Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN
Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları BETA Basım Yayım Dağıtım A.Ş. ye aittir. Her hakkı saklıdır. Hiçbir bölümü ve paragrafı kısmen veya tamamen ya da özet halinde, fotokopi, faksimile veya başka herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, dağıtılamaz. Normal ölçüyü aşan iktibaslar yapılamaz. Normal ve kanunî iktibaslarda kaynak gösterilmesi zorunludur. Dizgi : B e t a B a s ı m A. Ş. Baskı-Cilt : Yazın Basın Yayın Matbaacılık Trz.Tic.Ltd.Şti. (Sertifika No. 12028) Çiftehavuzlar Cd. Maltepe Mh. Prestij İş Merkezi No: 27/806 K:9 (0-212) 565 02 55 Kapak Tasarım : Nur Baylav Beta Basım Yayım Dağıtım A.Ş. Narlıbahçe Sok. Damga Binası No: 11 Cağaloğlu -İSTANBUL Tel : (0-212) 511 54 32-519 01 77 Fax: (0-212) 511 36 50 www.betayayincilik.com
ÖNSÖZ Nümerik analiz yöntemleri, ileri düzeyde matematiksel ve mühendislik problemlerini bilgisayar programları kullanılarak çözmek için kullanılan bir yoldur. Bu sayısal teknikler, mühendislerin ve fencilerin kendine özgü problemlerini çözmek için sık sık başvurdukları bir alan halini almıştır. Bu yöntemlerin en büyük avantajı analitik çözümü olmayan veya analitik olarak çözülmesi çok zaman alan problemlerin bile sonuçlarının bu yöntemlerle elde edilebilmesidir. Analitik metotlar genellikle matematiksel fonksiyonlar şeklinde çözümler üretirler. Sonra bu genel çözümler bazı belirli veriler için sayısal sonuçlar şekline dönüştürülürler. Nümerik çözümlerde sonuçlar daima sayısaldırlar. Sayısal çözümlerin bir önemli farkı da yaklaşık çözüm üretmeleridir. Ancak bu yaklaşık çözümler istenildiği ölçüde hassas elde edilebilmektedir. Hassasiyet artırıldıkça işlem adımları artmakta fakat artan işlem adımları karşısında, çok hızlı olan günümüz bilgisayarları kısa sürede sonuca gidebilmektedir. Bazen analitik çözümlerde bile aynı değerleri elde etmek için yapılan hesaplamalarda da aynı düzeylerde hatalar bulunabilmektedir. Burada bilgisayar hatalarının analizi ve sayısal çözüm yöntemlerinin hata kaynakları da nümerik analizin bir uğraşı alanı olarak görülmelidir. Nümerik analizin temel konuları olan ve aşağıda kısaca özetlenmeye çalışılan konular bu kitabın içerisinde lisans ve lisansüstü düzeyinde bulunmaktadır. Eşitliklerin köklerinin bulunması, doğrusal ve doğrusal olmayan denklem takımlarının çözümleri. Bir dizi veri kullanılarak iç değer(enterpolasyon) ve dış değerlerin(ekstrapolasyon) bulunması. Herhangi bir mertebede fonksiyonun türevinin matematiksel türev kurallarını kullanmadan bulunması. Belirli noktasal değerleri bilinen deneysel çalışmaların eşitlikler elde edilmeden türevlerinin alınması.
Fonksiyonların veya bir dizi deneysel ölçüm sonucu elde edilen noktaların integralinin alınması. Bayağı diferansiyel eşitliklerin çözümleri. Sınır değer problemlerinin çözümüne yönelik uygulamalar. Kısmi türevli eşitliklerin fiziksel ve matematiksel gösterimleriyle çözüm yöntemleri. Bilinen bir dizi değer ve deneysel çalışmada elde edilen ölçüm noktaları için uygun bir eğri uydurulması. Sayısal yöntemlerin uygulanması sırasında bilgisayar programlarının yazılacağı ve bir bilgisayar sisteminin kullanılacağı hiç bir zaman unutulmamalıdır. Böylece bu kitabın içerisinde zaman zaman problemin çözüm algoritmaları, programlamaya temel oluşturacak taslak kodlar ve değişik programlama dillerinde(visual Basic, Fortran, Pascal) yazılmış programlar görülecektir. Bu program ve algoritmalar öğrenciye yol gösterecek ve kendi özel problemine ilişkin program yazmada ışık tutacaktır. Kitap içerisinde mühendislik problemlerinde sıkça karşılaşılan matematiksel ifadelerin çözümüne yönelik olarak geliştirilmiş programlama dilleri dışında hazır matematiksel yazılımların kullanımı da az sayıda yer verilmiştir. Öğrencilerimize ve araştırmacılara yararlı bir kaynak olacağını umar başarı dileklerimi sunarım. Prof. Dr. İbrahim UZUN Kırıkkale-2012
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... iii 1. GİRİŞ...1 1.1 Mühendislik Problemlerinin Çözümü...1 1.2 Programlama Dilleri ve Hazır Yazılımlar...4 1.2.1 Excel... 11 1.2.2 Matlab... 12 1.2.3 Mathematica... 13 1.3 Sayısal Hesaplama ve Hatalar... 14 1.3.1 Bağıl hata... 14 1.3.2 Mutlak hata... 15 1.3.3 Yaklaşım hatası... 16 1.3.4 Kesme hatası... 18 1.3.5 Yuvarlatma hatası... 22 1.4 Bölüm Soruları... 27 2. EŞİTLİKLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI... 29 2.1 Grafik Yöntemler... 31 2.2 Aralık Yarılama Yöntemi... 32 2.3 Kiriş yöntemi (Yer Değiştirme)... 39 2.4 Basit iterasyon yöntemi... 44 2.5 Newton-Raphson yöntemi... 50 2.6 Programlar... 54 3. DOĞRUSAL DENKLEM TAKIMLARININ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ... 55 3.1 Matrisler ve Matrislerle İlgili İşlemler... 58 3.1.1 Alt ve üst üçgen matris... 59 3.1.2 Birim ve Köşegen matris... 60 3.1.3 Bant matris... 60 3.1.4 Transpoze matris... 61
3.1.5 Simetrik matris... 62 3.1.6 Kofaktör matris... 62 3.1.7 Ek matris... 64 3.1.8 Ters matris... 64 3.1.9 Ortogonal Matris... 64 3.1.10 Matrislerde Toplama... 64 3.1.11 Matrislerde Çarpma... 66 3.2 Ters matris alarak denklem takımlarının çözümü... 67 3.3 Gramer yöntemi.... 71 3.4 Gauss Eleme yöntemi.... 76 3.4.1 Pivotlama... 84 3.5 Gauss Jordan yöntemi.... 91 3.6 Ayrıştırma Yöntemi... 96 3.7 Gauss Siedel yöntemi.... 104 4. DOĞRUSAL OLMAYAN DENKLEM TAKIMLARININ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ... 113 4.1 İki değişkenli eşitlikler (Newton Raphson)... 115 4.2 Üç değişkenli eşitlikler (Newton Raphson)... 117 4.3 Basit İterasyon Yöntemi... 123 4.4 Programlar... 127 5. SONLU FARK TABLOLARI... 129 5.1 İleri yön sonlu farklar... 134 5.2 Geri yön sonlu farklar... 140 5.3 Merkezi Farklar... 145 6. ENTERPOLASYON... 151 6.1 İleri yön Sonlu Fark Enterpolasyon... 153 6.2 Geri Yön Enterpolasyon... 157 6.3 Merkezi farklarla enterpolasyon (Bessel Bağıntısı)... 161 6.4 Lagrange enterpolasyon... 163 6.4.1 İki nokta için Lagrange enterpolasyon... 164
6.4.2 İkiden fazla nokta için Lagrange enterpolasyon... 165 6.5 Ters Enterpolasyon... 172 6.6 İki boyutlu Lagrange enterpolasyon... 175 7. SAYISAL TÜREV... 179 7.1 Geri yön sayısal türev ifadesi... 180 7.2 İleri yön sayısal türev ifadesi... 181 7.3 Merkezi yön sayısal türev ifadesi... 182 7.4 Taylor Serisiyle Sayısal Türev... 186 7.4.1 Çok Noktalı Türev Bağıntıları... 188 7.5 Enterpolasyon Bağıntısıyla Sayısal Türev (Gregory-Newton)... 191 7.6 Bessel Bağıntısı İle Sayısal Türev... 192 7.7 Programlar... 195 8. SAYISAL ENTEGRAL... 199 8.1 Trapez (yamuk) yöntemi.... 207 8.2 Simpson Yöntemi... 215 8.2.1 Simpson 1/3 Kuralı(2.dereceden polinom)... 215 8.2.2 Simpson 3/8 Kuralı(3.dereceden polinom)... 221 8.3 Belirsiz Katsayılarla Sayısal Entegral... 228 8.4 İki Katlı Entegrallerin Sayısal Çözümleri... 233 8.5 Programlar... 237 9. EĞRİ UYDURMA... 241 9.1 En Küçük Kareler Yöntemi.... 242 9.1.1 En Küçük Kareler Yöntemi ile Doğru Uydurma... 244 9.1.2 En Küçük Kareler Yöntemi ile 2. Dereceden Polinom Uydurma... 245 9.2 Üstel Dağılımlı Verilere En Küçük Kareler Yönteminin Uygulanması... 251 9.3 Rasyonel Dağılımlı Verilere En Küçük Kareler Yöntemiyle Eğri Uydurma... 255 9.4 Çok Değişkenli Doğrusal Eğri Uydurma... 260 9.5 Programlar... 264
10. BAYAĞI DİFERANSİYEL DENKLEMLER... 271 10.1 Bayağı Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri... 275 10.2 Taylor Serisi Yöntemi... 279 10.3 Euler ve Düzeltilmiş Euler Yöntemi... 284 10.4 Runge-Kutta Yöntemleri... 295 10.4.1 İki Adımlı Runge-Kutta Yöntemi... 296 10.4.2 Dört Adımlı Runge-Kutta Yöntemi... 303 10.4.3 Runge-Kutta-Fehlberg Yöntemi... 307 10.4.4 Çok Adımlı Yöntemler... 311 10.4.4.1 Adams Yöntemleri... 312 10.4.4.2 Entegral Yöntemleri(Newton-Cotes)... 320 10.4.4.3 Milne Yöntemi... 323 10.4.5 Çok Değerli Yöntemler... 326 10.5 Yüksek Mertebeden Bayağı Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümleri... 335 10.5.1 Taylor Serisi Yöntemi... 336 10.5.2 Düzeltilmiş EulerYöntemi... 338 10.5.3 Runge-Kutta Yöntemi... 342 10.5.4 Adams-Moulton Yöntemi... 347 10.6 Eşitliklerin Yakınsama Zorlukları... 350 10.7 Sınır Değer Problemleri... 353 10.7.1 Kestirme Düzeltme Yöntemi(Shooting)... 353 10.8 Programlar... 364 11. KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ... 371 11.1 Eliptik Tip Kısmi Diferansiyel Denklemler... 373 11.2 Kısmi Türevli İfadelerin Sonlu Fark Çözümleri... 377 11.3 Kısmi Türevli İfadelerin İterasyonla Çözümleri... 389 11.3.1 Gauss Seidel Yöntemi... 389 11.3.2 SOR Yöntemi... 393 11.3.3 Poisson Eşitliklerinin İterasyonla Çözümleri... 396 11.4 Türev Sınır Şartı Altında Çözüm... 398
11.5 Düzensiz Sınırlı geometrik Sistemlerin Çözümü... 403 12. PARABOLİK TİP KISMİ TÜREVLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ... 407 12.1 Açık Çözüm Yöntemi... 410 12.2 Crank-Nicolson Yöntemi... 415 12.3 Theta ( ) Yöntemi... 418 12.4 İki ve Üç Boyutlu Parabolik Tip Kısmi Türevli İfadeler... 419 12.5 Programlar... 420 13. ÇÖZÜLMÜŞ PROBLEMLER... 425 13.1 Problem 1... 425 13.2 Problem 2... 427 13.3 Problem 3... 428 13.4 Problem 4... 430 13.5 Problem 5... 432 13.6 Problem 6... 433 13.7 Problem 7... 434 13.8 Problem 8... 436 13.9 Problem 9... 438 13.10 Problem 10... 438 13.11 Problem 11... 439 13.12 Problem 12... 441 Kaynaklar... 449 Dizin......