Ax B y DIOPHANTINE DENKLEMİ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ m A B y DIOPHANTINE DENKLEMİ VE TERAİ KONJEKTÜRÜ ÜZERİNE Seli ÇENBERCİ DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KONYA 009

2 SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ m AX B y DIOPHANTINE DENKLEMİ VE TERAİ KONJEKTÜRÜ ÜZERİNE Seli ÇENBERCİ DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu tez 0/01/009 tarihide aşağıdai jüri tarafıda oy birliği / oy çoluğu ile abul edilmiştir. Prof. Dr. Hasa ŞENAY (DANIŞMAN) Prof. Dr. Durmuş BOZKURT (JÜRİ) Prof. Dr. Dursu TAŞCI (JÜRİ) Yrd. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR (JÜRİ) Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN (JÜRİ)

3 i ÖZET DOKTORA TEZİ m A B y DIOPHANTINE DENKLEMİ VE TERAİ KONJEKTÜRÜ ÜZERİNE Seli ÇENBERCİ Selçu Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dalı Daışma : Prof. Dr. Hasa ŞENAY 009, 87 Sayfa Jüri : Prof. Dr. Hasa ŞENAY Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Prof. Dr. Dursu TAŞCI Yrd. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN Bu çalışmada, Sayılar Teorisii e öemli problemleride biri ola, Diophatie delemlerii ve özel olara da m B y delemii tamsayı çözümlerii araştırdı. İl olara Diophatie delemlerii özel bir formu ola 4 a B y Diophatie delemii düşüdü ve m B y delemii tamsayı çözümlerii bulumasıa ilişi yei bir Tahmi verdi. Ve buda yararlaara, B ve y tamsayıları m q p q 1 p eşitliğii gerçeleye p ve q te asalları olma üzere, Diophatie Delemii te pozitif,, p 1,,4 olduğuu gösterdi. m çözümüü Aahtar Kelimeler: Diophatie Delemleri, Cebirsel Sayılar, Tahmi, Terai Tahmii

4 ii ABSTRACT Ph.D. THESIS ON THE m AX B y DIOPHANTINE EQUATION AND TERAİ CONJECTURE Seli ÇENBERCİ Selçu Uiversity Graduate School Of Natural Ad Applied Scieces Departmet Of Mathematics Supervisor : Prof. Dr. Hasa ŞENAY 009, 87 Pages Juries : Prof. Dr. Hasa ŞENAY Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Prof. Dr. Dursu TAŞCI Assist. Prof. Dr. Ahmet CİHANGİR Assist. Prof. Dr. Saadet ARSLAN I this study, we focus o the search of the iteger solutios of the Diophatie equatios ad especially the search of the iteger solutios of the equatio m B y, which is oe of the most importat problems of Number Theory. First, we thi a special form of the Diophatie equatio solutios of the equatio that odd primes p, q which satisfy the oly positive 4 a B y ad give a ew cojecture about iteger m B y. Ad the by usig this, B ad y are itegers such q 1 p, we show the equatio, m, itegral solutios m p,, 1,,4 m q p has Keywords: Diophatie equatios, Quadratic Fields, Cojecture, Terai Cojecture.

5 iii ÖNSÖZ Tam atsayılı ve birde fazla bilimeye apsaya cebirsel delemleri tamsayılı çözümlerii buluması Sayılar Teorisi i e güç problemleride biridir. Bu problemle ilgili çalışmalara ait il izler M.Ö. 000 li yıllara dayamatadır yılıda Fermat tarafıda verile Fermat ı so Teoremi diye bilie teoremi özel durumuu düşüe bilim adamları içi y z iici derecede üç bilimeyeli Diophatie delemii, hem geometri açıda, hem de tamsayılarla y z çözümlerii araştırılması ço ilgi görmüş olup bu ilgi Sierpisi yi delemii tamsayı çözümlerii, y, z,, olduğuu göstermesi problemie yöeltmiştir. W. Sierpisi de sora L. Jesmaowicz, N. Terai bu delem üzeride çalışmıştır. N. Terai i eğer a,b,c Pisagor üçlüsü yai pozitif tamsayılar ise, m, a,, a b c yi sağlaya m b c delemii te, m, tamsayı çözümü dir. şelide ifade edile ve Terai Tahmii olara bilie Tahmi üzeride Z. Cao, X. Dog, Maohua Le, S.A. Arif, Fadwa S. Abu Muriefah gibi birço bilim isaı, içide Pisagor üçlüsü bulua bu delemi a,b,c ye verile hagi değerler içi Terai Tahmiiü sağladığıı farlı metodlar ullaara, araştırmış ve hala da araştırmatadır. Üzeride yapıla çalışmalarla hala il güü öemii oruyara, üreteliğii her geçe gü bir ez daha aıtlaya Diophatie delemleriyle ilgili olara m A B y Delemi ve Terai Tahmii oulu tezimi hazırlamasıda bede her türlü yardım ve destelerii esirgemeye daışma Hocam Prof. Dr. Hasa Şeay a ve bei sabırla desteleye eşime teşeürlerimi suarım. Seli ÇENBERCİ ARALIK 008

6 iv İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... iv SEMBOLLER... v 1. GİRİŞ Amaç ve Kapsam Kaya Araştırması CEBİRSEL SAYILAR VE İDEAL TEORİ Cebirsel Sayılar İdeal Teori KUADRATİK CİSİM VE DİOPHANTİNE DENKLEMLERİ Kuadrati Cisim Diophatie Delemleri İici Derecede İi Bilimeyeli Delemler İici Dderecede Üç Bilimeyeli Delemler Üç ve DahaYüse Derecede Daha Yüse Dereceli ve İi Bilimeyeli Delemler Üç ve Daha Yüse Derecede Üç Bilimeyeli Cebirsel Delemlerle Bazı Üstel Delemler y d Mordell delemi TERAİ TAHMİNİ VE GENELLEŞTİRİLMESİ m q p DİOPHANTİNE DENKLEMİNİN UYGULAMALARI KAYNAKLAR... 71

7 v SEMBOLLER Masimal Böler t t t1 ( a, r, t olma üzere a r a r, a r) abc,, B r Jacobi Sembolü Delemi Çözüm Üçlüsü Beroulli sayısı

8 1 1. GİRİŞ M.Ö. 000 li yıllarda bile y z delemii gerçeleye,, y z sıralı tamsayı üçlüleride bazıları Babilli Matematiçiler tarafıda bilimeteydi. Bu delemler üzeridei il sistemati çalışmaları Diophatus ile (M.S.5) başladığıı biliyoruz. Bu yüzde bu delemlere İsederiyeli Matematiçi Diophatus u ismi verilmiştir. Diophatus u Mezopotamya Matematiğide geiş ölçüde etilemiş olduğuu söyleyebiliriz. Bu delemi sosuz tae çözümüü olduğu il olara Pisagor tarafıda ispatlamıştır yılıda Fermat, bilie ço ülü Tahmiiü vermiş ve bu Tahmii ispatlaması içi ço fazla sayıda matematiçi çalışmış, aca 1995 yılıda A. Wiles tarafıda 108 sayfalı bir maale halide tam olara çözüme avuşturulmuştur a a y a y a y c delemi üzeride değişi yötemler ullaılara tamsayılarda çözümlerii buluması üzeridei çalışmalar 1800 lü yıllarda A. Thue ile başlamış, E. Ladau ile devam etmiş ve literatürde görüleceği gibi güümüze adar gelmiştir. y z 1956 yılıda W.Sierpisi y z tamsayı çözümüü,,,, delemii te,, y z y z olduğuu gösterdi. W. Jesmaowicz de , y z y z y z 7 4 5, , delemlerii te pozitif tamsayı çözümlerii, y, z,, olduğuu gösterere buula ilgili eğer abc,, Pisagor üçlüsü yai y z a b c delemii te Tahmii verdi. a b c yi sağlaya pozitif tamsayalar ise, y, z tamsayı çözümü,,,, y z dir. şelide ifade edile 1993 yılıda da N. Terai, bu Tahmii bezeri ola ebob a, b, c 1 ve a çift olma üzere, eğer abc,, Pisagor üçlüsü yai a b c yi sağlaya pozitif tamsayılar ise m b c 3 delemii te, m, çözümlerii, m, a,, dir. şelide ifade edile Tahmii verdi. Daha sorada bu Tahmidei b ve c tamsayıları yerie q 1 p şartıı sağlaya, p ve q te asallarıı ullaara bu şartlar

9 altıda, m q p delemii, m, p 1,, çözümüde başa çözümü olup olmadığıı iceledi. N. Terai çalışmasıda q 1(mod 4) olması durumuda m q p delemii çözümlerii buldu. Biz de 4 a B y Diophatie delemii düşüere, m B y delemii tamsayı çözümlerii bulumasıa ilişi Terai i Tahmiii bezeri bir Tahmi verdi. Ve buda yararlaara, B ve y tamsayıları m q p q 1 p eşitliğii gerçeleye p ve q te asalları olma üzere, Diophatie Delemii te pozitif, m, çözümüü p 1,,4 olduğuu gösterdi. Burada bizim Tahmiimizi ve teoremimizi içere şartlarda q 1(mod 4) durumua ilave olara ço farlı souçlar ortaya çıarta q 3(mod 4) olması durumuu da iceleyere özgü birço souç buldu. Hâlihazırda Terai i Tahmii üzeridei çalışmalar literatürde de alaşılacağı gibi devam etmetedir. Tezimizi ousu ola Diophatie delemleri üzeridei çalışmalar bugüde ço geiş bir şeilde sürdürülmete olup bizde devam edeceği aaatideyiz Amaç ve Kapsam Bilidiği gibi Fermat Tahmii olara bilie ve cebirsel sayılar teorisi gibi bugü matematiği e atif alaıı doğmasıa sebep ola 3 içi y z delemii yz 0 dışıda hiçbir tamsayı çözümüü bulumadığı iddiası temelde Diophatie delemlerii Sayılar Teorisidei öemii arttırmıştır. Hala bu tür delemler üzeride yapıla çalışmalar sürmete olup, ço ürete bir ala ola Diophatie delemleri, İdeal Teori vb. gibi birço alaı ortaya çımasıa sebep olmuştur. Farlı biçimlerdei Diophatie delemlerii tamsayı çözümlerii buluması problemiyle birço ülü Matematiçi çalışmış ve bularla ilgili ço farlı Tahmiler ortaya oyup, değişi yötemlerle ispatlar yapmışlardır.

10 3 1.. Kaya Araştırması b a b c dy Diophatie delemi, abc,, ve d tamsayı, a 0, 4ac 0, d 0 olma üzere, 3 olduğuda sadece solu sayıda ve y tamsayı çözümlerie sahiptir. Bu iddia il olara A. Thue tarafıda 19. yüzyılı solarıa doğru, daha sora da Edmud Ladau ve Aleader Ostrowsi (190) tarafıda 0. yüzyılı başlarıda ispatladı. a b c dy biçimidei delemi bütü, y tamsayı çözümlerii vere geel bir method bilimemetedir. Paragrafı başıda a b c dy delemii çözümleri içi ifade ettiğimiz teoremi, 3 olması durumudai ispatı yeidir. 3 içi ispatı ise Thue u teoremii souçlarıyla ombiasyo yapılara Mordell tarafıda verilmiştir. C y delemi içi, Fermat C, 3 olması durumudai te çözümü 5, y 3 ile verildiğii gösterdi ve ispatı 1770 yılıda Euler tarafıda yayıladı. C y delemide C 1 yazmala elde edile, 1 y delemii çözümlerii tamamı V.A. Lebesque (1850) tarafıda verildi. C. Störmer (1899), 1 1 y m delemii y 1 olduğuda çözümüü bulumadığıı ispatladı. S. Ramauja (197), C y delemi içi C=7, y= olması durumuu içere, 7 Diophatie delemii çözümlerii sadece 3,4,5,7 ve 15 olması durumuda varolduğuu Tahmie etti. W. Ljuggre (1944) C y delemi içi Fermat ı soucuu geelleştirere C içi 5 W.Ljuggre (1945), y=3 de başa çözümüü bulumadığıı ispatladı. 1 p 4y y=1 ve y=7 olduğuu ispatladı. delemi içi =3 olduğuda te çözümüü T. Nagell (1948), yaptığı çalışmasıda Ramauja ı Tahmiiü sağlattı. Ayrıca T. Nagell (1955), bir diğer çalışmasıda D, 1 olma üzere delemiyle ilgili pe ço ilgiç souç verdi. 8D y C D y delemi y te olması, C eyfi bir tamsayı ve D 1, veya 4 olması durumuda tam olara T. Nagell (1955) tarafıda çözüldü.

11 Th. Solem, S. Chowla ve D.J. Lewis (1959), 7 4 delemii 1,,3,5 ve 13 değerlerii aldığıda rasyoel tamsayı çözümlerii buluduğuu ispatladılar. D.J. Lewis (1961), 7M y delemii ilel bölelerii sayısı üzerie, ve M i terimleride bir üst sıır taımladı. W. Ljuggre (1963), delemii ele alara 0 tamsayı çözümlerii buldu. rasyoel sayısı içi bu delemi y, 3 y W. Ljuggre (1964), C, D ve, D 1 ve CD 1 are çarpaı bulumaya te pozitif tamsayılar olma üzere, ayrıca h, CD cismii ideallerii sııf sayısı olduğuda te y ler içi C 4D y ve 4D y delemlerii çözümlerii buluduğuu ispatıı verdi. W. Ljuggre (1966), bir diğer çalışmasıda, yie C, D ve, D 1 ve CD 1 are çarpaı bulumaya te pozitif tamsayılar ve ayrıca h, CD cismii ideallerii sııf sayısı olma üzere, bu defa C D y delemi üzeride çalışara, bu deleme yülee farlı oşullar altıda çözümlerii buluup bulumadığıı araştırdı. J.H.E. Coh (1966), ve y te olma üzere Dy 4 delemii farlı D değerleri içi pozitif tamsayı çözümlerii buldu. W. Ljuggre (1971), D 7 (mod 8) durumuu iceledi. W. Ljuggre (197), D 4y q delemii düşüdü ve bu delem içi, D 4y q geel delemi üzeride çalıştı ve D üzeridei gere şart altıda bir çözüm buluduğuu ispatladılar. C y delemi üzerie Ramauja Tahmiide beri ço fazla sayıda çalışma yapıldı. J. Blass (1974), 5 y K delemii tamsayı çözümleri üzeride uğraştı ve K bir are çarpasız tamsayı olma üzere K 19,341 değerleri içi hiçbir tamsayı çözümüü bulumadığıı ispatladı.

12 R. Alter ve K.K. Kubato (1975) çalışmalarıda 0 olma üzere delemii te çözümüü, 4,3 olduğuu gösterdiler. Bu ispatı e öemli özelliği Solem, Chowla ve Lewis i, bazı düşücelerii, T. Nagell i methodu ile ombie edilere yapılmasıydı. E. Brow (1975), yaptığı çalışmasıda içi 3 y ve ile verile bir p asalı içi ise 5 p delemlerii çözümlerii bulumadığıı gösterdi. E. Brow (1977), ab, ve D tamsayılar ve p bir te asal olma üzere m m a Db p delemi üzeride çalıştı. Özel olara da D,3 ve b,3 durumlarıı iceledi. Daha sorada K. Taaashi (1977), M. Toyoizumi tarafıda çözüle 7 m y Diophatie delemii,, farlı bir yolla ispat etti. y m tamsayı çözümlerii buluduğuu Birço yazar C yi, C m D şelide alıp, buula ilgili birço farlı durumu icelediler. M. Toyoizumi (1978), çalışmasıda y m D Diophatie delemii düşüdü ve öcelile bazı rasyoel a tamsayıları içi a a D olduğuu varsaydığımız da eğer D 7 ise bu delemde m=1 olması geretiğii ispatladı. S. Rabiowitz (1978), çözümlerii buldu. p y p delemii 3 p içi bütü,, y z tamsayı M. Toyoizumi (1983), sabit bazı D ve p ler içi m y D p delemii tamsayı çözümlerii düşüdü. M. Le (1989), D are çarpasız pozitif bir tamsayı ve p bir asal olduğuda, eğer D ep 64 ve p ise p Dy 1 delemii e fazla bir adet y, pozitif tamsayı çözümüü buluduğuu ispatladı. M. Le (1989), Ma D, p M ve p 3 (mod 4) ise m D p delemii e fazla bir, m, çözümüü buluduğuu gösterdi.

13 q bir asal ve m,,, y olma üzere 6 m q y delemii birço özel durumu çalışıldı. q ve m bir te tamsayı olduğuda J.H.E. Coh (199), bu delemi tam 3 tae çözümüü buluduğuu ispatladı. J.H.E. Coh (199), C 19 içi 3 olması durumuda C y delemii tam ii tae çözümüü buluduğuu ispatladı. J.H.E. Coh (1993), Nagell i ispatıda farlı bir ispat yapara geel ler içi yaptığı çalışmasıda i çift olması durumuda C i ii tamarei farı şelie gelmeside açı bir şeilde iceleebileceğii gördü. Te ler içi geelliği aybetmede te p asalıı düşüdü. C 100 olaca şeildei C değerlerii iceleyere bir taım geellemeler yaptı. J.H.E. Coh, bu çalışmasıda öcelile bu delemi çözmei aca C cismide te çarpalamaı mümü olması durumuda yapılabileceğii belirtere; ebob C, C 1 olduğuda bu delemi p C C y şelide çarpalara ayrılabileceğide hareetle herhagi a ve b tamsayıları içi p C a b C olacağıda buu çözümüü aşağıdai şartlar sağladığıda buluabileceğii belirtti. 1. C 3(mod 4). Tersiir elemalarda bir problem ortaya çımamalı. 3. Çalıştığımız C cismi te çarpalaabilir olmalı. 4. C are çarpasız pozitif tamsayı olmalı. 5. C terimlerii orta bir çarpaı olmamalı. Bua ilave olara C 3 (mod 4) olması durumuda çözüm içi gereli şartları verere buları ispatıı yaptı. 0 C 100 şartıı sağlaya pozitif tamsayılar içi oşuluu da diate aldı. C y delemii bu değerler içi iceleyere 77 adet C değeri içi çözüme ulaşabildi. Faat C=74 ve C=86 olaca şeildei ii değer içi çözümü tamamlayamadı. Coh u metoduu bu durumlarda başarısız olmasıı sebebi, C

14 cismii sııf sayısıı 5 i birer atı olmasıdır. C=74 ve C=86 durumları daha sora M. Migotte ve B.M.M. De Weger (1996) tarafıda çalışılıp, Eliptic Curve yötemi ullaılara souca ulaştırıldı. M. Le (1993), D D, D 3,5 ise 1 D delemi içi eğer mid, D 1 ve 1 N D, D olduğuu ispatladı. 1 1 M. Le (1993), m ve, m 0, 1 ve h, sııf sayısı olduğuda,h 1 olaca şeilde tamsayılar olma üzere delemlerii hiçbir y, d d y 1 4 pozitif tamsayı çözümlerii bulumadığıı ispatladı ise d d y 1 m 7 y ve M. Le (1993), D bir pozitif tamsayı ve verile bir p te asalı içi pd olduğuda eğer Dp ve D, p 3s 1, 4s 1 ma, 10 ise D p delemii e fazla bir adet, pozitif tamsayı çözümüü buluduğuu gösterdi. M. Le (1993), yaptığı çalışmasıda h, D cismii sııf sayısı olma üzere, ph şartıı sağlaya p te asalı içi p5,7 veya 6 p 3.10 ise delemii hiçbir y, tamsayı çözümüü olmadığıı ispatladı. y p b c p 4D y R. Scott (1993), b 1 ve c pozitif tamsayılar ve p bir asal olduğuda delemii, 5 özel durumu hariç, y si te ola e fazla bir, y çözümüü buluduğuu, buu gibi y si çift ola yie e fazla bir y, çözümüü buluduğuu ispatladı. K. Taauwa ve Y. Aseada (1993), ayı yıl yaptıları 3 farlı çalışmalarıda ay, ve, m, olma üzere 4 a y,4 ay,4a y m faydalaara 4a y 4ay 4a y Pisagor üçlüsüde Diophatie delemii düşüdüler ve bu delemi tamsayı çözümlerii buluabilmesii, m, i hagi değerleri içi gerçelediğii ispatladılar.

15 N. Terai (1993), eğer abc,, bir ilel Pisagor üçlüsü, yai ebob a, b, c 1 ve a olaca biçimde ise, y, z a,, olduğuu ifade ede bir Tahmi verdi. Ve Terai eğer b ve c (i) b 8 a b c, y z b c delemii te çözümüü 1 c olaca biçimde asallar (ii) d, b i b ideal sııf grubuda c i asal böleii mertebesi olduğuda d=1 veya çifttir eğer b 1 (mod 4) ise, Terai Tahmiii sağladığıı ispatladı. Ayrıca bu delemde b ve c ler yerie, q m q p 1 p eşitliğii sağlaya p ve q te asallarıı ullaara, bu şartlar altıda, delemii, m, p 1,, çözümüde başa çözümüü olup olmadığıı iceledi. Daha soraları Terai Tahmii ile ilgili pe ço çalışma yapıldı. cm N. Terai (1994), b bir asal ve çift m tamsayısı içi a mm 3, b 3m 1, 1 olma üzere ayrıca e, modülüde i mertebesi olduğuda, asalıı m 3 0 (mod ) ve 0 e (mod 3) olduğuu varsayara bu şartlarda Diophatie delemii te çözümüü, y, z,,3 olduğuu gösterdi. y z a b c 447 e M. Le (1994), eğer D e ise m D delemii 1 içi e fazla bir adet, m, pozitif tamsayı çözümü olduğuu ispatladı. M. Le (1995), ise p 3 bir asal ve p 7 (mod 8) gibi ii durumu şartlarıı ayrı ayrı saglaması durumuda p y p delemii hiç pozitif tamsayı çözümüü bulumadığıı ispatladı. M. Le (1995), eğer b 3 (mod 8), 6 b 8.10 ve c bir te asal ise, Terai Tahmiii sağladığıı ispat etti. M. Le (1995) ve M. Migotte (1997) yıllarıda yaptıları çalışmalarıda D D y m 1 4 delemii, m ve içi verile şartlar altıda solu sayıda çözüme sahip olduğuu ispatladılar. P.M. Voutier (1995), Tazaais ve Weger i metoduu ullaara Thue delemii çözdü ve 30 içi bazı diziler taımladı. Ayrıca bilgisayarla yapıla çalışmalarda oları 30 içi bu taımlaa dizileri. terimlerii her zama bir ilel bölei buluduğu gerçeğie götürdü.

16 N. Terai (1995), çalışmasıda bu defa da eğer, b bir asal, m çift ve e, modülüe göre c i mertebesi olduğuda, e 0 (mod 5) ve ab 0 (mod ) olaca şeilde bir asal olma üzere, a mm 4 10m 5 y z a b c, b m m delemii te çözümüü,,,, , cm y z olduğuu ispatladı. 9 1 ise, Y. Guo ve M. Le (1995), r ve r, r 6000 olduğuda, y r 9 6r r 9 z delemii te pozitif tamsayı çözümlerii, y, z,, olduğuu ispatladılar. N. Terai (1996), y z a b c delemii ele alara y ve z bir te asal olduğuda Thue delemi ve Baer i souçlarıı ullaara, eğer c ve z yeterice büyü ise a,b,c i mümü ola durumları sağladığıı gösterdi. Jesmaowicz Tahmiii farlı şartlar altıda sağladığı yapıla çalışmalarla gösterilmiştir. Şimdi biraz bularda bahsedelim. M. Le (1996), eğer s, t 3 (mod 4) ve s 81t ise Jesmaowicz Tahmiii sağladığıı gösterdi. K. Taauwa (1996), yaptığı çalışmasıda Le i oyduğu s 81t şartıı t 3,7,11,15 içi eleyere ispatıı verdi. M. Le (1997),, y,, olma üzere, y durumuda 7 y delemii hiçbir, y, çözümüü bulumadığıı ispatladı. İlavete, y durumuda bu delemi bütü çözümlerii ve y epepep30 u sağladığıı gösterdi. Y. Bugeaud (1997), m y p delemi üzeride çalışıp bu delem içi bazı ço ısıtlamamış durumları ele alara sadece p ye bağlı içi üçü bir üst sıır buldu. J.H.E. Coh (1997), Dy 1 delemii 4 olması durumuda, açı olara 4 ile bölüe bütü leri içere pozitif tamsayı çözümlerii cümlesii buldu 4 olması durumuda ise 3 ü p te asalıı bir çarpaı olma zoruda olduğuu gösterdi.

17 M. Le (1997), r=3 olması durumuda Lucas dizileriyle ilgili bölüebilme özelliğide de yararlaara; eğer m ve b bir te asal ise pozitif, y, z tamsayı çözümüü,,,,3 10 y z a b c delemii te y z olduğuu ispatladı. Maohua Le i metodua bezer bir metod ullaara N. Terai ve K. Taauwa (1997) çalışmalarıda, r i te olması durumuda, M. Le i bir soucuu geelleştirdiler. F. Rubi (1998), a b z y c delemii tamsayı çözümlerii iceledi. S.A. Arif ve Fadwa S.A. Muriefah (1998), q 3 ve m bir te tamsayı olması durumuda 3 m y delemii 3 içi bir te çözüm ailesii buluduğuu gösterdi. Cao ve Dog (1998), eğer i b bir asalı uvveti, c 5 (mod 8) ise veya ii c 5(mod 8) bir asalı uvveti ise, Terai Tahmiii sağladığıı ispat ettiler. P. Yua ad J. Wag (1998), b 3(mod 8) ve c bir asalı uvveti ise Terai Tahmiii sağladığıı ispat ettiler. L. Che ve M. Le (1998), b 1 c oşuluu gerçeleye b ve c te asalları içi b 1 (mod 16) durumuda, y, z,, ile verildiğii ispat ettiler. y z b c 3 M. Le (1999), 1 1 y 1 y 1 eşitliğii te çözümüü delemii çözümlerii var olduğuu ispatıı yaptı. M. Le i bu ispatı geelleştirilmiş Ramauja Nagell delemii çözümlerii sayısı içi üst sıırla ilgili yei souçlara dayaır. Fadwa S.A. Muriefah ve S.Ahtar Arif (1999), Coh u metoduu ullaara 1 5 y delemii; 3 ve 0 içi hiçbir, y tamsayı çözümüü olmadığıı ispatladı. Z.F. Cao (1999), çalışmasıda eğer pq, r, c 5 (mod 8), b 3 (mod 4) ise Terai-Jesmaowicz Tahmiii sağladığıı ispat etti.

18 c ise M. Le (1999), wc, c i farlı asal çarpalarıı sayısı olma üzere, eğer y z a b c delemii e fazla gösterdi. Bua e olara bütü sağladığıı ispat etti wc pozitif tamsayı çözümü buluduğuu, y, z çözümlerii F. Luca (000), ise q 3 ve m çift tamsayı olduğuda z ablog eab / eşitliğii 3 m y delemi içi te bir çözüm ailesii buluduğuu farlı bir yötem ullaara gösterdi. B. Sury (000), yaptığı çalışmasıda y delemii 1 içi te çözümüü, y, 5,3,3 olduğuu basit bir ispatla verdi. Daha soralarda bu delemi birço farlı durumu ele alıara çözümleri varlığı icelemeye başladı. Fadwa S.A. Muriefah (000), p 3 y p delemii ele alara bu delemi (i) (3,y)=1 ve p 7 (mod 8) (ii) 3 y ve p=3 (iii) p 5 (mod 8) durumlarıda çözümlerii olup olmadığıı araştırdı. Z. Cao (000), edisii ve Adachi i bazı teoremlerii ullaara, eğer p 1 (mod 4) ve B p p 1 / Beroulli sayısı olma üzere 1 py delemii ayrıca m, ebob y, 1, pb ise y 0 p 1 / py olma üzere p m py delemii hiç tamsayı çözümüü bulumadığıı gösterdi. Fadwa S.A. Muriefah (001), AX m y Diophatie delemii, i 4 modülüe göre 1 e ogrüet bir asal çarpaı olduğuda hiçbir pozitif tamsayı çözümüü bulumadığıı, eğer i hiç çarpaı yosa ve y te olma üzere e fazla bir çözümüü buluduğuu ispatladı. Fadwa S.A. Muriefah ve S. Ahtar Arif (001), p 3, 0 ve q bir te asalı temsil etme üzere p q y Diophatie delemiyle ilgili bazı teoremler ispatladılar. Y. Bilu, G. Harot ve P.M. Voutier (001), yaptıları çalışmalarıda birço bilim adamıı ispatlarıı yapare ulladığı 30 içi, her. Lucas ve Lehmer sayılarıı ilel bölee sahip olduğu soucuu ispatladılar.

19 Bugeaud (001) ise Bilu, Harot ve Voutier i metoduu ullaara D D y p 1 biçimidei geelleştirilmiş Diophatie delemlerii tamsayı çözümleri içi yei güzel bir souç verdi. N. Terai (001), eğer a 1 (mod a b c ise 1 b ) ve b 3 (mod 4) bir te asal ve y z a b c delemii te pozitif tamsayı çözümüü, y, z,1,1 olduğuu gösterdi. Z.F. Cao ve X. Dog (001) çalışmalarıda p=q=, r, r 1 ve b bir te asal olması durumuda;, ile taımlayara a Vr, b Ur r Ur V r tamsayılarıı da m 1 Vr Ur 1, c m 1, 6 b 8.10, b 3 (mod 4) ise delemii te pozitif tamsayı çözümüü, y, z a,, r y z b c y z b c olduğuu ispat ettiler. M. Le (001), eğer b 7 (mod 8) veya b bir asal yada c bir asalı uvveti ise delemii te çözümüü, y, z a,, olduğuu ispat etti. Z.F. Cao, X. Dog, X. Li (00), Bilu, Harot ve Voutier i ilel böleler üzerie yaptıları çalışmalarıı ullaara Terai Tahmiii bezeri, yei bir Tahmi verdiler., r Ur V r tamsayıları m 1 Vr Ur 1 a V r, b Ur, c b (mod 4) bir asalı uvveti ise, r 1 bir te tamsayıları içi, y, z a,, m 1 ve 3 y z b c şelide taımlama üzere delemii te,, olduğuu ispat ettiler. y z pozitif tamsayı çözümüü delemii Frey Curve metoduu ullaara çözdü. S. Sise (00), ise y p z p Y. Bilu (00), geelleştirilmiş Ramauja Nagell delemi üzeride, Le, Migotte ve Bugeaud u çalışmalarıdai etilerii araştırdı. M. Le (00), m y Diophatie delemi içi Nestereo, Migotte ve Lauret i ulladıları metotta faydalaara ii cebirsel sayıı logaritmasıdai lieer formlar üzerie bulduları souçlarıda, Coh u Tahmiiü sağlattı. Ve

20 13 m y delemii bilie (,m,y,)=(5,3,1,3), (7,3,5,4) ve (11,5,,3) çözümlerii buldu yılıda yaı geçmişe adar birço yazar bu C değerii ii asalı uvvetlerii çarpımı şelide düşüere oluşa yei Diophatie delemii çözümleri üzeride çalıştılar. Bu cümlede olma üzere F. Luca (00), 3 içi aralarıda asal, y tamsayıları ile çözümlerii buldu. 3 a b y delemii tüm, y, a, b, pozitif tamsayı S.A. Arif ve Fadwa S.A. Muriefah (00), 1 p q y delemii; q 7 (mod 8) bir te asal ve 5 içi 3 ü atı olmaya bir te tamsayı olması durumuda tam ii adet q,,,, y çözüm ailesii buluduğuu ispatladı. S.Ahtar Arif ve Amal S.Al-Ali (00), eğer q bir te asal, y 1, 3, 4 olma üzere, h, q 1 q 4y cismii sııf sayısı olduğuda,3h 1 ise delemii tam 5 çözüm ailesi olduğuu ispatladılar. S.A. Arif ve A.S. Al-Ali (00), Lucas ve Lehmer dizilerii ullaara Diophatie delemii çözümlerii buldular. J.H.E. Coh (00), 1 u v p, p m a b 4y cismii temel tersiiri olduğuda, p te asalı, pu şartıı sağlıyor ise p 1 py delemii hiçbir, y pozitif tamsayı çözümüü bulumadığıı gösterdi. Bir yıl sora yaptığı çalışmasıda ise Dy 1 delemii 100 olma üzere, a D olması durumlarıı iceledi. M. Le (003), çalışmasıda, a,b,c pozitif tamsayıları a, b, r 1 ve r r a b c delemii sağlaya pozitif tamsayılar olduğuda, eğer b, a 3 (mod 4) y z a b c delemii te çözümüü, y, z,, r r /1586 b (mod 4) ve 1/ a / b e 1 ise olduğuu gösterdi. J.H.E. Coh (003), yaptığı tüm bu çalışmaları değerledirere, C i alacağı değerleri geelleyece şeilde 3 ve =p i bazı özel durumlarıı da içere bir taım geel souçlar verdi.

21 14 Z.F. Cao ve X. Dog (003), çalışmalarıda m içi 3 a m 3m, b 3m 1, cm 1 olduğuu varsayara, Terai-Jesmaowicz Tahmiii sağladığı durumları verere ispatıı yaptılar. S. Sise ve J.E. Cremoa (003), m 7 y Diophatie delemii çözümlerii Frey Curve ve Kraus metoduu ullaara iceledi. a y p Sz. Tegely (004), yaptığı çalışmasıda p ve verile sabit bir a içi delemii çözümlerii buluması içi yei bir metod verere 3 a 501 ola te a değerleri içi bu delemi bütü çözümlerii buldu. M. Le (004) çalışmasıda logaritmada lieer formları teorisii ullaara, eğer b 3 (mod 4) bir asal, a 1 (mod y z a b c b ), 1 a b c delemii te çözümüü, y, z, 1,1 ve c te, 1, ise, olduğuu gösterdi. İlerleye yıllarda birço bilim adamı W. Ljuggre i C 4D y ve 4D y delemleri üzeride yaptıları çalışmaları diate alara bu delemleri birço farlı durumuu ele alıp çalıştılar. P. Yua (005), yaptığı çalışmasıda a by c delemii çözümlerii iceledi ve özel olara olması duru- muda y z a b c a 1 3a 1 4a delemii çözümlerii buldu. M. Le (005), eğer a (mod 4), b 3 (mod 4), delemii te çözümüü, y, z,, r M. Le (006), a, b, c, r ; mia, b, c, r 1 ebob a, b 1, a çift ve r te olduğuda 37 c 3.10 ve r 700 ise olduğuu ispat etti. r a b c şartıı sağlaya pozitif tamsayılar olma üzere, eğer b 3 (mod 4) ve b veya c bir te asalı uvvet ise y z tamsayı çözümüü, y, z a,, r delemii te pozitif,, y z b c olduğuu gösterdi. Y. Bugeaud, M. Migotte ve S. Sise (006), D y Lebesque Nagell Delemii 1D 100 ve 3 içi lasi ve modüler metodlarla çözüme avuşturdular.

22 Fadwa S.A. Muriefah (006), 001 yılıda yaptığı çalışmasıdai delemi özelleştirere 0 ve 3 olma üzere; p, i böle bir te asal p ve 5 ise 15 Bilu, Harot ve Voutier i esi souçlarıı ullaara delemii çözümlerii ispatıı verdi. 5 y Fadwa S.A. Muriefah, F. Luca, S. Sise ve Sz. Tegely (007), 3 ve C pozitif bir tamsayı olma üzere delemii iceleyere, C 1 (mod 4) C y ve C 1 (mod 4) gibi ii farlı durumuu ele alıp, değişi metodlar ullaara delemi çözümlerii buldular. Sz. Tegely (007), hazırladığı dotora tezide çıardığı maaleside m 0, p ve q te asallar ve ebob y, 1 olduğuda y, ii ardışı areleri toplamı olmama üzere, m p q y m p q y çözümüü olduğuu ispatladı. delemii yalızca solu sayıda,,,, Fadwa S.A. Muriefah, F. Luca ve A. Togbe (008), ebob y, 1 ve 3 ve, y, a, b pozitif tamsayılar olma üzere 5 a 13 b y Diophatie delemii çözümlerii araştırdılar. Fadwa S.A. Muriefah (008), çalışmasıda p ve q, p 3 şelide asallar olma üzere, ebob y, 1 şartıı sağlaya, m, y pozitif tamsayılarıı alara m p p y delemii çözümlerii varlığıı ispatladı. üzere E. Demirpolat, S.İ. Çeberci ve H. Şeay (009), 3 te tamsayı olma delemii pozitif,,, 1 11 y y tamsayı çözümüü varlığıı ispat ettiler.

23 16. CEBİRSEL SAYILAR VE İDEAL TEORİ.1. Cebirsel Sayılar Taım.1.1. Katsayılarıı hepsi birde sıfır olmaya rasyoel sayılar ola 1 p a0 a1... a, biçimidei bir poliomu sağlaya bir gerçe veya armaşı sayıya cebirsel sayı deir. Bu taımda atsayıları paydalarıı eşitleere sözousu poliomu tamsayı atsayılı bir polioma döüştürülmesi avramı geelliğii bozmaz. Taım.1.. Bir cebirsel sayısıı sağladığı e üçü dereceli p poliomua ı miimal poliomu, bu poliomu derecesie de cebirsel sayısıı derecesi deir. Teorem.1.1. Eğer moi p poliomu cebirsel sayısıı miimal poliomu ise, rasyoel sayılar cismi üzeride idirgeemez bir poliomdur (Şeay 007). Taım.1.3. F K oşuluu sağlaya K cismie, F cismii bir geişlemesi deir ve K:F veya K/F şelide gösterilir. Taım.1.4. Eğer K:F bir cisim geişlemesi ise, K yı F üzeride bir vetör uzayı abul etme doğal olacatır. Bu vetör uzayıı boyutua, K ı F cismi üzeridei derecesi deir ve K: F şelide gösterilir. Teorem.1.. F K L oşuluu gerçeleye, herhagi F, K ve L cisimleri içi

24 17 L : F L : KK : F dır. Taım.1.5. Eğer K: Fsolu ise K ya F i solu geişlemesi deir. Teorem.1.3. K : bir cisim geişlemesi ve K olsu. ı üzeride cebirsel olmasıı gere ve yeter oşulu ı u solu bir geişlemesi olmasıdır. Bu durumda p, : d p dir. üzeride ı miimal poliomu olma üzere İspat. Eğer : 0 ise, ı 1,,,..., uvvetleri taım gereği üzeride doğrusal bağımlı olacatır. Bu durumda bütü ai atsayıları sıfırda farlı ola tamsayılar olma üzere, 1 p 1 a a... a a 0 (.1.1) 1 1 yazılabileceğide, taım gereği, üzeride cebirseldir. Karşıt olara, ı üzeride cebirsel ve sağladığı p miimal poliomuu derecesii m olduğuu varsayalım. Artı ı üzeride 1,,,..., 0 m 1 elemalarıca gerildiğii göstermeliyiz. Buu içi m 1 veya daha geel olara 0 içi, (.1.1) de elde edile m 1 i e alama geldiğii belirtmeliyiz. Bua göre m m1 m a1 a... a m, değerii m m 1 m m 1 a1 a... a,

25 18 eşitliğide ullaırsa, souçta m 1 i üzeride 1,,,..., m 1 leri bir doğrusal birleşimi olara göstermiş oluruz. Böylece idütif olara 0 içi m 1 i de üze- m 1 ride 1,,,..., leri bir doğrusal bileşimi olara yazmış oluruz. Şimdi; V a... a a : a, a,... a m1 m m1 cümlesii göz öüe alalım. Açı olara, V toplamaya göre apalı olup öcei paragrafta yapıla uyarılar edeiyle, ayı zamada çarpmaya göre de apalıdır. Ayrıca, V, hem ve hem de yı apsamatadır. Souçta V i bir hala olduğu olayca gösterilir. O halde V i cisim olduğuu gösterirse teoremi ispatlamış oluruz. Buu içi; 0... m 1 v a0 a1 am 1 V ve m 1 q a0 a1... am 1 elemalarıı alalım. oluşu sebebiyle de 0 v q olduğuda p q ve p ve p i idirgeemez q i aralarıda asal olacağı görülür. Bua göre de pr qs 1 olaca biçimde r ve Bu eşitlite içi p 0 olduğuu düşüürse 1 p r q s, s poliomlarıı bulabiliriz. burada q s 1 veya v q 1/ s elde edilir i, bu v i tersii s olduğuu gösterir. Artı s ı V i bir elemaı olduğuu; s ı m-1 de büyü uvvetlerii üzeride 1,,,..., da eğer varsa m 1 leri bir doğrusal birleşimleri ile değiştirme suretiyle görebiliriz. O halde s V dir. Böylece souç olara V bir cisimdir. Buda başa, de V yi de apsadığıda V V : Artı V i üzeride V olup ayı zamada, hem ve hem olur. 1,,,..., m 1 m yazabiliriz. Şimdi bu 1,,,..., m 1 ile gerilmesii soucu olara cümlesii üzeride doğrusal

26 bağımsız olduğuu görelim. Gerçete böyle olmasaydı, m1 t c0 c1... cm 1 19 ci olma üzere poliomuu varlığı, bizi ı üzeride d p m eşitsizliğii gerçeleye bir poliomu sağladığı soucua götürür i, m 1 bu çelişi 1,,,..., cümlesii doğrusal bağımsız olduğuu gösterir. Böylece 1,,,..., m 1 cümlesii üzeride V i bir tabaı olduğu alaşılır i, bu V : m olmasıı geretirir. Artı V : boy m elde edilir (Şeay 007). olduğuu göz öüe olara Souç.1.1. Bütü cebirsel sayıları cümlesi armaşı sayılarda taımlaa toplama ve çarpma işlemlerie göre üzeride derecesi : ola bir cisimdir. Öre.1.1. Souç.1.1 e göre,, ve cümleleri birer sayı cismidir. Böylece,,. cismii bütü sayı cisimleride apsadığı açıtır. Taım.1.6. Bir cebirsel sayısıa, atsayıları tamsayı ola 1 p a 1... a o moi poliomuu öü olması durumuda cebirsel tamsayı deir. Başa bir deyişle; eğer p 0 olaca şeilde tamatsayılı bir p() moi poliomu varsa cebirsel sayısı bir cebirsel tamsayıdır (Şeay 007). Tüm cebirsel tamsayıları cümlesii R cümlesi, cebirsel sayı cismii bir alt halasıı oluşturur. R ile göstereceğiz. Cebirsel tamsayıları Teorem.1.4. Herhagi bir cebirsel sayısı içi c bir cebirsel tamsayı olaca biçimde bir c N vardır (Şeay 007).

27 Teorem.1.5. Eğer, R ise ve cebirsel sayıları da cebirsel tamsayıdır. 0 İspat. Baıız (Şeay 007). Taım.1.7. Eğer, R olma üzere eşitliğii gerçeleye bir R cebirsel tamsayısı varsa cebirsel tamsayısıa cebirsel tamsayısıı böler deir ve bu durum alışılagele bir biçimde şelide gösterilir. Taım.1.8. Bir R tamsayısı içi 1/ da eza bir cebirsel tamsayı ise tersiir elema adıı alır. Bir tersiir elemaı ve R içi ise ve tamsayılarıa aralarıda ilgili tamsayılar deir. R elemaıa, eğer ı R dai her bölei ya edisii bir ilgilisi veya bir tersiir elema ise idirgeemez deir (Şeay 007)... İdeal Teori Diophatie delemleride bahsedere, E. Kummer i, Fermat ı Tahmii üzeridei çalışmaları sırasıda, ispatı bulduğuu zaettiğide, tamsayılar içi doğru ola bu ispatı, Fermat ı araştırmalarıda rastlaıla bazı sayı tipleri içi yalış olduğuu eşfettiğide bahsetmişti. Daha açı olara sözgelişi 6 tamsayısıı 5 cismide şelide birde fazla çarpalara ayrılışı bulumatadır. Kummer, işte buu farıa vardığı zama, Fermat ı Tahmii ile ilgili vermiş olduğu ispatı yalış olduğuu alamıştı. Bu amaçla asal çarpalara ayrılı

28 şı te olmayışıda doğa güçlüleri yeme üzere ideal teori adı verile teori edisi ve R. Dedeid tarafıda geliştirilmiştir. Şimdi cebir ve sayılar teoriside büyü rol oyaya bu teori haıda ısaca bilgi verelim. Bu bölüm boyuca ola sayı cismii tamsayılarıı halasıı belirtecetir. 1 R ; mertebesi Taım..1. R bir hala, U da R i boş olmaya herhagi bir alt cümlesi olsu. Eğer, i U, R, ii u U ve r R içi ur U ve ru U oluyorsa U ya R halasıı ii yalı ideali ısaca ideali deir. Taım... R ı, yalızca bir elemaı tarafıde üretile başa bir deyişle bir elemaı atlarıda oluşa idealie esas ideal deir. Öre..1. R ı gibi bir sabit elemaı içi, a R :, cümlesi bir esas idealdir. Yuarıdai taımda heme ab ab olduğuu gözlemleyebiliriz. Böylece R ı elemalarıı çarpımı, oları ürettiği gelir. R ı esas ideallerii çarpımıa arşılı Taım..3. Eğer bir halaı her ideali esas ideal ise, bu halaya esas ideal bölgesi deir. Taım..4. R ise o ideale has ideal deir. bir hala olsu. R i bir ideali, edisi ve birim idealide farlı

29 Taım..5. R bir hala ve a, b ; R i ii ideali olsu. a, b olma üzere a b cümlesie idealleri toplamı deir. Taım..6. b ve c, R i idealleri olma üzere, eğer bc a olması ya c a yada b a olmasıı geretiriyorsa R i, a R idealie asal ideal deir. Öerme..1. a ve b, R i idealleri olma üzere ab olması içi gere ve yeter oşul b a olmasıdır. Bu Öerme bize, R dai b idealii çarpalarıı tam olara b yi içere idealler olduğuu alatır. Böylece p asal idealii taımı heme bir asal elemaı bezerie döüşür i; buu p ab olması pa veya pb olmasıı geretirir şelide ifade edebiliriz. Ayrıca R bir tamlı bölgesi ise sıfır idealii asal ideal olduğuu belirtmeliyiz. Bua bağlı olara da veya sıfır ideali olması geretiğii söyleyelim. p i asal olması içi gere ve yeter şartı p i bir asal Taım..7. R bir hala olsu. a, R i edisi ve birim idealii dışıda bir ideali olma üzere a ile R arasıda R i başa hiçbir ideali yosa a idealie masimal ideal deir (Tall ve Stewart 1987). Burada yeri gelmişe, tamsayılar halasıda bütü maimal idealleri asalları ürettiğii söylemeliyiz. Lemma.1.1. R bir hala ve a, R i bir ideali olsu. O halde; (1) a ı maimal olması içi gere ve yeter şart R / a ı bir cisim olmasıdır. () a ı asal olması içi gere ve yeter şart R / a ı bir tamlı bölgesi olmasıdır (Tall ve Stewart 1987).

30 3 Taım..8. R halasıı ideallerii a1 a a 3... azala bir ziciri solu ise, R halasıa oetheria hala deir. Teorem..1. sayı cismii, R tamsayılar halası; (1) Kesirler cismi ola bir bölgedir. () Noetheriadır. (3), atsayıları R tamsayılar halasıda ola bir moi poliom delemii sağlıyor ise R dır. (4) R i sıfırda farlı her asal ideali maimaldir, özellilerii sağlar (Tall&Stewart 1987). Taım..9. Teorem..1. dei (1) de (4) e adar ola özellileri sağlaya halaya Dedeid Bölgesi deir. İdealleri çarpalaışıı teliğii ispatlare, R i sıfırda farlı idealleriyle ilgili aritmetiğe ve özel olara çarpma işlemiyle ilgili özellilere ihtiyacımız olaca. Açı olara R ı edisi özdeş elema olma üzere, bu çarpma işlemii değişme ve birleşme özellileri vardır. Faat çarpma işlemide bir elemaı tersi olmadığıda dolayı grup yapısı mevcut değildir. Bu edele alt-modül avramıa ihtiyaç olacatır. Bir ideali, R ı R -altmodülü olara taımlama mümüdür. Alt modülleri, grup yapısıda olduğu bilie verile esirsel ideallerle ilgili olduğuu belirtelim ve biraz da esirsel ideallerde bahsedelim. Taım..10. Eğer c a R olaca şeilde sıfır olmaya bir c R mevcut ise ı a gibi bir R -altmodülüe, R i esirsel ideali deir.

31 4 Öre... r olma üzere i esirsel idealleri r biçimidei idealleridir. Not..1. Bir a esirsel idealii ideal olması içi gere ve yeter şart a R olmasıdır. Teorem... bir gruptur. R ı sıfırda farlı esirsel idealleri çarpma işlemi altıda abelye Teorem..3. R ı sıfırda farlı bir esirsel idealii, çarpaları sırasıı değişiliği dışıda asal idealleri çapımı şelide bir te türlü gösterimi vardır. İspat. Bu so ii teoremi ispatı basamalar halide yapılır (Tall&Stewart 1987), (Hece 1981), (Lag 1970). İdealleri çarpalaışıı teliği bütü Dedeid bölgeleride sağlaır. Bu te çarpalamaı ispatı hem Dedeid bölgeleri ullaılara, hem de farlı yollarla yapılabilir. Aca bütü Dedeid bölgeleride bu özelliği ediliğide sağladığıa ilgi çeilmelidir. Taım..11. Eğer R halasıda a b olaca biçimde, O R mevcut ise a ile b ideallerie birbirlerie detir deir ve a b biçimide gösterilir. Bu bağıtıı bir deli bağıtısı olduğu olayca gerçeleebilir. Bu bağıtı ile elde edile deli sııflarıa ideal sııfları ve bu ideal sııflarıı sayısıa da cismii sııf sayısı deir ve h ile gösterilir (Irelad ve Rose 1990). Teorem..4. h 1 olması içi gere ve yeter şart R ı esas ideal bölgesi olmasıdır.

32 İspat. a bir ideal olsu ve öcelile h 1 olduğuu varsayalım. orada a R olaca şeilde sıfırda farlı, R elemalarıı buluduğuu biliyoruz. Böylece a ve / 5 a R olduğuda, a olur. Yai her ideal esas idealdir. Karşıt olara, eğer R esas ideal ise h 1 olduğu açıtır. Teorem..5. cismii sııf sayısı soludur. İspat. Baıız (Irelad&Rose 1990). Öerme..., sııf sayısı h ola bir sayı cismi ve a da R ı tamsayılar halasıı bir ideali olsu. O halde; (a) h a bir esas idealdir. (b) Eğer qh ve q a esas ideal ise a da esas idealdir.

33 6 3. KUADRATİK CİSİM VE DIOPHANTINE DENKLEMLERİ 3.1. Kuadrati Cisim a b Bir uadrati cisim : ola bir sayı cismidir. Bu durumda, 0, şelidedir. Gerçete ab delemii bir öü olma üzere bu cisim sayı cismii d ile ayı olduğuu basit olara görebiliriz. Eğer a b 0 i bir öü ise bu durumda arede farlı olma üzere uadrati irrasyoel sayısı a 4b bir tam a a 4b biçimide olacatır. Böylece c, d 1 ve bir tam are çarpaı bulumaya bir tamsayı olma üzere a 4b c d biçimide yazılabileceğii göz öüe alara a c d ve souçta irrasyoel olduğuda d elde edilir i, bu aşağıdai soucu iddiasıdır. Souç Bütü uadrati cisimler bir tam are çarpaı bulumaya d içi d biçimidedir. Böylece uv,, d bir tam are çarpaı bulumaya rasyoel tamsayı olma üzere bir uadrati irrasyoel sayıı u v d biçimide olacağıı söyleyebiliriz. Bu durumda d cismi

34 7 :,, d u v d u v cümlesidir. Teorem d sayı cismi cismii apsaya i bir alt cismidir. Buda başa d, üzeride tabaı 1, d ve souçta boyutu ola bir vetör uzayıdır. Taım Herhagi bir d i Eğer 0 ii Eğer 0 deir (Şeay 007). sayı cismie; d ise d d ise d ye bir gerçe sayı cismi ye saal sayı cismi Aşağıdai teorem tam arede farlı ola bir d doğal sayısı içi d cismii tamsayılar halasıı d ye bağlı olara belirler. Teorem Bir tam are çarpaı bulumaya bir d sayısı içi d tamsayılar halası; (1) d 1 (mod 4) ise R d : a b d, a, b d () d 1 (mod 4) ise i a b d 1 d R d :, a, b, a b Mod dir (Şeay 007).

35 Not Eğer 1 bir tabaı 1, d, 1 1, 1 / olduğuu söyleyebiliriz. Not d (mod 4) ise, Teorem 3.1. e göre d 8 cismii üzeride d (mod 4) durumuda ise, bir tabaıı d d halasıı öemli bir özel durumuu Gauss tamsayıları olduğuu belirtelim. Gerçete 1 1 (mod 4) olduğuu gözöüe alara, Teorem 3.1. (1) e göre alışılagele biçimde halasıdır. i ile gösterile bu hala, 1 cismii tamsayılar Daha öce geel olara cebirsel tamsayılar içi Taım.1.7 ve Taım.1.8 ile verile bölüebilme, tersiir elema ve ilgilili avramlarıı doğal olara d cismii R d halası içi geçerli olduğua ilgi çeilmelidir. Taım 3.1.., ab olma üzere a b d d sayısıı eşleiği a b d şelide taımlaa cebirsel sayı olup, ile gösterilir. Bir a b d sayısıı ormu N a b d a db dur. Teorem Herhagi ii, d cebirsel sayıları içi; (1) ı tersiir olmasıı gere ve yeter oşulu N 1 olmasıdır. () N N N, (3) ise, N N (4), (5) dır (Şeay 007). ve özel olara, ilgili ise N N,

36 Şimdi vereceğimiz Teorem d cismii tersiir elemalarıı varlığıı, d 0 olması durumuda u d v 1 veya 4 Diophatie delemii çözümlerii bulumasıa dayadırır. Bu durumda çözümleri olaylıla elde edilmesie rağme, d 0 durumu olduça zor olup bu büyü teorem Dirichlet tarafıda ispatlamıştır. 9 Teorem Herhagi bir egatif ve are çarpaı bulumaya d içi d cismii tersiir elemalarıı U grubu: şelidedir. d ise, U 1, i (1) 1 () d 3 ise, (3) Diğer bütü 0, /3 e i olma üzere U 1,, d tamsayıları içi, 1, U, Taım d i tersiir olmaya sıfırda farlı bir tamsayısıa; herhagi, d tamsayıları içi, olması ya veya olmasıı geretiriyorsa asal deir. Daha öce idirgemezli taımı vermişti. O halde asal ve idirgeemez elemalar arasıdai ilişiyi ifade edelim ve bua ait bir öre yapalım. Bir asal her zama idirgeemezdir. Aca tersi doğru değildir. Öre , 6 cismide idirgeemez olup aca asal değildir. Çözüm. Gerçete, herhagi, 6 içi, 3 olduğuu varsayalım. Normlarıı alırsa N veya N ı N N a b d a db a 6b 3 olması gereir. Burada a 0 ve b 1 içi a 6b 6 ve b 0 içi a 3 oldu-

37 ğuda dolayı bu delemi açı olara hiçbir tamsayı çözümü bulumayacatır ve souçta N 1 veya N 1 elde edilir i, Teorem (1) gereği, 6 tamsayılarıı tersiir olduğu görülür. Yai 3, 6 da idirgeemez bir elemadır. Şimdi 3 ü 6 da asal olamayacağıı gösterelim. 6 da şelide asal çarpalarıa ayrılır olmasıa rağme veya olduğu açıtır. Ayrıca N 3 6 N olduğuda 3 6 ı tersiir elemaı değildir. 30 sayıları 6 Teorem Eğer p rasyoel bir asal olma üzere bir d tamsayısı içi N p ise, d i bir asal elemaıdır (Şeay 007). Teorem R ı, 0 ve tersiir olmaya her elemaı solu sayıda idirgeemez elemaları çarpımı şelidedir. İspat. Eğer, R ı idirgeemez bir elemaı değilse R ı tersiir olmaya herhagi, tamsayıları içi yazılabilecetir. Şimdi ayı düşüceyi, tamsayıları içi terarlayalım ve böyle devam edelim. Aca bu işlemi solu sayıda terarlayabiliriz. Asi halde isteildiği adar büyü bir idisi içi... 1 buluruz. Aca abulümüz gereği her i idisi içi N i olup, souçta N, N istediğimiz adar büyü yapılabilecetir. Bu R ı ormuu belli yai bir pozitif tamsayı oluşu ile çelişir (Şeay 007).

38 31 Taım Bir R halasıa, her R tamsayısıı solu sayıda idirgeemez elemalarıı çarpımı olara temsili, çarpalarıı sırasıı ve idirgeemez elemalarıı ilgilileri ile değişimi dışıda te türlü ise, te çarpalama bölgesi deir. Sayılar Teorisii temel problemlerii başıda hagi bölgeleri te çarpalama bölgesi olduğuu belirleme geldiğii, bu taıma dayaara söyleyebiliriz. Burada asal elemaları doğal olara öemli bir avram olduğuu zate biliyoruz. Bu yüzde tersie R da her idirgeemez elemaı ayı zamada R ı her asal elemaıı R ı asal bir elemaı ve R da idirgeemez olduğuu göstermeliyiz. Vereceğimiz teorem te çarpalama bölgesi olmaya her bölgede asal olmaya idirgeemez elemaları varlığıı vurgular. Teorem Bir bölgede çarpalara ayrılışı te olmasıı gere ve yeter oşulu her idirgeemez elemaı asal olmasıdır (Şeay 007). Taım İisi birde sıfır olmaya, R elemaları içi aşağıdai ii oşulu sağlaya bir R tamsayısıa,, tamsayılarıı e büyü orta bölei deir. (1) ve (), ı her 1 orta bölei içi 1. Taım Eğer R d halasıı 0 ve gibi herhagi elemaları içi p ve 0 N p N olaca biçimde, p R tamsayıları varsa d cismie bir Ölid bölgesi veya tam olara orm içi Ölid bölgesi deir. Teorem Her Ölid bölgesi te çarpalama bölgesidir. İspat. Teorem ye göre R ı her idirgeemez elemaıı bir asal elema olduğuu aıtlamamız yeterlidir. Bua göre, R ı idirgeemez bir elemaı ol-

39 ma üzere herhagi, R içi aca olduğuu varsayalım. O zama, 1 ise 1 olaca şeilde, R tamsayıları vardır. Şimdi bu eşitliği her ii yaıı ile çarparsa, buluur. Kabulümüz gereği ve açı olara olduğuda bölüebilmei lieerli özelliğie göre olur i, bu da isteedir (Şeay 007). 3 Teorem d cismii R d halası d 11, 7, 3,, 1,,3,5,13, değerleri içi Ölid bölgesidir (Şeay 007). Öcelile L.E. Dicso,3,5,13 d değerleri içi d i Ölid bölgesi olduğua ve hatalı olara bularda başa böyle cisimleri bulumadığıı iddia etmiş olmasıa rağme Pero bulara d i 6,7,11,17,1,9 değerlerii elemesi geretiğii ispat etti. Daha sora Oppeheimer, Rema ve Redei bu listeyi d içi 19,33,37,41,55,73 değerlerii atma suretiyle geişlettiler. Aca te çarpalama bölgesi ola bütü gerçe d uadrati cisimleri buluması heüz çözüme avuşturulmamış bir problemdir. Geelde böyle cisimleri sosuz sayıda olacağı tahmi edilmete olup, bu da şimdiye adar ispat edilememiştir. Ayrıca te çarpalamaı mümü olmadığı zamalarda cebirsel delemlerle Diophatie delemlerii çözülemeyeceğii belirtmeliyiz. 3.. Diophatie Delemleri Bu esimde Diophatie delemlerii geel alamda ele alacağız. Bilidiği gibi atsayıları tamsayı ola birtaım poliom delemleri tamsayı çözümlerii buluması problemi Diophatie delemlerii ousuu oluşturmatadır.

40 İici Derecede İi Bilimeyeli Delemler İici derecede, ii bilimeyeli bir delemi ya hiç tamsayı çözümü yotur ya solu sayıda tamsayı çözümü vardır ya da sosuz sayıda tamsayı çözümü vardır. Bu tür delemleri e tipi öreği Pell delemi olara bilie, D 0, tam are çarpasız ve N tamsayı olma üzere, Dy N (3..1.1) şelidedir. 1 y, N içi bu delemi sosuz sayıda çözüm iilisi vardır. N Buda başa N 0 tamsayı, D egatif ise N ve y olduğuda D (3..1.1) delemii yalızca solu sayıda çözümü buluacatır. Açı olara, D m şelide ise aritmetiği temel teoremi gereği yalızca solu sayıda çarpalara ayrılış şeli buluacağıda bu durumda da (3..1.1) delemimizi solu sayıda çözümleri buluacatır. Ayrıca 3y 1 öreğide olduğu gibi bu delemi sağlaya hiçbir y, çözüm iilisii mevcut olmadığı olaylıla görülebilir (İçe 196). Geel olara D ve N eyfi oldularıda bu delemi hiçbir y, çözüm iilisi mevcut değildir. Bu baımda bazı ısıtlamalar yapılara (3..1.1) delemii ölerii süreli esir açılımıa dayaa bir yötemle sosuz sayıda çözümüü buluduğu bilimetedir (Şeay 007). İici derecede ii bilimeyeli e geel Diophatie Delemi a, b, c, d, e, f tamsayılar olma üzere a by cy d ey f 0 (3..1.) biçimidedir. Bu delemi değişe döüşümü yardımıyla yie (3..1.1) şelide bir deleme döüştürülere çözüleceği bilimetedir (Şeay 007), (İçe 196).

41 34 Bu edele çözümü mevcut olması durumuda (3..1.) delemii çözümleri (3..1.1) delemii çözümlerie bezer tipte olacatır İici Derecede Üç Bilimeyeli Delemler Taım y z 3 delemii gerçeleye bir pozitif,, y z sıralı üçlüsüe Pisagor üçlüsü deir. Ayrıca 1 de başa orta çarpaları bulumaya yai ebob,, 1 3 y z ola,, y z üçlüsüü de İlel Pisagor üçlüsü deir (Şeay 007). Teroem , y, z bir ilel Pisagor üçlüsü olduğuda, m ve tamsayıları pozitif, aralarıda asal, m ve biri te diğeri çift tamsayılar olma üzere Diophatie delemii çözümleri y z m, y m, z m ile verilir (Şeay 007). İspat. Bu Teoremi ispatı bölüebilme özellileri ullaılara olaylıla yapılabilir. Pisagor üçgeleriyle ilgili Sayılar Teorisi açısıda ilgi çeici birço geometri souç vardır. Sözgelişi bir di üçgei iç teğet çemberii yarıçapıı daima bir tamsayı olması bularda biridir. Ayrıca çözümleri Pisagor üçlüsüe getirile ilgiç bazı Diophatie delemi sııfları da vardır. Özellile iici derecede üç bilimeyeli Diophatie delemlerii çözümüde Diophatus a ait ola geometri tabalı düşücei bu ouda e adar eti olduğuu aşağıdai örele görebiliriz.

42 Öre y z delemii her ii yaıı z ile bölere u / 35 z, v y / z içi ya ese uzuluları a 1, b / ve c / ola u v 1 elipsi elde edilir. Bu şeilde elde edile elips üzeridei uv, otasıı rasyoel bir ota olduğu açıtır. Öte yada şeile göre 1,0 da geçe ve eğimi t ola; (0,t) v (u,v) -1 u doğruu delemi v t u 1 olup buula u v 1 orta çözülürse 1 t u 4t u t 1 0 buluur. Bu delemi bir öü şele göre u1 1 olup, diğer ö eşitliğide 1 t olur. Şimdi u de m, 1 olma üzere t / m yaza- 1 t lım. O zama u 4t u1u 1 t u m z m ve buu da u v 1 eşitliğide ullaara v y m z m buluruz. Burada / z ve y/ z ısaltılamaya esirler olduğuda, bu m, y m, z m olaca biçimde bir pozitif tamsayısıı varlığıı geretirir. Burada 1 olduğu olaylıla gösterilebilir. Böylece 3, y, z çözümlerii;, y z delemii bütü pozitif m pozitif m, 1 ve farlı sııfta olma üzere

43 36 m, y m, z m eşitlileri ile verildiğii söyleyebiliriz (Şeay 007). Şimdi; ilerii bölümlerde Tahmiimüzü ispatıı verire ullaacağımız, bilie bazı lemmaları verelim. Lemma a b c delemii pozitif tamsayı çözümleri u ile v aralarıda asal ve biri çift olma üzere; a 4uv u v, b u 4 v 4 6u v ile verilir (Dicso 1971)., c u v Lemma 3... Eğer p bir te asal ve y,, Diophatie delemii tamsayı çözümleri ise py dir (Cao 1986). p 1y Lemma y Diophatie delemii 1, olma üzere, te pozitif tamsayı çözümü, y, 39,13,4 dür (Ljuggre 194). Lemma , y 1 ve 3 te olma üzere, 1 y (3...1) Diophatie delemii tamsayılarda hiçbir çözümü yotur (Störmer 1899) Üç ve Daha Yüse Dereceli ve İi Bilimeyeli Delemler İici derecede daha yüse dereceli ve ii bilimeyeli delemleri bazı özel durumlar dışıda aca solu sayıda çözümüü buluduğu 0. Yüzyılı başlarıda A. Thue tarafıda ispat edilmiştir. a, i 0,1,,...,, c tamsayılar ve i doğal sayı olma üzere a a y a y a y c (3..3.1) 1 0 1

44 37 delemii göz öüe alalım. Bu delemi 19. yüzyılı solarıa doğru A. Thue tarafıda daha sorada 0. yüzyılı başlarıda E. Ladau ve A. Ostrowsi (190) tarafıda solu sayıda tamsayı çözümü olduğu gösterilmiştir. Aca özel olara homoje ola sol tarafı birici derecede bir homoje ii terimlii veya iici derecede bir homoje üç terimlii bir uvveti olması halleride bu delemi çözümleride sözedebiliriz. Gerçete (3..3.1) delemi bu durumlarda a by c0 veya a by cy c0 şelide olacatır i, souçta olaylıla birici ve iici derecede bir deleme döüştürülebilmiş olur. Çüü çözümü mevcut olabilmesi içi c 0 atsayısıı bir tamsayıı -ici uvveti olması gereir. A. Thue, edie özgü metoduyla buu ispatıı vermiştir. Şimdi burada ayrıtılara geçmede zor ola bu ispatı aa hatlarıyla verip (3..3.1) delemii solu sayıda çözümlerii buluduğuu göstereceğiz. (3..3.1) delemii her ii yaıı y ile bölere, 1 c a a... a a y y y y (3..3.) ve hesapları basitleştirme amacıyla z y değişe döüşümü ile a z a z... a z a 0 (3..3.3) delemie varılır. Bu delemi bütü ölerii birbiride farlı olduğuu ve aa 0 0 olduğuu varsaymala, ayrıca bu delemi ölerii daha üçü dereceli tamatsayılı bir delemi öleri olamayacağıı da abul etmele geelliği bozulmamış olacağı açıtır. Cebiri esas teoremie göre (3..3.3) delemii öleri 1,,..., olma üzere, bu delem içi a z a z... a z a a z z... z (3..3.4)

45 gösterimi buluur. Şimdi (3..3.4) poliomuu çarpım şelidei bu gösterilişii ullaara (3..3.) i a... c y y y y (3..3.5) şelide yazabiliriz. Şimdi (3..3.5) delemii sosuz sayıda, y çözümlerii buluduğuu abul edelim. Bu abulle mutla değerleri isteildiği adar büyü ola çözümleri de buluacağı açıtır. Eğer y ları sıırlı ve ları isteildiği adar büyü ola sosuz sayıda, y sıralı iilileri mevcut olsaydı, bu lar içi (3..3.5) ü sol tarafı isteildiği adar büyü, bua arşılı da sağ yaı sıırlı alırdı i, bu doğal olara mümü değildir. Artı, y yı ço büyü varsayabiliriz. Bu durumda (3..3.5) delemii sağ tarafı dolayısıyla da sol tarafı üçü olacatır. Oysa sol tarafı ları içere tae çarpa ile 1 de üçü olmaya a0 y tamsayısıı çarpımı biçimide olduğu göz öüe alıırsa, buda sol tarafı aca farlarıda herhagi birii mutla değerce üçü olması ile mümü olacatır. y m Açı olara, sözousu bu far aca m i reel olmasıyla, yai b 0 olma üzere m a bi biçimide olmadığı zama üçü olabilecetir. Asi halde; y a bi a b b y (3..3.6) eşitsizliği edeiyle bu farı mutla değeri isteidiği adar üçü yapılamaz. Bu tespitte sora bu farları herhagi ii taesii i bular ( (3..3.6) delemii sol tarafıdai herhagi ii çarpadır) ayı zamada üçü ola birer mutla değerii buluamayacağıı da söyleyebiliriz. Çüü bütü öleri birbiride farlı abul ettiğimizde m s m s 0 y y (3..3.7)