SYISL ELEKTRONİK Ege Üniversitesi Ege MYO Mekatronik Programı
ÖLÜM 4 OOLEN RİTMETİĞİ VE DEMORGN TEOREMLERİ
OOLEN TOPLM oolean toplama VEY işlemine eşittir. Toplamanın kuralı: 0+0=0 0+= +0= += oolean aritmetiğinde toplama toplama dahil olan literallerin toplamıdır. Sadece VEY işlemidir. + +' ++C ++C+D Toplam giriş literallerinden en az iri olduğunda, aksi halde 0 dır.
OOLEN ÇRPM oolean çarpma VE işlemine eşdeğerdir. Kurallarını şöyle özetleyeiliriz. 0.0=0 0.=0.0=0.= oolean aritmetiğinde çarpım giriş literallerinin çarpımıdır.....c CD Çarpım literallerden iri sıfır olduğunda 0, tümü olduğunda dir.
oolean kanunları Değişme özelliği: VE, VEY işlemlerinde değişkenlrin sırası önemli değildir. + = + = Eşittir Eşittir 7
oolean kanunları ve kuralları VE, VEY işlemlerinde irleşme özelliği. + ( + C) = ( + ) + C (C) = ()C Eşittir Eşittir 8
oolean kanunları ve kuralları Dağılma Özelliği ( + C) = + C Eşittir ( + )(C + D) = C + D + C + D Eşittir 9
oolean kanunları ve kuralları Kural : 0 = 0 Kural 2: = X Eşittir 0
oolean kanunları ve kuralları Kural 3: 0 ile VEY lanan giriş çıkışa aynen aktarılır. + 0 = Kural 4: ile VEY lanan giriş çıkışa olarak aktarılır. + = X Eşittir X Eşittir
oolean Kuralları Kural 5: ir değişkeni kendisi ile VE lerseniz çıkış kendisine eşit olur. = Kural 6: ir değişkeni kendisi ile VEY larsanız çıkış kendisine eşit olur. + = X Eşittir X Eşittir 2
oolean kanunları ve kuralları Kural 7: ir değişkeni değili ile VE lerseniz çıkış 0 olur. = 0 Kural 8: ir değişkeni değili ile VEY larsanız çıkış olur.. + = X Eşittir 0 X Eşittir 3
oolean kanunları ve kuralları Kural 9: herhangi ir giriş iki defa arka arkaya değillenirse çıkış kendisine eşittir. = X Eşittir 4
oolean Kuralları Kural 0: += Kural + = + + = + Kural 0 Kural 7 Kural 8 Çarpanlarına ayırma Kural 6 Kural 4 5
oolean Kuralları Kural 2: (+)(+C)=+C Dağılma kanunu Kural 7 Dağılma kanunu Kural 2 Dağılma kanunu Kural 2 Kural 4
Kural ve 2
OOLEN KURLLRI
DE MORGN TEOREMİ Şöyle açıklanailir; XY X Y X Y X Y () (2) De Morgan teoremlerinin geçitlere uygulanışı şekilde gösterilmiştir. X X XY X+Y Y Y X X+Y X X Y Y Y De Morgan teoreminin geçitlere uygulanması.
Uygulama
Mantık devrelerin oolean Çözümlemesi Mantık devrelerin çıkışları oolean ifade olarak yazılailir. Soldaki girişlerden aşlayarak adım adım çıkışa ilerlenir.
Doğruluk Talosu oolean ifadesi yazıldıktan sonra devrenin doğruluk talosu oluşturularak tüm olası girişlere göre çıkış elirlenir.
oolean İfadelerin Standart Formları Çarpımların toplamı Product-of-sums (POS) form Toplamların Çarpımı Sum-of-products (SOP) form
ÇRPIMLRIN TOPLMI Çarpımların toplamı şeklindeki eşitliklerde önce VE geçidi kullanılarak çarpma yapılır ve sonra irden fazla çarpım VEY geçidi kullanılarak toplanır. Örnek olarak aşağıdaki eşitlikleri vereiliriz; CD C C DEFG C DEC C EG C
ÇT ifadelerde değişkenlerin üzerindeki değil çizgileri irleşik çizilemez. Örneğin aşağıdaki ifadeler iririne eşit değildir. C C Tüm eşitlikler ÇT olarak ifade edileilir. oolean kanunları kullanılarak ÇT olmayan eşitlikler ÇT haline dönüştürüleilirler. ÖRNEK: CD CD
TOPLMLRIN ÇRPIMI (TÇ) Toplamların çarpımı şeklindeki ifadeler irden fazla VEY işleminin sonucunu VE işlemine tai tutulmuş halidir. Örnek: G F G F C D C F E D C D C TÇ ifadelerin azılarında çarpımlardan iri veya irkaçı tek değişken olailir. G F E D C
Örnek
Örnek
oolean ritmetiğini İle Sadeleştirme oolean ifadesi yazılan devrenin, çıkış ifadesi oolean kuralları ve kanunları kullanılarak daha az geçit kulllanarak yeniden kurulailir. u işleme sadeleştirme denir. Sadeleştirmede geçit giriş sayısı veya geçit sayısı azaltılmalıdır. Önceki ve sade devrenin doğruluk talosu aynı olmalıdır.
Örnek:
Örnek ÖRNEK : şağıdaki fonksiyonu oolean kanunlarını kullanarak en asit hale indirgeyin. ÖRNEK 2: C C C C C C C D C C C
ÖRNEK 3: C C C C C ÖRNEK 4: C C ÖRNEK 5: D C D C C C D D C C D C D C C D C D C ÇÖZÜM:
0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 3 x 2 3 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 x 3 Komşuluklar 3üncü terimden ir tane daha yaz ve düzenle Komşu terimleri irleştir 2 3 2 3 0 2 3 3 x Komşu terimleri ularak Sadeleştirme
Örnek Devrenin olean eşitliğini yazın Devreyi en az sayıda geçit kullanarak yenidençizin.
Ödev. şağıdaki eşitlikleri DeMorgan teoremlerini uygulayın. 2. şağıdaki eşitlikleri DeMorgan teoremlerini uygulayın. 3. şağıdaki eşitlikleri DeMorgan teoremlerini uygulayın. 4. şağıdaki ifadeyi sadeleştirin. 5. şağıdaki ifadeyi sadeleştirin.
ÖLÜM 4: KNUGH HRITSı ILE MNTıK İFDELERININ SDELEŞTIRILMESI Yrd. Doç. Dr. Mustafa Engin Ege Üniversitesi Ege Meslek Yüksekokulu Elektronik teknolojisi Programı Sayısal Elektronik Dersi
Karnaugh Haritası (K-Haritası) Mantık ifadelerinin grafiksel sadeleştirmesinde kullanılan ir yöntemdir. Her hücre doğruluk talosundaki ir hatırı temsil eder. Haritadaki hücre sayısı giriş sayısına göre değişir. n giriş var ise 2 n. F(,) F 0 0 0 0 2-değişkenki K-haritası 0 0
3 Değişkenli K haritası F(,,C) C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F 3-değişkenli K-haritası 36 C 00 0 0 0
37 Karnaugh Haritası (K-Haritası) F(,,C,D) C D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F 4-Değişlkenli K-haritası 00 0 0 CD 00 0 0...
38 K Haritasında Komşuluk Komşuluk=yanında olan hücre CD 00 0 00 0 0 0 hücre 0000 hücre 000, hücre 000 ise hücre 00. Hücre 0000 hücre 000 komşudur (katlandığında dışardan komşuluk) Komşu hüre ile ulunduğumuz hücre arasında sadece ir giriş değişkeni farklıdır. İki değişken farklı ise komşuluk olmaz.
39 Karnaugh Haritasında ÇT ifadenin Gösterimi ÇT ifadenin haritaya yerleştirilmesi dım : Standart ÇT ifadede her ir çarpım terimini değerini elirle, u işlem doğruluk talosu ile yapılailir. dım 2: ÇT ifadeye göre her terimin değerini doğruluk talosunda elirle. Örnek: F = Σ(0,) = x y + x y Giriş değişkenleri: x, y x y F 0 0 0 0 0 x y 0 0 0 0 0
40 Karnaugh Haritası Standart olmayan ÇT ifadenin haritaya yerleştirilmesi dım : her terimi sayısal olarak genişlet. dım 2: adımda ulduğun her terimin temsil ettiği hücreye yerleştir. Örnek: F= + + C dım : + + C dım 2: 000 00 0 00 0 00 C 0 00 0 0 0 C 0
4 Mantık devrelerin asitleştirilmesi Sadeleştirme yapılırken en az sayıda çarpım terimi ve en az sayıda giriş değişkeni elde edilmeye çalışılmalıdır. Devreleri neden sadeleştiririz? oyut, # geçit sayısı, maliyet, hız F=+C+ Sadeleştirme öncesi Sadeleştirme sonrası
42 Mantık devrelerin asitleştirilmesi oolean aritmetiğinin kural ve kanunlarını kullanarak Yavaş olailir. En asite ulaştığımızdan emin olamayız K-haritası ikinci seçenek. En asiti ulailiriz.
43 K-haritası ile sadeleştirme dım : ÇT ifadeyi haritaya yerleştir. dım 2: En üyük komşulukları ul ve asit ÇT ifadeyi yaz. Kural : grup 2 n hücre içermeli, n=0,,2 Kural 2: Guruptaki hücre sayısını en üyük yapın. Kural 3: Gurup sayısını en aza indirin. Kural 4: Haritada yer alan her en az ir guruu elemanı olmalıdır. kural 5: gereksiz gurup oluşturmayın. Step 3: Minimum ÇT ifadeyi yazın.
44 Örnekler: 0 0 0 0 F= + 0 0 0 F= + + F=+ 0 0 0 0 F = 0 0 0 0 F = F= C + C +C +C + C + C C 00 0 0 0 0 0 F=+ C +C
Örnek 45 G(,,C) = C + C + C + C C 00 0 0 0 0 0 0 0 H(,,C) = m(0,2,6,7) C 00 0 0 0 0 0 0 0 C H(,,C) = m(0,2,6,7) C 00 0 0 0 0 0 0 0 H = C + c C Z = a + c + ac a 00 0 0 0 0 0 0 0
46 Çalışma Sorusu ir üretim hattında 3 güvenlik sensörü ve acil durdurma anahtarı ulunmaktadır. uradaki taşıyıcı ant motoru aşağıdaki koşullar oluşmadığı sürece çalışacaktır: [sensör etkin mantık ] acil durdurma anahtarına asılırsa, sensör ve sensör 2 aynı anda etkin olduğunda, sensör 2 ve sensör 3 aynı anda etkin olduğunda, üç sensör aynı anda etkin olduğunda taşıyıcı ant motoru durur. (a) u sistemin doğruluk talosunu çıkarın. (5p) () VED mantığı ile devresini çiziniz. (5p)
47 Örnek : F= + + C ifadesini sadeleştirin
48 Örnek: F= C + +C + CD + C D+ CD ifadesini sadeleştirin.
49 Ödev 2 İnternet sayfasından indireilirsiniz.