MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle kalmazlar ayı zamada karşılaştırmalara, geellemelere, yorumlamalara olaak sağlarlar. Burada cel değşkelere lşk ölçüler celeecektr. Ncel dağılımlarda kullaılacak ölçüler dağılımı odaklaşma oktasıı özetlemeldr. Bu tür ölçülere merkez eğlm ölçüler der.
Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde kullaıla ser tplere (bast, gruplamış, sıılamış) göre hesaplamalarda kullaılacak ormüller değşmektedr. 3 Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler )Artmetk ort. )Geometrk ort. 3)Harmok ort. 4)Mod 5)Medya 6)Kartller Değşkelk Ölçüler ) Rage (Değşm Aralığı) ) Ort. Mutlak sapma 3) Varyas 4) Stadart Sapma 5) Değşkelk(Varyasyo) Katsayısı Çarpıklık Ölçüler )Pearso Asmetr Ölçüsü )Bowley Asmetr Ölçüsü Basıklık Ölçüler 4
Taımlayıcı statstkler, br gruba at belrl değşkeler değerler hakkıda blgy özetleye ölçütlerdr: - Merkez eğlm ölçütler (dağılımı yer göstere ölçütler) - Yayılma ölçütler (dağılımı yaygılık ölçütler) 3-Dağılımı şekl ölçütler 5 Merkez Eğlm Ölçüler(Yer Ölçüler) Ver set taımlamak üzere kullaıla ve geellkle tüm elemaları dkkate alarak ver set özetlemek ç kullaıla adelerdr. Ver setdek tüm elemaları temsl edeblecek merkez oktasıa yakı br değerdr. 6
Çok çeştl ola (merkez eğlm ölçüler) ortalamalarda e öemller: Artmetk ortalama (mea) Ağırlıklı artmetk ortalama Geometrk ortalama Harmok ortalama Kuadratk ortalama Mod Medya Kartller 7 Ortalamalar (averages) başlıca k amaca hzmet ederler: Herhag br örekte elde edle kattat (sayısal) ver grubuu kısa açıklaması; İdrek (dolaylı) olarak ve bell br doğruluk derecesde populasyou açıklamasıdır 8
) Artmetk Ortalama Üzerde celeme yapıla ver setdek elemaları toplaıp celee elema sayısıa bölümesyle elde edle yer ölçüsüe artmetk ortalama der. Halk dlde ortalama ades kullaıldığıda lk akla gele kavram artmetk ortalamadır. Örek: Sıav otlarıı ortalaması, Yaz aylarıda m ye düşe ortalama yağış mktarı 9 Artmetk ortalamaı özellkler:. Örek elemaları (ortalama) etraıda toplama eğlmdedr ya öreğ e y temsl ede tek br smetrk değerdr.. 0 0 0 ( ) 0 Artmetk ortalamada sapmaları toplamı sıırdır. 0
Artmetk ortalamaı özellkler: 3. Örek elemalarıı artmetk ortalamada sapmaları kareler toplamı mmumdur. ( ) m Bast Serler İç Artmetk Ortalama : örek hacm,,3,., Örek: Br abrkada çalışa 5 edüstr müheds bldğ yabacı dl sayıları aşağıda verlmştr. Bua göre bu mühedsler bldğ yabacı dl sayısıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız.,0,,,0 X İ 0,0,,,. 5,,,5 + 0 + + + 0 5
Gruplamış Serler İç Artmetk Ortalama Grup k k Frekas 5 5 66 3 98 7 4 88 8 5 40 94 7 658 0 605 k : rekas k: grup sayısı,,3,.,k Örek: Yadak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. k k 5() + 66(3) +... + 94(7) + 3 + 4 + 5 + 7 605 0 80,5 3 Sıılamış Serler İç Artmetk Ortalama : rekas k : sıı sayısı,,3,.,k m : sıı orta oktası k k m k Sıılamış serlerde her br sıı çdek değerler eler olduğu blmedğde dolayı ve yalızca her br sııı rekas değerler bldğde dolayı sııı temsl etmek üzere sıı orta oktaları hesaplamada kullaılır. Kullaıla ormül gruplamış bezerdr. serler ç kullaıla ormüle 4
Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. Sıılar m m 30-36 da az 33 66 36-4 de az 6 39 34 4-48 de az 0 45 450 48-54 da az 7 5 357 54-60 de az 4 57 8 60-66 de az 63 63 Toplam 30 398 k m k 33 () + 39 (6) +... + 63 () 30 398 30 46,6 kg. 5 ) Geometrk Ortalama Br ver setde bulua adet elemaı çarpımıı c derecede köküü alımasıyla elde edle yer ölçüsüdür. G... Geometrk ortalamaı ormülüe bakıldığıda hesaplama zorluğu olduğuda dolayı logartma ades kullaılır. Geellkle bast serler ç kullaışlı olup egat sayılar ç kullaışlı değldr. log Log G G at log log 6
Geometrk Ortalama ı Kullaım Alaları Ortalama oraları, Değşm Oraları, Logartmk dağılış göstere ver setler, ç kullaışlıdır. Örek: yat deksler, az ormüller. 7 Geometrk Ortalamaı Özellkler. > 0 olmalıdır..serdek değerler her br yere geometrk ortalama koulduğuda ser çarpım soucu değşmez..4.8.6.3 3768 8.8.8.8.8 3.Geometrk ortalamaı orjal gözlemler logartmk sapmaları eşttr. Bu özellkte dolayı ortalama oralara, değşme oralarıa, logartmk dağılmışşekller uygulaır. Öreğ; yat dekslerde geometrk ortalama alamlı souçlar verr. 4.Artmetk ortalama gerçekte sp ola değerler yere mutlak değerlemş gb br şleme bağlı tutularak çok arta sp değerler olduğuda azla gösterr. Bu yüzde yukarı eğlmldr. 8
5.Logartmk br dağılımda geometrk ortalamaı terch ede böyle br dağılımda mutlak sapmaları değl acak merkez eğlm etraıda sp sapmaları smetrk olma eğlmdr. 6.G brmler değerler arasıdak oraa göre değer alır. 7.Uç değerlerde artmetk ortalama kadar etklemez. 8. 9. 0. G < * *... G G G..... G 9 Örek: Br alışverş merkezdek 5 arklı meyve satış yatı aşağıdak gbdr. Bua göre meyveler satış yatlarıı geometrk ortalamasıı hesaplayıız. Elma:,5 YTL. Üzüm:,5 YTL Erk: YTL Muz : 3 YTL. Armut : YTL. G... 5 5 (,5)()(,5)(3),5,86YTL. log 0 + 0,7609 + 0,3003 + 0,39794 + 0,477 Log G 5,358 Log G 0,7045 5 G at log 0,7045 0 0,7045,86 YTL. 0
3) Harmok Ortalama Br ver setde bulua adet elemaı çarpma şleme göre tersler ortalamasıı ters alımasıyla elde edle yer ölçüsüdür. Geellkle bast serler ç kullaışlıdır. H + +... + H + +... + Harmok Ortalama ı Kullaım Alaları Belrl yat tpler, Zama serler, ç kullaışlıdır. Örek: Zama brm başıa hız, para brm başıa satı alıa brm sayısı.
Harmok Ortalamaı Özellkler. Harmok ortalama aşağı eğlmldr. olmalıdır.. ARİTMETİK ORT. > GEOMETRİK ORT. > HARMONİK ORT. 3. Eğer... se G H olur. > 0 3 Örek: Br tekstl abrkasıda çalışa dört kş br patolou ütüleme süreler aşağıda verlmştr. Bua göre bu abrkada br patolo ortalama kaç dakkada ütüler? İşç : 0 dk. İşç : 6 dk. İşç 3: 4 dk. İşç 4 : 5 dk. H 4 + 5 + + 6 4 0 43 40 H 40 43 5,58dk. 4
4) Mod Br ver setde e çok gözlee ( e çok tekrar ede ) değere veya rekası e azla ola şas değşke değere mod adı verlr. Ver set modu olmayacağı gb brde azla da modu olablr. Mod geellkle keskl şas değşkel ç oluşturula gruplamış serlerde artmetk ortalama yere kullaılablr. 5 Bast Serler İç Mod Örek: Br abrkada çalışa 5 edüstr müheds bldğ yabacı dl sayıları aşağıda verlmştr. Bua göre bu mühedsler bldğ yabacı dl sayısıı moduu hesaplayıız. :,0,,,0,,0 0,0,0,,,,. Ver setde e çok tekrar ede elema 0 olduğuda (3 kez ) mod değer 0 dır. Eğer ver set,0,,,0,,0 şeklde olsaydı ver set k modlu olacaktı. ( 0 ve ) Eğer ver set,0,,,0, şeklde olsaydı ver set moduu olmadığı ade edlecekt. 6
Gruplamış Serler İç Mod Örek: Aşağıdak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı moduu hesaplayıız. Ekra 5 66 3 7 4 8 5 94 7 Satış Aded Frekas dağılımıa bakıldığıda e azla satış mktarı 94 ekra LCD televzyoda olduğuda dolayı ( 7 adet ) dağılımı moduu 94 olduğu söyler. Eğer 8 ekra LCD televzyolarıda da 7 adet satılsaydı dağılımı k modu olduğu ade edlrd. ( 8 ve 94 ) 7 Sıılamış Serler İç Mod Sıılamış serlerde mod değer hesaplaırke lk olarak mod sııı belrler. Mod sııı rekası e yüksek ola sııtır. Mod sııı belrledkte sora bu sıı çersde yer ala modu tam değer sıı rekası ve kede komşu ola sıı rekasları dkkate alıarak hesaplaır. 8
Mod Δ L mod +. Δ + Δ L Mod Sııı Aralığıı Alt Sıırı Mod Δ Δ Mod Sııı Frekası Kedde Br Öcek Sıı Frekası Mod Sııı Frekası Kedde Br Sorak Sıı Frekası Mod Sıııı Sıı Aralığı 9 Örek: Sıılar m m Σ 0-0 da az 5 60 0-0 de az 6 5 90 8 0-30 da az 4 5 00 30-40 da az 35 70 4 40-50 de az 45 45 5 toplam 5 365 Δ Mod L mod +. Δ + Δ 0 +.0 6.67 + 6 M o d S ı ı ı Mod sıııı alt sıırı Mod sıııyla br öcek sıı r. arasıdak ark Mod sıııyla br sorak sıı r. arasıdak ark 30
Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı moduu hesaplayıız. Sıılar 30-36 da az 36-4 de az 6 Mod sııı 4-48 de az 0 48-54 da az 7 54-60 de az 4 60-66 de az Toplam 30 Mod L mod Δ + Δ + Δ. (0 6) 4 +.6 45,4 kg. (0 6) + (0 7) 3 5) Medya Br ver set büyükte küçüğe veya küçükte büyüğe sıraladığımızda tam orta oktada ver set k eşt parçaya ayıra değere medya adı verlr. Ver setde aşırı uçlu elemalar olduğuda artmetk ortalamaya göre daha güvelrdr. Medya, ver setdek tüm elemalarda etklemez. Brm sayısıdak değşmelerde etkler, uç değerlerde etklemez. Medyaı stadart hatası, artmetk ortalamaıkde daha büyüktür. 3
Bast Serler İç Medya Ver Set Hacm Tek Sayı İse; + Ver Set Hacm Çt Sayı İse; ve + c gözlem değer medyadır. c gözlem değer artmetk ortalaması medyadır. 33 Örek: İstatstk I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıdak gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç medya değer hesaplayıız. 30,4,56,6,68,79,8,88,90,98 / ve (/)+ c elemalar 68 ve 79 olup buları ortalaması 73,5 medya değerdr. Ver Set 30,4,56,6,68,79,8,88,90 şeklde 9 adet verde oluşsaydı (+)/ c elema ola 68 ver set medyaı olacaktı. 34
Gruplamış Serler İç Medya Gruplamış serlerde medya değer hesaplaırke ver set tam orta oktasıı hag gruba at olduğuu belrlemek ç kümülat rekas sütuu oluşturulur. Sıra umarası belrledkte sora o sıra umarasıa at grup medya değer olarak ade edlr. 35 Grup Frekas 5 66 3 4 7 4 8 8 5 3 94 7 0 Örek: Yadak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı medyaıı hesaplayıız. / ve (/)+ c gözlem değerlere karşılık gele değerler (0 ve c sıra ) 8 olduğuda dolayı medya değer 8 dr. Grup Frekas 5 66 3 4 7 4 8 8 5 3 94 5 Frekas dağılımı yadak gb olsaydı (+)/ c elemaa ( 8 c elemaa ) karşılık gele sayı 7 olduğuda dolayı ver set medyaı 7 olacak d. 36
Sıılamış Serler İç Medya Sıılamış serlerde medya değer hesaplaırke lk olarak medya sııı belrler. Medya sııı kümülat rekaslar dkkate alıdığıda toplam rekası yarısıı çde buludura sııtır. Medya sııı belrledkte sora medya sıııda br öcek sııı kümülat rekası ve medya sııı rekası dkkate alıarak hesaplaır. 37 Medya L l +. med med L med : Medya sıııı alt sıırı l : Medya sıııda br öcek sııı kümülat rekası med : Medya sıııı rekası 38
Örek: Sıılar m m Σ 0-0 da az 5 60 0-0 de az 6 5 90 8 0-30 da az 4 5 00 30-40 da az 35 70 4 40-50 de az 45 45 5 toplam 5 365 Medya sıııda br öcek sııı kümülat rekası l Med L 5 med +. 0 +.0 0.83 6 Medya sıııı alt sıırı med Medya sıııı rekası Sıı aralığı 39 M e d y a S ı ı ı Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı medyaıı hesaplayıız. Medya sııı Sıılar 30-36 da az 36-4 de az 6 8 4-48 de az 0 8 48-54 da az 7 5 54-60 de az 4 9 60-66 de az 30 Toplam 30 l Medya L med +. med 5 8 4 +.6 46, kg. 0 40
X Sıılar m m Σ 40-49 3 45 35 3 50-59 5 55 75 8 60-69 65 75 9 70-79 75 650 4 80-89 5 85 75 56 90-00 6 95 570 6 toplam 6 460 l m Med Lmed +. med ÖDEV Δ Mod L mod +. Δ + Δ 4 Mod, Medya ve Artmetk Ortalama Karşılaştırılması Smetrk dağılışlarda mod medya Dağılımıda(+)asmetr varsa : > medya > mod Dağılımıda(-)asmetr varsa : < medya < mod 4
Mod. Medya ve Artmetk Ortalama Karşılaştırılması (+) Asmetr mod med ( ) Asmetr med mod 43 6) Kartller Br ver set büyükte küçüğe veya küçükte büyüğe sıraladığımızda dört eşt parçaya ayıra üç değere kartller adı verlr. İlk % 5 lk kısmı çde buludura. Kartl (Q ), % 50 lk kısmı çde buludura. Kartl (Q ), % 75 lk kısmı çde buludura 3. Kartl (Q ), olarak adladırılır. %5 %5 %5 %5 %50 lk kısmı çde buludura. Kartl (Q ) ayı zamada ver set medyaıdır. Q Q Q 3 44
Bast Serler İç Kartller.Kartl Q Ver Set Hacm Tek Sayı İse; + 4 4 + c gözlem değer, Ver Set Hacm Çt Sayı İse; 4 ve c gözlem değerler artmetk ortalaması.kartl verr. 3.Kartl Q 3 Ver Set Hacm Tek Sayı İse; c gözlem değer, Ver Set Hacm Çt Sayı İse; 3 4 ve 3 + 4 3 + 4 c gözlem değerler artmetk ortalaması 3.Kartl verr. 45 Örek: İstatstk I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıdak gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç Q ve Q 3 değerler hesaplayıız. 30,4,56,6,68,79,8,88,90,98 /4 ve (/4)+ c elemaları artmetk ortalaması 56 olduğuda Q 56, 3/4 ve (3/4)+ c elemaları artmetk ortalaması 88 olduğuda Q 3 88 dr Ver Set, 30,4,56,6,68,79,8,88,90 şeklde 9 hacml olsaydı, (+)/4 cü elema ola 49.Kartl, (3+)/4 cü elema ola 8 3.Kartl olarak ade edlrd. 46
Gruplamış Serler İç Kartller Gruplamış serlerde kartller hesaplaırke ver set lk çeyrek ve so çeyrek kısmıı tam olarak ade etmek amacıyla kümülat rekas sütüü oluşturulur. Gruplamış serlerde örek hacm tek veya çt olduğua bakılmaksızı /4 cü elema.kartl (Q ), (3)/4 cü elema se 3. Kartl (Q 3 ), olarak ade edlr. 47 Grup Frekas 5 66 3 4 7 4 8 8 5 3 94 7 0 Grup Frekas 5 66 3 4 7 4 8 8 5 3 94 5 Örek: Yadak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı. ve 3 cü Kartller hesaplayıız. /4 değere karşılık gele sıra grup değer 8 olduğuda.kartl, ve 3/4 değere karşılık gele grup değer 94 olduğuda 3.Kartl olarak ade edlr. Frekas dağılımı yadak gb verlmş olsaydı Q 66 ve Q 3 8 olacak d. 48
Sıılamış Serler İç Kartller Sıılamış serlerde kartller hesaplaırke lk olarak kümülat rekas sütuu oluşturularak kartl sııları belrler. Kartl sııları belrlerke gruplamış serlerde olduğu gb /4 ve (3)/4 cü sıralardak elemaları hag sıılara at seler o sıılar kartl sııları olur. Kartl sııları belrledkte sora bu sıılarda br öcek sııı kümülat rekası ve mevcut sıı rekası dkkate alıarak kartl değerler hesaplaır. 49. Kartl. Kartl 3. Kartl Q Q Q 3 Medya L L l Q +. L l Q +. Q Q l +. Q 3 4 Q 3 4 3 50
Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı c ve 3 cü kartller hesaplayıız. Q sııı Q 3 sııı Q L Q + 4 Sıılar 30-36 da az 36-4 de az 6 8 4-48 de az 0 8 48-54 da az 7 5 54-60 de az 4 9 60-66 de az 30 Toplam 30 Q l. 7,5 36 +.6 4,5 kg. 6 Q L 3 Q3 + 3 4 Q3 l.,5 8 48 +.6 5,9 kg. 7 5 ÖZET Adı Sembolü Bast verler Grupladırılmış Verler Artmetk Ortalama X Medya (.kartl,.çeyrek) Med Q Sıralı gözlemlerde orta elema yada orta elemaları artmetk ortalamasıdır. Mod Mod E çok tekrar ede değer, e sık rastlaa değer veya durum. Formülü Sııladırılmış Verler m L+ l. med Δ L +. Δ +Δ Kullaım Yer Aks geçerl olmadıkça yer ölçüsüdür. Uç değerler buluduğu gözlemlerde veya aşırı çarpık dağılımlarda yada açık uçlu serlerde kullaılır. Ortalama sözcüğü e çok tekrar ede durumu ade edyorsa ve çarpıklığı ölçülmesde. 5