TOBİT MODEL 1
Sansürlenmş ve Keskl Regresyon Modeller Sınırlı bağımlı değşkenler: sansürlenmş (censored) ve keskl (truncated) regresyon modeller şeklnde k gruba ayrılır. 2
Sansürlenmş ve Keskl Regresyon Modeller Sansürlenmş örneklem, bağımsız değşkenn blnen değerlerne karşılık, bağımlı değşkenn gözlemlernn bazılarının gözlenememesdr. Örneğn ücret haddn belrleyen etkenler le lgl br araştırmada çalışan breylere at açıklayıcı verler tanımlanablrken, çalışmayan breylern çn herhang br ücret hadd gözlenemez. 3
Orjnal Gözlemler Brey yas eglence 1 49 129.0968 2 39 919.3548 3 52 0 4 60 48.3871 5 75 0 6 42 7047.009 7 26 0 8 65 0 9 40 4380.906 10 50 0 11 67 4577.039 12 42 830.7553 13 31 0 14 29 211.5408 15 61 0 16 50 279.5166 17 35 1480.242 18 36 1631.42 19 44 1812.689 20 54 2009.003 Sansürlenmş ve Keskl Regresyon Modeller Sansürlü Gözlemler yas eglence 52 0 75 0 26 0 65 0 50 0 31 0 61 0 60 48.3871 49 129.0968 29 211.5408 50 279.5166 42 830.7553 39 919.3548 35 1480.242 36 1631.42 44 1812.689 54 2009.003 40 4380.906 67 4577.039 42 7047.009 Keskl Gözlemler yas eglence - - - - - - - - - - - - - - 60 48.3871 49 129.0968 29 211.5408 50 279.5166 42 830.7553 39 919.3548 35 1480.242 36 1631.42 44 1812.689 54 2009.003 40 4380.906 67 4577.039 42 7047.009
Orjnal Gözlemler Brey yas eglence Probt model çn bağımlı değşken 1 49 129.0968 1 2 39 919.3548 1 3 52 0 0 4 60 48.3871 1 5 75 0 0 6 42 7047.009 1 7 26 0 0 8 65 0 0 9 40 4380.906 1 10 50 0 0 11 67 4577.039 1 12 42 830.7553 1 13 31 0 0 14 29 211.5408 1 15 61 0 0 16 50 279.5166 1 17 35 1480.242 1 18 36 1631.42 1 19 44 1812.689 1 20 54 2009.003 1 Eğer eglence>0, bağımlı değşken 1 değern almaktadır.
Orjnal Gözlemler egtm telefon ceptel blgsay 8 0 0 0 8 1 0 0 0 0 1 0 8 1 4 0 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 8 1 1 0 0 1 2 1 0 1 1 1 11 1 1 0 8 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 11 1 1 0 8 1 1 0 0 1 1 0 11 1 1 0 8 1 2 0 0 1 2 0 Sansürlü Gözlemler egtm telefon ceptel blgsay 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 2 0 8 0 0 0 8 1 0 0 8 1 4 0 8 1 0 0 8 1 1 0 8 1 2 0 8 1 1 0 8 1 2 0 11 1 1 0 11 1 1 0 11 1 1 0 Keskl Gözlemler egtm telefon ceptel blgsay - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1 0 0 8 1 4 0 8 1 0 0 8 1 1 0 8 1 2 0 8 1 1 0 8 1 2 0 11 1 1 0 11 1 1 0 11 1 1 0
Orjnal Gözlemler Probt model çn bağımlı değşken egtm telefon ceptel blgsay 8 0 0 0 1 8 1 0 0 1 0 0 1 0 0 8 1 4 0 1 8 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 8 1 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 1 0 11 1 1 0 1 8 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 11 1 1 0 1 8 1 1 0 1 0 1 1 0 0 11 1 1 0 1 8 1 2 0 1 0 1 2 0 02 Eğer egtm>0 se, bağımlı değşken 1 değern almaktadır.
Sansürlenmş ve Keskl Regresyon Modeller Keskl örneklem, bağımsız değşkenn değerlernn ancak bağımlı değşken gözleneblr ken tanımlanmasıdır. Keskl örnekte bağımlı değşkenn versnn örneğn 100 den küçük olduğu tüm durumlar çıkarılır. Kesme şlem örneklem değştrrken, sansürleme örneklem değştrmez. Örneğn tamamındak bağımsız değşkenler gözlendğnde sansür ortaya çıkmaktadır. Sansürlü regresyon modelne Tobt model denr. 8
Tobt Model Belrl br dönemde breylern dayanıklı tüketm malları veya otomobl üzerne harcamalarının sıfır değer aldığı görüleblr. Sadece, poztf değerler alan bağımlı değşkenl doğrusal regresyon modeller probt modellere benzerlğnden dolayı tobt modeller olarak blnmektedr. Bağımlı değşkenn, değşm aralığının herhang br şeklde sınırlandırıldığı regresyon modellernde eğer belrl br aralığın dışındak gözlemler tamamen kaybedlyorsa keskl model, ancak en azından bağımsız değşkenler gözleneblyorsa sansürlü model söz konusu olmaktadır.
Tobt Model Br konsern bletlerne olan taleb modellemede sahp olunan ver: satılan bletlern sayısı kadardır, eğer konser kapalı gşe oynarsa talep, mevcut maksmum blet sayısını aşar ve bletlere olan talep, mevcut bletlern maksmum sayısı le sansürlenr. Bu gb durumlarda Tobt model kullanılır. 10
Tobt Model Probt ve logt modellerde gözlenen br kukla değşken, y 1 0,, y 0 y 0 se se (1) şeklndedr. y x u * t t =1,,T bçmndek regresyon modelnde, 11
y y, 0, Tobt Model βx βx u u (2) no lu Tobt Modelnde βx u 0 olduğunda üzernde bazı gözlemler sıfır değern almaktadır. y X u 0 0 modelnde negatf veya sıfır değern alan y gözlemler hmal edldğnde, u >-X çn gözlemlern modele katılması le u hata term sıfır ortalamaya sahp olamaz. (2) y 12
Tobt Model Bu nedenle u ortalaması sıfırdan farklı br keskl normal dağılıma sahptr. Böylece u IN(0, 2 ) olur ve bu fadetobt modeln verr. 13
y t X t Tobt Model e t (3) Yt max{ yt, L} (3) nolu Tobn n Tobt Modelnde y t br görünmeyen değşken, X t açıklayıcı değşkenlern br vektörü, parametreler vektörüdür. e t, normal özdeş ve bağımsız olarak dağılmış rassal kalıntı değşkendr. Y t gözlenen bağımlı değşken ve L sansürlenen noktadır. 14
Tobt Model Verler belrl br lmtn altında veya üstünde sınırlandırıldığında, örneklem verlerne uygulanan dağılım, sürekl ve süreksz dağılımların br karması olur. Bağımlı değşken keskl hale getrldğnde, belrl br aralıktak değerler tamamen tek br değere dönüştürülür. 15
Tobt modeller çn hata termlernn normal dağıldığı (veya genel olarak parametrk bçml dağılım fonksyonuna sahp olduğu) blndğnde maksmum benzerlk ve dğer benzerlk bazlı süreçler, tutarlı ve asmptotk olarak normal dağılımlı tahmn edcler verr. Bununla beraber, benzerlk fonksyonunun varsayılan parametrk bçm yanlış belrlendğnde tahmn edcler tutarsız olur. Tobt model, belrl br değerde sansürlenmş normal sürekl br bağımlı değşken kullanır. Tobt Model 16
Tobt Model Tobt analzde katsayılarının yorumu şöyledr: Sürekl bağımsız değşken çn tüm değşkenler sabt ken x dek br brm artış y de kadar beklenen br değşme yapar. Bağımsız değşken kukla değşkenl se; dğer tüm değşkenler sabt ken x değşkenne sahp olma, y nn beklenen değern kadar değştrr denr. 17
Tobt Model Harcamanın negatf olamayacağı gerçeğnden hareketle dayanıklı tüketm malları üzernde çalışan Tobn, hanehalkı harcamalarını analz etmştr. Çalışmada dayanıklı tüketm malları harcaması, hanehalkı gelr belrl br düzey aşana kadar sıfır kabul edlmştr. Başka br örnek emek arzı, ücret oranı belrl br düzey geçene kadar sıfır olarak alınmıştır. 18
Tobt Model Br alenn tatle çıkması durumunda alede bulunan brey sayısı ne kadar fazla se yapılan harcamanın da o kadar büyük olması beklenr. Buna karşılık, aley oluşturan brey sayısı ne kadar fazla se alenn tatle çıkma olasılığı da o kadar azdır. 19
Tobt Model Kısacası, tatle çıkıp çıkmamayı belrleyen denklem le tatlde ne kadar harcama yapılacağını belrleyen denklem brbrnn aynısı değldr. Amprk modelleme sürec bu farklı k durumu yakalamalıdır. Bunlardan br tanes tatle çıkıp çıkmama ve dğer de tatlde ne kadar harcama yapılacağı le lgldr. Tobt modelnn bu durumu yansıtacak şeklde genelleştrlmes gerekr. 20
Teork Olarak Sansürleme Sorunu y*, sansürlenmemş bağımlı değşken olsun. Şekl 1 n A panel: y* ın verlen değernn sıklık oranını gösteren eğrnn yüksek olduğu yerdek y* dağılımını göstermektedr. y* 1 olduğunda, taralı bölgeye karşılık gelen y* değer blnmyorsa, o zaman, y* gözlemlenemeyen ancak görülmez olarak var olduğu blnen br değşken (latent varable) olarak kabul edlr. Sansürlü y değşken (1) denklemnde gösterlen şeklde tanımlanır. 21
Teork Olarak Sansürleme Sorunu y y * 0 y y * * 1 1 y* 1 y*, sansürlenmemş bağımlı değşken 22
Teork Olarak Sansürleme Sorunu B Panel: Sıfırda yığılmış sansürlü durumlardak sansürlü y değşkenn göstermektedr. Buradak çubuk, Panel A dak gölgelendrlmş bölgedek durumları çermektedr. C Panel : Panel A dak gölgel bölgenn bastçe slnmş hal olan keskl y y>1 (yan verlen y, 1 den büyük, y>1) değşkennn şemasıdır. 23
Teork Olarak Sansürleme Sorunu Sansür ve kesmenn doğrusal regresyon modeln etkleyp nasıl değştrdğn görmek çn, doğrusal regresyon modelnn Şekl 2 de A Panel sansürsüz 200 örneğ göstermş olsun. 24
Teork Olarak Sansürleme Sorunu sansürsüz 200 örnek * yˆ 1.18 0.08 EKKY x Şekl 2 X Şekl 2 Buradak kalın çzg en küçük kareler le tahmn edlen modeldr. Sansür çzgsnn altındak verlernde dahl olduğu tüm verler le çalışılmaktadır. 25
Teork Olarak Sansürleme Sorunu Şekl 3 26
Teork Olarak Sansürleme Sorunu Panel B de: 1 e eşt ya da 1 den düşük olan y* değerler, sansürlü durumlarda y=0 le sansürlenmştr. Panel A da sansür çzgsnn altındak değerler blnrken, burada söz konusu değerler sıfırla sansürlenmştr. Bunlar küçük üçgenlerle gösterlmştr. Parametreler tahmn etmenn br yolu sıfırlı blglern de olduğu sansürlü verlerle y nn x e göre regresyonuna en küçük kareler yöntem uygulamaktır.
Teork Olarak Sansürleme Sorunu Ortaya çıkan sonuç, yˆ 0.95 0.11 x. Şekl 3 de görülen Panel B dek uzun atılımlı çzgdr. Burada sabt termn eksk ve eğmn se aşırı tahmnlenmes durumu ortaya çıkmaktadır. Bu tür yaklaşım tutarsız tahmnclere yol açmaktadır. 28
Teork Olarak Sansürleme Sorunu Sansürlü gözlemler problemlere yol açtığından, sansürlenmş bağımlı değşken durumlarından kaçınmak çn örneklemn kesldkten sonrak regresyonunu tahmn etmek çn yne en küçük kareler kullanılablr. Bu durumda sansür sorunu, keskl örnek sorununa dönüşmektedr. 29
Teork Olarak Sansürleme Sorunu y=0 olduğu durumları attıktan sonra keskl model en küçük kareler le yˆ 1.410.06 x olarak tahmnlenmektedr. Bu tahmn sabt term aşırı, eğm katsayısını eksk tahmn eder. Bu durum Şekl 3 de kısa eğml çzgyle görülmektedr. Keskl modelde x le e arasındak lşk tutarsız tahmnlere yol açar. 30
Tobt Modellerde Sansürleme Sorunu Tobt model tahmn etmede üçüncü yaklaşım, sansürlü regresyon modeldr. Tobt model, sansürlü blgy de çeren tüm verler kullanmakta ve tutarlı parametrelern tahmnlenmesn sağlamaktadır. Tobt modelde en çok benzerlk tahmnler koyu çzgyle gösterlmştr(şekl 3). Bu çzg sansürün olmadığı Panel A dak tahmnlere (onları belrten çzgden) benzerdr. 31
Sansürlü Sonuçlarda Tobt Model Tobt modelde e ~ N (0, 2 ) olduğunda denklem yapısı şöyledr: y x e * t:eşk değer x ler her durumda gözlemlenmektedr. y* se; eşk değer olan t dan daha büyük değerlerde görülen, t ya eşt yada daha küçük değerlerde sansürlenen, görünmeyen br değşkendr. (4) 32
33 Gözlemlenen y, aşağıdak denklem le tanımlanır: t t t * * *,, y y y y y (5) Sansürlü Sonuçlarda Tobt Model.,, * * * se y se y x y y y t t t e (6) (4) ve (5) denklemlernn brleştrlmes le: Yukarıdak modellerde br sansürleme olması durumunda Tobt model kullanılablr.
Sansürlü Sonuçlarda Tobt Model Örnek: 100.000 $ ve fazla olan gelrlere sansür konursa bu durumda Tobt model şöyle gerçekleşecektr: t 100000$ y y t y * x e,, y y * * t t se se. (7) 34
Tobt ve Probt Arasındak Bağlantı Tobt ve Probtn yapısal modeller benzer ancak modeller brbrnden farklıdır. Tobt modelnde y*> t ken bağımlı değşkenn gözlenen değerler blnmektedr. Probt modelnde sadece y*> t se y br değern almaktadır. Ancak verler eşğn (t) altında se blnmemektedr ve y sıfır kabul edlmektedr. Tobt model hakkında daha fazla blg mevcuttur.tobt modelden elde edlen katsayı tahmnlernn, Probt modelden elde edlenden daha etkn çıkması beklenmektedr. 35
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması Br Monte Carlo deney çn elde edlen regresyon model aşağıdadır: Y 40 1.2X u (8) Burada X, 11 le 60 arasında değşen tam sayılardan oluşmaktadır. Hata term u se, ortalaması 0, standart sapması 10 olan normal dağılmış br şans değşkendr. Eğer Y sınırlanmamış se, tüm gözlemler Şekl 4 dek gbdr. 36
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması Şekl 4 37
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması Y değşken çn negatf değerler alınmaz ve sıfır sınırı konursa, gözlemler Şekl 5 dek gb değşklğe uğrar. Şekl 5 38
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması EKKY le elde edlen regresyon modelnde, Y değşken çn negatf değerler alınmadığı ve bunun yerne 0 değerler alındığı çn tutarsız tahmnler elde edlr. Böylece tahmnc aşağı doğru eğm gösteren br sapmaya sahp olurken, sabt term de yukarı doğru sapmalı elde edlecektr. Bunun çözümü, sadece sınırlandırılmamış gözlemlern br alt örneklem le mümkün olmaktadır. Fakat bu durumda ble EKK tahmncler sapmalı olacaktır. 39
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması Y >0 olduğu durumda model: 40 + 1.2X + u > 0 (9) şeklnde elde edlr. Buradan; u > 40 1.2X bulunur. (10) 40
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması u nn dağılımı keskl br dağılımdır. u nn beklenen değer poztf ve X nn negatf br fonksyonu olacaktır. u le X arasında negatf br lşk olduğundan Gauss-Markov teorem çğnenecek ve EKK tahmncler tutarsız olacaktır. Şekl 6 41
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması Şekl 7 de bu lşknn etks açıkça görülmektedr. X n en düşük dört gözlem değerne karşılık gelen hata termlernn (dört hata term) değerler poztftr. Y y poztf yapmak çn yeterl büyüklükte olacaklardır. Ancak, stokastk olmayan Y bleşmn poztf yapacak kadar büyük değerlern bulunduğu aralıkta, büyük negatf değerlere sahp olan hata terml gözlemler atılmıştır. 42
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması Şekl 7 de bu üç negatf hata termnn değerler dare şeklnde görülmeltedr. Bunun EKK dek etkler, sabt termn olduğundan büyük ve eğmn olduğundan küçük tahmnlenmes şeklnde olacaktır Şekl 7 43
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması Eğer normal dağılıma sahp br hata term elde edldğ varsayılırsa, bu problemn tek çözümü, regresyon analz le probt analznn brleşmnden oluşan en çok benzerlk tahmn teknğ olarak blnen tobt analzn kullanmaktır. Hanelern htyaçları çn yapmış olduğu harcamalar, Tüketc Harcamaları Anket ver setnden br örnek alınarak ncelenecektr. 44
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması Şekl 8 de hanehalkı htyaç harcamaları (HEQ) le toplam hanehalkı harcamaları (EXP) grafk olarak gösterlmştr. 869 haneden 86 hanenn hanehalkı htyaçları harcaması sıfır değern almıştır, yan bu haneler hanehalkı htyaçları çn hçbr harcamada bulunmamışlardır. 45
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması Hanehalkı İhtyaçları Harcaması ($) Hanehalkı Harcaması ($) Şekl 8 46
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması Aşağıda bu verlere uygulanan tobt regresyon sonucu verlmştr: HEQ= -661,8156 + 0,0520828 EXP (11) s(b ) (97,95977) (0,0027023) t (-6,756) (19,273) Prob (0,0000) (0,0000) N: 869 ch 2 (Prob): 315,41 (0,0000) Pseudo R 2 : 0,0223 Log Lkelhood: -6911,0175 Gözlemler çn özet sonuç: HEQ<=0 da soldan-sansürlü 86 gözlem Sansürlenmş 783 gözlem 47
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması Eğer bu verlerden önce sıfır değerl gözlemler çeren (N=869) modele EKKY uygulanırsa eğm katsayısı 0.0472 sonrasında da sıfır değerl gözlemler çermeyen ver set (N=783) alınıp EKKY uygulanırsa, eğm katsayısı 0.0468 olarak bulunacaktır. Tobt modelde eğm katsayısını 0.052 bulmuştu. 48
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması Her k tahmn edlen eğm katsayıları beklendğ şeklde tobt tahmn le bulunan eğm katsayılarından daha düşük değerl elde edlmştr. Bu durumda aradak fark sadece %10 kadar br sınırdadır. Bu da Tobt ve EKKY tahmnler arasında çok düşük br fark olduğunu gösterr. 49
Tobt Model le EKKY nn Br Örnekle Karşılaştırılması Eğer hata term normal dağılımlı değlse ve değşen varyans varsa Tobt regresyon uygulandığında tutarsız tahmncler elde edlecektr. Şekl 8 den de görüldüğü üzere, örnektek gözlemler değşen varyansa neden olmaktadır. Bu da bağımlı değşkenn hanehalkı htyaçları harcamasının, hanehalkı toplam harcamasının oranı olarak uygulanmasıyla muhtemelen ortadan kaldırılablr.
Seçm Yanlılığı Regresyon modeller tahmnlernde örneklemenn yaklaşık olarak tesadüf yapıldığı varsayılmaktadır. Bu konuda yakın geçmş lteratür ncelendğnde tesadüf olmadan seçlen örneklemler çn regresyon model tahmnlemenn öneml br yer oluşturduğu görülmektedr. Örneklem tesadüf olsa ble bağımlı değşken kayıp değerler çeryorsa seçm yanlılığından bahsedleblr. 51
Seçm Yanlılığı Ekonometrde hmal edlen değşkenler veya spesfkasyon hatası çn alışılmış analzlern aksne örnek seçm yanlılığı analznde, spesfkasyon hatasını arttıran değşkenlern tahmn edlmes bazen mümkündür. Uygulamada, seçm yanlılığı k nedenle ortaya çıkablr. Brncs, kşlern breysel seçmlernden veya ncelenen ver brmlernden, kncs se analstlern ya da ver şlemclern kşsel örnek seçm kararlarından kaynaklanablr.
Seçm Yanlılığı Breysel seçm sapması konusunda br çok örnek vardır. Evl kadınların şgücüne katılımlarında, kadınların bazıları pyasa ücretler, ev ücretlern (rezervasyon ücretlern) geçtğ zaman şgücüne katılmayı terch edecektr. Eğer sadece çalışan evl kadınların ücretler ncelemeye alınırsa burada seçm yanlılığı yapılmış olacaktır.
Seçm Yanlılığı Benzer olarak, sendkalı ve sendkasız çalışan breylern olduğu ver grubunda sendkanın ücretlere olan etksn tahmnlemede de seçm yanlılığı söz konusudur. Eğer sadece sendkalı breylern ücretler ncelemeye alınırsa burada da seçm yanlılığı yapılmış olacaktır. Ayrıca sadece göç edenlern ücretler analz edldğnde, göç etmemş olanların göç etmş olmaları durumunda kazanablecekler ücretlern güvenlr br tahmn olamaz. 54