İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ
Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık Permütasyon ve Kombinasyon
Tanım : Matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır ve rastgele değişkenleri inceler. Rastgele Değişken: Gelecekteki bir gözlemde alacağı değer önceden kesinlikle bilinemeyen bir değişkendir. Örneğin: Bir zar atışında gelecek sayının önceden bilinememesi Herhangi bir gün gözlenecek yağış yüksekliği Makine elemanının hasara uğrama zamanı vb. Belirsizliğin Kaynağı: Daha önceden tahmin edilemeyen çok sayıda etkene bağlı olunması Doğal olaylardaki mevcut değişkenliklerin olması Bu tür olaylarda değişkenler deterministik bir yaklaşımla incelenemez Değişkenin alacağı değeri önceden kesinlikle belirleyen yasalar elde edilemez. Bunun yerine probabilistik (olasılığa dayalı) yaklaşım gerekir.
Tanım Belirsizliklerden hareketle elde edilen verilerden bazı sonuçlar çıkarmak ve tahmin yapabilmek istatistiğin konusudur. Bugün hava muhtemelen yağışlı ve biraz soğuk olacak, bu dersten büyük bir ihtimalle geçerim, bu ameliyatın başarı düzeyi %95 dir,... vb gibi olmak üzere günlük hayatta olasılık kavramı sık sık gündeme gelir. Aslında bu ifadeleri kullanan kişi, daha önceki bilgi ve deneyimleri vasıtasıyla bu sonuçlara varmaktadır. Elde edilen sonuçlar kesin olmamakla birlikte belirli bir güven (doğruluk payı) taşımaktadır.
Rastgele Olay Rastgele değişkenin alacağı değer kesin olarak belirlenemeyeceğinden ancak değişkenin belirli bir değeri alma ihtimali belirlenebilir. Bir rastgele değişkenin bir gözlem sırasında belli bir değeri almasına rastgele olay denir. Hangi rastgele olayın görüleceği önceden kesinlikle bilinememekle birlikte herhangi bir rastgele olayın görülme ihtimalini belirlemek mümkündür. Örneğin: Bir zar atışında seçilen bir sayının (tabii 1 ile 6 arasında) görülmesi bir rastgele olay olup bunun ihtimali hesaplanabilir.
Örnek Uzayı ve Küme Kavramı Örnek Uzayı: İlgilenen rastgele olayın alabileceği tüm değerleri içeren uzaydır. Örneğin: Bir zar atışında gelebilecek sayıların tümü Bir deneyde gözlemlenecek değerlerin tümü Olasılık teorisinde küme teorisi, rastgele olayların tanımlanması kolaylaştıran bir yaklaşımdır. Küme kesin olarak tanımlanmış elemanlardan oluşur. Kümenin adı büyük harfle, elemanları bu harfe karşılık gelen küçük harf ile gösterilir. Örneğin: Türkçedeki sesli harfler kümesi Zar atışında görülecek sayıların kümesi:
Küme Kavramı Bir elemanın bir kümeye ait olduğunu Bir elemanın bir kümeye ait olmadığı şeklinde gösterilir. şeklinde gösterilir. Hiçbir elemanı bulunmayan bir küme boş küme olarak adlandırılır. Bir kümenin bütün elemanları diğer bir kümenin de elemanları ise ilk küme ikinci kümenin alt kümesidir. Örnek: Herhangi iki küme A ve B için, A nın tüm elemanları B kümesinde ise: A B nin alt kümesi Veya B A yı kapsar denir.
Venn Diyagramı Bir küme ile alt kümeleri arasındaki ilişkileri grafiksel gösterim kullanarak kolayca tanımlamak için kullanılır.
Venn Diyagramı Bir A kümesi ile B kümesinin ortak elemanları yok ise yani: A B birbirinden tamamen farklı birbirini engelleyen olaylar (mutually exclusive) olarak adlandırılır.
Olasılık Kavramı Bir deneme farklı N sonucu ortaya koyuyor ve bunlardan n tanesinde A olayı meydan geliyorsa, A olayının ortaya çıkma olasılığı, P( A) n N Rastgele değişkeni büyük harfle (X), rastgele değişkenin bir gözlem sırasında aldığı değeri bu harfe karşılık gelen küçük harfle (x) ile gösterirsek X=xi rastgele olayın olasılığı:
Olasılık Aksiyomları Aksiyom 1: Herhangi bir E rastgele olayının ihtimal 0 PE ( ) 1 P(E): E rastgele olayının ihtimalini gösterir. Aksiyom 2: Eğer örnek uzayı S ise PS ( ) 1 yani örnek uzayındaki olayların olasılıklarının toplamı 1 e eşittir. Aksiyom 3: Eğer E1, E2, E3,..., En birbirlerini engelleyen (mutually exclusive) olaylar ise n n P Ei P( Ei) i 1 i 1 Bu aksiyomdan hareketle aşağıdaki özellikler belirlenebilir:
Farklı Bağımsız olaylar İstatistikte olayların bağımsızlığı, bir olay hakkındaki bilgi başka bir olaya bağlı değilse bu olay istatistiksel olarak bağımsızdır (independent events). Karşılıklı olarak birbirini engelleyen olaylar (mutually exculsive events) ise bir olayın olması durumunda diğer başka bir olayın gerçekleşme ihtimalinin sıfır olmasıdır. Bağımsız olaylar asla birbirlerini engelleyen olaylar (mutually exculsive events) olmazlar. Örneğin: 52 lik bir desteden çekilen bir kağıdın kalp olması ve sinek olması farklı olaylardır, zira sinek çekilmiş ise bunun kalp olma ihtimali yoktur. Fakat çekilen kartın kalp olması ve kırmız olması birbirlerini engelleyen olaylar değildir zira bu iki durumun aynı anda olma ihtimali vardır.
Olasılık hesaplamaları Örnek 1: Bir torbada 5 kırmızı, 7 siyah ve 3 beyaz bilye bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilecek bir bilyenin kırmızı gelme olasılığı nedir? Örnek 1 Çözüm: P ( n A ) N 5 5 5 7 3 15 1 3
Olasılık hesaplamaları Örnek 2: Bir önceki örnekteki bilgileri kullanarak; a) Herhangi bir renkte bilye gelme olasılığını hesaplayınız. b) Mavi renkte bilye gelme olasılığını hesaplayınız. c) Siyah renkte bilye gelme olasılığını hesaplayınız Örnek 2 Çözüm:
Olasılık Kuralları Olasılık olayları: birbirini tamamıyla engelleyen birlikte meydana gelebilen olaylar olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır. Ayrımın özelliğine göre kullanılacak olasılık kuralları da farklı olmaktadır. TOPLAMA KURALI Karşılıklı olarak birbirini engelleyen olaylardan (mutually exclusive) birinin veya diğerinin ortaya çıkma olasılığı, bu olayların ayrı ayrı ortaya çıkma olasılıkları toplamına eşittir. A ve B gibi birbirini engelleyen (ayrık) iki olaydan herhangi birisinin meydana gelme olasılığı: zira
Olasılık Kuralları Örnek 3: Kusursuz bir tavla zarı atıldığında 2 veya 3 gelmesi olasılığı nedir? Örnek 3 Çözüm: Bu olay birbirini engelleyen özellikte olup, herhangi bir anda sadece tek yüz ile karşılaşılacağından toplama kuralı kullanılmalıdır.
Olasılık Kuralları ÇARPMA KURALI Birbirinden bağımsız ve aynı zamanda meydana gelebilen olayların olasılığı, bu olayların ayrı ayrı ortaya çıkma olasılıkları çarpımına eşittir. Örnek 4: Kusursuz bir tavla zarı ve madeni para birlikte atıldığında, paranın yazı ve zarın 5 gelmesi olasılığı nedir? Örnek 4 Çözüm: Bu olaylar birlikte meydana gelebilen özellikte olup, birbirini engellemez. Bu nedenle çarpma kuralı kullanılmalıdır.
Olasılık Kuralları Bazı olaylarda ise hem birlikte ortaya çıkma ve hem de birbirlerini engelleme söz konusu olabilir. Bu gibi olaylarda çarpma ve toplama kuralı birlikte kullanılır. Çarpma ve toplama kuralının birlikte kullanıldığı olay sayısı 2 ise (A ve B) formül Olay sayısı 3 (A,B ve C) olduğunda P( A. veya. B. veya. C) P( A) P( B) P( C) P( A. ve. B) P( A. ve. C) P( B. ve. C) P( A. ve. B. ve. C)
Olasılık Kuralları Örnek 5: Bir torbada 1 den 5 e kadar numaralanmış 5 beyaz, 6 dan 12 ye kadar numaralanmış 7 tane siyah bilye vardır. Bu torbadan yapılacak bir çekilişte çıkacak bilyenin beyaz veya tek numaralı olması olasılığını hesaplayınız. Örnek 5 Çözüm: B : beyaz bilye T : tek sayılı bilye olmak üzere olayı Venn diyagramında gösterelim. iki olayın elemanlarından bazıları birbirlerini engelleyen özellikte iken bazıları da birlikte ortaya çıkma özelliğindedir. Sözgelimi, çift sayılı beyaz bir bilyenin gelmesi halinde tek sayılı beyaz bir bilye gelemez, oysa hem beyaz, hem de tek sayılı gelince iki olay birlikte ortaya çıkmış olmaktadır. Buna göre beyaz veya tek sayılı bilye gelme olasılığı
Koşullu Olasılık Bir olayın ortaya çıkma olasılığı, daha önce ortaya çıkan başka bir olaya göre değişiyorsa sözü edilen olaylar arasında bağımlılık vardır ve koşullu olasılık kuralı uygulanır. A olayının meydana gelmesi koşulu ile B olayının ortaya çıkma olasılığı P(B/A) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanır. P( B / A) P( A ve B) P( A).. P( A B) P( A) Yukarıdaki ifade düzenlenirse:
Koşullu Olasılık Bayes Teoremi: E1,E2,..., En ayrık olaylar olsun ve hep birlikte şekilde verildiği gibi S örnek uzayını oluştursun. A olayı bu örnek uzayında bir olay ise
Koşullu Olasılık Bayes Teoreminin uygulandığı durumlar: Örnek uzayının E 1,E2,..., En şeklinde ayrık olaylara bölündüğü Bu örnek uzayında, P(B)>0 şartını sağlayan bir B rastgele olayın varlığında P(E k B) olasılığının hesaplanması istendiğinde Aşağıda tanımlanan ihtimallerden en az birinin bilindiği durumlarda Tüm E Tüm k E k için P(E için P(E k k B) ) ve P(B E k )
Koşullu Olasılık Örnek 6: Bir torbada 3 mavi, 4 beyaz ve 7 kırmızı bilye bulunmaktadır. Üst üste yapılacak iki çekilişten birincisinde mavi, ikincisinde beyaz bilye gelme olasılığını hesaplayınız Örnek 6 Çözüm: M :mavi bilye B :beyaz bilye yi göstersin. Bu problemin çözümünde bilyelerin torbadan çekiliş durumuna bağlı olarak iki farklı yol izlenebilir:
Koşullu Olasılık Örnek 7: Kusursuz bir tavla zarı atıldığında sonucun çift bir sayı olduğu biliniyor. Bu sayının 4 çıkma olasılığını hesaplayınız. Örnek 7 Çözüm:
Koşullu Olasılık Örnek 8: Bir bölgede seçmenlerin %40 ı A partisine %60 ise B partisine oy vermişlerdir. Bir kamuoyu yoklamasında A partisine oy verenlerin %30 ile B partisine oy verenlerin %70 i Avrupa Birliğine girmeyi desteklemektedirler. Bu bölgeden rastgele seçilen birinin Avrupa Birliğini desteklediği bilindiğine göre B partisinde olma ihtimali nedir? Örnek 8 Çözüm:
Koşullu Olasılık Örnek 8: Elektrik ampulü üreten bir fabrikanın üretiminin %20 si A tipi, %80 ide B tipi ampullerden oluşmaktadır. Hatalı üretim oranı A tipi ampullerde %36, B tipi ampullerde ise %18 dir. Rasgele seçilen bir ampulün hatalı olduğu bilindiğine göre bu ampulün A tipi olma olasılığı nedir? Örnek 8 Çözüm: C : hatalı üretim oranını göstersin istenen olasılık P(A/C)=? dır P( A / C) P( A C) P( C) ancak bu formülün payındaki ifadenin değeri bilinmiyor.
Uygulama Soruları Uygulama Sorusu 1: Şekilde verilen 7 elemanlı yapıda i elemanın hasarı F i olarak, i elemanın hasara uğrama ihtimali ise P(F i ) olarak tanımlanmaktadır. Yapıdaki elemanlarının hasara uğraması birbirinden bağımsızdır. Yapıdaki herhangi bir elemanın hasara uğraması ile yapının yıkılacağı varsayılmıştır. P( F1 ) P( F3 ) P( F5 ) P( F7 ) 0.02 P( F2) P( F6) 0.01 PF ( 4) 0.03 ise yapının hasara uğrama ihtimalini hesaplayınız.
Uygulama Soruları Uygulama Sorusu 2: 2 hilesiz zarın atılmasında gelen rakamların toplamı 7 ise, zarlardan birisinin 1 gelme olasılığı nedir? ÖDEV 3: Bir makine parçasının montajında kullanılan 23 cıvatadan 20 tanesi emniyet açısından uygun 3 tanesi ise uygun olmadığı tespit edilmiştir. Bu cıvata kutusundan makine parçasını monte etmek için bir seferde 3 cıvata alınmaktadır. a)montajın hatasız cıvatalardan yapılma olasılığını belirleyiniz. b)en azından bir hatalı cıvata kullanılmış olma olasılığını hesaplayınız.
Permütasyon ve Kombinasyon Olasılık hesaplarının yapılmasında en önemli husus, olayın meydana gelebileceği yolların sayısı (N) ile istenen olayın meydana gelebileceği yolların sayısını (n) belirlemektir. Bu iki sayı belirlendikten sonra olasılık formülleri vasıtasıyla hesaplama kolayca yapılabilir. Olayların meydana gelebileceği sayısı belirlenirken permütasyon ve kombinasyon işlemleri uygulanabilir
Permütasyon (Dizilem) İncelenen n bireyden her defasında r adedi alınarak, sıra gözetilmek kaydıyla, kaç farklı dizi oluşturulabileceği npr n! ( n r)! şeklindeki permütasyon formülü ile hesaplanır.
Permütasyon (Dizilem) Örnek 9: 20 kişilik genel kurul toplantısında başkan, başkan yardımcısı ve sekreter olmak üzere 3 kişilik idare heyeti seçilecektir. Buna göre, a) İdare heyeti için kaç farklı heyet oluşturulabilir? b) Bilinen 3 kişiden A nın başkan, B nin başkan yardımcısı ve C nin de sekreter seçilmesi olasılığı nedir? Örnek 9 Çözüm: 3 pozisyon için yapılacak seçimde sıra gözetileceğinden (yani oluşturulan bir ABC heyetinde A başkan, B yardımcı, C sekreter iken, BAC heyetinde B başkan, A yardımcı ve C sekreterdir) permutasyon formülü kullanılır.
Kombinasyon (Bileşim) İncelenen n bireyden her defasında r adedi alınmak ve sıra gözetilmemek kaydıyla oluşturulabilecek kombinasyon sayısı ncr n! ( n r)! r!. Örnek 10: 10 profesörün bulunduğu bir gruptan seçilecek 3 kişilik jürinin istenen şahıslardan meydana gelme olasılığı nedir? Örnek 10 Çözüm: 3 pozisyon için yapılacak seçimde sıra gözetilmeyeceğinden (yani oluşturulan bir XYZ jürisinde heyetinde X jüri üyesi, Y jüri üyesi, Z jüri üyesi iken, YXZ jürisinde de Y jüri üyesi, X jüri üyesi, Z jüri üyesidir) kombinasyon formülü kullanılır.
Kombinasyon Örnek 11: 4 tarih, 3 felsefe ve 3 matematik kitabı olmak üzere toplam 10 kitap rafta kaç değişik şekilde sıralanabilir? Örnek 11 Çözüm:
Gelecek dersin konusu Rastgele Değişkenlerin Dağılımları.