GRİLİM ANALİZİ Her biri matematiksel teoriler ola elastisite, viskoite vea plastisite teorileri kedi içleride bir düee sahip olup kuvvet, gerilim, deformaso ve birim deformaso davraışları gibi parametreler tarafıda kotrol edilmektedirler. Bu bölümde, çeşitli fiiksel taımlamalar ve matematiksel ilişkiler olula formülie edilmiş, cisim kuvveti, üe kuvveti, ormal ve makaslama gerilimi gibi kavramlarıda bahsedilecektir. CİSİM KUVVTİ: cisim bouca etki eder ve başka bir cisimle teması olmaksıı üretilir (erçekimsel, maetik, elemsilik kuvveti gibi). YÜZY KUVVTİ: bir cismi dış üei bouca etki eder ve başka bir cisimle teması soucu oluşur. Bir cisim kuvvetii oğuluğu birim hacme düşe kuvvet olarak taımlaır. ğer DV hacmideki bir cisme etkie kuvvet bileşkeleri, DF, DF ve DF ise lim DV 0 DF Dv lim DV 0 DF DV lim DV 0 DF DV
Gerilim Birim alaa düşe kuvvet. lim DA0 DF DA DF Koordiat sistemide, DF : lim DA0 DF DA DA P stress at a poit lim DA0 DF DA DF P oktasıı çevrelee DA alaıa etkie bileşke kuvvet lim DA0 DF DA alt idisleri : alaa ormal (dik) öde : gerilim öüde Gerilim Kuvvet Tesör icelik (dülem, büüklük, ö) Vektörel icelik (büüklük, ö)
BİR YÜZY TKİYN GRİLİM BİLŞNLRİ Yadaki şekilde; cos(, ) cos(, ) cos(, ) t öüle eksei arasıdaki açıı kosiüsüdür.
DF kuvveti arıca iki bileşeie arılarak şu şekilde ifade edilebilir: lim D A 0 D F DA t; ve tarafıda oluşturula dülem ile DA alaıı teğet dülemi arasıdaki kesişimi öü lim D A 0 D F t DA Gerilim ugulaa alaa dik ise Gerilim ugulaa alaa paralel ise NORMAL GRİLİM MAKASLAMA GRİLİMİ t t cos, cos, t Toplamda 9 adet gerilim bileşei vardır:,,,,,,,, DİKDÖRTGN KOORDİNATTA GRİLİM BİLŞNLRİ P 4
. A.cos Dege durumuda; M X d d d d d d d d d d d d 0 Yie de; = = = Bir Dülemdeki Gerilim Bir dülemdeki gerilim diagramı: A A. A.si. A.si. A.si 5
öüdeki kuvveti toplamı: F A Acos Asi Acos si 0 öüdeki kuvveti toplamı: F A Asi cos Asi cos Asi cos 0 Sadeleştirme soucuda: cos si si cos cos si si cos cos si cos si 6
Normal gerilimi eşitliğii türevi: 0 cos si d d ta içi iki farklı değeri olasıdır: ma mi 7
Maksimum ve Miimum Normal Gerilim Asal Gerilmeler Asal Dülemler Makaslama Gerilimi Yok Makaslama Gerilim ( )eşitliğii türevi alıırsa : d d cos 0 si ta 8
ve + 90 içi: ma/ mi 90 ma Makaslama dülemi ile asal dülemler arasıdaki açıı 45 0 olması koşuluda maksimum makaslama gerilmesi oluşur. cos si 9
MOHR DAİRSİ Mohr dairesi her ödeki gerilimler içi geometrik bir çöümdür. ma +90 + 0
Mohr dairesi çiilirke aşağıdaki adımlar ileir; ) Ortogoal ekseler çiilerek dike ekse (makaslama gerilmesi) ve ata ekse de (ormal gerilme) olarak isimledirilir Bu iki eksei eşit şekilde ölçekledirilmesi öemlidir. ) Normal gerilme ekseie ve ler ekleir ) Cismi üerie saat öüde aşağı doğru etkie makaslama gerilmesi a da ormal ekse üeride bir oktaa dik etki ede ormal gerilme işaretleir 4) Dike eksedeki makaslama gerilim değerleri ormal gerilim eksei üeride ½( + ) oktalarıla kesiştirilir ve kesişe bu oktalar bir doğru ile birleştirilir. 5) Normal gerilim eksei üeride ½( + ) oktası merke olacak şekilde bir daire çiilir ve makaslama ile ormal gerilimleri kesişim oktalarıı birleştire doğru be çemberi çapıı ifade eder bu çemberi arı çapıı makaslama dülemii kestiği okta maksimum makaslama gerilimidir r ma 4 daire ile ormal gerilim ekseii kesişimi asal gerilmeleri verir. : eksei ve asal gerilimleri arasıdaki açıı iki katı : /( - ) 90 Mohr Dairesii merkei:
, cos, cos, cos OKTAHDRAL GRİLİMLR oct, oct plastik akma içi eilme kriteride öemli bir rol oar. oktahedro (sekiülü) üelerii ormalleri aşağıdaki doğrultu kosiüslerie sahiptir. Oktahedral gerilim içi bileşke deklemleri: oct oct
İKİNCİL ASAL GRİLİMLR İkicil asal gerilme kavramı foto-elastisite ve deesel gerilim aalileride arar sağlar. ikicil asal gerilmeler aşağıdaki şekilde ifade edilir:, 4 ei ekseii öelimi ise: ta Burada dikkat edilmesi gereke usur sadece bir set asal gerilme olup, ikicil asal gerilmeleri ise sosu saıda olduğudur. Acak her bir i öü içi tek set ikicil asal gerilme vardır.
BİRİM DFORMASYON ANALİZİ Deformaso: Bir cisimde er değiştirmede kaaklı medaa gele şekil ve büüklük değişimidir. Rijit kütle hareketi ile souçlaa bir er değiştirme ile deformaso ile souçlaa bir er değiştirmei aırt etmek burada öem taşır. rijit kütle hareketide büüklük & şekil değişme referas oktası değişir İKİ ÇŞİT DFORMASYON Çigisel deformaso Açısal Deformaso Birim Deformaso: cismi orijial boudaki birim başıa değişimdir. lim D L 0 Birim deformaso L L Bodaki değişim Cismi bou Makaslama Deformasou : açısal bir deformasodur 4
BİR DÜZLMDKİ BİRİM DFORMASYON lastisite teorisideki çoğu problem bir dülemdeki birim deformaso alaışıla çöümleebilir. r r Dr D Dr D 0 D Du 0 D r D Dr 0 D 5
Birim deformasou altı bileşei: u v w v u w v u w 6
LASTİSİT TORİSİ Klasik elastisite teoriside katı maddeleri aşağıdaki ideal elastik öellikleri gösterdikleri düşüülerek hareket edilir. Gerilim ve birim deformaso arasıdaki doğrusallık: Hooke asasıa göre bir cisme bir birim gerilim uguladığıda bir birim deformaso medaa gelir. Homojelik: bir cismi her oktasıdaki elastik öelliği ve tüm hacmi bouca madde öelliğii aı olması. İotropi: maddei tüm ölerde elastik öelliğii aı olması. Mükemmel elastisite: etki ede gerilimler ortada kalktığıda cismi tekrar ilk halie dömesi durumu. HİÇ BİR MADD BU KOŞULLARI TAM OLARAK SAĞLAMAZ. Yie de ugulamada çoğu apısal maleme ve kaa içi bu elastik öellikler gö öüde buludurulur. 7
Gerilim- Birim Deformaso İlişkisi: Gerilim bileşeleri ve buları soucuda medaa gele birim deformaso ilişkisi Hooke asasıla ifade edilir. ~ lastisite modülü Cisimde öüde uamaa ve öleride kısalma eşlik eder. Poisso oraı 8
Üç boutta ortaa çıka ormal birim deformasolar: 9
&G arasıdaki ilişki: G Rijidite modülü G G G e p P K = = hidrostatik gerilim alaı içi) Bulk modülü Hacimsel birim deformaso K 0
Bu altı adet gerilim-birim deformaso ilişkisi gerilimleri ifade etmek içi deformaso ciside eide aılırsa: e e e
G e G e G e G G Lame Sabiti: G
Dülemsel Gerilim Koşulları: Dülemsel gerilim koşulu, öüdeki gerilimleri ihmal edildiği koşul;, ve 0 Deforme olmuş bir cismi tüm oktalarıdaki er değiştirmeler cismi bouu ormali öüdeki dülem üeride ise, dülemsel birim deformaso medaa gelir. Bu dülemsel birim deformasoa kaa kütlesi içideki uu ata tüeller ii bir örektir. Dülemsel birim deformaso içi, = =0 & =0 vea sabittir: G G
Kutupsal koordiatlar içi gerilim bileşeleri: r r r r r cos r si r r r Kutupsal koordiatta gerilim- birim deformaso ilişkisi: r r r r r 4