T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR ÜZERİNE Uğur ÇOŞKUN YÜKSEK LİSANS Matematik Anabilim Dalı HAZİRAN-2014 KONYA Her Hakkı Saklıdır

TEZ BİLDİRİMİ Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work. Uğur ÇOŞKUN

ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR ÜZERİNE Uğur ÇOŞKUN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL 2014, 30 Sayfa Jüri Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Prof. Dr. Yılmaz ALTUN Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; tezde kullanılan kavramların literatür bilgilerini kısaca özetleyen tezin giriş bölümü verildi. İkinci bölümde; soft küme teori ve 2011 yılında Çağman ve ark. [5] tarafından verilen soft topolojik uzaylar ile ilgili temel kavramlar ve bazı özellikler hatırlatıldı. Üçüncü bölümde; soft topolojik uzaylarda soft süreklilik tanımı, bazı yeni kavramlar ve temel teoremler verildi. Dördüncü bölümde; soft birinci sayılabilir uzay, soft ikinci sayılabilir uzay ve soft Lindelöf uzay kavramları verildi ve aralarındaki ilişkiler incelendi. Beşinci bölümde; soft kompaktlığın özellikleri incelenmeye devam edildi. Soft topolojik uzaylarda soft lokal kompakt, soft sayılabilir kompakt ve soft dizisel kompakt gibi bazı yeni kavramlar verildi. Ayrıca bu kavramlar arasındaki ilişkiler incelendi. Anahtar Kelimeler: Soft birinci sayılabilir, Soft dizisel kompakt, Soft ikinci sayılabilir, Soft kompakt, Soft Lindelöf, Soft lokal kompakt, Soft sayılabilir kompakt, Soft topolojik uzay. iv

ABSTRACT MS THESIS ON SOFT TOPOLOGİCAL SPACES Uğur ÇOŞKUN THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE Advisor: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL 2014, 30 Pages Jury Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Prof. Dr. Yılmaz ALTUN Asst. Prof. Dr. Yusuf BECEREN This study consists of five sections. In the first section; the introduction which has been summarized briefly literature knowledge of concepts used in thesis was given. In the second section; the basic concepts and some properties about soft set theory and soft topological space was proposed Çağman et.al in 2011 were reminded. In the third section; the definition of soft continuity, some new concepts and basic theorems in the soft topological spaces were given. In the fourth section; the concepts of soft first countable space, soft second countable space and soft Lindelöf space were given and the relations between these concepts were investigated. In the fifth section; investigating the properties of soft compactness have been continued. Some new concepts in soft topological spaces such as soft locally compact, soft countably compact, and soft sequential compact have been introduced. Also, the relations between these concepts have been investigated. Keywords: Soft first countable, Soft sequential compact, Soft second countable, Soft compact, Soft Lindelöf, Soft locally compact, Soft countably compact, Soft topological space. v

ÖNSÖZ Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim dalında Öğretim Üyesi Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL yönetiminde yapılarak Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur. Bu çalışmada hep yanımda olan, bana her yönden destek olan ve bu çalışma sürecinde hiçbir bilgisini benden esirgemeyen saygıdeğer Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL hocama sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca Arş. Gör. Zehra Güzel ERGÜL e, fikir ve düşüncelerini paylaştığı için teşekkür ederim. UĞUR ÇOŞKUN KONYA-2014 vi

İÇİNDEKİLER ÖZET... iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ... vi İÇİNDEKİLER... vii SİMGELER VE KISALTMALAR... viii 1. Giriş... 1 2. Önbilgiler... 2 2.1. Soft Kümeler... 2 2.2. Soft Topolojik Uzaylar... 3 3. Soft Topolojik Uzaylarda Süreklilik...11 4. Soft Birinci Sayılabilir ve Soft İkinci Sayılabilir Uzaylar... 17 5. Soft Kompaktlık... 19 5.1. Soft Kompakt Uzaylar... 19 5.2. Soft Lokal Kompakt Uzaylar... 24 5.3. Soft Dizisel Kompaktlık ve Soft Sayılabilir kompaktlık... 25 SONUÇ ve ÖNERİLER... 28 KAYNAKLAR... 29 ÖZGEÇMİŞ... 30 vii

SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler Açıklamalar her vardır eşittir eşit değildir boş küme elemanıdır elemanı değildir öyleki küçük eşittir büyük eşittir alt küme gerek şart yeter şart soft kesişim soft birleşim soft alt küme soft fark başlangıç evreni (evren kümesi) in güç kümesi parametre kümesi küme değerli dönüşüm soft küme soft kümeler ailesi boş soft küme tam soft küme soft kümesinin tümleyeni soft kümesinin soft içi soft kümesinin soft kapanışı soft kümesinin soft sınırı soft kümesinin soft yığılma noktası ( ) soft kümesinin soft güç kümesi (, ) soft topolojik uzay (, ) soft alt uzay soft komşuluk soft komşuluk tabanı soft taban soft dönüşüm viii

1. GİRİŞ Günlük hayatta karşılaştığımız birçok kavram kesinden çok şüphelidir. Ancak klasik matematik kesin olmayan durumlarla ilgilenmez, tüm kavramlar belli olmalıdır, aksi halde kesin sonuca ulaşılamaz. Bundan dolayı, bazı bilim adamları kesin olmayan durumları çalışmışlardır. Bunlar fuzzy küme teori (1965), rough küme teori (1982) ve soft küme teoridir (1999). 1999 yılında Molodtsov [1], belirsizliğe yeni bir yaklaşım olan soft küme teoriyi tanıttı. Bu teoride soft kümeyi, evrenin parametrelenmiş alt kümelerinin bir ailesi şeklinde tanımladı. Soft küme teori geniş bir alanda, birçok uygulamaya sahiptir. 2003 yılında Maji ve arkadaşları [2], soft küme teori ile ilgili çeşitli temel kavramları verdiler. VE, VEYA gibi ikili işlemleri, ayrıca birleşim ve kesişim işlemlerini tanımlayıp De Morgan kurallarının ve çok sayıda sonucun soft kümeler için doğru olduğunu gösterdiler. Çeşitli araştırmacılar soft küme teori üzerinde günümüze kadar çalışmışlardır. 2011 yılında Shabir ve Naz [4], evren küme üzerindeki bütün soft kümelerden oluşan aile üzerinde bir topolojisi kurdular. Bu topolojiyi (,, ) soft topolojik uzay olarak adlandırdılar. Bu uzayda soft açıklar ve soft kapalıları verdiler. Soft kapanış, soft iç, soft komşuluk, soft alt uzay kavramlarını verdiler. Soft ayırma aksiyomlarını verdiler ve birbirleriyle karşılaştırdılar. 2011 yılında Çağman ve ark. [5], Shabir ve Naz [4] ın üzerinde çalıştığı (,, ) soft topolojik uzayından daha genel olan bir topolojik uzay tanımladılar. Burada soft kümeyi, parametre ve parametreye karşılık gelen evrenin parametrelenmiş alt kümesi ile birlikte bir ikili oluşturacak şekilde verdiler. Gerekli olan kavramları verip, evren küme üzerindeki bütün soft kümelerden herhangi bir tanesi üzerinde topoloji kurdular ve (, ) soft topolojik uzayı olarak adlandırdılar. Ayrıca bu uzayda soft iç, soft kapanış, soft sınır, soft açıklık, soft kapalılık, soft komşuluk, soft yığılma noktası ve soft taban kavramlarını verdiler. Soft iç, soft kapanış ve soft yığılma noktası ile ilgili olarak çok sayıda özellik vererek ispatladılar. Bu tezde, (, ) soft topolojik uzayında kompaktlık ve kompaktlık çeşitlerini inceleyip birbirleriyle olan ilişkilerini inceledik. 1

2. Önbilgiler 2.1. Soft Kümeler Bu bölümde soft küme teori ile ilgili temel kavramları ve özellikleri hatırlattık. Burada başlangıç evreni, parametre kümesi, in güç kümesi ve olarak alınmıştır. Tanım 2.1.1:[5] evren kümesi üzerinde tanımlanan ikililerin oluşturduğu soft kümesi, : küme değerli bir dönüşüm olmak üzere, = {(, ( )) :, ( ) } şeklinde tanımlanır. Buradan ise ( ) = olur. evren kümesi üzerindeki bütün soft kümeler ile gösterilmiştir. Tanım 2.1.2:[5] verilsin. Eğer her için ( ) = oluyorsa, boş soft küme olarak adlandırılır ve ile gösterilir. Tanım 2.1.3:[5] soft kümesi verilsin. Her için ( ) = oluyorsa, - tam soft küme olarak adlandırılır ve ile gösterilir. Eğer = ise - tam soft kümesi, tam soft küme olarak adlandırılır ve ile gösterilir. Tanım 2.1.4:[5], soft kümeleri verilsin. Eğer her için, ( ) ( ) oluyorsa, soft kümesinin soft alt kümesidir denir ve şeklinde gösterilir. Tanım 2.1.5:[5], soft kümeleri verilsin. Eğer her için, ( ) = ( ) oluyorsa ile soft eşittir denir ve = ile gösterilir. Tanım 2.1.6:[5], soft kümeleri verilsin. Buradan soft birleşim, soft kesişim ve soft fark şeklinde gösterilir. Tanım 2.1.7:[5] soft kümesi verilsin. soft kümesinin soft tümleyeni şeklinde gösterilir. kümesinin tümleyeni ile ifade edilir ve her için = dir. Teorem 2.1.1:[5],, soft kümeleri verilsin. 1) =, = 2) =, = 2

3) =, = 4) =, = 5) =, = 6) =, = 7) ( ) = ( ) ( ) = ( ) 8) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) 9) ( = 10) ise olur. 2.2. Soft Topolojik Uzaylar Bu bölümde soft kümeler kullanılarak elde edilen soft topolojik uzayı ve bu uzayda soft iç, soft kapanış, soft sınır, soft açıklık, soft kapalılık, soft komşuluk, soft dönüşüm, soft yığılma noktası, soft taban ve soft komşuluk tabanı kavramlarını ve özelliklerini hatırlattık. Tanım 2.2.1:[5] verilsin. soft kümesinin soft güç kümesi, ( ) = { :, } şeklinde tanımlanır. Örnek 2.2.1:[5] = {,, }, = {,, }, = {, } verilsin. Buradan, = {(, {, }), (, {, })} soft kümesi verilsin. soft kümesinin bütün soft alt kümeleri aşağıdaki gibidir. = {(, { })} = {(, { })} = {(, {, })} = {(, { })} = {(, { })} = {(, {, })} 3

= {(, { }), (, { })} = {(, { }), (, { })} = {(, { }), (, {, })} = {(, { }), (, { })} = {(, { }), (, { })} = {(, { }), (, {, })} = {(, {, }), (, { })} = {(, {, }), (, { })} = = Dolayısıyla soft kümesinin soft güç kümesi 16 elemanlıdır. Tanım 2.2.2:[5] verilsin. soft kümesi üzerindeki bir ailesi, i), ii) {, } iii) {, 1, } özelliklerini sağlarsa soft kümesi üzerinde topolojisi tanımlanır. Burada (, ) ikilisine soft topolojik uzay denir. Örnek 2.2.2:[5] Örnek 2.2.1 deki soft kümesinin soft alt kümeleri alınsın. Buradan, = {, } = ( ) = {,,,, } aileleri soft kümesi üzerinde soft topolojik yapıdır. Tanım 2.2.3:[5] (, ) soft topolojik uzayı verilsin. ailesinin her elemanı birer soft açık kümedir. Dolayısıyla ve soft kümeleri her zaman soft açık kümelerdir. 4

Tanım 2.2.4:[5] (, ) ve (, ) soft topolojik uzayları verilsin. Eğer ise topolojisi topolojisinden daha incedir. Eğer ve ise topolojisi ile topolojisi karşılaştırılabilirdir. Tanım 2.2.5:[5] (, ) soft topolojik uzayı ve verilsin. soft kümesinin soft içi ile gösterilir ve soft kümesinin kapsadığı bütün soft açık alt kümelerinin soft birleşimi şeklinde tanımlanır. ise Teorem 2.2.1:[5] (, ) soft topolojik uzayı ve soft açık kümedir. verilsin. açık ise Tanım 2.2.6:[5] (, ) soft topolojik uzayı ve verilsin. Eğer soft soft kapalıdır. Teorem 2.2.2:[5] (, ) soft topolojik uzayı ve verilsin. Buradan, i ) ii ) iii ) iv ) özelikleri sağlanır. Tanım 2.2.7:[5] (, ) soft topolojik uzayı ve verilsin. soft kümesinin soft kapanışı ile gösterilir ve soft kümesinin tüm soft kapalı üst kümelerinin soft kesişimi şeklinde tanımlanır., soft kümesini kapsayan en küçük soft kapalıdır. Teorem 2.2.3:[5] (, ) soft topolojik uzayı ve verilsin. soft kümesinin soft kapalı olması için gerek ve yeter şart = olmasıdır. Teorem 2.2.4:[5] (, ) soft topolojik uzayı ve yazılabilir. Teorem 2.2.5:[5] (, ) soft topolojik uzayı ve verilsin. Buradan verilsin. Buradan, i) ii) 5

iii) iv) v) Tanım 2.2.8:[5] (, ) soft topolojik uzayı ve verilsin. soft kümesinin soft sınırı ile gösterilir ve ile tanımlanır. ailesi Teorem 2.2.6:[5] (, ) soft topolojik uzayı ve verilsin. Buradan, } soft kümesi üzerinde bir topolojidir. Tanım 2.2.9:[5] (, ) soft topolojik uzayı ve verilsin. soft kümesi üzerindeki topolojisine, soft kümesi üzerine indirgenen soft alt uzay topolojisi, (, ) soft topolojik uzayına da (, ) uzayının soft alt uzayı denir. Teorem 2.2.7:[5] (, ) soft topolojik uzayı verilsin. Aşağıdakiler her zaman doğrudur. i) tam soft küme ve soft kapalı kümelerdir. ii) Soft kapalı kümelerin herhangi soft kesişimleri soft kapalıdır. iii) Soft kapalı kümelerin sonlu soft birleşimleri soft kapalıdır. Tanım 2.2.10:[5] (, ) soft topolojik uzayı ve [ = (, ( )), her ve ( ) ] verilsin. elemanını içeren her soft açık alt kümesine, elemanının soft açık komşuluğu ( ya da soft komşuluğu ) denir ve ile gösterilir. Yani, = { :, } şeklinde gösterilir. Örnek 2.2.3:[5] Örnek 2.2.2 deki ailesinin oluşturduğu (, ) soft topolojik uzayını ele alınsın. = (, {, }) olsun. Buradan, = {, } bulunur. Teorem 2.2.8:[6] (, ) soft topolojik uzayı ve verilsin. elemanının ailesi aşağıdaki özellikleri sağlar. 1) için, dir. 6

2), için, dır. 3) ve ise dır. 4) için için dır. İspat: 1) için olduğundan dir. 2), verilsin. Buradan, şeklinde yazılır ve elde edilir. olur. Dolayısıyla dır. 3) ise olacak şekilde vardır. olduğundan ya da şeklinde yazılabilir. Buradan, olur. 4) soft komşuluğu verilsin. olacak şekilde bir soft açık komşuluğu vardır. soft açık olduğundan, her için, soft açık bir komşuluğudur. ve soft açık küme olduğundan dır. Tanım 2.2.11:[8] ve evren kümeleri üzerindeki bütün soft kümeler sırasıyla ve olsun. : ve : iki dönüşüm olmak üzere, dönüşümü soft kümeler ailesinden soft kümeler ailesine giden bir soft dönüşüm şeklinde tanımlanır ve : şeklinde gösterilir. (1) olsun. soft kümesinin soft dönüşümü altındaki görüntüsü, olur ve aşağıdaki şekilde ifade edilir: ( )( ) = {. (2) olsun. soft kümesinin soft dönüşümü altındaki ters görüntüsü, olur ve aşağıdaki şekilde ifade edilir: 7

( )(e) = { ( ( )) Örnek 2.2.4:[8] = {,, } ve = {,, } evren kümeleri, = {,,, } ve = {,, } parametre kümeleri, ve verilsin. : ve : için, ( ) =, ( ) =, ( ) = ( ) =, ( ) =, ( ) =, ( ) = verilsin. ve için, = {(, ), (, { }), (, {,, })} = {(, {, }), (, { })} olarak verilsin. ( )( ) = = ({ }) = { } ( )( ) = = [ ] = ( ) ({,, }) = ({,, }) = {, } Dolayısıyla, olacaktır. ( )( ) = {(, { }), (, {, })} [ {, } ] ( )( ) = ( ( )), ( ) = = ( ) = ( ) = ( )( ) = ( ( )), ( ) = = ( ) 8

= ( ) = ( )( ) = ( ( )), ( ) = = ( ) = ({ }) = {, } ( )( ) = ( ( )), ( ) = = ( ) = ( ) Dolayısıyla, = ( )( ) = {(, {, }) [ ] olacaktır. Tanım 2.2.12:[5] (, ) soft topolojik uzayı verilsin. ve verilsin. Eğer elemanının her soft komşuluğu, soft kümesinin elemanından farklı bir elemanını içeriyorsa elemanına soft kümesinin soft yığılma noktası denir. Yani, için ( { }) oluyorsa, soft kümesinin soft yığılma noktasıdır. ile gösterilir. Örnek 2.2.5:[5] Örnek 2.2.3 de ki (, ) soft topolojik uzayı alınsın. = (, {, }) olsun. Buradan, = {, } bulunmuştu. dır. ( { }) olduğundan dolayı olur. ( { }) Tanım 2.2.13:[5] (, ) bir soft topolojik uzay ve da soft kümesinin soft açık alt kümelerinin bir ailesi olsun. Eğer ailesindeki her bir soft açık kümesi ya ait soft kümelerin herhangi soft birleşimleri olarak yazılabiliyorsa ailesine topolojisi için bir soft taban denir. Yani, 9

için = şeklinde yazılır. Örnek 2.2.6:[5] Örnek 2.2.1 de ki gibi = {,, }, = {,, }, = {, } verilsin. Buradan, = {(, {, }), (, {, }) = {(, { })} = {(, { })} = {(, {, })} = {(, { })} = {(, { })} = {(, {, })} = {(, { }), (, { })} = {(, { }), (, { })} = {(, { }), (, {, })} = {(, { }), (, { })} = {(, { }), (, { })} = {(, { }), (, {, })} = {(, {, }), (, { })} = {(, {, }), (, { })} soft kümeleri oluşturulur. Buradan, = {,,,,,,,,,,,,,,, } soft topolojisi oluşturulur. Eğer, = {,,,, } ailesi seçilirse Tanım 2.2.13 den dolayı ailesi soft topolojisi için bir soft taban olur. 10

Tanım 2.2.14:[6] (, ) soft topolojik uzay ve verilsin. Eğer her soft komşuluğu için olacak şekilde bir varsa, ailesine soft topolojisine göre elemanının bir soft komşuluklar tabanı denir. 3. Soft Topolojik Uzaylarda Süreklilik Bu bölümde soft nokta ve soft süreklilik kavramlarını verdik. Ayrıca soft süreklilik ile ilgili teoremler verip ispatladık. Tanım3.1: alalım. ve ( ) olmak üzere = (, ( )) ikilisine yani, soft kümesindeki herhangi bir elemanına soft kümesinde bir soft nokta denir. Tanım 3.2: (, ) ve (, ) soft topolojik uzayları verilsin. : ve : alalım. : soft dönüşümü ve soft noktası verilsin. Eğer ( ) soft noktasının her soft komşuluğu için, ( ) olacak şekilde soft noktasının bir soft komşuluğu varsa, soft dönüşümüne soft noktasında soft süreklidir denir:, soft noktasında soft süreklidir için, ( ). Teorem 3.1: : (, ) (, ) soft dönüşümü verilsin. Bu taktirde aşağıdakiler eşdeğerdir. i) soft dönüşümü soft noktasında soft süreklidir. ii) için, ( ) dir. iii) için, ( ) dir. iv) için, ( ) dır. v) ailesi ( ) soft noktasının soft komşuluklar tabanı olmak üzere, için ( ) dır. İspat: i) ii) Tanımın direkt sonucudur. 11

ii) iii) için, ( ) olsun. Buradan, olur. Dolayısıyla, elde edilir. ( ) ( ) iii) iv) için, ( ) olsun. Soft komşuluk aksiyomundan ( ) olur. iv) v) soft kümesi verilsin. olduğundan, olur. iv) gereğince ( ) olur. v) i) soft komşuluğu verilsin. olduğundan, ( ) olur. v) gereğince, ( ) olur. = ( ) diyelim. Buradan, ( ) = ( ( )) bulunur. O halde soft dönüşümü soft noktasında soft süreklidir. Örnek 3.1: = {,, } evren kümesi, = {,,, } parametrelerin kümesi olmak üzere, = {,, } alalım. Buradan, = {(, {, }), (, {, }), (, {, })} = {(, {, }), (, { }), (, {, })} = {(, {, }), (, { }), (, { })} = {(, {, }), (, {, })} = {(, {, }), (, { })} = {(, {, }), (, { })} = {(, {, })} = {(, {, })} = {(, { })} soft kümelerini oluşturabiliriz. Buradan, 12

= {,,,,,,,,, } soft topolojisini oluşturabiliriz. ve dönüşümlerini, : : şeklinde tanımlayalım. soft dönüşümünün (, ) soft topolojik uzayının hangi soft noktalarında soft sürekli olduğunu bulalım. için, = (, {, }) ve = {,,,,,, } olur. ( )( ) = = ( )( ) = = ( )( ) = = ({, }) = {, } Böylece, ( ) = (, {, }) ve = {,,, } olur. Buradan, ( )( ) = ( ( )), ( ) = = ( ) = ({, }) = {, } ( )( ) = ( ( )), ( ) = = ( ) = ({, }) = {, } ( )( ) = ( ( )), ( ) = = ( ) = ({, }) = {, } 13

olur. Böylece, ( ) = {(, {, }), (, {, }), (, {, })} = elde edilir. Aynı şekilde, ( )( ) = (( )), ( ) = = ( ) = ({, }) = {, } ( )( ) = ( ( )), ( ) = = ( ) = ({, }) = {, } ( )( ) = ( ( )), ( ) = = ( ) = ({ }) = { } olur. Buradan, ( ) = {(, {, }), (, {, }), (, { })} elde edilir. Diğer durumlarda aynı şekilde elde edilmiştir. ( ) = {(, {, }), (, {, })} ( ) = {(, {, }) olduğundan soft dönüşümü soft noktasında soft sürekli değildir. için, olur. Böylece, = (, {, }) ve = { } ( ) = (, {, }) ve = {,,,,,, } 14

olur. Buradan, ( ) = ( ) = {(, {, }), (, {, }), (, { })} ( ) = {(, { }), (, {, }), (, { })} ( ) = {(, {, }), (, {, })} ( ) = {(, {, }), (, { })} ( ) = {(, {, }), (, { })} ( ) = {(, {, })} olduğundan fonksiyonunu soft noktasında soft sürekli değildir. için, = (, {, }) ve = {,,, } olur. Böylece, olacaktır. Buradan, ( ) = (, {, }) ve = { } ( ) = olduğundan dolayı soft dönüşümü soft noktasında soft süreklidir. Teorem 3.2: : (, ) (, ) soft dönüşümü ve bir soft alt kümesi verilsin. Eğer soft dönüşümü, soft noktasında soft sürekli ve ise, ( ) dır. İspat: Bir soft noktası ve ( ) soft noktasının herhangi bir soft komşuluğu verilsin. soft dönüşümü soft noktasında soft sürekli olduğundan, ( ) olur. olduğundan, ( ) olur ve ( ( )) ) ( ( )) ) elde edilir. Dolayısıyla, ( ) olur. 15

Tanım 3.3: (, ) ve (, ) soft topolojik uzayları verilsin. : (, ) (, ) soft dönüşümü için alındığında ( ) oluyorsa soft dönüşümü soft süreklidir. Eğer alındığında ( ) oluyorsa soft dönüşümü soft açıktır. Teorem 3.3: : (, ) (, ) soft dönüşümü için aşağıdaki özellikler eşdeğerdir. i) soft dönüşümü soft süreklidir. ii) soft alt kümesi için, ( ). iii) soft alt kümesi için, ). İspat: i) ii) soft dönüşümü soft sürekli olsun. soft alt kümesi için soft kümesi soft açıktır. soft dönüşümü soft sürekli olduğundan, ( ) olur. Buradan, = ( ) (1) olur. Diğer taraftan, ise ( ) ( ) yazılır. Her iki tarafın soft içi alınırsa, (2) bulunur. (1) ve (2) den ( ) olur. ii) iii) Herhangi bir soft alt kümesi verilsin. soft alt kümesi için ii) den, ( ) elde edilir. Aynı zamanda, ( ) = (( ) = ( ( 16

bulunur. Böylece, ) olur. iii) i) Herhangi bir soft kapalı alt kümesi verilsin. Buradan = olacaktır. iii) gereğince, ) = ( ) elde edilir. Böylece, ( ) soft kümesi, (, ) soft topolojik uzayında soft kapalıdır. Sonuç olarak soft dönüşümü soft süreklidir. 4. Soft Birinci Sayılabilir ve Soft İkinci Sayılabilir Uzaylar Bu bölümde soft birinci sayılabilir uzay, soft ikinci sayılabilir uzay ve soft Lindelöf uzay kavramlarını verip birbirleriyle olan ilişkisini inceledik. Tanım 4.1: (, ) soft topolojik uzayı verilsin. Eğer her soft noktasının sayılabilir bir soft komşuluk tabanı varsa (, ) uzayına soft birinci sayılabilir uzay denir. Teorem 4.1: (, ) soft topolojik uzay verilsin. Eğer {..., } ailesi, noktasının sayılabilir bir soft komşuluk tabanı ise, noktasının iç içe azalan bir { } soft komşuluk tabanı vardır. İspat: İç içe azalan ise olması gerekir. {..., }, sayılabilir soft komşuluk tabanı ise, = =... =.. şeklinde elde edilen { }, soft komşuluk tabanı olacaktır. Tanım 4.2: (, ) soft topolojik uzayı verilsin. Eğer soft topolojisinin sayılabilir bir soft tabanı varsa (, ) uzayına soft ikinci sayılabilir uzay denir. 17

Teorem 4.2: Soft ikinci sayılabilir her uzay soft birinci sayılabilirdir. İspat: (, ) soft topolojik uzayı ikinci sayılabilir uzay olsun. O halde tabanı verildiğinde sayılabilirdir. için, = { } soft ailesi soft noktasının bir soft komşuluk tabanıdır. Buradan olduğundan ailesi de sayılabilirdir. Dolayısıyla (, ) uzayı soft birinci sayılabilirdir. Tanım 4.3: (, ) soft topolojik uzayı verilsin. Eğer soft kümesinin her soft açık örtüsünün sayılabilir bir soft alt örtüsü varsa, (, ) uzayına soft Lindelöf uzayı denir. Teorem 4.3: (, ) uzayı soft ikinci sayılabilme aksiyomunu sağlasın ve her soft alt kümesi verilsin. Bu taktirde soft kümesinin her soft açık örtüsünün sayılabilir bir soft alt örtüsü vardır. İspat: {( : için ( } ailesi soft kümesinin bir soft açık örtüsü ve = {( : } ailesi de topolojisinin sayılabilir bir soft tabanı olsun. Ayrıca, = { : } ailesini tanımlayalım. Buradan, { : n } = { : için } olduğu açıktır. olduğundan ailesi, soft kümesinin sayılabilir bir örtüsüdür. Şimdi her kümesi için olacak şekilde { : için } soft kümesini seçelim ve bunların oluşturduğu aileye diyelim. Elde edilen, { F A : için } soft alt ailesi, soft kümesini örter ve sayılabilirdir. Sonuç 4.1: Soft ikinci sayılabilir her uzay bir soft Lindelöf uzaydır. İspat: Teorem 4.3 de = alındığında ispat açıktır. 18

5. Soft Kompaktlık 5.1. Soft Kompakt Uzaylar Bu bölümde öncelikle [7] de verilmiş olan soft açık örtü ve soft kompakt uzay kavramlarını hatırlattık. Daha sonra soft kompakt uzaylar ile ilgili teoremler verip ispatladık. Tanım 5.1.1:[7] (, ) soft topolojik uzayı verilsin. soft kümesinin soft açık alt kümelerinden oluşan ailesi verilsin. Eğer, = oluyorsa ailesine soft kümesinin soft açık örtüsü denir. Tanım 5.1.2:[7] (, ) soft topolojik uzayı verilsin. soft kümesinin her soft açık örtüsünün sonlu bir soft alt örtüsü varsa (, ) uzayına soft kompakt uzay denir. Yani, olmak üzere, =, =, oluyorsa (, ) uzayı soft kompakt uzaydır. Tanım 5.1.3: (, ) soft topolojik uzayı ve soft alt kümesi verilsin. Eğer ( ) soft alt uzayı soft kompakt ise soft kümesine (, ) uzayının bir soft kompakt alt kümesi denir. Teorem 5.1.1: (, ) soft topolojik uzayı verilsin. Bu taktirde aşağıdaki özellikler eşdeğerdir. a) (, ) soft topolojik uzayı soft kompakttır. b) soft kümesinin soft kapalı alt kümelerinden oluşan ve arakesiti olan ailesinin, arakesiti olan sonlu bir alt ailesi vardır. c) soft kümesinin soft kapalı alt kümelerinden oluşan ailesinin her sonlu alt ailesinin arakesiti değilse, ailesi için dır. İspat: a) b) olan, soft kümesinin soft kapalı alt kümelerinden oluşan ailesi verilsin. Tümleme işleminden, = olur. (, ) uzayı soft kompakt olduğundan, = 19

olacak şekilde sonlu olmak üzere soft kapalı kümelerden oluşan sonlu bir alt ailesi vardır. Tekrar tümleme alınırsa, olur. b) c) soft kümesinin soft kapalı alt kümelerinden oluşan ve arakesiti olmayan sonlu bir alt ailesi verilsin. Varsayalım ki olsun. Bu taktirde b) şıkkından arakesiti olan sonlu bir vardır. Bu ise bir çelişkidir. O halde olur. c) a) (, ) soft topolojik uzayının soft kompakt olmadığını varsayalım. Bu durumda soft kümesinin hiçbir sonlu alt örtüsü olmayan soft açık bir örtüsü vardır. Yani, sonlu olmak üzere olacaktır. Tümleme alınırsa, dır. Buradan c) gereğince olur. Tekrar tümleme alınırsa, elde edilir. Bu ise ailesinin, soft kümesinin bir soft örtüsü olması ile çelişir. O halde (, ) soft kompakttır. Teorem 5.1.2: (, ) soft topolojik uzayının bir soft alt kümesinin soft kompakt olması için gerek ve yeter şart soft kümesinin her açık örtüsünden ( soft kümesinin soft açık alt kümelerinden oluşan) sonlu bir alt örtünün bulunmasıdır. İspat: soft kümesi soft kompakt olsun. O halde Tanım 5.1.3 den ( ) alt uzayı da soft kompakttır. Yani her i için soft açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü vardır. Teorem 2.2.6 dan her i için soft açık kümesi vardır öyle ki = olur. Buradan, = = ( ) = ( ) olur. Böylece, elde edilir. soft kümesinin her soft açık örtüsü için olsun. Bu durumda soft kümesi ile soft kesişim işlemi yapılırsa, = ( ) = ( ) = ( ) olur. O halde her için olduğundan (, ) soft alt uzayı soft kompakttır. Tanım 5.1.3 den dolayı soft kümesi soft kompakttır. 20

Sonuç 5.1.1: (, ) bir soft topolojik uzay ve soft açık alt kümeleri verilsin. Bu taktirde soft kümesinin (, ) uzayında soft kompakt olması için gerek ve yeter şart soft kümesinin (, ) uzayında soft kompakt olmasıdır. İspat : soft kümesi (, ) uzayında soft kompakt olsun. Bu durumda her i için olmak üzere soft kümesinin her soft açık örtüsü için, olur. Buradan, için = bulunur. Dolayısıyla, = ( ) olur. Böylece soft kümesi (, ) uzayında soft kompakttır. soft kümesi (, ) uzayında soft kompakt olsun. Yani soft kümesinin her soft açık örtüsü için olsun. Buradan, = ( ) bulunur. Dolayısıyla her için = ve olur. Dolayısıyla soft kümesi (, ) uzayında soft kompakttır. Teorem 5.1.3: (, ) soft topolojik uzayı verilsin. Bu taktirde aşağıdaki özellikler eşdeğerdir. a) soft kümesinin sayılabilir her soft açık örtüsünün sonlu bir soft alt örtüsü vardır. b) soft kümesinin her sonsuz soft alt kümesinin en az bir soft yığılma noktası vardır. c) Boş soft küme olmayan soft kapalı kümelerden oluşan gibi iç içe azalan her soft kümeler dizisinin arakesiti soft kümesinin tümleyenindedir. İspat: a) b) soft kümesinin sonsuz bir soft alt kümesi verilsin. soft kümesinin = { : } soft alt kümesini alalım. Varsayalım ki soft kümesinin soft yığılma noktası olmasın. Dolayısıyla soft kümesinin de hiçbir yığılma noktası olmayacaktır. O halde soft kümesinin elemanları kenar noktalardır. Yani = olur. olduğundan soft kümesi soft kapalıdır. açıktır. Varsayımımızdan, için = { } olur. Buradaki { : } ailesi soft kümesini örter. Dolayısıyla, 21

{, : } ailesi soft kümesinin sayılabilir bir soft açık örtüsü olur ve bu örtünün sonlu bir soft alt örtüsü yoktur. O halde soft kümesinin her sonsuz soft alt kümesinin en az bir soft yığılma noktası vardır. b) c) soft kümesinin her sonsuz soft alt kümesinin en az bir soft yığılma noktası olsun. Boş soft küme olmayan soft kapalı kümelerden oluşan iç içe azalan soft kümeler dizisini alalım. Eğer belli bir indisten sonra kümeleri eşit ise verilen soft kümeler dizisinin arakesiti bu ortak kümedir. Dolayısıyla, = olur. Şayet böyle değilse, verilen soft kümeler dizisinin birbirlerinden farklı bir alt dizisini seçerek, sayısı için, kabul edebiliriz. sayısı için bir elemanı seçerek sonsuz bir ( ) dizisi oluşturalım. b) şıkkından { } dizisinin bir yığılma noktası vardır, bu noktayı ile gösterelim. sayısı için olduğunda olacağından elde edilir. O halde, olur. Böylece verilen soft kümeler dizisinin arakesiti soft kümesinin tümleyenindedir. c) a) { : n } ailesi soft kümesinin sayılabilir bir soft açık örtüsü olsun. için ( = şeklinde soft kapalı kümelerin iç içe azalan bir (( ) dizisi oluşturalım. Buradan soft kesişim işlemiyle, = = = bulunur. = olacak şekilde vardır. = = = = = olacaktır. Sonuç olarak örtüsü vardır. soft kümesinin sayılabilir her soft açık örtüsünün sonlu bir soft alt Sonuç 5.1.2: (, ) soft kompakt uzayının her sonsuz soft alt kümesinin, en az bir soft yığılma noktası vardır. İspat : Soft kompakt bir (, ) uzayı ve sonsuz bir soft alt kümesi verilsin. Varsayalım ki soft kümesinin hiçbir soft yığılma noktası olmasın. O halde, 22

için ( { }) = olur. ailesi soft kümesinin bir soft açık örtüsü olduğundan, = dır. (, ) soft kompakt uzay olduğundan, = olacak şekilde soft kümesinin sonlu elemanı vardır. olduğundan, elde edilir. Buradan soft kesişim işlemi gereğince, ( ) = ( ) ( ) ( ) elde edilir.,,, noktaları, soft kümesinin soft yığılma noktası olmadığından, = 1, 2,, için ( { }) = bulunur. Buradan soft kümesi ya ya da sonlu bir kümedir. Bu soft kümesinin sonsuz olmasıyla çelişir. O halde (, ) soft kompakt uzayının her sonsuz soft alt kümesinin en az bir soft yığılma noktası vardır. Teorem 5.1.4: Soft ikinci sayılabilme aksiyomunu sağlayan, uzayı Teorem 5.1.3 de ki özelliklerden birini ( dolayısıyla hepsini ) sağlarsa (, ) uzayı soft kompakttır. İspat: (, ) soft topolojik uzayı soft ikinci sayılabilir olsun. (, ) uzayının bir = { : } sayılabilir bir soft tabanı verilsin. ailesi soft kümesinin bir soft açık örtüsü olsun. Dolayısıyla, şeklinde yazılabilir. Bu durumda her soft birleşimi olarak yazılabilir. olur. Teorem 5.1.3 ün a) şıkkından, = soft açık kümesi soft tabanına ait soft kümelerin = = olacaktır. Diğer taraftan her bir soft kümesi için olacak şekilde bir soft açık kümesi vardır. Böylece, = olur. Dolayısıyla (, ) soft topolojik uzayı bir soft kompakt uzaydır. Teorem 5.1.5: : (, ) (, ) soft dönüşümü soft sürekli olsun. Eğer (, ) uzayı soft kompakt ise ( ) kümesi (, ) uzayında soft kompakttır. 23

İspat: ( ) kümesinin soft açık örtüsü ailesi olsun. soft dönüşümü soft sürekli olduğundan, ( ( )) ( ) = ( ) olur. Buradan, { ( ) } ailesi soft kümesinin bir soft açık örtüsüdür. (, ) uzayı soft kompakt olduğundan, = ( ) bulunur. {1, 2,..., } için, ( ( )) ( ( ( ))) ( ( )) ( ) bulunur. Sonuç olarak ( ) soft kümesi (, ) uzayında soft kompakttır. 5.2. Soft Lokal Kompakt Uzaylar Bu bölümde soft lokal kompakt uzay tanımını verip soft kompakt uzay ile karşılaştırdık. Ayrıca soft lokal kompakt uzayın soft süreklilikle korunmadığını ispatladık. Tanım 5.2.1: (, ) soft topolojik uzayı verilsin. Eğer her soft noktası, (, ) uzayında soft kompakt komşuluğa sahipse (, ) uzayına soft lokal kompakt uzay denir. Yani, = (, ( )) gibi bir soft nokta olsun., ve soft kompakt ise (, ) soft lokal kompakt uzaydır. Teorem 5.2.1: (, ) uzayı soft kompakt uzay olsun. Bu durumda her için,, olduğundan dolayı (, ) uzayı soft lokal kompakttır. Dolayısıyla soft kompakt bir uzay her soft noktasının soft kompakt bir komşuluğu olduğundan, her soft kompakt uzay bir soft lokal kompakt uzaydır. Fakat tersi genellikle doğru değildir. Teorem 5.2.2: : (, ) (, ) soft dönüşümü soft sürekli, soft açık ve örten olsun. (, ) uzayı soft lokal kompakt ise (, ) uzayı da soft lokal kompakttır. İspat: : (, ) (, ) soft dönüşümü soft sürekli, soft açık, örten ve (, ) uzayı soft lokal kompakt olsun. alalım. soft dönüşümü örten olduğundan, 24

( ) = olsun. (, ) uzayı soft lokal kompakt olduğundan soft noktasının (, ) uzayında soft kompakt komşuluğu vardır. Yani, olmak üzere, [ ] olacak şekilde bir soft kompakt komşuluğu vardır. soft dönüşümü soft açık ve soft sürekli olduğundan Tanım 3.3 ve Teorem 5.1.5 den, ( ) = ( ) ( ) olacaktır. Burada, ( ) Tanım 3.3 den dolayı soft açık, ( ) Teorem 5.1.5 den dolayı soft kompakt olacaktır. Dolayısıyla (, ) uzayıda verilen şartlar altında soft lokal kompakt olacaktır. 5.3. Soft Dizisel Kompaktlık ve Soft Sayılabilir Kompaktlık Bu bölümde öncelikle soft yakınsama kavramını verdik. Daha sonra soft dizisel kompaktlık ve soft sayılabilir kompaktlık kavramlarını vererek karşılaştırdık. Tanım 5.3.1: (, ) soft topolojik uzay ve ( ) dizisi ve verilsin. Eğer her soft komşuluğu için bir doğal sayısı varsa öyleki her doğal sayısı için ise ( ) dizisi soft noktasına soft yakınsıyor denir ve ile gösterilir. Tanım 5.3.2: (, ) soft topolojik uzayındaki her dizinin soft yakınsak bir alt dizisi varsa bu uzaya soft dizisel kompakt uzay denir. Örnek 5.3.1: Bir (, ) soft topolojik uzayın her sonlu soft alt kümesi soft dizisel kompakttır. Gerçekten, soft kümesinin elemanlarından oluşan ( ) = (,, ) dizisinde soft kümesinin elemanlarından en az biri, örneğin elemanı sonsuz defa tekrarlanacaktır. Bu takdirde (,,... ) dizisi ( ) dizisinin bir alt dizisidir ve bu dizi sabit olduğundan soft noktasına yakınsar. Teorem 5.3.1: Soft dizisel kompakt bir uzayın soft sürekli bir soft dönüşüm altındaki görüntüsü de soft dizisel kompakttır. İspat: : (, ) (, ) soft dönüşüm soft sürekli olsun. (, ) soft dizisel kompakt olsun. Dolayısıyla bu uzaydaki her dizinin soft yakınsak bir alt dizisi vardır. ( ) için ( ) ( ) alalım. Buradan, gibi soft yakınsak bir alt dizisi vardır. Buradan soft dönüşümü altında görüntü alınırsa, 25

( ) için ( ) ( ) ve ( ) ( ) olacaktır. Dolayısıyla (, ) soft topolojik uzayıda soft dizisel kompakttır. Tanım 5.3.3: (, ) soft topolojik uzayı verilsin. soft kümesinin sayılabilir her soft açık örtüsünün sonlu bir soft alt örtüsü varsa (, ) uzayına soft sayılabilir kompakt uzay denir. Sonuç 5.3.1: Her soft kompakt uzay soft sayılabilir kompakttır. Fakat tersi genellikle doğru değildir. Sonuç 5.3.2: (, ) uzayı soft ikinci sayılabilir olsun. Eğer (, ) uzayı soft sayılabilir kompakt ise, (, ) uzayı soft kompakt uzaydır. İspat: Soft ikinci sayılabilme aksiyomunu sağlayan bir uzayın her soft açık örtüsü Teorem 4.3 gereğince, sayılabilir bir soft örtüye sahip olduğundan, sonuç açıktır. Sonuç 5.3.3: Bir (, ) uzayı soft sayılabilir kompakt ve soft Lindelöf uzayı ise, uzay soft kompakt uzaydır. Teorem 5.3.2: Soft sayılabilir kompakt uzayın soft sürekli soft dönüşüm altındaki görüntüsü de soft sayılabilir kompakttır. İspat: : (, ) (, ) soft dönüşümü soft sürekli olsun. (, ) soft sayılabilir kompakt olsun. soft kümesinin sayılabilir açık örtüsünü {( ) : 1 } şeklinde alalım. Buradan, = şeklinde yazılır. soft dönüşümü soft sürekli olduğundan dolayı, ( ) =, { } biçiminde yazılır. (, ) soft sayılabilir kompakt olduğundan, ( ) = biçiminde yazılır. O halde, ( ( )) = ) = ifadesi elde edilir. O halde (, ) soft topolojik uzayıda soft sayılabilir kompakt olur. Teorem 5.3.3: Soft dizisel kompakt her uzay, soft sayılabilir kompakttır. 26

İspat: (, ) uzayının sonsuz bir soft alt kümesi verilsin. Bu taktirde soft kümesinin farklı elemanlarından oluşan {,,... } dizisi vardır. (, ) soft dizisel kompakt olduğundan bu dizinin soft noktasına yakınsayan ve farklı elemanlarından oluşan, {,, } gibi bir alt dizisi vardır. Dolayısıyla soft noktasının her soft açık komşuluğu ( ) dizisinin ve dolayısıyla soft kümesinin sonsuz sayıda elemanını içerir. Yani, soft noktası soft kümesinin bir soft yığılma noktasıdır. Dolayısıyla (, ) uzayı soft sayılabilir kompakttır. Teorem 5.3.4: (, ) uzayı soft birinci sayılabilir olsun. Eğer (, ) uzayı soft sayılabilir kompakt ise, (, ) uzayı soft dizisel kompakttır. İspat: (, ) uzayında bir ( ) dizisi verilsin. Bu dizinin soft yakınsak bir alt dizisi olduğunu göstereceğiz. (, ) uzayı soft sayılabilir kompakt olduğundan, bu dizinin (sonsuz soft kümenin ) gibi bir soft yığılma noktası vardır. (, ) uzayı soft birinci sayılabilir olduğundan, noktasının iç içe azalan şeklinde soft açık kümelerden oluşan sayılabilir bir { : } soft komşuluk tabanı vardır. soft noktası, ( ) dizisinin bir soft yığılma noktası olduğundan, her sayısı için soft kümesine ait olan bir elemanı alabiliriz. Böylece elde ettiğimiz (,, ) dizisi ( ) dizisinin bir alt dizisidir ve noktasına yakınsar. Çünkü her komşuluğu için olacak şekilde bir sayısı vardır. Dolayısıyla ( ) dizisinin ıncı teriminden sonraki tüm elemanları, komşuluğu içindedir. 27

SONUÇ VE ÖNERİLER (, ) soft topolojik uzayında soft kompakt uzayı inceledik. Soft kompakt uzaya ait kriter ve karakterizasyonlar elde ettik. Ayrıca soft kompakt uzay çeşitlerini tanımlayıp birbirleriyle ve soft kompakt uzay ile olan ilişkilerini inceledik. İncelemiş olduğumuz soft kompakt uzay ve çeşitlerinden yararlanarak (, ) soft topolojik uzayındaki ayırma aksiyomlarının birbirleriyle olan ilişkileri incelenebilir. 28

KAYNAKLAR [1] Molodtsov, D., 1999, Soft set theory first result, Computers and Mathematics with Applications, 37, 19-31. [2] Maji P.K., Biswas R., A.R. Roy, 2003, Soft Set Theory, Comput. Math. Appl. 45 555-562. [3] Aygünoğlu A., Aygün H., 2011, Some Notes on Soft Topological Spaces, Neural comput & applic DOİ 10.1007/s00521-011-0722-3. [4] Shabir, M., Naz, M., 2011, On soft topological spaces, Computers and Mathematics with Applications, 61, 1786-1799. [5] Çağman, N., Karataş, S. and Enginoğlu, S., 2011, Soft topology, Computers and Mathematics with Applications, 62, 351-358. [6] Ahmad, B.,Hussain, S., 2012, On some structures of soft topology, Mathematical Sciences 6:64 DOI: 10.1186/2251-7456-6-64. [7] Wardowski, D., 2013, On a soft mapping and its fixed points, Fixed Point Theory and Applications:182. [8] Kharal, A.,Ahmad, B., 2010, Mapping on soft classes, New Mathematics and Natural Computation. [9] Yüksel, Ş., 2011, Genel Topoloji, Eğitim yayınevi, Konya. 29

ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER AdıSoyadı : UĞUR ÇOŞKUN Uyruğu : T.C DoğumYeriveTarihi : GAZİPAŞA 08/08/1990 Telefon : 05069769433 Faks : e-mail : matugur_coskun@hotmail.com EĞİTİM Derece Adı, İlçe, İl Bitirme Yılı Lise : Gazipaşa Ç.P.L, Gazipaşa/ANTALYA 2007 Üniversite : Afyon Kocatepe Üniversitesi AFYONKARAHİSAR 2011 Yüksek Lisans : Selçuk Üniversitesi, KONYA - Doktora : İŞ DENEYİMLERİ Yıl Kurum Görevi 2012 M.E.B Gökpınar Ç.P.L Matematik Öğretmeni UZMANLIK ALANI YABANCI DİLLER BELİRTMEK İSTEĞİNİZ DİĞER ÖZELLİKLER YAYINLAR 30