ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Merve BAYSAL MATEMATİK ANABİLİM DALI. ANKARA 2007 Her hakkı saklıdır

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİESİ FEN BİİMERİ ENSİÜSÜ YÜKSEK İSANS EZİ ŞEKİ OERAÖRÜ VE EME FORMAR Mere BAYSA MAEMAİK ANABİİM DAI ANKARA 007 Her hakkı saklıdır

2 Doç. Dr. Mstafa Kemal SAĞE daışmalığıda Mere BAYSA tarafıda hazırlaa b çalışma 4/0/007 tarihide aşağıdaki jüri tarafıda oybirliği ile Matematik Aabilim Dalı da Yüksek isas ezi olarak kabl edilmiştir. Başka : Doç. Dr. Mstafa Kemal SAĞE Akara Üiersitesi Fe Fakültesi Üye : Yard. Doç. Dr. Nejat EKMEKÇİ Akara Üiersitesi Fe Fakültesi Üye : rof. Dr. Baki KARIĞA Gazi Üiersitesi Fe-Edebiyat Fakültesi Ykarıdaki soc oaylarım rof. Dr. Ülkü MEHMEOĞU Estitü Müdürü

3 ÖZE Yüksek isas ezi ŞEKİ OERAÖRÜ VE EME FORMAR Mere BAYSA Akara Üiersitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Daışma: Doç. Dr. Mstafa Kemal SAĞE B çalışma üç bölümde olşmaktadır. Birici bölümde temel taım e karamlar ele alımıştır. İkici bölümde Weigarte döüşümüü matrisii hesabı e temel formlarla ilgili öklid zayıda hiperdüzlem hiperküre hipersilidir e döel yüzeyler içi yapıla çalışmalar ele alımıştır. Üçücü bölümde ise oretz zayıda döel yüzeyi Weigarte döüşümüü matrisii hesabı e ortalama eğriliği temel formlar ile arasıdaki ilişkiye ait çalışmalar erilmiştir sayfa Aahtar Kelimeler: Weigarte döüşümü Gass eğriliği Ortalama eğrilik e temel formlar. i

4 ABSRAC Master hesis SHAE OERAOR AND FUNDAMENA FORMS Mere BAYSA Akara Uiersity Gradate School of Natral ad Applied Scieces Departmet of Mathematics Sperisor: Assoc. rof. Dr. Mstafa Kemal SAĞE his stdy has occred three chapters. Basic descriptio ad cocepts was ealated i first chapter. I secod chapter it was ealated i calclatio of Weigarte map s matrix ad relatio to fdametal forms i eclid space stdies for hyperplae hypersphere hypercylider ad srface of reoltio. I third chapter it was metioed that calclatio of srface of reoltio of Weigarte map s matrix i oretz space ad stdies which are relatio to mea cratre with fdametal forms pages Key Words: Weigarte map Gass cratre Mea cratre ad fdametal forms. ii

5 EŞEKKÜR B çalışmaı yapılması fikride gerçekleşmesie kadar görüş düşüce bilgi e deeyimleride yararladığım daışma hocam Doç. Dr. Mstafa Kemal SAĞE e e Akara Üiersitesi Fe Fakültesi Deka Yardımcısı rof. Dr. Eder YURDAKUO a teşekkürlerimi smayı bir borç bilirim. B çalışmada baa her açıda yardımcı ola hocalarım rof. Dr. Ysf YAYI e Yrd. Doç. Dr. Nejat EKMEKÇİ ye Akara Üiersitesi Çakırı Orma Fakülteside göre yapa Araş. Gör. Melda (BAYSA) DÖARSAN a Araş. Gör. Emre Şahi DÖARSAN a ayrıca çalışmamı her aşamasıda ilgi e desteğii gördüğüm değerli arkadaşlarım Seçil BAIR Seil BAIR Egi KANIŞ a e her zama maddi maei desteğii eksik etmeye aileme teşekkürlerimi sarım. Mere BAYSA Akara Şbat 007. iii

6 İÇİNDEKİER ÖZE...İ ABSRAC...İİ EŞEKKÜR...İİİ SİMGEER DİZİNİ... Vİ. GİRİŞ.... EME ANIM VE KAVRAMAR.... ŞEKİ OERAÖRÜ (WEINGAREN DÖNÜŞÜMÜ) VE EME FORMARA İGİİ ÖKİD UZAYINDA YAIAN ÇAIŞMAAR Şekil Operatörü e emel Formlarla İlgili eoremler E te Herhagi Bir Yüzey içi Weigarte Döüşümüü Matrisii Hesabı. Gass Döüşümü e Gass Eğriliği ile Şekil Operatörü Arasıdaki İlişki E de Bazı Özel Yüzeyler İçi Şekil Operatörü emel Formlar K e H Foksiyoları Hiperdüzlemler içi şekil operatörü temel formlar K e H foksiyoları Hiperküre içi şekil operatörü temel formlar K e H foksiyoları Hipersilidir içi şekil operatörü temel formlar K e H foksiyoları Döel yüzeyler içi şekil operatörü K e H foksiyoları ŞEKİ OERAÖRÜ (WEINGAREN DÖNÜŞÜMÜ) VE EME FORMARA İGİİ ORENZ UZAYINDA YAIAN ÇAIŞMAAR oretz Uzayıda Döel Yüzeyi Weigarte Döüşümüü Matrisii Hesabı ile Gass e Ortalama Eğriliklerii Hesaplaması oretz Uzayıda emel Formlar ile Döel Yüzeyi Ortalama Eğriliği Arasıdaki Bağıtı... 4 i

7 KAYNAKAR ÖZGEÇMİŞ... 47

8 SİMGEER DİZİNİ Grek Alfabesi A α Alfa B β Beta Γ γ Gamma δ Delta E ε Epsilo Z ζ Zeta H η Eta Θ θ eta Ι ι İyota K κ Kapa Λ λ amda M µ Mü N ν Nü Ξ ξ Ksi O o Omikro Π π i ρ Ro Σ σ Sigma τ o r υ Upsilo ϕ Fi Χ χ Şi Ψ ψ si Ω ω Omega i

9 . GİRİŞ B çalışma çerçeeside öcelikle şekil operatörü e temel formlar ile ilgili taım e karamlar ifade edilecek daha sora E te herhagi bir yüzey içi Weigarte döüşümüü matrisii hesabı erilecektir. Ayrıca hiperdüzlem hiperküre hipersilidir e döel yüzeyler içi Şekil operatörü emel formlar Gass e Ortalama eğrilik foksiyolarıı ko ala çalışmalara değiilecektir. Bla beraber oretz zayıda döel yüzeyleri Weigarte döüşümüü matrisii hesabı ile Gass e Ortalama eğrilikleri hesaplamasıı yaıda döel yüzeyleri temel formları ile ortalama eğrilikleri arasıdaki bağıtıya yer erilecektir.

10 . EME ANIM VE KAVRAMAR aım.: F : E m E bir döüşüm ols. Eğer r E () ise ( F * ) ( r ) m (F()) de E r m r E i t F( + t ) eğrisii t=0 daki hız ektörü ols. Böylece taımlı ( F ) : * () E m E (F()) foksiyoa F i E oktasıdaki türe döüşümü deir (Hacısalihoğl 994). aım.: F : E m E döüşümüü türe döüşümü E içi ( F ) ols. * Sırasıyla () e m (F()) de E E = { x... x } Ψ = { y F ()... y m F () } stadart bazları içi (F ) i karşılık geldiği matris F i oktasıdaki Jakobie matrisi olarak adladırılır e J(F) ile gösterilir. f x f J(F) = x M f m x f x f x M f m x O f x f x M f m x dir (Hacısalihoğl 994). aım.: M e N birer C maifold e f : M N bir C foksiyo ols. Eğer f i f * jakobie matrisi M oktasıda regüler ise f ye M de N ye bir immersiyo deir (Hicks 974). Başka bir deyişle rak f = boy M ise f bir immersiyodr (Hacısalihoğl 994).

11 aım.4: N bir C (-) maifold ols. f : N E foksiyo bir immersiyo ise f(n)=m maifolda hiperyüzeyi deir (Hacısalihoğl 994). E i bir aım.5: M bir diferesiyelleebilir maifold ols. M üzeride bir ektör alaı diye X : M birebir örte U M () M olarak taımlaa X foksiyoa deir e M üzeride ektör alalarıı zayı χ (M) ile gösterilir (Hacısalihoğl 994). aım.6: E i bir hiperyüzeyi M χ (M) de M yüzeyi üzeride ektör alalarıı zayı ols. χ (M) χ ( E ) i bir alt zayıdır. χ ( E ) deki iç çarpım işlemie göre χ (M) i ortogoal komplemaı χ(m) ols. ye M i birim ormal ektör alaı deir (Hacısalihoğl 994). χ(m) i bir ortoormal bazı {N} ise N aım.7: M bir C maifold ols. M üstüde ektör alalarıı cümlesi χ (M) e reel değerli C foksiyoları halkası da C (M IR) olmak üzere : χ (M) x χ (M) C (M IR) foksiyo ) -lieer ) Simetrik ) X χ (M) içi X Y =0 Y=0 χ (M) özelliklerii sağlıyor ise M ye yarı-riema maifold deir (Hacısalihoğl 994). aım.8: M bir C maifold ols. M üstüde ektör alalarıı zayı χ (M) olmak üzere D : χ (M) x χ (M) χ (M) (XY) D(XY) = D X Y foksiyo içi

12 ) D fx + gyz= fdxz+ gd YZ X Y Z χ (M) f g C (MIR) ) D (fy) = fd Y (Xf ) Y X Y χ (M) f C (MIR) X X + özellikleri sağlaıyor ise D ye M maifold üzeride bir afi koeksiyo deir (Hacısalihoğl 994). aım.9: M bir yarı-riema maifold ols. D M üstüde afi koeksiyo olmak üzere D : χ (M) x χ (M) χ (M) [ ] : χ (M) x χ (M) χ (M) : χ (M) x χ (M) C (MIR) foksiyoları içi i) D C sııfıdadır. ii) M i bir A bölgesi üzeride C ola X Y χ (M) içi D X Y D Y X = [ X Y ] dir. iii) M i bir A bölgesi üzeride C ola X Y Z χ (M) e A içi X Y Z = D Y Z + X Y D Z dir. X Özellikleri sağlaıyor ise D koeksiyoa M üzeride bir Riema koeksiyo deir (Hacısalihoğl 994). aım.0: E i bir hiperyüzeyi M e M i birim ormal ektör alaı N ols. E de Riema koeksiyo D olmak üzere X χ (M) içi S(X) = D X N 4

13 şeklide taımlı S döüşümüe M üzeride şekil operatörü eya M i Weigarte döüşümü deir (Hicks 974). aım.: A : V V lieer döüşümü içi A( α ) = λ α α V λ R olacak şekilde bir α 0 r ektörü arsa λ reel sayısıa A ı bir karakteristik değeri e α ektörüe de A ı b λ karakteristik değerie karşılık gele karakteristik ektörü deir (Hacısalihoğl 98). aım.: Bir A: V V lieer döüşümüe bir A matrisi üzeride taımlaa A ( λ ) = det (A- λ I ) = a λ a λ + polioma A ı karakteristik poliom karakteristik deklemi deir (Hacısalihoğl 98). aım.: λ + a A R matrisi karşılık gelir. B A ( λ ) = 0 şeklideki dekleme de E de bir hiperyüzey M e M i şekil operatörü S ols. M i bir oktasıa karşılık gele S() i karakteristik değerleri M i b oktadaki asli eğrilikleri olarak adladırılır. Asli eğriliklere karşılık gele e karakteristik ektör dee ektörleri belirttiği doğrltlara da M i oktasıdaki asli eğrilik doğrltları deir (Hacısalihoğl 994). aım.4: S() olmak üzere E de bir hiperyüzey M ols. M i bir oktasıdaki şekil operatörü K : M IR K() = det S() biçimide taımlaa foksiyoa M i Gass eğrilik foksiyo e K() değerie de M i oktasıdaki Gass eğriliği (total eğrilik) deir (Hicks 974). aım.5: E de bir hiperyüzey M ols. M i bir oktasıdaki şekil operatörü S() olmak üzere 5

14 H : M IR H() = İz(S()) biçimide taımlaa foksiyoa M i ortalama eğrilik foksiyo e H() değerie de M i oktasıdaki ortalama eğriliği deir (Hicks 974). aım.6: E de bir hiperyüzey M e M üzeride bir eğri α ols. α ı teğet ektör alaı e M i şekil operatörü S ols. Eğer ektör alaı α eğrisi boyca S i karakteristik ektörlerie karşılık geliyorsa α eğrisie M üzeride bir eğrilik çizgisidir deir. Ba göre M üzerideki eğrilik çizgilerii diferesiyel deklemi λ 0 bir skalar olmak üzere S()= λ şeklidedir (Hacısalihoğl 994). aım.7: E i bir hiperyüzeyi M ols. M üzeride şekil operatörü S olmak üzere M hiperyüzeyi üzeride q-c temel form diye q olmak üzere I q : χ (M) x χ (M) C (MIR) (XY) I q (XY)= S q ( X ) Y şeklide taımlı I q foksiyoa deir (Hicks 974). Ba göre I. emel Form : I : χ (M) x χ (M) C (MIR) (XY) I(XY)= X Y II. emel Form : II : χ (M) x χ (M) C (MIR) 6

15 (XY) II(XY)= S (X) Y III. emel Form : III : χ (M) x χ (M) C (MIR) (XY) III(XY)= S (X) Y şeklidedir. Brada S (X) = S(S(X)) S =SoS dir. aım.8: X= ( x ) e Y= ( y... ) x... x zayıda iç çarpım aşağıdaki şekilde taımlaır: y IR olmak üzere oretz y < : IR x IR IR = i= (X Y) < X Y x i yi x y IR üzeride taımlaa b simetrik bilieer e odejeere metrik tesöre oretz metriği deir (O Neill 98). aım.9: < IR de oretz metriği ols.{ IR < } ikilisie boytl oretz zayı deir e ile gösterilir (O Neill 98). aım.0: X = ( ) x e X i orm = < X X x...x X ols. < X X < 0 ise X e time like ektör ; < X X = 0 ise X e ll ektör ; < X X 0 ise X e space like ektör deir ( O Neill 98). 7

16 aım.: boytl oretz zayı e X Y ols. < X Y = 0 ise X e Y ektörleri de birbirie ortogoaldir deir ( O Neill 98). aım.: X Y içi ektörel çarpım ş şekilde taımlaır: : x (X Y) X Y = e e e x y x y x y (sagas ad apatoio 988). aım.: ( r z ) düzlemide bir eğri r = r ( t ) 0 z = z ( t ) ile erilsi.eğer b eğri z-eksei etrafıda dödürülürse elde edile şekle döel yüzey adı erilir (Richard et al 977). 8

17 . ŞEKİ OERAÖRÜ (WEINGAREN DÖNÜŞÜMÜ) VE EME FORMARA İGİİ ÖKİD UZAYINDA YAIAN ÇAIŞMAAR. Şekil Operatörü e emel Formlarla İlgili eoremler eorem..: E i bir hiperyüzeyi M e M i şekil operatörü S ols. ) S : χ(m) ) S lieerdir. ) S simetriktir. χ (M) dir. İspat : ) M i birim ormal ektör alaı N ise N N = dir. Ba göre X χ (M) içi X[ N N ] = X[ ] X[ N N ] = 0 D X N N + N D N = 0 X S ( X ) N + N S( X ) = 0 S ( X ) N = 0 S ( X ) N = 0 S(X) χ (M) blr. Böylece S : χ(m) χ (M) dir. 9

18 ) X Y χ (M) a b IR içi S(aX+bY)=D ax+by N S(aX+bY)=aD X N+bD Y N S(aX+bY)=aS(X)+bS(Y) dir. B da S i lieer oldğ gösterir. ) S i simetrik oldğ göstermek yerie S matrisii self-adjoit oldğ göstermek yeterlidir. (V iç çarpım zayı olmak üzere A:V V lieer döüşümü x y V içi A(x) y = x A(y) öermesii doğrlarsa A döüşümüe simetrik (self-adjoit) döüşüm deir. ) Ba göre X Y χ (M) içi S(X) Y = XS(Y) oldğ gösterelim. X Y χ (M) oldğda X N + Y N = 0 yazılabilir. Brada 0

19 X N = 0 e Y N = 0 dır. E de D operatörü Riema koeksiyo oldğda Y[ X N ] = 0 eya X N + D Y X D Y N = 0 () e X[ N ] Y = 0 eya Y N + D X Y D X N = 0 () yazılabilir. () de () çıkartılırsa YD X N XD Y N + D XY N D YX N = 0 elde edilir. D X N = S(X) D Y N = S(Y) oldğda YS(X) XS(Y) + D X Y D YX N = 0 D bir Riema koeksiyo oldğda D X Y - X D Y =[ XY] χ (M) dır. O halde [ Y] N 0 X = blr. Brada Y S(X) XS(Y) = 0 yai Y S(X) = XS(Y) elde edilir. İç çarpımı simetri özelliğide

20 S (X)Y = XS(Y) olr. B da S i self-adjoit dolayısıyla da simetrik oldğ gösterir (Hacısalihoğl 994). Soç..: S döüşümüü matrisi simetriktir (Hacısalihoğl 994). eorem..: (Cayley-Hamilto teoremi) Her matris kedi karakteristik poliom bir sıfır yeridir (Hacısalihoğl 98). eorem..: E ü bir hiperyüzeyi M ols. M üzeride I. II. e III. temel formlar sırasıyla I II III e gass eğrilik foksiyo K ortalama eğrilik foksiyo H olmak üzere III H.II + K.I = 0 dır (Kühel 006). İspat: = içi boym = oldğda boy M ()= dir. O halde S : M () M () şekil operatörüü karakteristik poliom derecesi ikidir. Üstelik S i karakteristik değerleri ola k e k asli eğrilikleri b poliom birer sıfırı oldklarıda S i karakteristik poliom S ( λ )= λ (k + k )λ + (k.k ) şeklidedir. Cayley-Hamilto teoremie göre S b poliom sıfırıdır. Böylece S - (k + k )S + (k.k )I =0 yazabiliriz. Diğer tarafta X M () içi [S - (k + k )S + (k.k )I ](X ) = 0 (k + S(X ) + (k.k ) X = 0 S (X ) - k ) e Y M () içi S (X ) (k + k )S(X ) + (k.k )X Y = 0

21 S (X )Yp (k + k ) S(X )Y + (k.k ) X Y = 0 yazılabilir. Brada da III(X Y ) (k + k )II(X Y ) + (k.k )I(X Y ) = 0 blr. B da III - (k + k ) II + (k.k ) I= 0 demektir. K() = k.k H() = k + k değerleri yerlerie yazılırsa III H.II + K.I = 0 elde edilir.. E te Herhagi Bir Yüzey içi Weigarte Döüşümüü Matrisii Hesabı E te bir yüzey M ols. M i parametrik ifadesi () = (ϕ () ϕ () ϕ ()) ols. χ (M) i bir bazı {V V } ise S : χ (M) χ (M) V S(V ) = av + bv V S(V ) = cv + dv Brada karşımıza iki drm çıkar: () foksiyo ya göre türei ye göre türei olmak üzere; I. Hal: 0 e eğrilik çizgilerii yüzeyi parametre eğrileri olması hali = II. Hal: 0 eya 0 ama eğrilik çizgilerii yüzeyi parametre = eğrileri olmaması halidir. II. hali çeşitli yötemlerle I. hale çeirebiliriz.o halde I. hali gözöüe alalım.

22 I. Hal: = 0 oldğda { } Normlarsak sistemi ( M) χ içi bir ortogoal bazdır. V = V = { V } sistemi ( M) V alaı χ içi bir ortoormal baz olr. M yüzeyii birim ormal ektör N = V Λ V = Λ. O halde S (V ) = D V N S (V ) = D N S (V ) = D N S(V ) = dn d...(.) dn Şimdi y hesaplayalım : d 4

23 dn = + d...(.) Şimdi yi hesaplayalım: =λ + λ + λ N....(.) Brada λ λ eλ değerlerii blalım. = λ λ =...(.4) = λ λ =...(.5) λ = N....(.6) (.6 ) da N değerii yerie koyalım. λ = Λ eya λ = det ( )...(.7) Şimdi (.) de (.4) (.5) (.6) e (.7) değerlerii yerlerie koyalım. 5

24 + = + det ( ) N...(.8) blr. = oldğda = µ +µ + N...(.9) µ brada µ µ eµ değerlerii blalım. = µ µ =...(.0) = µ µ =...(.) µ = N....(.) (. ) de N değerii yerie koyalım: µ = Λ eya µ = det ( )...(.) 6

25 Şimdi (.9) da (.0) (.) e (.) değerlerii yerlerie koyalım. = + + det ( )N...(.4) blr. =ν + ν + ν N...(.5) brada ν ν eν değerlerii blalım: =ν ν =...(.6) = ν ν =...(.7) ν = N....(.8) (.8) de N değerii yerie koyalım: ν = Λ eya ν = det ( )...(.9) 7

26 Şimdi (.5) de (.6) (.7) e (.9) değerlerii yererie koyalım. = + + det ( )N...(.0) blr. Şimdi (.) de (.8) e (.4) değerlerii yerlerie koyalım. dn = d Λ + Λ + det ( )N Λ + Λ + Λ + det ( ) N Λ - Λ - Λ Gerekli kısaltmalar yapılıca : dn = - d det ( ) - det ( )...(.) 8

27 Şimdi (.) de (.) değerii yerie koyalım : S (V ) = - 4 det ( ) - det ( ) eya S (V ) = - det ( )V - det ( )V blr. Şimdi bezer biçimde S(V ) yi hesaplayalım : S(V ) = D V N S(V ) = D N S(V ) = D N S(V ) = dn d...(.) dn O halde yi hesaplayalım: d 9

28 dn = d Λ + Λ - Λ - Λ.... (.) Şimdi (.) de (.4) e (.0) değerlerii yerlerie koyalım dn = d Λ + Λ + det ( ) N Λ + Λ + Λ + det ( ) Λ N - Λ Λ - e gerekli kısaltmalar yapılırsa dn = - d det ( ) - det ( )....(.4) 0

29 Şimdi (.) de (.4) değerii yerie koyalım. S (V ) = - det ( ) - 4 det ( ) eya S (V ) = - det ( ) V - det ( ) V blr. S (V ) = av + bv S (V ) = cv + dv Oldğda av + bv = - det ( ) V - det ( ) V cv + dv = - det ( ) V

30 - det ( ) V olr. B taktirde a = - ) ( det b = - ) ( det c = - ) ( det d = - ) ( det elde edilir. S = d c b a S = ) det( ) det( ) det( ) ( det -...(.5) blr. Diğer tarafta I.hale göre yüzeyi parametre eğrileri eğrilik çizgileri ise: Eğrilik çizgisi taımıda

31 S( ) = λ eya S(V ) = λ 'V S( ) = µ eya S(V ) = µ ' V olacaktır. Ba gore S(V ) i ifadesideki V i katsayısı e S(V ) de V i katsayısı 0 olacaktır. B da det ( ' ) = 0 olmasıı gerektirir. Böylece b = c = 0 olacaktır. O halde I. haldeki yüzeyler içi Weigarte döüşümüü matrisi ş şekildedir: S = det ( 0 ) 0 det (...(.6) ) (Sağel 979). II. Hal : Yüzeyi eğrilik çizgileri parametre eğrileri değil ise : () ( ) biçimide bir parametre değişimi yapmak sretiyle () parametrelerie göre eğrilik çizgisi olmaya parametre eğrileri bırakılarak ( ) yei parametreler esas alıır öyle ki ( ) parametrelerie göre eğrilik çizgileri parametre eğrileri olrlar. B drmda I. haldeki S matrisi doğrda doğrya alıabilir. Fakat çoğ zama () ( ) döüşümü yüzeyi deklemii karışık ifadelere getireceği içi gerekli türeleri hesaplamak zorlk arzeder. B edele (.5) i yglarsak daha yararlı olr (Sağel 979).

32 Örek..: : E () E () = (coscos cossi a) biçimide erile M yüzeyii Weigarte döüşümüü matrisii hesaplayalım. ()= ( cos cos cos si a) ya e ye göre türelerii alalım. = ( si cos si si a) ( ) = cos si cos cos 0 ols. = 0 oldğda { } sistemi χ (M) içi ortogoal bir bazdır. Normlarsak V = = a + si ( si cos si si a) V = = ( si cos 0) {V V } sistemi χ (M) içi bir ortoomal baz olr. M yüzeyii birim ormal ektörü N= V V N= ( a cos a si si ) a + si dir. 4

33 S(V )= D V N S(V )= D V N dir. oldğda M üzerideki = sabit parametre eğrisii yay zlğ değildir b yay zlğ s ile gösterirsek S(V )= D V N = dn = ds dn d d ds dir. Brada = sabit parametre eğrisii : I M ile gösterirsek d d d V = = ds d ds olr. Brada ormlayarak = V = = s d ds eya d = ds blr. O halde 5

34 S(V )= dn d olr. Bezer şekilde S(V )= dn d blr. Ba göre a cos S(V )= ( si cos si si a) 5 / (a + si ) S(V )= (a a cos + si ) 5 / a cos S(V )= V / (a + si ) olr. Bezer şekilde a S(V )= V cos a + si blr. Böylece (a S = a cos + si 0 ) / cos a 0 a + si blr. Şimdi de Bölüm. de elde edile yötemle şekil operatörüü hesaplayalım. () = (coscos cossi a) i ya e ye göre türelerii alalım. 6

35 =(-sicos -sisi a) =(-cossi coscos 0) = 0 = (sisi -sicos 0) det( ) = 0 oldğda matris hesabıda. drm sözkosdr. e yi hesaplayalım. = (-coscos -cossi 0) = (-coscos -cossi 0) det ( ) = cos cos si cos cos si cos si si si cos cos 0 a 0 = acos Brada = oldğda det ( ) = det ( ) = acos = a + si = ( ) a + si = cos = cos Şimdi bldğmz değerleri Weigarte döüşümüü matriside yerie yazalım: 7

36 S = a cos ( a + si ) 0 cos a 0 a + si blr.. Gass Döüşümü e Gass Eğriliği ile Şekil Operatörü Arasıdaki İlişki E de bir hiperyüzey M e bir (-) hiperküre S - olmak üzere η : M S - E η() = N () = ( N ) = a i () x i= i biçimide taımlaa e M yi E döüşümüü ele alırsak deki S - birim hiperküresie resmede Gass S η *: M () lieer döüşümü içi η * =S() ( η()) oldğ biliyorz. Ayrıca M deki lieer bağımsız ={X X X - } sistemi içi det ( η * (X ) η * (X ) η * (X - ))=det η *. det(x X X - ) dir. Brada det η * = dets() = K() dir. M i deki hiperhacim elemeti (ala elemeti) dv = det(x X X - ) e 8

37 S - i η() oktasıdaki hiperhacim elemeti d V = det( η * ( X ) η *(X ) η * ( X - )) olmak üzere d V =K(). dv eya K()= dv dv = hiperküresel ala elemeti hiperyüzeyi ala elemeti blr (Hacısalihoğl 994). Soç..: E deki bir M hiperyüzeyii bir oktasıdaki Gass eğriliği M i küresel resmii η() deki hiperala elemetii deki hiperala elemetie oraıdır..4 E de Bazı Özel Yüzeyler İçi Şekil Operatörü emel Formlar K e H Foksiyoları.4. Hiperdüzlemler içi şekil operatörü temel formlar K e H foksiyoları aım.4..: E boytl Öklid zayıı (-) boytl bir hiperdüzlemi M ols. M= x x ( x x... x ) = f (x) = a ix i b = 0 f 0 i= dir e E deki bir okta cümlesidir. M üzeride birim ormal ektör alaı N ise a a a C (M IR) e a i = sabit olmak üzere N= (a a a ) = a i i= x i yazılabilir (Hacısalihoğl 994). Hiperdüzlem içi Şekil Operatörü: X χ(m) içi S(X) = D X N 9

38 = X [ a i ] i= x i S(X) = 0 S = 0 dır. O halde ş soç yazılabilir: Soç.4..: E boytl Öklid zayıı her bir hiperdüzlemii Weigarte döüşümü sıfır döüşümüdür (Hacısalihoğl 994). Hiperdüzlem içi emel Formlar: S 0 oldğda k 0 olmak üzere k IN içi S k (X) Y = 0 Y = 0 olacaktır. Ba göre ş soç yazılabilir. Soç.4..: E boytl Öklid zayıı (-) boytl bir hiperdüzlemi üzeride birici temel form hariç diğer bütü temel formlar sigülerdir yai (0) dır (Hacısalihoğl 994). Hiperdüzlem İçi K e H Eğrilik Foksiyoları: S 0 oldğda M i bütü oktalarıda S i karakteristik değerleri k k birer 0 reel sayısıda ibaret olacaktır. B edele M üzeride her okta içi; K = k k = H = k + k = 0 olr. Soç.4..: E boytl Öklid zayıı (-) boytl bir hiperdüzlemii bütü oktalarıda K total eğriliği H ortalama eğriliği e dolayısıyla bütü diğer eğrilikler özdeş olarak sıfırdır (Hacısalihoğl 994)..4. Hiperküre içi şekil operatörü temel formlar K e H foksiyoları aım.4..: E boytl Öklid zayıda 0

39 S r = { x = ( x... x ) f (x) = x i = r f 0 r IR r = sabit i= } okta cümlesie bir (-) boytl hiperküre eya kısaca (-) küre deir. Brada r hiperkürei yarı çapıı göstermektedir. = ( ) S r O zama e N de S r i dış birim ormal ektör alaı ols. N = r İ= i x i dir (Hacısalihoğl 994). Hiperküre İçi Şekil Operatörü : S r i küresel döüşümüü gözöüe alacağız. η : S r S η () = (... ) r r idi. Şimdi η döüşümüü hesaplayalım. S r {... } x ols. x üzeride bir lokal koordiat komşlğ η ( x ) i tajat ektörüü blacağız. ( η ( x i ) ) (x j ) = (x oη) j x i η () i j = ( x j) r x i η ()

40 = r x i η () (x j ). İki foksiyo eşitliği taımıda η ( x i ) = r x η i () i X χ (S r ) η (X)= X r Diğer tarafta S(X)= η (X) dır. O halde X χ (S ) S(X)= X r r yazılabilir. Böylece S= I r elde edilir (Hacısalihoğl 994). Hiperküre İçi emel Formlar: k S= I S = I k r r ( k ) I + = I r k dır. Eğer (-) kürei yarıçapı r = alıırsa bütü temel formlar birici temel forma eşit olr. Herhagi r IR içi k-ıcı temel form olarak (ki) (XY) = r k X Y

41 yazılabilir (Hacısalihoğl 994). Hiperküre İçi K e H Eğrilik Foksiyoları: S= I oldğda S i karakteristik değerleri ola k r i foksiyoları içi i k i = i r yazılabilir. Dolayısıyla K= i= k = r i ( ) H= k i i= = r dir (Hacısalihoğl 994). Soç.4..: boytl Öklid zayıı bir (-) küresi üzerideki bütü oktalarda total eğrilik K= e ortalama eğrilik H= ) r r ( dir (Hacısalihoğl 994)..4. Hipersilidir içi şekil operatörü temel formlar K e H foksiyoları aım.4..: E boytl Öklid zayıda bir (-) boytl hipersilidir x i= C= {( x x... x ) x i IR i } biçimide bir okta cümlesidir. B silidir içi kısaca bir (-) silidir de deir. C (-) silidirii dış ormallerii C üzerideki birim ormal ektör alaı olarak düşüebiliriz. Ba göre = (p p ) C içi N =(p p p 0) i =

42 şeklide taımlı N ektör alaı C i birim ormal ektör alaıdır. Üstelik N e = 0 dır (Hacısalihoğl 994). (-) Silidir İçi Şekil Operatörü: E i { x... } x Öklid koordiat sistemii gözöüe alalım. B sisteme göre C x silidiri ykarıda taımladığı gibi ols. O zama C i birim ormal ektör alaı N= i= x i x i şeklidedir. Şimdi χ(c) i bir bazıda S i alacağı değerleri blacağız. Silidiri eksei e dir. Halbki = oldğda χ(c) x x S( ) x = D x N S( ) x i i= x x i = [ x ] S( ) x = x i. i= x x i S = ( ) =0 dir. x x B baz sistemii (-) boytl ektör zayı ola χ (C) i bir bazıa tamamlayalım. 4

43 x x x...x ols. Diğer tarafta X k = ξ kj j= x j şeklidedir. Halbki S(X k ) = D X k N oldğda S(X k ) = i= X [ x ] k i x i S(X ) k = i= ( j= x. i ξ kj) x j x i X = = S ( ) k j ξ kj x j S ( X k ) = X k olr. O halde χ(c) i x x x...x bazı içi S x = 0 S ( ) k X = X k k elde edilir. Geometrik açıda {... } x sistemii ş şekilde yormlayabiliriz: x 5

44 x i IR x i = i= C= ( x...x x ) silidiride = (... ) C oktası içi ilk (-) tae bileşei kareleri toplamı dir. O halde -yici bileşei her keyfi e sabit değeri içi E i (-) hiperküresi elde edilir. Diğer tarafta b küre S ile gösterilirse χ (S ) ile x i ortogoal e χ(s ) χ( C) olacağı açıktır. O halde S {... x } x = χ (S ) olacaktır. Daha açık olarak C i x ye dik her bir (-) hiperdüzlemi ile arakesiti ola (-) kürei ektör alalarıı ektör zayı S {... x } p x dir. Böylece = x x...x bazıa göre S i matrisi de 0 = 0 0 I dir (Hacısalihoğl 994). Silidiri Üzeride emel Formlar: S = I 6

45 oldğ gözöüe alıırsa k IN k 0 içi S k = S e k = 0 içi S 0 = I elde edilir. Ba göre ş soç yazılabilir: Soç.4..: boytl Öklid zayıı bir (-) hipersilidirii birici temel form hariç diğer bütü temel formları ikici temel forma eşittir (Hacısalihoğl 994). Silidiri Ke H Eğrilik Foksiyoları: S = I oldğda S i karakteristik değerleri k = 0 k = k = k = e K = dets = dets = 0 H = izs = izs = (-) dir. Böylece ş soç yazılabilir: Soç.4..: M boytl Öklid zayıda bir (-) hipersilidiri bütü oktalarıda total eğrilik K = 0 e ortalama eğrilik H = (-) dir (Hacısalihoğl 994). 7

46 .4.4 Döel yüzeyler içi şekil operatörü K e H foksiyoları E de bir açık aralık A e : A E ( ) ( ) = ( f ( ) g ( ) h ( ) ) foksiyolardır. e brada f g h reel değerli ( f g h ) = f f = g = g h = h = (f g h ) = (f g h ) = (f g h ) yazabiliriz. Brada = ( A ) üzerideki parametreli eğrilere diktir. Kabl edelim ki x 0 ols. Böylece A da E e bir immersiyoolr. N = x W W = x V 0 ols. N ye bağlı S Weigarte döüşümüü hesaplamak içi S ( ) D N = N = oldğda < S ( ) = < N = < N dir. 8

47 Bezer biçimde < S ( i ) j = - < ij N i e j ye bağlı olarak blr. Eğer e ortogoal ise < K = N < < N < < N e H = < N < + < < N (Hicks 974). 9

48 4. ŞEKİ OERAÖRÜ (WEINGAREN DÖNÜŞÜMÜ) VE EME FORMARA İGİİ ORENZ UZAYINDA YAIAN ÇAIŞMAAR 4. oretz Uzayıda Döel Yüzeyi Weigarte Döüşümüü Matrisii Hesabı ile Gass e Ortalama Eğriliklerii Hesaplaması B bölümde amacımız Bölüm.4.4 de erile döel yüzeyleri Weigarte döüşümüü matrisii hesabıı oretz zayı içi geişletmektir. M de bir açık aralık ols e : M ( ) ( ) = ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) M reel değerli foksiyolar olmak üzere ) ( ) = = = = ( ) = ( ) = ( ) = yazabiliriz. = ( M) üzerideki parametreli eğrilere dik oldğa dikkat ediiz. Kabl edelim ki 0 ols. Böylece M de e bir immersiyo olr. N = V ( 0içi) ols. 40

49 N ye bağlı S Weigarte döüşümüü hesaplayalım: S ( ) D N = N U = oldğ biliyorz. < S ( ) =< N (4.) < N = 0 < N =< N + < N = 0 < N = < N (4.) Brada; N < S ( ) = < Bezer olarak; = < N < S ( ) = < N < S ( ) < S ( ) = < N = < N. e i ortogoal olması drmda e S( ) = a + b S( ) = c + d (4.) ike a b c e d yi blmaya çalışalım. (4.) eşitliğide = < 4

50 =< = 0 değerlerii alabilir. i) < S ( ) = a < = ± a a = < S( ± = < ) < N m ii) < S ( ) = b < = ± b b = < S ( ) ± = < N m = c < = ± c iii) < S ( ) c = < S ( ) ± = < N m i) < S ( ) = d < = ± d d = < S ( ) ± = < N m a b c e d katsayılarıı Weigarte döüşümüü matriside yerie yazarsak < N m S = < N m < N m < N m 4

51 Weigarte döüşümüü matrisii kllaarak oretz zayıı Gass e Ortalama eğriliklerii hesaplayalım. K = det S K = m < N < N < N H = iz S H = m < N < N + (Sağel 998). 4. oretz Uzayıda emel Formlar ile Döel Yüzeyi Ortalama Eğriliği Arasıdaki Bağıtı eorem 4..: oretz zayıda temel formlar ile döel yüzeyleri ortalama eğrilikleri arasıda H = m III(X II(X p p Y Y p p ) ) bağıtısı ardır. İspat: oretz zayıdaki döel yüzeyi S şekil operatörüü karakteristik poliom ( λ) = det(s λi ) ols. S ( λ) = λ ± S < N < N + λ m < N < N < N 4

52 44 0 ) ( = < < < < + < ± = S N N N S N N S S m oldğda (Cayley-Hamilto eoremi) () Y X M p p içi 0 Y X Y S(X ) Y ) (X S p p p p p p = < < < < < < + < ± < N N N N N m emel form taımıda I(X p Y p ) = < X p Y p = 0 (X p Y p ) M ( ) II(X p Y p ) = < S(X p ) Y p III(X p Y p ) = < S (X p ) Y p O halde III(X p Y p ) < + < ± N N II ( ) p Y X p = 0

53 < N < N + = m III(X II(X p p Y Y p p ) ) III(X p Yp ) H = = m (Sağel 00). II(X Y ) p p 45

54 KAYNAKAR Hacısalihoğl H. H. 994 Diferesiyel Geometri. II. Cilt. Akara Üiersitesi Fe Fakültesi Yayıei 9 Akara Hacısalihoğl H. H. 98. ieer Cebir. Fırat Üiersitesi Fe Fakültesi Yayıları No: Elazığ Hicks N. J Notes o Differetial Geometry. Va Nostrad Reihold Compay odo Kühel W Differetial geometry: cres-srfaces-maifolds (traslated by Brce Ht). roidece R. I. : America Mathematical Society 80 New York Richard S. M. arker G. D Elemets of Differatial Geometry. retice-hall Ic. Egelwood Cliffs New Jersey Sağel M. K Weigarte Döüşümü e Yüzeyleri Diferesiyel Geometrisi. Yüksek isas ezi Dicle Üiersitesi Diyarbakır Sağel M. K O the cratre of srface of reoltio i oretz Space. Bll. Call. Math. Soc: Sağel M. K. 00. he Relatioships betwee the fdametal forms with the mea cratre of a srfaces of reoltio i the oretz Space. Joral of Is. Of Math & Comp. Sci. (Math. Ser.) Vol: 5 No: -5 sagas G. aratoio B O the Rectiliear cogreces of oretz Maifold establishig a area preserig represetatio. esor N. S. Vol: 47. pp

55 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Mere BAYSA Doğm Yeri : İstabl Doğm arihi : 07//980 Medei Hali : Bekar Eğitim Drm ise : Maçka Aadol ekik isesi ( ) isas : İstabl Üiersitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü (998-00) Yüksek isas :Akara Üiersitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı ( ) 47