BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin birisi ile nımlnıordu. P ((,, P( (5,6 gibi. 6 6 Arşırmcılr, bzen sonucun kendisinden dh çok, önemli oln belirli sonuçlrın durumlrı ile ilgilenebilirler. Örneğin; herhngi bir ound iki zrın ılmsı durumund sdece sılrın oplmının 9 olmsı önemli olbilir. Yni rşırmcı (,6, (6, d (5,, (,5 gelmesi durumlrı ile ilgilenebilir. Bu durumd 6 elemn ship bir örneklem uzını, iki zrın oplmlrının büün olsı durumlrını göseren bir kümee indirgemek dh mnıklı olckır. S :,,..., Burd pılmk isenen şe, bir denein örneklem uzının eniden belirlenmesinin sonucunu rşırmkır. İki zrın ılmsınd orijinl örneklem uzı 6 ne eşi olsılıklı sonucu içerir. Anck zrlrın üzlerindeki oplmlrı göseren eni örneklem uzı sonuç içerir, fk bunlrın or çıkm olsılıklrı eşi değildir. Örneğin P(( P(, iken 6 P(( P(, P(, 6 dır. Yni (, den ( lere gidiş gibi bir örneklem uzının eniden belirlenmesi için ugulnn reel değerli bir fonksion RASLANTI DEĞİŞKENİ denir..(,. (,...(,6...7 P(.(,. (,...(,6..8 6...9..5. 6 P(7..6..(6,. (6,...(6,6 6. P(, 6 eniden düzenlenmiş örneklem uzı Orijinl örneklem uzı
(, ler S örneklem uzı içinde or çıkn bir sonuç olmk üzere, ( ler de bir rslnı değişkenidir. Dh genel olrk ifde edersek, rslnı değişkeni S örnkelem uzındki her rsgele ol sısl değerler n bir fonksiondur. Yni örneklem uzındki noklrı belli olsılıklrl ln değişkenlere RASLANTI DEĞİŞKENİ denir. Genel olrk rslnı değişkenleri X, Y... gibi büük hrflerle göserilirken, rslnı değişkeninin ldığı değerler,... gibi küçük hrflerle göserilir. Bir X rslnı değişkeninin değerini olmsı olsılıklrı şğıdki biçimde ifde edilir.: P(X P [ X(s ] P(X P [ X(s ] P(X > P[X(s >] P( X b P[ X(s b] X rslnı değişkeninin lbileceği üm olsı değerlerin olsılıklrı oplmı e eşiir. Örnek: İki prnın birlike ıldığı bir denemede, X rslnı değişkeni ur sısını gösersin. Bun göre X in ldığı değerleri ve bu değerleri lm olsılıklrını bullım. Denemenin örneklem uzı; S { YY, YT, TY, TT} X rslnı değişkeni ur sısını göserdiğine göre X rslnı değişkeni YY sonucu, YT ve TY sonuçlrı için ve TT sonucu için değeri lır. S YY TT YT TY X P(X P(YY, P(X P(YT, TY, P(X P(TT P(X P(X P(X dir. P(X P(YT, TY, TT dir. P( X P(YY, YT, TY olur.
Bun göre herhngi bir X rslnı değişkeni, S örneklem uzındn R gerçek sılr kümesine bir krım pn bir fonksiondur..s X(s - Eğer X rslnı değişkeninin üm olsı değerlerinin sısı sonlu, ve sılbilir sonsuzluk ise X e KESİKLİ RASLANTI DEĞİŞKENİ denir. Eğer X rslnı değişkeninin üm olsı değerlerinin sısı (nım bölgesi, bir rlık d rlıklr kümesi ise X e SÜREKLİ RASLANTI DEĞİŞKENİ denir.. Kesikli ve Sürekli Olsılık Fonksionlrı X kesikli rslnı değişkenini olmk üzere, X in her olsı X değeri için P( P(X olsılığının kesikli olsılık fonksionu (olsılık fonksionu olbilmesi için şğıdki koşullrı sğlmsı gerekir. -Tnım bölgesi dışınd ( R için P( dır. -Tnım bölgesi içinde ( R için P( dir. -Tnım bölgesindeki üm değerler için olsılıklr oplmı dir. P ( ' dir. X sürekli rslnı değişkeni olmk üzere X in her olsı değeri için f( fonksionunun sürekli olsılık fonksionu (olsılık oğunluk fonksionu olbilmesi için şğıdki koşullrı sğlmsı gerekir: - f(; R için - f(; R için - f (. d dir. R Bir rslnı değişkeninin olsılık fonksionu d oğunluk fonksionu biliorsk, P(X, P(X, P( X < b gibi olsılıklrı hesplbiliriz. Olsılık oğunluk fonksionun ile b rlığındki ( b inegrli, ilgili rslnı değişkeninin ile b rlığınd bir değer lm olsılığını verir. b P( X b f (. d Bir X rslnı değişkenin nım bölgesi - ile olck şekilde nımlnmış ise;
-Eğer X kesikli rslnı değişkeni ise P(X, P(X, P(X ve P( X b olsılıklrı, olsılık fonksionundn rrlnılrk şğıd verildiği biçimde bulunur: *P(X P X ( *P(X P ( *P(X P X ( * P ( X b P X ( b -Eğer X sürekli rslnı değişkeni ise olsılıklr her zmn rlıklr nır. Her değeri için P(X dır. f X ( olsılık oğunluk fonksionundn rrlnılrk P(X, P(X ve P( X b olsılıklrı şğıdki biçimde bulunur: *P(X f (. d *P(X ( f (. d * P ( X b f ( d b P( X b P( X <b P( < X bp(< X < b dir. Örnek:Bir blıkçının günde uuğu orlm blık mikrını göseren X rslnı değişkeninin olsılık fonksionu, P X ;,,..., için ( ( ;,,... için ; d. d. biçiminde olsun. Bu olsılık dğılım fonksionunu kullnrk Tm 8 blık um, b 8 den z blık um, c 8 den çok blık um, d 6-8 rsı blık um (6 ve 8 dhil olsılıklrını bulunuz
P(8.8. 8 7 bp(<8 X cp( >8 dp(6 8 9... ( -P( 8- [P(X<8P(X8] -(.8.8.6 8 6... 7.7 ( 8. 8 8.8 Örnek: Bir mdeni pr iki kez ılıor. X rslnı değişkeni prnın iki ılışınd gelen ur sılrını gösersin. X rslnı değişkeninin olslık fonksionunu zınız. b Yzdığınız fonksionun olsılık fonksionu olduğunu göseriniz. Cevplr: Bir pr iki kez ıldığınd X rslnı değişkeninin lcğı değerler, ve dir. Örnek uzınd eşi olsılıklı dör nok olup S { YT, TY, TT } YY, şeklinde ifde edilebilir. Bu durumd olsılık fonksionu X olur. P(X Bu olsılıklrı, ;,, P(X, ; d. d. biçimindeki olsılık fonksionundn elde edilebiliriz. b P( ;,, ve P ( ise ukrıdki fonksion, olsılık fonksionudur.
P(X P(X P(X dir. P(, olsılık fonksionudur. Bir prnın iki kez ılmsı durumundki olsılık fonksionunun grfiğini çizmek isersek. P ( / / olur. Örnek: Olsılık oğunluk fonksionu, d d e f X. ( olrk verilmiş ise P(X ve P( X olsılıklrını bulunuz. P(X.. ( X e d e d f -e - e -e - P(.. e d e 6 e e Örnek: Sürekli rslnı değişkeni X in olsılık oğunluk fonksionu c ; f( c(6- ; <6 ; d.d. olmrk verilmiş olsun. c nin hngi değeri için f( olsılık oğunluk fonksionudur? f( in olsılık fonksionu olbilmesi için nım rlığı üzerinde lınn inegrl
f (. d olmlıdır. Yni. d c(6. d 6 c olmlıdır. cd 6cd c d 6 6 6 6 9c 6c 9c c 6c c (6c 8c ( 9c c bulunur. 9.. Birikimli Dğılım Fonksionu (Cumulive Disribuion Funcion X, S örneklem uzınd nımlnmış bir rslnı değişkeni olmk üzere herhngi bir gerçek değeri için, X rslnı değişkeninin e eşi d ondn küçük bir değer lm olsılığı birikimli dğılım fonksionu d kısc dğılım fonksionu olrk nımlnır. F X ( d F( ile göserilir. F( P {sεsx(s } P(X Biçiminde zılır. Burd F(, X in olsılık dğılımının deki değeridir. Kesikli rslnı değişkeni için F( sğdn sürekli ve zlmn bir bsmk fonksionudur. *X sürekli rslnı değişkeni ise dğılım fonksionu, F(P(X f (. d ; - << için biçiminde zılır. Sürekli rslnı değişkeni için F( sürekli ve monoon zlmn bir fonksiondur. Dğılım Fonksionunun Özellikleri - Her değeri için F( dir. - Tnım bölgesi - << olmk üzere lim F( ve lim F( dir. - F(, in zlmn bir fonksionu olup < için F( F( dir. - < için P( < X F( -F( olur.
5- Kesikli rslnı değişkenin dğılım fonksionu sğdn sürekli bir bsmk fonksionudur. Sürekli rslnı değişkenin dğılım fonksionu d süreklidir. 6- X rslnı değişkeni (sürekli ve kesikli ve F( dğılım fonksionu olmk üzere, P(X>-P(X -F( ilişkisi geçerlidir. Örnek: X kesikli rslnı değişkeninin olsılık fonksionu, P ( 55 ;,,..., ; d. d. için biçiminde verilior. X in dğılım fonksionunu bulunuz. b Dğılım fonksionundn rrlnrk P(, P(> ve P( olsılıklrını bulunuz. ( ( ( olur. 55 55 55 F( p Yni ( F ( ; < ; < ; 6 b P(X F( (Dğılım fonksionu nımındn; 55 Anı olsılık, olsılık dğılım fonksionundn d hesplnbilir. Şöle ki: P(X P(XP(XP(X 55 55 55 6 55 6 5 P(X>-P(X -F(- olur. Anı olsılığı, olsılık fonksionu 55 kullnrk d hesplbiliriz: 5 P(X>-P(X -[(P(XP(X] - 55 55 55 P( X P(<X F(-F( (5.( 8 9 olur; d olsılık fonksionundn rrlnrk, 55 9 P( bulunur. 55 55 55 55 55
Örnek: X sürekli rslnı değişkeninin olsılık oğunluk fonksionu f( ( ; < < için olmk üzere, F( i bulunuz. b P(.<X<, P(X>.5 ve P(X.5 olsılıklrını hesplınız. 6 F( ( d ( ( 6 7 bulunur. Yni: F( ( ; için 6 7 ; < < için ; için b P(.<X<F(-F(. (Sürekli olsılık fonksionu olduğu için 9.9 6.5. 55 {P( X bp( X bp( < X bp( < X <b F(b-F( özelliğini hırlınız} Ve olsılık oğunluk fonksionunun nı rlık inegrli lınrk P(.<X<.. (. d. (. (.69.55...5 P(X >.5- P(X.5-F(.5 -. 875 Benzeri şekilde:.5 P(X.5F(.5. 5, ve f( in inegrli lınrk.5 5.. (. d ( (.5.5 (.5. 5 elde edilir.
X in olsılık oğunluk fonksionunun grfiği: f( 6/ 5/ / X in Dğılım Fonksionunun Grfiği F( Örnek: X sürekli Rslnı Değişkeninin Olsılık oğunluk fonksionu ; < f( ; 6-6 ; < ; > biçiminde prçlı bir fonksion ise dğılım fonksionunu bulrk grfiğini çiziniz. ½ < için F(P(X d
için F( d d < için / / F( d d (6 6 d 6 6 / 6( ( 6 >için / F( o. d d (6 6 d / / o. d / 6 / / 6 / F X 6( ( ( 9 ; < ; 6 ; > ¾ / ¼ ½ Soru..: Y sürekli rslnı Değişkeninin olsılık oğunluk fonksionu (- ; f Y ( ½ ; ; d.d.
olmk üzere dğılım fonksionunu bulup, F( nin grfiğini çiziniz. < için F( < için F( ( d d < için F( ( d d d için F( ( ( d od d od için F( ( od d od d od ( ( F Y,75,5,5 > < < < ; ; ; ; ; ( F Y olur. ; d.d.