Hafta_3 INM 308 Zemin Mekaniği Zeminlerde Kayma Direnci Kavramı, Yenilme Teorileri Yrd.Doç.Dr. İnan KESKİN inankeskin@karabuk.edu.tr, inankeskin@gmail.com www.inankeskin.com
ZEMİN MEKANİĞİ Haftalık Konular Hafta 1: Hafta : Hafta 3: Hafta 4: Hafta 5: Hafta 6: Hafta 7: Hafta 8: Hafta 9: Zemin Etütleri Amacı ve Genel Bilgiler Kil Minarelleri ve Zemin Yapısı Zeminlerde Kayma Direnci Kavramı, Yenilme Teorileri Zeminlerde Kayma Direncinin Ölçümü; Serbest Basınç Deneyi, Kesme Kutusu Deneyi, Üç Eksenli Basınç Deneyi, Vane Kanatlı sonda Deneyi Zeminlerde Kayma Direncinin Belirlenmesine Yönelik Deneyler; Laboratuvar Uygulaması Zeminlerde Kayma Direncinin Belirlenmesine Yönelik Problem Çözümleri Yanal Zemin Basınçları Yanal Zemin Basınçları; Uygulamalar Yamaç ve Şevlerin Stabilitesi; Temel Kavramlar Hafta 10: Yamaç ve Şevlerin Stabilitesi Örnek Problemler Hafta 11: Zeminlerin Taşıma Gücü; Sığ Temeller Hafta 1: Zeminlerin Taşıma Gücü; Kazıklı Temeller Hafta 13: Zemin Özelliklerinin İyileştirilmesi Hafta 14: Genel Zemin Mekaniği Problem Çözümleri Hafta 15: Final Sınavı
KAYMA DİRENCİ - MUKAVEMETİ Zeminle ilgili çeşitli problemlerin çözümünde zemin kayma direnci ile ilgili bilgilere gereksinim duyulur. Zemin ortamı yüklendiği zaman zemin kitlesinde gereilmeler oluşur. Zeminlerde göçme meydana gelmesi için olası bir kayma düzlemi boyunca kayma mukavemetinin aşılması gerekir. Genel olarak göçme, belli bir kayma düzlemi üzerine etkiyen normal ve kayma gerilmelerinin ortaklaşa etkisi sonucu ortaya çıkmaktadır. Zeminin kayma direnci-mukavemeti, göçme oluşmadan karşı koyabileceği en büyük kayma gerilmesi olarak tanımlanabilir. Başka bir ifade ile göçme düzlemi boyunca kaymaya karşı gösterilen dirençtir. σ τ τ f Göçme-Kayma yüzeyi boyunca oluşan kayma gerilmeleri (τ) Göçme anında kayma mukavemeti değerine τ f ulaşır.
KAYMA DİRENCİ - MUKAVEMETİ Şekilde F 1, F, F 3...F n kuvvetleri etkisi altında kalmış zemin kütlesi gösterilmiştir. O noktasında sonsuz sayıda düzlem geçebilir. Genel olarak bu düzlemlerin her biri üzerinde normal gerilmeler kayma gerilmeleri mevcut olacaktır. Ancak kayma gerilmelerin sıfır olduğu sadece normal gerilmelerin etkidiği gerilmeler asal gerilme olarak tariflenmektedir. Asal gerilmeleri şiddetlerine göre en büyük asal gerilme (σ 1 ), Ortanca asal gerilme (σ ) ve en küçük asal gerilme (σ 3 ) olarak bilinmektedir. F 1 F σ 1 O F 3 σ 3 σ 3 F 5 α σ 1 F 4
KAYMA DİRENCİ - MUKAVEMETİ Yatayda α açısı yapan bir düzlem üzerinde etkiyen kuvvetlerin bileşkesini bu düzleme dik (normal) ve paralel (kayma) iki bileşene ayırabiliriz. Eğer AC uzunluğu birim uzunluk olarak kabul edilir ise düzlem üzerindeki normal ve kayma gerilmelerine ayrılmış hali şekildeki gibi olur. σ z = WW AAAAAAAA α α σ z σ n = σ z ccooooα α α σ z Bir zemin kütlesinin herhangi bir noktadaki gerilme şartları o noktadan geçen düzlem üzerine etkiyen normal ve kayma gerilmeleri ile açıklanabilir. Analitik yada mohr dairesi yöntemiyle hesaplanabilir. σ= σ 1 +σ 3 + σ 1 σ 3 cccccccα τ= σ 1 σ 3 sssssssα
ZEMİNLERİN KAYMA GERİLMESİ DEFORMASYON İLİŞKİSİ Zemin elastik bir malzeme değildir. Elasto-plastik malzeme olarak kabul edilmektedir. σ σ ε Elastisite teorisinde σ-ε ilişkisi ε Zemin mekaniğinde σ-ε ilişkisi Elasto-Plastik Malzeme Plastik Malzeme
KAYMA DİRENCİ - MUKAVEMETİ Jeo-Geoteknik Mühendisliğinde kullanılan kuvvetlerin büyük bir kısmı basınç olduğu için basınç kuvvetleri ve gerilmeleri pozitif gösterilmektedir. Zemin çekme gerilmesi taşımaz kopar. Başka bir ifade ile zeminde işaretli normal gerilme olmaz. Bir kesitin dış normali (n) saatin tersi yönünde 90 0 döndürüldüğünde kayma gerilmeleri için + olan yön, diğer yön ise olan yön olarak düşünülür. Gerilme analizi en kolay şekilde Mohr gerilme dairesiyle yapılır. Mohr gerilme dairesinin önemli ve yararlı özelliklerinden birisi de kutup noktasının (düzlemlerin başlangıç noktası) belirlenebilmesidir. Mohr dairesini çizmek için iki gerilme noktasının bilinmesi yeterlidir. σ n (+) +τ 90 0 İşaret kuralı Kutup noktası; ortamdaki bir noktadaki tüm düzlemlerin mohr dairesi üzerinde geçtiği noktadır. Analizi yapılan düzlemin eğimi Ꝋ Mohr dairesinde Ꝋ olarak gösterilir. P noktasında Ꝋ eğiminde çizilecek doğru istenilen düzlemdeki gerilmeleri verir
KAYMA DİRENCİ - MUKAVEMETİ Bir kesitin dış normali (n) saatin tersi yönünde 90 0 döndürüldüğünde kayma gerilmeleri için + olan yön, diğer yön ise olan yön olarak düşünülür.
KAYMA DİRENCİ - MUKAVEMETİ Asal gerilme düzlemleri yatay ve düşey düzlemlerden farklı düzlemler olabilir. Bu durumda mohr dairesi çizildikten sonra önce bu daire üzerinde kutup noktasının (düzlemlerin orjini) bulunması gerekir. En büyük gerilme (σ 1 ) noktasından bu asal gerilme düzlemine paralel (etkidiği düzleme paralel) bir doğru çizilirse, bu doğrunun Mohr dairesini kestiği nokta kutup noktasını verir. σ 1 θ σ 3 τ α (σ θ, σ θ, ) kutup θ α σ 3 σ 1 σ
KAYMA DİRENCİ - MUKAVEMETİ Toprak set Temel topuğu Yenilme yüzeyi mobilised shear resistance Yenilme anında yenilme yüzeyi boyunca meydana gelen kayma gerilmesi kayma dayanımına ulaşır. Genel olarak bir zeminin kayma direnci aşağıdaki bişenlerden oluşmaktadır. 1. Tanelerin oluşturduğu yapının kesme deformasyonuna karşı gösterdiği direnç. Tanelerin (kum, çakıl) temas noktaları veya temas alanlarında oluşan sürtünme kuvvetleri 3. Zemin tanaleri (kil) arasındaki çekme veya yapışma (kohezyon) kuvvetleri
KAYMA DİRENCİ - MUKAVEMETİ Sürtünme Kavramı Yüzeyler arasındaki pürüzlülük arttıkça sürtünme direnci artacaktır. Cismin ağırlığı arttıkça sürtünme direnci artacaktır. Sürtünme Katsayısı Cismin harekete başladığı anda α=ɸ olacaktır FF = μμ. NN = tttttttt NN
MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ Zeminler için göçmeye yol açan normal ve kayma gerilmelerinin ortak etkisini gözönüne alan birçok hipotez geliştirilmiştir. Bunlar içinde en yaygın olarak kullanılanı Mohr-Coulomb göçme hipotezidir. Buna göre göçmeye yol açan normal ve kayma mukavemetinin sınır değerleri bir eğri ile gösterilmektedir. Bu grafikte normal gerilmeler yatay eksende, kayma gerilmeleri düşey eksende gösterilmektedir. Göçme zarfi olarak nitelendirilen bu eğrinin altında kalan gerilmeler için göçme ortaya çıkmazken, eğer gerilmeler bu eğriye ulaşmışsa göçme meydana gelmektedir. Zeminde bu eğrinin üzerinde bir gerilme hali oluşamayacağı açıktır. Göçme zarfı bir eğri şeklinde oluşmasına rağmen pratikte bu genellikle bir doğru olarak kabul edilmektedir. kohezyon Tanelerin birbirini çekmesini ve bir birine yapışmasını ifade eder. c τ σ τ f τ f = c + σ tanφ φ İçsel sürtünme acısı τ f zeminin normal gerilme altındaki maksimum kayma dayanımı σ Sürtünme bileşeni (önceki slayttaki 1 ve. bileşenin toplamını yansıtır.
MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ c ve φ makaslama dayanımının bir ölçüsüdür. Yüksek değerleri yüksek makaslama dayanımı demektir. DDDDDDDDDDDDDDDD dddddddddddddddddddd UUUU ; ττ ff = cc uu + σσσσσσσσ uu KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK dddddddddddddddddd dddddddddddddddddddd CCCC ; ττ ff = cc cccc + σσσσσσσσ cc uu DDDDDDDDDDDDDDDD dddddddddddddddddddd CCCC ; ττ ff = cc dd + σσσσσσσσ dd DDDDDDDDDDDDDD eeeeeeeeeeeeee gggggggggggggggggggggg ggggggg yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy; ττ ff = ccc + (σσ uu)tttttttt
MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ Kayama düzleminin asal düzlemle yaptığı açı τ GL σ 1 Y 45 + φ/ Kayma Düzlemi φ σ 3 σ τ α φ c.cotφ σ 3 φ 90+φ σ 3 + σ σ 45 + φ/ Yenilme düzlemi yatayla 45 + φ/ kadar açı yapar
MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ Kayama düzleminin asal düzlemle yaptığı açı Mohr dairesi, bir yükleme durumunda bir düzlemdeki gerilmeler bilinirken başka bir düzlemdeki gerilmeleri hesaplamaya yarar. ττ ττ αα σσ αα σσ xx = σσ 1 σσ 3 σσ σσ 1 ττ αα, σσ αα αα σσ yy = σσ 3 Kutup αα αα σσ σσ yy = σσ 3 σσ xx = σσ 1 (σσ 3 +σσ 1 ) Yarıçap (σσ 1 σσ 3 ) Kayma Düzlemi
MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ ττ αα, σσ αα RR RR = (σσ 1 σσ 3 ) cc σσ c.cotφ σσ 3 (σσ 3 +σσ 1 ) σσ 1 Göçmeye yol açan asal gerilme değerleri ile zeminin kayma mukavemeti parametreleri arasındaki ilişkiyi trigonometrik bağıntılar şeklinde ifade etmek mümkün olmaktadır. σ = σ tan (45 + φ / ) + c tan(45 + φ / 1 3 ) σ = σ tan (45 φ / ) c tan(45 φ / 3 1 )
MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ Mohr dairesi zarfa ulaşmaz ise zemin bileşeni yenilmez τ X Y Zemin elamanı farklı lokasyondaki X Y σ σ X ~ yenilme Y σ 3 σ 3 Y ~ sağlam
MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ Yükleme arttırıldığında Mohr dairesi büyür GL σ Yσ3 σ 3 σ 3..ve sonrasında Mohr dairesi zarfa ulaştığında yenilme gerçekleşir.
MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ ττ ff = ccc + (σσ uu)tttttttt Mohr dairesindeki σ ve σ Boşluk suyu basınçları zeminlerin kayma mukavemeti açısından oldukça önemlidir. Zemin kayma mukavemetini efektif gerilmeler cinsinden ifade etmek daha gerçekçi olmaktadır. σ v σ v u σ h σ h X X X = + u effektif gerilme Toplam gerilme Normal yüklenmiş killerde efektif gerilmelere göre değerlendirme yapılması durumunda c =c cu =c d =0 Aşırı konsolida killerde; σ h σ v σ h u σ v c >0, c cu >0, c d >0
MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ Mohr dairesindeki σ ve σ σ v σ v u σ h σ h X X X = + u Pozitif boşluk suyu basıncı oluşması durumunda daire sola negatif boşluk suyu basıncı oluşması durumunda ise daire sağ tarafa kayar.
DİĞER YENİLME KRİTERLERİ Zeminler için uygulanabilirliği her durumda geçerli olan mohr hipotezini yıllar içerisinde başka teorilerde izlemiştir. Zeminin gevrek olmadığı kabulü ile bu teorilerden bazıları tablodaki gibidir. TEORİ MATEMATİK İFADESİ Tresca-Coulomb σσ 1 σσ 3 = kk 1 Geliştirilmiş Tresca (σσ 1 σσ 3 ) = kk (σσ 1 + σσ +σσ 3 ) Von Mises (σσ 1 σσ 3 ) +(σσ σσ 3 ) +(σσ 1 σσ ) = kk 3 Geliştirilmiş Von Mises (σσ 1 σσ 3 ) +(σσ σσ 3 ) +(σσ 1 σσ ) = kk 4 (σσ 1 + σσ + σσ 3 Mohr Coulomb (σσ 1 σσ 3 ) = kk 5 (σσ 1 + σσ 3 ) Girffit (GEVREK) σσ 1 = σσ tt σσ 1 + 3σσ 3 < 0 (σσ 1 σσ 3 ) = 8kk 6 (σσ 1 + 3σσ 3 > 0) σσ tt = Malzemenin çekme dayanımı k= denklem değişmezi
ÖRNEKLER Aşağıdaki şekilde gösterilen elemana etkiyen gerilme değerleri dikkate alınarak 0 0 lik düzlemde oluşacak gerilme değerlerini analitik ve grafik yöntemlerine göre bulunuz. SORU τ kpa ÇÖZÜM (Geometrik) 50 kpa 50 kpa 150 kpa 50 kpa 150 kpa 50 kpa 50 σ =06 kpa τ=70 kpa 0 0 kutup 0 0 50 kpa 50 kpa 50 50 100 00 300 400 σ kpa Gerilme Şartları Analitik σσ nn = σσ yy+σσ xx + σσ yy σσ xx ccccccccc + ττ xxxx sssssssss 50+150 + 50 150 cccccccc + ( 50)ssssss40 ττ nn = σσ yy σσ xx sssssssss ττ xxxx ccccccccc 50 150 ssssssss ( 50)cccccc40
ÖRNEKLER Bir zeminin dayanım parametreleri c =0 ve ɸ =30 0 dir. Bu zemindeki bir elemanda yenilmenin 45 0 yapan bir düzlem üzerinde ve σ f =10 kpa ile gerçekleştiğini varsayarak a. Yenilmedeki kayma gerilmesini b. Zemin elemanındaki asal gerilmelerin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz. ÇÖZÜM τ σ=10kpa τ=5.77 kpa σ 3 τ P 5 45 0 F A σ 3 =6.8 kpa O 30 0 10 15 0 5 σ 1 E σ 1 =0 kpa σ 1. X ekseni üzerinde σ=10 kpa dan yenilme zarfını kesene kadar bir çizgi çizilirek A noktası bulunur. Elde edilen noktadan τ=5.77 kpa bulunur. Aynı sonuç yenilme zarfı denkleminden de elde edilir.. Mohr dairesi yenilme zarfına teyet olacaktır. Teyet noktası A olacaktır. Bu noktadan yenilme zarfına bir dik çıkarak X eksenine uzatarak aranan dairenin merkezi O bulunur. Merkezden OA yarı çaplı bir yay çizilir. Dairenin X eksenini kestiği yerler asal gerilmeleri ifade eder. 3. A noktası zemin elemanında 45 0 yapan düzlem üzerindeki gerilmeyi temsil ettiğinden A noktasından yatayla 45 0 açı yapan bir çizgi çekilir bunun mohr dairesini kestiği yer kutuptur (P). Majör ve Minör asal herilmelerin yönelimlerini elde etmek için PE vepf çizilir.
ÖRNEKLER Şekilde verilen eleman üzerine etkiyen kuvvetler σ 1 =5kPa σ 3 =1kPa olduğuna göre yatayla 35 0 olan düzleme etkiyen gerilmeleri bulunuz. ŞEKİL τ ÇÖZÜM 1 σ 1 =5kPa σ α =39 kpa C α=35 0 35 0 Yatay düzlem σ 3 =1kPa P 10 τ α =18.6 kpa 0 30 40 50 A σ 1. Ölçekli olarak Mohr dairesi çizilmeli; (Daire merkezi= (σ 1 +σ )/= 3kPa; Dairenin yarıçapı= (σ 1 -σ )/= 0 kpa. σ 1 in etkidiği yatay düzlemden yola çıkarak kutup noktası (P) bulunur. Kutup nokasından α=35 0 eğimli doğru çizilerek aranılan gerilme değerleri (C) bulunur.
ÖRNEKLER Şekilde verilen eleman üzerine etkiyen kuvvetler σ 1 =5kPa σ 3 =1kPa olduğuna göre yatayla 35 0 olan düzleme etkiyen gerilmeleri bulunuz. ÇÖZÜM σσ αα = σσ 1 + σσ 3 + σσ 1 σσ 3 cccccccαα ττ αα = σσ 1 σσ 3 sssssssαα σσ αα = 5 + 1 + 5 1 ccccccc 35 = 38.840 kkkkkk ττ αα = 5 1 sssssss 35 = 18.79 kkkkkk
ÖRNEKLER Bir önceki soruda verilen elemanın yataydan 0 0 döndülmesi durumunda düzleme etkiyen gerilmeleri bulunuz. ŞEKİL ÇÖZÜM τ σ α =39 kpa Yatay düzlem 10 P 70 0 C 0 30 40 50 A τ α =18.6 kpa σ 1. Bir önceki gibi mohr dairesi çiziniz.. σ 1 in etkidiği yatay düzlemden yola çıkarak kutup noktasını (P) bulunuz. Büyük asal gerilme yatayla 0 0 açı yapmaktadır. AP doğrusundan 35 0 dönün C noktasını bulun. Aranılan gerilme değerleri C noktasının koordinatlarından bulunur. Değer uzayda yer değiştirme olmadığından bir önceki örnekle aynıdır.