ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dalı Daışma: Yrd. Doç. Dr. Levet Özbek Durum-uzay modelleri iktisat, biyoloji, tıp ve mühedislik gibi pek çok alada uygulama olaağıa sahiptir. Bu gibi alalarda ilgileile süreçle ilgili model üzeride yer ala parametrelerde kimi kısıtlar söz kousu olabilir. Bu bağlamda kısıtlı durumuzay modeli ve Kalma Filtresii kullaımı büyük öem taşımakta ve araştırılması gereke koular arasıda yer almaktadır. Bu çalışmada lieer ve lieer olmaya durum-uzay modelleri ele alııp Kalma Filtresi ve İlerletilmiş Kalma Filtresii özellikleri üzeride durulmuştur. Durum-uzay modelide yer ala durum vektörüü üzeride kısıt olması koşulu altıda Kısıtlı Kalma Filtresii elde edilişi açıklamış ve yakısama problemleri üzeride durulmuştur. Ayrıca çeşitli uygulama çalışmaları yapılmıştır. Hazira 2009, 62 sayfa Aahtar Kelimeler: Durum-Uzay Modeli, Kalma Filtresi, İlerletilmiş Kalma Filtresi, Kısıtlı Kalma Filtresi, Sistem Belirleme, Kompartma Modelleri, Kotrol. i

ABSTRACT Ph. D. Thesis KALMAN FILTERING WITH CONSTRAINED STATE AND SOME APPLICATIONS Esi KÖKSAL BABACAN Akara Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Sciece Departmet of Statistics Supervisor: Asst. Prof. Dr. Levet Özbek State-space models are applicatio area i ecoomy, biology, medicie ad egieerig. I these area relatig process models have some costrait. I this sese, costraied Kalma Filter ad Kalma Filter usig is importat ad take part of ivestigate. I this study, liear ad oliear state-space models are emphasized ad properties of Kalma Filter ad Exteded Kalma Filter are give. Kalma Filterig whe costrait o state vector i state-space models are explaied ad covergece problems are ivestigated. Besides, some applicatios are created. Jue 2009, 62 pages Key Words: State-Space Models, Kalma Filter, Exteded Kalma Fitler, Costraied Kalma Filter, System Idedificatio, Compartmetal Models, Cotrol. ii

TEŞEKKÜR Çalışmalarımı yöledire, araştırmalarımı her aşamasıda bilgi, öeri ve yardımlarıı esirgemeyerek bei teşvik ede ve her kouda yol göstere daışma hocam sayı Yrd. Doç. Dr. Levet ÖZBEK(Akara Üiversitesi Fe Fakültesi İstatistik Bölümü) e çok teşekkür ederim. Doktoramı başlagıç aşamasıda Kalma Filtresii baa öğrete ve bei bu kouda çalışmaya yöledire sevgili hocam sayı Prof. Dr. Fikri ÖZTÜRK (Akara Üiversitesi Fe Fakültesi İstatistik Bölümü) e katkılarıda dolayı teşekkür ederim. TİK üyelerim Prof. Dr. Fahretti ARSLAN (Akara Üiversitesi Fe Fakültesi İstatistik Bölümü) ve Yrd. Doç. Dr. Murat EFE (Akara Üiversitesi Mühedislik Fakültesi Elektroik Mühedisliği Bölümü) ye tez çalışmalarım boyuca verdikleri katkılarda dolayı çok teşekkür ederim. Tıp alaıda uygulama çalışması esasıda verdiği katkılarda dolayı Uzm. Dr. Nuray YAZIHAN (Akara Üiversitesi Tıp Fakültesi Dahili Tıp Bilimleri Fizyopatoloji Bilim Dalı) a ve ekoomi alaıdaki uygulama çalışmalarıda verdiği destekte ötürü sayı Doç. Dr. Ümit ÖZLALE (Bilket Üiversitesi İktisadi İdari Ve Sosyal Bilimler Fakültesi İktisat Bölümü) ye teşekkür ederim. Bei büyüte, çalışmalarım süresice birçok fedakarlık göstererek bei destekleye sevgili ae ve babacığıma, bei her zama destekleye ve çalışmaya teşvik ede sevgili kardeşlerime çok teşekkür ederim. Bei alayıp, her zama yaımda ola ve bei her koşulda destekleye sevgili eşime çok teşekkür ederim. Esi KÖKSAL BABACAN Akara, Hazira 2009 iii

İÇİNDEKİLER ÖZET....i ABSTRACT...ii TEŞEKKÜR..iii SİMGELER DİZİNİ iv ŞEKİLLER DİZİNİ...v. GİRİŞ VE ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR... 2. KALMAN FİLTRESİ... 4 2. Kesikli Zama Stokastik Durum-Uzay Modeli ve Kalma Filtresi... 4 2.2. Lieer Olmaya Durum-Uzay Modeli ve İlerletilmiş Kalma Filtresi... 9 3. KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ... 4 3. Lieer Kısıtlı Durum Kalma Filtresi... 4 3.. Maksimum olasılık yötemi... 5 3..2 Ortalama kare yötemi... 6 3..3 İz düşüm yötemi... 8 3.2 Kısıtlı Durum Kalma Filtresi Tahmiii Özellikleri... 9 3.3 Kısıtlı Durum İlerletilmiş Kalma Filtresi... 22 3.4 Kısıtı Lieer Olmadığı Durum... 23 4. KESİKLİ ZAMAN DETERMİNİSTİK DURUM-UZAY MODELLERİNDE İLERLETİLMİŞ KALMAN FİLTRESİNİN YAKINSAMASI... 24 4. Kısıt Olmaması Durumuda Yakısama... 24 4.2 Kısıtlı Durumda Yakısama... 36 5. KESİKLİ ZAMAN STOKASTİK DURUM-UZAY MODELLERİNDE İLERLETİLMİŞ KALMAN FİLTRESİNİN YAKINSAMASI... 43 5. Kısıtsız Durumda Yakısama... 43 5.. İlerletilmiş Kalma Filtresi içi hata sıırları... 46 5.2 Kısıtlı Durumda Yakısama... 52 6. EN ÇOK OLABİLİRLİK YÖNTEMİ İLE MODEL PARAMETRELERİNİN TAHMİNİ... 58 iv

6. Log-Olabilirlik Foksiyouu Türevleri... 60 6.2 Stadart Hata... 68 6.3 Durum-Uzay Modelleri İçi Optimal Kotrol... 69 6.4 Durum-Uzay Modellerii Parametrelerie Göre Türevleri... 70 7.UYGULANAN KONTROL BİLİNDİĞİNDE DURUM-UZAY MODELLERİNİN EKONOMİK PARAMETRELERİNİN TAHMİNİ... 73 7. Uygulaa Kotrol Bilidiğide Durum-Uzay Modellerii Ekoomik Parametrelerii E Çok Olabilirlik Yötemi İle Tahmii... 74 7.2 Uygulaa Kotrol Bilidiğide Durum-Uzay Modellerii Ekoomik Parametrelerii İlerletilmiş Kalma Filtresi İle Tahmii... 76 7.3 Parametreleri Üzeride Kısıt Olması Durumuda Tahmi... 78 7.3. Kısıtlı durumda e çok olabilirlik yötemi ile tahmi... 78 7.3.2 Kısıtlı durumda ilerletilmiş kalma filtresi ile tahmi... 79 8. UYGULAMALAR... 80 8. Tümör Hücrelerii Kılcal Damarlarda Geçirgeliğii Olie Tahmii... 80 8.. ICG kompartma modeli... 8 8..2 Geçirgelik parametresi tahmii içi ilerletilmiş kalma filtresi... 82 8..3 Deeysel souçlar ve tartışma... 83 8..5 Kısıtlı durumda geçirgelik parametrelerii tahmii... 86 8..6 Souç... 86 8.2 Ekoomi Öreği... 87 8.2. E çok olabilirlik yötemi ile parametre tahmii... 89 8.2.2 İlerletilmiş kalma filtresi ile parametre tahmii... 89 8.2.3 Kısıtlı durum... 93 8.2.4 Souç... 95 8.3 Ekoomi Öreği 2... 95 8.3. E Çok Olabilirlik Yötemi ile Parametre Tahmii... 97 8.3.2 İlerletilmiş Kalma Filtresi ile Parametre Tahmii... 98 v

8.3.3 Kısıtlı durum... 0 8.3.4 Ekoomi öreği 2 (gerçek veriler)... 03 8.3.5 Souç... 06 9. TARTIŞMA VE SONUÇ... 07 KAYNAKLAR... 09 EKLER... 4 EK Fare Tümörleri içi Kesikli Durum-Uzay Modelii Elde Edilişi... 5 EK 2 Fare Tümörleri İçi Geçirgelik Parametresi Tahmii Programı... 6 EK 3 Ekoomi Öreği içi Matlab Programları... 22 EK 4 Ekoomi Öreği 2 içi Matlab Programları... 38 ÖZGEÇMİŞ... 6 vi

SİMGELER DİZİNİ x y w v u Durum vektörü Gözlem vektörü Hata vektörü Hata vektörü Kotrol girdisi E( x0 ) P 0 = x Başlagıç durumu 0 Y { 0 } $ x + Başlagıç kovaryas matrisi y, y,..., y aıa kadar ola tüm gözlemler Y verildiğide, x + i koşullu beklee değeri x $ Y verildiğide, x i koşullu beklee değeri P Y verildiğide, x i koşullu kovaryası $ x P Y verildiğide, x i koşullu beklee değeri Y verildiğide, x i koşullu kovaryası K Kalma Kazaç matrisi α ζ D d s q Uutma faktörü Hata vektörü Kısıt matrisi (sabit matris) Bilie vektör Kısıtları sayısı Durumları sayısı x% Kısıtlı Kalma Filtresi tahmii W Simetrik pozitif taımlı ağırlık matrisi f ( x, u ) Birici derecede türeve sahip foksiyo h( x ) Birici derecede türeve sahip foksiyo $ x $ x + Ösel tahmi Sosal tahmi vii

A C ς ϑ J( θ ) f foksiyouu x durum vektörüe göre birici derecede türevlerii matrisi h foksiyouu x durum vektörüe göre birici derecede türevlerii matrisi zamaıdaki kısıtsız Kalma filtresi tahmi hatası zamaıdaki kısıtlı Kalma filtresi tahmi hatası Negatif olabilirlik foksiyou viii

ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 8. Kompartma Modeli...8 Şekil 8.2 Gözlee(Mavi) ve Kalma Filtresi ile Tahmi Edile(Kırmızı) ICG Yoğulukları...84 Şekil 8.3 Kompartmalardaki ICG Yoğuluklarıı Tahmileri...84 Şekil 8.4 Geçirgelik Parametrelerii Tahmileri...85 Şekil 8.5 Kısıtlı Durumda Geçirgelik Parametreleri Tahmileri (kırmızı-kısıtlı tahmi, mavi-kısıtsız tahmi)...86 Şekil 8.6 a ve y Gözlemleri...90 Şekil 8.7 Gözlemleri Tahmii(Mavi gerçek-kırmızı Tahmi)...90 Şekil 8.8 Gerçek ve Optimal Kotrol...9 Şekil 8.9 ρ ve ρ 2 Tahmileri...9 Şekil 8.0 r ve b Tahmileri...92 Şekil 8. γ Tahmii...92 Şekil 8.2 ρ ve ρ 2 Tahmileri...94 Şekil 8.3 γ Tahmii...94 Şekil 8.4 λ π ve λ y Tahmileri (Kayıp Foksiyou Parametreleri)...98 Şekil 8.5 α, y β, β 2 ve β r Tahmileri (Üretim Açığı, Sistem Parametreleri)...99 Şekil 8.6 α, α2, α 3 ve α 4 Tahmileri (Eflasyo Deklemi,Sistem Parametreleri)...99 Şekil 8.7 Optimal kotrol ve Gerçek kotrol...00 Şekil 8.8 π ve y Gözlemleri...00 Şekil 8.9 π ve y Tahmileri (Gözlem Tahmileri)...0 Şekil 8.20 α, α2, α 3 ve α 4 Tahmileri...02 Şekil 8.2 α, y β, β 2 ve β r Tahmileri...03 Şekil 8.22 Optimal kotrol ve Gerçek kotrol...04 Şekil 8.23 λ π ve λ y Tahmileri (Kayıp Foksiyou Parametreleri)...04 Şekil 8.24 α, y β, β 2 ve β r Tahmileri (Üretim Açığı, Sistem Parametreleri)...05 Şekil 8.25 α, α2, α 3 ve α 4 Tahmileri...05 ix

. GİRİŞ VE ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Kesikli-zama stokastik durum-uzay modelleri, 960 lı yıllarda uydu, güdümlü mermi, uzay araçları ve hareket yeteeği ola hedefleri koumuu izleme ve kotrol etme gibi uygulamalar içi geliştirilmiştir. Durum-uzay modelleri, fiziksel ve ekoomik sistemleri modellemeside pek çok uygulama alaıa sahiptir (Özbek 998). Durum-uzay modelide asıl problem, gözleemeye x durum vektörüü y,..., y, y gözlemlerii kullaarak tahmi etmektir. Bu problem filtreleme olarak biliir (Jazwiski 970). İdirgemeli (ardışık) tahmi sadece aıdaki y gözlemie ve aıdaki $ x tahmiie bağlı olarak aıdaki x durumuu e iyi x$ değerii tahmi etme problemidir ve Kalma (960) tarafıda dik izdüşüm yötemiyle çözülmüştür. Bu çözüm yötemi Kalma Filtresi olarak biliir ve bu tahmi değişik optimizasyo ölçütlerie göre elde edilebilir (Özbek 998). Durum-uzay modelide yer ala hata terimleride ve başlagıç durumuda herhagi bir dağılım varsayımı yapılmada sadece beklee değerlerii ve kovaryas matrislerii bilidiği varsayımı yapılarak, durum vektörüü tahmiii dik izdüşüm yötemi ile buluması; Jazwiski (970), Davis ad Viter (985) de detaylı olarak ele alımıştır. Davis ad Viter (985), durum-uzay modeli ile ilgili kotrol edilebilme, gözlemleebilme, kararlılık gibi birçok özellik ve bularla ilgili birçok teorem vermiştir. Bir sistemi icelemekteki amaç sistemi davraışıı öğremek, sistemi deetlemek, sistemi yeilemek, korumak veya sistemi kotrol altıda tutmak olabilir. Durum-uzay modeli ile modellee bir sistemi isteile biçimde kotrol edilebilmesi gözleemeye durum vektörüü tahmiie bağlıdır. Filtreleme ve kotrol arasıda dualite özelliği vardır (Kalma 960, Kalma ad Bucy 96). Bu edele filtreleme işlemi bir sistemi icelemede öemli bir yer tutar (Özbek 998). Kalma Filtresi diamik sistemleri durumuu tahmi etmekte kullaılır. Buula birlikte, Kalma Filtresi uygulamalarıda sıklıkla bilie model veya siyal bilgileri

öemsemez ya da ihmal edilir (Massicotte et al. 995). Öreği durum değerlerii kısıtları Kalma Filtresii yapısıa kolaylıkla uyum sağlayamadığıda sıklıkla ihmal edilir. Simo ve Chia (2002) çalışmalarıda durum eşitliği üzeride kısıt olması durumuda Kalma Filtresii elde etmişlerdir. Che ad Chiag (993) çalışmalarıda Kısıtlı Kalma Filtresii yakısama hızıı kısıtsıza göre biraz daha hızlı olduğuu simülasyo ile göstermişlerdir. Bu çalışmaı ikici bölümüde lieer kesikli zama stokastik durum-uzay modeli ve Kalma Filtresi ile lieer olmaya kesikli zama stokastik durum-uzay modeli ve İlerletilmiş Kalma Filtresie ilişki bilgi verilmiştir. Üçücü bölümde; durum değişkeleri içi bilie bir öbilgi yai kısıt olması durumuda, Kalma Filtresi ile durum tahmiii elde etme yötemleri alatılmıştır. Kısıtlı durum Kalma Filtresii özellikleri ile ilgili bilgi verilmiştir. Lieer olmaya durum-uzay modelleri içi kısıtlı İlerletilmiş Kalma Filtresi ve kısıtı lieer olmadığı durumda kısıtlı Kalma Filtresii elde edilişi ile ilgili bilgi verilmiştir. Dördücü bölümde; lieer olmaya kesikli zama determiistik durum-uzay modelleride İlerletilmiş Kalma Filtresii yakısama problemi ele alımıştır. Boutayeb et al. (997) de İlerletilmiş Kalma Filtresi algoritmasıda verile hata kovaryası yerie Özbek ad Aliev (998) de öerile hata kovaryasıı alıması ile yakısamada ola değişim araştırılmıştır. Bu souçlar göz öüe alıarak daha öce icelememiş ola kısıtlı durumda yakısama icelemiş ve souçlar elde edilmiştir. Beşici bölümde; lieer olmaya kesikli zama stokastik durum-uzay modelleride İlerletilmiş Kalma Filtresii yakısaması ele alımış ve daha öce icelememiş ola kısıtlı durumda yakısama iceleerek souçlar elde edilmiştir. Altıcı bölümü ilk kısmıda kesikli zama stokastik durum uzay modelleride bilimeye parametreleri tahmii içi e çok olabilirlik yötemi ve tahmii elde ediliş adımları alatılmıştır, ikici kısmıda parametre tahmilerii stadart hatalarıı

hesaplaması alatılmıştır, üçücü kısmıda durum-uzay modelleri içi optimal kotrol problemi ve bu kotrol problemii çözümü verilmiştir, dördücü kısmıda optimal kotrol problemi çözülürke kotrolle ilgili bilimeye parametreleri (bir ekoomi modelie ait) tahmiii e çok olabilirlik yötemiyle elde edilmesi alatılmıştır. Çalışmaı yedici bölümüde uygulaa kotrol biliirke durum-uzay modellerii parametrelerii tahmii problemi üzeride durulmuş ve bu problemi çözümü içi kullaılabilecek bir yötem öerilmiştir. Bu yötem e çok olabilirlik tahmii elde edilirke de kullaılmıştır. Çalışmaı sekizici bölümü uygulama çalışmalarıa ayrılmıştır. İlk uygulama, tıp alaıda uygulama olaağı ola kompartma modelleri içi İlerletilmiş Kalma Filtresi kullaılarak fare tümörleri verileri üzeride yapılmıştır. Durum değişkeleri arasıda bilie bir kısıt olması durumuda filtre tekrar çalıştırılıp souçlar yorumlamıştır. İkici ve üçücü uygulama çalışmaları ekoomi alaıda yapılmıştır. İlk uygulamada, durum-uzay modeli ve kotrol kullaılarak isteile parametre tahmileri, kısıtlı ve kısıtsız durum içi e çok olabilirlik yötemiyle ve İlerletilmiş Kalma Filtresiyle hesaplamıştır. İkici uygulama merkez bakalarıı tercih parametrelerii belirlemekle ilgilidir ve ABD ekoomisiyle ilgili gerçek veriler kullaılarak da tahmiler hesaplamıştır.

2. KALMAN FİLTRESİ Bu bölümü ilk kısmıda kesikli zama stokastik durum-uzay modelii taıtımı ve Kalma Filtresi, ikici kısmıda lieer olmaya durum-uzay modeli ve İlerletilmiş Kalma Filtresi verilmiştir. İlerletilmiş Kalma Filtresi ile ilgili yapıla çalışmalara örekler verilmiştir. 2. Kesikli Zama Stokastik Durum-Uzay Modeli ve Kalma Filtresi Bu kısımda kesikli zama stokastik durum-uzay modelii taıtımı verilmiş ve Kalma Filtresi ve birtakım özellikleri alatılmıştır. Durum-uzay modeli, sistemi durumuu göstere acak gözleemeye { x, = 0,,2,...} stokastik süreci ile ilgili bir durum eşitliği ve gözleebile, { y, = 0,,2,...} stokastik süreci ile ilgili bir ölçüm (gözlem) eşitliğide oluşa x = A x + Bu + + Gw (2.) y = H x+ v (2.2) q m şeklide bir modeldir. Burada, x R, sistem durum vektörüü, y R, sistem gözlem vektörüü göstermektedir. A, q q boyutlu sistem geçiş matrisii, H, m q boyutlu gözlem matrisii göstermektedir. B, q m, G, q q boyutlu matristir. Bu matrisler zamaa bağlı olduğuda modele diamik model, aksi halde statik model deir. w R q ve v R m sıfır ortalamalı beyaz gürültü süreçlerii (hata terimi) göstermektedir. Yai, x R q sistem durum vektörü, y R m sistem gözlem vektörü, u R p sistem kotrol vektörü olmak üzere model varsayımları, E( x0 ) = x E( w ) = 0 0

E( v ) = 0 Kov( x ) = E[( x x )( x x )'] = P E( w w ) Kov( v v ) E w v = 0 0 0 0 0 0 ', j = Q = j 0, j ', j = ' ( j ) 0 E x w = ' ( 0 ) 0 E x v = ' ( 0 ) 0 R = j 0, j şeklidedir. Ayrıca tüm = 0,, 2,... alarıda A, B, G, Q ve R matrislerii bilidiği varsayılır (Davis ad Viter 985). E iyi filtreleme problemi (hataı kovaryasıı miimum olması alamıda) Y = { y0, y,..., y} gözlemleri verildiğide x durumuu e iyi tahmiii belirleme problemidir. 0 verildiğide x durumuu tahmii Y = { y, y,..., y } gözlemleri x$ = E[ x y, y,..., y ] = E[ x Y ] 0 ile hataı kovaryas matrisi P = E[( x x$ )( $ x x )' Y ] Y = { y, y,..., y } gözlemleri verildiğide x durumuu tahmii, ile, 0 x$ = E[ x y, y,..., y ] = E[ x Y ] 0 ile, hataı kovaryas matrisi

P = E[( x $ $ x )( x x )' Y ] ile gösterilsi. Bua göre Kalma Filtresi, P = 0 P 0 x$ 0 = x 0 başlagıç değerlerie bağlı olarak, x$ $ = A x + B u x$ $ $ = x + K [ y H x ] (2.3) K = P H ( H P H + R ) ' ' P = A P A + G Q G ' ' ( ) P = I KH P biçimide verilir. Burada, K Kalma kazacı olarak biliir (Davis ad Viter 985, Aderso ad Moore 979). x $ ve x $, x durum vektörüü ösel ve sosal tahmileri olarak adladırılır. Aderso ad Moore (979) da Kalma Filtresi ile ilgili bir takım özellikler verilmiştir. Y ile 0 { y, y,..., y } ölçümlerii sütu vektörleri gösterilmek üzere, eğer x 0, w ve v i dağılımları ormal ise x + i Kalma Filtresi tahmii x $ + i, Y ölçümleri verildiğide x + i koşullu beklee değeri olduğuu göstermişlerdir. Yai, x$ + = E x+ Y [ ] dir. Hatta x 0, w ve v i ortak dağılımları ormal olmasa bile Y ölçümleri verildiğide, Kalma Filtresi tahmii, tahmi hatasıı varyasıı miimum yapa

tahmidir. Aderso ad Moore (979) da Kalma Filtresi tahmii (miimum varyaslı tahmi), $ + + + xy yy x = x = x + P P ( Y Y ) olarak verilmiştir. Burada x +, x + i beklee değeri; P xy, Y, Y i beklee değeri, x + ve Y i varyas kovaryas matrisi; P yy, Y i kovaryas matrisi ve x +, x + i verile Y gözlemleri üzerie koşullu ortalamasıdır. Bezer şekilde Aderso ad Moore (979) da dolayı x $ + i Y verildiğide koşullu ormal dağılım olduğu durumda, x $ + Kalma Filtresi tahmiii ve Y i ortak dağılımıı ormal olduğu bilimektedir. Bua göre, Y verildiğide x + i koşullu olasılık yoğuluk foksiyou, e x x P x x P( x Y ) = 2 2 (2 π ) q P { ( ) ( ) / 2} biçimidedir. Burada, q, x i boyutu ve P= P P P P xx xy yy yx olup, P xx, x i kovaryas matrisidir. Kalma Filtresi tahmii, P( x Y ) koşullu olasılık yoğuluk foksiyouu maksimum yapa x değeridir ve P, Kalma Filtresi tahmiii kovaryasıdır. Kalma Filtresi, kurula model sistem diamiğii tam olarak temsil ediyorsa durumu e iyi tahmiii verir. Eğer sistem diamiği iyi temsil edilmemişse yai filtre yalış model üzeride kurulmuşsa filtre yalış çalışacaktır. Buu ölemek amacıyla Fagi (964), yei gözlemleri eski gözlemlere göre daha çok bilgi içereceğii ve bu edele de gözlemleri üstel olarak ağırlıkladırılabileceğii öermiştir. Xia et al. (994), bu yötemi durum-uzay modelie uygulamışlar ve hata kovaryas matrisii,

P = A P A + G Q G ' ' α biçimide olması gerektiğii öermişlerdir. Burada α özelliğii sağlamalıdır aksi halde α = alıacaktır. Bu şekilde kurula Kalma Filtresii performasıı uutma faktörü α ı seçimie bağlı olduğu ve e iyi filtre olacak şekilde bu uutma faktörüü hesaplaması gerektiği belirtilmiş, uutma faktörüü hesaplaması içi değişik algoritmalar öermişlerdir. Fagi (964) tarafıda öerile yötemi durum-uzay modelie uyarlamak içi aşağıdaki algoritma uygulamalıdır. Kalma Filtresii özellikleride bilidiği gibi filtre gürültü kovaryasları ağırlıkladırılırsa değişiklik sadece hataı kovaryas matriside kedisii gösterir. Bu durum Gustafsso (992) tarafıda da belirtilmiştir. Başlagıç durumu, sistem ve gözlem gürültü süreçlerii kovaryas matrisleri α ağırlık faktörü ile, P = α P, Q = αq, R = α R 0 0 biçimide ağırlıkladırılırsa, Kalma Filtresi eşitlikleride, x $ tahmii ayı kalırke değişiklik sadece hataı kovaryas matriside kedisii gösterir. Bu durumda kovaryas matrisi α P = P şeklie gelir (Özbek ad Aliev 998). Yai, = ' ' α( + ) P A P A G Q G olur.

2.2. Lieer Olmaya Durum-Uzay Modeli ve İlerletilmiş Kalma Filtresi Bu kısımda lieer olmaya durum-uzay modeli taıtılmış ve İlerletilmiş Kalma Filtresi verilmiştir. Durum-uzay modelide yer ala sistem gözlem matrislerii bilimemesi durumuda (sistem belirleme) İlerletilmiş Kalma Filtresi kullaılarak bu matrisleri asıl tahmi edileceği kousuda açıklama yapılmıştır. Bir sistem ile ilgili durum değişkei q -boyutlu x rasgele vektörü ve gözlem değişkei q q q m m boyutlu y rasgele vektörü olsu. f : R R ve h : R R foksiyoları birici derecede sürekli türevlere sahip olmak üzere lieer olmaya durum-uzay modeli, x = f ( x ) + + H( x ) w (2.4) y = h ( x ) + v ve E( w ) = 0, E( v ) = 0 Q, i= E( w w i ) = 0, i, R, i= E( vv i ) = 0, i E( x w ) = 0, 0 (2.5) E( x v ) = 0, 0 varsayımları altıda İlerletilmiş Kalma Filtresi algoritması; ˆ0 x0 x = E( ), P = K ov( x ) 0 0 başlagıç değerleri ve =, 2,... içi

f f P = [ ( xˆ )] P [ ( xˆ )] + H ( xˆ ) Q H ( xˆ ) x xˆ f ( xˆ ) = ' x h h h K = P [ ( xˆ )][[ ( xˆ )] P [ ( xˆ )] + R ] (2.6) ' x x x h P = [ I K [ ( xˆ )]] P x xˆ = xˆ + K [ y h ( xˆ )], =, 2,... eşitlikleri ile verilir (Jazwiski 970, Chui ad Che 99, Che 993). Lieer olmaya durumda filtrei optimalliği içi herhagi bir iddiada buluulmaz, fakat uygulamalarda geellikle iyi souçlar verdiği söyleebilir (Aderso ad Moore 979). θ bilimeye parametre vektörüü göstermek üzere; durum-uzay modelideki matrisler A ( θ ), G ( θ ), H ( θ ) şeklide θ ı foksiyou biçimide yazılsı ve θ parametre vektörüü rasgele yürüyüş şeklide modellediği kabul edilsi. Bu durumda model, x = A ( θ ) x + B ( θ) u + + G ( θ) w (2.7) y = H ( θ ) x + v (2.8) ve parametre vektörü, θ = θ + + ζ (2.9) şeklide olacağıda (2.7) ve (2.9) eşitlikleri yei bir durum vektörü gibi düşüülüp birleştirilirse yei oluşa durum-uzay modeli

x+ A ( θ) x+ B ( θ) u G ( θ) w θ = + θ ζ + x y [ H 0] v = + θ (2.0) gibi lieer olmaya bir model olacaktır ve İlerletilmiş Kalma Filtresi uygulaabilir. Burada ζ sıfır ortalamalı, v ve w de bağımsız beyaz gürültü serisidir ve Var( ζ ) = S = S olduğu kabul edilmiştir. S= 0 olması durumuda parametre vektörüü sabit olduğu varsayımı yapılmış olur ve (2.0) eşitlikleri ile verile lieer olmaya durum-uzay modelie İlerletilmiş Kalma Filtresi uyguladığıda parametre vektörü hakkıda herhagi bir bilgi elde edilemez. Bu edele uygulamalarda S> 0 (pozitif taımlı) olarak alıır. İlerletilmiş Kalma Filtresi algoritması eşitlikleri (2.0) eşitliklerie uygulaırsa, Özbek ad Aliev (998) deki uutma faktörü ile birlikte x$ 0 E( x0 ) = $ θ E( 0 θ0) K ov( x0 ) 0 P0 = 0 S 0 (2.) başlagıç değerlerie bağlı olarak =, 2,... içi, P x$ $ $ A ( ) ˆ θ x + B ( θ ) u = θ $ θ d d A ˆ ˆ ( θ ) ( A ( θ )) x A ( θ ) ( A ( θ )) x = α P dθ dθ 0 I 0 I ' G ( θ ) Q G ( θ + α ) 0 0 S (2.2)

= ' ' [ 0][[ 0] [ 0] ] + K P H H P H R { [ 0] } P = I K H P x$ $ x = + K [ $ y H x ] $ θ $ θ { } biçimide verilir (Aderso ad Moore 979). Burada, K Kalma kazaç matrisidir. Boutayeb et al. (997) determiistik lieer olmaya kesikli zama sistemleride İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmiblerii gerçek değerlere yakısamasıı Lyapuov yaklaşımıı kullaarak göstermişlerdir. Sayısal öreklerle tahmileri yakısadığıı gözlemlemişlerdir. Reif et al. (996) lieer olmaya gözlemcii öcede belirlee durağalık derecesi ile üstel gözlemci olduğuu göstermişlerdir ve gözlemcii üstel durağalığıı göstermek içi Lyapuov foksiyou tekiğii kullamışlardır. Simülasyo çalışması ile öerile gözlemcii İlerletilmiş Kalma Filtresie göre daha iyi souçlar verdiğii göstermişlerdir. Reif et al. (999), çalışmalarıda stokastik kesikli-zama İlerletilmiş Kalma Filtresii yakısamasıı icelemişlerdir. Bezer şekilde, Boutayeb ad Aubry (999), Guo ad Zhu (2002), Reif et al. (998) İlerletilmiş Kalma Filtresii yakısaması problemi üzeride çalışmışlardır. Özbek ad Efe (2004), çalışmalarıda kompartma modellerie uyarlı İlerletilmiş Kalma Filtresii uygulamışlardır. Özbek et al. (2003), çalışmalarıda İlerletilmiş Kalma Filtresii makroekoomik modellere uygulamışlardır.

Özbek ve Öztürk (2003), çalışmalarıda bir yayı ucua bağlı bir cismi salıımı ile ilgili durum-uzay modelii elde etmiş ve sürtüme katsayısıı bilimediği ve üçücü durum değişkei olarak modele katıldığı durumu göz öüe alarak İlerletilmiş Kalma Filtresii işlerliğii simülasyo çalışmalarıyla göstermişlerdir. Köksal vd. (2005a,b) tekrar ayı kouda çalışmış ve İlerletilmiş Kalma Filtresi ile buu bir düzelemesii simülasyo çalışmalarıyla karşılaştırmışlardır. Köksal ve Öztürk (2004), İlerletilmiş Kalma Filtresii ARMAX modelleride parametre tahmii içi kullamışlardır. Köksal ve Özbek (2006a), Kesikli Zama Determiistik Durum-Uzay Modelleride İlerletilmiş Kalma Filtresii Yakısaması kousuu ele almış ve hata kovaryas matrisii Özbek ad Aliev (998) de öerile şekliyle alımasıyla yakısama hızıdaki artışı aalitik olarak göstermişlerdir.

3. KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ Bu bölümde ilk olarak lieer durum-uzay modelleride durum değişkeleri içi bir ö bilgi olması durumuda Kısıtlı Durum Kalma Filtresii elde edilme yötemleri alatılmıştır. Kısıtlı Durum Kalma Filtresi Tahmiii özellikleri kousuda bilgi verilmiştir. Lieer olmaya durum-uzay modelleride durum değişkeleri içi bir öbilgi olması durumuda Kısıtlı Durum İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmii alatılmıştır. So olarak kısıtı lieer olmadığı durum göz öüe alımış ve bu durumda Kısıtlı Durum Kalma Filtresi tahmii hakkıda bilgi verilmiştir. 3. Lieer Kısıtlı Durum Kalma Filtresi Bu kısımda lieer kısıtlı durum Kalma Filtresi taıtılmış ve kısıtlı durum Kalma Filtresi tahmiii elde ediliş yötemleri verilmiştir. x = A x + Bu + + w (3.) y = Hx+ v durum-uzay modeli ile birlikte, Dx = d (3.2) kısıtı göz öüe alısı. Burada, D : s q boyutlu sabit matris d : s boyutlu bilie vektör s : kısıtları sayısı q : durumları sayısı olmak üzere, s q ve rak( D) = s olduğu varsayılsı. Burada kısıt;

DE[ x ] = d şeklide de alıabilir. Bu kısımda kısıtlı durum tahmiii elde edilişi ile ilgili üç farklı yötem hakkıda bilgi verilmiştir. Bu yötemler, Simo ad Chia (2002) de derlemiştir. 3.. Maksimum olasılık yötemi Bu kısımda kısıtlı Kalma Filtresi tahmii Kalma Filtresii maksimum olasılık yötemi kullaılarak elde edilmiştir. Burada kısıtlı tahmi ( x% ), kısıtsız Kalma Filtresi tahmii ( $ x ) ı koşullu ormal dağılıma sahip olmasıa bağlıdır, bu da x 0,{ w } ve { v } ları ormal dağılıma sahip olmasıa dayaır. Bu türetim Durrat-Whyte (988) de verile gösterimi bir geellemesidir. Aderso ad Moore (979) a göre Kalma Filtresi tahmiii P( x Y ) koşullu olasılığıı maksimum yapa x değeri olduğu bilimektedir. Bua göre kısıtlı Kalma Filtresi P( % x Y ) olasılığıı maksimum yapa ve verile kısıtı sağlaya % x değerii bulumasıyla elde edilir. P( % x Y ) yi maksimize etmekle buu doğal logaritmasıı maksimize etmek ayıdır. Yai, maks l P( % x Y ) Dx % = d koşulu altıda % % (3.3) mi( x x) ' P ( x x) kısıtlı optimizasyo problemii çözülmesi gerekir. Problem Lagrage yötemiyle çözülebilir. Bua göre, Lagrage foksiyou, L= % x x P % x x + Dx % d T T ( ) ( ) 2 λ ( )

olmak üzere, miimum problem içi gerekli koşullar, L = P % x x + D λ = % x T 0 ( ) 0 L = 0 d = Dx % λ ile verilir ve burada çözüm, λ= T ( DPD ) ( Dx d) % x= x PD '( DPD ') ( Dx d) (3.4) biçimide elde edilir. Burada x ( x i koşullu olasılığı) kısıtsız Kalma Filtresi tahmii olduğuda kısıtlı tahmi kısıtsız tahmi yardımıyla, % x= $ x PD DPD Dx $ d (3.5) '( ') ( ) olarak elde edilir. 3..2 Ortalama kare yötemi Bu yötemde kısıtlı Kalma Filtresi tahmii hata kareler ortalaması miimizasyou ile elde edilir. Yai, Dx % = d koşulu altıda 2 mi E( x x Y ) % x % (3.6) problemii çözülmesi gerekir. Burada,. vektör-2 ormuu göstermektedir. x ve Y i ortak dağıldığı varsayılırsa, hata kareler ortalaması,

% % % 2 E( x x Y) = ( x x)'( x x) P( x Y ) dx = x ' xp( x Y ) dx 2 % x ' xp( x Y ) dx+ x ' x biçimide yazılabilir. Kısıtlı problemi Lagrage foksiyou, L= E x % x Y + λ Dx % d 2 T ( ) 2 ( ) ( ) 2 T T T ( ) 2λ ( ) T = x xp x Y dx % x xp x Y dx+ % x % x+ Dx % d (3.7) biçimide olmak üzere, = ( ) $ x xp x Y dx (3.7a) olduğu göz öüe alıdığıda miimum problemi içi gerekli koşullar, L = 0 T 2$ x + 2% x + 2D λ = 0 % x L = 0 Dx % d = 0 λ ile verilir ve çözüm, λ= $ T ( DD ) ( Dx d) % x= $ x D DD Dx $ d (3.8) T T ( ) ( ) olarak elde edilir. (3.7a) ile verile $ x kısıtsız Kalma Fitresi tahmii x0, w ve v i ortak dağılımıı ormal olduğu durumda verile Kalma Filtresi tahmiidir. Fakat bular ormal dağılım olmasa bile (3.7a) ile verile koşullu ortalama x i kısıtsız tahmiii taımlarke de kullaılabilir. Bu durumda da kısıtlı tahmi yie (3.8) de verildiği gibi elde edilir.

3..3 İz düşüm yötemi Bu yötemde kısıtlı Kalma Filtresi, kısıtsız durum tahmii x $ ı kısıt yüzeyie dik iz düşümü ile elde edilir. Yai, Dx % = d koşulu altıda mi( % x $ x ) ' W ( % x $ x ) (3.9) problemi çözülmüştür. Burada, W simetrik pozitif taımlı ağırlık matrisidir. Bu problemi çözümü de diğer yötemlere bezer olarak, % x= $ x W D '( DW D ') ( Dx $ d) (3.0) biçimide elde edilir. Dikkat edilecek olursa iz düşüm yötemide, yötemi, W W = P alımasıyla maksimum olasılık = I alımasıyla ortalama kare yötemi tahmileri elde edilir. Lieer sistemler içi olmaya durum içi yapılamaz. W = P e iyi kısıtlı tahmi ediciyi verir, fakat ayı iddia lieer D kare matris olduğuda, yai kısıtları sayısı durumları sayısıa eşit olduğuda, durumları tümü kısıtlamıştır. Bu durumda bölümü başıda verile varsayımlara göre D matrisi tam raklı olduğuda tersi vardır ve (3.0) kısıtlı tahmii, % x= $ x W D '( D ') WD ( Dx $ d) = D d (3.) olarak elde edilir.

3.2 Kısıtlı Durum Kalma Filtresi Tahmiii Özellikleri Simo ad Chia (2002) de Kısıtlı Durum Kalma Filtresi tahmiii istatistiksel özelliklerii icelemişler ve bu özellikleri teoremler şeklide vermişlerdir. Bu kısımda bu teoremleri bir kısmı verilmiştir. Bu teoremler verilirke eğer A ve B kare matrislerii boyutları ayı ise A> B ile A B i pozitif taımlı olduğu ve A B ile A B i pozitif yarı taımlı olduğu ifade edilmiştir. Teorem 3.2.. (3.0) eşitliği ile verile x % kısıtlı durum tahmii (3.) sistemi içi yasız tahmidir. Yai; E( % x) = E( x) dir. İspat. Herhagi pozitif taımlı W ağırlık matrisi içi, % = $ + '( ') ( $ ) x x x x W D DW D Dx d % $ '( ') ( $ 4442 4443 ) x x= x x+ W D DW D Dx Dx D( $ x x) ( T T I W D ( DW D ) D)( x x) = $ (3.2) (3.3) (3.4) olur. W, x de bağımsız bilie bir matris olduğuda iki tarafı beklee değerii alımasıyla, E x % x = I W D DW D D E x $ x (3.5) T T ( ) ( ( ) ) ( ) elde edilir. Kısıtsız Kalma Filtresi tahmii yasız tahmi olduğuda E( $ x) = E( x) dir ve (3.5) eşitliğii sağ tarafı 0 olur. Böylece, E( % x) = E( x) elde edilir.

Teorem 3.2.2 Kısıtlı durum tahmii % x olmak üzere W = P alıdığıda kısıtsız durum tahmiide daha küçük hata kovaryasıa sahiptir. Yai, Kov( x % x) < Kov( x $ x) (3.6) dır. İspat. Eğer W = P ise; x % x= I PD DPD D x $ x T T ( ( ) )( ) = ( I J )( x $ x) (3.7) (3.8) burada T T J PD ( DPD ) D = (3.9) olarak taımlamıştır. Bua göre kısıtlı tahmi hatasıı kovaryası, T Kov( x % x) = E[( x % x)( x % x) ] = E{[( I J )( x % x)][( I J )( x % x)] T } = ( I J ) Kov( x % x)( I J ) T (3.20) = + T T P JP PJ JPJ J i taımıda PJ T T = JPJ olduğu kolayca görülür. Bua göre yukarıdaki deklem Kov( x % x) = P JP (3.2) olarak yazılabilir. Aderso ad Moore (979) da JP ı pozitif taımlı olduğu bilidiğide,

Kov( x % x) P= JP< 0 (3.22) yazılabilir. Burada, Kov( x % x) < P (3.23) olduğu görülür. Teorem 3.2.3. Kısıtlı Durum Kalma Filtreleri arasıda tahmi hata kovaryasıa sahiptir. W = P ola filtre e küçük İspat. Λ W ile (3.0) ile verile Kısıtlı Durum Kalma Filtresi tahmi hatasıı kovaryası gösterilsi. Yai, T Λ W = E[( x % x)( x % x) ] (3.24) olsu. x % x= I PD DPD D x $ x T T ( ( ) )( ) olarak alımıştı. (3.4) eşitliği kullaılarak, Λ W = I W D DW D D P I W D DW D D T T T T T ( ( ) ) ( ( ) ) = P W D ( DW D ) DP PD ( DW D ) DW T T T T + W D ( DW D ) DPD ( DW D ) DW T T T T (3.25) elde edilir. W = P olarak alıırsa; Λ = ( ) (3.26) T T P PD DPD DP P

olur. (3.25) ile (3.26) eşitliğii farkı alıırsa T Λ Λ P W = MPM (3.27) buluur. Burada, T T T T M PD ( DPD ) D W D ( DPD ) D = (3.28) ve M içi T MPM pozitif yarı taımlı olduğu içi, Λ Λ (3.29) P W olarak elde edilir. Böylece Filtresi tahmii miimum hata kovaryasıa sahiptir. W = P alıması ile (3.0) ile verile Kısıtlı Durum Kalma 3.3 Kısıtlı Durum İlerletilmiş Kalma Filtresi Bu kısımda lieer olmaya durum-uzay modelleride durum eşitliği içi bilie bir öbilgi olması durumuda kısıtlı İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmiii elde edilişi alatılmıştır. (2.4) ile verile lieer olmaya durum-uzay modeli ve (3.2) ile verile durum kısıtı göz öüe alısı. Lieer durum-uzay modelleride Kısıtlı Kalma Filtresi içi öceki kısımda verileler burada da geçerlidir. Tek fark, kısıtsız Kalma Filtresi tahmii yerie kısıtsız İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmii kullaılmasıdır. Yai geel olarak, kısıtlı İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmii, % x= $ x W D '( DW D ') ( Dx $ d) (3.30) ile verilir ve x $ değişkelerle ilgili herhagi bir bilgi yokke elde edile İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmiidir (Simo ad Chia 2002).

Köksal ve Özbek (2006 b) çalışmalarıda, sistem durum değişkeleri arasıda lieer bir ilişki olması durumuda Kalma Filtresi tahmilerii elde edilişii alatmış ve kısıt olması ve olmaması durumuda elde edile tahmi souçlarıı simülasyo çalışması yaparak karşılaştırmışlardır. 3.4 Kısıtı Lieer Olmadığı Durum Bu kısımda durum değişkeleri içi bilie öbilgii lieer olmadığı durum göz öüe alımış ve bu durumda kısıtlı Kalma Filtresi tahmiii elde edilişi alatılmıştır. Lieer olmaya durum kısıtı, g( x ) = d (3.3) biçimide olsu. Bu kısıt geçerli kısıtlı durum tahmii x % da lieerleştirilebilir, yai g( % x) + g '(% x)( x % x) d (3.32) olarak yazılabilir ve burada da, g '(% x) x d g( % x) + g '(%% x) x (3.33) elde edilir. Yai, D yerie g '( % x ) ve d yerie d g( % x) + g '(%% x) x alıarak (3.2) ile verile lieer kısıt olması durumuda yapıla işlemler burada tekrarlaarak Kısıtlı Kalma Filtresi tahmileri elde edilir.

4. KESİKLİ ZAMAN DETERMİNİSTİK DURUM-UZAY MODELLERİNDE İLERLETİLMİŞ KALMAN FİLTRESİNİN YAKINSAMASI Lieer olmaya stokastik sistemler içi durum tahmii fe ve mühedislikte sıkça karşılaşıla bir problemdir. Lieer olmaya tahmi problemii çözmek geelde zordur, fakat çeşitli pratik yaklaşım yötemleri vardır (Liag, Soreso 974, Wisher ad et al. 969). Bu yötemleri e kullaılışlarıda biri de İlerletilmiş Kalma Filtresidir ve pratik uygulamalarda çok kabul göre bir tahmi yötemidir (Jazwiski 970, Aderso ad Moore 979, Gelb 984, La Scala et al. 996). Ayı problem lieer olmaya determiistik sistemlerde durum tahmii içi de geçerlidir. Bu durumda sistem gözlemleebilir ve çıktılarda gürültü yoktur. 4. Kısıt Olmaması Durumuda Yakısama Bu kısımda, Reif ad Ubehaue (999) u çalışmaları göz öüe alıarak, lieer olmaya determiistik sistemler içi bir gözlemci olarak İlerletilmiş Kalma Filtresi ve lieer olmaya filtrei asimptotik limiti alatılmıştır. Lakshmikatham ad Trigiate (998) de verile Lyapuov foksiyouu ikici yötemi kullaılarak, verile gözlemcii üstel gözlemci olduğu gösterilmiş ve tahmi hatası diamiğii üstel durağa olduğu verilmiştir. Bu souç İlerletilmiş Kalma Filtresii yakısamasıı içermektedir. Burada Reif ad Ubehaue (999) da farklı olarak Kalma Filtresii üstel ağırlıkladırılması Özbek ad Aliev (998) de öerile biçimde alımış ve ağırlıkladırmaı bu şekilde alıması ile yakısamaı biraz daha hızlı olduğu soucua ulaşılmıştır. Lieer olmaya kesikli zama determiistik, x = + f ( x, u ) (4.) y = h( x ) (4.2)

durum-uzay modeli göz öüe alısı. Burada, N0 kesikli zama oktasıı, x R q durum vektörüü, u p R girdi vektörüü, y m R çıktı vektörüü göstermektedir. f (.,.) ve h (.) foksiyolarıı her ikisii de birici derecede sürekli türevlere sahip olduğu varsayılsı. Bu sistem içi bir gözlemci, + $ x + = f ( $ x, u ) (4.3) + $ x = $ x + K ( y h( $ x )). (4.4) eşitlikleri ile verilir (Reif ad Ubehaue 999). Daha öceki bölümlerde ifade edildiği gibi K zamala değişe q m boyutlu gözlemci kazacıdır. $ ve $ ösel ve sosal tahmiler olarak adladırılır. f (.,.) ve h (.) foksiyoları birici derecede sürekli türeve sahip foksiyolar olduklarıda, x x + f + A = ( $ x, u) x C h = ( $ x ) x olmak üzere, + + + f ( x, u ) f ( $ x, u ) = A ( x $ x ) + ϕ( x, $ x, u ) (4.5) h( x ) h( $ x ) = C ( x $ x ) + χ( x, $ x ) (4.6) şeklide yazılabilir. zamaıdaki tahmi hatası ς ile gösterilmek üzere, ς = x $ x (4.7)

dır ve (4.3) de (4.) i çıkarılması ve (4.2) ile (4.4)-(4.6) i göz öüe alımasıyla, ς = A ( I + K C ) ς + r (4.8) olarak yazılabilir. Burada, + r = ϕ( x, $ x, u ) A K χ( x, $ x ) (4.9) dir. (4.8) ile verile hata diamiğii aaliz etmek içi kesikli-zama sistemlerii üstel durağalığı kavramı kullaılabilir (Lakshmikatham ad Trigiate 998). Taım 4.. Verile ε, η> 0 ve q θ > pozitif reel sayıları içi Bε = { v R ν < ε} olmak üzere, ς 0 B ε olacak şekilde, (4.8) eşitliğii her ς çözümü içi ς η ς θ (4.0) 0 eşitsizliği sağlaıyorsa (4.8) ile verile fark deklemi 0 oktasıda dege durağalık oktasıa sahiptir (Lakshmikatham ad Trigiate 998). Taım 4.2. Eğer (4.8) fark deklemi 0 oktasıda dege durağalık oktasıa sahipse (4.3) ve (4.4) ile verile gözlemci üstel gözlemcidir (Reif ad Ubehaue 999). Taım 4.3. Determiistik kesikli-zama İlerletilmiş Kalma Filtresi aşağıdaki fark deklemleri ile verilir (Reif ad Ubehaue 999); Zama Yielemesi: + $ x + = f ( $ x, u ) (4.) P = + α A P A + Q (4.2) 2 + T

Burada işlemler yapılırke (4.2) eşitliği yerie Özbek ad Aliev (998) de verile, P = + A P A + Q (4.2a) 2 T α ( + ) eşitliği kullaılacaktır. Lieerleştirme: f + A = ( $ x, u) (4.3) x Ölçüm Yielemesi: + $ x = $ x + K ( y h( $ x )) (4.4) + P = ( I K C ) P (4.5) Kalma Kazacı: K = P C ( C P C + R) (4.6) T T Lieerleştirme: C h = ( $ x ) (4.7) x Burada, Q simetrik pozitif taımlı q q boyutlu matris, R simetrik pozitif taımlı m m boyutlu matris ve α reel sayıdır.

Notlar: () α = alımasıyla, bilie İlerletilmiş Kalma Filtresi elde edilir. α > içi Kalma Filtresi üstel ağırlıkladırılmıştır. (2) Kalma Filtresi lieer stokastik sistemler içi optimal filtre olarak kullaıldığıda, Q ve R, gürültü terimlerii kovaryas matrisleridir. Lieer olmaya determiistik gözlemci olarak uygulamaları içi Q ve R keyfi, simetrik, pozitif taımlı matrisler olarak seçilebilirler. Bu gözlemcii durağalığıı etkilememesie rağme performası üzeride öemli etkileri vardır. Bezer şekilde, eğer lieer olmaya determiistik sistemleri gözlemcisi olarak kullaılıyorsa, P + 0 içi herhagi simetrik pozitif taımlı matris seçilebilir. (3) P + matrisi içi (4.5) ölçüm yielemesi, + P = ( I K C ) P ( I K C ) T + K RK T (4.8) şeklide yazılabilir (Gelb 984). (4) (4.6) deki Kalma Kazaç matrisi, K = P C R (4.9) + T gibi yazılabilir (Gelb 984). Reif ad Ubehaue (999) da kesikli-zama İlerletilmiş Kalma Filtresii üstel gözlemci olduğuu gösterilmesi içi üç tae lemma kullaılmıştır.

Bu lemmalarda biricisi (4.9) eşitliğide verile r artık terimii sıırlılığıı saptamak içi kullaılır. İkicisi bilie matris tersi lemmasıdır ve üçücüsü de P ve + P + kovaryaslarıı çözümüde kullaılacak matris eşitsizliği lemmasıdır. + q Lemma 4.. x, $ x, $ x R reel vektörleri, u p R ve A q q ve C m q ve K q m matrisleri ve ϕ (.,.,.) ve χ (.,.) lieer olmaya foksiyoları göz öüe alısı ve aşağıdaki varsayımlar sağlası. () Aşağıdaki sıırları sağlayacak şekilde a, c, k > 0 pozitif sayıları mevcut olsu, A C K a c k (4.20a) (4.20b) (4.20c) (2) εϕ, εχ, κϕ, κ χ > 0 pozitif reel sayıları mevcut olsu öyle ki; + + $ 2 $ (4.2a) ϕ( x, x, u) κ ϕ x x $ 2 $ (4.2b) χ( x, x ) κ χ x x + x $ x ϕ ve x $ x χ içi sağlası. (3) $ x +, + $ x = $ x + KC( x $ x ) + Kχ( x, $ x) (4.22) eşitliğii sağlası. r,

r= ϕ( x, $ x +, u) AKχ( x, $ x ). (4.23) biçimide taımlası. Bu durumda,,κ > 0 pozitif reel sayıları mevcuttur öyle ki, x $ x olduğuda 2 κ $ (4.24) r x x olur. Lemma 4.2. Γ ve, q q boyutlu tersi alıabilir matrisleri göz öüe alısı ve Γ + ı da tersiir olduğu varsayılsı. Bu durumda, ( ) ( ) Γ + =Γ Γ Γ+ Γ (4.25) sağlaır (Aderso ad Moore 979, Lewis 986). Lemma 4.3. 0 içi (4.2) ve (4.5) ile verile matrisleri göz öüe alısı. ve + P +, P simetrik pozitif taımlı = ( P ) (4.26) = ( P ) (4.27) + + ile gösterilmek üzere, A ve ( I K C ) her 0 içi mevcut olsu. Bu durumda, α A ( I K C ) [ ( + α A Q A ) ]( I K C ) A (4.28) 2 T T + 2 T + eşitsizliği yazılabilir.

Bu eşitsizlik (4.2a) ile verile P hata kovaryası içi yazılacak olursa, α A ( I K C ) [ ( + A Q A ) ]( I K C ) A (4.28a) 2 T T + T + olarak elde edilir. 2 T T İspat. P α A ( P + A QA + = + ) A olarak alıdığı içi buu tersii hesaplaması gerekir, ( P+ ) = α ( A ) ( P + A QA ) A 2 T + T = ( A ) (( P ) ( P ) (( P ) + A Q A ) ( P ) ) A 2 T T α + + + + = A [ ( + A Q A ) ] A 2 T T α + + + + (( ) ( ) 2 T T α A I KC I KC ( I K C ) ( + A Q A ) ( I K C ) ) A T + T α A ( I K C ) [ ( + A Q A ) ]( I K C ) A 2 T T + T + dir. Teorem 4.. 4. ve 4.7 eşitlikleri ile verile kesikli zama İlerletilmiş Kalma Filtresi göz öüe alısı ve ) 0 içi A C a c (4.29a) (4.29b) pi P pi pi P pi + (4.29c) (4.29d) olacak şekilde a, c, p, p> 0 pozitif reel sayıları var olsu.

2) 0 içi A tersiir olsu. 3) (4.9) eşitliğii içide verile ϕ(.,.,.), χ (.,.) foksiyoları sıırlı olacak şekilde εϕ, εχ, κϕ, κ χ > 0 pozitif reel sayıları mevcut olsu, öyle ki + + $ 2 $ (4.30) ϕ( x, x, u) κ ϕ x x $ 2 $ (4.3) χ( x, x ) κ χ x x + q x, $ x, $ x R ve u + p R, x $ x ϕ ve x $ x χ koşulları sağlası. Bu koşullar altıda verile İlerletilmiş Kalma Filtresi bir üstel gözlemcidir. Üstelik taım da üstel bozulma hatası içi verile θ sabiti α değeride büyüktür (Reif ad Ubehaue 999). İspat 4.. Tahmi hatası ς içi (4.8) ile verile fark deklemi göz öüe alısı. Buu üstel durağalığıı ispatlamak içi = ( P ) olmak üzere, V = ς ς (4.32) T Lyapuov foksiyou seçilsi. (4.29c) de dolayı bu Lyapuov foksiyou 2 2 ς V ( ς ) ς (4.33) p p sıırlarıda yazılabilir. (4.29c) ve (4.29d) kısıtlarıda ve P ve P + ı tersiirliğide ve (4.5) de, ( ) = + I K C P

matrisi mevcuttur. 2 varsayımıyla birlikte lemma 4.3 ü varsayımları sağlaır. (4.8) ve (4.28a) ile birlikte V ( ς ) + +, V ( ς ) = ς ς T + + + + + α ς [ ( + A Q A ) ] ς + 2 r A ( I K C ) ς + r r 2 T + T T T + + olarak yazılabilir. R i e küçük öz değeri r de ile gösterilirse (4.9) ve (4.29b), (4.29d) +.. K P C R k (4.34) elde edilir, burada k = p c r dir. (4.29a), (4.29b), (4.34), (4.30) ve (4.3) ile yukarıdaki eşitsizliğe lemma uygulaabilir. (4.29a)-(4.29d) ve (4.34) ile birlikte, ς içi ve q> 0 pozitif taımlı Q matrisii e küçük öz değeri olmak üzere, V a( + kc) ( ς ) α ς ς ς + 2 κ ς ς α p ( p+ a q) p 2 T 2 2 + + 2 2 2 + κ ς κε ς p 2 (4.35) olarak yazılabilir. κ κ ' = (2 a( + kc) + κ ) (4.36) p şeklide gösterilmek üzere; 2 V+ ( ς + ) α V ( ς ) ( κ ' ς ) 2 2 2 ς α p ( p+ a q) 2 (4.37)

olur. ε ' = mi( ε, ) 2 2 2 2 α κ ' p ( p+ a q) (4.38) olarak alımasıyla ς ε ' içi, V ( ς ) α + + ( ς ) ς 2 2 2 2 α p ( p+ a q) 2 V V V V 2 α p ( p+ a q) 2 2 + ( ς + ) ( ς ) ς ( ) ( ) 2 2 2 + α ς 2 (4.39) (4.40) eşitsizlikleri yazılabilir. (4.33) te ve α olmasıda dolayı ifadei sağ tarafı egatiftir, bu edele V + ( ς + ) V ( ς ) farkı da egatif taımlı olur. Fark deklemleri içi Lyapuov foksiyolarıı stadart soucuu uygulamasıda (Lakshmikatham ad Trigiate 998), (4.8) ile verile fark deklemii asimptotik olarak 0 oktasıda dege durağalık oktasıa sahip olduğu soucu çıkar. (4.33) ve (4.40) de, p 2 V+ ( ς + ) V ( ς )( α ) 2 2 2 2 α p ( p+ a q) (4.4) yazılabilir. Burada da, p 2 V ( ς ) V0 ( ς 0)( α ) 2 2 2 2 α p ( p+ a q) (4.42) elde edilir. Geelliği bozmada p> olarak varsayılabilir, böylece

p > 0 2 2 a 2 p ( + ) p q (4.43) olur. (4.33) ü kullaımıyla (4.42) de α ς p p ς 0 ( ) p 2 2 2 p ( p+ a q) (4.44) olarak yazılabilir. Yai, p η= > 0 (4.45) p ve α θ = > α p 2 2 2 p ( p+ a q) (4.46) dir. Reif ad Ubehaue (999) de, α θ = > α p 2 2 2 2 p ( p+ α a q)

olduğu gösterilmiştir. Bu θ değeri, (4.2a) eşitliğii kullaılmasıyla (4.46) da elde edile θ değeride daha küçüktür. Yai, Özbek ve Aliev (998) de öerile hata kovaryas matrisii kullaılmasıyla yakısama hızı biraz daha artmıştır. 4.2 Kısıtlı Durumda Yakısama Öceki kısımda lieer olmaya determiistik durum-uzay modelleride İlerletilmiş Kalma Filtresii yakısaması kousu ele alımış ve belli koşullar altıda tahmi hatasıı sıırlı kaldığı ve üstel gözlemci olduğu gösterilmişti. Bu kısımda durum eşitlikleri hakkıda bir öbilgi olması durumuda Kısıtlı İlerletilmiş Kalma Filtresi hatasıı davraışı icelemiştir. Yie belli koşullar altıda sıırlı kaldığıı ve üstel gözlemci olduğuu göstermek içi bir öceki kısımda kullaıla taımlar ve yötem uygulamıştır. (4.) ve (4.2) ile verile kesikli zama durum-uzay modeli ve (3.2) ile verile Dx = d kısıtı göz öüe alısı. Daha öce de belirtildiği gibi, N0 kesikli zama, x R q durum vektörü, u p R girdi vektörü ve y m R çıktı vektörü olsu. D, s q boyutlu sabit matris, d, s boyutlu bilie vektör, s kısıtları sayısı ve q durumları sayısı olmak üzere s q ve rak( D) = s olduğu varsayılsı. Bua göre Kısıtlı İlerletilmiş Kalma Filtresi Kısıtsız İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmii ile oluşturulacaktır. Kısıtlı Kalma Filtresi tahmii % x ile gösterilmek üzere geel olarak, % x = $ x W D '( DW D ') ( Dx $ d ) (4.47) biçimide elde edildiği daha öce söylemişti (Simo ad Chia 2002). Burada, kısıtsız İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmiidir ve W simetrik pozitif taımlı ağırlık matrisidir. Kısıtsız durumda, x$

+ $ x + = f ( $ x, u ) + $ x = $ x + K ( y h( $ x )) olmak üzere kısıtlı sistem içi gözlemci, % x $ x W D '( DW D ') ( Dx $ d ) (4.48) + = + + + % x $ x W D '( DW D ') ( Dx $ d ) (4.49) + + + = eşitlikleri ile verilir. Burada, K zamala değişe q m boyutlu gözlemci kazaç matrisidir. % x ve % x + ösel ve sosal tahmiler olarak adladırılır. Kısıtlı tahmi hatası; ϑ = x % x (4.50) ile taımlamak üzere, $ T T ϑ = x ( x ( ) ( $ W D DW D Dx d )) (4.5) biçimide olur ve Dx = d olduğuu göz öüe alıması ile, ϑ $ ( ) ( $ ) T T = x x + W D DW D Dx Dx = $ $ T T ( x x ) W D ( DW D ) D( x x ) = I W D DW D D x $ x T T ( ( ) )( ) olarak elde edilir. Böylece; ci zamadaki kısıtsız tahmi hatası

ς = x $ x (4.52) olmak üzere, kısıtlı tahmi hatası; ϑ ( T T = I W D ( DW D ) D) ς (4.53) olarak elde edilir. Bezer şekilde; Reif ad Ubehaue (999) de ς = A ( I KC) ς + + r (4.54) olarak verilmişti. Bua göre, ϑ = ( I W D ( DW D ) D) ς (4.55) T T + + olur. Hata diamiğii aalizi içi öceki kısımda verile kesikli-zama sistemleri üstel durağalığı taımı kullaılacaktır. Taım 4.4 Determiistik kesikli-zama kısıtlı İlerletilmiş Kalma Filtresi fark deklemleri göz öüe alıdığıda Taım 4.2 aye geçerli olacak sadece zama yielemesi ve ölçüm yielemeside aşağıdaki değişiklikler olacaktır. Zama Yielemesi: + $ x + = f ( $ x, u ) (4.56a) % x $ x W D '( DW D ') ( Dx $ d ) + = + + + 2 T P = + α A P A + + Q (4.56b) Bir öceki bölümdekie bezer olarak burada (4.56b) eşitliği yerie, 2 T P = + α ( A P A + + Q) (4.56c)

eşitliği kullaılmıştır. Ölçüm Yielemesi: + $ x = $ x + K ( y h( $ x )) (4.57a) % x $ x W D '( DW D ') ( Dx $ d ) + + + = + P = ( I K C ) P (4.57b) Bir öceki kısımda kesikli-zama İlerletilmiş Kalma Filtresii üstel gözlemci olduğuu gösterilmesi içi üç tae lemma kullaılmıştı. Bu lemmalar kısıtlı durum kesikli-zama İlerletilmiş Kalma Filtresii üstel gözlemci olduğuu gösterilmeside de etki olarak kullaılacaktır. Teorem 4.2. Taım 4.4 ile verile kısıtlı kesikli zama İlerletilmiş Kalma Filtresi göz öüe alısı ve Teorem 4. i varsayımları ile birlikte aşağıdaki varsayımlar da sağlası. (i) 0 içi, w, d > 0 pozitif reel sayıları, W D w d (4.58a) (4.58b) sıırlarıı sağlayacak şekilde mevcut olsu. Bu durumda, kısıtlı İlerletilmiş Kalma Filtresi üstel gözlemcidir ve taımda verile, η ve θ değerleri aşağıdaki şekilde elde edilir. İspat 4.2. Tahmi hatası ϑ içi (4.55) ile verile fark deklemi göz öüe alısı. Buu üstel durağalığıı göstermek içi

ϑ ( T T I W D ( DW D ) D) ς = ve = ( P ) olmak üzere V ( ϑ ) = ϑ ( Kov( ϑ )) ϑ (4.59) T Lyapuov foksiyou seçilsi. T T T T T ( ϑ ) = ( ( ) ) ( ς )( ( ) ) Kov I W D DW D D Kov I W D DW D D dir. Bua göre, V ϑ ς I W D DW D D Kovϑ I W D DW D D ς T T T T T T ( ) = ( ( ) ) ( ( )) ( ( ) ) ( ϑ ) = ς V ( I W D ( DW D ) D) olur. Yai, dir. Bezer şekilde, T T T T ( I W D ( DW D ) D) ( T ( T I W D DW D ) D) T [ Cov ( ς )] T T ( T T I W D ( DW D ) D) ς T V ( ϑ ) = ς Π ς V ( ϑ ) = V ( ς ) V ( ϑ ) = ϑ ( Kov( ϑ )) ϑ T + + + + + ( ) ( ) T T T T T T + ϑ+ = ς ( ( ) ) ( ϑ! ) ( ( ) ) ς + + + V I W D DW D D Kov I W D DW D D V ϑ ς + I W D DW D D T T T T + ( + ) = ( ( ) ) ( I W D ( DW D ) D) T T V ( T ( T I W D DW D ) D) T ς + [ Kov ( )] ( T T I W D ( DW D ) D) ς + ( ϑ ) = ς Π ς = V ( ς ) T + + + + + + + olur. Bua göre bir öceki kısımda verile işlemler göz öüe alıdığıda, V ( ϑ ) = ϑ ( Kov( ϑ )) ϑ = V ( ς ) = ς ς T T + + + + + + + + + +

ς + α + ς + 2 ( ( ) ) T ( T + ( ( T + A I KC r A A Q A ) ) A )( A ( I KC ) r ) α ( ς ( ( + A Q A ) ) ς ) + 2 r A ( I K C ) ς + r r 2 T + T + T T + + olarak yazılır ve işlemlere devam edildiğide, 2 V+ ( ϑ+ ) α V ( ϑ ) ς 2 2 2 2 α p ( p+ a q) 2 (4.60) ϑ 2 ς (4.6) V ϑ V ϑ ϑ α V ϑ 8 α p ( p+ a q) 2 2 + ( + ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 + (4.62) ve e so olarak p 2 V ( ϑ ) V0 ( ϑ0 )( α ) 2 2 2 2 α p ( p+ a q) (4.63) elde edilir. Bua göre, ϑ p p ϑ 0 α ( ) p 2 2 2 p ( p+ a q) (4.64) olur. Yai, p η= > 0 (4.65) p ve

α θ = > α p 2 2 2 p ( p+ a q) (4.66) elde edilmiş olur. Burada eğer (4.56b) eşitliği kullaılsaydı, α θ = > α p 2 2 2 2 p ( p+ α a q) olarak elde edilirdi ki bu (4.66) eşitliğide elde edile θ değeride daha küçük olurdu. Yai hata kovaryasıı bu şekilde alıması ile yakısama hızı biraz daha artmıştır. Eğer İlerletilmiş Kalma Filtresi determiistik gözlemci olarak alıırsa belli koşullar altıda bir üstel gözlemcidir (Reif ad Ubehaue 999). Bezer şekilde sistem durum vektörü üzeride kısıt olması durumuda da İlerletilmiş Kalma Filtresi ayı özelliklerii korumaktadır (Koksal Babaca et al. 2008).

5. KESİKLİ ZAMAN STOKASTİK DURUM-UZAY MODELLERİNDE İLERLETİLMİŞ KALMAN FİLTRESİNİN YAKINSAMASI 5. Kısıtsız Durumda Yakısama Bu kısımda lieer olmaya kesikli zama stokastik durum-uzay modelleride İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmi hatasıı davraışı araştırılmıştır. Tahmi hatasıı, belli koşullar altıda sıırlı kaldığı gösterilmiştir (Reif et al. 999). Stokastik lieer olmaya, x = f ( x, u) + + Gw (5.) y = h( x ) + H v (5.2) kesikli zama durum-uzay modeli göz öüe alısı (Reif et al. 999). Burada, N0 kesikli zama oktasıı, x q R durum vektörüü, u p R girdi vektörüü, y R m çıktı vektörüü, v, w, k R ve l R de ve birbiriyle ilişkisiz sıfır ortalamalı, birim kovaryaslı gürültü terimleri ve H, G zamala değişe m k ve q l boyutlu matrisleri göstermektedir. x 0 başlagıç koşulu sabit ve f (.,.) ve h (.) foksiyolarıı her ikisii de sürekli türevlere sahip olduğu varsayılsı. Bu model içi bir durum tahmi edicisi, $ x+ = f ( $ x, u ) + K ( y h( $ x)) (5.3) ile verilir. Burada K zamala değişe q m boyutlu gözlemci kazaç matrisidir. Durum tahmii x$ ile gösterilmek üzere, f (.,.) ve h (.) foksiyoları birici derecede sürekli türevlere sahip foksiyolar olduklarıda, f A = ( $ x, u) x (5.4)

C h = ( $ x) x (5.5) olmak üzere, f ( x, u ) f ( $ x, u ) = A ( x $ x) +ϕ( x, $ x, u ) (5.6) ve h( x ) h( $ x) = C ( x $ x) +χ( x, $ x ) (5.7) biçimide yazılabilirler. zamaıda ki tahmi hatası ς ile gösterilmek üzere, ς = x $ x (5.8) dır ve (5.) de (5.3) ü çıkarılması ve (5.2) ile (5.4)-(5.7) i göz öüe alımasıyla, ( ) ς + = A I KC ς + r + s (5.9) olarak elde edilir. Burada, r = ϕ( x, $ x, u ) K χ( x, $ x) (5.0) s = Gw KH v (5.) dır. (5.9) daki hata diamiğii icelemek içi stokastik süreçlerde sıırlılık içi verile iki taım kullaılabilir.

Taım 5.. Eğer ην, > 0 ve 0< ϕ< reel sayıları, { } 2 2 E ς η ς 0 ϕ + ν (5.2) eşitsizliğii her 0 değeri içi sağlayacak şekilde mevcutsa ς stokastik sürecie ortalama kareler alamıda üstel sıırlıdır deir (Agiel ad Jury 97, Tar ad Rasis 976). Taım 5.2. Eğer; sup 0 ς < (5.3) eşitsizliği bir olasılığı ile sağlaır ise stokastik süreç bir olasılık ile sıırlıdır deir (Agiel ad Jury 97, Tar ad Rasis 976). Lemma 5.. V ( ς ) stokastik süreci içi, 2 2 v ς V ( ς ) v ς (5.4) ve E{ V + ( ς + ) ς } V ( ς ) µ αv ( ς ) (5.5) eşitsizliklerii (5.9) u her çözümü içi sağlayacak v, v, µ> 0 ve 0< α reel sayıları mevcut olsu. Bu durumda stokastik süreç ortalama kareler alamıda üstel sıırlıdır deir ve 2 v 2 µ E{ ς } E{ ς 0 }( α) + ( α) v v i= i (5.6)

0 içi gerçekleşmiş olur, üstelik stokastik süreç olasılıkla sıırlıdır (Reif et al. 999, Agiel ad Jury 97, Tar ad Rasis 976, Goodwi ad Si 984, Moroza 968, Curtai 972). 5... İlerletilmiş Kalma Filtresi içi hata sıırları Taım 5.3. Bir kesikli zama stokastik İlerletilmiş Kalma Filtresi aşağıdaki fark deklemleri ile verilir (Reif et al. 999). Durum Tahmii İçi Fark Deklemi: $ x+ = f ( $ x, u ) + K ( y h( $ x)) (5.7) Riccati Fark Deklemi: T T T P = A P A + Q K( CP C + + R ) K (5.8) Lieerleştirme: f A = ( $ x, u) x C h = ( $ x) x (5.9) (5.20) Kalma Kazacı: K A P C C P C R T T = ( + ) (5.2) Burada, Q zamala değişe, simetrik, pozitif taımlı q q boyutlu matris, R zamala değişe simetrik pozitif taımlı m m boyutlu matristir.

Not: Q ve R matrisleri içi alışıldık seçim buları (5.) ve (5.2) ile verile sistemdeki gürültü terimlerii kovaryasları olmasıdır ve Q R = G G T = H H T şeklidedir. T T Determiistik tahmi problemide bu seçim, G G = 0, H H = 0 şeklidedir (Reif et al. 996, Reif et al. 997). Reif et al. (999) çalışmalarıda hata terimii sıırlılığı içi aşağıdaki teoremi vermişlerdir. Teorem 5.. (5.), (5.2) ile verile lieer olmaya stokastik süreç ve Taım 5.3 ile verile İlerletilmiş Kalma Filtresi göz öüe alısı. Aşağıdaki varsayımlar sağlası, ) 0 içi a, c, p, p> 0 pozitif reel sayıları, A C a c (5.22a) (5.22b) pi P pi qi Q ri R (5.22c) (5.22d) (5.22e) eşitsizliklerii sağlayacak şekilde mevcut olsu. 2) 0 içi A tersiir olsu.

p 3) x, $ x R, x $ x ϕ ve x $ x χ olacak şekilde ϕ, χ, κϕ, κχ > 0 reel sayıları mevcut olsu. Bu durumda 5.0 ile verile ϕ, χ lieer olmaya foksiyoları sıırlı olur, $ $ 2 (5.23a) ϕ( x, x, u) κ ϕ x x $ $ 2 (5.23b) χ( x, x) κ χ x x Böylece eğer, başlagıç tahmi hatası içi, ς 0 < (5.24) eşitsizliğii sağlayacak biçimde > 0 sayısı ve gürültü terimlerii kovaryasları, G G H H T T δ I (5.25) δ I (5.26) sıırlarıda olacak şekilde δ > 0sayısı bulaabilirse (5.8) ile verile ς tahmi hatası ortalama kareler alamıda üstel sıırlıdır ve olasılıkla sıırlıdır. Teoremi ispatı birkaç lemmaya bölümüştür (Reif et al. 999). Lemma 5.2. Teorem 5. i koşulları altıda; 0, olmak üzere, K Kalma Kazacı ve Π = P ( A K C ) Π ( A K C ) ( α) Π (5.27) T + eşitsizliğii sağlayacak biçimde 0< α < reel sayısı mevcuttur ve burada α = olarak buluur (Lewis 986). q ( + ) 2 2 p( a+ a pc r)

Lemma 5.3. Teorem 5. i koşulları altıda, Π = ve K, r (5.2) ve (5.0) da P verildiği gibi olsu. Böyle ise, ', > 0 pozitif reel sayıları mevcuttur öyle ki; K ol T $ $ 3 r Π [2( A K C )( x x) + r ] K x x (5.28) ol x x$ ' içi sağlaır ve κ ' = ( κϕ + a pc κχ ) olmak üzere, r κ ol = κ ' (2( a+ a pc c) + ' ') p r κ olarak buluur. Lemma 5.4. Teorem 5. i koşulları altıda, Π = olsu ve K, s (5.2) ve (5.) P de verildiği gibi olsu. Bu durumda; δ da bağımsız olarak pozitif reel bir K oise > 0 sayısı vardır ki; E{ s Π s } K δ (5.29) T + oise sağlaır ve K oise 2 2 2 = q a c p m 2 p + pr olarak buluur. Burada, T iz( G G ) δiz( I) = qδ T iz( H H ) δiz( I) = mδ dır. İspat 5.. T V ( ς ) = ς ς (5.30)

foksiyou seçilsi, Π = P ve P pozitif taımlı olduğuda bu foksiyo mevcuttur (Medel 986). (5.22c) de, ς V ( ς ) ς p p 2 2 (5.3) yazılabilir, (5.4) eşitliğide bu v= ve v= ye tekabül eder. Lemma 5. i p p gereksiimlerii sağlaması içi (5.5) de verildiği gibi E{ V+ ( ς + ) ς } içi bir üst sııra ihtiyaç vardır. (5.9) da V ( ς ) = ς ς T + + + + + V ( ς ) = ( A ( I K C ) ς + r + s ) Π ( A ( I K C ) ς + r + s ) (5.32) T + + + elde edilir. Lemma 5.2 i uygulamasıyla (5.30) da kullaılarak, V ( ς ) ( α) V ( ς ) + r (2( A K C ) ς + r ) T + + + + 2 s (( A K C ) ς + r ) + s Π s T T + + (5.33) olarak buluur. E{ V+ ( ς + ) ς } koşullu beklee değeri alısı, beyaz gürültü T özelliğide E{ s (( A K C ) ς + r ) ς } ihmal edilebilir çükü e + Π = e P + + de A, C, K, r, ς, v ya da tahmi edilebilir; w e bağlıdır. Kala terimler lemma 5.3 ve lemma 5.4 ile 3 + ς + ς ς α ς + ol ς + oiseδ (5.34) E{ V ( ) } V ( ) V ( ) K K ς ' içi.

α = mi( ', ) pk 2 ol (5.35) olarak taımlamasıyla, ς içi (5.30), (5.3) ile birlikte; K 2 α 2 α ς ς ς V ( ς ) 2 p 2 ol elde edilir. Buu (5.34) de yerie koulmasıyla, ς içi E{ V+ ( ς + ) ς } V ( ς ) αv ( ς ) + Kol ς + Koiseδ 4243 α V 2 α E{ V+ ( ς + ) ς } V ( ς ) V ( ς ) + Koiseδ (5.36) 2 ( ς ) 3 elde edilir. ς 0, v= ve v= ve µ = K p p oiseδ olmak üzere lemma 5. uygulaabilir. Buula birlikte, % olduğu durum göz öüe alımak üzere % ς içi, α E{ V+ ( ς + ) ς } V ( ς ) V ( ς ) + Koiseδ 0 (5.37) 2 eşitsizliği tahmi hatasıı sıırlılığıı garati eder (Gard 988). δ = % 2 α 2 pkoise olarak seçilmesiyle; ς % olmak üzere bir % içi,

K α 2 α δ ς V ( ς ) (5.38) 2 p 2 oise olup (5.37) eşitsizliği sağlaır. Böylece; başlagıç hatası ve gürültü terimlerii (5.24)-(5.26) ile sıırladırılması ile tahmi hatasıı sıırlı kaldığı soucua ulaşılır (Reif et al. 999). 5.2 Kısıtlı Durumda Yakısama Bir öceki kısımda lieer olmaya kesikli zama stokastik durum-uzay modelleride İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmi hatasıı belirli koşullar altıda sırlı kaldığı gösterilmişti. Bu kısımda lieer olmaya kesikli zama stokastik durum-uzay modelleride durum değişkeleri içi bilie bir öbilgi olması durumuda kısıtlı İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmi hatasıı da belirli koşullar altıda sıırlı kaldığı gösterilmiştir. (5.) ve (5.2) ile verile kesikli zama stokastik durum-uzay modeli ve Dx = d kısıtı göz öüe alısı. Daha öcede söylediği gibi, N0 kesikli zama, x q R durum vektörü, u p R girdi vektörü ve y m R çıktı vektörü olsu. D, s q boyutlu sabit matris, durumları sayısı olmak üzere s d, s boyutlu bilie vektör, s kısıtları sayısı ve q q ve rak( D) = s olduğu varsayılsı. v, w, k R ve l R de ve birbiriyle ilişkisiz sıfır ortalamalı, birim kovaryaslı gürültü terimleri ve H, G zamala değişe m k ve q l boyutlu matrisleri göstermektedir. Bua göre Kısıtlı İlerletilmiş Kalma Filtresi, Kısıtsız İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmii ile oluşturulacaktır. Kısıtlı Kalma Filtresi tahmii % x ile gösterilmek üzere geel olarak (Simo ad Chia 2002), % x = $ x W D '( DW D ') ( Dx $ d ) (5.39) biçimide elde edildiği ifade edilmişti. Burada, x $ kısıtsız İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmiidir ve W simetrik pozitif taımlı ağırlık matrisidir.

Kısıtsız İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmii, $ x+ = f ( $ x, u ) + K ( y h( $ x)) olmak üzere bu sistem içi de kısıtlı durum İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmii (5.39) eşitliği ile elde edilir. Kısıtlı tahmi hatası ϑ = x % x (5.40) ile taımlamak üzere, $ T T ϑ = x ( x ( ) ( $ W D DW D Dx d )) biçimide olup, Dx = d i göz öüe alıması ile, ϑ = $ T T ( I W D ( DW D ) D)( x x) olarak elde edilir. Böylece; ci zamadaki kısıtsız tahmi hatası ς = x $ x olmak üzere, kısıtlı tahmi hatası; ϑ ( T T = I W D ( DW D ) D) ς (5.4) biçimide yazılabilir. Bezer şekilde; ς = ( A + K C ) ς + r + s olmak üzere,

ϑ = ( I W D ( DW D ) D) ς T T + + olup T T ϑ = ( I W D ( DW D ) D)(( A KC ) ς + + r + s) (5.42) dir. Burada, r ve s daha öce ifade edildiği gibidir. Kısıtlı hata diamiğii aalizi içi daha öce stokastik süreçlerde sıırlılık içi verile iki taım kullaılabilir. Taım 5.4. Kesikli zama stokastik kısıtlı durum İlerletilmiş Kalma filtresii Taım 5.3 ile verile fark deklemleride tek farkı, Durum Tahmii İçi Fark Deklemi: $ x+ = f ( $ x, u ) + K ( y h( $ x)) hesapladıkta sora her bir adım souda, % x = $ x W D '( DW D ') ( Dx $ d ) + + + + i hesaplamasıdır. Diğer fark deklemleri olduğu gibi alıır. Teorem 5.2. x = f ( x, u ) + + G w y = h( x ) + H v ile verile lieer olmaya durum-uzay modeli ve Taım 5.4 ile verile kısıtlı durum İlerletilmiş Kalma Filtresi göz öüe alısı ve Teorem 5. i varsayımları ile birlikte

W w D d (5.43a) (5.43b) varsayımları da sağlası. Bu durumda, eğer başlagıç tahmi hatası içi, ϑ 0 < (5.44) eşitsizliğii sağlayacak biçimde ve gürültü terimlerii kovaryasları G G H H T T δ I (5.45) δ I (5.46) sıırlarıda olacak şekilde δ, > 0 sayıları bulaabilirse (5.40) ile verile ϑ tahmi hatası ortalama kareler alamıda üstel sıırlıdır ve bir olasılıkla sıırlıdır. Teoremi ispatı içi Teorem 5. i ispatıda kullaıla lemmalar kullaılacaktır. İspat 5.2. ( T T ϑ = I W D ( DW D ) D) ς ve = olmak üzere P V ( ϑ ) = ϑ ( Kov( ϑ )) ϑ (5.47) T foksiyou seçilsi. (5.22c) de dolayı bu foksiyo aşağıdaki sıırlarda yazılabilir. ϑ V ( ϑ ) ϑ 4 p 4 p 2 2 (5.48) ϑ = T T ( I W D ( DW D ) D)(( A KC ) + + r + s) ς ve Kov( ϑ ) = ( I W D ( DW D ) D) Kov( ς )( I W D ( DW D ) D) T T T T T + +

olmak üzere V ( ϑ ) = ϑ ( Kov( ϑ )) ϑ T + + + + + yazılabilir. Bua göre, V ( ϑ ) = ς ( I W D ( DW D ) D) ( I W D ( DW D ) D) Π T T T T T T T + + + + T T T T ( I W D ( DW D ) D) ( I W D ( DW D ) D) V ( ϑ ) = V ( ς ) + + + + ς + V s r A K C I W D DW D D I W D DW D D T T T T T T T T T T ( ϑ ) = ( + + ς ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) + + ( I W D ( DW D ) D)( I W D ( DW D ) D) (( A K C ) ς + r + s ) T T T T + dır. Böylece, V ( ϑ ) ( α) V ( ς ) + r (2( A K C ) ς + r ) T + + + + 2 s (( A K C ) ς + r ) + s Π s T T + + (5.49) olarak elde edilir, E( V+ ( ϑ+ ) ϑ ) koşullu beklee değerii alıması ile, ϑ ς ( T T = I W D ( DW D ) D) olmak üzere, 2 2 ' ϑ ς içi, 3 E( V+ ( ϑ+ ) ϑ ) V ( ϑ ) αv ( ϑ ) + Kol ς + Koiseδ (5.50) buluur. Bua göre, α = mi( ', ) pk 2 ol (5.5) olarak seçilmesiyle ϑ 2 içi,

α α α κ ς ς ς ς ϑ 2 p 2 2 2 2 V ( ) = V ( ) ol olup buu (5.50) eşitliğide yazılmasıyla, α E( V+ ( ϑ+ ) ϑ ) V ( ϑ ) V ( ϑ ) + Koiseδ 2 (5.52) elde edilir. 2 % 2 içi, bir < % olmak üzere, ϑ δ = % 2 α 2 pkoise (5.53) olarak seçilmesiyle, K α ϑ α δ V 2 p 4 2 2 ( ϑ ) oise biçimide elde edilir, bua göre E( V+ ( ϑ+ ) ϑ ) V ( ϑ ) 0 (5.54) elde edilir. Souç olarak başlagıç durum tahmiii ve gürültü kovaryaslarıı sıırladırılması ile kısıtlı durum Kalma Filtresi tahmi hatasıı da sıırlı olduğu söyleebilir. Bu kısımda elde edile souçlar Stochastic Stability of the Discrete-Time Costraied Exteded Kalma Filter çalışması adı altıda Turkish Joural Of Electrical Egieerig ad Computer Scieces dergisie göderilmiştir.

6. EN ÇOK OLABİLİRLİK YÖNTEMİ İLE MODEL PARAMETRELERİNİN TAHMİNİ Bu bölümde lieer, kesikli zama, ormal dağılıma sahip sistemleri parametrelerii log olabilirlik foksiyou kullaılarak belirlemesi alatılmıştır. Yai sistemle ilgili bilimeye parametreleri Kalma Filtresi kullaılarak e çok olabilirlik yötemiyle hesaplaması alatılmıştır. Durum-uzay modelleride kesikli zama lieer sistem parametrelerii e çok olabilirlik yötemi ile tahmi edilmeside optimizasyo algoritmaları kullaılır ve bu da türevleri hesaplamasıı gerektirir. { } y0, y,..., y N solu boyutlu, kesikli, lieer zamala değişe ormal dağılıma sahip gözlem değişkei, x = Ax + + Bu + Gw y = Hx+ v durum-uzay modelide elde edilsi. Burada, x q R sistem durum vektörü, y m R, sistem gözlem vektörü, w q R ve v m R birbiride bağımsız sıfır ortalamalı ve Q, = k Kov( wwk ) = 0, k, R, = k Kov( vvk ) = 0, k kovaryas matrisli ormal dağılıma sahip hata terimleri ve vektörüdür. u p R, sistem kotrol E( x 0) = 0 Kov( x ) = P 0 0 olmak üzere Kalma Filtresi,

$ x 0 = 0 P(0) = P 0 $ x = Ax $ + Bu + AK [ y H$ x ] (6.) + K = P H '( HP H ' + R) P = AP A+ GQG AK HP H + R K A ' + ' ' ( ' ) ' biçimide alısı. Burada, P + deklemi Riccati deklemi olarak biliir. A, B, G, H, Q ve Θ vektörü ile gösterilsi. ortalaması R matrisleri bilimeye parametreler içersi. Bu parametreleri bütüü H $ x ve varyası y i { y, y,..., y, y } HP H 2 0 üzerie koşullu dağılımı ' + R ola ormal dağılıma sahip (Wilso ad Kumar 982, Aderso ad Moore 979) olduğuda egatif olabilirlik foksiyou; N J( θ) = l[det( HP H ' + R)] + iz( HP H ' + R) ( y H$ x)( y H$ x) ' = 0 (6.2) biçimide yazılır ve parametreleri e çok olabilirlik tahmileri bu foksiyou parametrelere göre miimizasyou ile elde edilir. Buu elde edebilmek içide egatif olabilirlik foksiyouu bilimeye parametrelere göre türevlerii alıması gerekir. Wilso ad Kumar (982) ve Hooker (994) çalışmalarıda K ve P i zamala değişmediği ve P i P APA GQG AK HPH R K A = ' + ' ( ' + ) ' ' (6.3) Riccati deklemii sağladığı durumu göz öüe alarak türev alma işlemlerii yapmışlardır. Kısaca bu işlemler alatılsı; (6.3) eşitliği sağladığıda yai K = K ve P = P olduğu durumda

δ = ( y H $ x) Γ ( ) = δ δ ' δδ Γ = δδ N Γ N+ = 0 δδ ( ) P = HP H ' + R y olmak üzere egatif olabilirlik foksiyou, ( θ) J = ( + N)(l[det( Py )] + izpy Γ δδ ) (6.4) olarak yazılabilir. 6. Log-Olabilirlik Foksiyouu Türevleri P = ( HPH ' + R) y olmak üzere egatif log-olabilirlik foksiyou J i, Θ vektörüde bulua bilimeye parametre θ ya göre türevi, ( + N) çarpım faktörü gözardı edilerek ve P y iz( M ) = G θ ve Γδδ iz( Py ) = G θ 2 olmak üzere J P Γ = iz M + iz P θ θ θ y δδ ( ) ( y ) = G + G 2 (6.5) yazılabilir. Burada,

M = P P Γ P y y δδ y dır. G ve G 2 i elde edilmesi gerekir. İlk olarak G ele alısı. P y ifadesi kullaılarak ilk türev alıırsa, H R P G = 2 iz( PH ' M ) + iz( M ) + iz( H ' MH ) θ θ θ olur. A= A( I KH ) alımak üzere, P ifadesi θ P ' P A A +Ω+Ω ' = θ θ (6.6) eşitliğii sağlar ve burada A H R Ω= P A' AK PA' + ( GQG ') + AK K ' A' θ θ 2 θ 2 θ dır. G 2 i elde edilmesi içi, Γ = x$ δ N x$ ( ) δ '( ) N+ = 0 (6.7) olarak alısı.

x$ θ ( ) s( ) olmak üzere s( + ) = As( ) + d( ) olarak yazılabilir ve burada A ( ) $ B d = x + ( AK) y + u θ θ θ dir. Bua göre, H G = 2 iz( Γ P ) 2 iz( s ' P H ) 2 N $ y δ xδ y θ N+ = 0 biçimide yazılabilir. Dikkat edilirse J θ, Riccati deklemie ve ögörü deklemie duyarlı terimlerle birlikte sistem matrislerii türevlerii içermektedir. Bu duyarlı terimler sistem matrislerii türevleri biçimide yazılmalıdır. G 2 ifadesideki ikici terim, yardımcı deklemlerle ilgili aşağıdaki souçları kullaılması ile düzelebilir (Yared 979). ( ) ( ) ( ) s + = Cs + d, = 0,,..., N olmak üzere, ise N ( ) ( ) L= s ' c = iz( s c ' ) N = 0 = 0

N L= s ' 0 + ( d ' λ ) ( ) λ ( ) 0 = ( ) λ d( ) = iz( s 0 ' + λ ' ) 0 N k= olarak yazılabilir. Burada, λ = C ' λ + + c, = N,...,0 ve λ =. N cn dir. Yukarıdaki souç, λ = A' λ + H ' P δ + y (6.8) λ = H ' P δ N y N olmak üzere C = A ve c = H ' P δ içi kullaılırsa, y N $ N x 0 δ y λ 0 λ = 0 N θ = 2 iz( s ' P H ) = 2 iz ( ' + d ' ) N+ + olarak yazılabilir. ( ) d ifadesi x$ 0 θ= 0 olduğu kullaılarak G 2 ifadesi,

H A B G iz P iz AK λ λ θ θ θ θ 2 = 2 ( Γ$ y ) 2 ( Γ $ + ( ) Γ y + Γu ) xδ xλ olarak yazılabilir. Burada, Γ = x$ λ Γ = uλ Γ = yλ N x$ ( ) λ '( ) N+ = 0 N u( ) λ '( ) N+ = 0 N y( ) λ '( ) N+ = 0 (6.9) (6.0) (6.) dır. A θ ve θ ( AK) içi bu ifadeleri kullaımı ile Γ = δλ N δ λ ' N+ = (6.2) olmak üzere, J P A = iz H MH H P Γ A iz Γ + KΓ θ θ θ ( ' 2 ' y δλ ) 2 ( $ ) xλ δλ B R H 2 iz ( Γuλ ) iz (2 Py Γδλ AK M ) + 2iz θ θ θ.( Γ P P A' Γ P + ( Γ + KΓ ) AK+ K( I Γ ) P ) ' x$ δ y δλ y x$ λ δλ δδ y olarak elde edilir. Burada hale P θ ifadesi buluduğuda buu yok etmek içi, H ' MH 2 H ' Py Γ δλ A= S olarak alısı. P θ simetrik matrisi,

P P A A' +Ω+Ω ' = θ θ olmak üzere J θ ifadesii ilk terimi, P iz( S) θ olur. Simetrik W matrisi, S+ S ' A' W A+ = W 2 (6.3) eşitliğii sağladığıda P P S+ S ' iz( S) = iz ( ) = izw ( Ω+Ω ') = 2 iz( WΩ) θ θ 2 olarak yazılabilir (Yared 979). Böylece Ω ı yerie koulması ile, J A G = 2 iz ( PF ' W Γ$ KΓ ) 2 iz ( QG ' W ) xλ δλ + θ θ θ H ' 2 iz ( Γ$ Py PA' Γ Py ( $ K ) AK K( I Py ) PA' WAK ) xδ δλ + Γ + Γ xλ δλ + Γδδ θ B Q 2 iz ( Γ uλ ) + iz ( G ' WG) θ θ R + iz P Γ AK P I Γ P + K A WAK θ (2 y δλ y ( δδ y ) ' ' ) (6.4)

olarak elde edilir. Log olabilirlik foksiyou hesaplaırke yapıla işlemler aşağıdaki gibi adım adım özetleebilir; ) { y = N} ve { u N }, 0,,...,, = 0,,..., dizilerii tut. 2) F, G, H, B, Q, R matrislerii tahmi et. 3) (6.3) Riccati deklemii ve x + $ ögörü deklemii çöz. { $ x,,,...,0 } δ = N kayıtlarıı ve Γ, Γ $ matrislerii tut ve (6.4) ile verile J yi hesapla. δδ xδ λ = N ve Γ, Γ, Γ 4) {,,...,0} $ xλ uλ yλ ve δλ Γ içi (8.8) ile verile yardımcı deklemi çöz. 5) W içi (6.3) ile verile lieer matris deklemii çöz. 6) (6.4) de J i türevii hesapla. Kalma tahmii zamala değişiyorsa yai P ve K zamala değişiyorsa, ( ) J P δ δ = iz( M ) + iz(( + ) P ( ) ) θ θ θ θ N N ' y ' δ δ y = 0 = 0 = G + G 2 (6.5) ve M = P ( ) P ( ) Γ P ( ) y y δδ y P ( ) = ( HP H ' + R) y

olmak üzere, G ifadeside başlaırsa, Py ( ) kovaryas matrisii türevii alıması gerekir; Py ( ) H P H ' R = ( P H ' + H H ' + HP + ) θ θ θ θ θ Bua göre, M matrisi ile soda çarpılıp izi alıırsa, N H P R G = (2 iz( P H ' M ) + iz( H ' M H ) + iz( M )) α α α = 0 elde edilir. Burada kovaryas matrisi, P = AP A' + GQG ' + K ( HP H ' + R) K ' i türevi ' ' P + A P ' A G Q ' G = P A' + A A + AP + QG ' + G G + GQ θ θ θ θ θ θ θ ' K P ( ) ' y K ' ( HP H ' R + ) K K K K P y ( ) θ θ θ olur. G 2 ifadesi içi, Γ ( ) = ( y H$ x)( y H$ x)' δδ δ = ( y H $ x) olmak üzere Γδδ ( ) y H $ x ' = ( $ x H ) δ θ θ θ θ

y H x δ ( x H $ = $ ) θ θ θ ' Bu türevi P ( ) y ile çarpılması ve izii alıması ile, µ N y µ H µ x ' y H µ x ' G2 = iz{( x H ) δ+ δ( x H ) } Py ( ) θ θ θ θ θ θ = 0 N H µ µ ' y ' x ' = 2 iz( xδ P y ( )) + 2 iz( δ P y ( )) 2 iz( Hδ P y ( )) θ θ θ = 0 olur. Burada $ x + türevi $ x + A $ x K y H x x ( ) ( A δ K $ = $ + + + $ x H ) θ θ θ θ θ θ θ dir. G ve G 2 ifadelerii toplaması ile log-olabilirlik foksiyou elde edilir. 6.2 Stadart Hata Parametre tahmileri hesapladıkta sora stadart hataları aşağıdaki şekilde hesaplaır (Aderso et al, 995). J = l[det( HP H ' + R)] iz( y H$ x ) '( HP H ' + R) ( y H$ x) (6.6) ( θ) olmak üzere; S θ θ (6.7) ' J ( ) J ( ) ε ( Θ ) = diag( ( ) ) θ θ biçimidedir. Bua göre türevleri elde edilmesi gerekir,

M = P ( ) P ( ) δ ( ) δ P ( ) ' y y y olmak üzere, ' J ( ) ( θ ) P y δ ' δ = iz( Py ( ) ) + Py ( ) δ + δpy ( ) θ θ θ θ P ( ) ' y δ Py ( ) Py ( ) δ θ ' P ' y ( ) δ ' δ = iz{( Py ( ) Py ( ) δ δ )} + iz{ Py ( ) δ+ δ Py ( ) } θ θ θ ' Py ( ) δδ = iz{ M } + iz{ Py ( ) } θ θ dır. 6.3 Durum-Uzay Modelleri İçi Optimal Kotrol İdirimli stokastik regülator problemi göz öüe alısı. Bu optimizasyo problemi, ' ' ' β ( x ) { } 0 R x + uq u + xwu u mi E 2 (6.8) = 0 x = Ax + + Bu + Gw biçimidedir (Aderso et. al. 995). (6.8) ile verile foksiyo kayıp foksiyou olarak adladırılır ve kayıp foksiyouda bulua R ve Q matrisleri simetrik ve egatif olmaya matrislerdir. Bu kotrol problemii çözümü u = F x ile verilir ve burada

F = ( Q + β B '( P ) B) ( β B '( P ) A+ W ') (6.9) + + ve ( P ) = R + β A'( P ) A ( W + β A'( P ) B)( Q + + β B '( P ) B) ( β B '( P ) A+ W ') (6.20) dir. Durum vektörü bilimediğide optimal kotrolü bulmak içi, Kalma Filtresi ile durum tahmi edilerek u $ = F x olarak kullaılır. Kayıp foksiyoudaki Q, W ve R matrisleri de bilimeye parametreler içerebilirler. Bu durumda bularıda tahmi edilmesi gerekmektedir. E çok olabilirlik yötemiyle buları tahmi edilebilmesi içi bu matrisleri türevlerie ihtiyaç duyulacaktır. 6.4 Durum-Uzay Modellerii Parametrelerie Göre Türevleri Durum-uzay modelide model parametreleriyle birlikte optimal lieer regülator problemi içi verile maliyet foksiyouda da bilimeye parametreler olabilir. Bu durumda durum vektörü (Aderso et al. 995), x = Ax + + Bu + Gw olmak üzere, optimal kotrol u = Fx olarak elde edildiğide buu yerie yazılmasıyla, x = Ax + B( + Fx ) + Gw x = ( A + BF) x ++ Gw biçimide olur. Burada,

( β ' ) ( β ' ') F = Q + B PB B P A+ W olmak üzere ( )( ) ( ) P = R + β A' P A W + β A' PB Q + β B ' PB β B ' P A+ W ' olduğu daha öce ifade edilmişti. Burada Q, R ve W matrisleri de bilimeye parametreler içerdiğide buları da tahmi edilmesi gerekir. Bu edele, x = ( A + BF) x + Gw olmak üzere A0 = ( A BF) biçimide alıarak daha öceki kısımda alatıla işlemler bu durum deklemi göz öüe alıarak yapılır. Maksimize edilecek foksiyo burada ayıdır. Sistem geçiş matriside A yerie A 0 ı alımasıyla Kalma Filtreside değişimler olacaktır. ( P ) = R + β A'( P ) A ( W + β A'( P ) B)( Q + β B '( P ) B) + ( β B '( P ) A + W ') F = ( Q + β B '( P ) B) ( β B '( P ) A+ W ') + + + $ x = ( A BF ) $ x + K [ y H$ x ] + + K = ( A BF ) P H '( HP H ' + R) P = (( A BF ) KH ) P (( A BF )' + H ' K ') + GQG ' A0 = ( A BF) olmak üzere A 0 ı θ parametre vektörüe göre türevi; A0 A B F = F B θ θ θ θ ve F i türevi;

F Q B ' P B = ( Q + β B ' PB ) ( + β PB + β B ' B+ β B ' P ) F θ θ θ θ θ ' ' ( ' ) ( ' P B A W + Q+ β B PB β P A+ β B A+ β B ' P + ) θ θ θ θ P olarak elde edilir. Burada türevi, θ P = R + β A' P A ( W + β A' PB )( Q + β B ' PB ) ( β B ' P A+ W ') 4444444444442 4444444444443 F ' olduğuda, P R A' P A = + β P A+ β A' A+ β A' P θ θ θ θ θ W A' P B ( β PB β A' + + + β ' A' P ) F θ θ θ θ Q B ' P B F '( β PB β B ' + + + B+ β B ' P ) F θ θ θ θ B ' P A W ' F '( β P A+ β B ' A+ β B ' P + ) θ θ θ θ P R A' B ' = β A A + + β A β F ' P A θ θ θ θ ' 0 0 0 0 A W W ' Q + β ( ' ' ') ' + ' θ θ θ θ A F B P F F F F olarak elde edilir (Aderso et al. 995). Görüldüğü gibi bu tahmileri elde edilebilmesi içi verile tüm türevleri hesaplaması gerekir. Bu da oldukça karmaşık ve çok işlem gerektire bir yötemdir.

7.UYGULANAN KONTROL BİLİNDİĞİNDE DURUM-UZAY MODELLERİNİN EKONOMİK PARAMETRELERİNİN TAHMİNİ Bu bölümde uygulaa kotrol bilidiğide bu kullaılarak kayıp foksiyolarıdaki parametreleri asıl tahmi edilebileceğie ilişki bir yötem verilmiş ve bu yötemi ekoomi literatürüe katkısıda bahsedilmiştir. Uygulama çalışmaları kısmıda, bahsedile bu yötemi asıl çalıştığıı sıamak amacıyla simülasyo çalışmaları yapılmış ve souçları tutarlı olduğu görüldükte sora gerçek veri seti kullaarak so uygulama çalışması tekrarlamıştır. Ekoomi alaıda, optimal para politikalarıı Merkez Bakaları tarafıda asıl uyguladığı ve bu süreçte karşılaşıla problemleri kotrol teorisi yardımıyla çözümlemesi ekoomi literatürüde gü geçtikçe daha fazla öem kazaa koular arasıda yer almaktadır. Uygulaa kotrol biliirke parametreleri bilimeye kayıp foksiyouu ve ekoomi diamiklerii getirdiği kısıtları kullaarak modeli durum-uzay modeli halie getirmek ve Kalma Filtresi yardımıyla bilimeye parametreleri tahmi etmek buradaki esas amaçtır. Ekoomi diamiklerii getirdiği kısıtlar çoğulukla eflasyo ve üretim açığıı göstere deklemlerdir. Burada, uygulaa kotrol bilidiğide kullaılarak, daha öceki bölümde bahsedile Q, R ve W matrisleride bulua bilimeye parametreler tahmi edilecek ve uygulaa kotrol mekaizması belirlemeye çalışılacaktır. Buula birlikte modelde bulua sistem parametreleri de eşalı olarak tahmi edilebilecektir. Kayıp foksiyouu parametrelerii diğer parametrelerle birlikte tahmi ede çalışmalarda bazıları Salemi (995), Favero ve Rovelli (2003) ve Özlale (2003) dir. Favero ve Rovelli (2003) çalışmalarıda GMM (Geeralized Method of Momets) tekiğii kullaırke diğer çalışmalar problemi durum-uzay modeli çerçeveside ele alıp Kalma Filtresi ya da EM algoritması kullaarak çözmüşlerdir. Kayıp foksiyouu parametrelerii tahmi ede daha öceki bu çalışmalar merkez bakalarıı zama içide değişebile tercihlerii modellemede yetersiz kalmaktadır.

Bu çalışmalarda, ekoomii değişe diamiklerie karşı merkez bakalarıı ayı tercihleri koruduğu varsayımı yapılmıştır. Oysa merkez bakaları, eflasyou yüksek ya da hedefler doğrultusuda seyrettiği farklı durumlarda ayı tercihlerle para politikasıı yürütmeyebilir ya da izlee para politikasıda yapılacak bir değişiklik merkez bakası içi varsayıla kayıp foksiyoudaki tercih parametrelerii alacağı değerleri öemli ölçüde değiştirebilir. Bu edele ekoomi alaıda yapıla ikici uygulama çalışması da merkez bakaları içi zama değişkeli kayıp foksiyou taımlamış ve bu foksiyou merkez bakalarıı tercihlerii yasıta parametreleri modelde yer ala diğer parametrelerle ayı ada tahmi edilmiştir. Ekoomi alaıda parametre tahmileri literatürde geellikle e çok olabilirlik yötemiyle yapılmaktadır (Aderso et al. 995). Bu çalışmada uygulaa kotrolü bilidiği durumda parametre tahmileri hem İlerletilmiş Kalma Filtresi hem de e çok olabilirlik yötemi ile yapılmış ve simülasyo çalışması yapılarak her iki yötemle elde edile souçlar karşılaştırılmıştır. 7. Uygulaa Kotrol Bilidiğide Durum-Uzay Modellerii Ekoomik Parametrelerii E Çok Olabilirlik Yötemi İle Tahmii Durum eşitliği, x = Ax + Bu + + Gw (7.) olmak üzere, optimal kotrolü u = F x olarak elde edildiği söylemişti. Optimal kotrol değeri ile uygulaa (gerçek) kotrol değeri arasıda bir fark olacağıda, u u = e optimal uygulaa olarak alımasıyla x = Ax + Be + + Gw (7.2)

biçimide yazılabilir. Bua göre durum eşitliği, optimal uygulaa x = Ax + B ( u + u ) + Gw olur. u = F x olmak üzere, optimal uygulaa x = ( A + BF ) x - Bu + Gw olarak yazılır. Burada, F = ( Q + β B '( P ) B) ( β B '( P ) A+ W ') (7.3) + + ve ( ) ( P ) = R + β A'( P ) A ( W + β A'( P ) B) Q + + β B '( P ) B ( β B '( P ) A+ W ') (7.4) olduğu daha öce ifade edilmişti. Amaç, uygulaa kotrol yai bilimeye parametreleri tahmi etmek olduğuda durum vektörü, u ler biliiyorke uygulaa x = ( A BF ) x - Bu + + Gw (7.5) olmak üzere A0 = ( A BF ) olarak alııp olabilirlik foksiyou oluşturulmalı ve A 0 matriside bulua bilimeye parametrelere göre maksimize edilerek parametre tahmilerie ulaşılmalıdır. Sistem geçiş matriside A yerie ( A BF ) ı alıması ve uygulaa kotrolle optimal kotrol arasıdaki farkı işleme katılmasıyla Kalma Filtreside değişimler olur. Bua göre, her bir adımda hesaplaması gerekir. Bua göre, F ve ( ) P matrislerii

$ x, P,( P ) 0 0 0 F = ( Q + β B '( P ) B) ( β B '( P ) A+ W ') $ x = ( A BF ) $ x - Bu uygulaa / $ x = $ x + K [ y H $ x ] / / ( P) = R + β A'( P) A ( W+ β A'( P) B)( Q + βb'( P) B) ( β B'( P) A+ W ') (7.6) P = ( A BF ) P ( A BF )' + GQG ' P = ( I KH ) P K = ( A BF ) P H '( HP H ' + R) algoritması işletilerek, N l[det( ' )] ( ' ) ( $ )( $ ) ' = 0 ( θ) J = HP H + R + iz HP H + R y H x y H x (7.7) egatif olabilirlik foksiyou hesaplaıp, bu foksiyou miimize ede parametre değerleri hesaplaarak souca ulaşılır (Aderso ad Moore 979). 7.2. Uygulaa Kotrol Bilidiğide Durum-Uzay Modellerii Ekoomik Parametrelerii İlerletilmiş Kalma Filtresi İle Tahmii İlerletilmiş Kalma Filtresi, bilimeye ve zamala değişe sistem parametresi buludura lieer durum-uzay modelleride sistem belirleme içi elverişli bir algoritmadır. Lieer olmaya durum-uzay modeli, x = A( θ )( x ) + + G( θ ) u + w y = H ( θ ) x + e (7.8) (7.9) eşitlikleri ile verilsi (Ljug, Södeström 985). Burada, F,G ve H boyutları uygu şekilde seçilmiş vektör değerli foksiyoları, w ve kovaryas matrisli beyaz gürültü süreçlerii göstermektedir. e sırasıyla R ( θ ) ve R ( θ ) 2

X x =, K θ K =, P L P ( ) P2 ( ) = T P2 ( ) P3 ( ) olarak alıdığıda K ve P sırasıyla Kalma Kazacı ve İlerletilmiş durumu kovaryas matrisidir. İlerletilmiş Kalma Filtresi algoritması (Ljug ad Södeström 985), x$ $ $ + = A x+ G u + K ( y H x) (7.0) x ˆ0 = 0 $ θ $ ( $ = θ + L y H x) (7.) $ θ 0 = θ0 K = ( A P ( ) H + M P ( ) H + A P ( ) D + M P ( ) D + R ) S (7.2) T T T T T 2 2 2 S = H P ( ) H + H P ( ) D + D P ( ) H + D P ( ) D + R (7.3) T T T T T 2 2 3 2 L( ) = ( P ( ) H + P ( ) D ) S (7.4) T T T 2 3 P( + ) = A P( ) A + A P ( ) M + M P ( ) A + M P ( ) M K S K + R (7.5) T T T T T T 2 2 3 P (0) =Π ( θ ) 0 0 P ( + ) = A P ( ) + M P ( ) K S L (7.6) T 2 2 3 3 3 P (0) = 0 2 T P ( + ) = P ( ) L S L (7.7) P (0) = P 3 0 eşitlikleri ile verilir. Burada, A G = Aθ ( $ ) = G( $ θ ) (7.8) H = H ( $ θ ) M = M ( $ θ, $ x, u )

( $ M θ, x, u) = [ A( θ ) x+ G( θ ) u] θ θ= $ θ D = D( $ $, x ) θ (7.9) ( $ (7.20) Dθ, x) = [ H ( θ ) x] θ θ= $ θ dir. Uygulaa kotrol bilidiğide ve optimal kotrolle uygulaa kotrol arasıdaki fark göz öüe alıdığıda, (7.0) eşitliği x$ $ $ + = ( A BF ) x Bu + G u + K ( y H x ) uygulaa biçimide alımalıdır. Yie, her bir adımda gerekir. F ve ( P ) matrislerii hesaplaması 7.3 Parametreleri Üzeride Kısıt Olması Durumuda Tahmi Durum-uzay modelide ve maliyet foksiyouda bulua parametreler üzeride, Dθ = d (7.2) biçimide bir ilişki olduğu göz öüe alısı. Burada D sabit matris, d bilie vektördür ve kısıtları sayısı durumları sayısıda küçük ya da eşittir. Bu durumda yukarıda verile tahmilerde bu kısıtları da hesaba katılması gerekir. 7.3. Kısıtlı durumda e çok olabilirlik yötemi ile tahmi Bölüm 7. de verilelere ek olarak, (7.2) kısıtı göz öüe alısı. N ( θ ) = l[det( ' + )] + ( ' + ) ( $ )( ) ' $ = 0 J HP H R iz HP H R y H x y H x foksiyouu miimizasyou

Dθ = d kısıtı göz öüe alıarak yapılmalıdır. Burada bilie kısıtlı optimizasyo tekikleri kullaılarak souca ulaşılır. 7.3.2. Kısıtlı durumda ilerletilmiş kalma filtresi ile tahmi 7.2 ile verile İlerletilmiş Kalma Filtreside, Dθ = d kısıtı göz öüe alıarak Kısıtlı İlerletilmiş Kalma Filtresi uygulaarak souca ulaşılır. Kısıtlı Kalma Filtresi, kısıtsız durum tahmii $ θ ı kısıt yüzeyie dik izdüşümü ile elde edilir, yai, D % θ = d olacak şekilde mi( % θ $ θ )' T ( % θ $ θ ) (7.22) optimizasyo problemi çözülür. Burada, T simetrik pozitif taımlı ağırlık matrisidir ve problemi çözümü % $ θ '( ') ( $ = θ T D DT D Dθ d) (7.23) ile verilir. Bua göre Bölüm (7.2) de verile İlerletilmiş Kalma Filtresi algoritmasıda (7.) eşitliğii altıa her bir adımda (7.23) eşitliği getirilerek işlemler yapılmalıdır.,

8. UYGULAMALAR 8. Tümör Hücrelerii Kılcal Damarlarda Geçirgeliğii Olie Tahmii Kompartma Aalizi bir biyolojik sistemi homoje kompartmalara bölüdüğü ve bu kompartmalar arasıda metaryal alışverişi olduğu varsayımıyla birlikte kullaıla biyo matematiksel modelleme yötemleride birisidir. Kompartma Modelleri vücuttaki ilaç hareketiyle (farmokietik) ilgili kullaıldığıda materyal kosatrasyo değişimi kedi farmokietik parametresi ile zamaa bağlıdır (Botsma et. al. 997). Eğer parametreler biliirse uygu farmokietik deklemleri uygulamasıyla kompartmalardaki kosatrasyo düzeyi tahmi edilebilir. Böylece parametre tahmii problemi ortaya çıkar. Parametre belirleme problemi lieer olmaya tahmi problemidir. Bu tahmi problemi, durum tahmi problemi ile birlikte çözüldüğüde lieer model lieer olmaya modele döüşecektir (Greval ad Adrews 984). Daha öcede ifade edildiği gibi, İlerletilmiş Kalma Filtresi lieer olmaya sistemlerde durum tahmii içi kullaıla e yaygı tahmi yötemleride biridir. Özbek ad Efe (2004) çalışmalarıda, bir kişiye verile ilaç hareketiyle ilgili oluşturula kompartma modelie uyarlı İlerletilmiş Kalma Filtresii uygulamışlardır. Öerile yötemi simülasyola üretile verilere uygulamışlar ve kompartmalar arasıdaki geçiş oraı parametrelerii zamala değişe ve sabit olmak üzere iki durumda da tahmi etmişlerdir. Cuccia ad et al. (2003) çalışmalarıda, fare tümörü modelleride ICG (idocyaie gree) ve Methylee blue diamiklerii icelemişlerdir. ICG, ormal dokuya kıyasla tümörlü dokuda daha uzu süre kalabile ışığa-duyarlı bir ilaçtır. Bu çalışmada ICG kompartma modelleri içi uyarlı İlerletilmiş Kalma Filtresi türetilerek Cuccia ad et al. (2003) de deeysel olarak elde edile gerçek veriler kullaılarak, kompartmaları tümör hücrelerii komşu damarlara yayılmasıda ve

damar içide dokulara geçişii ölçümüde kullaıla ICG yoğuluklarıı tahmii ve kılcaldamarlar arasıdaki geçirgelik parametresi tahmii yapılmıştır. 8.. ICG kompartma modeli Kaser oluşumu so döemlerde sıklığı arta patolojileri başıda gelir. Eğer herhagi bir dokuda tümör varsa verile ICG damar içi(plazma)de ektravasküler alaa (tümörlü doku) geçer. Tümörlü dokuda da damar içie tekrar döüşler söz kousudur. Bu fizyolojik yapıya uygu olarak iki kompartmalı model düşüülebilir. Bu kompartma modelide, C p ile damar içideki ICG yoğuluğu, C e ile tümörlü dokudaki ICG yoğuluğu gösterilmiştir. k oraı damarda tümörlü dokuya geçe ICG oraı, k 2 oraı tümörlü dokuda damar içie geçe ICG oraı ve k 3, plazmada karaciğer ve böbreğe geçe ICG oraıı ifade etmektedir. Bahsedile k 3 oraı, oldukça küçük olduğu içi matematiksel model oluşturulurke bu ora göz ardı edilmiştir. C p k C e Damar içi k 2 Tümörlü Doku k 3 Karaciğer/ Böbrek Şekil 8. Kompartma Modeli Tümörlü dokudaki ICG yoğuluğu, damardaki ICG yoğuluu k oraı kadar artacak (burada geçişler söz kousu olduğu içi) ve kedi yoğuluğuu k 2 oraı kadar azalacaktır. Bua göre tümörlü dokudaki ICG yoğuluğuu birim zamadaki değişimi,

dc e ( t) dt ( ) ( ) = k C t k C t p 2 e (8.) diferasiyel deklemi ile ifade edilecektir. Yukarıda da bahsedildiği gibi k 3 oraı göz ardı edilebilir ve böylece birim zamada plazmadaki ICG yoğuluğu değişimi, dc p dt ( t) ( ) ( ) = k C t + k C t p 2 e (8.2) diferasiyel deklemi ile ifade edilebilir. Çükü birim zamada sadece plazmada bulua ICG yoğuluğuu k oraı tümörlü dokuya geçmiş olacaktır. 8..2 Geçirgelik parametresi tahmii içi ilerletilmiş kalma filtresi Bölüm 2.2 ile verile lieer olmaya durum-uzay modeli ve İlerletilmiş Kalma Filtresi göz öüe alısı. x = [ x x ], zamaıda tahmi edilecek durumları içere durum vektörü olsu., 2, Burada, x, = Cp ve x2, Ce = olacaktır. Bua göre durum-uzay modeli (Ek ), x + y x, + k t k2 t x, = = x 2, + k t k 2 t x2, = [ 0 ] x (8.3) şeklide yazılır. Burada, k ve 2 sistem matrisi, bilimeye [ k k ] k geçirgelik parametreleridir. ( θ) 2 ' Φ ile ifade edile θ = parametresii bir foksiyou olmuş olur. Burada amaç bilimeye θ parametresii belirlemektir. Buu belirleyebilmek içi θ

parametresi rasgele yürüyüş süreci olarak düşüülüp Bölüm 2.2. ile verile İlerletilmiş Kalma Filtresi uygulaarak parametreler tahmi edilebilir. 8..3 Deeysel souçlar ve tartışma Yapıla çalışmada, matematiksel modelde plazmadaki başlagıç ICG yoğuluğu C (0) 5 p = ve başlagıç aıda ektravasküler aladaki ICG yoğuluğu C e(0) = 0 olarak alımıştır. İlerletilmiş Kalma Filtresi hem durum tahmii hem de parametre tahmii içi kullaılacağıda parametreler içi de başlagıç değerlerii verilmesi gerekmektedir. İyi oluşturulmuş bir modelde, geçirgelik parametreleri k, k 2 içi başlagıç değerlerii seçimi çok büyük öem taşımasa da yakısamayı hızladırır. Durum vektörü x= [ x x2 k k2]' olacaktır. x, plazmadaki ICG yoğuluğu, x 2 tümör hücresideki ICG yoğuluğu, k ve k 2 bahsedile geçirgelik parametreleri olacaktır. Kotrol olarak ifade edile sistem girdisi u = 0 olarak varsayılmıştır. Geçirgelik parametresi sabit olacağıda, uutma faktörü α = olarak alııp Stadart İlerletilmiş Kalma Filtresie göre tahmiler elde edilmiştir. Buula birlikte, α > alıması ile Ozbek ad Efe (2004) deki gibi zamala değişe tahmiler elde edilebilir. Durum ve parametreler içi başlagıç değerleri x (0) = [5 0 0.2 0.]' olarak alımıştır. Sistem gürültüsü içi stadart sapma 0.025 ve ölçüm gürültüsü içi stadart sapma 0.075 olarak alımıştır. k, k 2 parametrelerii stadart sapması iovasyo kovaryas matrisi S i içide yer alsı ve 0.005 ile 0.00 olarak alısı. Alatılalara göre Matlab ile yazıla program Ek 2 ile verilmiştir. Modele göre geçirgelik parametreleri hakkıda herhagi bir bilgi yoktur ve buları tahmileri üretilir. Ektravasküler aladaki ICG yoğuluğuu deeyide, yoğuluklar 500 saiye izlemiştir. Şekil 8.2 de gözlee ICG yoğulukları (mavi) ve buları Kalma Filtresi tahmileri (kırmızı) verilmiştir. Burada oluşturula matematiksel modeli gözlemlere iyi uyum sağladığı kolaylıkla görülür.

Şekil 8.3 de kompartmalardaki ICG yoğulukları (durum tahmilerii) görülmektedir. Şekil-8.4 de de asıl amaç ola tümör hücrelerii kılcal damarlarda geçirgelik parametreleri tahmilerii grafikleri verilmektedir. Dikkat edilecek olursa geçirgelik parametreleri durağa bir duruma yakısar ve bu değer etrafıda çok az değişkelik gösterir. Tümör hücreleri yaşaya hücrelerdir ve geçirgeliği etkileye gerçek faktörleri saklarlar. Şekil 8.2 Gözlee(Mavi) ve Kalma Filtresi ile Tahmi Edile(Kırmızı) ICG Yoğulukları Şekil 8.3 Kompartmalardaki ICG Yoğuluklarıı Tahmileri

Şekil 8.4 Geçirgelik Parametrelerii Tahmileri ICG yoğulukları ve geçirgelik parametrelerii tahmileri Cuccia et al. (2003) de uygulaa lieer olmaya e küçük kareler Leveberg-Marquart Algoritması ile karşılaştırıldığıda öerile İlerletilmiş Kalma Filtresi yötemii avatajları, İlerletilmiş Kalma tahmileri karışık deklemlere gerek kalmada daha basit bir yaklaşım suar. ICG yoğulukları ve geçirgelik parametrelerii her ikiside ola bütü değişiklikler tüm gözlem boyuca hassasiyetle belirleebilir. Suula model, durum ve parametreleri başlagıç değerleride bağımsız olarak durum ve parametreleri her ikisideki değişim oraıı bulur. Kompartmaları herhagi birii ölçümleri olmasa bile her iki kompartmaıda çıktıları tahmi edilebilir. Eğer plazmadaki hücre sayıları biliirse uygu oluşturula İlerletilmiş Kalma Filtresi ile extracellular hücrelerii sayısı belirleebilir. Bu da diğer kompartmada trasfer edile hücreleri sayısıı olie olarak tahmi edilebilmesi alamıa gelir. Bu da tümör patolojisii süresii tahmiide oldukça öemlidir.

8..5 Kısıtlı durumda geçirgelik parametrelerii tahmii Bu kısımda, fare tümörleri kompartmaları arasıda ICG trasferii sağlaya kılcal damar geçirgelikleri hakkıda ekstra bir bilgi olması durumuda tahmi kousu ele alıacaktır. k ve k 2 parametreleri arasıda k+ k2 =.4 şeklide bir ö bilgi olduğu varsayılsı. Bu ö bilgi ışığı altıda deeysel olarak elde edilmiş ola veriler kullaılarak parametre değerleri zama değişkeli olarak hesaplası. Kısıt işi içie katıldığı içi her bir t aıda geçirgelik parametrelerii toplamı.4 olacak şekilde souçlar elde edilecektir. Bua göre elde edile tahmileri grafikleri aşağıdaki gibi olacaktır. 0.4. Kompartma 0.3 0.2 0. 0 0 00 200 300 400 500 600 Zama t 2. Kompartma 0.4 0.3 0.2 0. 0 0 00 200 300 400 500 600 Zama t Şekil 8.5 Kısıtlı Durumda Geçirgelik Parametreleri Tahmileri (kırmızı-kısıtlı tahmi, mavi-kısıtsız tahmi) 8..6 Souç Bu uygulamada, fare tümörleri kompartmaları arasıdaki ICG trasferi ve elimiasyou içi iki-kompartmalı farmokietik model taıtıldı. Deeysel olarak elde

edile gözlemler içi aalizi yapıldı. Öerile yötemle hem kompartmalardaki yoğuluk hem de kompartmalar arasıdaki trasferi sağlaya kılcal damar geçirgelikleri elde edildi. Kompleks lieer olmaya diğer algoritmalarla karşılaştırıldığıda İlerletilmiş Kalma Filtresi oldukça uygu souçlar ve ekstra bilgi sağlamaktadır ve kaserli doku örekleride tümör hücrelerii davraışıı aaliz etmede kullaılabilecek bir yötemdir. Bu kısımda elde edile souçlar Olie Estimatio of Capillary Permeability ad Cotrast Aget Cocetratio i Rat Tumors çalışması adı altıda Hacettepe Joural of Mathematics Ad Statistics dergisie göderilmiştir. 8.2 Ekoomi Öreği c, i, a, y ; zamaıda, sırasıyla tüketim, yatırım, elde bulua varlık ve dışsal gelir olmak üzere, c+ i = ra+ y a = + a + i y = ρ y + ρ y + 2 (8.4) kısıtlarıı sağlayacak şekilde aşağıdaki kayıp foksiyouu, = β 2 2 {( c b) + γ i} (8.5) miimize edecek parametre değerleri belirlemeye çalışılsı (Ljugqvist ad Sarget 2000). Hae halkı giderlerii miimize etmek üzere tasarlaa bu kotrol problemi içi y y başlagıç koşullarıdır ve ( ) 2 0, b> 0, γ > 0, r> 0, β 0, ve ρ, ρ parametrelerdir. İlk olarak verile probleme uygu olarak durum-uzay modeli elde edilmelidir. u = i = a+ a olmak üzere 3 boyutlu x durum vektörü aşağıdaki şekilde yazılabilir,

a+ 0 0 0 a y 0 ρ ρ2 0 y 0 + = + u+ w y 0 0 0 y 0 0 0 0 0 (8.6) Görüldüğü gibi durum vektörüde bilimeye parametreler mevcuttur. Ayı şekilde yukarıda verile kayıp foksiyoua ulaşabilmek içi R, Q ve W matrisleri de aşağıdaki gibi taımlamalıdır, 2 r r 0 br r 0 b R =, Q 0 0 0 0 γ 2 br b 0 b 0 ' = +, W = [ r b] (8.7) Bua göre, ( c b) + γ i = x R x + u Q u + 2x Wu (8.8) 2 2 ' ' ' şeklide yazılabilir (Ljugqvist et al. 2000). Burada, c = ra+ y i olarak alımıştır. Dikkat edilirse R, Q ve W matrisleri de bilimeye parametreler içermektedir. Şimdi bu parametre tahmilerii yapmak içi e çok olabilirlik yötemi ve İlerletilmiş Kalma Filtresi yötemi kullaılsı ve souçlar karşılaştırılsı. Bu simülasyo çalışmasıda ρ ρ γ = ve β = olarak alııp parametre değerleri (,, r, b, ) (.2,.3,.0526,30,) 2 modelde veri üretilmiş, bu parametreleri bilimediği varsayılarak tahmiler yapılmış ve bu değerlerle karşılaştırılmıştır. Bu kısımda elde edile souçlar Ek 3 te verile programları çalıştırılması ile elde edilmiştir. Kullaıla gözlem vektörü, 0 0 0 z = x + v 0 0 0 (8.9)

0. 0 ve k ov( v ) = 0 0. dir. 8.2. E çok olabilirlik yötemi ile parametre tahmii (8.6) ve (8.9) ile verile durum-uzay modeli ve (8.7) ile verile deklemler göz öüe alısı. Bölüm 7. de verile bilgiler ışığıda Kalma Filtresi işletilip e çok olabilirlik yötemiyle parametre tahmileri yapıldığıda, ^ θ = ρ = 0.6789 ρ 2 = 0.2298 r= -0.0060 b= 3.8826 γ = -0.8346 stadarthata =0.0029 0.0056 0.0008 0.0389 0.0032 souçları elde edilmiştir. E çok olabilirlik yötemiyle elde edile bu tahmileri simülasyola üretile değerlere çokta yakı souçlar verdiği söyleemez. 8.2.2 İlerletilmiş kalma filtresi ile parametre tahmii (8.6) ve (8.9) ile verile durum-uzay modeli ve (8.8) ile verile kayıp foksiyou göz öüe alısı. Tahmi edilmek istee parametreler, θ [ ρ ρ r bγ] = vektörü ile 2 ' gösterilsi. Bu modele 7.2 ile verile İlerletilmiş Kalma Filtresi uygulası. (8.9) ile verile gözlem vektörüe göre birici ve ikici durum değişkeleri gözlemlemektedir. Yai a ve gözlem değerlerii grafikleri verilmiştir. y ler gözlemiştir. Bua göre, Şekil 8.6 ile üretile

Şekil 8.6 a ve y Gözlemleri Şekil 8.7 ile gözlem değerleri ve buları İlerletilmiş Kalma Filtresi ile tahmilerii grafikleri verilmiştir. Burada mavi rekle verileler simülasyola üretile gözlemler ve kırmızı ile verileler de İlerletilmiş Kalma Filtresi ile tahmilerii grafikleridir. Grafiklere bakıldığıda gözlemlerle tahmileri çok yakı çıktığı görülmektedir. Yai tahmileri oldukça iyi olduğu söyleebilir. Şekil 8.7 Gözlemleri Tahmii(Mavi gerçek-kırmızı Tahmi) Şekil 8.8 ile simülasyola üretile kotrol değerleri ile tahmi edile kotrol değerleri gösterilmektedir. Mavi ile simülasyola üretile kotrol değerleri, kırmızı ile tahmi

edile kotrol değerleri gösterilmektedir. Souçları birbirie oldukça yakı olduğu söyleebilir. Şekil 8.8 Gerçek ve Optimal Kotrol Şekil 8.9 ile ρ ve ρ 2 tahmilerii grafikleri verilmiştir. Simülasyola ρ =.2 ve ρ 2 =.3 olarak üretilmişti. Grafiklere bakıldığıda tahmileri simülasyola üretile bu değerlere oldukça yakı olduğu görülmektedir. Şekil 8.9 ρ ve ρ 2 Tahmileri

Şekil 8.0 ile r ile b tahmilerii grafikleri verilmiştir. Simülasyola, r=.0526 ve b= 30 olarak üretilmişti. Grafiklere bakıldığıda r içi tahmileri, b içi elde edile kadar iyi olmadığı söyleebilir. Şekil 8.0 r ve b Tahmileri Şekil 8. ile γ tahmiii grafiği verilmiştir. Simülasyola bu değer γ = olarak üretilmişti. Tahmi grafiği de bu değere oldukça yakı çıkmıştır. Şekil 8. γ Tahmii

8.2.3 Kısıtlı durum Parametreler arasıda, ρ+ ρ2 =.9 γ + ρ = 2.2 şeklide bilie bir öbilgi olduğuda tahmiler asıl olacaktır? ρ 0 0 0 ρ 2.9 0 0 0 r = 2.2 b { 4 424443 d D γ { θ kısıtı göz öüe alıarak kısıtlı İlerletilmiş Kalma Filtresi uygulaarak tahmi yapıldığıda souçlar aşağıdaki gibi elde edilir. Kısıtlar sadece parametreler üzeride olduğuda üzeride kısıt ola parametre tahmilerii grafikleri verilecektir. Şekil 8.2 ile ρ ve ρ 2 i kısıtlı İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmileri verilmiştir. Her bir adımda ρ+ ρ2 =.9 olacak şekilde tahmiler elde edilmiştir. Grafiklere bakıldığıda tahmiler, simülasyola üretile ρ =.2 ve ρ 2 =.3 değerlerie oldukça yakı elde edilmiştir.

Şekil 8.2 ρ ve ρ 2 Tahmileri Şekil 8.3 ile γ ı İlerletilmiş Kalma Filtresi tahmii verilmiştir. γ içi kısıtsız durumla karşılaştırılıca, kısıtlı durumda elde edile tahmileri simülasyola üretile γ = değerie daha yakı souçlar verdiği söyleebilir. 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 0.93 0.92 0.9 0.9 0 00 200 300 400 500 600 gama Şekil 8.3 γ Tahmii

8.2.4 Souç E çok olabilirlik yötemiyle parametrelerle ilgili tek değer elde edilirke İlerletilmiş Kalma Filtresi ile zama değişkeli parametre tahmileri elde edilmiştir. Kısıtsız ve kısıtlı her iki durumda da elde edile tahmi değerleri simülasyola üretile değerlere oldukça yakı çıkmıştır. Bua göre öerile yötemi iyi souçlar verdiği söyleebilir. Bu kısımda elde edile souçlar Simultaeous Estimatio of Time Varyig Parameters i a Optimal Cotrol Problem With Quadratic Objective Fuctio ad Liear Costraits" çalışması adı altıda Computatioal Ecoomics dergisie göderilmiştir. 8.3 Ekoomi Öreği 2 Kayıp foksiyoudaki tercih parametrelerii öcede belirleyip, kotrol değişkei ola faiz oralarıı ekoomiye gele bir şoka asıl tepki vereceği Rudebush ad Svesso (998,999) ve Claride et al. (999) da yer almaktadır. Merkez bakalarıı tercih parametrelerii, ekoomiyi karakterize ede parametrelerle beraber tahmi edilmesi modeli gerçeği açıklama gücüü artıracak ve gözlemlee faiz oralarıı asıl bir tercih soucu ortaya çıktığı kousuda öemli ipuçları verecektir. Kayıp foksiyou parametrelerii diğer parametrelerle beraber tahmi ede çalışmalarda bazıları Salemi (995), Favero ad Rovelli (2003) ve Özlale (2003) dür. Bu çalışmalarda ortaya çıka temel souçlar geellikle birbiriyle tutarlı olup iceledikleri A.B.D para politikası hakkıda ortak souçlara ulaşmaktadırlar. Kayıp foksiyou parametrelerii tahmi ede bu çalışmalar merkez bakalarıı zama içide değişebile tercihlerii modellemede yetersiz kalmaktadırlar. Bu uygulama çalışmasıda merkez bakaları içi zama değişkeli kayıp foksiyou taımlamış ve bu foksiyou merkez bakasıı tercihlerii yasıta parametreleri modelde yer ala diğer parametrelerle ayı ada tahmi edilmiştir.

Model lieer olmaya bir model olduğu içi İlerletilmişKalma Filtresi kullaılarak souca gidilmiştir. İlerletilmiş Kalma Filtresii iktisatta kullaa çalışmalar arasıda Grillezoi (993), Bacchetta ad Gerlach (997) ve Özbek ve Özlale (2005) örek olarak verilebilir. Eflasyo ve üretim açığıa ilişki deklemler, π = α π + α π + α π + α π + α y + ε (8.0) + π π 2 π 3 2 π 4 3 π y + y = β y + β y β ( i π ) + η (8.) + y y 2 r + biçimide olmak üzere, kayıp foksiyou, λ ( π ) + λ ( y ) (8.2) 2 2 π, y, olarak alısı. Burada, λ π, ve λ y, sırasıyla merkez bakasıı eflasyo ve üretim açığı tercihlerii belirtmektedir. Bua göre modeli durum uzay modeli gösterimi, π + α α2 α3 α4 α y 0 π 0 0 π 0 0 0 0 0 π 0 0 0 π 0 0 0 0 0 π 2 0 0 0 ε + = + i+ π 2 0 0 0 0 0 π 3 0 0 0 η + y βr 0 0 0 β y β y2 y β r 0 y 0 0 0 0 0 0 0 0 y + (8.3) π π π 0 0 0 0 0 π 2 y = 0 0 0 0 0 π 3 y y (8.4) olarak yazılabilir. Kayıp foksiyou da,

x R x + u Q u + x Wu = ' ' ' 2 π π π π y ' λπ 0 0 0 0 0 π 0 0 0 0 0 0 π 0 0 0 0 0 0 π 0 0 0 0 0 0 π 0 0 0 0 λy 0 y 0 0 0 0 0 0 y 2 2 3 3 y (8.5) şeklide yazılabilir. Yai, Q = 0, W = 0 dır. Kotrol değişkei i olarak verilmiştir. (8.3) ve (8.4) ile taımlaa modelde bulua parametreleri ve (8.5) ile verile kayıp foksiyouda bulua parametreleri bilimediği durumda λ + λ = olmak üzere i kotrol değeri bilidiğide bu parametreleri tahmi edilmesi problemi ele alımaktadır. y π İlk olarak yapılacak ola simülasyo çalışmasıda, modeli oluştururke parametre değerleri, α =., α 2 =., α 3 =., α 4 =., α =., β =, β 2 =., β =., λ =.7, λ =.3 y olarak alımıştır. Bu kısımda elde edile souçlar Ek 4 ile verile programları çalıştırılması ile edilmişitr. r y π 8.3. E Çok Olabilirlik Yötemi ile Parametre Tahmii E çok olabilirlik yötemiyle parametre tahmileri yapıldığıda, ^ α = 0.693 α = 0.5 2 α = 0.37 3 α = 0.085 4 θ = α = 0.253 y β = 0.2230 β = -0.070 2 β = 0.082 r λ =.755 y 0.684 0.697 0.668 0.448 stadarthata= 0.2303 0.2589 0.263 0.249.4908

olarak elde edilmiştir. α, α 2, α 3, α 4, α y, β r içi souçlar iyiyke β, β 2, λ y içi souçları çokta iyi olduğu söyleemez. 8.3.2 İlerletilmiş Kalma Filtresi ile Parametre Tahmii Bölüm 7..2 de verile İlerletilmiş Kalma Filtresi algoritması kullaılarak hem kayıp foksiyoudaki hem de modeldeki parametreler tahmi edilmiştir. Şekil 8.4 ile kayıp foksiyou parametrelerii tahmilerii grafiği verilmiştir. Tahmileri simülasyola üretile λ y =.7 ve λ π =.3 değerlerie oldukça yakı souçlar verdiği görülmektedir. Şekil 8.4 λ π ve λ y Tahmileri (Kayıp Foksiyou Parametreleri) Şekil 8.5 ile üretim açığıa ilişki verile deklemdeki parametre tahmilerii grafikleri verilmiştir. Bu grafiklerde, α, y β, β2, β r tahmileri simülasyola üretile değerlere oldukça yakı souçlar vermiştir.

Şekil 8.5 α, y β, β 2 ve β r Tahmileri (Üretim Açığı, Sistem Parametreleri) Şekil 8.6 ile α, α 2, α 3, α 4 parametre tahmilerii grafikleri verilmiştir. Bu tahmilerde simülasyola üretile değerlere oldukça yakı souçlar vermiştir. Şekil 8.6 α, α2, α 3 ve α 4 Tahmileri (Eflasyo Deklemi,Sistem Parametreleri)

Şekil 8.7 ile gerçek kotrol ile optimal kotrolü grafikleri verilmiştir. Gerçek kotrol maviyle, optimal kotrol kırmızıyla ifade edilmiştir. Optimal kotrol simülasyola üretile gerçek kotrole oldukça yaklaşmıştır. Şekil 8.7 Optimal kotrol ve Gerçek kotrol Şekil 8.8 ile gözlee π ve y değerlerii grafikleri, Şekil 8.9 ile de buları İlerletilmiş Kalma Filtresi ile tahmileri verilmiştir. Tahmilerle gerçek değerler birbirlerie oldukça yakıdır. Şekil 8.8 π ve y Gözlemleri

Şekil 8.9 π ve y Tahmileri (Gözlem Tahmileri) 8.3.3 Kısıtlı durum Parametreler arasıda, α+ α2 =.2 α3+ α4 =.2 α y+ β =. β+ β2 =. şeklide ilişki olduğu bilidiğide tahmiler asıl olacaktır? α α 2 α 3 α 4 = y θ α β β2 β r λπ olmak üzere,

α α 2 α 3 0 0 0 0 0 0 0.2 4 0 0 0 0 0 0 0 α.2 α y = 0 0 0 0 0 0 0. β 0 0 0 0 0 0 0. 4444 424444443 β { D 2 d β r λπ { θ kısıtı göz öüe alıarak kısıtlı İlerletilmiş Kalma Filtresi uygulaarak tahmi yapıldığıda souçlar Şekil 8.20 ve Şekil 8.2 deki gibi elde edilir. Kısıtsız durumla karşılaştırıldığıda kısıtlı durumda gerçek değerlere daha yakı souçları çıktığı söyleebilir. Şekil 8.20 α, α2, α 3 ve α 4 Tahmileri