ÇARPANLAR VE KATLAR Hatırlatma: Asal Sayı: 1 ve kendisinden başka bir sayıya bölünemeyen, 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Buna göre asal sayılar : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,.. Örnek 1: 288 sayısını asal çarpanlarına ayırınız? 288 = 2 5.3 2 792 = 2 3.3 2.11 Örnek 2: Aşağıdaki sayıları asal çarpanlarına ayırınız? 1
Örnek 3 : Aşağıdaki ifadelerde A, B, C, D değerlerini bulunuz? 2
3
EBOB EKOK En Büyük Ortak Bölen(EBOB) İki yada daha fazla doğal sayıdan her birini tam bölebilen en büyük doğal sayıya EBOB denir. En Küçük Ortak Kat(EKOK) İki yada daha fazla doğal sayıdan her birine tam bölünebilen en küçük doğal sayıya EKOK denir. İnceleyiniz 12 nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12 18 in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9,18 12 ile 18 in ortak bölenleri 1,2,3,6 ortak bölenlerin en büyüğü 6 olur. 12 nin katları 12,24,36,48,60,72,84,... 18 in katları 18,36,54,72,... 12 ile 18 in ortak katları 36,72,... ortak katların en küçüğü 36 Dikkat; (12 ile 18) in en büyük ortak böleni (EBOB) = 6 en küçük ortak katı (EKOK) = 36 Şimdide 12 ile 18 in ortak bölenlerini ve ortak katlarını farklı bir yöntemle çözelim. Ortak bölenlerin en büyüğü ---> 2.3 = 6 Ortak Katların en küçüğü ---> 2.2.3.3 = 36 4
Örnek 1 : 20 ile 30 un ortak bölenlerinin en büyüğünü ve ortak katlarının en küçüğünü Örnek 4 : 40 ile 60 ın ortak bölenlerinin en büyüğünü ve ortak katlarının en küçüğünü Örnek 5 : 45 ile 75 in ortak bölenlerinin en büyüğünü ve ortak katlarının en küçüğünü Örnek 2: 30 ile 45 in ortak bölenlerinin en büyüğünü ve ortak katlarının en küçüğünü Örnek 6 : 36, 63 ve 90 sayılarının EBOB unu Örnek 3 : 15 ile 42 nin ortak bölenlerinin en büyüğünü ve ortak katlarının en küçüğünü Örnek 7 : 15, 24 ve 40 sayılarının EKOK unu 5
Örnek 8 : Aşağıda verilen ifadede ; a) A,B,C,D,E,F,G,H, K harflerine karşılık gelen sayıları b) A ve B sayılarının EBOB ve EKOK unu KURAL: İki sayının EBOB u ile EKOK unun çarpımı bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin: 30 ile 45 un ebobu 15, ekoku 90 30x45 =1350 Ebob x ekok =15x90 =1350 Örnek 10 : EBOB u 3, EKOK u 210 olan iki sayıdan biri 15 ise diğeri kaçtır? Örnek 9 : Aşağıda verilen ifadede ; a) A,B,C,D,E,F,G harflerine karşılık gelen sayıları b) A ve B sayılarının EBOB ve EKOK unu Örnek 11 : EBOB u 20, EKOK u 120 olan iki sayıdan biri 40 ise diğeri kaçtır? Örnek 12 : 72 ve 120 sayısının ebobu 24 ise EKOK unu Örnek 13 : 45 ve 75 sayısının EKOK u 225 ise EBOB unu 6
7
ARALARINDA ASAL SAYILAR 1 den başka ortak böleni olmayan doğal sayılar aralarında asaldır. Örnek 17 : Aralarında asal iki sayının EKOK u 450 ve bu sayılardan biri 18 ise diğeri kaçtır? 8 ve 15 aralarında asaldır.(1 den başka ortak böleni yoktur.) 9 ve 15 aralarında asal değildir. (1 den başka ortak böleni vardır. İkisi de 3 e bölünür) KURAL: Aralarında asal iki sayının EBOB u 1 dir. EKOK u bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin: 5 ve 7 aralarında asaldır. (1 den başka ortak böleni yoktur) Örnek 18 : Aralarında asal iki sayının EKOK u 210 ve bu sayılardan biri 14 ise diğeri kaçtır? (5,7) EBOB = 1 5,7) EKOK = 5.7 = 35 Örnek 14 : 4, 9 sayılarının EBOB unu ve EKOK unu Örnek 19 : Aralarında asal iki sayının EBOB ile EKOK unun toplamı 136 ve bu sayılardan biri 9 ise diğeri kaçtır? Örnek 15 : 8, 15 sayılarının EBOB unu ve EKOK unu Örnek 20 : Aralarında asal iki sayının EBOB ile EKOK unun farkı 203 ve bu sayılardan biri 12 ise diğeri kaçtır? Örnek 16 : 12, 25 sayılarının EBOB unu ve EKOK unu 8
EBOB ve EKOK PROBLEMLERİ Dikkat: Bu tür problemler çözülürken yapılan en büyük hata sorulan soruda ebob mu? ekok mu? isteniyor sorusu Biraz dikkat cevabı çok kolay Küçük sayılar verilmiş büyük sayı bulunacaksa EKOK Büyük sayı verilmiş küçük sayı bulunacaksa EBOB Birer örnekle açıklayalım: Örnek 21 : Spor etkinlikleri dersinde öğretmen öğrencileri 6'şarlı ve 8 'erli gruplara ayırdığında hiç öğrenci artmıyor. Buna göre bu sınıftaki öğrenci sayısı en az kaç olur? Çözüm için; Öğrenci sayısı 6 ve 8 den az mıdır? Çok mudur? Tabi ki çoktur. Aradığımız sonuç bunlardan büyüktür. Dolayısıyla EKOK lazım 6 ve 8 in EKOK unu siz Örnek 22 : Hakan 36 kg fındık ile 42 kg cevizi birbirine karıştırmadan eşit hacimli küçük torbalara doldurup satmak istiyor. Buna göre küçük torbaların ağırlığı en fazla kaç kg olur? Çözüm için; Küçük torbalar 36 ve 48 kg dan büyük mü olur? Küçük mü olur? Elbette ki küçük. Aradığımız sonuç verilen sayılardan küçük olacağından o zaman EBOB lazım. 36 ve 48 in EBOB unu siz 9
Örnek 23 : Yavuz, Bilim Olimpiyatları için hazırladığı 2 farklı çevre projesini laboratuvarda test etmek istiyor. 1. deneyini 15 dk. ara ile, 2. deneyini 20 dk. ara ile kontrol ediyor. Her iki deneyini birlikte kontrol ettikten en az kaç saat sonra yine birlikte kontrol eder. Örnek 26 : 63 ve 90 cm uzunluğundaki 2 tahta çubuğu en uzun parçalara bölmek isteyen Fatih, acaba kaç parça elde edebilir? Örnek 27 : 6 ve 8 in katı olan 3 basamaklı, rakamları farklı en küçük doğal sayı kaçtır? Örnek 24 : 84 lt lik süt ile 90 lt lik ayran birbirine karıştırılmadan küçük hacimli şişelere doldurulup satılmak isteniyor. Buna göre küçük hacimli şişelerin ağırlığı en fazla kaç kilogram olur? Örnek 28 : Örnek 25 : Ali ile Ahmet birlikte sayı bulmaca oynuyorlar. Ali diyor ki tuttuğum sayı 12 ye ve 15 e tam bölünüyor ve 150 ile 200 arasındadır. Acaba Ali'nin tuttuğu sayıyı Ahmet kaç olarak bulur? Kenar uzunlukları 18 m, 30 m,42 m olan üçgen şeklindeki bir bahçenin etrafına ve köşelere de dikilmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Bu iş için en çok kaç ağaç dikilir. 10
11
Örnek 29 : Örnek 32 : Bir fabrikada çalışan işçiler 12, 15 ve 18 erli gruplara ayrıldığında her seferinde 5 işçi açıkta kalıyor. Fabrikada çalışan işçi sayısının 300 den fazla olduğu bilindiğine göre bu fabrikada en az kaç işçi çalışmaktadır? Bir futbol sahasını 1, 2 ve 3 numaralı koşucular sırasıyla 6 dk, 8 dk ve 10 dakikada bir turu tamamlamaktadırlar. Üçü aynı anda, aynı noktadan, aynı yöne koşmaya başladıktan kaç dakika sonra tekrar yan yana gelirler? Örnek 33 : Kenar uzunlukları 56 m ve 72 m olan bir bahçenin etrafına, köşelere de ağaç dikmek şartıyla eşit aralıklarla en fazla kaç ağaç dikilir? Örnek 30 : Hastanede çalışan Betül hemşire 72 saatte bir, Çiğdem hemşire ise 96 saatte bir nöbet tutmaktadır. İki hemşire ayın ilk günü birlikte nöbet tutarlarsa 3 ay içerisinde birlikte toplam kaç nöbet tutarlar. (1 ay 30 gün olarak alınacak.) Örnek 34 : Örnek 31 : 12 ve 15 e bölündüğünde 3 kalanını veren üç basamaklı en küçük sayı kaçtır? Kenar uzunlukları 15 cm ve 18 cm olan dikdörtgenlerden en az kaç tanesi ile bir kare oluşur. 12
Örnek 35 : 84 litre, 60 litre ve 24 litre olan 3 farklı kolonya çeşidi, hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükteki şişelere doldurulacaktır. Bu iş için en az kaç şişeye ihtiyaç vardır? Örnek 38 : Kenar uzunlukları 120 cm ve 270 cm olan bir balkonun zeminine kare şeklinde fayans döşenecektir. Bu iş için en az kaç adet fayans gereklidir? Örnek 36 : Boyutları 9 cm, 12 cm ve 15 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutularla bir küp yapılacaktır. Bu iş için en az kaç kutuya ihtiyaç vardır? Örnek 39 : Bir okulda 6. Sınıfta 240 öğrenci, 7. Sınıfta 216 öğrenci ve 8. Sınıfta 264 öğrenci bulunmaktadır. Her sınıfta eşit sayıda öğrenci olacak şekilde sınıflar oluşturulursa en az kaç sınıf olur. Örnek 37 : Boyutları 18 cm, 24 cm ve 30 cm olan bir kutunun içine küp şeklinde kutular yerleştirilecektir. Bu iş için en fazla kaç kutuya ihtiyaç vardır? Örnek 40 : Ayşe teyze ilacının birini 8 saat arayla, diğerini 10 saat arayla kullanmaktadır. İkisini Pazartesi saat 12:00 de kullanırsa ikinci kez birlikte hangi gün ve hangi saatte kullanır? 13