İçindekiler Geometri Nedir? v ölüm 1. GEOMETRİK KVRMLR 1 1. NOKT, OĞRU, OĞRU PRÇSI VE IŞIN 2 2. ÜZLEM ve İLGİLİ KSİYOMLR 5 ölüm 2. ÇILR 9 1. ÇILRL İLGİLİ GENEL KVRMLR 9 2. PRLEL İKİ OĞRUNUN İR KESENLE YPTIĞI ÇILR 12 3. KENRLRI PRLEL OLN ÇI ÇİFTLERİ 14 4. KENRLRI İRİRİNE İK OLN ÇI ÇİFTLERİ 16 ölüm 3. ÜÇGENLER 19 1. ÜÇGENLE İLGİLİ TEMEL KVRNLR 19 1.1. Üçgenle İlgili Tanımlar: 19 1.2. Kenarlarına Göre Üçgen Çeşitleri 20 1.3. çılarına Göre Üçgen Çeşitleri 20 1.4. Üçgende Yardımcı Elemanlar 21 2. ÜÇGENE ÇILR 22 2.1. Üçgende Kenarlar ile çılar rasındaki ağıntılar 24 3. ÜÇGENLERE EŞLİK KVRMI 26 3.1. Üçgenlerde Eşlik ksiyomları 26 4. ÜÇGENLERE ENZERLİK KVRMI 31 5. ÜÇGENLERE ÇIORTY TEOREMLERİ 34 6. ÜÇGENLERE ENZERLİK TEOREMLERİ 36 i
ii İÇINEKILER 7. OĞRU PRÇLRININ UZUNLUKLRI RSINKİ ORN VE ORNTI 39 8. İK ÜÇGENLERE METRİK ĞINTILR 44 ölüm 4. ÖRTGENLER 49 1. ÖRTGEN ÇEŞİTLERİ VE ÖZELİKLERİ 50 1.1. Yamuk 51 1.2. İkizkenar Yamuk 53 1.3. Paralelkenar 54 1.4. Eşkenar örtgen 55 1.5. ıkdörtgen 55 1.6. Kare 56 1.7. eltoid 57 2. ÇOKGENLER 58 2.1. işbükey ve İçbükey Çokgenler 58 2.2. üzgün Çokgenler 59 ölüm 5. ÇEMERLER 63 1. ÇEMERLE İLGİLİ KVRMLR 63 2. ÇEMERİN ÜZLEME YIRIĞI ÖLGELER 64 3. İR OĞRU İLE İR ÇEMERİN İRİRİNE GÖRE KONUMLRI 65 4. İKİ ÇEMERİN İRİRİNE GÖRE KONUMLRI 66 4.1. Kesişmeme urumu 66 4.2. Teğet Olma urumu 67 4.3. Kesişme urumu 67 5. ÇEMERE YYLR VE ÇILR 68 5.1. Merkez çı 68 5.2. Çevre çı 69 5.3. Teğet-Kiriş çı 71 5.4. İç çı 71
İÇINEKILER iii 5.5. ış çı 72 6. ÇEMERE YY ve TEĞET PRÇLRI UZUNLUĞU HESI 73 6.1. Çemberde yay parçası uzunluğu 73 6.2. Çemberde teğet parçası uzunluğu 74 6.3. İki çemberin ortak teğetleri 75 7. KUVVET, KUVVET EKSENİ ve KUVVET MERKEZİ 77 7.1. ir Noktanın ir Çembere Göre Kuvveti 77 7.2. İki Çemberin Kuvvet Ekseni 79 7.3. Kuvvet Merkezi 81 8. ÇOKGENLER ve ÇEMERLER 83 8.1. Üçgen ve Çember 83 8.2. örtgenler ve Çemberler 85 9. GEOMETRİK YER KVRMI ve ELİRLENMESİ 86 ölüm 6. LN HESI 90 1. ÇOKGENSEL ÖLGELERİN LNI 91 1.1. Karenin lanı 91 1.2. ikdörtgenin lanı 91 1.3. ik Üçgenin lanı 92 1.4. Üçgenin lanı 92 1.5. Paralel Kenarın lanı 94 1.6. Yamuğun lanı 94 1.7. eltoidin lanı 95 1.8. üzgün Çokgenlerin lanı 95 2. İRESEL ÖLGELERİN LNI 97 2.1. airenin lanı 97 2.2. aire iliminin lanı 97 2.3. aire Parçasının lanı 98 2.4. Halkanın lanı 99
iv İÇINEKILER ölüm 7. KTI İSİMLERİN LN ve HİM HESPLRI 101 1. PRİZMLR 101 2. PİRMİTLER 105 3. SİLİNİR 111 4. KONİ 113 4.1. Koni Çeşitleri 114 5. KÜRE 117 5.1. Kürenin elirlenmesi 117 5.2. Kürenin lan ve Hacminin Hesaplanması 118 5.3. Küreden Elde Edilen Kavramlar 122 Index 131
Geometri Nedir? Geometri Yunanca geo (yer) ve metri (ölçü) anlamına gelen, düzgün şekillerin ve cisimlerin özeliklerini ve aralarındaki ilişkileri inceleyen bilim dalıdır. Kullanılan aksiyomlara göre isimler alan değişik geometriler vardır. iz bu derste paralellik bağıntısı üzerine kurulan ve Öklid Geometrisi olarak bilinen düzlemsel konuları ele alacağız. Geometri düşünmeyi kolaylaştıran ve problemi şekille gözünde canlandıra rak çözüme ulaşmayı sağlayan bir bilim dalıdır. Günlük hayatta insanların çözmek zorunda kaldığı basit problemlerin pek çoğunun çözümü temel geometrik beceriler gerektirir. Geometri aynı zamanda bireyin yaşadığı dünyayı algılamasında ve diğer matematik konularına bakış açısında bir köprü rolü oynar. Çünkü matematik öğretiminde soyut olan bazı kavramların somutlaştırılarak sunulması gerekliliği, yarı-somut olarak adlandırabileceğimiz geometrik yapıların bu süreçte ne derece önemli olduğunu göstermektedir. u kitap, eğitim fakülteleri ilköğretim bölümü matematik öğretmenliği öğrencilerine, yani matematik öğretmeni olmaya meyletmiş öğretmen adaylarına ilk ve orta öğretimde öğrendikleri geometri konularını bir başkasına öğretebilecek şekilde ele alarak, bilinen bazı teorem ve önermelerin neden ve niçinler üzerinde durularak kavramların anlamları ile birlikte öğrenilmesini sağlamaktır. unun gerçekleştirilebilmesi için kavramların öğretilmesinde aşağıdaki adımlar takip edilecektir. 1) Önermenin sözel ifadesinin verilmesi, 2) Sözel olarak ifade edilen önermelere ait geometrik şeklin çizilmesi 3) Önermenin çizilen şekle göre matematiksel ifadesinin yazılması v
vi GEOMETRI NEIR? 4) u matematiksel ifadenin yine matematiksel olarak ispatlanması 5) İspatlanan bu önermenin ilgili bütün kavramlar için geçerli olduğunun görülmesi. Hz.Mevlana Ne kadar bilirsen bil, söylediklerin karşındakinin anlayabildiği kadardır derken özellikle biz öğretmenler için bilmenin gerek şart olduğu ancak yeterli olmağını, bilginin karşımızdakine aktarılmasının da önemini vurgulamıştır. Gösterilen tüm özene kaşın kitapta yazım hataları ve matematiksel hatalar bulunabilir. u konuda hertürlü eleştiri ve önerisi olan herkese saygı ile karşılarım. Öğrencilerime faydalı olması dileklerimle... oç.r.recep SLNER Malatya, 2007
ÖLÜM 1 GEOMETRİK KVRMLR Tanımsız Kavramlar, Teorem, İspat ve ksiyom. ir konuyla ilgili özel ve belirli bir anlamı olan sözcüklere terim denir. ir şeyin nitelikleri hakkındaki genel ifadelere ise kavram denir. nlamı görsel veya sezgisel olarak bilinen, tanımlamaya gerek duyulmayan kavramlara tanımsız kavram denir. Mesela nokta, doğru, küme vb gibi kavramlar birer tanısız kavramdır. u kavramların anlamları tanımlanmış terimler yardımıyla açıklanabilir. Mesela, nokta sivri uçlu bir kalemin kağıt üzerinde veya tebeşirin tahtada braktığı iz nokta hakkında bir fikir verir fakat bu açıklama matematiksel bir tanım değildir. oğru yada yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p, q, r gibi küçük harflerle gösterilir. oğruluğu hemen anlaşılamayan, ispat gerektiren önermelere teorem denir. p ve q birer önerme olmak üzere p q biçiminde ifade edilen şartlı önermeler birer teoremdir. u şartlı önerme p ise q veya p gerektirir q diye okunur. azen bir teorem p q biçiminde de ifade edilir. öyle teoremlere çift taraflı teoremler denir. p q bileşik önermesinde p önermesine hipotez q önermesine hüküm adı vrilir. ir teoremin hipotezi doğru iken hükmünün de doğru olduğunun gösterilmesine, o teoremin ispatı denir. İspatına gerek duyulmadan doğruluğu anlaşılan önermelere aksiyom denir. Her geometrinin temel aksiyomları vardır. Öklid çalışmaların tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için, apaçık gerçekler olarak düşünülen beş aksiyom ortaya koyar ve diğer bütün önermeleri (teoremleri) bu aksiyomlardan çıkarır. unlar; 1) İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer. 2) ir doğru parçası iki yöne sınırsız bir şekilde uzatılabilir. 1
2 1. GEOMETRİK KVRMLR 3) Merkezi ve üzerinde bir noktası verilen çember çizilebilir. 4) ütün dik açılar eşittir. 5) ir doğruya dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir paralel çizilebilir. 1. NOKT, OĞRU, OĞRU PRÇSI VE IŞIN Nokta, tanımsız bir kavramdır. Noktalar alfabenin büyük harfleri ile adlandırılır ( ), noktası gibi. ir kalemin sivri ucu kağıt üzerinde gezdirildiğinde meydana gelen geometrik şekil bir noktalar kümesi olup bu şekle çizgi denir. eğri çizgi kırık çizgi düz çizgi Şekil 1. Çizgi Geometride çizgiler kalınlığı olmayan yalnız uzunluk olarak ele alınan tek boyutlu kavramlardır. aşlangıç ve bitiş noktaları belli olmayan (sonsuzda kabul edilen ) düz çizgilere doğru denir. doğrular d, k, l, m,... gibi küçük d harflerle gösterilir. Şekil 2. oğru Farklı iki noktası ve olan doğru doğrusu diye ifade edilir. d Şekil 3. İki noktası belli olan doğru ir doğrunun en az iki farklı noktası vardır. ir doğru üzerinde ikiden daha fazla nokta alınırsa bu noktalara doğrudaş (doğrusal) noktalar denir.
1. NOKT, OĞRU, OĞRU PRÇSI VE IŞIN 3 Şekil 4. oğrudaş noktalar d Şekle göre * d = doğrusu, *,, d olduğundan,, noktaları doğrudaştır * noktası ile arasındadır, * d olduğundan,, noktaları doğrudaş değildir. ksiyom 1.1. Farklı iki nokta bir tek doğru belirtir. Tanım 1.1. ir doğrunun ve gibi farklı iki noktası ve bu noktalar arasındaki noktaların kümesine doğru parçası denir ve [] ile gösterilir. d o o [] () Şekil 5. oğru parçası ve noktalarına doğru parçasının uç noktaları, uç noktaları dışındaki noktalara da iç noktaları denir. İç noktaların kümesi () ile gösterilir. Tanım 1.2. ir doğru üzerindeki bir noktası ile bu noktanın aynı tarafında bulunan noktaların kümesine, başlangıç noktası olan bir ışın denir ve [X ile gösterilir. ynı doğrultuda fakat zıt yöndeki ışınlara zıt ışınlar denir.
4 1. GEOMETRİK KVRMLR X d X [X [ ve [ ışınları zıt ışınlardır. Şekil 6. Işın Tanım 1.3. ir [] doğru parçasının uzunluğuna, ve noktaları arasındaki uzaklık denir ve ile gösterilir. Uzunlukları eşit olan doğru parçalarına eş tir denir ve bu durum ( =) sembolü ile gösterilir. [] ve [] iki doğru parçası olmak üzre; = [] = [] ksiyom 1.2. Her doğru parçası kendisine eştir. Uzayda farklı iki noktadan bir doğru geçer aksiyomuna göre O ve farklı iki nokta olmak üzere bu iki noktadan geçen doğruyu d ile gösterelim P x O 0 + 1 P x d R Şekil 7. Sayı doğrusu O d noktasına karşılık 0 R sayısını, d noktasına karşılık 1 R sayısını alalım ve O = 1 birim diyelim. 0 dan itibaren 1 in bulunduğu tarafa pozitif (+) yön, diğer tarafa negatif (-) yön olarak alırsak x R sayısı, d doğrusu üzerinde O noktasına uzaklığı x kadar olan bir P noktasına karşılık gelir, burada x > 0 olması, P noktasının d nin (+) yölü parçasında, x < 0 olması ise P noktası d nin (-) yönlü parçasında olması anlamındadır. öylece elde edilen x R için OP = x olacak şekilde bir tek P d vardır
2. ÜZLEM VE İLGİLİ KSİYOMLR 5 önermesine Geometrinin Temel İlkesi, d doğrusuna da sayı doğrusu denir. Eğer bir sayı doğrusu üzerindeki noktasına karşılık gelen reel sayı a ise a sayısına noktasının koordinatı denir ve bu durum (a) ile gösterilir. Tanım 1.4. ir d doğrunun üç noktası, ve için + = ise noktası ile arasındadır denir ve bu durum () d ile gösterilir. ksiyom 1.3. Farklı ve doğrudaş üç noktadan yalnız biri, diğer ikisinin arasındadır. Eğer () d ve = ise noktasına [] doğru parçasının orta noktası denir, orta noktanın koordinatı b = a + c dir. 2 2. ÜZLEM ve İLGİLİ KSİYOMLR Nasıl ki bir doğru noktalardan oluşuyorsa bir düzlem de üzerinde bulunan nokta ve doğrulardan oluşur. ir doğruyu tanımak için en az iki noktaya ihtiyaç olduğu gibi bir düzlemi tanımak için de en az bir doğru ve bu doğru üzerinde olmayan bir noktaya ihtiyaç vardır. iğer bir ifade ile bir düzlemi tanımak için doğrudaş olmayan en az üç noktaya ihtiyaç vardır. üzlemde, en ve boy olmak üzere iki boyut vardır. üzlem geometrik olarak bir paralel kenarla gösterilir ve sol alt köşesine yazılan, E, veya P gibi büyük harflerle ifade edilir. Tanım 1.5. ir noktalar kümesinin tüm noktaları, bir doğruya ait ise bu noktalara doğrusal, bir düzleme ait ise bu noktalara düzlemsel noktalar denir.
6 1. GEOMETRİK KVRMLR Örnek 2.1. şağıdaki şekilde E,, noktaları doğrudaş,,, noktaları düzlemseldir. öylece doğru ve düzlemle ilgili aşağıdaki aksiyomları ifade edebiliriz: ksiyom 1.4. Her hangi üç noktadan en az bir düzlem geçer. ksiyom 1.5. oğrusal olmayan üç noktadan bir ve yalnız bir düzlem geçer. ksiyom 1.6. Farklı iki nokta bir düzlemin elemanı ise bu iki noktadan geçen doğru, o düzlemin içindedir. ksiyom 1.7. üzlemin doğrusal olmayan en az üç noktası vardır. Teorem 1.1. ir düzlemde yatan farklı iki doğrunun en fazla bir ortak noktası vardır. İspat: d 1 ve d 2 bir düzleminde yatan farklı iki doğru ve d 1 d2 = {, } olsun. u durumda ksiyon 1.1 gereğince = d = d 1 = d 2 olmalıdır. Halbuki d 1 d 2 = dir, yani d 1 d2 = {}. d d 1 d 2 u teoremden aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz.
2. ÜZLEM VE İLGİLİ KSİYOMLR 7 Sonuç 1.1. ynı düzlemde yatan iki doğru için birden fazla ortak nokta varsa bu doğrular çakışıktır, yani aynı doğruyu gösterirler. Sonuç 1.2. ynı düzlemde yatan farklı iki doğru için ya birtek ortak nokta vardır ya da hiç ortak noktaları yoktur. Ortak noktaları olmayan doğrulara paralel doğrular denir. Sonuç 1.3. ynı düzlemde yatmayan ve kesişmeyen doğrulara aykırı doğrular denir. ksiyom 1.8. üzlemde bir doğru ve bu doğru üzerinde bulunmayan bir nokta verildiğinde, verilen noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan bir tek doğru vardır. d d Teorem 1.2. üzlemde paralel iki doğrudan biriyle kesişen başka bir doğru, diğeriyle de kesişir. İspat: d 1 ve d 2 paralel iki doğru ve k aynı düzlemde k d 1 = {} olan başka bir doğru olsun. Kabul edelimki k d 2 = dir. u durumda ksiyom 2.1 gereğince k//d 2 k = d 1 bu ise k d 1 önermesi ile çelişir. O halde k d 1 ise k d 2 k d 2 = {} olacak şekilde bir noktası vardır. k d 1 d 2
8 1. GEOMETRİK KVRMLR Teorem 1.3. ir düzlemde aynı doğruya papalel olan iki doğru birbirine paraleldir. Sonuç 1.4. ir düzlemde, paralel iki doğrudan birine paralel olan bir doğru, diğerine de paraleldir. d, d doğruları ve, düzlemleri verildiğinde aşağıdaki önermeler doğrudur. 1) d = d//. 2) d = {} 3) d = {, } d 4) = // 5) = d 6) = {d, d } =
ÖLÜM 2 ÇILR 1. ÇILRL İLGİLİ GENEL KVRMLR Tanım 2.1. aşlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşim kümesine açı; açıyı oluşturan ışınların her birine, açının kenarları (veya kolları) ve bu iki ışının ortak olan başlangıç noktasına da açının köşesi denir. O Şekil 1. çı kenarları [O ve [O ışınları olan açı ˆ O, ˆ O veya kısaca Ô ile gösterilir. kesişen iki doğru bir düzlem belirtir aksiyomuna göre açı da düzlemsel bir kavramdır. Her bir geometrik şekil gibi açılarda içinde bulunduğu düzlemi üç ayrık bölgeye ayırır. 1) çıyı oluşturan noktalar kümesi, Ô = [O [O 2) çının iç bölgesi, açının kolları arasında kalan noktalar kümesi 3) çının dış bölgesi. Tanım 2.2. ir çemberin çevresi 360 eşit parçaya bölünerek elde edilen her bir parçanın uzunluğuna 1 derece denir ve 1 o ile gösterilir. Köşesi bir birim çemberin merkezi olan bir açının kolları arasında kalan yay uzunluğuna da o açının radyan cinsinden ölçüsü denir. 9
10 2. ÇILR 0 α π(180 o ) olmak üzere m( ˆ O) = α(= 45 o = π 4 ) ölçüsü 0 < α < 90 o olan açılara dar açı, ölçüsü α = 90 o olan açılara dik açı ve ölçüsü 90 o < α < 180 o olan açılara geniş açı denir. Tanım 2.3. Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir. Verilen bir açıyı iki eş parçaya ayıran ışına o açının açıortayı denir. H 2 P X O H 1 Şekil 2. çıortayı Tanım 2.4. ir d doğrusu ve bu doğru üzerinde olmayan bir noktası verildiğinde, noktasından d doğrusuna inilen dik doğru parçasının uzunluğuna noktasının d doğrusuna uzaklığı denir. noktasının d doğrusuna uzaklığı l(, d) = H, H d ile gösterilir. l H d
1. ÇILRL İLGİLİ GENEL KVRMLR 11 Sonuç 2.1. ir açının açıortayı üzerindeki her noktanın açının kenarlarına olan uzaklığı eşittir. [OX, Ô açının açıortayı ise, PH 1 = PH 2 denir. Tanım 2.5. Köşeleri ve birer kenarları ortak olan iki açıya komşu açılar O Şekil 3. Komşu açılar O ˆ ve O ˆ açıları komşu açılardır. Tanım 2.6. irinin kenarları, diğerinin kenarlarının ters ışınları olan iki açıya ters açılar denir. O Şekil 4. Ters açılar ksiyom 2.1. Ters açılar eştir. Saat yönündeki açıya negatif yönlü açı, saatin ters yönündeki açıya da pozitif yönlü açı denir. yönlü açıdır. O ˆ açısı (+) pozitif yönlü, O ˆ açısı (-) negatif
12 2. ÇILR Tanım 2.7. Ölçüleri toplamı 90 o olan iki açıya tümler (veya dikler) açılar denir. Tümler iki açı aynı zamanda komşu açılar ise bunlara komşu tümler açılar denir. Tanım 2.8. Ölçüleri toplamı 180 o olan iki açıya bütünler açılar denir. ütünler iki açı aynı zamanda komşu açılar ise bunlara komşu bütünler açılar denir. Tanım 2.9. Ölçüsü 180 o olan açıya doğru açı, 360 o olan açıya tam açı denir. Örnek 1.1. ütünler iki açının ölçüleri farkı 72 o ise, bu açıların her birinin ölçüsü nedir? Örnek 1.2. ütünler iki açıdan birinin ölçüsü diğerinin ölçüsünün iki katında 15 o eksiktir. u açıların ölçüleri nedir? 2. PRLEL İKİ OĞRUNUN İR KESENLE YPTIĞI ÇILR d 1 //d 2 ve k doğruları aşağıdaki şekildeki gibi verilmiş olsun. 2 1 3 4 k d 1 6 5 7 8 d 2 Şekil 5 Tanım 2.10. d 1 ile d 2 doğruları arasında kalan açılara iç açılar denir. 3, 4, 5 ve 6 numaralı açılar iç açılardır. Tanım 2.11. d 1 ile d 2 doğruları arasında olmayan açılara dış açılar denir. 1, 2, 7 ve 8 numaralı açılar dış açılardır.
2. PRLEL İKİ OĞRUNUN İR KESENLE YPTIĞI ÇILR 13 Tanım 2.12. k doğrusunun farklı taraflarında kalan köşeleri farklı iç açı çiftlerine iç ters açılar denir. (3, 5) ve (4, 6) açı çiftleri iç ters açılardır. Tanım 2.13. k doğrusunun farklı taraflarında kalan köşeleri farklı dış açı çiftlerine dış ters açılar denir. (1, 7) ve (2, 8) açı çiftleri dış ters açılardır. Tanım 2.14. k doğrusunun aynı taraflarında kalan köşeleri farklı biri iç açı, diğeri dış açı olan açı çiftlerine yöndeş açılar denir. (1, 5), (4, 8), (2, 6) ve (3, 7) açı çiftleri yöndeş açılardır. ksiyom 2.2. Yöndeş açılar, iç ters açılar ve dış ters açılar eştir. u aksiyomlardan aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz. Sonuç 2.2. Paralel iki doğrudan birine dik olan başka bir doğru diğerine de diktir. dir. İspat: u sonucun matematiksel ifadesi, d 1 //d 2 ve k d 1 k d 2. k 1 d 1 2 d 2 Şekil 6 d 1 //d 2 ve k d 1 m(1) = 90 o dir. 1 ve 2 numaralı açılar yöndeş açılar ve yöndeş açılar eş açılar olduğundan m(1) = m(2) = 90 o k d 2 dir. Sonuç 2.3. Verilen iki doğru üçüncü bir doğruya dik ise, bu iki doğru birine paraleldir.
14 2. ÇILR İspat: u sonucun matematiksel ifadesi, d 1 k ve d 2 k d 1 //d 2 dir... problem: d 1 P Q E F d 2 d 1 //d 2 m( ˆ ) = 30 o m( ˆ E) = 140 o Şekil 7 m( ˆ E) =? Çözüm: noktasından d 1 doğrusuna bir paralel doğru çizip üzerinde iki nokta seçelim. u durumda m( P) ˆ = m( ) ˆ = 30 o m( ˆ EF) = m( ˆ PE) = 40 o (iç ters açılar eştir) m( ˆ E) = m( ˆ P) + m( ˆ PE) = 30 o + 40 o = 70 o bulunur. 3. KENRLRI PRLEL OLN ÇI ÇİFTLERİ u durumda üç ihtimal vardır. 1) Kenarların aynı yönde paralel olması durumu: Teorem 2.1. Kenarları aynı yönde paralel olan açılar eştir. [//[ yani [//[E ˆ = ˆ İspat: Yöndeş açıların eşlğinden ˆ = Ĉ = ˆ ˆ = ˆ 2) Kenarların ters yönde paralel olması durumu: Teorem 2.2. Kenarları ters yönde paralel olan açılar eştir.
3. KENRLRI PRLEL OLN ÇI ÇİFTLERİ 15 Şekil 8 E K E F [//[EF [//[E ˆ = Ê Şekil 9 İspat: EF [ = K diyelim. u durumda, ˆ = KE ˆ (iç ters açılar ) KE ˆ = Ê (yöndeş açılar ) ˆ = Ê 3) irer kenarların aynı yönde, diğer kenarları ters yönde paralel olası durumu: Teorem 2.3. ir düzlemde birer kenarları aynı yönde, diğer kenarları ters yönde paralel olan iki açı bütünlerdir. [//[EF [//[E m( ˆ) + m(ê) = 180o
16 2. ÇILR K F G E Şekil 10 İspat:[ [EF = K diyelim ve E noktasından [ ışınına bir paralel çizip üzerinde bir G noktası seçelim. u durumda, ˆ = FK ˆ = FEG ˆ yöndeş açılar m(ê) + m( ˆ FEG) = m(ê) + m( ˆ) = 180 o 4. KENRLRI İRİRİNE İK OLN ÇI ÇİFTLERİ Teorem 2.4. ir düzlemde kenarları karşılıklı olarak dik olan iki açı; a) açılar dar açı ise eştir, b) açılardan biri dar diğeri geniş açı ise bütünlerdir. İspat: Öncelikle teoremin ifadesine uygun şekillerimizi çizelim. G F E Şekil 11 noktasından [E ve [ ye birer paralel ışın çizelim ve üzerlerinde F ve G noktalarını seçelim. u durumda
[F//[E [E [ [G//[ [ [ 4. KENRLRI İRİRİNE İK OLN ÇI ÇİFTLERİ 17 [F [ m( ) ˆ = 90 o m( F) ˆ... (1) [G [ m( FG) ˆ = 90 o m( F) ˆ... (2) (1) ve (2) m( ˆ ) = m( ˆ FG) = m( ˆ E) Â = ˆ b) açılardan biri dar diğeri geniş çı ise bütünlerdir. L K [//[K [ [L ˆ = Şekil 12 ˆ KL... (1) [//[K [ [K m( K) ˆ = 90 o... (2) [ [ [//[L [ [ [ [L m( L) ˆ = 90 o... (3) m( ˆ K) + m( ˆ KL) + m( ˆ L) + m( ˆ ) = 360 O (1),(2)ve (3) 90 o + m( ˆ) + 90 o + m( ˆ) = 360 o m( ˆ) + m( ˆ) = 180 o Sonuç 2.4. Komşu bütünler iki açının açıortayları diktir. İspat: O ˆ ve O ˆ komşu bütünler iki açı ve [O ve [OE bu açıların açıortayları olsun. u durumda;
18 2. ÇILR E O Şekil 13 m( ˆ O) = 1 2 m( ˆ O) ve m( ˆ OE) = 1 2 m( ˆ O) m( ˆ OE) = m( ˆ O) + m( ˆ OE) = 1 2 [m( ˆ O) + m( ˆ O)] = 1 2 180o = 90 o [O [OE.
ÖLÜM 3 ÜÇGENLER 1. ÜÇGENLE İLGİLİ TEMEL KVRNLR oğrudaş olmayan üç noktanın bir düzlem, farklı iki noktanın bir doğru parçası belirttiğini biliyoruz., ve doğrudaş olmayan üç nokta ve bu noktalarla oluşturulan [], [] ve [] doğru parçalarının birleşim kümesine üçgen denir. Â c b ˆ Ĉ a Şekil 1. Üçgen ir üçgen, bu üçgeni oluşturan noktaların saatin ters yönünde sıralanarak üzerine işareti konularak gösterilir. una göre yukarıdaki üçgen ile gösterilir ve = [] [] [] 1.1. Üçgenle İlgili Tanımlar: ir 1),,, noktalarına üçgenin köşeleri denir. üçgeninde ; 2) [], [] ve [] doğru parçalarına üçgenin kenarları denir. ir üçgende kenarlar karşı köşelerin küçük harfleriyle gösterilir. a, b, c gibi, bu gösterim aynı zamanda kenar uzunluğu olarak alınır, yani a ile hem [] kenarı hem de uzunluğu anlaşılır. 19
20 3. ÜÇGENLER 3) Uç noktaları ortak olan iki kenar arasında oluşan açılara üçgenin açıları denir. Üçgende açılar köşe noktasının üzerine işreti konularak gösterilir. Â, ˆ,Ĉ gibi unlara bir üçgenin temel elemanları denir ve her üçgende mevcuttur. Üçgenler bu temel elemanlara göre sınıflandırılabilir. 1.2. Kenarlarına Göre Üçgen Çeşitleri. 1.2.1. Eşkenar üçgenler. ütün kenar uzunlukları eşit olan üçgenlerdir. Eşkenar üçgenlerin açıları da eştir. 1.2.2. İkizkenar üçgenler. İki kenar uzunluğu eşit olan üçgenlerdir. Uzunluğu farklı olan kenara taban denir. ir ikiz kenar üçgende taban açıları eştir. 1.2.3. Çeşitkenar üçgenler. ütün kenarları farklı uzunlukta olan üçgenlerdir. Çeşit kenar üçgenlerin açıları da farklıdır. 60 o 60 o 60 o eşkenar üçgen ikizkenar üçgen çeşit kenar üçgen Şekil 2. Kenarlarına göre üçgen çeşitleri 1.3. çılarına Göre Üçgen Çeşitleri.. 1.3.1. ar açılı üçgenler. Her bir açısının ölçüsü 90 o den küçük olan üçgenlerdir. 1.3.2. ik üçgenler. çılarından birinin ölçüsü 90 o olan üçgenlerdir. 1.3.3. Geniş açılı üçgenler. çılarından birisi geniş açı olan üçgenlerdir.
1. ÜÇGENLE İLGİLİ TEMEL KVRNLR 21 dar açılı üçgen ik üçgen geniş açılı üçgen Şekil 3. çılarına göre üçgen çeşitleri 1.4. Üçgende Yardımcı Elemanlar.. Her üçgende var olan kenarortay, açıortay ve yükseklik kavramlarına üçgenin yardımcı elemanları denir. 1.4.1. Kenarortay. Üçgenin bir kenarının orta noktasını o kenarı gören köşe noktasına birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir. Her üçgenin üç tane kenarortayı vardır. u kenarortaylar üçgenin iç bölgesindeki bir noktada kesişirler. u noktaya üçgenin ağılık merkezi denir ve genellikle G ile gösterilir. F G E Şekil 4. Kenarortaylar üçgeninde; [], a-kenarına, [E], b-kenarına ve [F], c-kenarına ait kenarortayları göstermektedir.
22 3. ÜÇGENLER 1.4.2. çıortay. ir üçgende bir açıyı iki eşit parçaya ayıran ışının köşe noktası ile karşı kenar arasında kalan kısmına üçgenin o açısına ait açıortay denir. ir üçgende üç tane açıortay vardır. u açıortaylar bir noktada kesişir. Şekil 5. çıortaylar 1.4.3. Yükseklik. Üçgenin her hangi bir köşesinden karşı kenara inilen dikmenin bu köşe ile karşı kenar (ya da uzantısı) arasında kalan doğru parçasının uzunluğuna üçgenin o kenarına ait yükseklik denir ve h ile gösterilir. h c h a h b Şekil 6. Yükseklik Ispat: 2. ÜÇGENE ÇILR Teorem 3.1. ir üçgenin iç-açılarının ölçüleri toplamı 180 o dir, yani bir nin de m(â) + m( ˆ) + m(ĉ) = 180o dir.
2. ÜÇGENE ÇILR 23 E Şekil 7 Üçgenin köşesinden [] kenarına bir paralel çizelim ve üzerinde iki nokta, E seçelim. u durumda; ˆ = ˆ (iç ters açılar) Â = Â (kendisi) ˆ E = Ĉ (iç ters açılar) m( ) ˆ + m(â) + m( E) ˆ = 180 o = m( ˆ) + m(â) + m(ĉ) Örnek 2.1. ir üçgenin iç açılarının ölçüleri sırsıyla 2, 3 ve 4 ile doğru orantılı ise bu açıların ölçüleri nedir? Çözüm: u açıların ölçülerini sırasıyla α, β ve γ diyelim. u durumda α 2 = β 3 = γ = k R ve α + β + γ = 180o 4 2k + 3k + 4k = 180 o = 9k k = 20 o α = 2k = 40 o, β = 3k = 60 o ve γ = 4k = 80 o bulunur. Tanım 3.1. ir nin [] kenarını yönünde uzatarak üzerinde bir noktası seçelim. öylece elde edilen ˆ açısına köşesine ait dış açı denir ve Ĉ ile gösterilir. Â ve ˆ açılarına da Ĉ açısına komşu olmayan iç açılar denir. Teorem 3.2. Üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
24 3. ÜÇGENLER E Ĉ Şekil 8. ış açı yani, m(ĉ ) = m(â + m( ˆ)) dir. İspat: şekilde noktasından [] ya bir paralel çizip üzerinde bir E noktası seçelim. u durumda; ˆ E = ˆ ( yöndeş açılar ) E ˆ = Â (iç ters açılar) m(ĉ ) = m( E) ˆ + m( E) ˆ = m(â) + m( ˆ) Sonuç 3.1. ir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının her birinden daha büyüktür. 2.1. Üçgende Kenarlar ile çılar rasındaki ağıntılar. Teorem 3.3. : ir üçgeninde > m(ĉ) > m( ˆ) dir. İspat: > olsun. u durumda [] üzerinde E Şekil 9. Kenar-açı ilişkisi
2. ÜÇGENE ÇILR 25 = olacak şekilde bir [] vardır., []//[E] olsun. u durumda m( ˆ ) > m( ˆ ) = m( ˆ ) (ikiz kenar üçgende taban açılar) m( ˆ ) > m( ˆ E) = m( ˆ) (yöndeş açılar) m( ) ˆ = m(ĉ) > m( ˆ) Teorem 3.4. (Üçgen Eşitsizliği): ir üçgende her hangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluklarının farkından büyük, toplamından daima küçüktür. yani bir İspat: nin de daima b c < a < b + c dir. b c b a Şekil 10. Üçgen eşitsizliği doğrultusunda = şartını sağlayan bir noktası alalım ve. una göre; 1) = + = c + b 2) m( ˆ ) > m( ˆ ) = m( ˆ ) = m( ˆ ) > c + b > a... (1) enzer düşünceyle a + b > c ve a + c > b olduğu gösterilebilir. 3) a + b > c a > c b > 0... (2) O halde (1) ve (2) den b c < a < b + c elde edilir.
26 3. ÜÇGENLER ve 3. ÜÇGENLERE EŞLİK KVRMI EF herhangi iki üçgen olmak üzere, EF ifadesiyle, bu üçgenlerin elemanlarının karşılıklı olarak eşlendiği gösterilir. Her hangi iki üçgenin elemanları arasında yapılan bir eşlemede, karşılıklı kenarları ve karşılıklı açıları eş ise bu üçgenlere eş üçgenler denir ve bu durum ( =) sembolü ile gösterilir. una göre bir EF eşlemesinde; 1) = E, = EF, = F 2) Â = ˆ, ˆ = Ê, Ĉ = ˆF = EF Not: İki üçgenin köşe noktaları arasında P(3, 3) = 3! = 6 farklı eşleme yapılabilir. ncak bu altı eşlemeden yalnızca biri bir eşlik bağıntısıdır. Eğer üçgenler eşkenar üçgenler ise bu durumda her bir eşleme bir eşlik bağıntısıdır. Yukarıdaki eşlik tanımına bakıldığında, verilen iki üçgenin eş olabilmesi için bu üçgenlerin karşılıklı altı elemanın eş olması gerek şart olarak görülmektedir, fakat bu altı elamandan bazılarının gerçekleşmesi bazılarının gerçekleştiğini garantiler. unları birer aksiyom olarak ifade edebiliriz. 3.1. Üçgenlerde Eşlik ksiyomları. ksiyom 3.1. (K..K) Eşlik ksiyomu Her hangi iki üçgen arasında yapılan bir eşlemede, karşılıklı ikişer kenarları ve bu kenarlar arasında oluşan açıları eş ise bu üçgenler eştir. Yani bir EF eşlemesinde; [] = [E] ˆ = Ê [] = [EF] = EF dir.
3. ÜÇGENLERE EŞLİK KVRMI 27 E F Şekil 11. Kenar çı Kenar eşliği ksiyom 3.2. ((.K.) Eşlik ksiyomu) Her hangi iki üçgen arasında yapılan bir eşlemede, karşılıklı ikişer açıları ve bu açıların ortak olan kenarları eş ise bu üçgenler eştir. K E L F Şekil 12. çı Kenar çı eşliği Yani bir EF eşlemesinde; ˆ = Ê [] = [EF] Ĉ = ˆF = EF dir. u aksiyomlardan aşağıdaki sonucu verebiliriz. Sonuç 3.2. Eş üçgenlerde karşılıklı açıortaylarda eştir. = EF Yani [K], Â [L], ˆ açısının açıortayı açısının açıortayı [K] = [L] dir.
28 3. ÜÇGENLER İspat: = EF olsun. u durumda; 1) Â = ˆ m(â) = m( ˆ) 1 2 m(â) = 1 2 m( ˆ) K ˆ = EL ˆ 2) [] = [E] ve 3) ˆ = Ê (.K.) eşlik aksiyomu gereğince K = EL [K] = [L] Teorem 3.5. Tabanları ortak olan iki ikizkenar üçgenin, tepe noktalarını birleştiren doğru parçası tepe açılarının açıortayıdır. İspat: 1 2 1 2 1 2 12 Şekil 13 ikiz kenar üçgenlerde taban açılar eş olduğundan, ˆ 1 = Ĉ 1 ˆ 2 = Ĉ 2 m( 1) = m( 1 ) m( 2 ) = m( 2 ) m( ) ˆ = m( ) ˆ = m( ˆ ) = m( ˆ ) = K..K = Â 1 = Â 2 ˆ 1 = ˆ2 elde edilir. u ise [] nin tepe açılarının açıortay olması demektir. Teorem 3.6. ir üçgenin bir kenarının orta noktasından başka bir kenara çizilen paralel doğru üçüncü kenarı ortalar.
3. ÜÇGENLERE EŞLİK KVRMI 29 F E Şekil 14 E = E [E]//[] = = 1 2 İspat: [EF]//[] olsun. una göre; Â = ˆ E [E] = [E] ˆ EF = Ĉ ˆ F = ˆ FE [F] = [F] ˆ F = ˆ FE EF = F = E EF EF = F = E F = E = = EF = = + = = 1 elde edilir. 2 Sonuç 3.3. ir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçası, üçüncü kenara paraleldir ve uzunluğu, üçüncü kenarın uzunluğunun yarısına eşittir, yani, bir nin de E = E = E = 1 2. Teorem 3.7. (K.K.K.) Eşlik Teoremi İki üçgen arasında yapılan bir eşlemede karşılıklı kenarlar eş ise bu üçgenler eştir. u teoreme kısaca (K.K.K) eşlik teoremi denir. yani bir EF eşlemesinde;
30 3. ÜÇGENLER [] = [E] [] = [EF] [] = [F] = EF dir. İspat: u teoremin ispatını ( =) bağıntısının geçişme özelliğini kullanarak yapabiliriz, yani verilen her iki üçgene de eş olan üçüncü bir üçgen oluşturarak bu iki üçgenin eş olduğunun gösterebiliriz. 1 2 E F K 1 2 X Şekil 15. K.K.K. eşliği nin köşesinde X ˆ = Ê olacak şekilde bir [X ışını ve üzerinde K = E olacak şekilde bir K noktası seçip K. u durumda, K = E ˆ = Ê (K..K) K = EF... (1) = EF K. u durumda, K = E = K - ikiz kenar üçgen m( ˆK 1 ) = m(â1) K = F = K - ikiz kenar üçgen m( ˆK 2 ) = m(â2) K K ˆK = = Â = (1) ve (2) = EF (K..K) m( ˆK) = m(â) ˆK = Â K = u teormeden aşağıdaki sonucu çıkarabiliriz.... (2)
4. ÜÇGENLERE ENZERLİK KVRMI 31 Sonuç 3.4. ir ikiz kenar üçgende tabana ait kenar ortay, aynı zamanda hem yükseklik hem de açıortay dır. Yani bir nin de = (ikiz kenar) = (, orta nokta) [] (yükseklik) Â 1 = Â 2 (açıortay) İspat: nin de = (ikiz kenar) = (, orta nokta) = (kendisi) (K.K.K) = una göre, 1) ˆ 1 = ˆ2 ve m( ˆ 1 ) + m( ˆ 2 ) = 180 o [] [] []- tabana ait yükseklik, 2) Â1 = Â2 [], Â- nın açıortayıdır. 4. ÜÇGENLERE ENZERLİK KVRMI İki üçgen arasında yapılan bir eşlemede, karşılıklı açılar eş ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu eşlemeye benzerlik eşlemsi, üçgenlere de benzer üçgenler denir, bu durum ( ) sembolü ile gösterilir. una göre bir EF eşlemesinde, Â = ˆ, ˆ = Ê, Ĉ = ˆF E = EF = F = k EF uradaki k sayısına benzerlik oranı denir. k = 1 ise eşlik, k 1 ise benzerlik söz konusudur, yani benzerlik eşlikten daha geniş bir kavramdır.
32 3. ÜÇGENLER ksiyom 3.3. (K..K.) enzerlik ksiyomu İki üçgen arasında yapılan bir eşlemede, karşılıklı iki kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarların oluşturduğu açılar eş ise üçgenler benzerdir. una kısaca (K..K) benzerlik aksiyomu denir, yani EF eşlemesinde, E = EF ˆ = Ê K E L Şekil 16. K..K.benzerliği EF dir. F u aksiyomdan aşağıdaki sonuç çıkarılır. Sonuç 3.5. İki üçgen benzer ise, karşılıklı kenarortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir. yani EF ve benzerlik oranı k olmak üzere, K = K L = LF K L = k dır. İspat: EF ve benzerlik oranı k olsun. u durumda, 1) E = k 2) ˆ = Ê 3) 1 EF = k 2 K = k EF EL = k 1 2 K EL K L = E = k K L = k
Tanım 3.2. ir 4. ÜÇGENLERE ENZERLİK KVRMI 33 nin de herhagi bir kenar uzunluğu ile bu kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına bu üçgenin alanı denir ve s( ) ile gösterilir. u tanımdan aşağıdaki sonuç elde edilir. Sonuç 3.6. Yükseklikleri eşit olan iki üçgenin alanları oranı, yüksekliklerin ait olduğgu kenarların uzunlukları oranına eşittir. yani şekil (*) a göre [H] = [H ] s( ) s( EF) = EF dir. Teorem 3.8. (Temel Orantı Teoremi) ir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru bu kenarları uzunlukları orantılı doğru parçalarına ayırır, H H E k Şekil 17. T.O.T teoremi yani bir ni için k//[], k [] = ve k [] = E ise, (4.1) = E ( veya E = E ) İspat: E, bu durumda; EH, E ve E üçgenlerinin ortak olan yüksekliği olduğundan (4.2) s( E) s( E) =
34 3. ÜÇGENLER (4.3), bu durumda; H, E ve E üçgenlerinin ortak olan yüksekliği olduğundan s( E) s( E) = E E [E], E ve E üçgenlerinin ortak olan tabanı ve [E]//[] olduğundan bu iki üçgen aynı yüksekliğe sahiptir, dolayısıyla alanları eşittir, yani (4.4) s( E) = s( E) bu eşitliklerinden = E E elde edilir. 5. ÜÇGENLERE ÇIORTY TEOREMLERİ Teorem 3.9. (İç çıortay Teoremi) ir üçgende, herhangi bir iç açıortayın karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, bu parçalara bitişik kenarların uzunlukları oranına eşittir. L K Yani bir İspat: Şekil 18. İç açıortay teoremi ninde  nın iç açıortayı [] ise, = dir. ninde  nın iç açıortayı [] olsun. u durumda; K = L olup bir oranda pay ve paydanın aynı değerle çarpılması, oranın değerini değiştirmediğinden, 1 = 2 K 1 s() = L s() = 2 h = h 1 2 1 2
5. ÜÇGENLERE ÇIORTY TEOREMLERİ 35 Teorem 3.10. (ış çıortay Teoremi) ir üçgende herhangi bir dış açıotayı karşı kenar doğrusunu kesiyorsa, bu doğru üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, bu parçalara bitişik kenarların uzunlukları oranına eşittir. Yani bir E Şekil 19. ış açıortay teoremi ninde dış açısının açıortayı [E] ise E E = dir. Not: Eğer üçgen bir eşkenar üçgen ise, dış açıortayları karşı kenar doğrularına paralel olduğundan dış açıortayları karşı kenar doğrularını kesmez. u iki teoremi birleştirerek aşağıdaki teorem elde edilir. Teorem 3.11. (çıortay Teoremi:) ir üçgende herhangi bir köşedeki iç ve dış açıortayın karşı kenar ve uzantısı üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, bu parçalara bitişik kenarların uzunlukları oranına eşittir. Yani bir ninde  iç açısının açıortayı [] ve  dış açısının açıortayı [E] ise dir. = = E E Örnek 5.1. şekil () da = 2cm ve E = 10cm ise, = x kaç cm dir?
36 3. ÜÇGENLER 6. ÜÇGENLERE ENZERLİK TEOREMLERİ Teorem 3.12. (... enzerlik Teoremi) İki üçgen arasında yapılan bir eşlemede, karşılıklı açılar eş ise üçgenler benzerdir. u teoreme kısaca (çı çı çı)-benzerlik teoremi denir. Yani, bir EF eşlemesinde,  = ˆ, ˆ = Ê, Ĉ = Ê EF dir. Ispat: EF eşlemesinde,  = ˆ, ˆ = Ê, Ĉ = Ê olsun. u durumda ve E kenar uzunlukları için iki ihtimal vardır. 1) = E olması durumu. u durumda  = ˆ = E Ĉ = Ê (.K..) = EF EF 2) > E (veya < E de olabilir) olması durumu. u durumda E F E F Şekil 20... enzerliği []-kenarı üzerinde E = E eşitliğini sağlayan bir E noktası vardır. enzer düşünceyle, []-kenarı üzerinde F = F eşitliğini sağlayan bir F noktası seçelim. u durumda,
E = E Â = ˆ F = F 6. ÜÇGENLERE ENZERLİK TEOREMLERİ 37 (K..K) E F = EF Ê = Ê, ˆF = ˆF [E F ]//[] T.O.T den E = F E F = EF EF. Sonuç 3.7. İki üçgen arasında yapılan bir eşlemede, karşılıklı ikişer açıları eş ise üçgenler benzerdir. Yani bir EF eşlemesinde, Â = ˆ, ˆ = Ê EF. Teorem 3.13. (K.K.K. enzerlik Teoremi) İki üçgen arasında yapılan bir eşlemede, karşılıklı kenarlar orantılı ise üçgenler benzerdir. Yani, bir EF eşlemesinde, E = EF = F EF, (Â = ˆ, ˆ = Ê, Ĉ = ˆF) Ispat: Eğer k = 1 ise K.K.K. Eşlik Teoreminden = EF EF k 1 ve k > 1 olsun. u durumda, E F E F Şekil 21. K.K.K. benzerliği > E olup E = E eşitliğini sağlayan bir tek E [] noktası ve
38 3. ÜÇGENLER > F olup F = F eşitliğini sağlayan bir tek F [] noktası vardır, E = F eşitliğinden E = F yazılabilir ve  =  olup K..K enzerlik ksiyomuna göre E F ˆ = Ê ve E F = E E F = E = E = EF E = E E F = EF (K.K.K. Eşlik ksiyomu) F = F ˆ = Â Ê = Ê = ˆ Ê = ˆ ˆF = ˆF = Ĉ ˆF = Ĉ E F = EF eşittir. u teoremden aşağıdaki sonuç verilebilir. Sonuç 3.8. enzer iki üçgenin çevre uzunluklarının oranı benzerlik oranına
7. OĞRU PRÇLRININ UZUNLUKLRI RSINKİ ORN VE ORNTI 39 7. OĞRU PRÇLRININ UZUNLUKLRI RSINKİ ORN VE ORNTI Teorem 3.14. (I.Tales Teoremi) ir paralel doğru demeti her hangi iki kesenle kesildiğinde, kesenler üzerinde oluşan doğru parçalarının uzunlukları orantılıdır. m n d 1 K E d 2 F d 3 Şekil 22. I.Tales Teoremi Teoremin bu şekle göre ifadesi d 1 // d 2 // d 3 m (d 1, d 2, d 3 ) = (,, ) n (d 1, d 2, d 3 ) = (, E, F) = E EF Ispat: F ve [F] d 2 = K diyelim. u durumda d 2 // d 3 olduğundan T.O.T. ne göre, = K KF = E EF = E EF Sonuç 3.9. Eğer burada = ise, yani paralel doğru demeti her hangi bir kesen üzerinde eş parçalara ağrılıyor ise her kesen üzerinde eş parçalara ayrılır. = K = KF & E = EF dir.
40 3. ÜÇGENLER Teorem 3.15. (II.Tales Teoremi) Kesişen iki doğru, paralel iki oğru ile kesildiğinde oluşan üçgenler benzerdir. u ifadeyi karakterize eden iki farklı geometrik gösterim vardır. d 2 K d 1 k 1 k 2 (a) Şekil 23. II.Tales Teoremi (b) k 1 k 2 = K ve d 1 //d 2 K K. İspat: k 1 k 2 = {K} ve d 1 //d 2 Â = Ĉ ˆK = ˆK ˆ = ˆ K K. Tanım 3.3. ir [] ve bir () iç noktası verildiğinde, = m ve = n ise, m n noktasına [] sını m n oranında içten bölen nokta, noktasına [] sını m + n n oranında dıştan bölen nokta, denir. Soru: caba her hangi bir [] sı ve m > n R + sayıları verildiğinde, bu doğru parçasını m oranında içten ve dıştan bölen noktalar var mıdır? n Eğer varsa nasıl bulunur?
7. OĞRU PRÇLRININ UZUNLUKLRI RSINKİ ORN VE ORNTI 41 evap: Yukarıdaki şartları sağlayan iki nokta her zaman vardır ve aşağıdaki şekilde bulunur. ir [] sı ve m > n R + sayıları verilmiş olsun. oğrultusu doğrultusundan farklı olan bir [X ışını çizip üzerinde = m ve = E = n eşitliklerini sağlayan, ve E noktalarını belirleyelim. m n n E X K L Şekil 24, E ve []//[L] ve [E]//[K] olacak şekilde elde edilen K, L noktaları için K K = E = m n olup K noktası [] sını m n L L = = m n olup L noktası [] sını m n nokta dır. oranında içten bölen, oranında dıştan bölen 5 Örnek 7.1. Uzunluğu 4 cm olan bir [] sını oranında içten ve 3 dıştan bölen noktalar ve ise,,, ve uzaklıklarını hesaplayınız. Teorem 3.16. (Menelaus Teoremi) ir nin kenarlarını veya uzantısını bir d doğrusu sırasıyla X, Y ve Z noktalarında kesiyor ise dir. Şekil 25 X. Y X Y. Z Z = 1
42 3. ÜÇGENLER Y d Z X Şekil 25. Menelaus Teoremi İspat:, ve noktaları d doğrusu üzerinde olmadığından bu noktaların d üzerindeki dik izdüşüm noktalarına, ve dersek [ ], [ ], [ ] d [ ] // [ ] // [ ] II.Tales Teoreminden [ ] // [ ] Z Z = [ ] // [ ] Y Y = [ ] // [ ] X X = bu üç eşitliği taraf tarafa çarparsak X. Y X Y. Z = 1 elde edilir. Z Örnek 7.2. G noktası bir nin ağırlık merkezi ve [], [] kenarına ait kenarortay ise G = 2 olduğunu gösteriniz. 3
7. OĞRU PRÇLRININ UZUNLUKLRI RSINKİ ORN VE ORNTI 43 Teorem 3.17. (Seva Teoremi) ir ni düzleminde alınan bir O noktasını üçgenin köşe noktalarına birleştiren doğrular karşı kenarları sırasıyla X, Y ve Z noktalarında keserse, Z O Y Y X X Z O Şekil 26. Seva Teoremi (7.5) X X. Y Y. Z Z = 1 İspat: Z ni ne X kesenine göre Menelaus Teoremi uygulanırsa (7.6) X X. O OZ. Z = 1 Z ni ne Y kesenine göre Menelaus Teoremi uygulanırsa (7.7) Y Y. Z. ZO O = 1 5.4 ve 5.5 taraf tarafa çarpılırsa 5.3 elde edilir. Örnek 7.3. ir ninde  sının açıortayı [] aynı zamanda [] kenarına ait yükseklik, E [] olsun. F, [E] nin orta noktası omak üzere, = 14cm, E = 6cm E kaç cm dir?
44 3. ÜÇGENLER E 1 2 F Şekil 27 Çözüm: Öncelikle verilenlere uygun olan şeklimizi çizelim. m(â1) = m(â2) m( ˆ) = = = 14cm = 90 o E [] ve E = 6cm verilmiş, = E + E = 6 + E = 14cm E = 8cm = EF = F F E = = F E F 8 = 1 F = 4cm 2 8. İK ÜÇGENLERE METRİK ĞINTILR Tanım 3.4. ir dik üçgende dik açının gördüğü kenara hipotenüs denir. Teorem 3.18. ir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliği tanımlayan doğru parçası, bu üçgeni bir birine ve kendine benzeyen iki üçgene ayırır. (8.8) ir dik üçgeninde, [] [] [] []. İspat:
8. İK ÜÇGENLERE METRİK ĞINTILR 45 2 1 m( ˆ 1 ) + m(ĉ) = 90o m(â) + m(ĉ) = 90o m( ˆ 2 ) + m(â) = 90o Şekil 28 ˆ 1 = Â, Â = ˆ 1 ˆ = ˆ Ĉ = Ĉ Â = Â m(ĉ) + m(â) = 90o ˆ 2 = Ĉ, ˆ = ˆ Ĉ = ˆ 2 bağıntısının geçişme özelliğinden 8.8 elde edilir. Tanım 3.5. a, b R + olmak üzere a x = x orantısını sağlayan x R+ b sayısına a ile b nin geometrik ortası denir ve x = a.b ile gösterilir. u tanım ve yukarıdaki teoremden aşağıdaki sonuçları verebiliriz. Sonuç 3.10. ir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüs üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunluklarının geometrik ortasıdır. u sonucun yukarıdaki şekle göre matematiksel ifadesi = 2 = = h 2 bu eşitliğe dik üçgende yükseklik bağıntısı denir. Sonuç 3.11. ir dik üçgende herbir dik kenar, hüpotenüs ile hipotenüsün kendi tarafında kalan paçanın geometrik ortasıdır.
46 3. ÜÇGENLER (8.9) 2 = (8.10) 2 = bu eşitliklere dik üçgende kenar bağıntısı denir. u sonuçtan aşağıdaki teorem elde edilir. Teorem 3.19. (Pisagor Teoremi) ir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı hüpotenüs uzunluğunun karesine eşittir. yani 2 + 2 = 2 dir. İspat: Şekil 27 de verilen üçgeninin []-kenarını bir kareye, bu kareyede aşağıdaki şekilde bir büyük kareye tamamlayalım. u durumda, b a c Şekil 29 büyük karenin kenar uzunluğu (a + c) br olup alanı = (a + c) 2 = a 2 + 2ac + c 2 = 4 a.c 2 + b2 = a 2 + c 2 = b 2 elde edilir.
Teorem 3.20. ir dir. İspat: 8. İK ÜÇGENLERE METRİK ĞINTILR 47 = m = n = x ninde [] olmak üzere, x 2 = mb2 + nc 2 m + n mn H Şekil 30 noktasının [] üzerindeki dikme ayağına H, H = k diyelim. u durumda, elde edilen dik üçgenlere Pisagor Teoremi uygulanırsa, H- dik üçgeninden c 2 = h 2 + (m k) 2 H- dik üçgeninden x 2 = h 2 + k 2 H- dik üçgeninden b 2 = h 2 + (n + k) 2 yazılabilir. uradan da mb 2 = mh 2 + mn 2 + mk 2 2mnk nc 2 = nh 2 + nm 2 + nk 2 + 2mnk elde edilir. u iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa, mb 2 + nc 2 = (m + n)(h 2 + mn + k 2 ) elde edilir. h 2 + k 2 = x 2 = mb2 + nc 2 m + n mn
48 3. ÜÇGENLER u teoremin bir sonucu olarak verilen, aşağıdaki sonuçlardan biri diğerini gerektirir. Sonuç 3.12. Eğer [], Â sına ait açıortay ise, mb = nc olup x 2 = bc mn dir. Sonuç 3.13. Eğer [], [] kenarına ait kenarortay ise, m = n olup x 2 = 1 2 (b2 + c 2 a2 2 ) dir. Sonuç 3.14. Eğer m(â = 90o ) ise, b 2 + c 2 = a 2 olup x = a 2 dir.
ÖLÜM 4 ÖRTGENLER Tanım 4.1. üzlemde en az üçü doğrusal olmayan dört nokta ve bu noktaların ikişer ikişer birleştirilmesiyle oluşan doğru parçalarınn birleşim kümesine dörtgen denir. c d b a Şekil 1. örtgen örtgenler sol alt köşeden başlayarak köşe noktalarının saatin ters yönünde sıralanmasıyla gösterilir, - dörtgeni gibi. Kenarlar üçgenlerden farklı olarak, her kenar takip ettiği köşenin küçük harfiyle gösterilir. u tanıma göre bir dörtgenin temel özelikleri, * üzlemsel bir şekil olması, * ört köşesi ve dört kenarının olması, * asit kapalı bir şekil olması Tanım 4.2. ir dörtgende komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir. Her dörtgen iki köşegene sahiptir. - dörtgeninin köşegenleri [] ve [] dir. ir dörtgen bir kenarları ortak olan iki üçgenden oluşur. una göre bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 2 180 o = 360 o dir. 49
50 4. ÖRTGENLER Teorem 4.1. ir dörtgende komşu iki köşedeki iki açının açıortayının oluşturduğu açının ölçüsü, diğer iki köşedeki iç açıların ölçüleri toplamının yarısına eşittir. K Şekil 2. çıortay m( K) ˆ = 1 [m(ĉ) + m( ˆ)] 2 İspat: K- üçgenin de m( ˆK) + m(â) 2 + m( ˆ) 2 = 180 o - dörtgeninde m(â) + m( ˆ) + m(ĉ) + m( ˆ) = 360 o u eşitlğin her iki tarafı ikiye bölünürse, m(â) 2 + m( ˆ) 2 + m(ĉ) 2 + m( ˆ) 2 = 180 o = m( ˆK) + m(â) 2 + m( ˆ) 2 m( K) ˆ = 1 [m(ĉ) + m( ˆ)] 2 1. ÖRTGEN ÇEŞİTLERİ VE ÖZELİKLERİ örtgenler, kenar ve açı özeliklerine göre sınıflandırılırlar. u sınıflandırmada yer alan dörtgenler yamuk, paralel kenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoid dir.
1. ÖRTGEN ÇEŞİTLERİ VE ÖZELİKLERİ 51 1.1. Yamuk.. İki kenarı paralel olan dörtgenlere yamuk, paralel olan kenarlara taban adı verilir. E Şekil 3. Yamuk Teorem 4.2. ir yamukta paralel olmayan kenarlardan her birinin uçlarındaki açılar bütünler açılardır. Şekil (3) de verilen - yamuğunda m(â) + m( ˆ) = 180 o ve m( ˆ) + m(ĉ) = 180o İspat: [] - kenarını yönünde uzatıp üzerinde bir E noktası seçelim. u durumda, Â = ˆ = elde edilir, benzer düşünceyle m( ˆ) + m(ĉ) = 180o olduğun da gösterilebilir. E ˆ (yöndeş açılar) m(â) = m( E) ˆ ˆ ( kendisi) m( ˆ) = m( ˆ ) m(â)+m( ˆ) = m( ˆ ) +m( ˆ E) = 180 o Tanım 4.3. ir yamukta paralel olmayan iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir. M = M [MN] orta tabandır. N = N
52 4. ÖRTGENLER M K L N Şekil 4. Orta taban u tanımdan aşağıdaki sonuçlar elde edilir. Sonuç 4.1. ir yamukta orta tabanın uzunluğu diğer tabanların uzunlukları toplamının yarısına eşittir. MN = 1 ( + ) 2 Sonuç 4.2. ir yamukta orta tabanın köşegenler arasında kalan parçasının uzunluğu taban uzunlukları farkının yarısına eşittir. İspat: KL = 1 ( ) 2.. benzerlik aksiyomuna göre MK M = MK 1 2 = MK MK = 1 2.. benzerlik aksiyomuna göre ML ML = M 1 2 = ML ML = 1 2 KL = ML MK = 1 2 1 2 = 1 ( ) elde edilir. 2 Örnek 1.1. ir - yamuğunun kenar uzunlukları sırasıyla = 14, = 8, = 4 ve = 6 cm,
1. ÖRTGEN ÇEŞİTLERİ VE ÖZELİKLERİ 53 E, (Â, ˆ) açıortaylarının kesişim noktası ve F, ( ˆ,Ĉ) açıortaylarının kesişim noktası ise, EF =? Çözüm: Öncelikle problemde verilenlere göre geometrik şeklimizi çizelim. H β β K E F α α L Şekil 5 m(â) + m( ˆ) = 180 o olduğundan α + β = 90 o olup m( ˆ E) = 90 o dir. E noktası açıortaylarının kesişim noktası olduğundan EK = EH = EL olup E noktası orta taban üzerindedir. Orta taban [MN] dersek [EM], E diküçgeninde hipotenüse ait kenarortay olup EM = 1 = 3 cm 2 dir. enzer düşünceyle FN = 1 = 4 cm dir. 2 MN = a + c 2 = 14 + 4 2 = 9 EF = 9 (3 + 4) = 2 cm bulunur. 1.2. İkizkenar Yamuk. : Paralel olmayan kenarları eş olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. [] = [] - yamuğu bir ikiz kenar yamuktur. ir ikizkenar yamuk, yamuğa ilaveten aşağıdaki özeliklere de sahiptir. 1) bir tabanın iki ucundaki açılar eştir, yani  = ˆ ve Ĉ = ˆ. 2) köşegenler eştir, yani =
54 4. ÖRTGENLER E Şekil 6. İkizkenar yamuk İspat 1: köşesinden [] - kenarına bir paralel çizip, [] - kenarıyla kesim noktasına E diyelim. u durumda  = Ê - yöndeş açılar, E = = olduğundan Ê = ˆ - taban açılar. Ohalde  = Ê = ˆ  = ˆ dir. Ĉ = ˆ olduğuda benzer şekilde gösterilebilir. E ni ikiz kenar üçgen olup 1.3. Paralelkenar. : Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralel kenar denir. K [] // [] [] // [] Şekil 7. Paralelkenar - dörtgeni bir paralelkenardır.
1. ÖRTGEN ÇEŞİTLERİ VE ÖZELİKLERİ 55 ir paralel kenar, yamuğa ilaveten aşağıdaki özeliklere de sahiptir. ir - paralel kenarında 1) karşılıklı açılar birbirine eştir, Â = Ĉ, ˆ = ˆ 2) karşılıklı kenarlar birbirine eştir, [] = [], [] = []. 3) köşegenler birbirini ortalar, yani köşegenlerin kesişim noktası K ise, K = K = 1 2 ve K = K = 1 2 4) bir kenarın iki ucundaki açılar bütünlerdir. 1.4. Eşkenar örtgen. : ört kenarı eş olan paralel kenara eşkenar dörtgen denir. Şekil 8. Eşkenar dörtgen [] = [] = [] = [] - dörtgeni bir eşkenar dörtgendir. ir eşkenar dörtgen, yamuk ve paralel kenara ilaveten iki ikizkenar üçgenin birleşimi olduğunda şu özeliklere de sahiptir. 1) her köşegen birleştirdiği köşelerdeki açıların açıortayıdır, 2) her bir köşegen diğer köşegenin orta dikmesidir. 1.5. ıkdörtgen. : çıları dik açı olan paralel kenara dikdörtgen denir. ikdörtgen paralel kenardan farklı olarak, açıları dik açı ve köşegenleri eştir.
56 4. ÖRTGENLER Şekil 9. ikdörtgen 1.6. Kare. : Kenarları eş olan dik dörtgene kare denir. K Şekil 10. kare ir karede eşkenar dörtgen ve dikdörtgenden farklı olarak, 1) köşegen uzunlukları eşit (eşkenar dörtgenden farkı) 2) köşegenler birbirinin orta dikmesidir (dikdörtgenden farkı) 3) yrıca her kare köşegenler yardımıyla dört tane, eş ikizkenar dik üçgene ayrılır, yani K - köşegenlerin kesişim noktası olmak üzere, K, K, K ve K dik üçgenleri eş üçgenlerdir. Örnek 1.2. ir - karesinin köşegenlerinin kesişim noktası E, Â- sının açıortayının [E] ve [] ile kesişim noktaları sırasıyla F ve G olmak üzüre; EF = 2 cm ise G = x kaç cm dir? Çözüm: G noktasının [] üzerindeki dikme ayağına H dersek, [G, ninde Â- sının açıortayı olduğundan G = GH = a olsun.
1. ÖRTGEN ÇEŞİTLERİ VE ÖZELİKLERİ 57 E H F x G Şekil 11 u durumda ikizkenar üçgendir, yani HG nin açıları (90 o,?, 45 o ) m(ĝ) = 45o olup HG ni bir HG = H = a x = 2a = a + 2a = 2a + 2a E = 2 = a + 2 2 a EH =.. benzerlik sonucuna göre EF HG E H = EF a + HG x = 2 2 1.7. eltoid. : 2 2 a H = a + 2a 2 2 a a + 2a = 2 a a = 2 Tanım 4.4. ir köşegene göre simetrik olan dörtgene deltoid, bu köşegenin doğrultusuna simetri ekseni denir. eltoid, bir üçgenin en uzun kenarına göre simetrisi alınarak elde edilebileceğinden, tabanları ortak olan iki ikizkenar üçgenden oluşmuştur. una göre eşkenar dörtgen ve kare birer deltoidtir. - dörtgeni, simetri ekseni doğrusu olan bir deltoidtir. eltoidin Özelikleri: 1) Simetri ekseninde birleşen kenarlar eştir, [] = [] ve [] = [] dir, 2) Simetri eksenini gören açıları eştir, yani  = Ĉ dir. 3) [] simetri köşegeni, ˆ ve ˆ açılarının açıortayıdır, 4) Köşegenleri dik kesişir, m( ˆK) = 90 o
58 4. ÖRTGENLER. K Şekil 12. eltoid 5) Uzun olan köşegen kısa olanı ortalar, [] [] ve K = K = 1 dir. 2 2. ÇOKGENLER Genel olarak n 5 olduğunda n gen yerine çokgen kavramı kullanılır. Çokgenler kenar doğrularının, kenarları kesip kesmemesine göre iki sınıfa ayrılır. 2.1. işbükey ve İçbükey Çokgenler.. ir çokgenin kenar doğrularının hiçbiri çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere dışbükey çokgen, bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere de içbükey çokgen denir. Şekil 13. ışbükey Çokgen İçbükey Çokgen ir çokgen ile iç noktalarının kümesine çokgensel bölge denir, bu bölgeyi ile gösterelim., için [] oluyorsa bölgesine konveks bölge aksi halde konveks olmayan bölge denir. ir konveks bölge oluşturan çokgenler dışbükeydir.
2. ÇOKGENLER 59 ksi belirtilmedikçe çokgen denildiğinde bir dışbükey çokgen kastedilir. ÇOKGENLERİN ÖZELİKLERİ: n 3 olmak üzere n-kenarlı bir çokgende; 1) ir köşeden çizilen köşegenlerle (n-2)-tane üçgen oluşur, buna göre bir çokgende iç açıların ölçüleri toplamı (n 2) 180 o dir. n m(âi) = (n 2) 180 2 i=1 2) Herhangi bir köşede oluşan iç açı ile dış açı komşu bütünler açılardır. i için m(âi) + m(â i ) = 180o 3) ir çokgenin tüm köşelerinin birleştirilmesiyle oluşan doğru parçalerından n tanesi kenar, diğerleri köşegendir. una göre n kenarlı bir çokgenin köşegen sayısı, n = 3 için s(k) = s(k) = P(n, 2) n = 3(3 3) 2 n(n 1) 2 n = n(n 3) 2 = 0, üçgenin köşegeni yoktur, n = 4 için s(k) =... n = 9 için s(k) = 4(4 3) 2 9(9 3) 2 = 2, dörtgenin 2 köşegeni vardır, = 27 vs. 2.2. üzgün Çokgenler. Tanım 4.5. Kenarları ve iç açıları eş olan çokgenlere düzgün çokgen denir. Mesela eşkenar üçgen, kare birer düzgün çokgendir. * ÜZGÜN ÇOKGENLERİN ÖZELİKLERİ n kenarlı bir düzgün çokgende, 1) her bir iç açısının ölçüsü, yani her i = 1,2,...,n için
60 4. ÖRTGENLER (n 2)180 m(âi) = n ve herbir dış açısının ölçüsü, = 180 o 360 n m(â i ) = 360 n Örnek 2.1. ir düzgün altıgenin her bir iç açısının ölçüsü, 5 4 6 3 60 o 120 o 1 2 Şekil 14. üzgün ltıgen m(âi) = ve dış açısının ölçüsü, (6 2)180 6 = 180 o 360 6 = 120o m(â i ) = 360 6 = 60o 2) Eşit sayıda kenarı birleştiren köşegenler eştir. [ 1 3 ] = [ 2 4 ] = [ 3 5 ] [ 1 4 ] = [ 2 5 ], [ 2 5 ] = [ 1 6 ] ve [ 1 5 ] = [ 2 6 ] vs... 3) Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar paraleldir. [ 1 2 ]//[ 4 5 ], [ 2 3 ]//[ 5 6 ] ve [ 3 4 ]//[ 6 1 ]
2. ÇOKGENLER 61 5 4 6 3 8 1 2 1 Şekil 15. n - çift [ 1 2 ]//[ 5 6 ] ve [ 2 3 ]//[ 6 7 ] vs... 4) Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde karşı kenara çizilen dik karşı kenarı ortalar veya köşeden kenarın ortasına çizilen doğru parçası kenara diktir. E H Şekil 16. n - tek [H] [] H = H Örnek 2.2. Köşegen sayısı kenar sayısının altı katı olan bir düzgün çokgenin, a) kenar sayısı nedir? b) her bir iç ve dış açısının ölçüsü nedir? 5) ir düzgün çokgende kenar sayısı arttıkça düzgün çokgen çembere, çokgensel bölgede daireye yaklaşır.