DĐNAMĐĞĐNDE BEĐRSĐĐK ĐÇEREN BĐR UÇAĞIN BOYAMASINA HAREKEĐNĐN DAYANIKI DENEĐMĐ Güyaz ABAY Ahmet UÇAR Fırat Üiersitesi, Fe Bilimleri Estitüsü, Elektrik-Elektroik Müh. Aa Bilim Dalı, 39 Elazığ e-posta: g_ablay@yahoo.com Fırat Üiersitesi, Mühedislik Fakültesi Elektrik-Elektroik Müh. Böl., 39 Elazığ e-posta: acar@firat.ed.tr ÖE B çalışmada bir çak diamiğii boylamasıa hareketii deetimii yapılması içi bir dayaıklı drm geribeslemeli deetleç öerilmiştir. Uçağı çş zarfı içide istee bir çş komda yeterli sürede ttlması başlıca bir deetim problemi Đç e dış ortam bozc etkilerde dolayı çağı diamiği, kısa bir süre içide olsa, değişerek belirsizlik olştrabilir. B belirsizlikler, deetim siyali taım bölgesi içide (matched certaity eya dışıda (mismatched certaity taımlaabilir. Bir çağı belirlee çş zarfı içide ttlması içi tasarlaa deetleç, hagi tür belirsizlik olrsa ols bekleile performası sağlaması gerekir. Brada öerile deetleç, deetim siyali taım bölgesi dışıda taımla belirsizlik (mismatched certaity olması drmda kapalı çerimli sistemi hedeflee performas sağlayacak türde Öerile deetleç doğrsal e doğrsal olmaya iki kısımda olşmştr. Deetleci doğrsal kısmı optimal kadratik regülatör (QR yötemi temelli olp omial çak modelii hedeflee performası göstermesi içi tasarlamıştır. Deetleci doğrsal olmaya kısmı ise iki koml hibrit özellikte olp, sistemdeki belirsizlikleri karşılamak üzere kapalı çerimli sistemi kararlılığıı yapo yötemie göre sağlayacak biçimde tasarlamıştır. Aahtar Sözcükler: Uçş Deetim, Belirsizlik Đçere Sistemler, Doğrsal Deetim, Doğrsal Olmaya Deetim.. GĐRĐŞ Haa araçları geri besleme içi kllaıla ölçümlerde, bozc etkilerde e modelleemeye diamiklerde dolayı belirsizlikler içerir [-3]. Haa araçlarıda oldğ gibi geellikle mühedislik sistemleri yapıları gereği parametre e model belirsizliği içerir. Ayrıca belirsizlikler sistemi bilimeye parametreleride, taımlaması zor ola doğrsal olmaya bağlatılarda e modelleemeye diamiklerde meydaa gelebilir e belirsizlik içere sistemleri deetimi içi bir çok deetleç geliştirilmiştir [-7]. Brada kllaıla deetleç, [7] de öerile doğrsal olmaya drm geribeslemeli bir deetleç olp, birçok sisteme yglamış e etkiliği kaıtlamıştır. B çalışmada [7] deki deetleç, deetim siyali taım bölgesi dışıda taımla belirsizlik (mismatched certaity içere e doğrsal olmaya çağı boylamasıa hareketii deetimi içi tasarlamıştır. B girişte sora ikici bölümde, çalışılacak sistemi taımı e problem formülasyo erilmiştir. Üçücü bölümde deetleç tasarlamıştır. Yayıı dördücü bölümüde ise yglama olarak [] de taımlaa bir çak diamiği kllaılmış e soçlar beşici bölümde tartışılmıştır.. SĐSEM ANIMI VE FORMÜASYON Belirsizlik içere fiziksel bir diamik sistemi drm zay diyagramı, ɺ ( = [ A + A( ] ( + [ B + B( ] ( + H (, ( ( t = biçimide Brada, r ( R deetim ektörü, ( R drm ektörü, l ( R giriş ektörü, r A R sistem matrisi, B R giriş matrisi e l H R girişe yglaa bozc yada doğrsal olmaya elemaları matrisi A ( ( e B( (, ( parametresie bağlı olp sistem matrisideki belirsizlikleri e giriş matrisideki belirsizlikleri içerir. H ( terimi girişteki belirsizlikleri yada doğrsal olmaya terimleri içerir. Deklem ( deki sistemi omial kısmı, ( ( t ( Deklem ( deki sistemle ilgili olarak aşağıdaki taım e kablleri sağladığı arsayılmıştır. aım : Bir q l f ( : D R R, D R foksiyo, acak e acak her bir t R içi f (,
sürekli bir foksiyo, her bir D içi f (, foksiyo ebesge ölçülebilir e D R i her bir C altkümesi tüm (, C içi, M C ( ebesge itegralleebilir foksiyo olmak üzere, f (, M ( şartıı sağlıyorsa Caratheodory C olarak adladırılır. p Kabl : Belirsizlik parametreleri R ebesge ölçülebilirler. r rr Kabl : G( R, A( R, E( R, r rl l B( R, F R e H R birer Caratheodory matris foksiyoları olmak üzere, A ( = BG( + A( A, (3a B ( = BE( + B( A, (3b H = BF + H (3c r olarak yazılabilir. Brada A( R, B( R l e H R dekleştirme şartıı sağlamaya kısımlar olp deklem (3 teki eşitlikleri sağlayacak şekilde keyfi olarak seçilebilirler eya bları seçimi tek değil Belirsizlikleri içere A, B e H matrislerii deklem (3 teki gibi ayrıştırılması deetim tasarımıı etkileyebildiği gibi sistem performasıı da etkileyebilmektedir [5]. Kabl 3: Deklem ( de erile sistemi tüm drm değişkeleri ölçülebilirdir e sistemi omial kısmı ( A, B tüm drm deetleebilir 3. DENEEÇ ASARIMI Deetleç tasarımı, deklem ( te erildiği gibi, doğrsal l ( e doğrsal olmaya ( deetleçlerii toplamıda olşmştr. ( = ( ( ( l + 3.. Doğrsal Deetleç Doğrsal deetleç tasarımı deklem ( i sadece deklem ( ile erile omial kısmı esas alıarak yapılır. Nomial sistemi kararlılığıı sağlamak e hedeflee geçici rejim yaıtıı olştrmak içi optimal doğrsal kadratik regülatör (QR yötemi kllaılarak tasarım yapılacaktır. Kadratik performas ideksi Q pozitif simetrik drm ağırlık e R pozitif simetrik deetim ağırlık matrisleri olmak üzere; t J = [ ( QR( + l ( Rl ( ] dt (5 Doğrsal zamala değişmeye sistemi optimal deetimi; P R pozitif simetrik bir matris olp, deklem (6 ile erile idirgemiş Riccati matris deklemii çözümü [8] olmak üzere; A PR + PR A PR BR B PR + QR = (6 Deetleci doğrsal kısmı, l ( = R B PR ( = K( (7 3.. Doğrsal Olmaya Deetleç Doğrsal olmaya deetim tasarımıda deklem ( de erile sistemi tümü esas alıarak tasarım yapılır. Doğrsal olmaya deetimi amacı, belirsiz parametreleri etkilerii karşılamak e kapalı çerimli sistemi kararlılığıı sağlamaktır. Deklem ( deki omial sistem e deklem (7 de erile deetleçte olşa kapalı çerim sistemi kararlı sistem matrisi, A = A BK e Q R pozitif taımlı simetrik matris olmak üzere; P aşağıdaki yapo deklemii çözümüdür: P A + A P + Q = (8 Deetleci doğrsal olmaya kısmı, deetim tasarımcısı tarafıda belirlee pozitif bir sabite olmak üzere; B P ρ (, B P > içi B P = ( (9 B P ρ (, B P içi Deklem (3 te erile kabller e deklem ( te erile deetleç ( = K + (, deklem ( de yerie yazılırsa kapalı çerimli sistem; ɺ = A + B + B( G( E( K + E( + F + A BK + B + H olr. üm belirsizlikler e e e de bir araya toplaırsa [5]; e = G( E( K + E( ( + F ( e = A BK + B + H ( olr. Brada, e deetim siyali taım bölgesi içide (matched certaity taımlaa belirsizlikleri e e deetim siyali taım bölgesi dışıdaki (mismatched certaity belirsizlikleri gösterir. Böylece kapalı çerimli sistem, ɺ = A + B( ( e(, e + + ( olarak elde edilir. Deklem ( daki belirsizlikler e, aşağıdaki orm eşitsizliğii sağlar; e G( + E( K + E( ρ( + F e E( > V olmak üzere [7], ρ ( foksiyo; - (3 = ˆ ρ( ( ρ( = ˆ E( G( (5 + E( K + F V olr. Böylece deklem (9 da taımlaa deetleci doğrsal olmaya kısmıı katsayısı ρ ( taımlamış e belirlemiş olr.
Deklem ( sağlamak şartıyla, ρ ( : R R olarak taımlaırsa, - ρ = E ( ˆ ( G( + E( K + F (6 V = ˆ a + b olarak blr. Brada, - a = ˆ E( F V - b = ˆ E( G( + E( K Deklem (5 e (6 daki taımlarda görüldüğü gibi, ρ( ρ( (7 Deklem ( de erile belirsizlik e i orm eşitsizliği: e = A ( B ( K + B( ( + H (8 G + G olarak blr [5]. Brada, G = ˆ A( + B( K + B( b G = ˆ B ( a + H V eorem : Deklem ( de taımlaa e kabl - 3 şartlarıı sağlaya sistemi deklem (7 e (9 da taımlaa deetleçler ile olştrdğ kapalı çerim diamiği kararlıdır e hedeflee performası sağlar. Đspat: Deklem ( de erile kapalı çerimli sistem içi yapo foksiyo R içi, V = P >, (9 olarak alıırsa, V i türei; Vɺ = V [ A + B( + e] ( + V e olr. Brada türe alma işlemi içi dekleştirilebile e dekleştirilemeye belirsizlikleri ayrı ayrı iceleyelim e daha sora birleştirelim. a Dekleştirilebile belirsizlikler; P = P > oldğda P + P = P olarak yazılabileceğide, V [ A + B( + e] = Q + P B( + e olr. b Dekleştirilemeye belirsizlikler; Deklem (8 de erildiği gibi e i orm eşitsizliği e G + G oldğda, V e = P e λ λ ( P ( P G [ G + G ] + λ ( P G olarak blr [5]. Böylece yapo foksiyo türei, V ɺ = Q + P B( + e + P e ( olarak elde edilir. A = A BK matrisi kararlı oldğda pozitif taımlı e simetrik Q matrisi içi P pozitif taımlı simetrik bir matristir. Đşlem kolaylığı içi = B P alıırsa, o zama deklem ( i sağıdaki ikici terim P B ( + e(, = ( + e olr. Deklem (3 te [ ] e ρ e deklem (9 daki doğrsal olmaya deetleci ilk drm ( > içi, = + e = ρ + e ρ + e ρ + e ρ + ρ = olr. Deklem (9 daki doğrsal olmaya deetleci ikici drm içi ( ρ = + e = + e ρ + e, = ρ + e, = ( ρ + ρ olr. Deklem ( i e büyük değerii elde edebilmek içi, eğer = alıırsa, deklem ( i e büyük değeri, ( + e ρ olarak elde edilir. Böylece deklem ( i sağıdaki ikici terimi e büyük değeri elde edilmiş olr. B değer V ɺ de yerie korsa, Vɺ Q + ρ( + λ ( P G + λ ( P G olr. üm t e tüm değerleri içi, Q ρ( λ ( P G (3 λ ( P G > şartı sağlaırsa, yapo foksiyo türei; V ɺ <, ( olr. Deklem (9 ikici drm içi kapalı çerimli sistemi kararlı oldğ başlagıç şartlarıı değişim aralığıı tespit edelim. B içi, deklem (7 de dolayı deklem (6 daki ρ =ˆ a + b ifadesi deklem (3 te kllaılırsa, deklem (3, [ λmi ( Q λ ( P G] (5 b + λ ( P G > a (
olarak yazılabilir. Brada, soçta; b / + λ( P G η = λ ( Q λ ( P G mi = η olarak taımlaırsa, a / ( b + λ P G + + λmi( Q ( P G mi( ( λ λ Q λ P G (6 olarak blr. = merkezli, η yarıçaplı B (η küresi taımlası. üm B(η e tüm t R içi deklem ( te erile V ɺ < şartı sağlamış olr.. UÇAĞIN BOYAMSA HAREKEĐ VE DENEĐM PROBEMĐ Bir saaş çağı boylamsal hareketii yalızca mometler içi ele alalım e basitleştirmek içi çağı boylamsal hareketii deetimii yalızca yükseklik dümei açısıyla deetlediğii arsayalım. Böylece çağı boylamsal hareketii deklemleri drm zay formda []; ɺ X X ɺ = ɺ3 M M ɺ U M 3 g cos γ X g si γ + M M 3 = 3, çağı ileriye doğr hızı, hücm açısı, 3 yslama açısal hızı, yslama açısı, g yerçekimi imesi, U çağı ileriye doğr dege hızı e X, X, X,,,, M, M, M 3, M ɺ, M ise ilgileile çş drmdaki kararlılık türeleri M, M, M, M 3, M ise aşağıda erildiği gibi M = ( M, ( + M ɺ M = M + M ɺ M = ( M, ( si 3 + U 3 M ɺ M = gm ɺ γ M = ( M + M olarak yazılabilir. Brada [ ] ɺ Seçile çak tipi iki motorl jet saaş çağı e ilgileile çş drmları içi çş parametreleri e kararlılık türeleri tablo e de erilmiştir. ablo de erile q diamik basıcı, α dege hücm açısıı e γ dege yörüge açısıı göstermekte ablo : Uçş drm parametreleri Parametre Đrtifa (m Mach o. Uçş Drm Parametre Uçş Drm U (m s - q (N m - 95.8 7 α (derece γ (derece +.5 ablo : Kararlılık türeleri (boylamasıa hareke Kararlılık X ürei X 3 Uçş -. -. -.5 -. Drm.7 Kararlılık ürei Uçş Drm -.36 M M M ɺ M 3 M -.6.69 -.5 -.8 ablo e kllaılarak omial sistem matrisleri A e B ;.7. 9.8.8.5.36 A =, B =.6.96.99.6 olarak blr. Sistemi belirsizlikleri içere matrisleri e belirsiz parametreleri, 3 A =, 5 B =, 3 3 33 35 3 3 3 5 3., 33 35 3.5., Böylece deklem (3 te dolayı G( e E( matrisleri, [ ], ( [ ] G ( = E 3 olr. B matrisleri seçimi [5] gereğice keyfi seçilmiştir... Doğrsal Deetleci asarımı Deklem (5 te erile hedeflee performas ideksi Q R = diag[,, 5, ] e R = 5 içi Riccati deklemi (7 de, K = [.75.3869 3.6 5.398] olarak blr. B drmda kapalı çerimli sistemi özdeğerleri λ, =.763 ± j. 7933, λ 3 =. 77 e λ = 39. 999 olr... Doğrsal Olmaya Deetleci asarımı Deklem (8 de erile doğrsal olmaya deetimi aşağıdaki formda yeide yazalım. ρ( sg ( B P, B P > içi ( = ρ( ( B P, B P içi brada P, deklem (9 da erile yapo deklemii Q = diag[,,, ] içi çözümüdür. Böylece deklem (3 da erile B P matrisi, [ 9.9635.335.65 6.38] B P = olarak blr. Soç olarak ρ ( ( foksiyo, 35
ρ( =. olarak blr. + + 3 +.75 3.6.3. Simülasyo Soçları 3.3869 5.398 Başlagıç şartları (=[,,,] e =. sabit değeri içi iki motorl jet saaş çağıı boylamsal hareketii simülasyo soçları Matlab/SIMUINK programı kllaılarak elde edilmiştir. Belirsizlikleri maksimm e miimm değerleri ile omial sistem değerleri kllaılarak elde edile simülasyo soçları Şekil-, Şekil- e Şekil-3 te erilmiştir. Sistem girişie, maksimm değişim aralığı w (. 3 ola bozc siyali yglamıştır. Şekil- de, e 3 drm değişkelerii geçici rejim daraışı erilmiştir. Şekil- de de görüldüğü gibi sistem yörügesi hedeflee sürede sürekli drma laşmıştır. Şekil- de deetim siyali ( i zamala değişimi görülmekte Deetim siyalii sürekli rejim boyca, t s titreşimsiz e düşük değerli olması b deetleci öemli bir özelliği Şekil-3 te ise şekil- deki deetim siyalii ayrıtılı değişimi erilmiştir. Şekil 3 deki titreşimler deklem 9 daki tasarım parametresi büyük seçilerek daha da küçültülebilir, acak b drmda Şekil deki drm değişkelerii sürekli drm performası kötüleşir. olşmaktadır. Doğrsal deetleç, omial sistemi kararlılığıı e hedeflee geçici drm daraışıı görülmesii sağladı. Doğrsal olmaya deetleç ise belirsiz parametreleri e doğrsal olmaya elemaları etkisii karşıladı e kapalı çerimli sistemi kararlılığıı sağladı. asarlaa deetleç ile omial modeli kararsız sistem içi kapalı çerim kararlılığı garatileerek sistem yörügesii, parametre belirsizlikleri, giriş bozcs e seçile başlagıç şartları değerlerie rağme hedeflee oktaya laşması e orada kalması sağladı. (.5.5.5 mi omial -.5 5 5 Şekil-: Belirsizlikleri maksimm e miimm değerleri ile omial sistem değerleri e (=[,,,] e =. içi; deetim siyali (. (..5 mi omial.5 mi omial 3 -.5 5 5.5 5 5.5 mi omial mi omial -.5 5 5 Şekil-: Belirsizlikleri maksimm e miimm değerleri ile omial sistem değerleri e (=[,,,] e =. içi; drm değişkeleri, e 3 değişimleri. 5. SONUÇAR B çalışmada, parametre belirsizliği içere iki motorl jet saaş çağıı çş deetim problemi ele alıdı e çağı boylamsal hareketii dayaıklı (robs drm geribeslemeli deetimi yapıldı. Brada belirsizlikleri değişim aralığı erildiğide, b değişim aralığıı karşılaya e hedeflee kapalı çerimli sistem performasıı da sağlaya [7] de öerile deetleç, belirsizlik içere iki motorl jet saaş çağıı diamiği içi tasarladı. Öerile deetleç, doğrsal e doğrsal olmaya iki deetleçte -.5 5 5 Şekil-3: Şekil deki deetim işaretii ayrıtılı değişimi. 6. KAYNAKAR [] Mclea D., Atomatic Flight Cotrol Systems, Pretice Hall (UK, 99. [] Rssel J. B., Performace ad Stability of Aircraft, Arold, odo, (UK, 996. [3] Steas B.. ad ewis F.. Aircraft Cotrol ad Simlatio, Joh Wiley & Sos, New Jersey, USA, 3. [] Schweppe F. C. Ucertai Dyamic Systems Pretice-Hall Eglewood Cliffs, New Jersey, (USA 973. [5] Che Y.H., O the Robstess of Mismatched Ucertai Dyamical Systems, ASME J., Measremet, ad Cotrol, ol. 9, No:, pp.9-35, 987. [6] Slotie J.J.E. ad i W., Applied Noliear Cotrol, Pretice-Hall, 99. [7] Breil W. ad eitma G., State Feedback for Ucertai Dyamical Systems, Applied Mathematics ad Comptatio, ol., pp.65-87, 987. [8] Ogata K., Moder Cotrol Egieerig, Pretice- Hall,.