MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise =

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR 1. : bir dönüşüm, olsunlar. a) ( ) = ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) olduğunu c) ( ) nin eşitliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli bir koşulun nin 1 1 olması ile mümkün olduğunu 2. : : ve : dönüşümleri verilsin. Aşağıdakileri (a) örten örten, (b) = ise = 3. R reel sayılar kümesi, ve 6= 0olsun. R üzerinde ( ) = + olarak tanımlanan dönüşümler için a) = olacak biçimdeki reel sayılarını cinsinden bulunuz. b) 1 1 = 1 1 olan bütün fonksiyonlarını bulunuz. c) 1 fonksiyononu bulunuz. 4. ve iki küme, : bir fonksiyon, 1 ve 2 kümesinin iki altkümesi olsun.aşağıdaki ifadelerin doğruluğunu (a) 1 ( 1 2 )= 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) (b) 1 ( 1 2 )= 1 1 ) 1 ( 2 ) 5. mod 121 egöre92 elemanının tersinibulunuz. 6. Z ve 6= olsun. Her için oluyorsa, = { : Z} olacak şekilde bir tamsayısının varlığını 7. Bölme algoritmasını 81 ve 13 sayılarına uygulayarak olan ve tek tamsayılarını bulunuz. 81 = 13 + burada 0 13 8. ve tamsayılar olmak üzere 2 ise olup olmadığını 9. Öyle tamsayıları bulunuzki olsun. 10. Z olmak üzere, + =8fakat ( ) 6= 8 1

(a) ( ) =1ve ( ) =1ise ( ) =1olduğunu (b) ( ) =1ise ( ) =1ve ( ) =1olduğunu 11. Aşağıdaki değerini bulunuz. 14 +15 3(11 + 2)(mod 21) 12. mod 9 kalan sınıfının asal kalan kümesini yazınız. 13. Q\{0} kümesinin = olarak tanımlanan işlem ile bir grup olduğunu 2 14. Z 5 in sıfırdan farklı elemanlarının kümesiz 5 ın çarpmaya göre bir grup olduğunu 15. Z üzerinde her Z için, = + +2ile tanımlansın. (a) (Z ) nın birdeğişmeli grup olduğunu (b) (Z ) içinde 3 5=13denklemini çözünüz. 16. üç elemanlı bir grup ise değişmeli olduğunu 17. Tamsayılardan oluşan = {6 +14 Z} kümesini ele alalım. Bu kümesi tamsayılardaki toplama işlemi altında bir grupmudur? Gösteriniz. 18. bir grup ve her için, = ise = özelliği sağlansın. grubunun değişmeli olduğunu 19. Verilen kümelerinin, tanımlanan bağıntısı ile bir grup olup olmadığını (a) Z 10 da, = 2 4 6 8 ª ; = (b) Q da, = {2 Q} ; = (c) Z de, = { Z 1(mod 5)} ; = (d) Q da, = { Q 6= 1} ; = + (e) R de, = { R 6= 1} ; = + + (f) C de, = { + =0ve + 6= 0} ; = (g) = Q = + +3 20. = {0 1 2 3 4 5 6 7} ve işlemi ile bir grup olsun. Ayrıca işlemi aşağıdaki özellikleri sağlasın. (a) Her için, + (b) Her için, =0 Bu durumda nin işlem tablosunu yapınız. 21. Pozitif tamsayısı için, Z = { Z} kümesini tanımlayalım. Z kümesinin tamsayılardaki toplama işlemi ile bir grup olduğunu 2

22. = { 3 2 1 0 1 2 3} kümesinin Z de bilinen adi toplama işlemine göre, etkisiz elemanın varlığını, her elemanın tersinin bulunduğunu, birleşme özelliğini sağladığını, fakat Z deki toplama işlemine göre kapalı olmadığından grup olmadığını 23. = = 1 2 + 1 2 3 = 1 2 1 2 3 =1 ª birimin küp köklerinin kümesinin C kompleks sayılarda bilinen çarpma işlemi ile bir grup olduğunu 24. = { 1 1 } birimin dördüncü dereceden köklerinin kümesinin karmaşık sayılardaki çarpma işlemi ile bir grup olduğunu 25. Modülo 3 e göre kalan sınıfların kümesi Z 3 hem toplama işlemi, hem de çarpma işlemine göre grup olup olmadığını 26. Modülo 4 e göre kalan sınıflarınkümesiz 4 çarpma işleminegöregrupolurmu? Neden? 27. Z 13 grubunun aşağıdaki alt kümelerinden hangisi çarpma işleminegörebirgruptur. a) 1 12 ª b) 1 2 4 6 8 10 12 ª c) 1 5 8 12 ª 28. bir grup ve için, = olsun. Bu durumda = olduğunu 29. = { 1 2 } mertebesi olan sonlu değişmeli bir grup olsun. = 1 2 ise 2 = olduğunu 30. ( ) bir grup ve olsun. ( ) 1 = 1 1 = olduğunu 31. ( ) bir grup ve için, = olsun. O zaman = olduğunu 32. bir grup ve olsun. (a) 3 1 ( 2 ) 3 2 1 2 elemanının mümkünolduğunca basit biçimde yazınız. (b) ( 1 ) 4 elemanınınmümkünolduğunca basit biçimde yazınız. ( 1 ) 100 hakkında ne söyleyebilirsiniz? (c) 3 2 = 1 eşitliğindeki elemanınını bulunuz. 33. 2 + 6=0denklemini Z 14 grubunda çözünüz. 34. bir grup ve olsun. Her Z için olduğunu = + 35. Bir ( ) grubunda ve elemanları için ( ) 2 = 2 2 oluyorsa = olduğunu 3

36. bir grup, elemanları için, ( ) olsun. Bu durumda = olduğunu 37. grubunda mertebesi iki olan tek eleman olsun. ( ) olduğunu 38. sonlu elemanlı bir grup olsun. grubundaki her elemanı için, = olacak şekilde bir Z + sayısının varolduğunu 39. bir grup, elemanları için, 6 = ve = 4 olsun. Bu durumda 3 = ve = olduğunu 40. bir grup ve olsun. a) ( ) ={ = } kümesinin nin bir altgrubu olduğunu Bu ( ) altgrubuna elemanının içindeki merkezleştiricisi denir. b) için, ( ) 1 = ( 1 ) olup olmadığını 41., grubunun boş olmayan bir alt kümesi ve üzerinde bir bağıntı 1 olsun. bir denklik bağıntısıdır, nin bir alt grubudur. 42. = { } ve deki işlemin tablosu aşağıdaki gibi olsun. Bu durumda, (a) ( ) bir grup olduğunu (b) grubun ve altgruplarını belirleyiniz ve her bir elemanın mertebesini bulunuz. 43. bir grup, ve = T 1 olsun. Buna göre (a) (b) Her için 1 = olduğunu 44. =30ise in bütün altgruplarını bulunuz. 45. değişmeli bir grup ve grubunun bütün sonlu mertebeli elemanlarından oluşan alt kümesi olsun. kümesinin grubunun bir altgrubu olup olmadığını 46. Bir grubu için merkezin bir karakteristik altgrup olup olmadığını 47. bir değişmeli grup olsun. G grubunun bütün sonlu mertebeden elemanlarından oluşan kümenin bir altgrup olduğunu 4

48. çarpımsal bir grup ve, grubunun boş olmayan sonlu bir altkümesi olsun. Eğer kümesi grubu üzerindeki işleme göre kapalı ise, grubunun bir altgrubudur. 49. ( ) bir grup ve, grubunun boş olmayan bir altkümesi olsun. olması için gerek ve yeter koşul için 1 olmasıdır. Gösteriniz. 50. Sadece sonlu tane altgrubu bulunan bir grubun sonlu grup olup olmadığını 51. bir grup ve de onun iki elemanlı normal bir altgrubu ise ( ) olduğunu 52. Değişmeli alt grubu bulunan ve kendisi değişmeli olmayan grup örneği veriniz. 53. Reel sayılar ½ kümesi üzerinde¾ tersinir 2 2 lik matrislerin çarpımsal gurubu (2 R) nin 1 0 bir = R altkümesini alalım. altkümesinin bir altgrup olduğunu 1 54. Reel sayıların toplamsal grubunun bir altkümesi = {0} ½± 1 ¾ Z 6= 0 olsun. nin bir altgrup olup olmadığını 55. Sonlu sayıda altgrubu bulunan bir grubun sonlu grup olduğunu 56. degişmeli bir grup ve sabit bir tamsayı olsun. = { = } kümesinin bir altgrup olduğunu 57. ve bir için, 1 = { 1 } biçiminde tanımlansın. 1 kümenin bir altgrup olduğunu 58. Değişmeli bir grubun her alt grubunun değişmeli olduğunu Tersinin doğru olmadığına bir örnek veriniz. 59. { Z 5 } kümesinin, Z toplamsal grubunun bir altgrubu olduğunu 60. bir grup ve ve iki alt grubu olsun. Bir için = 1 oluyorsa ile eşlenik gruptur denir. Bir grubunda alt grupların eşlenik olma bağıntısının denklik bağıntısı olduğunu 61. grubunun boş olmayan bir altkümesi olsun. kümesinin bir altgrup olduğunu = { = } 62. ve ise olduğunu 63. bir değişmeli grup ve iki altgrubu olsun. O zaman { } kümesinin bir altgrup olduğunu göster. 5

64. = { 2 } kümesinin 4 grubunun altgrubu olduğunu 65. bir grubunun boş olmayan altkümesi olsun. grubunun, kümesinin elemanları ile değişmeli olan elemanların kümesi olsun. H kümesinin bir altgrup olup olmadığını 66. bir grup ve sabit bir eleman olsun. = { = } kümesinin bir altgrup olduğunu 67. bir değişmeli grup olsun. grubundaki 2 = olan bütün elemanlarının kümesi olsun. kümesininbiraltgrupolupolmadığını 68. bir grubunun boş olmayan altkümesi olsun. grubunun, kümesinin elemanları ile değişmeli olan elemanların kümesi olsun. H kümesinin bir altgrup olup olmadığını 69. Sadece sonlu tane altgrubu bulunan bir grubun sonlu grup olup olmadığını 70. değişmeli bir grup ve olsun. = = ve ( ) =1ise = olduğunu 71. Bir devirli grubun her altgrubunun devirli olduğunu 72. Z içinde h i h i için bir üreteç bulunuz. 73. bir grup; olsun. =75ve =57ise nın devirli olduğunu 74. ve ikiasaltamsayı olsun. Z devirli grubunun üreteçlerinin sayısını bulunuz. 75. Mertebesi olan bir sonlu grupta, elemanı için, olduğunu 76. Bir grubunda için, 1 = olduğunu 77. bir grup ve olsun. = 1 olduğunu 78. ve =5 6= ve 1 = 2 olsun. elemanının mertebesini bulunuz. 79. Z 4 grubunda 3 elemanının mertebesini bulunuz. 80. Z 210 grubunda 84 elemanının mertebesini bulunuz. 81. Z 6 grubunda 0 1 2 3 4 ve 5 altgruplarını belirleyiniz. 82. bir 155 mertebeli devirli grup olsun. 25 elemanının mertebesini bulunuz. 83. Z 20 grubunun bütün üreteçlerini bulunuz. 84. Sonsuz mertebeli devirli olmayan bir grup örneği veriniz. Nedenini açıklayınız. 85. Z nin bütün üreteçlerini belirleyiniz. 86. Z 5 nin bütün üreteçlerini belirleyiniz. 6

87. 20 mertebeden bir devirli grubun bütün üreteçlerini ve bütün altgruplarını bulunuz. 88. (R ) grubunun devirli olmadığını 89. (Q +) grubunun devirli olmadığını 90. Bir grubunda iki eleman tarafından üretilen altgrubun en az iki eleman bulundurduğunu 91. Mertebeleri aşağıda verilen devirli grupların bütün üreteçlerini bulunuz. (a) 5 mertebeden, (b) 8 mertebeden, (c) 12 mertebeden, (d) 60 mertebeden 92. Aşağıda verilen devirli grupların elemanlarını bulunuz. (a) Z 30 grubunda 25 elemanının ürettiği altgrup (b) Z 42 grubunda 30 elemanının ürettiği altgrup 93. bir grup ve mertebesi 2 olan bir devirli alt grubun üreteci ve bu şekildeki tek eleman olsun. O zaman için = olduğunu [ :( 1 ) 2 elemanını alınız.] 94. Z 8 = {0 1 2 3 4 5 6 7} kümesinin modülo 8 egöredenkolmabağıntısı ile tanımlanan toplama işlemi ile bir devirli grup olduğunu ve üreteçlerinin 1 3 5 7 olduğunu 95. Her devirli grubun değişmeli olup olmadığını 96. 4 dihedral grubunun her elemanının mertebesini bulunuz. 97. Bir grubunda için, 1 = olduğunu 98. ve =5 6= ve 1 = 2 olsun. Bu durumda elemanının mertebesini bulunuz. 99. Z Z devirlidir ancak ve ancak ( ) =1dir. Gösteriniz. 100. Z 2 3 kümesi için (a) Z 2 3 kümesinin bütün elemanlarını yazınız. (b) Z 2 3 grubunda (1 (13)) (1 (123)) ve (1 (132)) 2 elemanlarını hesaplayınız. (c) Z 2 3 grubunun değişmeli grup olmadığına bir örnek veriniz. 101. ve olsun. Bu durumda olduğunu 102. Z Q Z nin bütün üreteçlerini belirleyiniz. 7

103. (R ) ve (R +) grupları olmak üzere, R R kümesi üzerinde ( ) ( ) =( + ) işlemi tanımlansın. R R kümesininbubağıntı ilebirgrupolupolmadığını 104. bir grup ve onun bir alt grubu olsun. [ : ] =2 için = olduğunu 105. Z 4 = {0 1 2 3} toplamsal grubunu ve = {0 2} kümesini ele alalım. nin Z 4 grubunun bir alt grubu olduğunu ve bu alt gruba göre sağ denklik sınıflarını bulunuz. 106. Z 12 nin 6 devirli grubuna göre sol denklik sınıflarının sayısını bulunuz. 107. olsun. bir devirli grup ise grubununda devirli olsuğunu 108. 20 çarpımsal grubu ve = { 20 1mod5} altkümesi olsun. (a) 20 olduğunu (b) 20 kümesini bulunuz. (c) 20 kümesiningrupolupolmadığını 109. 24 grubunda (a) 7 alt grubunu bulunuz. (b) 7 altgrubuna göre denklik sınıflarının 24 7 kümesini bulunuz 110. = ve =30ise grubunun bütün altgruplarını bulunuz. 111. C olsun. Bu durumda kesir grubunun, her altgrubu olmak üzere = biçiminde olduğunu 112. = 15 mertebeden bir devirli grup ve = 5 olsun. (a) alt grubunun mertebesini bulunuz. (b) Á grubunun mertebesini ve elemanlarını açık olarak belirleyiniz. (c) grubunun, alt grubuna göre denklik sınıflarınınayrık bileşimi olarak yazılışını belirleyiniz. 113. sonlu elemanlı bir grup olsun. grubundaki her elemanı için, = olacak şekilde bir Z + sayısının varolduğunu 114. 20 mertebeden bir devirli grubun bütün üreteçlerini ve bütün altgruplarını bulunuz. 115. Mertebesi sonlu olan bir devirli grubunun, mertebesini bölen her pozitif tamsayısı mertebeli bir altgrubunun var olduğunu 116. bir değişmeli grup ve sonlu devirli altgrupları olsun. = ve = olsun. ( ) =1 grubunun mertebeden bir altgrubu vardır. Gösteriniz. 117. bir asal tamsayı olmak üzere, mertebesi 2 olan bir grubun değişmeli olduğunu 8

118. bir asal tamsayı olsun. Z grubunun birim ve kendisinden başka altgrubunun bulunmadığını 119. bir sonlu grup,, 6= = ve = olsun. Bu durumda = { } olduğunu 120. 30 grubunun bütün elemanlarını bulunuz. 121. 25 mertebeden bir grup olsun. Bu durumda ya devirli gruptur veya nin birimden farklı her elemanının mertebesi 5 olan gruptur. Gösteriniz. 122. 40 grubunda (a) 3 altgrubunun bütün denklik sınıflarını bulunuz. (b) {11 17 19 33} {7 21 23 29} hesaplayınız. (c) {13 31 37 39} 2 hesaplayınız. (d) {7 21 23 29} 1 hesaplayınız. 123. (Z +) grubunu ele alalım. 5 ile bölünebilen bütün tamsayıların kümesi olsun. a) nin Z nin bir altgrubu olduğunu b) Z grubunun, altgrubuna göre sağ denklik sınıflarının modulo5 egöre5 kalan sınıfı olduğunu c) Bu alt grup için sağ ve sol denklik sınıflarının farklı olmadığını 124. Z 24 Z 54 (20 45) kalan sınıf grubunun mertebesini bulunuz. 125. : bir grup izomorfizması ise 1 : nin bir grup izomorfizması olduğunu 126. bir sonlu grup, : bir otomorfizma ve ( ) = = koşulunu sağlasın. O zaman a) Her elemanının = 1 ( ) olacak şekilde bir bulunabileceğini b) Üstelik 2 = ise grubu değişmeli olduğunu 127. ( ) bir grup olsun. olmak üzere, de yeni bir işlem için, = 1 olarak tanımlansın. Buna göre, (a) ( ) bir grup olduğunu (b) : ( ) ( ) ( ) = ile tanımlanan dönüşümün bir izomorfizma olduğunu 128. sonlu mertebeli değişmeli bir grup ve ( ) =1olacak biçimde bir pozitif tamsayı olsun. O zaman : ( ) = ile tanımlanan dönüşüm nin bir otomorfizması olduğunu 9

129. : bir grup homomorfizması ve = { ( ) = } ise olduğunu 130. : Z 3Z Z ( +3 ) =3 ile tanımlanan bağıntı bir grup homomorfizmasımıdır? Neden? 131. : Z 12 Z 12 ( ) =3 olan bir dönüşüm olsun. (a) nin bir homomorfizma olduğunu (b) ker ve Im kümelerini bulunuz. 132. bir basit grup ve : bir epimorfizma olsun. Bu durumda nin bir izomorfizma veya = { } olduğunu 133. bir grup ve oldun. C G grubunun her iç otomorfizması için, ( ) = olduğunu 134. :( ) ( ) bir grup homomorfisması olsun. (a) Im (b) 1 ( ) olduğunu 135. bir grup ve bir altgrubu olsun. Eğer nin her otomorfizması için, ( ) oluyorsa, altgrubuna karakteristik altgrup denir. Bir grubunun her karakteristik altgrubunun normal altgrup olduğunu 136. = sonlu mertebeli devirli grup olsun. : ( ) = ile tanımlanan dönüşüm bir otomorfizmadır ( ) =1dir. Gösteriniz. 137. : bir grup homomorfizması ve = { ( ) = } ise olduğunu 138. : dönüşümü her için ( ) = 1 şeklinde tanımlansın. nin bir grup homomorfizması olması için gerek ve yeter şart nin abelyen (değişmeli) olmasıdır. Gösteriniz. 139. Sonsuz mertebeli her devirli grubun (Z +) grubuna izomorfik olduğunu 140. Z 13 grubunun sıfırdan farklı elemanlarının kümesinin, çarpma işlemi altında bir devirli grup olduğunu Bu grubun toplamsal Z 12 grubu ile izomorfik olduğunu 141. 5 grubu ile 4 grubunun izomorfik olduğunu 142. 5 grubu ile 10 grubunun izomorfik olupolmadığını 143. : bir epimorfizma ve değişmeli grup olsun. Bu durumda grubununda değişmeli olduğunu 144. 8 ile 10 gruplarının izomorfik olup olmadığını 10

145. 10 ile 12 gruplarının izomorfik olup olmadığını 146. 8 ile 12 gruplarının izomorfik olup olmadığını 147. bir değişmeli gruptur : ( ) = 1 bir grup homomorfizmasıdır. Gösteriniz. 148. Kabul edelimki ve elemanlarınınherbiri grubunun üreteci olsun. (yani, = ve = olsun) : ( )= ile tanımlanan dönüşümün bir otomorfizma olduğunu 149. : bir monomorfizma ve olsun. ( ) = olduğunu 150. Aşağıdakilerin homomorfizma olup olmadığını (a) :(R ) (R + ) ( ) = 1 (b) : (2 R) (R +) ( ) = ( ) (c) : R R R R ( ) =( + ) (d) :(R +) (R + ) ( ) = 4 151. :(Z +) (2Z +) ( ) =2 ile tanımlanan bağıntının bir homomorfizma olup olmadığını 152. : Z 6 Z 4 ( ) =2 ile tanımlanan bağıntının bir homomorfizma olup olmadığını Homomorfizma ise ker ve Im kümelerini bulunuz. 153. : Z 6 Z 4 ( ) =2 ile tanımlanan bağıntının bir homomorfizma olup olmadığını Homomorfizma ise ker ve Im kümelerini bulunuz. 154. : bir epimorfizma ve değişmeli grup olsun. Bu durumda grubunun değişmeli olduğunu 155. = devirli grup ve : bir epimorfizma olsun. Bu durumda grubunun devirli grup olup olmadığını 156. : Z 8 Z 8 ( ) = +2ile tanımlanan dönüşümün bir grup homomorfizması olup olmadığını açıklayarak 157. = 15 mertebeden bir devirli grup ve = 5 olsun. (a) C olduğunu (b) alt grubunun mertebesini bulunuz. (c) Á grubunun mertebesini ve elemanlarını açık olarak belirleyiniz. (d) grubunun, alt grubuna göre denklik sınıflarınınayrık bileşimi olarak yazılışını belirleyiniz. 158. bir grup ve olsun. ( ) ={ için, = } kümesine grubunun merkezi ve ( ) ={ = } kümesine elemanının merkezleştiricisi denir. 11

(a) ( ) C ve ( ) olduğunu (b) grubunun işlem tablosu aşağıdaki gibi olsun. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 1 4 3 6 5 8 7 3 3 8 5 2 7 4 1 6 4 4 7 6 1 8 3 2 5 5 5 6 7 8 1 2 3 4 6 6 5 8 7 2 1 4 3 7 7 4 1 6 3 8 5 2 8 8 3 2 5 4 7 6 1 Bu durumda ( ) ve (7) altgruplarını bulunuz. 159. bir grup ve C olsun. Eğer grubunun bir altgrubu ve = { } ise (a) ve olduğunu, (b) C ise C olduğunu, (c) = olduğunu 160. C olsun. grubunun, her altgrubu, olmak üzere = biçiminde olduğunu 161. bir sonlu grup, bir devirli normal alt grup ve olsun. Bu durumda C olduğunu 162. bir sonlu grup, C ve nin grubundaki farklı sağ kalansınıflarının sayısı ise = olduğunu 163. bir grup olsun. Her elemanları için = ve = iken ( ) = ( ) olması için gerek ve yeter koşul C olmasıdır. Gösteriniz. 164. = { 2 3 11 12 = } grubu için a) = { 2 4 10 } = { 3 6 9 } = { 4 8 } = { 6 } kümelerinin nin birer alt grubu olduğunu b) ) daki altgruplardan hangileri normal alt gruptur. c) kümesinin nin bir normal altgrubu olduğunu d) kümesinin hem nin hem de nın normal altgrubu olduğunu 165. = { 1 2 } ve = { 1 2 }, grubunun alt grupları ve birtanesi normal altgrup olsun. O zaman 12

a) = b) olduğunu 166. Bir devirli grubun herhangi bir bölüm grubunun devirli olduğunu 167. ve ın deki indeksi asal tamsayı ise Á grubunun devirli olduğunu 168. bir grub olsun. ( ) ={ : otomorfizma} ile tanımlanan küme fonksiyonların bileşke işemi ile bir grup olur. Gösteriniz. Bu şekilde tanımlanan ( ) kümesine grubunun otomorfizmalarının grubu denir. 169. bir grup, birden büyük bir tamsayı ve her için ( ) = olsun. = { : = } ve = { : } olarak tanımlansın. Aşağıdakileri (a) C ( ) C ( ) Á = 170. ( +) toplamsal bir grup, C C ve = {0} olsun. Bu durumda ve için, + = + ve + = olduğunu 171. (Z Z) h(5 2)i = Z olduğunu 172. 32 grubu ve = 1 17 ª kümesi olsun. (a) 32 ve (b) 32 = 16 olduğunu 173. C ve : ker olan bir homomorfizma ve : doğal epimorfizma olsun. O zaman = olan birtek : homomorfizmasının varlığını 174. bir grup, C C ve C olsun. O zaman ( ) ( ) = olduğunu 175. 6= 0ve 6= 0olmak üzere, ( ) =1ise Z ZÁ ( ) toplamsal grubunun (Z +) grubuna izomorf olduğunu 176. bir grup, ve, nin farklı normal alt grupları olsunlar. a) = nin normal alt grubudur. b) Á e= Á c) Á e= Á olduğunu 177. Z Z (9 13) = Z olduğunu 13

178. 36 grubunda 13 altgrubu için, (a) Bütün denklik sınıflarını bulunuz. (b) 36 13 kalan sınıf kümesini bulunuz. (c) 36 13 = Z 2 Z 2 olup olmadığını 179. 8 de = (348) (1468) = (15468) (37) (2468) (15) = (4678) (3456) (135) ve = (26) (38) (75) (246) (15) devirleri için (a) devirlerini ayrık devirlere ayırınız. (b) devirini ayrık devirlere ayırınız ve mertebesini bulunuz. 180. 3 = {1 (12) (13) (23) (123) (132)} simetrik grubu verilsin. 3 = {1 (23)} 3 alt grubunun bütün sağ ve sol denklik sınıflarını bulunuz. [ 3 : 3 ]=?(12) 3 = 3 (12) midir? 181. = µ 1 2 3 4 5 6 6 4 2 3 1 5 (a) =? (b) 2 =? (c) 98 =? 182. 6 grubunda ve = µ 1 2 3 4 5 6 6 3 2 1 5 4 (a) Mertebesi 3 olan iki ayrık deviriçarpınız. (b) Mertebesi 4 olan iki ayrık deviriçarpınız. olmak üzere (172/2) 14