ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ ORTOGONAL POLİNOMLAR. Rabia AKTAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ ORTOONAL POLİNOMLAR Rabia AKTAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007 Her hakkı saklıdır

ÖZET Yüksek Lisans Tezi ÇOK DEĞİŞKENLİ ORTOONAL POLİNOMLAR Rabia AKTAŞ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Abdullah ALTIN Bu tez sekiz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, iki değişkenli ortogonal polinomların temel özellikleri verilmiştir. Üçüncü bölümde, bir aralıkta ortonormal olan polinomlar aracılığıyla, bir bölgede ortonormallik koşulunu sağlayan iki değişkenli polinomlar ele alınmıştır. Ayrıca klasik ortogonal polinomların farklı çarpımları yardımıyla ortogonal polinom aileleri elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, iki değişkenli klasik Appell polinomları incelenmiştir. Beşinci bölümde, polinom çözümlere sahip olan kabul edilebilir lineer kısmi diferensiyel denklemlerin genel formu ele alınmış ve ikinci basamaktan böylesi denklemlerin uygun afin dönüşümü altında normal formları elde edilmiştir. Altıncı bölümde, ikinci basamaktan kısmi diferensiyel denklemler için self-adjointlik ve potansiyel self-adjointlik koşulları ele alınmıştır. Ayrıca kabul edilebilir ve potansiyel self-adjoint denklemler için ağırlık fonksiyonları ve ortogonallik bölgeleri elde edilmiş ve Rodrigues formülleri verilmiştir. Yedinci bölümde, çok değişkenli polinomları çözüm kabul eden ikinci basamaktan kabul edilebilir kısmi diferensiyel denklemlerin genel formu elde edilip, böylesi denklemlere potansiyel self-adjointlik koşulu uygulanarak ağırlık fonksiyonları bulunmuştur. Ayrıca bu denklemlere ilişkin polinom çözümlerin ortogonallik koşulu incelenip, çok değişkenli ortogonal polinomların bazı örnekleri ele alınmıştır. Son bölümde ise Laplace denklemini sağlayan harmonik polinomlar hakkında bilgi verilmiş ve çok değişkenli harmonik polinomların ortogonalliği üzerinde durulmuştur. 2007, 196 sayfa Anahtar Kelimeler: İki değişkenli ortogonal polinom, Kabul edilebilir kısmi diferensiyel denklem, Potansiyel self-adjoint denklem, Çok değişkenli ortogonal polinom, Harmonik polinom. i

ABSTRACT Master Thesis ORTHOONAL POLYNOMIALS OF SEVERAL VARIABLES Rabia AKTAŞ Ankara University raduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Abdullah ALTIN This thesis consists of eight chapters. The first chapter is devoted to the introduction. The second chapter deals with general properties of orthogonal polynomials in two variables. In the third chapter, orthonormal polynomials in two variables over a domain have been examined with the help of orthonormal polynomials on an interval. Also, orthogonal polynomial families have been obtained by means of different products of classical orthogonal polynomials. In the fourth chapter, clasic Appell polynomials in two variables have been studied. In the fifth chapter, admissible differential equations in the general form which have polynomial solutions have been examined and for such differential equations of the second order, the normal forms have been given with the help of appropriate afine transformations. The sixth chapter deals with the conditions of the self-adjointness and potential selfadjointness of the partial differential equations of the second order. Moreover, in this section the domains of the orthogonality and weight functions for admissible and potentially self-adjoint equations have been found and for such differential equations, Rodrigues formulas have been given. In the seventh chapter, admissible partial differential equations of the second order in the general form which have polynomial solutions of several variables have been obtained and by applying the conditions of the potential self-adjointness, weight functions have been found. Furthermore, orthogonality conditions for the polynomial solutions which satisfy such differential equations have been examined and some examples of orthogonal polynomials of several variables have been given. The last chapter gives some information about harmonic polynomials that satisfy Laplace equation and examines the orthogonality of harmonic polynomials of several variables. 2007, 196 pages Key Words: Orthogonal polynomial in two variables, Admissible partial differential equation, Potentially self-adjoint equation, Orthogonal polynomial of several variables, Harmonic polynomial. ii

TEŞEKKÜR Çalışmamın her aşamasında görüş ve önerileriyle beni yönlendiren ve bana her konuda yardımcı ve destek olan sayın hocam Prof. Dr. Abdullah ALTIN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) a, yüksek lisans yaptığım süre boyunca verdiği burs ile beni destekleyen TÜBİTAK a ve çalışmalarım sırasında bana anlayış gösteren sevgili aileme en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Rabia AKTAŞ Ankara, Ağustos 2007 iii

İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMELER DİZİNİ... vi 1. İRİŞ... 1 2. İKİ DEĞİŞKENLİ ORTOONAL POLİNOMLARIN ENEL ÖZELLİKLERİ... 3 2.1 Bir Bölgede İki Değişkenli Ortogonal Polinomlar... 3 2.2 Temel Ortogonal Polinomlar... 10 2.3 Monik Ortogonal Polinomlar... 18 3. BİR BÖLEDE ORTOONALLİĞİN ÖZEL DURUMLARI VE BAZI ÖRNEKLERİ... 27 3.1 Klasik Ortogonal Polinomların Farklı Çarpımları... 27 3.2 Bir Aralık Üzerindeki Ortogonallik ile Bir Bölgedeki Ortogonallik Arasındaki Çeşitli Bağıntılar... 35 3.3 Bir Bölgedeki Ağırlık Fonksiyonunun Momentleri... 42 4. KLASİK APPELL ORTOONAL POLİNOMLARI... 51 4.1 Appell Polinomları İçin Rodrigues Formülü... 51 4.2 İki Değişkenli Appell Polinomlarının Hipergeometrik Fonksiyonlar Cinsinden İfade Edilişleri... 62 4.3 Appell Polinomlarının Sağladığı Diferensiyel Denklem... 68 4.4 Appell Diferensiyel Denkleminin Özfonksiyonlarının Ortogonalliği... 71 5. BİR BÖLEDE ORTOONAL POLİNOMLAR İÇİN KABUL EDİLEBİLİR KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER... 77 5.1 Keyfi Basamaktan Kabul Edilebilir Diferensiyel Denklemler... 77 5.2 İkinci Basamaktan Kabul Edilebilir Denklemlerin Bazı Örnekleri ve Ortogonallik Üzerine Bir Teorem... 92 5.3 İkinci Basamaktan Kabul Edilebilir Denklemlerin Afin Dönüşümleri... 99 5.4 Kabul Edilebilir Diferensiyel Denklemlerin Normal Formları... 105 iv

6. SELF -ADJOINT DENKLEM VE RODRIUES FORMÜLÜ... 130 6.1 Potansiyel Self -Adjoint Operatörler... 130 6.2 Kabul Edilebilir ve Potansiyel Self-Adjoint Denklemler... 137 6.3 Bir Bölgedeki Ortogonal Polinomlar İçin Rodrigues Formülü... 143 6.4 Ağırlık Fonksiyonunun ve Rodrigues Formülünün Bazı Örnekleri... 151 7. ÇOK DEĞİŞKENLİ ORTOONAL POLİNOMLAR... 162 7.1 Çok Değişkenli Polinomlar ve Kabul edilebilir Kısmi Diferensiyel Denklemler... 162 7.2 Potansiyel Self-Adjoint Denklemler... 167 7.3 s-değişkenli İkinci Basamaktan Kabul Edilebilir Kısmi Diferensiyel Denklemlere İlişkin Özfonksiyonların Ortogonalliği... 172 7.4 Çok Değişkenli Ortogonal Polinomların Bazı Örnekleri... 175 8. HARMONİK POLİNOMLARIN ORTOONALLİĞİ... 179 8.1 Harmonik Polinomlar... 179 8.2 İki Boyutlu Uzayda Harmonik Polinomların Ortogonalliği... 182 8.3 Üç Boyutlu Uzayda Harmonik Polinomların Ortogonalliği... 184 8.4 k-yıncı Dereceden Homogen Harmonik Polinomlar Uzayının Boyutu... 189 8.5 n-boyutlu Uzayda Harmonik Polinomların Ortogonalliği... 190 KAYNAKLAR... 195 ÖZEÇMİŞ... 196 v

SİMELER DİZİNİ {H n (x)} Hermite ortogonal polinomları {L n (x; α)} Laguerre ortogonal polinomları {P n (x; α, β)} Jacobi ortogonal polinomları h (x, y) Düzlemsel bir bölgesinde ağırlık fonksiyonu {F nk (x, y)} Temel ortonormal polinomların ailesi {Φ nk (x, y)} Monik ortogonal polinomların ailesi {A nk (x, y)} Klasik Appell polinomların ailesi (n, k) P nk (x, y) P n,k (x, y) cebirsel polinomunun basamağı h nk nk W n Γ (x) B (x, y) (α) n D 1 D 2 D [u] L [u] H k (x) Düzlemsel bir bölgesinde h (x, y) ağırlık fonksiyonunun kuvvet momentleri bölgesinde h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre {x p y q } monomial sisteminin ram determinantları bölgesinde h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan n-yinci dereceden polinomların uzayı amma fonksiyonu Beta fonksiyonu Pochhammer sembolü x egörekısmi türev operatörü y ye göre kısmi türev operatörü İkinci basamaktan iki değişkenli kabul edilebilir kısmi diferensiyel operatörü İkinci basamaktan s değişkenli kabul edilebilir kısmi diferensiyel operatörü k yıncı dereceden homogen harmonik polinom vi

1. İRİŞ Ortogonal polinomlar teorisi üzerinde yapılan çalışmalar ve bunların uygulamaları son yıllarda oldukça gelişmiştir. Bu polinomların matematiksel istatistik, quantum mekaniği ve matematiksel fiziğin uygulamalarında önemli bir yeri vardır. Uygun koşullar altında ortogonal polinomların farklı tip özellikleri halen araştırılmaktadır. Bir değişkenli klasik ortogonal polinomların ilk örnekleri A.M. Legendre, P.S. Laplace, J.L. Lagrange ve N.H. Abel tarafından ele alınmıştır. Daha sonraları P.L. Chebychev, klasik ortogonal polinomların bazı önemli özel durumlarını araştırmış ve ortogonal polinomların genel teorisini geliştirmiştir. Bir değişkenli ortogonal polinomlar teorisi üzerinde yapılan çoğu önemli sonuçlar C. Jacobi, C. Hermite, E. Laguerre ve T. Stieltjes tarafından verilmiştir. Ortogonal polinomlar teorisi üzerinde klasik sonuçlar. Szegö tarafından ele alınmıştır. Son yıllarda, bir değişkenli ortogonal polinomların ışığı altında, çok değişkenli ortogonal polinomlar teorisi üzerinde de çalışmalar yapılmaktadır. 1926 da iki değişkenli Appell polinomlarının özellikleri P.Appell ve J. Kampè de Fèriet tarafından detaylı bir şekilde incelenmiştir. 1938 de Jackson, bir bölgede keyfi bir ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan iki değişkenli ortogonal polinomların en basit özelliklerini ele almıştır. 1967 de H.L. Krall ve I. Sheffer, Jackson ın sonuçlarını genelleştirmiş ve özfonksiyonları bir bölgede ortogonal polinomlar olan ikinci basamaktan bazı lineer kısmi diferensiyel operatörleri incelemiştir. 1974 de.k. Engelis de benzer sonuçlar elde etmiş veikideğişkenli bazı ortogonal polinom sınıfları için Rodrigues formülünü türetmiştir. Bu tez de, ilk olarak bir bölgede keyfi bir ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan polinom grupları ele alınmıştır. Daha sonra bir aralık üzerinde ortogonal olan bir değişkenli polinomlar yardımıyla bir bölgede ortogonal olan polinomlar bulunmuştur. İki değişkenli polinom çözümlere sahip olan kabul edilebilir kısmi diferensiyel denklemlerin genel formu verilip, uygun afin dönüşümleri altında ikinci basamaktan bu denklemlerin normal formları elde edilmiştir. Kabul edilebilir denklemlere potansiyel self-adjointlik koşulları uygulanarak bu denklemler için ağırlık fonksiyon- 1

ları ve Rodrigues formülleri incelenmiştir. Ayrıca, çok değişkenli polinom çözümlere sahip kabul edilebilir diferensiyel denklemlerin genel formu bulunup, bu denklemlere ilişkin ağırlık fonksiyonları ve ortogonallik koşulları ele alınmıştır. Son bölümde ise iki boyutlu ve üç boyutlu uzayda Laplace denklemini sağlayan harmonik polinomlar incelenmiş, n-boyutlu uzayda harmonik polinomların ortogonalliği gösterilmiştir. 2

2. İKİ DEĞİŞKENLİ ORTOONAL POLİNOMLARIN ENEL ÖZELLİKLERİ 2.1 Bir Bölgede İki Değişkenli Ortogonal Polinomlar Tanım 2.1.1. edilen monomiallerinin kümesi x ve y bağımsız değişkenlerinin kuvvetlerinin çarpımlarıyla elde x n k y k, n 0, 1,... ; k 0, 1,..., n olsun. {c nk }, n 0, 1,... ; k 0, 1,..., n reel sabitler ve c nk polinom dır. 0olmak üzere n-yinci dereceden iki değişkenli cebirsel bir P nk (x, y) n 1 m m0 s0 c (n,k) ms x m s y s + k s0 c (n,k) ns x n s y s (2.1.1) Burada n indisi, x ve y değişkenlerine göre polinomun toplam derecesini, k indisi de polinomdaki y değişkeninin en yüksek kuvvetini göstermektedir. c (n,k) nk katsayısına bu polinomun başkatsayısı adı verilir. Kolaylık açısından bu polinom (n, k)-yıncı basamaktan bir polinom olarak adlandırılır. Burada k indisi en fazla n ye eşit olabilir. Lemma 2.1.1. Başkatsayıları sıfırdan farklı olan (n, k)-yıncı basamaktan bir polinom sistemi P 00 (x, y) P 10 (x, y),p 11 (x, y) P 20 (x, y),p 21 (x, y),p 22 (x, y) (2.1.2) P n0 (x, y),p n1 (x, y),..., P n,k 1 (x, y),p nk (x, y) 3

olarak verilsin. (n, k)-yıncı basamaktan herhangi bir Q nk (x, y) polinomu, (2.1.2) polinom sistemi yardımıyla Q nk (x, y) n 1 m0 s0 formunda tek türlü olarak ifade edilebilir. m a ms P ms (x, y)+ k a ns P ns (x, y) (2.1.3) s0 İspat: (2.1.1) den Q nk (x, y) polinomu Q nk (x, y) n 1 m0 s0 m b ms x m s y s + gösterimine sahiptir. (2.1.2) sistemindeki polinomların tamamı k b ns x n s y s (2.1.4) yazılır ve(2.1.3) ile (2.1.4) deki monomiallerin katsayıları kıyaslanırsa s0 (2.1.1) formunda b nk a nk c (n,k) nk b n,k 1 a nk c (n,k) n,k 1 + a n,k 1c (n,k 1) n,k 1 b n,k 2 a nk c (n,k) n,k 2 + a n,k 1c (n,k 1) n,k 2 + a n,k 2 c (n,k 2) n,k 2 b 00 a nk c (n,k) 00 + a n,k 1 c (n,k 1) 00 +... + a 00 c (0,0) 00 lineer homogen olmayan bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem {a ms } bilinmeyenlerine bağlı n(n+1) + k +1 tane denklem içerir. (2.1.2) deki her polinomun, 2 başkatsayısı sıfırdan farklı olduğundan, bu denklem sisteminin katsayılar determinantı c (n,k) nk 0 0... 0 c (n,k) n,k 1 c (n,k) n,k 2. c (n,k 1) n,k 1 0... 0 c (n,k 1) n,k 2. c (n,k 2) n,k 2... 0..... c (n,k) 00 c (n,k 1) 00 c (n,k 2) 00... c (0,0) 00 0 olup {a ms } ler tek türlü olarak belirlenir. Böylece ispat tamamlanır. 4

Tanım 2.1.2. xoy- düzleminde basit, kapalı bir Γ eğrisi tarafından sınırlanan sonlu, basit irtibatlı bir bölge olsun. h (x, y),de tanımlı negatif olmayan bir fonksiyon olmak üzere 0 < h (x, y) dxdy < koşulu gerçeklenirse, bu fonksiyon bölgesinde bir ağırlık fonksiyonu olarak adlandırılır. h (x, y) ağırlık fonksiyonunun kuvvet momentleri, h nk h (x, y) x n k y k dxdy ; n 0, 1,... ; k 0, 1,..., n olup bunların herbiri sonludur. Eğer bölgesi sınırsız bir bölge ise h (x, y) nin bir ağırlık fonksiyonu olabilmesi için 0 < h (x, y) dxdy < koşulunun sağlanmasının yanısıra h nk momentleri de sonlu olmalıdır. Tanım 2.1.3. Cebirsel bir polinom sistemi F 00 (x, y) F 10 (x, y),f 11 (x, y) F 20 (x, y),f 21 (x, y),f 22 (x, y) (2.1.5) F n0 (x, y),f n1 (x, y),..., F n,k 1 (x, y),f nk (x, y) olsun. Bu polinom sistemi, aşağıdaki koşulları sağlarsa h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre bölgesinde ortonormal polinom sistemi olarak adlandırılır. i. Her bir F nk (x, y) polinomunun başkatsayısı pozitif olmalıdır. ii. (2.1.5) polinomları bölgesinde h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre ortonormallik 5

koşulunu sağlamalıdır. Yani (F nk,f ms ) h (x, y) F nk (x, y) F ms (x, y) dxdy (2.1.6) δ nm δ ks iç çarpımı gerçeklenmelidir. Burada dir. 0; (n, k) (m, s) δ nm δ ks 1; (n, k) (m, s) Teorem 2.1.1. Bir bölgesinde tanımlanan herhangi bir ağırlık fonksiyonu h (x, y) olsun. bölgesinde h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre ortonormal olan bir tek {F nk (x, y)} polinom sistemi vardır (Suetin 1988). İspat: İspatı tümevarım yöntemi ile yapalım. Sıfırıncı basamaktan keyfi bir polinom F 00 (x, y) a 00 > 0 olarak alınırsa h (x, y) F 2 00 (x, y) dxdy h (x, y) a 2 00dxdy 1 koşulu sağlanacak şekilde F 00 (x, y) a 00 polinomu tek olarak belirlenir. Şimdi de F 00 (x, y),f 10 (x, y),f 11 (x, y),..., F n0 (x, y),..., F n,k 1 (x, y) (2.1.7) polinom kümesinin ortonormal bir küme oluşturduğunu kabul edelim ve bu küme ile ortonormal olacak şekilde (n, k)-yıncı basamaktan bir F nk (x, y) polinomunun olduğunu gösterelim. Lemma 2.1.1 den F nk (x, y) polinomu F nk (x, y) n 1 m0 s0 m k 1 a ms F ms (x, y)+ a ns F ns (x, y)+a nk x n k y k (2.1.8) s0 6

formunda yazılabilir. (2.1.6) dan (n, k) (m, s) için (F nk,f ms ) n 1 m0 s0 m k 1 a ms F ms (x, y)+ a ns F ns (x, y)+a nk x n k y k,f ms 0 s0 sağlanmalıdır. bulundurulursa Burada (2.1.7) polinom kümesinin ortonormal olduğu gözönünde a ms + a nk x n k y k,f ms 0 (2.1.9) elde edilir. (2.1.9) daki iç çarpım A ms ile gösterilirse a ms a nk A ms olur. Bu değer (2.1.8) de yerine yazılırsa F nk (x, y) a nk x n k y k a nk Φ nk (x, y) n 1 m0 s0 m k 1 A ms F ms (x, y) A ns F ns (x, y) s0 olarak bulunur. Bu ise (2.1.7) polinom kümesine ortogonal olan (n, k) yıncı basamaktan F nk (x, y) polinomunun sabit çarpan farkıyla tek olduğunu gösterir. Diğer yandan (2.1.6) daki ortonormallik koşulundan h (x, y) F 2 nk (x, y) dxdy 1 sağlanmalıdır. Buradan a 2 nk h (x, y) Φ 2 nk (x, y) dxdy 1 olup a nk > 0 koşulu altında bu katsayı tek türlü olarak belirlenir. Böylelikle bölgesinde h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre ortonormal olan tek bir {F 00 (x, y),f 10 (x, y),f 11 (x, y),..., F n0 (x, y),..., F n,k 1 (x, y),f nk (x, y)} 7

polinom sistemi elde edilir. Şimdi de bu teoremden yararlanarak, bir polinomun bir bölgedeki ortogonallik tanımını verelim. Teorem 2.1.2. a nk başkatsayısı sıfırdan farklı olan (n, k)-yıncı basamaktan bir polinom F nk (x, y) olsun. F nk (x, y) polinomunun, bir bölgesinde tanımlı h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olması için gerek ve yeter koşul, h (x, y) F nk (x, y) Q pq (x, y) dxdy 0, (p, q) (n, k) (2.1.10) ifadesinin gerçeklenmesidir. Burada (p, q) (n, k) gösterimi p n, q<k (p, q) (n, k) p<n olup Q pq (x, y) lar, (n, k)-yıncı basamaktan daha düşük (p, q)-yuncu basamaktan herhangi bir polinomu göstermektedir (Suetin 1988). İspat: ( ) bölgesinde h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre (n, k)-yıncı basamaktan ortogonal bir polinom F nk (x, y) olsun. Yani, h (x, y) F nk (x, y) F ms (x, y) dxdy 0, (n, k) (m, s) sağlansın. Lemma 2.1.1 den Q pq (x, y) polinomu, {F ms (x, y)} polinom ailesi yardımıyla ifade edilebileceğinden Q pq (x, y) p 1 m0 s0 m a ms F ms (x, y)+ q a ps F ps (x, y) eşitliği yazılabilir. Bu açılım (2.1.10) integralinde yerine yazılır ve{f nk (x, y)} polinom ailesinin ortogonalliği kullanılırsa s0 8

h (x, y) F nk (x, y) Q pq (x, y) dxdy p 1 m m0 s0 + q s0 a ps a ms h (x, y) F nk (x, y) F ms (x, y) dxdy h (x, y) F nk (x, y) F ps (x, y) dxdy 0 gerçeklenir. ( ) Tersine (n, k)-yıncı basamaktan daha düşük basamaklı herhangi bir Q pq (x, y) polinomu için (2.1.10) eşitliğinin sağlandığını kabul edelim. Burada Q pq (x, y) polinomu yerine (2.1.7) ile verilen F 00 (x, y),f 10 (x, y),f 11 (x, y),...,f n0 (x, y),..., F n,k 1 (x, y) polinomları alınabilir. Teorem 2.1.1 in ispatı göstermektedir ki, düşük basamaktan (2.1.7) polinomlarına ortogonal olan (n, k)-yıncı basamaktan F nk (x, y) polinomu sabit çarpan farkıyla tektir. Bu da teoremi ispatlar. Teorem 2.1.3. Bir bölgesinde h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan (n, k)-yıncı basamaktan F nk (x, y) polinomu, F nk (x, y) Q ms (x, y) B pq (x, y) ; m 1, p 1 (2.1.11) formunda iki polinomun çarpımı olarak yazılabilirse, Q ms (x, y) ve B pq (x, y) polinomları da aynı bölgesinde kendi ağırlık fonksiyonlarına göre ortogonal olurlar. İspat: (m, s)-yinci basamaktan daha düşük (r, l)-yinci basamaktan keyfi bir polinom T rl (x, y) olsun. Bu durumda B pq (x, y) T rl (x, y) polinomunun basamağı (n, k)- yıncı basamaktan daha düşük olur. F nk (x, y) ortogonal bir polinom olduğundan, 9

Teorem 2.1.2 den h (x, y) F nk (x, y) B pq (x, y) T rl (x, y) dxdy 0 (2.1.12) sağlanır. Burada (2.1.11) eşitliği kullanılırsa, (2.1.12) den h (x, y) B 2 pq (x, y) Q ms (x, y) T rl (x, y) dxdy 0 elde edilir. T rl (x, y), (m, s)-yinci basamaktan daha düşük basamaklı keyfi bir polinom olduğundan, Teorem 2.1.2 den Q ms (x, y) polinomu h 1 (x, y) h (x, y) B 2 pq (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonaldir. Benzer şekilde, B pq (x, y) polinomunun bölgesinde h 2 (x, y) h (x, y) Q 2 ms (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonalliği de kolaylıkla gösterilebilir. 2.2 Temel Ortogonal Polinomlar Bir değişkenli ortogonal polinomlar gibi iki değişkenli ortogonal polinomlar da ağırlık fonksiyonunun momentleri yardımıyla temsil edilebilir. Bir bölgesinde herhangi bir h (x, y) ağırlık fonksiyonunun kuvvet momentleri, h nk h (x, y) x n k y k dxdy ; n 0, 1,... ; k 0, 1,..., n (2.2.1) formülü ile tanımlanır (Jackson 1936). Bu momentleri, h 00 h 10,h 11 h 20,h 21,h 22 (2.2.2) 10

h n0,h n1,..., h n,n 1,h nn formunda bir tablo ile göstermek daha uygundur. (2.2.2) kuvvet momentleri yardımıyla aşağıdaki determinantları tanımlamak mümkündür. h h 00 h 00, 10 00 h 10 00 h 10 h 11 h 10 h 20, 11 h 10 h 20 h 21,..., h 11 h 21 h 22 nk h 00 h 10 h 11 h n0 h n,k 1 h nk h 10 h 20 h 21 h n+1,0 h n+1,k 1 h n+1,k h 11 h 21 h 22 h n+1,1 h n+1,k h n+1,k+1.......... h n0 h n+1,0 h n+1,1 h 2n,0 h 2n,k 1 h 2n,k.......... h n,k 1 h n+1,k 1 h n+1,k h 2n,k 1 h 2n,2(k 1) h 2n,2k 1 h nk h n+1,k h n+1,k+1 h 2n,k h 2n,2k 1 h 2n,2k (2.2.3) Bu determinantlar aşağıdaki şekilde elde edilebilir. 1,x,y,x 2,xy,y 2,..., x n,x n 1 y,..., x n k y k (2.2.4) lineer bağımsız fonksiyonlarının bir sistemini ele alalım. (2.2.1) formülü ile elde edilen momentler, (2.2.4) sistemindeki fonksiyonların iççarpımı olarak düşünülebilir. (2.2.4) sisteminin her fonksiyonu aynı sistemin bir elemanı olan 1 ile çarpılıp h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre bölgesinde integre edilirse, (2.2.1) den nk determinantının birinci satırını oluşturan momentler elde edilir. nk determinantının ikinci satırının elde edilebilmesi için (2.2.4) sisteminin her fonksiyonunun x ile çarpılıp bölgesinde h (x, y) ağırlığına göre integre edilmesi yeterlidir. Böyle devam edilerek, 11

(2.2.4) sisteminin her fonksiyonu, aynı sistemin son elemanı olan x n k y k ile çarpılıp bölgesinde integrallenirse nk determinantının sonsatırı elde edilmiş olur. (2.2.3) determinantlarının hepsi(2.2.4) lineer bağımsız fonksiyon sisteminin ram Determinantları olarakadlandırılır. Lemma 2.2.1. nk,n0, 1,... ; k 0, 1,..., n ram determinantların herbiri sıfırdan farklıdır. İspat: (2.2.4) lineer bağımsız fonksiyonlarının sistemi yeniden adlandırılırsa, {ϕ 1 (x, y), ϕ 2 (x, y),..., ϕ N (x, y)} ; N n (n +1) 2 + k +1 (2.2.5) sistemi elde edilir. Bu fonksiyon sistemine ilişkin nk determinantı, nk (ϕ 1, ϕ 1 ) (ϕ 1, ϕ 2 ) (ϕ 1, ϕ N ) (ϕ 2, ϕ 1 ) (ϕ 2, ϕ 2 ) (ϕ 2, ϕ N )...... (ϕ N, ϕ 1 ) (ϕ N, ϕ 2 ) (ϕ N, ϕ N ) olarak tanımlanır. Kabul edelim ki, bu determinant sıfıra denk olsun. Bu durumda aşikar olmayan {b m }, m 1, 2,..., N çözümlerine sahip N (ϕ k, ϕ m ) b m 0, k 1, 2,..., N m1 lineer homogen denklem sistemini ele alabiliriz. İç çarpımın lineerlik özelliğinden, bu denklem sistemi N ϕ k, b m ϕ m 0, k 1, 2,..., N (2.2.6) m1 formunda yazılabilir. (2.2.6) denklem sistemindeki herbir denklem b k ile çarpılıp terim terim toplanırsa N N b k ϕ k, b m ϕ m 0 k1 m1 12

elde edilir. (2.1.6) dan bu iç çarpım, N h (x, y) b k ϕ k N k1 m1 b m ϕ m dxdy 0 olarak yazılır. Buradan N 2 h (x, y) b m ϕ m dxdy 0 m1 olup N b m ϕ m 0 m1 ifadesi sağlanır. (2.2.5) fonksiyon sistemi lineer bağımsız olduğundan b m 0 ; m 1, 2,..., N elde edilir ki bu da kabulümüzle çelişir. Dolayısıyla nk determinantları sıfırdan farklı olmalıdır. Şimdi de nk ram determinantları yardımıyla ortogonal polinomlar tanımlayalım. (2.2.3) determinantının sonsatırı (2.2.4) fonksiyonları ile yer değiştirilirse, (n, k)- yıncı basamaktan P nk (x, y) h 00 h 10 h 11 h n0 h n,k 1 h nk h 10 h 20 h 21 h n+1,0 h n+1,k 1 h n+1,k h 11 h 21 h 22 h n+1,1 h n+1,k h n+1,k+1.......... h n0 h n+1,0 h n+1,1 h 2n,0 h 2n,k 1 h 2n,k.......... h n,k 1 h n+1,k 1 h n+1,k h 2n,k 1 h 2n,2(k 1) h 2n,2k 1 1 x y x n x n k+1 y k 1 x n k y k (2.2.7) 13

polinomu elde edilir. Burada k 1 ise bu polinomun başkatsayısı n,k 1 olur. k 0 için P n0 (x, y) polinomu, h 00 h 10 h 11 h n 1,0 h n 1,n 1 h n0 h 10 h 20 h 21 h n,0 h n,n 1 h n+1,0 h 11 h 21 h 22 h n,1 h n,n h n+1,1.......... P n0 (x, y) h n 1,0 h n,0 h n,1 h 2(n 1),0 h 2(n 1),n 1 h 2n 1,0.......... h n 1,n 1 h n,n 1 h n,n h 2(n 1),n 1 h 2(n 1),2(n 1) h 2n 1,n 1 1 x y x n 1 y n 1 x n (2.2.8) olup bu polinomun başkatsayısı ise n 1,n 1 dir. Lemma 2.2.2. (2.2.7) ile tanımlanan P nk (x, y) polinomu bölgesinde h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonaldir. Burada P nk (x, y), (n, k)-yıncı basamaktan birpolinomdur(krallandsheffer 1967). İspat: (2.2.7) polinomu, (2.2.4) fonksiyon sisteminin ilk elemanı olan 1 ile çarpıldıktan sonra bölgesinde h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre integrallenir ve (2.2.1) formülü kullanılırsa, birinci ve son satırı aynı olan (P nk (x, y), 1) h 00 h 10 h 11 h n0 h n,k 1 h nk h 10 h 20 h 21 h n+1,0 h n+1,k 1 h n+1,k h 11 h 21 h 22 h n+1,1 h n+1,k h n+1,k+1.......... 0 h n0 h n+1,0 h n+1,1 h 2n,0 h 2n,k 1 h 2n,k.......... h n,k 1 h n+1,k 1 h n+1,k h 2n,k 1 h 2n,2(k 1) h 2n,2k 1 h 00 h 10 h 11 h n0 h n,k 1 h nk determinantı elde edilir. (2.2.7) polinomu x ile çarpılıp benzer işlemler uygulanırsa bu durumda ikinci ve son satırı aynı olan bir determinant bulunur. Bu işlem, (2.2.4) 14

deki son monomial hariç diğer y, x 2,xy,y 2,..., x n,..., x n k+1 y k 1 monomialleri için de tekrarlanırsa, her bir durumda iki satırı aynı olan bir determinant elde edilir ki, bunların herbirisıfırdır. Bu ise P nk (x, y) polinomunun herbir 1,x,y,x 2,xy,y 2,..., x n,..., x n k+1 y k 1 monomialine ortogonal olduğunu gösterir. Buradan h (x, y) P nk (x, y) x m s y s dxdy 0, (m, s) (n, k) (2.2.9) gerçeklenir ki bu ise istenilendir. Lemma 2.2.3. n 1 için (2.2.7) ve (2.2.8) ile tanımlanan polinomların normları sırasıyla, P nk ( n,k 1 nk ) 1/2 ; k 1 P n0 ( n 1,n 1 n0 ) 1/2 (2.2.10) dır. İspat: (2.2.7) polinomu, (2.2.4) fonksiyon sisteminin son elemanı olan x n k y k çarpılıp h (x, y) ağırlığına göre bölgesinde integrallenirse, ile h (x, y) P nk (x, y) x n k y k dxdy nk (2.2.11) eşitliği elde edilir. (2.2.7) determinantı ile tanımlanan P nk (x, y) polinomu P nk (x, y) n,k 1 x n k y k + H n,k 1 (x, y) (2.2.12) olarak ifade edilebilir. Burada H n,k 1 (x, y), (n, k) dan daha düşük basamaklı bir 15

polinomdur. (2.2.12) polinomu P nk 2 h (x, y) P 2 nk (x, y) dxdy integralinde dikkate alınırsa, P nk 2 h (x, y) P nk (x, y) n,k 1 x n k y k + H n,k 1 (x, y) dxdy olarak yazılır. (2.2.9) ve (2.2.11) eşitliklerinden yararlanılırsa, P nk ( n,k 1 nk ) 1/2 elde edilmiş olur.benzer işlemler (2.2.8) polinomu için tekrarlanırsa, P n0 ( n 1,n 1 n0 ) 1/2 olarak bulunur. Bu normlar, keyfi n ve k lar için ardışık iki ram determinantının çarpımıdır. Norm pozitif olduğundan bu determinantlar aynı işaretli olmalıdır. h 00 pozitif olduğundan 00 pozitif olup buradan diğer ram determinantları da pozitif olmak zorundadır. Sonuç 2.2.1. (2.2.7) ve (2.2.10) eşitliklerinden yararlanılarak, F nk (x, y) P nk (x, y) P nk 1 n,k 1 nk P nk (x, y) (2.2.13) formülü yardımıyla bölgesinde h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre ortonormal polinomlar elde edilebilir. Bu polinomların birkaçı açık olarak yazılırsa, F 00 (x, y) P 00 (x, y) P 00 F 10 (x, y) P 10 (x, y) P 10 1 1/2 h (x, y) dxdy 1 00 10 h 00 h 10 1 x 1 (h 00 ) 1 1/2 00 16

F 11 (x, y) P 11 (x, y) P 11 F 20 (x, y) P 20 (x, y) P 20 F 21 (x, y) P 21 (x, y) P 21 1 10 11 1 11 20 1 20 21 h 00 h 10 h 11 h 10 h 20 h 21 1 x y h 00 h 10 h 11 h 20 h 10 h 20 h 21 h 30 h 11 h 21 h 22 h 31 1 x y x 2 h 00 h 10 h 11 h 20 h 21 h 10 h 20 h 21 h 30 h 31 h 11 h 21 h 22 h 31 h 32 h 20 h 30 h 31 h 40 h 41 1 x y x 2 xy olarak bulunurlar. (2.2.13) formülü, bir bölgedeki ağırlık fonksiyonunun kuvvet momentlerinin bilinmesi durumunda, keyfi sonlu sayıda ortonormal polinomun bulunmasına izin verir. Tanım 2.2.1. (2.2.13) formülü ile tanımlanan polinomlara bölgesinde h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre Temel Ortonormal Polinomlar adı verilir. Burada {F n0 (x, y),f n1 (x, y),..., F n,n 1 (x, y),f nn (x, y)} n-yinci dereceden temel ortonormal polinom sistemini oluşturur. h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre temel ortonormal polinomların sistemi bölgesinde {F nk (x, y)}, n 0, 1,... ; k 0, 1,..., n formunda yazılabilir. 17

2.3 Monik Ortogonal Polinomlar (2.2.4) fonksiyon sistemindeki 1,x,y,x 2,xy,y 2,..., x n 1,...,y n 1 (2.3.1) monomialleri sabit tutulup, n-yinci dereceden keyfi bir x n k y k monomiali alınırsa 1,x,y,x 2,xy,y 2,..., x n 1,..., y n 1,x n k y k (2.3.2) lineer bağımsız fonksiyon sistemi elde edilir. Tanım 2.3.1. (2.3.2) monomialleri ve {A ms } reel katsayıları yardımıyla elde edilen n-yinci dereceden Φ nk (x, y) x n k y k + n 1 polinomu monik polinom olarak adlandırılır. m0 s0 m A ms x m s y s (2.3.3) Lemma 2.3.1. {A ms } bilinmeyenlerine bağlı (2.3.3) polinomu, h (x, y) Φ nk (x, y) x p q y q dxdy 0 p 0, 1,..., n 1; q 0, 1,..., p (2.3.4) koşulları sağlanacak şekilde tek türlü belirlenebilir. İspat: p ve q nun değerleri için (2.3.3) polinomu (2.3.4) de yerine yazılıp (2.2.1) momentleri kullanılırsa, (2.3.4) sistemi n 1 m0 s0 n 1 m0 s0 m A ms h ms h nk m A ms h m+1,s h n+1,k 18

n 1 n 1 m0 s0 m0 s0 m A ms h m+1,s+1 h n+1,k+1 (2.3.5). m A ms h m+n 1,n+s 1 h 2n 1,n+k 1 formuna indirgenir. Bu sistem {A ms } bilinmeyenlerine bağlı homogen olmayan bir denklem sistemidir. Bu sistemin katsayılar determinantı n 1,n 1 olup bu determinant sıfırdan farklı ve pozitiftir. Böylelikle (2.3.5) denklem sistemi, tek bir {A ms } çözümüne sahip olacağından, Φ nk (x, y) polinomu tek türlü belirlenir. Bu Lemmanın bir sonucu olarak aşağıdaki teorem verilebilir. Teorem 2.3.1. Bir bölgesinde (2.3.3) ile tanımlanan Φ nk (x, y) polinomu, (2.3.4) koşulu altında h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonaldir. Yani, Φ nk (x, y) polinomu, n-yinci dereceden daha düşük olan (2.3.1) polinom sistemindeki tüm monomiallere ortogonaldir (Suetin 1988). Tanım 2.3.2. (2.3.4) koşulunu sağlayan (2.3.3) polinomu monik ortogonal polinom olarak adlandırılır. Bu polinom normu ile bölünürse, Φ Φ nk (x, y) nk (x, y) Φ A nk x n k y k + R n 1 (x, y) (2.3.6) nk monik ortonormal polinomu elde edilir. Burada R n 1 (x, y), derecesi (n 1) den büyük olmayan bir polinomdur. Şimdi de monik ortogonal bir polinomun (2.2.7) ve (2.2.13) formüllerine benzer şekilde ağırlık fonksiyonunun momentleri yardımıyla ifade edilebileceğini gösterelim. (2.3.2) fonksiyon sistemi ele alınırsa, bu fonksiyon sisteminin ram Determinantları 19

h 00 h 10 h n 1,0 h n 1,n 1 h nk h 10 h 20 h n0 h n,n 1 h n+1,k......... nk h n 1,0 h n0 h 2(n 1),0 h 2(n 1),n 1 h 2n 1,k......... h n 1,n 1 h n,n 1 h 2(n 1),n 1 h 2(n 1),2(n 1) h 2n 1,n+k 1 h nk h n+1,k h 2n 1,k h 2n 1,n+k 1 h 2n,2k (2.3.7) formuna sahiptir. Lemma 2.2.1 e benzer şekilde bu ram determinantlarının dasıfır- dan farklı olduğu kolaylıkla gösterilebilir. (2.3.7) determinantının sonsatırı (2.3.2) fonksiyon sistemi ile yer değiştirilirse, n-yinci dereceden h 00 h 10 h n 1,0 h n 1,n 1 h nk h 10 h 20 h n0 h n,n 1 h n+1,k......... P nk (x, y) h n 1,0 h n0 h 2(n 1),0 h 2(n 1),n 1 h 2n 1,k......... h n 1,n 1 h n,n 1 h 2(n 1),n 1 h 2(n 1),2(n 1) h 2n 1,n+k 1 1 x x n 1 y n 1 x n k y k (2.3.8) polinomu elde edilir. Bu polinomun başkatsayısı n 1,n 1 dir. Lemma 2.2.2 ye benzer şekilde (2.3.8) polinomunun ortogonalliği, yani h (x, y) P nk (x, y) x p q y q dxdy 0, p 0, 1,...,n 1 ; q 0, 1,..., p koşulunun sağlandığı kolaylıkla gösterilebilir. Lemma 2.2.3 den hareketle bu polinomların normu P nk n 1,n 1 nk olup P Φ nk (x, y) nk (x, y) P nk 1 n 1,n 1 nk P nk (x, y) 20

monik ortonormal polinomları elde edilir. Burada {Φ n0 (x, y), Φ n1 (x, y),..., Φ n,n 1 (x, y), Φ nn (x, y)} (2.3.9) n-yinci dereceden monik ortonormal polinom sistemini oluşturur. Bu polinomlar, düşük dereceli her polinoma ortogonal olmasına rağmen birbirleri ile ortogonal olmak zorunda değildirler. Buradan bölgesinde h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre monik ortonormal polinomların bir sistemi {Φ nk (x, y)}, n 0, 1,... ; k 0, 1,..., n olarak elde edilir. Şimdi de başka bir lineer bağımsız fonksiyon sistemi ele alarak bölgesinde ortogonal olan başka polinom aileleri elde edelim. Sadece n-yinci dereceden monomialleri içeren, n-yinci dereceden keyfi homogen bir polinom φ n (x, y) n a nk x n k y k (2.3.10) k0 olarak tanımlansın. (2.3.1) monomialleri ile (2.3.10) polinomunu içeren fonksiyon sistemi 1, x,y,x 2,xy,y 2,..., x n 1,..., y n 1, olmak üzere, bu fonksiyon sistemi yardımıyla B n (x, y) b n φ n (x, y)+ n 1 m0 s0 n a nk x n k y k k0 m b ms x m s y s (2.3.11) formunda n-yinci dereceden bir polinom elde edilebilir. Bu polinomlar için ortogonallik teoremi, Teorem 2.3.1 e benzer şekilde aşağıda verilmektedir. 21

Teorem 2.3.2. Bir bölgesinde (2.3.11) ile tanımlanan B n (x, y) polinomu, h (x, y) B n (x, y) x p q y q dxdy 0 p 0, 1,...,n 1;q 0, 1,...,p (2.3.12) koşulları altında h (x, y) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonaldir. İspat: p ve q nun değerleri için (2.3.11) polinomu (2.3.12) de yerine yazılıp (2.2.1) momentleri kullanılırsa, (2.3.12) sistemi n 1 n 1 m0 s0 n 1 m0 s0 n 1 m0 s0 m0 s0 m n b ms h ms b n a nk h nk k0 m n b ms h m+1,s b n a nk h n+1,k k0 m n b ms h m+1,s+1 b n a nk h n+1,k+1 k0. m b ms h m+n 1,n+s 1 n b n a nk h 2n 1,n+k 1 k0 formuna indirgenir. Bu sistem {b ms } bilinmeyenlerine bağlı homogen olmayan bir denklem sistemidir. Bu sistemin katsayılar determinantı n 1,n 1 olup bu determinant sıfırdan farklı ve pozitiftir. Böylelikle bu denklem sistemi, tek bir {b ms } çözümüne sahiptir. Bu denklem sisteminden {b ms } bilinmeyenleri çözülüp (2.3.11) denkleminde yerine yazılırsa; elde edilen (2.3.11) polinomunun, (2.3.12) koşulu ile verilen düşük dereceli bütün monomiallere ortogonal olduğu da açıktır. Diğer yandan (2.3.10) polinomu keyfi (n +1)tane sabit içerdiğinden (2.3.12) koşullarını sağlayan B n (x, y) polinomu tek türlü belirlenemez. Tanım 2.3.3. Bir bölgesinde (2.3.12) koşullarını sağlayan, (2.3.11) ile tanımlanan B n (x, y) polinomu enelleştirilmiş Monik Ortogonal Polinom olarak adlandırılır. Teorem 2.3.3. Herhangi (2.3.10) homogen polinomu için, (2.3.11) ile tanımlanan 22

genelleştirilmiş monik ortogonal bir polinom, (2.3.9) ile verilen monik ortogonal polinomların bir lineer kombinasyonu olarak yazılabilir. Yani B n (x, y) n γ nk Φ nk (x, y) k0 eşitliği sağlanır. İspat: (2.3.9) monik ortogonal polinomları n-yinci dereceden bütün monomialleri içerdiğinden, (2.3.11) polinomu B n (x, y) n γ nk Φ nk (x, y)+s n 1 (x, y) (2.3.13) k0 formunda yazılabilir. Burada S n 1 (x, y) polinomu, (2.3.1) monomiallerinin lineer kombinasyonu olup derecesi (n 1)-i geçemez. (2.3.13) den n S n 1 (x, y) B n (x, y) γ nk Φ nk (x, y) olup bu polinomun her iki yanı S n 1 (x, y) ile çarpılıp bölgesinde h (x, y) ağırlığına göre integrallenirse, h (x, y) Sn 1 2 (x, y) dxdy k0 n h (x, y) S n 1 (x, y) B n (x, y) γ nk Φ nk (x, y) dxdy k0 elde edilir. Burada (2.3.9) ve (2.3.11) polinomlarının ortogonalliği kullanılırsa, h (x, y) S 2 n 1 (x, y) dxdy 0 olarak elde edilir. O halde S n 1 (x, y) 0 ifadesi gerçeklenir. Bu ise teoremi ispatlar. 23

a ij R olmak üzere (n +1)-inci basamaktan ortogonal bir matris A n+1 a 00 a 01 a 0n a 10 a 11 a 1n...... (2.3.14) a n0 a n1 a nn olsun. O halde, I n+1 birim matris olmak üzere A n+1.a n+1 I n+1 eşitliği sağlanır. Buradan a 00 a 01 a 0n a 10 a 11 a 1n...... a n0 a n1 a nn a 00 a 10 a n0 a 01 a 11 a n1...... a 0n a 1n a nn 1 0 0 0 1 0...... 0 0 1 olup n a mj a kj δ mk ; m, k 0, 1,..., n (2.3.15) j0 koşulları sağlanmalıdır. Teorem 2.3.4. (2.3.14) ortogonal matrisinin elemanları ve Temel Ortogonal Polinomlar yardımıyla elde edilen n-yinci dereceden bir polinom ϕ nm (x, y) n a mj F nj (x, y) ; m 0, 1,..., n (2.3.16) j0 olarak tanımlansın. O taktirde herhangi bir (2.3.14) matrisi için, (2.3.16) polinomları hem birbirleri ile hem de düşük dereceli bütün polinomlara ortogonal olurlar. Ayrıca bu polinomlar normlandırılabilirler. İspat: ϕ nm (x, y) polinomu, temel ortogonal polinomların bir lineer kombinasyonu 24

olarak yazılabildiğinden düşük dereceli her polinoma ortogonalliği sağlanır. Şimdi de aynı dereceden (2.3.16) polinomlarının birbirleri ile ortogonal olduğunu gösterelim. (2.3.15), (2.3.16) ve {F nj } polinomlarının ortogonalliğinden h (x, y) ϕ nm (x, y) ϕ nk (x, y) dxdy n n h (x, y) a mj F nj (x, y) a kp F np (x, y) dxdy n δ mk j0 n a mj a kp j0 p0 p0 h (x, y) F nj (x, y) F np (x, y) dxdy elde edilir ki bu da teoremi ispatlar. Sonuç 2.3.1. Buraya kadar anlattıklarımızın bir sonucu olarak, bir bölgesinde tanımlanan bir h (x, y) ağırlık fonksiyonu, herhangi bir n sabiti için, n-yinci dereceden aşağıdaki ortogonal polinom sistemlerini belirler. i. Temel ortogonal polinomlar F n0 (x, y),f n1 (x, y),...,f nn (x, y) ii. Monik ortogonal polinomlar Φ n0 (x, y), Φ n1 (x, y),..., Φ nn (x, y) iii. enelleştirilmiş monik ortogonal polinomlar iv. (2.3.14) ortogonal matrisi ile belirlenen (2.3.16) formundaki ortogonal polinomlar Sonuç 2.3.2. Teorem 2.3.3 e benzer şekilde F nk (x, y) temel ortogonal polinomu, (2.3.9) ile verilen monik ortogonal polinomların bir lineer kombinasyonu olarak 25

yazılabilir. Dolayısıyla (2.3.16) ile tanımlanan polinomlar da (2.3.9) monik ortogonal polinomlarının bir lineer kombinasyonu olur. Böylelikle Sonuç 2.3.1 de verilen ortogonal polinomlar, monik ortogonal polinomlar cinsinden ifade edilmiş olur. Sonuç 2.3.1 deki dört polinom ailesi ve bunların herhangi lineer kombinasyonlarından oluşan polinomların uzayını W n ile gösterelim. n-yinci dereceden polinomlar içeren bu uzaydaki her bir polinom (2.3.9) monik ortogonal polinomları cinsinden yazılabileceğinden, (2.3.9) lineer bağımsız fonksiyonları bu uzayın birbazını oluşturur. Dolayısıyla W n uzayı (n +1)boyutludur (Suetin 1988). 26

3. BİR BÖLEDE ORTOONALLİĞİN ÖZEL DURUMLARI VE BAZI ÖRNEKLERİ 3.1 Klasik Ortogonal Polinomların Farklı Çarpımları {P n (x)} polinomları, h 1 (x) ağırlık fonksiyonuna göre (a, b) aralığında ortonormal polinomlar olsun. Yani, b a h 1 (x) P n (x) P k (x) dx δ nk (3.1.1) sağlansın. Diğer yandan {φ m (y)} ler de h 2 (y) ağırlık fonksiyonuna göre (c, d) aralığında ortonormal polinomlar olsun. Yani, d c h 2 (y) φ m (y) φ s (y) dy δ ms (3.1.2) gerçeklensin. Bu iki aralık yardımıyla {(x, y) : a<x<b, c<y<d} düzlemsel bölgesi tanımlansın ve bu bölgedeki ağırlık fonksiyonu h (x, y) h 1 (x) h 2 (y) (3.1.3) formunda değişkenlerine ayrılabilir olsun. P n (x) ve φ m (y) polinomları ile tanımlanan iki değişkenli bir polinom F nm (x, y) P n m (x) φ m (y),n0, 1,... ; m 0, 1,...,n (3.1.4) olarak alınabilir. m ve n nin değerleri için, bu polinom ailesi aşağıdaki formda 27

yazılabilir. P 0 (x) φ 0 (y), P 1 (x) φ 0 (y), P 0 (x) φ 1 (y), P 2 (x) φ 0 (y), P 1 (x) φ 1 (y), P 0 (x) φ 2 (y), P n (x) φ 0 (y), P n 1 (x) φ 1 (y), P n 2 (x) φ 2 (y),..., P 0 (x) φ n (y) (3.1.5) (3.1.4) formülünden görülür ki (3.1.5) polinomları monik polinomlardır. Yani, F nm (x, y) c nm x n m y m + H n 1 (x, y) gösterimine sahiptirler. Burada H n 1 (x, y), derecesi (n 1) den büyük olmayan bir polinomu temsil eder. Teorem 3.1.1. (3.1.5) polinomları, bölgesinde (3.1.3) ağırlık fonksiyonuna göre ortonormal bir sistem oluşturur (Krall and Sheffer 1967). İspat: (3.1.1) ve (3.1.2) eşitlikleri kullanılırsa, h (x, y) F nm (x, y) F ks (x, y) dxdy b d h 1 (x) h 2 (y) P n m (x) φ m (y) P k s (x) φ s (y) dydx a c b d h 1 (x) P n m (x) P k s (x) dx h 2 (y) φ m (y) φ s (y) dy a δ n m,k s δ ms 1, (n, m) (k, s) 0, (n, m) (k, s) c elde edilir ki bu da ispatı tamamlar. Şimdi de bu durumun önemli bazı örneklerini gösterelim. 28

1. (, ) aralığında h 1 (x) exp( x 2 ) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan H n (x) Hermite polinomlarını ele alalım. Diğer yandan (, ) aralığında h 2 (y) exp( y 2 ) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan polinomlar da H m (y) Hermite polinomları olsun. Dolayısıyla bu polinomlar yardımıyla elde edilen iki değişkenli polinom F nm (x, y) H n m (x) H m (y) ; m 0, 1,..., n (3.1.6) olarak elde edilir. Teorem 3.1.1 den dolayı bu polinom ailesi, {(x, y) : <x<, <y< } bölgesinde h (x, y) exp( x 2 y 2 ) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonaldir. Bu polinomlar Hermite-Hermite polinomları olarakadlandırılır. (3.1.6) da n yerine n + m alınarak indis değiştirilirse, F n+m,m (x, y) H n (x) H m (y) ; m, n 0, 1, 2,... (3.1.7) polinomları elde edilir. (3.1.5) den Hermite-Hermite polinomlarının kümesi H 0 (x) H 0 (y) H 1 (x) H 0 (y),h 0 (x) H 1 (y) H 2 (x) H 0 (y),h 1 (x) H 1 (y),h 0 (x) H 2 (y) H n (x) H 0 (y),h n 1 (x) H 1 (y),h n 2 (x) H 2 (y),..., H 0 (x) H n (y) olarak gösterilebilir. Ayrıca H n (x) ve H m (y) Hermite polinomları sırasıyla H n (x) 2xH n (x)+2nh n (x) 0 (3.1.8) 29

ve H m (y) 2yH m (y)+2mh m (y) 0 (3.1.9) diferensiyel denklemlerini sağlarlar (Szegö 1939). (3.1.8) denklemi H m (y) ile, (3.1.9) denklemi de H n (x) ile çarpılıp terim terim toplanırsa, 2 x 2 [H n (x) H m (y)] + 2 y 2 [H n (x) H m (y)] 2x x [H n (x) H m (y)] 2y y [H n (x) H m (y)] + 2 (n + m)[h n (x) H m (y)] 0 denklemine ulaşılır. Buradan (3.1.7) polinomlarının, ikinci basamaktan denklemini sağladığı görülür. 2 u x + 2 u 2 y 2x u u 2y +2(n + m) u 0 (3.1.10) 2 x y Benzer şekilde H n Hermite polinomları yerine, He n Hermite polinomları alınırsa bu durumda h (x, y) exp x2 + y 2 2 ağırlık fonksiyonuna göre aynı bölgesinde ortogonal olan F n+m,m (x, y) He n (x) He m (y) ; m, n 0, 1, 2,... (3.1.11) polinomları elde edilir. He n (x) ve He m (y) polinomları sırasıyla H e n (x) xh e n (x)+nhe n (x) 0 H e m (y) yh e m (y)+mhe m (y) 0 (3.1.12) denklemlerini gerçeklediğinden, (3.1.11) polinomlarının sağladığı denklem olarak bulunur. 2 u x + 2 u 2 y x u 2 x y u +(n + m) u 0 (3.1.13) y 30

2. (0, ) aralığında h 1 (x) x α e x ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan L n (x; α) Laguerre polinomlarını ele alalım. Benzer şekilde (0, ) aralığında h 2 (y) y β e y ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan polinomlar da L m (y; β) Laguerre polinomları olsun. Bu durumda F n+m,m (x, y) L n (x; α) L m (y; β) ; m, n 0, 1,... (3.1.14) iki değişkenli polinomları {(x, y) : x>0,y>0} bölgesinde h (x, y) x α y β e x e y ; α > 1, β > 1 ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olurlar. Bu polinomlar Laguerre-Laguerre polinomları olarak adlandırılır. Şimdi de bu polinomların sağladığı diferensiyel denklemi bulalım. Bir değişkenli L n (x; α) ve L m (y; β) Laguerre polinomları sırasıyla xl n (x; α)+(1+α x) L n (x; α)+nl n (x; α) 0 (3.1.15) ve yl m (y; β)+(1+β y) L m (y; β)+ml m (y; β) 0 (3.1.16) denklemlerini sağlarlar (Szegö 1939). (3.1.15) denklemi L m (y; β) ile (3.1.16) denklemi de L n (x; α) ile çarpılıp taraf tarafa toplanırsa x 2 x 2 [L n (x; α) L m (y; β)] + y 2 y 2 [L n (x; α) L m (y; β)] +(1+α x) x [L n (x; α) L m (y; β)] + (1 + β y) y [L n (x; α) L m (y; β)] +(n + m)[l n (x; α) L m (y; β)] 0 denklemine ulaşılır. Böylelikle (3.1.14) polinomlarının 31

x 2 u x + y 2 u u +(1+α x) 2 y2 x kısmi diferensiyel denklemini sağladığı görülür. +(1+β y) u y +(n + m) u 0 3. Önceki durumlara benzer şekilde {(x, y) : x>0, <y< } bölgesinde h (x, y) x α e x exp y2 2, α > 1 ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan F n+m,m (x, y) L n (x; α) He m (y) ; m, n 0, 1,... (3.1.17) Laguerre-Hermite polinomları tanımlanabilir. (3.1.12) denklemi L n (x; α) ile (3.1.15) denklemi He m (y) ile çarpılıp terimterimtoplanırsa, x 2 x 2 [L n (x; α) He m (y)]+ 2 y 2 [L n (x; α) He m (y)]+(1 + α x) x [L n (x; α) He m (y)] y y [L n (x; α) He m (y)] + (n + m)[l n (x; α) He m (y)] 0 denklemi elde edilir. Buradan (3.1.17) polinomları x 2 u x + 2 u u +(1+α x) 2 y2 x y u +(n + m) u 0 y kısmi diferensiyel denklemini gerçekler. 4. ( 1, 1) aralığında h 1 (x) (1 x) α (1 + x) β ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan P n (x; α, β) Jacobi polinomlarını ele alalım. Benzer şekilde ( 1, 1) aralığında h 2 (y) (1 y) γ (1 + y) δ ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan diğer bir polinom ailesi de P m (y; γ, δ) olsun. Teorem 3.1.1 den {(x, y) : 1 <x<1, 1 <y<1} 32

bölgesinde h (x, y) (1 x) α (1 + x) β (1 y) γ (1 + y) δ ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan F n+m,m (x, y) P n (x; α, β) P m (y; γ, δ) ; m, n 0, 1... (3.1.18) Jacobi-Jacobi polinomları tanımlanabilir. P n (x; α, β) Jacobi polinomları (1 x 2 ) P n (x; α, β)+[β α (α + β +2)x] P n (x; α, β) +n (n + α + β +1)P n (x; α, β) 0 (3.1.19) kısmi diferensiyel denklemini sağlar. Diğer yandan P m (y; γ, δ) polinomları da (1 y 2 ) P m (y; γ, δ)+[δ γ (γ + δ +2)y] P m (y; γ, δ) +m (m + γ + δ +1)P m (y; γ, δ) 0 (3.1.20) denklemini gerçekler. (3.1.19) denklemi P m (y; γ, δ) ile (3.1.20) denklemi de P n (x; α, β) ile çarpılıp taraf tarafa toplanırsa, (3.1.18) polinomlarının gerçeklediği (1 x 2 ) 2 u x +(1 2 y2 ) 2 u u +[β α (α + β +2)x] y2 x +[n (n + α + β +1)+m (m + γ + δ +1)]u 0 +[δ γ (γ + δ +2)y] u y kısmi diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemde α, β, γ, δ parametrelerinin uygun değerleri alınırsa, Chebyshev-Chebyshev polinomları, Chebyshev-Legendre polinomları ve Legendre- Legendre polinomları elde edilebilir. 5. Bir değişkenli Jacobi ve Hermite polinomları ele alınırsa, {(x, y) : 1 <x<1, <y< } bölgesinde 33

h (x, y) (1 x) α (1 + x) β exp y2 2 ; α > 1, β > 1 ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan F n+m,m (x, y) P n (x; α, β) He m (y) ; m, n 0, 1,... (3.1.21) Jacobi-Hermite polinomları elde edilir. (3.1.19) ve (3.1.12) den (1 x 2 ) 2 x 2 [P n (x; α, β) He m (y)] + 2 y 2 [P n (x; α, β) He m (y)] +[β α (α + β +2)x] x [P n (x; α, β) He m (y)] y y [P n (x; α, β) He m (y)] + [n (n + α + β +1)+m][P n (x; α, β) He m (y)] 0 denklemine ulaşılır. Buradan (3.1.21) polinomlarının sağladığı kısmi diferensiyel denklem 1 x 2 2 u u u u x 2 + 2 +[β α (α + β +2)x] y +[n (n + α + β +1)+m] u 0 y2 x y olarak bulunur. 6. Bir boyutlu klasik Jacobi ve Laguerre ortogonal polinomlarının kombinasyonu olan F n+m,m (x, y) P n (x; α, β) L m (y; γ) ; γ > 1, α > 1, β > 1 (3.1.22) Jacobi-Laguerre polinomları, h (x, y) (1 x) α (1 + x) β y γ e y ağırlık fonksiyonuna göre {(x, y) : 1 <x<1,y>0} 34

bölgesinde ortogonal bir sistem oluşturur. (3.1.16) ve (3.1.19) dan, (3.1.22) polinomlarının (1 x 2 ) 2 u x + y 2 u u +[β α (α + β +2)x] 2 y2 x +[m + n (n + α + β +1)]u 0 +(1+γ y) u y kısmi diferensiyel denklemini sağladığı görülür. 3.2 Bir Aralık Üzerindeki Ortogonallik İle Bir Bölgedeki Ortogonallik Arasındaki Çeşitli Bağıntılar Bu bölümde bir aralıkta ortonormal olan polinomlar aracılığıyla, bir bölgede ortonormallik koşulunu sağlayan iki değişkenli polinomlar elde edilecektir. 1. {P n (t)}, ( 1, 1) aralığında çift bir fonksiyon olan h 1 (t) ağırlık fonksiyonuna göre ortonormal bir polinom olsun. Yani, 1 1 h 1 (t) P n (t) P m (t) dt δ nm (3.2.1) koşulu sağlansın. x < 1 koşulu altında x ler sabitlenerek, bu integralde t y 1 x 2, x < 1 (3.2.2) dönüşümü yapılırsa, (3.2.1) integrali 1 x 2 1 x 2 h 1 y y y dy P n P m δ nm (3.2.3) 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 formuna indirgenir. n-yinci dereceden P n (t) polinomu t nin kuvvetleri cinsinden P n (t) n a k t k (3.2.4) k0 35

açılımına sahiptir. Burada (3.2.2) dönüşümü kullanılırsa, y P n 1 x 2 n y a k 1 x 2 k0 1 x 2 n 2 n k0 k n k a k y k 1 x 2 1 x 2 n 2 R n (x, y) (3.2.5) elde edilir. h 1 (t) ağırlık fonksiyonu çift olduğundan, (3.2.4) polinomu n çift ise t nin çift kuvvetlerini, n tek ise t nin tek kuvvetlerini içerir (Szegö 1939). İlk olarak, n çift olsun. Bu durumda (3.2.4) formülünde a 2s+1 0 olup k lar çifttir. Dolayısıyla (3.2.5) eşitliğindeki diğer (n k) sayıları da çift olur. Eğer n tek ise (3.2.4) formülünde a 2s 0 olup k lar tek doğal sayıdır. Buradan (3.2.5) formülündeki (n k) indisleri yine çifttir. Böylelikle herhangi bir durumda, R n (x, y) polinomu x ve y ye bağlı n-yinci dereceden bir polinomdur. Ayrıca (3.2.4) de a n 0olduğundan R n (x, y) polinomu, y değişkenine göre de n-yinci derecedendir. (3.2.5) formülü (3.2.3) denkleminde gözönünde tutulursa, 1 x 2 1 x 2 h 1 y 1 x 2 R n (x, y) 1 x 2 n 2 R m (x, y) 1 x 2 m 2 dy 1 x 2 δ nm olup (3.2.3) denklemi 1 x 2 1 x 2 h 1 y R n (x, y) R m (x, y) dy n+m+1 1 x 2 2 δ nm (3.2.6) 1 x 2 formuna indirgenir. Eğer n m ise 1 x 2 1 x 2 h 1 y R 2 1 x 2 m (x, y) dy 1 x 2 m+ 1 2 36

eşitliği gerçeklenir. Benzer şekilde {Φ n (x; m)} polinomları da h 2 (x) 1 x 2 m+ 1 2 (3.2.7) ağırlık fonksiyonuna göre ( 1, 1) aralığında ortonormal olsunlar. Bu durumda 1 1 h 2 (x) 1 x 2 m+ 1 2 Φ n (x; m) Φ k (x; m) dx δ nk (3.2.8) eşitliği sağlanır. Buradan Φ n (x; m) ve R m (x, y) polinomları yardımıyla tanımlanan iki değişkenli polinom ailesi F n+m,m (x, y) Φ n (x; m) R m (x, y) (3.2.9) olsun. (3.2.5) den bu polinomlar y ye göre m-yinci dereceden, toplamda ise (m + n) yinci derecedendir. (3.2.9) formundaki bu polinomlar, (x, y) : x 2 + y 2 < 1 (3.2.10) bölgesinde y h (x, y) h 1 h 2 (x) (3.2.11) 1 x 2 ağırlık fonksiyonuna göre ortonormal bir sistem oluşturur. Bunu görmek için (3.2.6), (3.2.8), (3.2.9) ve (3.2.11) ifadeleri (F n+m,m (x, y),f k+s,s (x, y)) h (x, y) F n+m,m (x, y) F k+s,s (x, y) dxdy iç çarpımında dikkate alınırsa h (x, y) F n+m,m (x, y) F k+s,s (x, y) dxdy y h 1 h 2 (x) Φ n (x; m) R m (x, y) Φ k (x; s) R s (x, y) dxdy 1 x 2 37

1 1 δ ms h 2 (x) Φ n (x; m) Φ k (x; s) 1 1 x 2 1 x 2 h 1 y R m (x, y) R s (x, y) dy dx 1 x 2 h 2 (x) Φ n (x; m) Φ k (x; s) m+s+1 1 x 2 2 dx (3.2.12) 1 1 0, m s h 2 (x) Φ n (x; m) Φ k (x; m)(1 x 2 ) m+ 1 2 dx, m s 1 0, m s δ nk, m s 0, (n, m) (k, s) 1, (n, m) (k, s) elde edilir. Böylelikle (3.2.10) bölgesinde (3.2.11) ağırlık fonksiyonuna göre (3.2.9) polinomlarının ortonormalliği gerçeklenir. 2. Birinci durumda elde edilen sonuç, 1 a b 1 aralığına genelleştirilebilir. Birinci durumda tanımlanan {Φ n (x; m)} polinomları, (a, b) aralığında (3.2.7) ağırlık fonksiyonuna göre ortonormal polinom olarak alınırsa, bu durumda (3.2.9) formundaki polinomlar (3.2.11) ağırlık fonksiyonuna göre (x, y) :x 2 + y 2 < 1, a<x<b bölgesinde ortonormallik koşulunu gerçekler. Bunu görmek için, bu koşullar altında (3.2.12) eşitliğinde ( 1, 1) aralığı yerine (a, b) aralığını almak yeterlidir. 3. Birinci durumdaki gibi, {P n (t)} polinomu ( 1, 1) aralığında h 1 (t) ağırlıkfonksiyonuna göre ortonormal olsun. Yani, (3.2.1) koşulu gerçeklensin. x (0,a), 0 < a koşulu altında x ler sabitlenerek, t y x (3.2.13) 38

dönüşümü yapılırsa, (3.2.1) integrali x x y y y dy h 1 x P n x P m x δ nm (3.2.14) x formuna indirgenir. Bu dönüşüm altında (3.2.4) eşitliği, P n y x n k0 (x) n 2 a k y x k n a k y k x n k k0 (x) n 2 Rn (x, y) (3.2.15) olarak yazılabilir. Burada R n (x, y) polinomu y değişkenine göre n-yinci derecedendir. (3.2.15) formülü (3.2.14) denkleminde gözönünde tutulursa, x x h 1 y x R n (x, y)(x) n 2 Rm (x, y)(x) m 2 dy x δ nm olup (3.2.14) denklemi x x h 1 y x R n (x, y) R m (x, y) dy (x) n+m+1 2 δ nm (3.2.16) formuna indirgenir. Benzer şekilde {Φ n (x; m)} polinomları da (0,a), 0 <a aralığında h 2 (x) x m+ 1 2 (3.2.17) ağırlık fonksiyonuna göre ortonormal olsun. Yani, a 0 h 2 (x) x m+ 1 2 Φn (x; m) Φ s (x; m) dx δ ns (3.2.18) 39

eşitliği gerçeklensin. Buradan Φ n (x; m) ve R m (x, y) polinomları ile tanımlanan iki değişkenli F n+m,m (x, y) Φ n (x; m) R m (x, y) ;m, n 0, 1,... (3.2.19) polinom ailesi ele alınabilir. Bu polinomlar, (x, y) : y 2 <x<a (3.2.20) bölgesinde h (x, y) h 1 y x h 2 (x) (3.2.21) ağırlık fonksiyonuna göre ortonormal bir sistem teşkil eder. (3.2.16), (3.2.18), (3.2.19) ve (3.2.21) eşitlikleri Bunu görmek için, (F n+m,m (x, y),f k+s,s (x, y)) h (x, y) F n+m,m (x, y) F k+s,s (x, y) dxdy iç çarpımında gözönünde tutulursa, h (x, y) F n+m,m (x, y) F k+s,s (x, y) dxdy h 1 y x h 2 (x) Φ n (x; m) R m (x, y) Φ k (x; s) R s (x, y) dxdy a 0 δ ms h 2 (x) Φ n (x; m) Φ k (x; s) a 0 a 0 x x x m+s+1 2 h 2 (x) Φ n (x; m) Φ k (x; s) dx y h 1 x R m (x, y) R s (x, y) dy dx 0, m s x m+ 1 2 h 2 (x) Φ n (x; m) Φ k (x; m) dx, m s 0, m s δ nk, m s 40