. AKIŞKAN STATİĞİ.6. Düzlesel Yüzeylere Etkiyen Hidrostatik Kuvvet Yatay bir düzlee bir akışkanın uyguladığı kuvvet F=.A bağıntısıyla bulunur. Burada; F : Yatay düzlee uygulanan hidrostatik kuvvet (N), : Yatay yüzeye akışkanın uyguladığı basınç (a), A : Yatay düzlein alanı ( ) dır. Hidrostatik kuvvetin etkidiği noktaya basınç erkezi denir. Yatay düzlede ağırlık erkezi ile basınç erkezi birbiriyle çakışıktır. Hidrostatik kuvvetin ağırlık erkezine göre belirlenesi istendiğinde düzlesel yüzeylerde genel bir forül verilebilektedir (Streeter ve Wylie 98, Munson vd. 994, White 0). Bu bağıntıda; F=. h. A F : Bileşke hidrostatik kuvvet (N), : Sıvının özgül ağırlığı (N/ ), h : Ağırlık erkezinin serbest sıvı yüzeyine olan düşey uzaklığı (), A : Yüzey alanı ( ) dir. Yatay düzlein dışındaki dik ve eğili yüzeylerde basınç erkezi ağırlık erkezinin altındadır (Şekil.). Basınç erkezinin yeri (y ve x) aşağıdaki forüllerle bulunabilir (Giles 980). 4
Şekil.. Eğili yüzeyde basınç kuvveti ve konuu (Giles 980; Munson vd. 994) y Ix y y.a x Ixy y.a x Bu eşitliklerde; 4 y : Basınç erkezinin serbest sıvı yüzeyine olan yatay uzaklığı (), x : Basınç erkezinin y koordinatına olan yatay uzaklığı (), Ix : Cisin ağırlık erkezinden geçen ve x eksenine paralel olan eksene göre alanın ikini oentidir ( 4 ), Ixy: Çarpı atalet oenti ya da ağırlık erkezinden geçen bir ortagonal koordinat sisteinin atalet oenti ile x-y koordinat sisteinin eydana getirdiği atalet oentinin çarpııdır ( 4 ), y : Ağırlık erkezinin serbest sıvı yüzeyine olan yatay uzaklığı (), A : Basının etkidiği isin yüzey alanı ( ), x : Ağırlık erkezinin y koordinatına olan uzaklığı () dir.
Şekil. de gösterilen geoetrik Şekillerin bazı özellikleri aşağıdaki gibi yazılabilir (Douglas 986a, Munson vd. 994, Bar-Meir 0). Dikdörtgen (a) Daire (b) A= b. a A=.. Ix.b.a Ix Iy 4 Iy.a.b Ixy= 0 Ixy= 0 4 Yarı daire () A Üçgen (d) a.b A b.a Ix Ix= 0,098 4 6 b.a Iy= 0,97 4 Ixy 7.(b d) Ixy= 0 Çeyrek daire (e). A 4 Ix= Iy= 0,05488 4 Ixy= -0,0647 4 4
Şekil.. Bazı geoetrik Şekiller ve özellikleri (a: dikdörtgen, b: daire, : yarı daire, d: üçgen, e: çeyrek daire) (Douglas 986a, Munson vd. 994, Bar-Meir 0). Düzlesel yüzeylere etkiyen hidrostatik kuvvetin bulunasında yararlı ve etkili bir siste olan basınç prizası, serbest sıvı yüzeyinden başlanarak aşağıya inildikçe basınç artışının diyagrala gösterilesi esasına dayanır. Bu yöntede basınç dağılııyla ortaya çıkan basınç prizasının hai hidrostatik kuvvete eşittir. Örneğin dikdörtgen şeklindeki bir yüzey serbest sıvı yüzeyinden başlıyorsa bu dikdörtgen yüzeye etkiyen hidrostatik kuvvet Şekil. den yararlanılarak şu Şekilde yazılabilir (Ayyıldız 984). Burada; Üçgen prizanın hai = F h (.h).(b.h).. A F : Hidrostatik kuvvet (N), : Sıvı akışkanın özgül ağırlığı (N/ ), h : Basınç prizasının ya da dikdörtgen isin serbest sıvı yüzeyinden olan düşey uzaklığı (), b : Dikdörtgen isin genişliği (), A : Dikdörtgen yüzeyin alanı ( ) dir. 44
Şekil.. Düşey dikdörtgen yüzeydeki basınç prizası (Munson vd. 994) Eğer dikdörtgenin üst kısı serbest sıvı yüzeyinden aşağıdaysa Şekil.4 deki gibi basınç prizası elde edilir. Bu basınç prizası bir yauktur ve yauğun hai kuvveti verektedir (Ayyıldız 984). Yauğun hai=.h.h F.b. h Üçgen basınç prizasında bileşke kuvvetin uygulana noktası yani basınç erkezi basınç prizasının erkezinden geçektedir. Bu da üçgenin tabanından h/ ve tepesinden h/ uzaklığındadır (Edis 97). Yauk basınç prizasında kuvvetin etkidiği nokta (ya) A noktasına göre oent alarak bulunabilir (Edis 97, Ayyıldız 984). F. ya = F. y + F. y y A F.y F.y F F=.h.h.b h y h F.h..b y h ise h h.h..b..b y A. (h h).h.b yazılabilir. 45
Şekil.4. Serbest sıvı yüzeyinden aşağıdaki dikdörtgen yüzeyin basınç prizası (Munson vd. 994) Yine serbest sıvı yüzeyinden aşağıda, anak eğili olan bir dikdörtgen yüzeye gelen basınç kuvvetini bulalı. Şekil.5 te eğili yüzeye gelen basınç dağılıı gösteriliştir. Bu isideki hidrostatik kuvvet, oluşan yauk basınç prizasının haidir (Ayyıldız 984). Şekil.5. Eğili dikdörtgen yüzeyin basınç dağılıı (Edis 97)..h.h F.L.b.7. Eğrisel Yüzeylere Etkiyen Hidrostatik Kuvvet Eğrisel yüzeylere etkiyen hidrostatik kuvvet; akışkanın dengesi prensibine dayanarak, akışkanın içinde bir hai veya bölge katılaştırılarak yani katı isi kabul edilerek bu hae etki eden kuvvetlerin her yöndeki ebirsel toplaları dengede oldukları için, sıfıra eşitleyerek hesaplanaktadır. Şekil.6 daki BC yüzeyine gelen kuvvet aşağıdaki gibi bulunur (Munson vd. 994). FH = F 46
Fv= F + W F= ((FH) + (Fv) ) / Burada; FH : Yatay bileşke kuvveti (N), F : Sıvının eğik yüzeye uyguladığı yatay kuvvet (N), Fv : Düşey bileşke kuvveti (N), F : Sıvının eğik yüzeye uyguladığı düşey kuvvet (N), W : Eğik yüzey üzerindeki sıvının ağırlığı (N), F : Eğik yüzeye etkiyen hidrostatik kuvvet (N). Bileşke hidrostatik kuvvet (F), Şekil.6 daki (0) noktasına etkir ve bu nokta belli bir noktaya oent alınarak bulunur. Burada; F kuvveti düzlesel yüzeylere gelen kuvvetler gibi hesaplanır. Yani F=.h.A= AC ( AD ) A dır.. ile bulunur. Bu forüldeki Eğrisel yüzey üzerindeki F kuvveti ise F : eğik yüzey üzerindeki sıvının haidir. Eğik yüzeydeki sıvının ağırlığı, hai ise W. ile hesaplanır (Munson vd. 994, Hewakandaby 0). Şekil.6. Eğrisel yüzeye gelen hidrostatik kuvvet (Munson vd. 994, Hewakandaby 0) Akışkan, eğrisel yüzeyin altında ise F yatay kuvveti yine düşey düzlede eğrisel yüzeyin projeksiyon alanına etkiyen bileşke basınç kuvvetidir. Düşey kuvvetler (W ve F ) ise yukarıda bahsedildiği gibi eğrisel yüzeyin üzerindeki sıvının ağırlığına eşittir. Sonuç olarak sıvı eğrisel yüzeyin altında ya da sağında ise eydana gelen bileşke kuvvet, sıvının eğrisel yüzeyin solundaki bileşke kuvvetin hesaplandığı gibi hesaplanır. Anak kuvvetlerin yönleri ters olur. 47
.8. Kaldıra Kuvveti Batış ya da yüzen bir ise, akışkan tarafından uygulanan yukarı yönlü kuvvete kaldıra kuvveti denir ve yalnıza akışkanın özgül ağırlığıyla isin batan hainin çarpıına eşittir. Kaldıra kuvveti; isin sıvı içindeki derinliğine, sıvının azlığına ya da çokluğuna ve haileri eşit ise isin şekline bağlı değildir. Kaldıra kuvveti aşağıdaki gibi forülize edilebilir (Streeter ve Wylie 98). FB=. FB : Kaldıra kuvveti (N), : Cisin batan kısının hai ( ), : Akışkanın özgül ağırlığı (N/ ) dır. Kaldıra kuvvetini; isi tarafından yer değiştirilen akışkan hainin ağırlığı ya da isin taşırdığı sıvının ağırlığı olarak da tanılayabiliriz. Dalış bir ise etki eden kaldıra kuvvetinin uygulaa noktası daia isin hai erkezi(sentroid)dir. Bu nedenle dalış isilerde hai erkezi aynı zaanda ağırlık erkezi olaktadır. Yüzen isilerde ise kaldıra kuvveti, isin dalış kısının hai erkezinden geçektedir. Anak isin hai erkezi ağırlık erkezi olaaktadır. Cisin havadaki ağırlığı ile sıvıdaki ağırlığı arasındaki fark kaldıra kuvvetine eşittir (FB= Wh Ws). Sıvının kaldıra kuvveti, isin ağırlığından büyük ise, isi su üzerinde yüzer (FB > Wis ya da sıvı>is). Sıvının kaldıra kuvveti ile isin ağırlığı birbirine eşit ise, isi sıvı içinde bırakıldığı yerde askıda kalır ((FB = Wis ya da sıvı =is). Sıvının kaldıra kuvveti isin ağırlığından küçük ise, isi dibe batar ((FB < Wis ya da sıvı < is). Yüzen ve sıvı içinde ağırlıksız dengede olan isiler için aşağıdaki eşitlik yazılabilir. Cisin ağırlığı=yeri değişen (taşan) sıvının ağırlığı=sıvının kaldıra kuvveti Hava ortaında isilere hava tarafından bir kaldıra kuvveti uygulanır. Bu kaldıra kuvvetinin değeri isin hai kadar haideki havanın ağırlığına eşittir. Bu nedenle bir isin havadaki ağırlığı, gerçek ağırlığından havanın kaldıra kuvveti kadar daha azdır. Bu kaldıra kuvveti nedeniyle hidrojen gibi havadan hafif olan gazlarla dolduruluş bir balon havada yükselir. -Cisin ağırlığı havanın kaldıra kuvvetinden büyükse o isi yere düşer. - Cisin ağırlığı havanın kaldıra kuvvetine eşitse o isi bırakıldığı noktada havada dengede kalır. - Cisin ağırlığı havanın kaldıra kuvvetinden küçükse o isi havada yükselir. -Havasız ortada havanın kaldıra kuvveti sıfırdır. -Hai büyük olan ise hava daha fazla kaldıra kuvveti uygular. 48
.9. Blok Halinde Sabit İve İle Hareket Eden Akışkanlar Blok halinde sabit ive ile hareket eden sıkıştırılaaz akışkanların (sıvılar) iki tipi vardır. Bunlar sabit iveli düzgün hareket ve düşey bir eksen etrafında döne hareketi (ebri vorteks) dir. Sabit iveyle bir blok halinde yatay yönde hareket eden bir sıvının yüzeyinde eş basınç eğrileri oluşur ve hareket yönünde serbest yüzeyi eğilenir (Şekil.7). Bu harekette serbest sıvı yüzeyinin eğii aşağıdaki gibi bulunabilir (Ayyıldız 984; Streeter ve Wylie 98). tan dz dy a y g a Burada; tanθ=dz/dy : Sıvının serbest yüzeyinin eğii (-), ay : Sıvının yatay doğrultudaki ivesi (/s ), g : 9.8 /s, az : Sıvının düşey doğrultudaki ivesi (/s ) dir. z Forüldeki (-) işareti eğiin hareket doğrultusunda aşağı yönlü olduğunu gösterektedir. Sabit iveli düzgün harekette yatay ve düşey düzledeki iki nokta arasındaki basınç farkı (dp) ise; dp= - ay dy -.(g+az) dz bağıntısıyla bulunur. İçerisinde sıvı bulunan döner bir silindirde döne ekseninden (r) uzaklığındaki bir sıvı taneiğinin ivesi az olup r.w değerine eşittir ve yönü de eksene doğrudur. Bu taneiğe etki eden basınç, eksene olan uzaklığın (r) ve serbest sıvı yüzeyine olan düşey uzaklığın (z) fonksiyonudur (Şekil.8). Basınç farkı aşağıdaki gibi hesaplanabilir: dp=.r.w.dr -. dz Serbest sıvı yüzeyinin denklei ise; dz r.w dr g olup, bu eşitliğin integrali alındığında w.r z.g sabit Bulunur (Edis 97a, Bar-Meir 0, White 0). Buradaki; 49
z: Serbest sıvı yüzeyinin aksiu ve iniu noktaları arasındaki yükseklik farkıdır. Eğer referans noktası serbest sıvı yüzeyinin iniu noktası seçilirse sabit sıfır değerini alır. Cebri vorteksde yüzey denklei bir paraboloiddir ve döner bir paraboloidin hai o paraboloidin dışına çizilen silindir hainin yarısına eşittir. Döner bir kaptaki sıvının döküleden eydana getirdiği paraboloidin aksiu ve iniu noktaları, sıvının döneden öneki serbest yüzeyine eşit uzaklıktadır. Şekil.7. Sabit iveli düzgün harekette serbest sıvı yüzeyi (Munson vd. 994) 50 Şekil.8. Cebri vortekste serbest sıvı yüzeyi (Munson vd. 994).0. Akışkan Statiğiyle İlgili Uygulaa Örnekleri ÖNEK-.: Hidrostatik teel denge denkleini kullanarak statik sıvı ve gaz akışkanlarda basınç eşitliğini bulunuz. Çözü:.k.a a= 0 olduğundan (hareket yok). k 0
k i x y j k. k z yazılabilir. Buradan vektörlerin eşitliğinden şunlar yazılabilir. 0 x 0 y z Bu sonua göre yatay düzlede statik akışkanda basınç bir noktadan diğer noktaya değişeektedir. Basınç yalnıza z ye bağlı olakta yani yükseklikle değişektedir. Bu nedenle basınç eşitliği diferansiyel forda yazılabilir. d dz dp= -.dz Bu denkle basının yükseklikle nasıl değiştiğini gösterektedir. Düşey doğrultuda basınç gradyentinin (eğiinin) negatif olduğu yani akışkan içerisinde yukarı çıkıldıkça basının azaldığı anlaşılaktadır. Bu bağıntıda özgül ağırlığın sabit ya da değişken olası öneli değildir. Bu nedenle forül sıvı ve gazların, küçük yüksekliklerinde kullanılabilir. Anak gazların büyük yüksekliklerinde özgül ağırlıktaki değişi dikkate alınalıdır. Gazlardaki ideal gaz kanunu dikkate alındığında çok büyük yüksekliklerdeki basınç değişii aşağıdaki gibi bulunabilir. =..T d dz d dz d g..t g dz.t Yükseklikle sıaklığın sabit kaldığı değişediği kabul edilir ve sıaklık To olarak alınırsa; g(z z).t0. e yazılabilir. 5
ÖNEK-.: Kapalı bir tankta yüksekliğinde özgül kütlesi 60 kg/ olan gliserin vardır. Gliserinin üzerinde hava olup, bu havanın basını 4 70 a dır. a) Tankın tabanına yapılan basını, b) Tankın tabanındaki basınç yükünü, ) Tankın tabanındaki 50 x 50 lik kare kapağa gelen hidrostatik basınç kuvvetini bulunuz? Çözü: a) Tankın tabanındaki basınç gliserinin ve havanın yapış olduğu basınçların toplaıdır. = h +.h kg 470a 60. 9,8. s. = 78 45,8 a b) Basınç yükü yükseklik biriiyle ifade edilir. h γ su 78 45,8a 980 N/ h= 7,997 ) F=.A= (78 45,8 a.).(0,5. 0,5 ) F= 96,95 N ÖNEK-.: Şekilde A pistonu ile B pistonunun alanları sırasıyla 0,004 ve 0,4 dir. B pistonunun ağırlığı 40 000 N olup kap ve ara bağlantılar 0,75 yoğunluklu yağ ile dolduruluştur. A pistonunun ağırlığını ihal ederek denge için gerekli F kuvvetini bulunuz? 5
Çözü: B pistonuna etkiyen basınç, A pistonuna etkiyen basınçla, 5 lik yağın yapış olduğu basına eşittir. A W. g. h A B B W A. g h B A. B A 40000 N kg 0,75.000. 9,8. 5 0,4 s A= 6,5 a F= A.AA= (6,5 a.). (0,004 ) F= 5,85 N ÖNEK-.4: Yerden k yükseklikte stratosphere tabakasının başlangıındaki utlak basınç 600 a olup sıaklık stratosphere tabakasının biti noktası olan 0, k ye kadar 56,5 C o de sabit kalaktadır. Stratosphere tabakasının 5. k deki havanın utlak basınını ve özgül kütlesini bulunuz. g= 9,77 /s ve = 86,9 j/kg.k alınaaktır. Çözü: g(z z).t0.e 5
(600a).e 9,77 /s (5000000) 86,9 j/kg.k(756,.5)k = 046,6 a ρ.t 0 046,6 a j 86,9.(7 56,5) K kg.k = 0,94 kg/ ÖNEK-.5: Yüksekliği 00 olan bir binanın tepesi ile tabanı arasındaki basınç oranını (/) havayı a) Sıkıştırılabilir, b) Sıkıştırılaaz kabul ederek bulunuz. Hava sıaklığı 5 C o de sabit olup havanın özgül ağırlığı N/, atosfer basını 00 a ve gaz sabiti 86,9 j/kg.k alınaaktır. Çözü: a) g.(z z) 9,8/s (00) p.t0 e 86,9j /kg.k.(7 5)K e p 0.965 b) Havayı sıkıştırılaaz alırsak yani sıvı gibi kabul edersek ve binanın tabanındaki basına dersek; = + (z z) yazabiliriz. Buradan basınç oranı (/) (z z) ( N/ ).(00 ) 0 0 a 54 0,9644 Yukarıdaki iki sonuç arasındaki farkın küçük olduğu görülektedir. Yani binanın tabanı ile tavanı arasındaki basınç farklılığı çok küçüktür. Bu da havanın özgül kütlesindeki değişiin az olduğunu sıkıştırılabilir ve sıkıştırılaaz akışkanların aynı sonuu verdiğini gösterir. Böylee etrelerle ifade edilebilen yükseklikler
için sıvılarda kullanılan basınç forülü gazlar için de kullanılabilir, basınç farklılıkları ihal edilebilir deektir. ÖNEK-.6: Şekilde görülen tankta hava yağ tarafından tankın üstüne doğru sıkıştırılıştır. Tanka bağlanan U-anoetresinde h=, h= 0,, h= 0, dir. Yağın özgül ağırlığı 95 /, anoetrede yükselen ivanın özgül ağırlığı 46 N/ ise tanka bağlı anoetredeki basını bulunuz. Çözü: A ve B noktalarında basınçları birbirlerine eşitleyeli. A hava y(h h) B. h a A B den hava a.h y(h h) elde edilir. Biz anoetrik basını bulaağıızdan atosfer basını a= 0 alınır. hava 0 46.(0,) 95.( 0, ) hava 904, a ÖNEK-.7: Bir tankta bulunan havanın basını anoetreyle ölçülüş ve yerel atosfer basını 760 Hg iken 50 000 a bulunuştur. Yerel atosferik basınç 77 Hg olduğunda anoetredeki okunan basınç ne olur? 55
Çözü: Tanktaki utlak basının her iki koşulda da birbirine eşit olası gerekir. ut ut ut at an Bu eşitlikten ut at an an at an at an an 760 Hg 50000 a 77 Hg 50000a Hg Hg an 50000a Hg 7,50.0 a an 5867a a 7,50.0 Hg alınıştır. ÖNEK-.8: Aşağıdaki Şekilde verilen A ve B borularındaki basınç farkını bulunuz. 56
Çözü: A ve B noktaları arasındaki basınç farkını bulak için A noktasından başlayarak basınçları yazalı. Aşağı indikçe basını pozitif, yukarı çıktıkça basını negatif alalı. A.h.h.h B A. h bulunur. B h. h. ÖNEK-.9: Bir kapak Şekilde gösterildiği gibi 60 o eğili olarak baraj tabanına yerleştiriliştir. Barajın derinliği, baraj suyunun özgül ağırlığı 980 N/, kapağın genişliği 5 ve I x = 70 4 olarak veriliştir. a) Kapağa etki eden sıvı basınç kuvvetini, b) Basınç kuvvetinin etkidiği basınç erkezinin serbest sıvı yüzeyine olan yatay ve düşey esafesini ) Ağırlık erkezi ile basınç erkezi arasındaki uzaklığı bulunuz. Çözü: Kapağın tabanından serbest sıvı yüzeyine olan yatay uzaklığına X, kapağın tepesinin serbest sıvı yüzeyine olan yatay uzaklığına X ve kapağın uzunluğuna L diyeli. (0,4,6) X 5 Sin60 X,6 Sin60 L= X-X = 5 = a) Basınç prizası yönteini kullandığıızda, eydana çıkan Şekil bir yauk olup yauğun hai sıvı basınç kuvvetine eşittir. 57
F.(0,4,6).(,6 ).L.b F N 980.(0,4,6,6 )..5 F 459 080 N bulunur. Basınç kuvvetinin bulunasında ağırlık erkezinin serbest sıvı yüzeyi olan h yüksekliğini kullanırsak da aynı sonuu buluruz. F N.h.A 980.((6 ).Sin60).(5.). F 459 080 N b) Basınç kuvvetinin etkidiği basınç erkezinin serbest sıvı yüzeyine olan yatay (y) ve düşey (h) uzaklıkları aşağıdaki gibi bulunur. y Ix y.a y Burada; y : Ağırlık erkezinin serbest sıvı yüzeyine olan yatay uzaklığı olup 6+= 9 dir. Ix : Atalet oenti olup 70 4 olarak veriliştir. y (9 4 70 9 ).(.5 ) y 0, h y.sin60 (0,0 ).(Sin60) h 8,9489 ) Basınç erkezi (y) ile ağırlık erkezi (y) arasındaki uzaklık (e); e= y-y= 0, -9 e=, bulunur. Ya da (y) bağıntısından 58
e y y Ix y.a 9 4 70.(.5 ) elde edilir. e=, ÖNEK-.0: Şekilde görülen AC kapağın yarıçapı r = 8, genişliği yani Şekil düzleine dik boyutu b= olduğuna göre kapağa suyun yaptığı basınç kuvvetinin yatay ve düşey bileşenleri ile bu bileşenlerin A noktasına olan uzaklıklarını bulunuz. Suyun özgül ağırlığı 980 N/ alınaaktır. Çözü: AC radyal kapağa etki eden hidrostatik basının yatay bileşeni, bu yüzeyin düşey düzle üzerindeki izdüşüüne gelen basınç kuvvetine eşittir. Buna göre AB düzleine gelen basınç kuvvetinin hesaplanası gerekektedir. N Fx..h.b. 980.(8.Sin60).() F x 85 80 Ν F x başka bir yöntele aşağıdaki gibi bulunabilir. N 8.Sin60 Fx.h.A 980..(8.Sin60.) 59
F x 85 80 Ν adyal kapağa etki eden hidrostatik basınç kuvvetinin düşey bileşeni ise bu yüzeyin üzerinde bulunan sıvının ağırlığına eşittir. F y. F y.a.b A alanı aşağıdaki gibi hesaplanır. A ABC (ABCD CDO) ACO A ABC (r r os60)h r os60.h πr 60 60 A ABC (8 8.0,5)8. sin 60.8.os60.8.sin 60.8. 60 60 A ABC 8,058 N Fy 980. F y 948 587,76 Ν 8,058.( ) Yatay bileşen kuvvetinin (Fx) uygulaa noktasının A noktasına olan uzaklığı h/ olup sayısal değeri; h 8.sin60 h, Düşey bileşen kuvvetinin uygulaa noktasının A noktasına olan uzaklığı ise bu iki bileşenin 0 noktasına göre oentlerinin alınasıyla hesaplanır. h. F y.x 0 Fx 60 Fx.h (85 80 ).(8.sin60) x.fy ().(948 587,76 N)
x 6,88 Fy kuvvetinin A noktasına olan uzaklığı (x); elde edilir. x= r-x= 8 6,88 x=, ÖNEK-.: Üçgen bir kapı (CDE), CD kenarından bağlı olup, bu kenardan açılıp kapanabilektedir. Kapının açılası için gerekli olan kuvvet E noktasından uygulanakta ve ile gösterilektedir. Aşağıdaki Şekilde görülen depoda yoğunluğu SG=,0 olan bir sıvı bulunakta ve deponun üstü atosfere açılaktadır. Kapının ağırlığını ihal ederek; a) Kapıya yağın uyguladığı basınç kuvvetini ve bu kuvvetin uygulaa noktasını (y, x) bulunuz. b) Kapının açılabilesi için gerekli olan kuvvetini hesaplayınız. Çözü: N a) F.h.A 980.(6,5.sin0)..5. F 99 Ν y Ix y.a y b.a Ix 6 (5 ).( ) 6 4 Ix,75 6
A.b.h A 7,5 y 6,5.5. y 4,75 6,5 (6,5 ).(7,5 ) y 6,58 x Ixy y.a x b.a 5.() Ixy (b d) (5.,5) =0 7 7 x a 6,5 0 x.7,5 x Basınç erkezi ile ağırlık erkezi aynı çizgi üzerinde anak e= y y = 0,08 aşağıdadır. b) Kapının açılası için gerekli olan kuvvetini hesaplaak aaıyla CD eksenine göre oent alalı.. F. (F ).( ) (99 Ν).( ) 79706 ÖNEK-.: Çapı ve kütlesi olan bir silindir Şekilde görüldüğü gibi genişliğinde ve 4 yüksekliğinde bir kapıya bağlanıştır. Kapı, su seviyesi h=,5 nin altına düştüğü anda açılaaktır. Sürtüneleri ihal ederek silindirin kütlesini bulunuz. 6
Çözü: Önelikle kapıya suyun yaptığı basınç kuvvetini bulalı. F.h.A Kapı, su seviyesi h=,5 nin altına düştüğü zaan açılaağına göre,5 lik suyun yaptığı basınç kuvvetini bulaağız. F F N,5 980..(,5.) 6,5 Bileşke kuvvetin kapıya olan etki noktası yani basınç erkezi h/ dür. h,5 0 noktasına göre oent alarak silindirin bağlı olduğu ipe gelen kuvveti bulalı. İpteki gerile kuvveti T olsun. h T.4 F. F.h T T 77,44 (6,5 N).(,5 ) ( ) Silindire etkiyen kendi ağırlığı (W); kaldıra kuvveti (FB) ve ipteki gerile kuvveti (T) arasında aşağıdaki ilişki vardır. W F B T Kaldıra kuvveti silindirin suya batış hai ile suyun özgül ağırlığının çarpıına eşittir. 6
F B γ. b.d. 4 N π. FB 980.. 4 F B 557, Ν.(h ) W 557, 77,44 W 4 0,57.(,5 ) W 4 0,57 N 480,8 g 9,8 /s kg ÖNEK-.: Özgül ağırlığı ölçülek istenen ısırın havadaki ağırlığı W h= 0,044 N olup özgül ağırlığı 980 N/ olan suya batırılıyor. Mısırın sudaki ağırlığı Ws= 0,0 N ölçüldüğüne göre deneeye alınan ısırın haini ( ) ve özgül ağırlığını () bulunuz. Çözü: Mısır suya batırıldığında kaldıra kuvveti ısırı kaldıraya çalışaak yani onu hafifleteektir. Sudaki ısıra etkiyen kaldıra kuvvetine göre ısırın havadaki ağırlığı sudaki ağırlığı ile kaldıra kuvetinin (FB) toplaına eşittir. W W F h s B F B W h W s 0,044 0,0 F B 0.0 Kaldıra kuvveti bilindiği gibi isin taşırdığı sıvının ağırlığıdır. Ya da isin sıvıya batan kısının hai ile sıvının özgül ağırlığının çarpııdır. F B. F B γ 0,0 Ν N 980,69.0 6 ısırın özgül ağırlığı () 64
W h 0,044 6,69.0. N 080 ÖNEK-.4: Yüksekliği,, uzunluğu ve genişliği olan dikdörtgen prizası biçiindeki depo 0,8 yüksekliğinde özgül ağırlığı 77 N/ olan bir yağ ile doludur. Bu yağ deposunun yatay doğrultuda /s lik sabit ive ile çekilesi duruunda; a) Yağ yüzeyinin yatayla yaptığı açıyı, b) Deponun hareket doğrultusundaki yüzeylerine etki eden bileşke basınç kuvetlerini bulunuz. Çözü: a) Yağ yüzeyinin yatayla yaptığı açı (); dz ay tan dy g a z düşey doğrultuda bir hareket oladığı için az= 0 alınır. ay tan g tan /s 9,8/s =.5 o b) Deponun hareket halindeki şeatik resini çizeli 65
Depo hareket halinde iken yağın etkidiği yan yüzeyler B ve C olaktadır. Bu iki yüzeye gelen yağ basınç kuvvetini yağı statik kabul ederek bulabiliriz. Öne uzunlukları bulalı. A D OA. tan A D BC. tan,5 A D 0,06 B A AB 0,06 0,8 B.06 C DC D 0.8 0.06 C 0,494 B yüzeyine gelen kuvvet (FB); F B F B.B.B.b N. 77.(,06 ).( ) F B 4 400 Ν C yüzeyine gelen kuvvet (FC); N F C.. C. b.77 (0,494).. F C 87, 8 FB ve FC kuvvetlerini aşağıdaki yöntele de bulabiliriz. F B.h.A A h B.b B dir. 66
N,06 FB 77..(,06.) F B 4 400 Ν F C.h.A A C.b h C dır. N 7 FC F C 87, 8 0,494.. 0,494. ÖNEK-.5: Yarıçapı r= 0,0 ve yüksekliği H= 0,90 olan üstü atosfere açık silindir şeklindeki kap h= 0,70 yüksekliğine kadar su ile doludur. Suyun serbest yüzeyine ait paraboloidin kabın tabanına teğet olası için silindir kabın z düşey ekseni etrafında hangi sabit w açısal hızı ve hangi sabit n devir sayısı ile döndürülesi gerektiğini ve bu duruda silindirden atılan suyun haini hesaplayınız. Çözü: Suyun serbest yüzeyine ait paraboloidin kabın tabanına teğet olası deek su yüksekliği ya da suyun tepe noktası ile en alt noktası olan z nin kabın yüksekliğine eşit olası deektir. Z H 0.90 Cebri vortekste sıvı serbest yüzeyinin denkleini yazalı. w.r z g z..g w r w 4 rad/s / (0,90).().(9,8/s ) (0,0) Açısal hız denkleinden de devir sayısı bulunur. / 67
.n w 60 n 60 w.π n,69in 60.(4rad/s).π Silindirden atılan su iktarını bulak için başlangıçta kapta bulunan sudan, son duruda kapta kalan su iktarını çıkartırız. Başlangıçtaki su iktarı: r h 0,0).(0,70) 0, 979.( Döndürüldükten sonra kapta kalan su iktarı ( ) : r H..(0,0).(0,90) 0, 7 Kaptan atılan su iktarı:,979 0,7 0, 0707 0 dür. ÖNEK-.6: Çapı olan bir tankın, düşey sietri ekseni etrafında sabit bir açısal hızı ile dönesi halinde paraboloid sıvı yüzeyinin tepe noktası ile en alt (taban) noktası arasındaki esafenin z= 0,40 olabilesi için; a) açısal hızını ve n devir sayısını, b) Tankın döneye başlaadan öne taaen dolu olası halinde, tankın ekseni etrafında dönerek aynı paraboloidin eydana gelebilesi için tanktan atılası gerekli sıvı haini hesaplayınız. Çözü: a) Sıvı serbest yüzeyinin denkleini yazalı. w.r z g 68.g.z w r w 5,60 / rad/s. ().(9,8/s ).(0,40) (0,5 ) Açısal hız denkleinden devir sayısı bulunur. /
n w 60 n 60.w.π n 5,48in 60.(5,60 rad/s).π b) Tanktan atılan sıvı haini bulak için z= 0,40 olan paraboloidin haini bulak yeterlidir. Çünkü atılan su eydana gelen paraboloid hai kadardır. araboloid hai ise bu paraboloide teğet olan silindir hainin yarısına eşittir. Burada eydana gelen silindirin yarıçapı r = 0,50, yüksekliği, z= 0,40 dir. Buna göre atılan su hai ( );..r.z..(0,50).(0,40) 0,57 dür. 69