Soru 1) (50 Puan) şağıda verilen sistemin üzerine etkiyen yükler ve konumları şekil üzerinde belirtilmiştir. una ek olarak mesneti cm aşağı yönlü oturmuştur. Tüm kolon ve kirişlerin atalet momenti, elastik modülü dir. Verilen yüklere göre Ç YÖNTİNİ KULLNRK a) ilinmeyenleri yazın ( puan) b) leman uç momentlerini şekil üzerinde gösterin ( ab, ba vb. eleman uç momentlerdir) (10 puan) c) leman uç momentlerinin denklemlerini oluşturun (10 puan) d) enge ve kesme denklemlerini oluşturun (10 puan) e) leman uç momentlerini denklemlerde yerine koyun ve matris formatında yazın (16 puan) q = 8 kn/m m q = 8 kn/m 5 m m q = 5 kn/m m m q = 5 kn/m Sistemdeki bilinmeyenler θ, θ, θ, açıları ve doğrultusunda yaptığı Δ yanal deplasmandır. una göre sistemde toplam adet bilinmeyen mevcuttur. b) leman uç momentleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. SU SU SU SU SU SU SU SU SU SU K K K K K K K K K K
Sertlikler: K K K 5 K K = 6K kabulü yapılırsa K K K 1, 5K K 1, K K 1, 5K K K elde edilir. nkastre omentleri: 5 * 5 * SU, knm SU 16, knm 0 0 8* SU 6 knm SU 6 knm 1 SU 0 knm SU 0 knm 8*5 8*5 SU 100 knm SU 100 knm 1 1 5 * 5 * SU 16, knm SU, knm 0 0 Yanal Kayma ile Oluşan önme: l l l Oturma ile Oluşan önme: 0,0 0, 0075 radyan l esnet Koşulu: 0 0 0 0,0 0, 006 5 l radyan eğerler yerine konarak aşağıdaki eşitlik kümesi elde edilir. 16, 0,05 6 0,05 6 0, 0, 0,018 100 0,018 100 16, K, K K K K 75 K 75,K,K K K,
d) enge denklemleri dönme oluşabilen her düğüm noktası için yazılabilir. Noktası Noktası Noktası + = 0 + + = 0 + = 0 yrıca kesme denklemlerinden; 5 5 eşitlikleri elde edilir. Yatay kuvvetlerin toplamının sıfır olması koşulu gereği + + = 0 bulunur. 1) 1K K K 0,0675K 7,8 0 ) K 16,8,,5 0,0K 6 0 ),K 1,8 K 0,0K 8,8 0 1K 8K 8,1 5 5 9K,5K 1K 8K 8,1 5 5 1K 8K 8,1 9K 5,5K 1K 77,5K ) K,5K K 0 elde edilir. 1 1 0 0,0675K 7,8 16,8,,5 0,0K 6 K 0, 1,8 0,0 8,8 77,5 K,5 0 1 8K 8,1 5 0
Soru ) (50 puan) şağıda verilen çerçevenin düğüm noktalarındaki omentleri ross Yöntemi ile hesaplayın (5 puan). Kesme ve moment diyagramlarını çizin (5 puan). =, = 1,5, =, =. mesneti cm aşağı oturmuştur. = 00 GPa, = 50x10-6 m. q = 6 kn/m m m o o m m nkastre omentleri SU = -1/1 * 6 * = -8 knm SU = 1/1 * 6 * = 8 knm SU = SU = SU = SU = SU = SU = 0 Sertlikler: K 1,5 K K K = 6K alınırsa K K K, 5K K K K K bulunur. noktası kayar mesnet olduğu için kirişinin sertliği modifiye edilebilir. K 0,75K, K 5 ağıtma Katsayıları: Noktası: K,5K K 0,71 K 0, 59 K,5K K,5K Noktası:,5K K K 0, K 0,,5K K,5K,5K K,5K
K,5K,5K K,5K 0, Oturma = 6K 00 10 6 6 5010 6 0,0 = 00 knm SU 8-00 SU -8-00 0. 0,71 0,59 0, 0, SU 0 0 0 0 0 0 aşlangıçta sadece ve noktalarında dengelenmemiş moment vardır. noktasında yük ve oturmadan dolayı toplam -5, noktasında ise toplam -8 knm dengelenmemiş moment bulunmaktadır. noktası mesnet koşuluna göre modifiye edildiği için moment dağıtma işlemine noktasından başlanması zorunludur. engeleme işlemine noktasına +5 knm dengeleme momenti eklenerek başlanır. rdından +16 knm büyüklüğündeki taşıma momenti noktasına eklenir. Şu an dengelenmemiş tek nokta noktasıdır ve denge olmayan - knm moment bulunmaktadır. u noktaya + knm dengeleyici moment eklenir ve eklenen moment dağıtma katsayıları ile çarpılarak (66,6), (88,8) ve (66,6) elemanlarına dağıtılır. elemanı modifiye edildiği için taşıma momenti getirilmez diğer elemanların karşı uçlarına taşıma momentleri eklenir. noktası ankastre olduğu için dengelenmez. Şu an dengede olmayan tek düğüm noktası noktasıdır. noktasında dengede olmayan +, knm moment -, knm dengeleyici moment eklenerek dengelenir ve dağıtma katsayıları ile çarpılarak -15,68 ve -17,6 olarak eklenir. u momentlerin taşıma momentleri karşı uçlara eklenir. engede olmayan tek nokta 'dir. noktasına +8,81 knm dengeleyici moment eklenir ve bu moment kenarlara +,6, +,6 ve +,5 olarak dağıtılır. Taşıma momentleri eklendiğinde dengede olmayan tek düğüm noktası noktası olur. noktasındaki dengelenmemiş moment -1, ile dengelenir ve dağıtma katsayıları ile orantılı biçimde paylaştırılır. noktasındaki dengelenmemiş -0,5 knm'lik moment dengelenir ve yineleme burada kesilir. leman uç momentleri aşağıdaki gibi hesaplanır.
+0,11 +,6 +66,6 +16-8 -00 0. 0,71 0,59 0, 0, 0 0 0 0 0 0 +, +66,6 +88,8 +, -7,8-15,68-17,6-8,81 +1, +,6 +,5 +1,76-0,1-0,6-0,70-0,5 +0,11 +0,1 8-00 +5 = -8,15 knm = -16,0 knm = 16,0 knm = 60,19 knm = -15,65 knm = 9,5 knm = 6,16 knm = 0 knm lde edilen çözüme göre ve kolonlarındaki kesme kuvvetleri hesaplanır. m m noktasına göre moment alındığında + 0 0 noktasına göre moment alındığında + 0 0 8,15 16,0 = 8,15 kn 9,5 6,16 = -,65 kn
Tüm sistem için yatay kuvvetler toplamının sıfır olması gerekmektedir. Sola doğru yön pozitif kabul edildiğinde yatay kuvvetlerin denkliği P + + = 0 biçiminde yazılır ve P = 6,50 kn bulunur. Gerçekte P kuvveti sisteme etki etmemektedir. Çerçevenin yanal deplasman yapmadığı varsayılarak moment dağıtma tablosu hazırlandı ve çözüldü. u varsayımın doğru olabilmesi için aşağıdaki şekilde gösterilen ve büyüklüğü 6,50 kn olan P kuvvetinin noktasında sisteme uygulanması gerekirdi. q = 6 kn/m P m m o o m m Gerçekte P kuvveti olmadığı için çerçeve sağa doğru kayma eğilimindedir. Sağa doğru Δ kadar deplasman yapması durumunda l l önmeden oluşan momentler Kolonu için 6 K 6K K Kolonu için 6 K 6K, 5K aşlangıç durumunda Δ bilinmediği için oluşan momentlerin gerçek değerlerinin hesaplanması mümkün değildir. ncak aralarında x ve,5x bağıntısının olduğu açı denkleminden görülmektedir. ve eleman uç momentleri için keyfi olarak - knm, ve eleman uç momentleri için ise - 6 knm değeri ile moment dağıtımına başlanabilir. Yakınsamanın hızlı olması için tekrar modifiye edilmiş sistem üzerinden çözüm yapılacaktır. aşlangıçta ve noktaları dengede değildir. u noktalar modifiye edilmediği için istenilen noktadan çözüme başlanabilir. noktası dengelenerek çözüme başlanıyor. engeleme sonucunda +10,8, +1,0 ve +10,80 knm büyüklüğündeki momentler eleman uçlarına yazılır ve taşıma momentleri eklenir. odifiyeli olduğu için noktasına taşıma momenti eklenmez. evcut haliyle sadece noktası dengede değildir. u noktada - knm'lik moment ve +5, knm'lik taşıma momenti bulunmaktadır. engelemek için +6,60 knm'lik dengeleyici moment eklenir.
0-0,08 -,11 +10,80 0 0. 0,71 0,59 0, 0, SU - - 0 0-6 -6 +5,0 +10,80 +1,0 +7,0 +6,6 +1,5 +1,07 +7,0-1,05 -,11 -,8-1,1 +0,5 +0,9 +0,56 + 0,8-0,0-0,08-0,1-0,06 X +0,0 +0,0 X = -5,9 knm = -18,96 knm = 18,96 knm = 15,9 knm = 8,61 knm = -,5 knm = -0,7 knm = 0 knm m m noktasına göre moment alındığında + 0 0 5,9 18,96 = 1,8 kn noktasına göre moment alındığında + 0 0,5 0,7 = 1,70 kn Uygulanan yanal deplasman dikkate alındığında mesnetlerde oluşan tepki kuvveti toplamı 1,8 + 1,70 = 8,5 kn yapmaktadır. ncak ilk çözüm dikkate alındığında uygulanması gereken
yatay kuvvetler toplamı 6,50 kn'dur. u durumda ilk sisteme ikinci sistem eklenirse esas sistem elde edilmiş olur. = -8,15 + 0,99 * -5,9 = -1,8 = -16,0 + 0,99 * -18,96 = -,9 = 16,0 + 0,99 * 18,96 =,9 = 60,19 + 0,99 * 15,9 = 7,99 = -15,65 + 0,99 * 8,61 = -1,65 = 9,5 + 0,99 * -,5 = 69,65 = 6,16 + 0,99 * -0,7 = 18,0 = 0 + 0,99 * 0 = 0 6,50 8,5 ile çarpılıp