemalarıı çözümü içi oersiv eşitsizlileri sağlamıştır. Elipti-paraboli delemler içi far şemalarıı Matlab ile çözümleri elde edilmiştir. Bu çalışmada ço otalı elipti-paraboli diferesiyel ve far delemleri loal olmaya sıır değer problemleri çalışılmıştır. Kısaca tezi bölümleridei içeriği verelim. Tez 6 bölümde ve bir ete oluşmatadır. Birici bölüm giriş bölümüdür. Đici Bölüm de H Hilbert uzayıda self-adjoit pozitif taımlı A operatörlü diferesiyel delemi içi ço otalı loal olmaya d u( t) + Au( t) = g( t),( t ), dt du( t) dt Au( t) = f ( t),( t ), u() = iu( λi ) + ϕ i= λ < λ < < λ (.) sıır değer problemi iyi oumlamışlığı i varsayımı oşulu altıda çalışılmıştır. i= Aşağıdai şartları sağlaya u( t ) fosiyou (.) problemii çözümüdür: i. u( t ) fosiyou (,] aralığıda iici türevi süreli ola ve [,] aralığıda türevi süreli ola bir fosiyodur. Aralığı sıır otalarıdai türevler, uygu te taraflı türevler olara alaşılır;

ii. u( t ) fosiyou, A operatörüü taım ümesii elemaıdır ve Au( t ) fosiyou [,] aralığıda sürelidir; iii. u( t ) fosiyou, (.) delemii ve bu delemii loal olmaya sıır oşuluu sağlar. Bu şeilde taımlaa problem (.)'i bir çözümü, buda sora C( H ) = C([,], H ) uzayıda problem (.)'i bir çözümü olara atıfta buluacatır. Burada, C( H ) = C([,], H ) [,] aralığıda taımlı H -değerli ϕ ([,], ) = max ϕ( t) ormua saip bütü süreli ϕ( t) fosiyolarıı oluşturduğu Baac uzayıdır. C H t H Şimdi C, ([,], H ), < < ile [,] aralığıda bütü düzgü (smoot) H -değerli, t C,,,H C,,H sup t t H t t + sup < t< t+ < ( t) ( t + ) ϕ( t + ) ϕ( t) H ormua saip ϕ( t) fosiyolarıı oluşturduğu ümei apaışı ile elde edile Baac uzayıı C, ([,], H ), < < ile [,] aralığıda bütü düzgü (smoot) H -değerli ϕ = ϕ + C, ([,], H ) C ([,], H ) sup < t< t+ < ( t) ( t + ) ϕ( t + ) ϕ( t) H ormua saip ϕ( t) fosiyolarıı oluşturduğu ümei apaışı ile elde edile Baac uzayıı ve C, ([,], H ), < < ile, aralığıda bütü düzgü (smoot) H -değerli ϕ = ϕ + C ([,], H ) C ([,], H ) sup < t< t+ < ( t) ϕ( t + ) ϕ( t) H ormua saip ϕ( t) uzayıı ifade edelim. fosiyolarıı oluşturduğu ümei apaışı ile elde edile Baac

Burada, C([ a, b], H ) [ a, b ] aralığıda taımlı H -değerli ϕ ([, ], ) = max ϕ( t) C a b H a t b H ormua saip bütü süreli ϕ( t) fosiyolarıı oluşturduğu Baac uzayıdır. Eğer problem (.) i eragi g( t) C([,], H ), f ( t) C([,], H ) ve ϕ D( A) içi C( H ) de te çözümü varsa ve M ( δ ) ϕ, f ( t) ve g( t ) de bağımsız olma üzere u + u + Au M ( δ )[ g + f + Aϕ ], C([,], H ) C([,], H ) C ( H ) C([,], H ) C([,], H ) H oersiv eşitsizliğii sağlıyorsa, problem (.) C( H ) de iyi oumlamıştır deir. Problem (.) C (H ) da iyi oumlamış değildir [Asyralyev, Soltaov, 995]. (.) sıır değer problemii iyi oumlamışlığı, [,] de H değerli bütü düzgü (smoot) fosiyoları F ( H ) ati (certai) uzayıda ele alıara ispat edilebilir. F( H ) da bir u( t ) fosiyou eğer C( H ) da (.) problemii bir çözümü ise ve u ( t) ( t [,]), u ( t)( t [,]) ve Au( t)( t [,]), F( H ) a aitse, (.) problemii çözümüdür deir. C( H ) uzayı durumuda olduğu gibi, eğer M ( δ ) ϕ, f ( t) ve g( t ) de bağımsız olma üzere u + u + Au M ( δ )[ g + f + Aϕ ], (.4) F ([,], H ) F ([,], H ) F ( H ) F ([,], H ) F ([,], H ) H oersiv eşitsizliği sağlaıyorsa, biz (.) problemi F ( H ) ta iyi oumlamıştır deriz. Eğer biz F (H ) ı C H ) = C ([,], ) edebiliriz.,(, H ( < ) < a eşit urarsa, aa teoremimizi ispat Loal olmaya sıır değer (.) problemii çözümü içi aşağıdai u u u tt +,([,], ( )) t + (.5) C L Ω C ([,], L ( Ω)]) C, ([,], W ( Ω))

3 M ( δ ) g + f + M ( δ ) ϕ Ω ( ) C, ([,], L ( Ω)) C ([,], L ( Ω)) W ( ) oersiv eşitsizliği sağlaır. Burada, M ( δ ) atsayısı ϕ, f ( t) ve g( t ) de bağımsızdır. Teorem.. D ( A) ϕ olduğuu varsayalım. C ( H ), Hölder uzayıda sıır değer problemi (.) iyi oumlamıştır ve aşağıdai u C,,,H u Au C,,H C, H M ( δ ) f g + + Aϕ ([,], ) C H C, ( ) ([,], H ) H oersiv eşitsizliği sağlaır. Burada, M ( δ ) atsayısı ϕ, f ( t) ve g( t ) de bağımsızdır. Teorem. i ii uygulamasıı ele alıacatır. Đl olara, ço boyutlu elipti-paraboli delem içi loal olmaya sıır değer problemi utt ( a( x) ux) x + δu = g( t, x), < t <, < x <, ut + ( a( x) ux) x δu = f ( t, x), < t <, < x <, u( t,) = u( t,), ux( t,) = ux( t,), t, u(, x) = iu( λi, x) + ϕ( x), i, i= i= λ < λ < < λ, x, u( +, x) = u(, x), ut ( +, x) = ut (, x), x (.3) ele alımıştır.

4 Burada, eğer a( x) a > ( x (,)), g( t, x ) ( t [,], x [,]), f ( t, x ) ( t [,], x [,]) fosiyoları taım ümeleride düzgü (smoot) ve δ = sabit > ise, bu durumda (.3) problemii çözümü vardır ve tetir. [,] de taımlı aresi itegralleebilir fosiyoları L [,] Hilbert uzayı ile ve sırasıyla / = W [,] L [,] + x dx ϕ ϕ ϕ ve / / ϕ = ϕ + ϕ } W [,] L [,] x dx + ϕxx dx ormlarıa saip W [,] ve W [,] Hilbert uzaylarıı taımlayalım. Bu bizim (.3) arma problemii self-adjoit pozitif taımla A operatörü ile H = L [,] Hilbert uzayıda loal olmaya sıır değer problemi (.) e döüştürmemizi sağlar. Teorem.. Loal olmaya sıır değer (.3) problemii çözümü içi aşağıdai u tt C,,,L, u t C,,L, u C,,,W, M g C,,,L, f C,,L, M W, oersiv eşitsizliği sağlaır. Burada M ( δ ) atsayısı f ( t, x ), g( t, x ) ve ϕ ( x) 'de bağımsızdır. Teorem.'i ispatı, soyut Teorem. ve (.3) problemii tarafıda oluşturula uzay operatörüü simetri özellilerie dayamatadır. Đici olara, -boyutlu R Ölid uzayıda, ( x, ) Ω = < < bir açı üme ve S bu ümei sıırı olsu öyle i Ω = Ω S 'dir. [,] Ω ümeside, ço boyutlu elipti-paraboli

5 delem içi arma sıır değer problemi utt ( ar ( x) ux ) (, ),,, r xr = g t x < t < x Ω r= ut + ( ar ( x) ux ) (, ),,, r x = f t x < t < x Ω r r= u( t, x) =, x S, t, u(, x) = iu( λi, x) + ϕ( x), i, i= i= λ < λ < < λ, u( +, x) = u(, x), ut ( +, x) = ut (, x), x Ω (.4) ele alımıştır. Burada ar ( x ) ( x Ω ), g( t, x ) ( t (,), x Ω ), ve f ( t, x ) ( t (,), x Ω ) fosiyolar taım ümeleride düzgü (smoot) ve a ( x) a >. r Ω de taımlı aresi itegralleebilir fosiyolarıa ve L x dx dx x ormua saip L ( ) Ω Hilbert uzayı ve sırasıyla ϕ = ϕ + ϕ W ( ) L ( ) x dx dx Ω Ω r r= x Ω ve

6 = + W ( ) L x dx dx r + dx dx Ω r= r= xr xr x Ω x Ω ϕ ϕ ϕ ϕ ormlarıa saip W ( Ω ), W ( ) Ω Hilbert uzaylarıı taımlayalım. Eğer ar ( x ), g( t, x ) ve f ( t, x ) fosiyoları taım ümeleride düzgü (smoot) ise, bu durumda (.4) problemii çözümü vardır ve tetir. Buu içi, (.4) problemi, H Hilbert uzayıda (H = L ( ) Ω ) self-adjoit pozitif taımlı A operatörlü (.) loal olmaya sıır değer problemie döüştürmemizi sağlar. Teorem.3. Loal olmaya sıır değer (.4) problemii çözümü içi aşağıdai u tt C,,,L u t C,,L u C,,,W M ( δ ) g + f + M ( δ ) ϕ Ω ( ) C, ([,], L ( Ω)) C ([,], L ( Ω)) W ( ) oersiv eşitsizliği sağlaır. Burada, M ( δ ) atsayısı f ( t, x ), g( t, x ) ve ϕ ( x) 'de bağımsızdır. Teorem.3. ü ispatı, soyut Teorem., (.4) problemi tarafıda oluşturula uzay operatörüü simetri özellilerie ve aşağıdai L uzayıda elipti diferasiyel problemii çözümü içi oersiv eşitsizliği alıa teoreme dayamatadır. Teorem.4. Elipti diferesiyel problemii a r x u xr x r r x, x, u x, x S çözümü içi

7 r= ux x M ( δ ) ω Ω r r L ( Ω) L ( ) oersiv estirimi sağlaır [Sobolevsii, P. E., 975]. Üçücü Bölüm Bu bölümde, (.) sıır değer problemii yaı çözümü içi bu probleme arşılı gele ( ) u + u + u + Au = g, g = g ( t ), t =, N, ( u u ) Au = f, f = f ( t ), t = ( ), N, ( ) un = iu λ + ϕ, u u [ i i= ] = u u (3.) birici basamata doğrululu far şeması varsayım oşulu altıda icelemiştir. Bilidiği gibi, H Hilbert uzayıda self-adjoit pozitif taımlı A diferesiyel operatörlü loal olmaya sıır değer problemii bir değişeli disritizasyo (discretizatio) far şemalarıı araştırma deme, taımlı H Hilbert uzaylarıda 'ye ( ) < göre düzgü self-adjoit pozitif A far operatörlü ço değişeli disritizasyo far şemalarıı araştırma demetir. Dolayısıyla bu çalışmada sadece bir değişeli disritizasyo far şemaları icelemetedir. F ( H ) = F([ a, b], H ), [ a, b] = { t =, Na Nb, Na = a, Nb = b} de taımlı H-değerli ϕ { } N b = ϕ ağ fosiyolarıı lieer uzayı olsu. F ( H ) üzeride, ullaacağımız N a C([ a, b], H ) C,, ([,], H ), C, ormları aşağıdai şeildedir: ([,], H ), ve C ([,], H ) ( < < ) Baac uzaylarıı

8 C a,b,h max N a N b H, C,,,H C,,H sup N r r E r sup r N r E r N r, C,,H C,,H sup N r r E r, C,,,H C,,H sup r N r E r N r. (.) loal olmaya sıır değer problemi M ( δ ) f, g, ϕ ve da bağımsız olma üzere u M ( δ ) f + g + ϕ F ([,], H ) F ([,], H ) F ([,], H ) H eşitsizliğii sağlıyorsa, F([,], H ) de ararlıdır deir. Teorem 3.. Loal olmaya (3.) sıır değer problemi C([,], H ) ormuda ararlıdır. Loal olmaya (3.) sıır değer problemi F([,], H ) de M ( δ ) f, olma üzere g, ϕ, ve da bağımsız u u u N F,,H u u N Au N F,,H N F,,H

9 M f + g + A ( δ ) F ([,], H ) F ([,], H ) ϕ H oersiv eşitsizlilerii sağlıyorsa, oersiv ararlıdır., de taımlı H -değerli süreli fosiyoları C,,H uzayıda loal olmaya sıır değer problemi (3.) sıırlı olmaya geel A pozitif operatörü içi iyi oumlamış değildir ve o zama (3.) loal olmaya sıır değer far problemii iyi oumlamışlığı C,, H ormuda > a bağlı olara düzgü olara ele alımaz. Bu da u K E u u u N C,,H u u N Au N C,,H N C,,H + oersativ ormu a gittiçe a meyletmesi alamıa gelir. (3.) far problemii icelemesi bu ormu büyüme mertebesii olara elde edilmesie imâ verir. Teorem 3.. ϕ D( A) ve f D( I B) ve da bağımsız olma üzere + olsu. O zama (3.) far problemi M ( δ ) f, g,ϕ, u K E M A H I B f H + mi l, + l A H H f C([,], H ) g + C ([,], H ) eme eme oersiv eşitsizliğie saiptir. Đyi oumlamışlı C, ([,], H ) de elde edilebilir. Teorem 3.3 Teorem 3. i abulleri sağlası. O zama (3.) sıır değer problemi

3 C,,,H Hölder uzayıda iyi oumlamıştır ve M ( δ ) f, g,ϕ ve da bağımsız olma üzere u u u N Au N C,,,H N C,,,H u u N M A C,,H H I B f H M ( δ + f + g C ([,], H ) C, ([,], H ) ( ) oersiv eşitsizliği sağlaır. Uygulamada il olara, ço boyutlu elipti-paraboli delem içi, (.4) loal olmaya sıır değer problemi ele alıacatır. Burada (.4) problemii disritizasyou ii adımda iceleir. Birici adımda öce, Ω = { x = xm = ( m,, m ), m = ( m,, m ), m r N r, r N r, r,,, Ω = Ω, Ω S = Ω S ağ uzayı taımlaır. Daa sorada, (.4) problemi tarafıda oluşturula A diferesiyel operatörü yerie x x r r= A u = a ( x) u (3.49) xr xr, mr formülüyle taımlaa A x (.) loal olmaya sıır değer problemi far operatörü alıır. Burada A x far operatörüü yardımıyla

3 d u ( t, x) x + A u ( t, x) = g ( t, x), < t <, x Ω, dt du ( t, x) x dt A u ( t, x) = f ( t, x), < t <, x Ω, u (, x) (, ) ( ),, = iu λi x + ϕ x i x Ω, i= i= du ( +, x) du (, x) u ( +, x) = u (, x), =, x Ω dt dt (3.5) adi diferesiyel delem sistemie döüştürülür. Đici adımda ise, (3.5) problemi içi (3.) far şeması ullaılara, ( ) ( ) u+ ( x) u ( x) + u ( x) x + A u x = g ( x), g ( x) = g ( t, x), t =, N, N =, x Ω, A u x f ( x), u ( x) u ( x) x = ( ) u ( x) = u ( x) ( x), x λ + ϕ Ω, f ( x) = f ( t, x), t =, N +, x Ω, N i [ i ] i= u ( x) u ( x) = u ( x) u( x), x Ω. (3.5) far şeması elde edilir. Souçlarımızı formüle edebilme içi, L ( ), = L Ω W ( ), = W Ω W ( ) = W Ω uzaylarıı taıtalım. Bu uzaylar sırasıyla, Ω da taımlı φ L ( Ω ) / = φ ( x), x Ω

3 ϕ = ϕ + ( ) ϕ W x r L r = x Ω / ve / / = + ( ) ( ) W r, L x + x r xr m r= r = r x Ω x Ω ϕ ϕ ϕ ϕ ormlarıa saip ϕ ( x) = { ϕ( m,, m )} ağ fosiyolarıı uzaylarıdır. Teorem 3.4. Eğer ve = + + yeterice üçü pozitif sayılar ise, bu durumda (3.5) far şemasıı çözümü içi aşağıdai u N N C,,L M f N g C,,L N C,,L L, u u u N C,,L u u N u C,,L N N C,,W M W f W l f N g C,,L N C,,L, ararlılı ve eme eme oersiv estirimleri sağlaır. Burada, M ( δ ) atsayısı

33,, f ( x), N +, g ( x), N ve ϕ ( x) 'de bağımsızdır. Teorem 3.4'ü ispatı, soyut Teorem 3.-Teorem 3. ve x A far operatörüü simetri özellilerie, aşağıdai elde edile teoreme ve L uzayıdai elipti far problemii çözümü içi oersiv eşitsizliği x mi l,+ l A L l (3.5) L M + estirime dayamatadır. Teorem 3.5. Elipti far problemii x A u ( x) = ω ( x), x Ω, (3.53) u x,x S çözümü içi r= ( u ) M ω L xr xr, mr L oersiv eşitsizliği sağlaır [Sobolevsii, 975]. Teorem 3.6. Eğer ve yeterice üçü pozitif sayılar ise, bu durumda far şemasıı çözümü içi aşağıdai u u u N C,,,L u u N u C,,L N N C,,,W

34 M W f W f N g C,,L N C,,,L, oersiv ararlılı estirimi sağlaır. Burada, M ( δ ) atsayısı,, f ( x), N +, g ( x), N ve ϕ ( x) 'de bağımsızdır. Teorem 3.6'ı ispatı, soyut Teorem 3.3, (3.49) formülü ile taımlaa A x far operatörüü simetri özellilerie ve L uzayıdai (3.53) elipti far problemii çözümü içi oersiv eşitsizliğie ve Teorem 3.5'e dayamatadır. Dördücü Bölüm ii ısımda oluşur. Birici ısımda oşul altıda (.) sıır değer problemii yalaşı çözümü içi Cra-Nicolso far Şeması ullaılara ( ) u + u + u + Au = g, g = g ( t ), t =, N, N =, ( u u ) ( Au + Au ) = f, f = f ( t ), t = ( ), ( N ), u = u + λ [ ] f + Au + ϕ, λi ( λ [ i ] ( )( λ [ i λ ] [ i ] )) N i i = u 4u + 3u = 3u + 4u u ( 4.) iici basamata doğrululu far şemasıı elde etti. Bu far şemasıı Hölder uzaylarıda iyi ouşlamışlığı sağlamıştır. Uygulamalarda, loal olmaya arma problemleri yalaşı çözümü içi far şemaları oluşturulmuş ve çözümleride ararlılı estirimleri, eme eme ararlılı estirimleri ve oersiv ararlılı estirimleri elde edilmiştir.

35 Beşici bölüm sayısal aalizlerdir. Birici ve iici basamata ararlılılı far şemaları urulmuş ve ata aalizi verilmiştir. Đici basamata ararlılılı far şemalarıı birici basamata ararlılılı far şemalarıa orala daa doğru olmasıı souçladırma içi uygu bir Matlab programı verilmiştir. Şeiller ve tablo elemiştir. Altıcı bölüm souçlardır. Bu bölümleri yaı sıra tezi souda Kayalar ve Eler ısmı verilmiştir. Eler ısmıda Matlab programları suulmatadır.

36. ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERANSĐYEL DENKLEM ĐÇĐN ÇOK NOKTALI LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMĐ.. Temel Teorem Bu çalışmada, H Hilbert uzayıda self-adjoit pozitif taımlı A operatörlü diferesiyel delemler içi ço otalı loal olmaya d u( t) + Au( t) = g( t),( t ), dt du( t) dt Au( t) = f ( t),( t ), u() = iu( λi ) + ϕ i= λ < λ < < λ (.) sıır değer problemi iyi oumlamışlığı çalışılmıştır. Burada BA δi ve δ > δ ' > dır. Bu ısımda, H Hilbert uzayıda B = A olara ifade edelim. O zama B 'i self-adjoit pozitif taımlı operatör olduğu açıça görülür ve > δ > B δ durumuda δ I 'dır. Bu çalışmamızda, varsayım i= i (.) oşulu altıda problem (.)'i iyi oumlamışlığıı ele aldı. Öcelile ileride itiyaç duyacağımız yardımcı teoremleri verelim. Yardımcı Teorem.. Aşağıdai [Sobolevsii, 977]:

37 tb B e H H t ( e ), e, t >, ta A e H H t ( e ), e, t >, (.3) B ( I e ) H H M ( δ ) estirimler bazı M ( δ ) içi sağlaır. Yardımcı Teorem.. Varsayım (.) sağlası. O zama, B I e B I e B i e B ia i operatörüü tersi vardır ve ( B ) B ( Bλi A) i (.4) i= T = B I e + I + e e olduğu görülür ve aşağıdai T H H M ( δ ), (.5) BT H H M ( δ ) (.6) estirimler sağlaır. Burada, M (δ ) atsayısı i ve λ i 'de bağımsızdır. Đspat. (.5) estirimii ispatı üçge eşitsizliğie, (.) varsayımıa ve ispatı yapıla

38 B I e B I e B e B ia H H sup e e i i e i sup e e i e i i sup e e e M eşitsizliğe dayamatadır. Bezer bir şeilde, (.6) estirimii ispatlama içi, üçge eşitsizliğii, (.) varsayımıı ve aşağıda ispatı yapıla B B I e B I e B i e B ia i H H sup e e i e i i sup e e i e i i sup e e

39 sup = M ( δ ) ( e µ δ µ < ) ( e δ ) eşitsizliği ullaırız. Böylece, Yardımcı Teorem. ispatlamıştır. Aşağıdai şartları sağlaya u( t ) fosiyou (.) problemii çözümüdür: i. u( t ) fosiyou (,] aralığıda iici türevi süreli ola ve [,] aralığıda türevi süreli ola bir fosiyodur. Aralığı sıır otalarıdai türevler, uygu te taraflı türevler olara alaşılır; ii. u( t ) fosiyou, A operatörüü taım ümesii elemaıdır ve Au( t ) fosiyou [,] aralığıda sürelidir; iii. u( t ) fosiyou, (.) delemii ve bu delemii loal olmaya sıır oşuluu sağlar. Bu şeilde taımlaa problem (.)'i bir çözümü, buda sora uzayıda problem (.)'i bir çözümü olara atıfta buluacatır. C H C,,H Şimdi, (.) problemii çözümü içi gereli formüller elde edilecetir. Bilidiği gibi, [Krei, 966] u ( t ) Au ( t ) g ( t ) ( t ) ( ) =, ( ) =, + =,, u u u u ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = u u t Au t f t, t, u (.7) (.8) problemlerii düzgü dataları içi başlagıç değer problemlerii sağlaya te çözümleri vardır ve aşağıdai formüller sağlaır: ( B ) tb ( ( t+ ) B ) ( ( t ) B ( t+ ) B ) u( t) = I e e e u e e u + (.9)

4 I e B e t B e t B B e s B e s B g s ds B e t s B e t s B g s ds, t, t ( ) = ta ( ts) A + ( ),. (.) u t e u e f s ds t u () = u( λ ) + ϕ oşuluu ve (.9), (.) formülleri ullaılara, i= i i ( B ) tb ( ( t+ ) B ) u( t) = I e e e u (.) e t B e t B i i e A u i e i s A f s ds I e B e t B e t B B e s B e s B g s ds B e t s B e t s B g s ds, t operatör delemi sağlaır. ullaılara, ( ) ( B ) ( B + = + ) oşuluu ve (.) formülü u içi, u ( + ) = Au( ) + f () Au f () I e B I e u (.)

4 Be B e ia u i i i e i s A f s ds I e B e B e s B e s B g s ds e sb g s ds. operatör delemi elde edilir. Bilidiği gibi, B I e B I e B i e B ia i operatörüü T = B I e + I + e e ( B ) B ( Bλi A) i i= tersi var olduğuda, (.) operatör delemii çözümü içi λi B ( λi s) A u = T e i e f ( s) ds (.3) i= B e s A e s A g s ds e B B sb + ( I e ) TB f () + e g( s) ds formülü elde edilir. Böylece, (.) loal olmaya sıır değer problemii çözümü içi (.), (.) ve (.3) formülleri belirlemiş olur.

4 Bu çalışmada, C( H ) = C([,], H ) [,] aralığıda taımlı H -değerli ϕ = max ϕ( t) ormua saip bütü süreli ϕ( t) C([,], H ) t H Baac uzayıdır. fosiyolarıı oluşturduğu Şimdi C, ([,], H ), < < ile [,] aralığıda bütü düzgü (smoot) H -değerli, t C,,,H C,,H sup t t H t t + sup < t< t+ < ( t) ( t + ) ϕ( t + ) ϕ( t) H ormua saip ϕ( t) fosiyolarıı oluşturduğu ümei apaışı ile elde edile Baac uzayıı C, ([,], H ), < < ile [,] aralığıda bütü düzgü (smoot) H -değerli ϕ = ϕ + C, ([,], H ) C ([,], H ) sup < t< t+ < ( t) ( t + ) ϕ( t + ) ϕ( t) H ormua saip ϕ( t) fosiyolarıı oluşturduğu ümei apaışı ile elde edile Baac uzayıı ve C, ([,], H ), < < ile [, ] aralığıda bütü düzgü (smoot) H -değerli ϕ = ϕ + C ([,], H ) C ([,], H ) sup < t< t+ < ( t) ϕ( t + ) ϕ( t) H ormua saip ϕ( t) uzayıı ifade edelim. fosiyolarıı oluşturduğu ümei apaışı ile elde edile Baac Burada, C([ a, b], H ) [ a, b ] aralığıda taımlı H -değerli ϕ ([, ], ) = max ϕ( t) C a b H a t b H ormua saip bütü süreli ϕ( t) fosiyolarıı oluşturduğu Baac uzayıdır. Eğer problem (.) i eragi g( t) C([,], H ), f ( t) C([,], H ) ve ϕ D( A) içi C( H ) de te çözümü varsa ve M ( δ ), ϕ, f ( t) ve g( t ) de bağımsız olma üzere

43 u + u + Au M ( δ )[ g + f + Aϕ ] C ([,], H ) C ([,], H ) C ( H ) C ([,], H ) C ([,], H ) H oersiv eşitsizliğii sağlıyorsa, problem (.) C( H ) de iyi oumlamıştır deir. Problem (.) C (H ) da iyi oumlamış değildir [Asyralyev, Soltaov, 995]. (.) sıır değer problemii iyi oumlamışlığı,, de H değerli bütü düzgü (smoot) fosiyoları F ( H ) ati (certai) uzayıda ele alıara ispat edilebilir. F( H ) da bir u( t ) fosiyou eğer C( H ) da (.) problemii bir çözümü ise ve u ( t) ( t [,]), u ( t)( t [,]) ve Au( t)( t [,]), F( H ) a aitse, (.) problemii çözümüdür deir. C( H ) uzayı durumuda olduğu gibi, eğer M ( δ ) ϕ, f ( t) ve g( t ) de bağımsız olma üzere u + u + Au M ( δ )[ g + f + Aϕ ] (.4) F ([,], H ) F ([,], H ) F ( H ) F ([,], H ) F ([,], H ) H oersiv eşitsizliği sağlaıyorsa, biz (.) problemi F ( H ) ta iyi oumlamıştır deriz. Eğer biz F (H ) ı C,( H ) = C,([,], H ) ( < < ) a eşit urarsa, aa teoremimizi ispat edebiliriz. Loal olmaya sıır değer (.) problemii çözümü içi aşağıdai u u u tt +,([,], ( )) t + (.5) C L Ω C ([,], L ( Ω)]) C, ([,], W ( Ω)) M ( δ ) g + f + M ( δ ) ϕ Ω ( ) C, ([,], L ( Ω)) C ([,], L ( Ω)) W ( ) oersiv eşitsizliği sağlaır. Burada, M ( δ ) atsayısı f ( t, x ), g( t, x ) ve ϕ ( x) 'de bağımsızdır. Teorem.. D ( A) ϕ olduğuu varsayalım. C ( H ), Hölder uzayıda sıır değer problemi (.) iyi oumlamıştır ve aşağıdai

44 u + u + Au (.6) C, ([,], H ) C ([,], H ) C, ( H ) M ( δ ) f g + + Aϕ ([,], ) C H C, ( ) ([,], H ) H oersiv eşitsizliği sağlaır. Burada, M ( δ ) atsayısı ϕ, f ( t) ve g( t ) de bağımsızdır. Đspat. (.6) oersiv eşitsizliği (.8) ters Caucy problemii çözümü içi verile M ( ) u + Au δ f M Au (.7) C ([,], H ) C ([,], H ) C ([,], H ) H ( ) + estirimide ve (.7) sıır değer problemii çözümü içi verile M ( δ ) u + Au g (.8) C, ([,], H ) C, ([,], H ) C, ([,], H ) ( ) M Au H Au H estirimide ve (.) sıır değer problemii çözümü içi elde edile Au M ( δ ) f g Aϕ, (.9) H + + C ([,], H ) C, ([,], H ) H M ( δ ) Au f + g ] + M ( δ ) Aϕ (.) H C ([,], H ) C, ([,], H ) H ( ) estirimleride elde edilmetedir. (.7) ve (.8) estirimleri [Sobolevsii, 964], [Sobolevsii, 969] ve [Sobolevsii, 977] de ispatlamıştır. Şimdi, (.9) ve (.) estirimlerii elde edelim. (.9), (.) ve (.3) ü ullaara, B ( λi s) A i ( ( ) ( λi )) (.) i= λi Au = Te Ae f s f ds

45 Te B Be s B g s g ds Te B Be s B g s g ds Te B A I e B T Be sa g s g ds Te B e ia I f i T e B e B g T I e 3B e B e B g + = + + + + + + + + B TB( e I ) f () 3 4 5 6 7 8 9 olur. Burada, Te B i i i Ae i s A f s f i ds, Te B Be s B g s g ds, 3 Te B Be s B g s g ds,

46 4 Te B A, 5 I e B T Be sb g s g ds, 6 Te B i e ia I f i, i 7 T e B e B g, 8 T I e 3B e B e B g, TB e I f B 9 = ( ) () dır. λi A ( λi s) A = i + i i i= i= λi ( ) Au e Au Ae f ( s) f ( λ ) ds (.) λi A + ( I e ) f ( λ ) + Aϕ = K + K + K i= i i 3 olup, burada K i e ia Au, i K i i Ae i s A f s f i ds,

47 i A K = ( I e λ ) f ( λ ) + Aϕ 3 i= i i olara taımlamıştır. Đl öce (.9) elde edelim. (.) i ormuu estirimii oluşturma içi ları orm estirimlerii =,,,9 içi ayrı ayrı bulalım. Üçge eşitsizliğii, (.) varsayımıı, C ([,], H ) uzayıı orm taımıı, (.3) ve (.5) estirimlerii ullaara, H T H H B e B H H i i λ λ ( sλ ) A e H H f ( s) f ( ) ds M ( ) f H C ([,], H ) δ elde ederiz. i ormuu estirimii bulalım. Üçge eşitsizliğii, C, ([,], H ), uzayıı orm taımıı ve (.3), (.6) estirimlerii ullaara, H BT H H e s B H H g s g H ds M ( δ ) ( s) ds g M ( δ ) g C, ([,], H ) C, ([,], H ) Ayı şeilde 3 H BT H H e s B H H g s g H ds

48 M ( δ ) s ds g M ( δ ) g 3 3 C, ([,], H ) C, ([,], H ) gösterebiliriz. Şimdi 4 ü ormuu estirimii bulacağız. Üçge eşitsizliğii, (.3) ve (.5) estirimlerii ullaara, T e Aφ M ( δ ) Aφ B 4 H H H H H H 4 H elde ederiz. i ormuu estirimii bulalım. Üçge eşitsizliğii, C ([,], H ), 5 uzayıı orm taımıı, (.3) ve (.6) estirimlerii ullaara, 5 H e B H H BT H H e sb H H g s g H ds M ( δ ) s ds g M ( δ ) g 5 5 C, ([,], H ) C,([,], H ) buluruz. Üçge eşitsizliğii, (.) varsayımıı, C ([,], H ) uzayıı orm taımıı, (.3) ve (.5) estirimlerii ullaara, 6 H T H H e B H H i e ia H H f i H i M ( δ ) max f ( t) M ( δ ) f 6 6 t H C ([,], H ) elde ederiz.

49 Üçge eşitsizliğii, C ([,], H ), uzayıı orm taımıı, (.3) ve (.5) estirimlerii ullaara, 7 H T H H e B H H e B H H g H M 7 max g t H M 7 g C, t,,h. Bezer şeilde, 8 T I e 3B e B e B g, 8 H T H H e 3B H H e B H H e B H H g H M ( δ ) max g( t) M ( δ ) g 8 8 t H C, ([,], H ) olduğuu gösterebiliriz. So olara, C ([,], H ) uzayıı orm taımıı, (.3) ve (.6) estirimlerii ullaara, BT e f B 9 H H ( H H ) () H + H M ( δ ) max f ( t) M ( δ ) f ( t) 9 9 t H C ([,], H ) elde ederiz. Böylece, =,,...,9 içi ormlarıı estirimleri bir araya getirere (.) i elde ederiz. Đici olara, (.) i elde ederiz. (.) i ormuu estirimii oluşturma içi K, K ve K 3 ü orm estirimlerii ayrı ayrı bulalım. Üçge eşitsizliğii, (.) varsayımıı, (.3) ve (.9) estirimlerii ullaara,

5 K H i e ia H H Au H i Au M ( δ ) g + f + Aϕ H C,([,], H ) C ([,], H ) H elde ederiz. Şimdi K i ormuu esaplayacağız. Üçge eşitsizliğii, (.) varsayımıı, (.3) ve (.5) estirimlerii ve C ([,], H ) uzayıı orm taımıı ullaara, K H i i i Ae ia H H f s f i H ds ( s λi ) ds M ( δ ) ( δ ) C ([,], H ) C ([,], H ) ( s λ )( ) ( ) i s λ M f f buluruz. So olara, Üçge eşitsizliğii, (.) varsayımıı, (.3) estirimii ve C ([,], H ) uzayıı orm taımıı ullaara, 3 λi A i H H ( i ) H λ + ϕ H H i= K I e f A M ( δ ) max f ( λ ) + A ϕ M ( δ ) f + A ϕ 3 i H 3 H C ([,], H ) H i elde ederiz. Böylece K, K ve K 3 ü orm estirimlerii birleştirere (.) yi elde ederiz. Bu souç Teorem. i ispatıı souçladırır.

5.. Uygulamalar Teorem. i uygulamalarıı ele alalım. Đl olara, ço boyutlu elipti-paraboli delem içi loal olmaya sıır değer problemi utt ( a( x) ux) x + δu = g( t, x), < t <, < x <, ut + ( a( x) ux) x δu = f ( t, x), < t <, < x <, u( t,) = u( t,), ux( t,) = ux( t,), t, u(, x) = iu( λi, x) + ϕ( x), i, i= i= λ < λ < < λi < < λ, x, u( +, x) = u(, x), ut ( +, x) = ut (, x), x (.3) ele alımıştır. Eğer a( x) a > ( x (,)), g( t, x)( t [,], x [,]), f ( t, x)( t [,], x [,]) fosiyoları taım ümeleride düzgü (smoot) ve δ = sabit > ise, bu durumda (.3) problemii çözümü vardır ve tetir. [,] de taımlı aresi itegralleebilir fosiyoları L [,] Hilbert uzayı ile ve sırasıyla / = W [,] L [,] + x dx ϕ ϕ ϕ ve / / ϕ = ϕ + ϕ W [,] L [,] x dx + ϕxx dx ormlarıa saip W [,] ve W [,] Hilbert uzaylarıı taımlayalım. Bu bizim (.3) arma problemii self-adjoit pozitif taımla A operatörü ile H = L [,] Hilbert uzayıda loal

5 olmaya sıır değer problemi (.) e döüştürmemizi sağlar. Teorem.. Loal olmaya sıır değer (.3) problemii çözümü içi aşağıdai u tt C,,,L, u t C,,L, u C,,,W, M g C,,,L, f C,,L, M W, oersiv eşitsizliği sağlaır. Burada, M ( δ ) atsayısı f ( t, x ), g( t, x ) ve ϕ ( x) 'de bağımsızdır. Teorem.'i ispatı, soyut Teorem. ve (.3) problemii tarafıda oluşturula uzay operatörüü simetri özellilerie dayamatadır. Đici olara, -boyutlu R Ölid uzayıda, ( x, ) Ω = < < bir açı üme ve S bu ümei sıırı olsu öyle i Ω = Ω S 'dir. [,] Ω ümeside, ço boyutlu elipti-paraboli delem içi arma sıır değer problemi utt ( ar ( x) ux ) (, ),,, r xr = g t x < t < x Ω r= ut + ( ar ( x) ux ) (, ),,, r x = f t x < t < x Ω r r= u( t, x) =, x S, t, u(, x) = iu( λi, x) + ϕ( x), i, i= i= λ < λ < < λ, u( +, x) = u(, x), ut ( +, x) = ut (, x), x Ω (.4) ele alımıştır. Burada ar ( x ) ( x Ω ), g( t, x ) ( t (,), x Ω ), ve f ( t, x ) ( t (,), x Ω )

fosiyoları taım ümeleride düzgü (smoot) ve a ( x) a > dır. 53 r Ω de taımlı bütü aresi itegralleebilir ve L x dx dx x ormua saip fosiyoları L ( ) Ω Hilbert uzaylarıı ve sırasıyla ϕ = ϕ + ϕ W ( ) L ( ) x dx dx Ω Ω r r= x Ω ve = + W ( ) L x dx dx r + dx dx Ω r= r= xr xr x Ω x Ω ϕ ϕ ϕ ϕ ormlarıa saip W ( Ω), W ( Ω ) Hilbert uzaylarıı taımlayalım. Eğer a ( x ), g( t, x ) ve f ( t, x ) fosiyoları taım ümeleride yeterice düzgü ise, bu durumda (.4) problemii çözümü vardır ve tetir. Buu içi, (.4) problemi, H Hilbert uzayıda ( H = L ( Ω ) ) self-adjoit pozitif taımlı A operatörlü (.) loal olmaya sıır değer problemie döüştürülebilir. r Teorem.3. Loal olmaya sıır değer (.4) problemii çözümü içi aşağıdai u tt C,,,L u t C,,L u C,,,W M ( δ ) g + f + M ( δ ) ϕ Ω ( ) C, ([,], L ( Ω)) C ([,], L ( Ω)) W ( ) oersiv eşitsizliği sağlaır. Burada M ( δ ) atsayısı f ( t, x ), g( t, x ) ve ϕ ( x) 'de bağımsızdır.

54 Teorem.3 ü ispatı, soyut Teorem., (.4) problemi tarafıda oluşturula uzay operatörüü simetri özellilerie ve aşağıdai L ( ) Ω uzayıda elipti diferesiyel problemii çözümü içi oersiv eşitsizliği alıa teoreme dayamatadır. Teorem.4. Elipti diferesiyel problemii a r x u xr x r r x, x, u x, x S çözümü içi aşağıdai r= ux x M ω Ω r r L ( Ω) L ( ) oersiv estirimi sağlaır [Sobolevsii, 975].

55 3. BĐRĐNCĐ BASAMAKTAN DOĞRULUKLU FARK ŞEMASI 3.. Far Şeması Bu bölümde, (.) sıır değer problemii yaı çözümü içi bu probleme arşılı gele ( ) u + u + u + Au = g, g = g ( t ), t =, N, ( u u ) Au = f, f = f ( t ), t = ( ), N, ( ) un = iu λ + ϕ, u u [ i i= ] = u u (3.) birici basamata doğrululu far şeması (.) varsayım oşulu altıda icelemiştir. Bilidiği gibi, H Hilbert uzayıda self-adjoit pozitif taımlı A diferesiyel operatörlü loal olmaya sıır değer problemii bir değişeli disritizasyo (discretizatio) far şemalarıı araştırma deme, taımlı H Hilbert uzaylarıda 'ye ( ) < göre düzgü self-adjoit pozitif A far operatörlü ço değişeli disritizasyo far şemalarıı araştırma demetir. Dolayısıyla bu çalışmada sadece bir değişeli disritizasyo far şemaları icelemetedir. B = A + A + A operatörüü self-adjoit pozitif taımlı olduğu gayet iyi bilidiği ( (4 )) üzere H uzayıda taımlaa operatörüdür. R ( I B) = + operatörü sıırlı bir operatördür. Burada I birim Öcelile gere duyulaca yardımcı teoremleri verelim. Yardımcı Teorem 3.. Aşağıdai estirimler [Sobolevsii, 977]

56 A M ( δ ) P H H ( + δ ), AP H H, P e, H H R H H ( + δ ), BR H H, N A M ( δ ) ( I R ) H H M ( δ ), R e,, δ >, H H (3.) self-adjoit pozitif taımlı A operatörü olduğu zama sağlaır. Burada, M ( δ ) atsayısı 'da bağımsızdır ve M ( δ ) >, P P A I A = ( ) = ( + ), yeterice üçü pozitif bir sayıdır. Yardımcı Teorem 3.. (.) varsayımı sağlası. Yeterice üçü pozitif bir sayısı içi I I A I A R N B A I A I R N I B I A R N i P i i operatörüü tersi vardır ve ( ) N ( ) ( N ) T = ( I + ( I + A) I + A R + B A I + A I R (3.3) I B I A R N i P i i aşağıdai T H H M ( δ ), (3.4) BRPT H H M ( δ ) (3.5) estirimler sağlaır. Burada, M ( δ ) 'da bağımsızdır. Đspat. Self-adjoit pozitif taımlı A operatörü içi,

57 B A I A I R N ve ( )( ) N ( )( ) [ i N ] i i= I I A I A R I B I A R P λ + + + + + eşitsizlileri sağlaır. Böylece, V I I A I A R N I B I A R N i P i i ve ( ( ) ( )) N S = B A I + A I R olduğu zama T V H H H H (3.6) ve BRPT BRPS H H H H (3.7) estirimleri elde edilir. B i taımıyla, N ( ) ( )( ) BRPS = I + A I + A I R elde edilir. (3.7) eşitsizliği ullaara, N ( ) ( ) ( ) BRPS H H I + A I + A H H I R H H M ( δ ) buluur. Burada ve (3.7) estirimide (3.5) estirimi elde edilir.

58 Y V = YV ( Z Z) (3.8) delemii (3.4) estirimii ispatı içi ifade edelim. Burada Z I I A I A R N I B I A R N i P i, i A ( A i A) λ i i= Z = I + e e olara taımlamıştır. Üçge eşitsizliğii uygulayara Z Z H H I I A I A R N I B I A R N i P i i I e A i e A i A i H H I A I A R N e A H H λ [ i ] i i= i= H H ( A λ ) i A N i ( ) + e ( I + B) I + A R P = I + I elde ederiz. Burada

59 I I A I A R N e A H H ve [ i ] ( A λ ) i A N i ( ) I e ( I B) I A R P λ = + + i i= i= H H olur. Öcelile I ve I i ormlarıı estirimlerii bulalım. (3.) estirimii ve (.) varsayımıı uyguladığımızda, I I A I A R N e A H H I A I A I R N I B R N e A H H I A I A I A R N R N BR N e A H H I A B R N H H BRN H H R N e A H H M N N M N M, I I B I A R N i P i i i i e A ia H H

6 i I B I A R N P i e A i A i H H i R N P i i I B I A I i i R N P i e A i A H H i i R N P i I B I A I H H i R N e A i P i P i e ia e A H H i BR N H H i P i H H I A H H B R N H H P i H H R I A H H i R N e A i H H P i H H λ [ i ] λi A + P e e A M ( δ ) olur. H H H H I ve I i ormlarıı estirimlerii birleştirdiğimizde

6 Z Z M ( δ ) (3.9) H H elde ederiz. (3.8) ve (3.9) uyguladığıda, V H H Y H H Y H H V H H Z Z H H M ( δ ) + M ( δ ) V H H buluur. Sorasıda, burada ve (3.6) da T H H M ( δ ) soucua ulaşırız ve bu souç Yardımcı Teorem 3. i ispatıı tamamlar. Yardımcı Teorem 3.3. Heragi bir g, N ve f, N + taımlamış fosiyolar içi problem (3.)'i çözümü vardır ve aşağıdai formüller sağlaır: u = I R R R u { N N ( ) (3.) R N R N i i P i u s i P s i f s N R N R N I B I B B R N s R N s g s s N I B I B B R s R s g s, N, s

6 s u = P u P f, N, (3.) s= + s ( ) ( ) { N u = T I + A ( I + A) + B R (3.) i i s i P s i N f s R N B R N s R N s g s s ( ) ( ). N N s N + I R B R gs I R ( I + B) B Pf s= Burada T I I A I A R N B A I A I R N N + ( + ) [ i ] i i= ( I B) I A R P λ ) olara taımlamıştır. Đspat. [Sobolevsii, 977] ile { u = I R R R + R R N N N N + ( ) ξ ψ (3.3) N R N R N I B I B B R N s R N s g s s N I B I B B R s R s g s, N s aşağıdai sıır değer

63 ( ) u+ u + u + Au = g, g = g ( t ), t =, N, u = ξ, un = ψ (3.4) problemii çözümü olup ve s u = P ξ P f, N (3.5) s= + s eşitliği ise aşağıdai ters ( ) u u Au = f f = f t, ( ), t = ( ), ( N ), u = ξ (3.6) Caucy problemii çözümüdür. (3.3), (3.5) ve ψ = u + ϕ, ξ = u, (3.7) i= i λ [ i ] formülleri ullaılara (3.) ve (3.) elde edilir. u içi, (3.), (3.) ve u u = u u formülüü ullaara, aşağıdai operatör delemi I R N R R N u R N R N

64 i i P i u s i P s i f s N R N R N I B I B B R N s R N s g s s N s + s + ( I + B)( I + B) B R R gs = u Pu + Pf s= elde edilir. Yardımcı Teorem 3. ile I I A I A R N B A I A I R N I B I A R N i P i i operatörüü tersi T I I A I A R N B A I A I R N N + ( + ) [ i ] i i= ( I B) I A R P λ ) vardır. Böylece aşağıdai formülümüz u T I A I A I B R N i i s i P s i f s

65 N R N B R N s R N s g s s N N s N + ( I R ) B R gs ( I R )( I + B) B Pf s= sağlaır ve bu souç ile Yardımcı Teorem 3.3. ü ispatı tamamlaır. F H F a,b,h, a,b t,n a N b,n a a,n b b de taımlı H- değerli { } N b ϕ = ϕ ağ fosiyolarıı lieer uzayı olsu. F ( H ) üzeride ullaacağımız C([ a, b], H ) C N a,, ([,], H ), C, ormları aşağıdai şeildedir: ([,], H ), ve C ([,], H ) ( < < ) Baac uzaylarıı C a,b,h max N a N b H, C,,,H C,,H sup N r r E r sup r N r E r N r, C,,H C,,H sup N r r E r, ( ) ( + r) ( N ) ϕ = ϕ ([,], ) sup. C, ([,], H ) C H + ϕ + r ϕ E < + r N r Loal olmaya sıır değer problemi (3.), M ( δ ) f, g, ϕ, ve da bağımsız olma üzere u F ([,], H ) M ( δ ) f F ([,], H ) g F ([,], H ) ϕ H, + +

66 eşitsizliği sağlaıyorsa F([,], H ) de ararlıdır deir. Teorem 3.. Loal olmaya (3.) sıır değer problemi C([,], H ) ormuda ararlıdır. Đspat. [Sobolevsii, 977] ile (3.6) ters Caucy problemii çözümü içi verile { } u M δ f C([,], H ) + u N C([,], H ) ( ) (3.8) H estirimide, (3.4) sıır değer problemii çözümü içi verile N { } δ ([,], ) u M ( ) g + u + u (3.9) H C H N C([,], H ) H estirimide ve (3.) sıır değer problemii çözümü içi elde edile u H M ( δ ) f C ([,], H ) + g C ([,], H ) + ϕ H, (3.) un H M ( δ ) f C ([,], H ) + g C ([,], H ) + ϕ H (3.) estirimleride Teorem 3. i ispatı elde edilmetedir. Şimdi, (3.) ve (3.) estirimlerii elde edelim. Đli, (3.) yi elde edelim. (3.) formülüü uygulayara, u K K, ve burada ( ) ( ) N K = T ( I + A) I + A I + B R (3.) i i s i P s i f s,

67 N N N s N + s K = T ( I + A) ( I + A) R B R R gs (3.3) s= N N s N + ( I R ) B R gs ( I R )( I + B) B Pf s= taımlamış olsu. u ı ormuu estirimii oluşturma içi K ve K i orm estirimlerii ayrı ayrı bulduğumuzda aşağıdai K H M ( δ ) φ H + f C ([,], H ), (3.4) ve K H M ( δ ) f C ([,], H ) + g C ([,], H ) (3.5) estirimleri elde ederiz. Üçge eşitsizliğii, (.) varsayımıı, (3.) ve (3.4) estirimlerii (3.) de uygulayara, K H T H H I A I A H H I B R N H H λ s[ i ] i P fs + ϕ M ( δ ) φ H H H + f C ([,], H ) i= λ H H i s= [ ] + (3.4) estirimii buluruz. Üçge eşitsizliğii, (.) varsayımıı, (3.) ve (3.4) estirimlerii (3.3) de uyguladığımızda, K H T H H I A I A H H i i

68 N R N H H B H H R N s H H s R N s H H g s H N R N H H B H H s R s H H g s H R N H H B H H P H H f H M ( δ ) f C ([,], H ) + g C ([,], H ) (3.5) estirimii buluruz. Burada K ve K i orm estirimlerii birleştirere (3.) yi elde ederiz. Đici olara, (3.) i elde edelim. u P u P f M M λ [ i λ ] s[ i ] N = i s + ϕ = + i= λi s= [ ] +, (3.6) M i P i u, i i i= λi s= [ ] + λ s[ i ] M = P f + ϕ s olara taımlası. Şimdi (3.6) ı ormuu estirimii oluşturma içi M ve M i orm estirimlerii ayrı ayrı bulalım. Üçge eşitsizliğii, (.) varsayımıı, (.3) ve (.9) estirimlerii ullaara,

69 M H i P i H H i u H M f C,,H g C,,H H estirimii elde ederiz. Şimdi M i ormuu esaplayacağız. Üçge eşitsizliğii, (.) varsayımıı, (3.) ve (3.) estirimlerii ve C,, H uzayıı orm taımıı ullaara, M H i i s i P s i H H f s H H M f C,,H H elde ederiz. Böylece M ve M i orm estirimlerii birleştirere (3.6) yı elde ederiz. Bu souç Teorem 3. i ispatıı souçladırır., de taımlı H-değerli süreli fosiyoları C([,], H ) uzayıda loal olmaya sıır değer problemi (3.) sıırlı olmaya geel A pozitif operatörü içi iyi oumlamış değildir ve o zama (3.) loal olmaya sıır değer far problemii iyi oumlamışlığı C([,], H ) ormuda > a bağlı olara düzgü olara ele alımaz. Bu da u K E u u u N C,,H u u N Au N C,,H N C,,H

7 + oersativ ormu a gittiçe a meyletmesi alamıa gelir. (3.) far problemii icelemesi bu ormu büyüme mertebesii olara elde edilmesie imâ verir. Teorem 3.. ϕ D( A) ve f D( I B) ve da bağımsız olma üzere + olsu. O zama (3.) far problemi M ( δ ) f, g,ϕ, u K E M A H I B f H + mi l, + l A H H f C([,], H ) g + C ([,], H ) eme eme oersiv eşitsizliğie saiptir Đspat. [Sobolevsii, 977] yi ullaara, ters Caucy far problemi (3.6) ı çözümü içi, { } u u N + C ([,], H ) + Au N C ([,], H ) { ( )} (3.7) M mi l, l A H H f C,,H Au H ve sıır değer problemi (3.4) ü çözümü içi N { } { ( u u + u )} + Au (3.8) N + C([,], H ) C ([,], H ) M mi l, l A H H g C,,H Au H Au N H yazılabilir. O zama, Teorem 3. i ispatı eme eme oersiv eşitsizlileri (3.7), (3.8), ve sıır değer problemi (3.) i çözümü içi var ola ( ) Au H M ( δ ) Aϕ H + I + B f H (3.9) mi l, l A H H f C,,H g C,,H, ( ) AuN H M ( δ ) Aϕ H + I + B f H (3.3)

7 mi l, l A H H f C,,H g C,,H eşitsizlilerie dayaır. Şimdi (3.9) ve (3.3) estirimlerii elde edelim. Öcelile, (3.9) u elde edelim. (3.) formülüü ullaırsa, Au = AK + AK (3.3) olup, burada λ [ i N s ] AK = T ( I + A) ( I + A) ( I + B) R i AP fs + ϕ (3.3) i= λi s= [ ] + ve ( ) AK = T ( I + A) I + A (3.33) N N N N s N + s N s N R R B R R gs + ( I R ) R gs ( I R ) BPf s= s= olara taımlaır. (3.3) i ormu içi AK ve AK i ormlarıı estirimii ayrı ayrı verelim. Bu amaçla, AK H M ( δ )[ Aϕ H + mi l,+ l A H H f C ([,], H ) (3.34) ve AK H M ( δ ) mi l,+ l A H H (3.35) f + g C ([,], H ) C ([,], H )

olduğuu gösterme yeterli olacatır. Đl öce [Asyralyev ve Sobolevsii, 994] de verile: 7 N s AP M ( δ ) mi l,+ l A H H (3.36) H H s= estirimi ele alalım. Bilidiği gibi N = ve N N N s ds AP M ( δ ) M ( δ ) M ( δ )l N s s H H s= s= olup, N s= AP s H H M ( δ )l (3.37) estirimi elde edilir. (3.) estirimii ullaara, burada da AP s M ( ) mi, A δ H H H H s olur. Eğer A H H N ise, N N A s H H ds AP M ( δ ) M ( δ ) M ( δ ) l A s s H H s= s= H H dir. Eğer A ise, o zama H H N s AP M ( δ ) A M ( δ ) A M ( δ ) H H s= s= N H H H H olur. So olara, eğer A H H N ise, N AP s H H M s N A H H s A H H N s N A H H s

73 ds M ( δ ) + M ( δ )( + l A ) A H H H H s dir. Dolayısıyla, üç durumda da N s AP M ( δ )( + l A H H ) (3.38) s= H H estirimi vardır. (3.37) ve (3.38) estirimleride (ve omoje far problemii üiform iyi oumlamışlığıda) (3.36) estirimii elde ederiz. Bezer şeilde, B pozitif taımlı self- adjoit operatörü içi N s BP M ( δ ) mi l,+ l B H H (3.39) H H s= olduğuu gösterebiliriz. (3.3) formülüü, üçge eşitsizliğii, (.) abulüü ve (3.), (3.4), ve (3.36) estirimlerii ullaara, (3.34) estirimii elde ederiz. AK H T H H I A I A H H I B R N H H i i s i AP s i H H f s H A H M A H mi l, l A H H f C,,H. (3.35) estirimii elde etme içi, N s BP M ( δ ) mi l,+ l A H H (3.4) H H s=

74 eşitsizliğii göstermemiz geremetedir. A = B R olduğuu biliyoruz. Burada, B = ( I + B) A = ( I + B) A A elde ederiz. O zama, üçge eşitsizliğii ullaara, B H H I B A H H A H H ve I B A H H A A 4 A A H H + λ + λ(4 + λ) 4 sup sup + + ( + ) δ λ< λ δ λ< λ λ 4 M elde edilir. Dolayısıyla, bu ii estirimi birleştirere B M ( δ ) A (3.4) H H H H elde edilir. (3.39) ve (3.4) estirimleride, (3.4) estirimi elde edilir. (3.35) i estirimi, (3.33) formülüde, üçge eşitsizliğide, (.) varsayımda ve (3.), (3.4), ve (3.4) estirimleride AK H T H H I A I A H H i i R N H H N BR N s H H BR N s H H g s H s

75 N R N H H s BR s H H g s H R N H H BR H H P H H f H M ( δ ) mi l, + l A H H f C ([,], H ) g + C ([,], H ) olara çıartılır. Dolayısıyla AK ve AK ormları içi elde edile estirimlerde, (3.9) olur. Đici olara, (3.3) u elde edelim. λ [ i ] = i i= AM AP u i i= λi s= [ ] +, λ s[ i ] s AM = AP f + ϕ olma üzere, Au AP u AP f A AM AM λ [ i λ ] s[ i ] N = i s + ϕ = + i= λi s= [ ] + (3.4) olduğuu biliyoruz. Şimdi, (3.4) içi estirim AM ve AM i ormuu estirimii ayrı ayrı iceleyere elde edilir. Üçge eşitsizliğii, (.) abulüü, (3.) estirimii ve (3.9) u ullaara, AM H i P i H H Au H Au H i M f + g + A ( δ ) C ([,], H ) C ([,], H ) ϕ H

76 elde edilir. Şimdi AM ormuu estirimii yapalım. Üçge eşitsizliği, (.) abulü, (3.) estirimi ve C, ([,], H ) uzaylarıda ormu taımıı ullaırsa, AM H i i s i AP s i H H f s H A H M δ + A f + Aϕ ( ) mi l, l H H C ([,], H ) H olur. Dolayısıyla AM ve AM ormları içi verile estirimleri birleştirilere (3.4) elde edilir. Bu da Teorem 3. i ispatıı tamamlar. Teorem 3.3. Teorem 3. i abulleri sağlası. O zama (3.) sıır değer problemi C, ([,], H ) Hölder uzayıda iyi oumlamıştır ve M ( δ ) f, g, ϕ, ve da bağımsız olma üzere u u u N Au N C,,,H N C,,,H u u N M A C,,H H I B f H M ( δ + f + g C ([,], H ) C, ([,], H ) ( ) oersiv eşitsizliği sağlaır. Đspat. [Sobolevsii,977] ile ters Caucy far problemi (3.6) ı çözümü içi { } u u N + + Au C ([,], H ) N { ( )} (3.43) C ([,], H )

77 M f C,,H Au H ve sıır değer problemi (3.4) ü çözümü içi, { } N N u + u + u + Au C, ([,], H ) C, ([,], H ) { ( )} (3.44) M g C,, Au,H H Au N H olur. O zama Teorem 3.3 ü ispatı (3.43), (3.44) oersiv eşitsizlilerie ve sıır değer problemi (3.) i çözümüü ( ) Au M ( δ ) A ϕ I B f H (3.45) H + + H f C,,H g C,,,H, ( ) Au N M ( δ ) A φ I B f H (3.46) H + + H M ( δ ) + f + g C ([,], H ) C, ([,], H ) ( ) estirimlerie dayaır. Şimdi, (3.9) ve (3.) estirimlerii elde edelim. (3.), (3.) ve (3.) yi uygularsa, ( ) Au = T I + A ( I + A) (3.47) I B R N i i s i AP s i f s f N A

78 N R N AB BR N s g s g N s N R N AB BR N s g g s s N I R N AB BR s g s g s T I A I A B R N i P i I f N i R N AB I R N g N R N R N g I R N AB I R N g I R N I B B APf = + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 olur. Burada, T I A I A I B R N i i s i AP s i f s f i,

79 T I A I A I B R N i A, i N 3 T I A I A R N AB BR N s g s g N, s N 4 T I A I A R N AB BR N s g g s, s N 5 T I A I A I R N AB BR s g s g, s 6 T I A I A B R N i P i I f i, i 7 T I A I A R N AB I R N g N, 8 T I A I A AB R N R N R N I R N I R N g, { } N ( ) ( ) ( )( ) 9 = + + + T I A I A I R I B B APf olara taımlaır. ( λi ) λ [ i λ ] s[ i ] N = i i s [ ] i= i= λi s= [ ] + Au P Au AP f f (3.48)

8 i i I P i f i A X X X 3, olup, burada ise X i P i Au, i X i i s i λ [ i ] ( ) X = P I f + Aϕ 3 i λ [ i ] i= AP s i f s f i, olara taımlaır. Đl öce, (3.45) i elde edelim. =,,,9 içi i ormlarıı estirimlerii ayrı ayrı elde edere, (3.47) içi estirimi gösterelim. Üçge eşitsizliğide, (.) abulüde, C, ([,], H ) uzayıda ormu taımıda ve (3.) ve (3.4) estirimleride, H T H H I A I A H H A I B R N H H i= λ s[ i ] i H H s λi s= [ ] + P f f M ( δ ) f λ [ i ] H C, ([,], H ) olur. Şimdi ormuu estirimii verelim. Üçge eşitsizliği, (.) varsayım oşulu ve (3.) ve (3.4) estirimleride, H T H H I A I A H H

8 I + B R Aφ M ( δ ) Aϕ N ( ) H H i H H i= elde edilir. Şimdi 3 ü ormuu estirimie baalım. Üçge eşitsizliği, (3.) ve (3.5) estirimleri ve C,,H uzayıda ormu taımıda, 3 H BPRT H H I A R N H H N N s R g g M ( δ ) g s= H H s N H 3 C, ([,], H ) olur. Bezer şeilde, 4 H BPRT H H I A R N H H N N + s R g g M ( δ ) g s= H H s H 4 C,([,], H ) olduğuu gösterebiliriz. Şimdi 5 i ormuu estirimii icelerse, üçge eşitsizliği, (3.) ve (3.4) ve C ([,], H ), uzayıda ormu taımıda, 5 H BPRT H H I A I R N R N H H N s= s R H H gs g M 5( ) g H C, ([,], H ) δ eşitsizliği çıartılır. Üçge eşitsizliği, (.) abulü, C, ([,], H ) uzayıda ormu taımı, (3.) ve (3.5) i ullaara, 6 H T H H I A B I A R N H H

i= [ ( ) λ i ] [ i P I H H f M 6( δ ) f λi ] H 8 C, ([,], H ) elde edilir. Üçge eşitsizliği, C ([,], H ), uzayıda ormu taımı, (3.) ve (3.4) te 7 H T H H I A I A H H R N H H R N H H g N H M ( δ ) max g M ( δ ) g 7 7 N H C, ([,], H ) olur. Bezer tarzda, 8 H T H H I A I A R H H R N 3 H H R N H H R N H H R N H H g H M ( δ ) max g M ( δ ) g 8 8 N H C, ([,], H ) olduğuu gösterebiliriz. So olara, üçge eşitsizliği, (3.) ve (3.5) estirimi, C, ([,], H ) uzayıda ormu taımıda 9 H BPRT H H I A I A H H R N H H B H H f H

83 M ( δ ) max f ( t) M ( δ ) f 9 9 t H C, ([,], H ) eşitsizlileri çıartılır. Dolayısıyla,, =,,,9, içi elde edile estirimleri birleştirere, (3.45) elde edilir. Đici olara, (3.46) elde edelim. Şimdi X, X ve X 3 ü ormlarıı ayrı ayrı elde edere, (3.48) i ormuu estirimii verelim. Üçge eşitsizliği, (.) abulü ve (3.4), (3.45) estirimleride, X H i P i H H Au H Au H i M( δ ) g + f + Aϕ C, ([,], H ) C, ([,], H ) H olur. Şimdi, X i ormuu estirimii verelim. Üçge eşitsizliği, (.) abulü ve (3.4) estirimide, X H i i s i AP s i H H f s f i H λi s= [ ] + i (( s [ ]) ) ( ) f M ( δ ) s C, ([,], H ) ( ) C, ([,], H ) λ f elde edilir. So olara, üçge eşitsizliği, (.) abulü, (.3) estirimi ve C, ([,], H ) uzayıda ormu taımıda, λ [ i ] 3 H i H H λ [ i ] = H X P I f + Aϕ H

84 M ( δ ) max f + Aϕ M ( δ ) f + Aϕ 3 3 H H C,([,], H ) H N + olur. Dolayısıyla X, X ve X 3 ormları içi estirimleri birleştirilere (3.46) elde edilir. Bu da Teorem 3.3 ü ispatıı tamamlar. 3.. Uygulamalar Đl olara, ço boyutlu elipti-paraboli delem içi, (.4) loal olmaya sıır değer problemi ele alıacatır. Burada (.4) problemii disritizasyou ii adımda iceleir. Birici adımda öce, Ω = { x = xm = ( m,, m ), m = ( m,, m ), m r N r, r N r, r,,, Ω = Ω, Ω S = Ω S ağ uzayı taımlaır. Daa sora da, (.4) problemi tarafıda oluşturula A diferesiyel operatörü yerie x x r r= A u = a ( x) u (3.49) xr xr, mr formülüyle taımlaa loal olmaya sıır değer problemi x A far operatörü alıır. Burada x A far operatörüü yardımıyla (.4)

85 d u ( t, x) x + A u ( t, x) = g ( t, x), < t <, x Ω, dt du ( t, x) x dt A u ( t, x) = f ( t, x), < t <, x Ω, u (, x) (, ) ( ),, = iu λi x + ϕ x i x Ω, i= i= du ( +, x) du (, x) u ( +, x) = u (, x), =, x Ω dt dt (3.5) adi diferesiyel delem sistemie döüştürülür. Đici adımda ise, (3.5) problemi içi (3.) far şeması ullaılara, ( ) ( ) u+ ( x) u ( x) + u ( x) x + A u x = g ( x), g ( x) = g ( t, x), t =, N, N =, x Ω, A u x f ( x), u ( x) u ( x) x = ( ) u ( x) = u ( x) ( x), x λ + ϕ Ω, f ( x) = f ( t, x), t =, N +, x Ω, N i [ i ] i= u ( x) u ( x) = u ( x) u( x), x Ω. (3.5) birici basamata doğrululu far şemasıı [Sobolevsii, 977] elde ederiz. Souçlarımızı formüle edebilme içi, L ( ), = L Ω W ( ), = W Ω W ( ) = W Ω uzaylarıı taıtalım. Bu uzaylar sırasıyla, Ω da taımlı ϕ L ( Ω ) / = ϕ ( x), x Ω

86 φ = φ + ( ) φ W x r L r = x Ω / ve / / = + ( ) ( ) W r, L x + x r xr m r= r = r x Ω x Ω ϕ ϕ ϕ ϕ ormlarıa saip ϕ ( x) = { ϕ( m,, m )} ağ fosiyolarıı uzaylarıdır. Teorem 3.4. Eğer ve = + + yeterice üçü pozitif sayılar ise, bu durumda (3.5) far şemasıı çözümü içi aşağıdai u N N C,,L M f N g C,,L N C,,L L, u u u N C,,L u u N u C,,L N N C,,W M ( δ ) ϕ f l + + f + g { } { } N W ([,], ) ([,], ) C L C L W N + + ararlılı ve eme eme oersiv estirimleri sağlaır. Burada, M ( δ ) atsayısı,, f ( x), N +, g ( x), N ve ϕ ( x) 'de bağımsızdır. Teorem 3.4'ü ispatı, soyut Teorem 3.,Teorem 3., (3.49) formülü ile taımlaa x A far

87 operatörüü simetri özellilerie, aşağıdai içi oersiv eşitsizliği elde edile teoreme ve L uzayıdai elipti far problemii çözümü x mi l,+ l A L l (3.5) L M + estirime dayamatadır. Teorem 3.5. Elipti far problemii x A u ( x) = ω ( x), x Ω, (3.53) u x,x S çözümü içi r= ( u ) M ω L xr xr, mr L oersiv eşitsizliği sağlaır [Sobolevsii, 975]. Teorem 3.6. Eğer ve yeterice üçü pozitif sayılar ise, bu durumda (3.5) far şemasıı çözümü içi aşağıdai u u u N C,,,L u u N u C,,L N N C,,,W M ( δ ) ϕ f + + { f } + { g } ( ) N W C ([,], L ) C, ([,], L ) W N + oersiv ararlılı estirimi sağlaır. Burada, M ( δ ) atsayısı,, f ( x), N +

88 g ( x), N ve ϕ ( x) 'de bağımsızdır. Teorem 3.6'ı ispatı, soyut Teorem 3.3, (3.49) formülü ile taımlaa simetri özellilerie ve eşitsizliğie ve Teorem 3.5'e dayamatadır. Sıır değer problemi x A far operatörüü L uzayıdai (3.53) elipti far problemii çözümü içi oersiv (.3) ü yalaşı çözümleri içi bir değişee bağlı olara birici basamata doğrululu far şemaları ayı şeilde oluşturulabiliir. Yuarıda verile soyut teoremleri far şemaları çözümleri içi ararlılı estirimleri, eme eme ararlılı estirimleri ve oersiv ararlılı estirimlerii elde etmemize izi verir.

89 4. ĐKĐNCĐ BASAMAKTAN DOĞRULUKLU FARK ŞEMASI 4.. Far Şeması Bu bölümde, (.) varsayım oşulu altıda (.) sıır değer problemii yalaşı çözümü içi Cra-Nicolso far şeması ullaılara ( ) u + u + u + Au = g, g = g ( t ), t =, N, N =, ( u u ) ( Au + Au ) = f, f = f ( t ), t = ( ), ( N ), u = u + λ [ ] f + Au + ϕ, λi ( λ [ i ] ( )( λ [ i λ ] [ i ] )) N i i = u 4u + 3u = 3u + 4u u ( 4.) iici basamata doğrululu far şemasıı elde edilmiştir. Far şeması (4.) i Hölder uzaylarıda iyi oumlamışlığı sağlamıştır. Bir uygulama olara, elipti- paraboli delemleri far şemalarıı çözümü içi oersiv eşitsizlileri elde edilir. Aşağıdai operatörler P I A G, G I A, R I B, ve T I B A I A G K I R N

9 K I A G R N K I A G I B [ i N λi ] ( I B) R i I i [ ] A P λ + + λ i= vardır ve self-adjoit pozitif operatör A içi sıırlıdır. Burada 5 = + + = + + 4 ( ) B ( A A(4 A)) ve K I A A olara taımlamışlardır. Öcelile bu bölümde gere duyulaca yardımcı teoremleri verelim. Yardımcı Teorem 4.. Heragi bir g, N ve f, N + taımlamış fosiyolar içi problem (4.)'i çözümü vardır ve aşağıdai formüller sağlaır: { u = I R R R u + R R N ( ) N N N + (4.) i i I i i A P i u s i P s i Gf s i i f i N R N R N I B I B B R N s R N s g s s

9 N I B I B B R s R s g s, N, s s u P u P Gfs N s= + =,, (4.3) { ( ){( ) N u = T KG I A + B R (4.4) i i I i i A s i P s i Gf s i i f i N N R N B R N s R N s g s I R N B R s g s s s I R N I B B g 4GB f PGB f GB f, T I B A I A G K I R N K I A G R N K I A G I B I B R N i i I i i i A P u.

9 Đspat. Heragi bir { } f N = ve ξ içi temel ters Caucy far problemi çözümü ( ) ( ) u u Au + Au = f ( N ), u = ξ, (4.5) vardır ve aşağıdai formül ullaılır [Sobolevsii, 974] : s u P ξ P Gfs N s= + =, (4.6) ξ = u yerleştirere elde ederiz. Şimdi, aşağıdai temel far problemii ele alabiliriz ( u + u + u ) + Au = g, g = g ( t ), t =, N, u = ξ, un = ψ. (4.7) (4.7) i çözümü içi [Sobolevsii, 977] aşağıdai formülü ullaıldığı iyi biliir. { u = I R R R + R R N N N N + ( ) ξ ψ (4.8) N R N R N I B I B B R N s R N s g s s N s + s + ( I + B)( I + B) B R R gs, N s= olur. (4.6) yı uygulayara ve ξ = u,

93 i u i i i f i Au i formüllerii (4.8) ye yerleştirere, (4.) yi elde ederiz. u içi (4.), (4.3) ve u 4u 3u 3u 4u u, oşuluu ullaara operatör delemii elde ederiz. I A I R N R R N u R N R N i i I i i A i P u s i P s i f s i i i i f i N R N R N I B I B B R N s R N s g s s N I B I B B R s R s g s s g G I 4 A 5 A u 4G f PG f G f. Operatör

94 I B A I A G K I R N K I A G R N K I A G I B I B R N i i I i i i A P bir ters T I B A I A G K I R N K I A G R N K I A G I B [ i N λi ] ( I B) R i I i [ ] A P λ + + λ i= operatöre saiptir. Böylece u T KG I A B R N i i I i i A s i P s i Gf s i i f i

95 N N R N B R N s R N s g s I R N B R s g s s s ( )} N + ( I R )( I + B) B g 4GB f + PGB f + GB f elde ederiz. Bu souç yardımcı Teorem 4. i ispatıı souçladırır. Bu bölümde, (4.) i iyi oumlamışlığıı çalışıyoruz. Öcelile P, R ve T içi gereli bazı estirimleri verelim. Yardımcı Teorem 4.. Aşağıdai [Sobolevsii, 974], [Sobolevsii, 977] ve [Asyralyev ve Sobolevsii, 98]: P H H, AP G H H M ( δ ), A M ( δ ) G H H, P e,,, H H δ > R M ( δ )( + δ ), BR M ( δ ), H H H H N A M ( δ ) ( I R ) H H M ( δ ), R e,, δ > H H (4.9) estirimleri bazı M ( δ ) içi sağlaır. Burada aşağıdai estirim N I + B A( I + A + G ) K ( I R ) (4.) K I A G R N K I A G I B R N P N

96 N λ λi [ ] ( I B) R [ ] i + i I + λi A P M ( δ ) i= H H elde edilir. Teorem 4.. Loal olmaya (4.) sıır değer problemi C([,], H ) ormuda ararlıdır. Đspat. [Sobolevsii, 977] ile sıır değer problemi (4.) i çözümü içi N { } ([,], ) u M g + u + u C H N C ([,], H ) H H (4.) olup, [Sobolevsii, 974] ile { } u M f ([,], ) + u N C H C ([,], H ) H (4.) elde ederiz O zama Teorem 4. i ispatı, (4.), (4.) ararlılı eşitsizlilerie sıır değer problemi (4.) çözümü içi u H M ( δ ) f C ([,], H ) + g C ([,], H ) + ϕ H, (4.3) un H M ( δ ) f C ([,], H ) + g C ([,], H ) + ϕ H (4.4) estirimlerie dayamatadır. Teorem 4.. ϕ D ( A) ve f, f, g D( I B) f, g, ϕ ve da bağımsız olma üzere + olsu. O zama (4.) far problemi M ( δ ) u u u N C,,H u u N C,,H

97 Au N C,,H Au Au N C,,H M mi l, l A H H f C,,H g C,,H ( ) ( ) ( ) + Aϕ H + I + B f H + I + B g H + I + B f H eme eme oersiv eşitsizliğie saiptir. Đyi oumlamışlı C, ([,], H ) de elde edilebilir. Đspat. [Asyralyev ve Sobolevsii, 98] ile ters Caucy far problemi (4.5) çözümü içi { ( u u )} N + C ([,], H ) + + Au + Au (4.5) ( ) N + C ([,], H ) M mi l, l A H H f C,,H Au H eşitsizliğie saibiz. [Sobolevsii, 977] ile sıır değer problemi (4.7) çözümü içi N { } { ( u u + u )} + Au (4.6) N + C([,], H ) C ([,], H ) elde ederiz. O zama, Teorem 4. i eme eme oersiv eşitsizlileri (4.5), (4.6) ve sıır değer problemi (4.) çözümü içi ( ) Au M ( δ ) Aϕ + I + B f H H H

98 mi l, l A H H f C,,H g C,,H, ( ) Au M ( δ ) Aϕ + I + B f H N H H mi l, l A H H f C,,H g C,,H estirimlerie dayamatadır. Bu estirimleri ispatı [Sobolevsii, 977] ve [Asyralyev ve Sobolevsii, 98] maalelerii şemasıı taip eder ve (4.4), (4.9) ve (4.) estirimlerie dayaır. Böylece, Teorem 4. i ispatı souçladırılır. Teorem 4.3. Teorem 4. i abulleri sağlası. O zama (4.) sıır değer problemi C,,,H, C,,,H Hölder uzaylarıda iyi oumlamıştır ve M ( δ ) f, g, ve da bağımsız olma üzere ϕ u u u N C,,,H u u N C,,H Au N C,,,H Au Au N C,,H M ( δ ) f g + + Aϕ C ([,], H ) C, ([,], H ) ( ) H I B f H I B g H I B f H, u u u N C,,,H

99 u u N C,,H Au N C,,,H Au Au N C,,H M ( ) ([,], ) C, ([,], H ) ( ) f g δ A + + ϕ C H H ( ) ( ) ( ) + I + B f H + I + B g H + I + B f H oersiv eşitsizlileri sağlaır. Đspat. [Asyralyev ve Sobolevsii, 98] ve [Asyralyev ve Sobolevsii, 98] ile Caucy far problem (4.5) çözümü içi { ( u u )} ( ) (4.7) N + + Au + Au C ([,], H ) N + C ([,], H ) M f C,,H Au H, { ( u u )} ( ) (4.8) N + + Au + Au C ([,], H ) N + C ([,], H ) M f C,,H Au H yazılabilir. [Sobolevsii, 977] ile sıır değer problemi (4.7) çözümü içi

{ } N N u+ u + u + Au C, ([,], H ) C, ([,], H ) { ( )} (4.9) M g C,, Au,H H Au N H elde ederiz O zama, Teorem 4.3 ü ispatı (4.7) - (4.9) oersiv eşitsizlilerie ve sıır değer problemi (4.) çözümü içi Au M ( ) (4.) H ([,], ) C, ( ) f g δ + C H ([,], H ) ( ) ( ) ( ) + Aϕ + I + B f + I + B g + I + B f H H H H, Au M ( ) (4.) N H ([,], ),([,], ) ( ) f g δ + C H C H ( ) ( ) ( ) + Aϕ H + I + B f H + I + B g H + I + B f H estirimlerie dayamatadır. Problem (4.) i çözümü ile (4.9) ve (4.) u estirimi içi ola λ ( ) ( ) N i Au = T KG I A + B R ( ) i I + λi [ ] A i= s i AP s i G f s f N i i i i Af i A

N R N AB s N R N s g s g N R N AB R N s g s g s N I R N AB R s g s g s I R N I B B Ag 4GB Af PGB Af GB Af I A B R N P N I f N AB R N I R N g N R N R N I g, Au N i i I i i A P i Au i i I i i A s i AP s i f s f i i I P N i i i A f i A formülleriyle (4.) ve (4.) estirimlerii elde ederiz. Bu souç Teorem 4.3 ü ispatıı soladırır.

4.. Uygulamalar Bu bölümde loal olmaya arma problemleri yalaşı çözümü içi far şemalarıı çözümleride ararlılı estirimleri, eme eme ararlılı estirimleri ve oersiv ararlılı estirimleri elde etme içi Teorem 4., Teorem 4. ve Teorem 4.3 uygulamalarıı göstereceğiz. Öcelile, ço boyutlu elipti paraboli delemi (.4) içi ço otalı arma sıır değer problemii yalaşı çözümüe bu soyut soucu uygulamaları ele alıacatır. Problem (3.5) içi far şeması (4.) far şeması ullaılara [Sobolevsii, 974], [Sobolevsii, 977]: ( ) u + ( x) u ( x) + u ( x) x + A u x = g ( x), g ( x) = g ( t, x), t =, N, N =, x Ω, u x x f ( x), ( ( ) ϕ ( )) x u ( x) u ( x) A + = f ( x) = f ( t, x), t = ( ), N +, x Ω, λi un ( x) = i u ( x) + ( λ [ ] x ) ( ) λ f + A u x = [ i λ ] [ i λ ] [ i ] + ϕ ( x), x Ω, u ( x) + 4 u ( x) 3 u ( x) = 3 u ( x) 4 u ( x) + u ( x), x Ω (4.) iici basamata doğrululu far şeması yazılır.

3 Teorem 4.4. Eğer ve = + + yeterice üçü pozitif sayılar ise, bu durumda (4.) far şemasıı çözümü içi aşağıdai u N N C,,L M f N C,,L g N C,,L L, u u u N u C,,L N u u N u u C,,L N C,,W C,,W M ( δ ) f + f + g + ϕ + f + f L L L W W W g l { } ([,], { } ) ([,], ) f g N + + W C L C L N + + + ararlılı ve eme eme oersiv estirimleri sağlaır. Burada M ( δ ) atsayısı,, f ( x), N + g ( x), N ve ϕ ( x) 'de bağımsızdır. Teorem 4.4'ü ispatı, soyut Teorem 4., Teorem 4., (3.49) formülü ile taımlaa x A far operatörüü simetri özellilerie ve L uzayıdai (3.53) elipti far problemii çözümü içi oersiv eşitsizliğie ve Teorem 3.5'e dayamatadır. Teorem 4.3 ü bir souç çıarmasıı verelim. Teorem 4.5. ve yeterice üçü pozitif sayılar olsu. O zama, far şeması (4.) çözümü u u u N C,,,L

4 u u N u C,,L N C,,,W u u N C,,W M ( δ ) ϕ + f + f + g W W W W + +, ( ) N { f } { g } N C ([,], L ) + C, ([,], L ) ( u + u + u ) { } N C, ([,], L ) u + u + N + C ([,], W ) u u N u C,,L N C,,,W M W f f W g W W N + { f } + { g } ([,], ) C, ([,], L ) ( ) N C L + oersiv ararlılı estirimleri sağlaır. Burada, M ( δ ) atsayısı,, f ( x), N + g ( x), N ve ϕ ( x) 'de bağımsızdır. Teorem 4.5'i ispatı, soyut Teorem 4.3, (3.49) formülü ile taımlaa simetri özellilerie ve eşitsizliğie ve Teorem 3.5'e dayamatadır. x A far operatörüü L uzayıdai (3.53) elipti far problemii çözümü içi oersiv

5 Sıır değer problemi (.3) ü yalaşı çözümleri içi bir değişee bağlı olara iici basamata doğrululu far şemaları ayı şeilde oluşturulabiliir. Yuarıda verile soyut teoremler far şemaları çözümleri içi ararlılı estirimleri, eme eme ararlılı estirimleri ve oersiv ararlılı estirimlerii elde etmemize izi verir.

6 5. SAYISAL SONUÇLAR Kararlılı eşitsizlileridei sabit sayılar içi esi bir estirim alıamamatadır. Bu yüzde, elipti-paraboli delem içi loal olmaya sıır değer problemii ( ) e ( ) u u u + (( ) ),, t x + x x = g t x t g ( t, x) = t si x + ( e + t)(cos x xsi x), < t, < x < π, u u u t + x (( + x) x ) = f ( t, x), t t f ( t, x) = ( e + t)si x + ( e + t)(cosx xsi x), < t <, < x < π, u (, x) = u (, x) + u (, x) + ϕ ( x), φ x = ( e e + )si x, x π, u ( t, ) = u ( t, π ) =, t 7 4 (5.) sayısal çözümleri verilecetir. Bu problemi tam çözümü u t,x e t t six. şelidedir.

7 Burada, loal olmaya (5.) sıır değer problemii yalaşı çözümleri içi, birici ve iici basamata doğrululu far şemaları ullaılacatır. Đici mertebede atsayıları matris ola ye göre far delemleri elde edilecetir. Bu far delemlerii çözme içi iyileştirilmiş Gauss elimiasyo yötemi ullaılacatır. Sayısal deemeleri soucu olara iici basamata doğrululu far şemasıı birici basamata doğrululu far şemasıa orala daa doğru olduğu gösterilecetir. 5.. Birici Basamata Doğrululu Far Şeması Elipti paraboli delem içi loal olmaya (5.) sıır değer problemii ele alacağız. (5.) problemii yalaşı çözümü içi },,,,, : ), {( ] [,,] [ π π = = = = = M M x N N N t x t ve üçü parametrelerie bağlı grid otalar ailesii ] [,,] [ π setii ele alalım. Öcelile (5.) ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = + + + O x u O x u x u x u x u x u x u formülleri uygulayara ve loal olmaya (5.) sıır değer problemii yalaşı çözümü içi birici basamata doğrululu (3.5) far şeması ullaara

8 N, M, + + = + u u + u ( + x )( u+ u + u ) u+ u + + = g( t, x ), u u ( + x )( u+ u + u ) u+ u N +, M, u u ( + x ) u + u + u u+ u + x =, M, f ( t, x ), + = ( + x )si x + cos x, N N N u = u + u + ϕ ( x ), x =, M, u = um =, N N. (5.3) delemler sistemii elde ederiz. Böylece, ( N ) ( M ) + + boyutlu doğrusal delem sistemi (5.3)'de matris formuda yazılabilece şeilde elde edilmiş olur.

9 Bu doğrusal delem sistemi düzeleere aşağıdai formda + x ( + x ) ( + ) + + ( ) + ( ) + ( ) + u u u u + u = g( t, x ), N, M, + x ( ) + x ( + x ) + x ( ) ( ) ( + u + u + u + ) u = f ( t, x ), N +, M, + x ( + x ) ( + ) u+ + ( ) u + ( ) ( ) u + u + x + ( ) u ( x )si x cos x, = + + x =, M, + N N N u u u = ϕ ( x ), x =, M, u = um =, N N. yazılabiliir. Birici aşamada, birici basamata doğrululu (3.5) far şeması uygulayara matris formuda AU + + BU + CU = Dϕ, M, U =, U M =, (5.4) delem sistemii elde ederiz.

Taımlamış ola A, B ve C A.. a.. a.............. a.. a.. a.............. a. a., B /. /.. b c... b c..................... b c... d e d... d e d.................... d e d.. f g c., ve

C.. r.. r.............. r.. r.. r.............. r. r., ( + ) (N + ) N matrisleri olup ve D ( + ) ( N + ) N birim matrisidir, ϕ, U s ise N U s N, U s U s for s, N U s N ( N + ) sütu vetörleri olup, ϕ da ϕ = ϕ ( x ), f ( t g( t, x ), ( + x = N,, x ), N +, N, )si x + cos x, = N

olara taımlamıştır. Burada,, ) (, ) (,,, ) (,, = + = + = = = + = + = + + = g x f x e d c x b x r x a olara ifade edilmiştir. Dolayısıyla, iici mertebede 'ye göre atsayıları matris ola (5.4) far delemi elde edilmiş olur. Bu far delemii çözme içi, matris delemii atsayılarıyla iyileştirilmiş Gauss elimiasyo yötemii uygularız. Bu tarz sistemi Samarsii ve Niolaev [Samarsii ve Niolaev, 989] tarafıda far delemleri içi ullaılmıştır. Böylece, matris delemi çözümüü = = + = + + +,,,,, M j j j j U M j U U β formuda elde ederiz. Burada j j,,m N N are matrisleri ve j j,,m ve N sütu matrisleri olup j B C j A, j B C j D j C j, olara taımlamıştır.

3 N N sıfır matrisi ve N sıfır matrisidir. Farlı N ve M değerleri verildiğide, (5.) problemii sayısal çözümlerii yuarıdai yötem ile bula bir Matlab program E ısmıda verilmiştir. 5.. Đici Basamata Doğrululu Far Şeması Đici olara, (5.) formüllerii uygulayara ve (5.) problemii yalaşı çözümleri içi iici basamata (4.) doğrulu far şemasıı ullaara aşağıdai delemler sistemii elde ederiz. u u u x u u u u u g t,x, t, x, N, M, u u x u u u u u 4 x u u u u u 4 f t, x, t, x, N, M, u 4u 3u 3u 4u u, x, M, u N u N u N x, x, M, u u M, N N. Đl ısımdaie bezer bir şeilde ( N ) ( M ) + + lieer delemler sistemie saibiz ve oları matris formuda yazacağız. (5.) problemii yalaşı çözümü içi bu sistemi

4 x u u x u u x u g t,x, N, M, x 4 u x 4 u x u x u x 4 u x 4 u f t, x, N, M, u 4u 6u 4u u, M, u N u N u N x, x, M, u u M, N N formuda terar yazabiliriz. Đici aşamada, matris formuda AU + + BU + CU = Dϕ, M, U =, U M =, (5.5) ( 5.5) lieer delemleri elde etme içi iici basamata (4.) doğrulu far şemasıı uygularız. Taımlamış ola A, B ve C

5 A.. v v.. v v.............. v v.. a.. a.............. a.., B /. /.. y z... y z...................... y z... d e d... d e d..................... d e d.. 4 6 4., ve

6 C.. w w.. w w............... w w.. r.. r............... r.., ( + ) ( N + ) N matrisleri olup, D ( + ) ( N + ) N birim matrisi ϕ, U s ise aşağıda gösterilmiş ola ( N + ) sütu vetörleridir. N U s N, U s U s for s,. N U s N

7 Burada, v x 4, w x 4, a x, r x, y x d, e, z x, x ile x, N, f t,x, N, g t,x, N,, N. olara ifade edilmiştir. Böylece iici mertebede 'ye göre atsayıları matris ola (5.5) far delemie saibiz. Bu far delemii çözme içi modifiye edilmiş Gauss elimiasyo metoduu sürecii ayı şeilde uyguladı. Farlı N ve M değerleri verildiğide, (5.) problemii sayısal çözümlerii yuarıdai yötem ile bula bir Matlab program E ısmıda verilmiştir.

8 5.3. Hata Aalizleri Elipti paraboli delem içi loal olmaya (5.) sıır değer problemii diate alalım. Loal olmaya (5.) sıır değer problemii yalaşı çözümü içi doğrulu far şemalarıı birici ve iici basamata doğrululu far şemaları ullaılmıştır ve N=M=3 içi aşağıdai şeillerde (5.) problemii gerçe ve yalaşı çözümleri verilmiştir. Şeil 5. Gerçe çözüm