10. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 20, 2016 1 Yarıbasit Bir Lie Cebirinin Yapısı Hakkında Yarıbasit bir Lie cebirinin yapısını analiz etmeye devam ediyoruz. hatırlayınız: Kök uzay ayrışımını g = h χ Φ g χ. (1.1) Burada h bir maksimal simitsel altcebir ve ayrışım (1.1), V = g vektör uzayının bir h-modül (h değişmeli operatörlerden oluşmakta) olarak ortak özuzay ayrışımıdır. Bir kökü χ Φ sabitleyelim. x g χ için, öyle tek bir y g χ vardır ki (x, y, [x, y]), sl(2, k) nin bir kopyası s χ yi gersin. Dahası, y i öyle bir seçelim ki [x, y] = h χ olsun, burada h χ = Yukarıda t χ, h nin karakter χ ı belirleyen elemanıdır: 2t χ B(t χ, t χ ). (1.2) χ(h) = B(t χ, h) her h h için. Bu yüzden, χ(h χ ) = 2χ(t χ )/B(t χ, t χ ) = 2 olur. Aşağıdaki iddialarda bulunuyoruz; 1
1. Her χ Φ için, kök uzayı g χ 1-boyutludur ve s χ = g χ g χ [g χ, g χ ]. 2. Eğer χ Φ ise χ ın Φ de kalan tam sayı katları sadece χ ve χ dır. 3. χ, β Φ ise β(h χ ) Z ve β β(h χ )χ Φ olur. 4. χ + β Φ ise [g χ, g β ] = g χ+β olur. 5. Eğer β, χ Φ ve q, r; β + qχ ve β rχ ın kök olduğu en büyük tam sayılar olsun, o zaman β + iχ da bir kök olur ( r i q.) 6. g bir Lie cebiri olarak kök uzayları g χ lar tarafından gerilir. Bu iddialarımızı sıradaki altbölümde ispatlıyoruz. 1.1 İspatlar M = h + c k olarak tanımlayalım. M nin, s χ üzerine bir modül olduğu barizdir. z g cχ için [h χ, z] = cχ(h χ )z = 2cz olur. sl(2, k) nın bir kopyasının tüm ağırlıkları tam sayı olduğundan, görürüz ki 2c Z olmalı. Özel olarak, c bir tam sayının yarısı olmalıdır. χ bir karakter (k ya, örten homomorfizma) olduğundan, h deki çekirdeğinin ters boyutu bir ve h = ker χ kh χ olur. Açıktır ki s χ, ker χ ya bayağı etki eder ve dolayısıyla, h s χ, M nin bir alt temsili K dır. Yarıbasit Lie cebirlerinin temsilleri tamamıyla indirgenebilir olduğundan, h s χ ın M deki tamlayanına odaklanacağız. Bu tamlayanı K ile gösterelim. Eğer K K indirgenemez bir s χ modül ise onun ağırlıkları m, m + 2,..., m 2, m şeklinde tam sayılardır. 0, K ın ağırlığı olmadığından, sayılar m,..., m 2, m den hiç biri çift değildir. Özel olarak, görürüz ki K ağırlığı çift olan bir özuzayı içeremez, dolayısıyla bir kökün iki katı K da olmaz. Özel g cχ 2
olarak, 1χ kök olamaz. Son iddia m nin tek olamayacağını da ima eder, dolayısıyla 2 K = 0 olmalıdır. Sonuç olarak, h c k g cχ = M = h s χ olur ve bu da s χ = g χ g χ [g χ, g χ ] olduğunu ima eder. Dolayısıyla dim g χ = 1 ve χ ın, Φ de kalan diğer tek skalar katı χ olur. 3 ü ispatlamak için s χ = sl(2, k) nın K = i Z g β+iχ üzerine olan etkisine bakarız, burada β, ±χ dan farklı bir kök. Dikkat ediniz ki [g ±χ, g β+iχ ] g β+iχ±1 olduğundan, K bir s χ modüldür. J, K da olan sıfırdan farklı ağırlıkların β(h χ ) + 2i 0 (i Z) çoklu kümesi olsun. Aslında J nin küme olduğu açıktır (çoklu küme değil.) Tamamıyla indirgenebilir olmanın ışığında, görüyoruz ki K ya sl(2, k) nin indirgenemez bir temsilidir ya da { m, m+2,..., 2, 0, 2,..., m} ve { n,..., 1, 1,..., n} ağırlıklarına sahip iki tane sıfırdan farklı indirgenemez temsilin, K ve K, direkt toplamıdır. Ancak, herhangi bir ağırlık β(h χ ) + 2i (i Z) şeklindedir, dolayısıyla iki ağırlığın aralarındaki fark çifttir. Özel olarak, görüyoruz ki K indirgenemezdir ve ağırlıkları J = { m, m + 2,..., m 2, m} dir, burada m tek ya da çifttir. Yine de, q ve r negatif olmayan öyle tam sayılar olsun ki β(h χ ) + 2q = m, K nin maksimal ağırlığı ve β(h χ ) 2r = m de en küçük ağırlığı olsun. Bu yüzden, (β rχ)(h χ ) = (β + qχ)(h χ ), β(h χ ) = r q Z yi verir. Dahası, eğer r i q ise β(h χ ) + 2i { m, m + 2,..., m} olur ve dolayısıyla β + iχ bir köktür. K nin indirgenemezliğinin başka bir sonucu da χ + β 0 olması halinde [g χ, g β ] = g χ+β olmasıdır. 3
Son olarak 6 yı ispatlıyoruz: Önceki dersten biliyoruz ki Φ, h i gerer, denk olarak, {h χ h : χ Φ}, h yi gerer. [g χ, g χ ], h χ ile gerildiğinden, görürüz ki {g χ : χ Φ}, g yi bir Lie cebir olarak gerer. 2 Kök Sistemleri Φ nin temel özelliklerini (bir kez daha) listeliyoruz: 1. Φ sıfırdan farklı vektörlerin sonlu bir kümesidir. 2. h, Φ ile gerilir. 3. Eğer χ Φ ise, χ ın Φ de kalan tam sayı katları sadece χ ve χ dır. 4 (v.0). Eğer χ, β Φ ise β(h χ ) Z ve β β(h χ )χ Φ olur. Son madde (4) ü öyle bir değiştireceğiz ki g ye bağlı gibi gözükmesin. Bunu yapmak için, h in Φ ile gerilen altuzayını E ile gösterelim; E = χ Φ Rχ. E üzerinde doğal bir iç çarpım tanımlayacağız. Hatırlayınız ki Killing formu B, h üzerinde dejenere değildi. Bu yüzden E ye taşımak için iyi bir adayımız var. h daki iki keyfi vektör χ, β için, (χ, β) := B(t χ, t β ) olarak tanımlayalım, burada t χ, h nin χ(h) = B(t χ, h) (h h) ile tanımlanan tek elemanı (Bu mümkün çünkü Killing formu dejenere değil). üzerinde bir iç çarpım olduğunu ispatlamak direkt hesaplama ile mümkündür. Ayrıca, ( ) 2tχ β(h χ ) = β B(t χ, t χ ) olduğunu kontrol etmek de kolaydır. = 2 B(t β, t χ ) B(t χ, t χ ) = 2(β, χ) (χ, χ) (, ) ın E Ancak temel lineer cebirden biliyoruz ki (β,χ) χ, β nın χ tarafından gerilen doğruya izdüşümüdür. (χ,χ) Dolayısıyla, normal vektörü χ olan hiperdüzleme göre yansıma operatörü s χ : E E, ile verilir. (β, χ) s χ (β) = β 2 (χ, χ) χ Dördüncü maddeyi tekrar ifade etmek için hazırız: 4
4 (v.1). Eğer χ, β Φ ise 2 (β,χ) (χ,χ) Z ve s χ(β) = β 2 (β,χ) (χ,χ) χ Φ olur. Bir Öklid uzayındaki yukarıdaki özellikleri (1 3 ve 4(v.1)) sağlayan bir vektörler kümesine kök sistemi denir. Son koşul 4 (v.1), bir kök sistemine 4. katı yapısal özelliği getirir. Φ deki vektörlerin arasında mümkün olan açılara önemli bir kısıtlama getirir. (Hatırlayınız iki vektörün arasındaki açı θ, χ β cos θ = (χ, β) ile hesaplanabilir.) Notasyonu kolaylaştırmak için, 2 (β,χ) yı, β, χ ile gösterelim. (Dolayısıyla, β, χ = (χ,χ) β(h χ ) olur.) Bu yüzden, β, χ χ, β = 4(β, χ)2 (β, β)(χ, χ) = 4(β, χ)2 β 2 χ 2 = 4 cos2 θ olur. Bu sayı bir tam sayı olduğundan ancak asağıdaki olasılıklar mümkündür: Açı χ, β β, χ π/2 0 0 π/3 1 1 2π/3-1 -1 π/4 1 2 3π/4-1 -2 π/6 1 3 5π/6-1 -3 Tablodan ve s χ ın tanımından görebiliriz ki iki tane birbiriyle orantılı olmayan kök χ, β Φ için, eğer (χ, β) < 0 ise χ + β Φ olur; eğer (χ, β) > 0 ise χ β Φ olur. Tablo bize ayrıca der ki, eğer χ sabitse, o zaman her β Φ için 3 β, χ 3 olur. Buradan da görebiliriz ki eğer χ ve β sabitlenmişse, β + iχ şeklinde görülen vektörlerden en fazla 4 tanesi Φ de kalır. (4, G 2 kök sistemi tarafından sağlanır. Bu kök sistemini yakında vereceğiz.) 5
3 Weyl Grupları Φ bir kök sistemi olsun. Yansıma operatörleri s χ, χ Φ ile gerilen sonlu gruba Φ nin (ve g nin) Weyl grubu denir. Weyl grupları daha genel olan Coxeter gruplarının özel halleridir. Kabaca ifade etmek gerekirse, bir grup W, kıvrılmalardan (derecesi 2 olan elemanlardan) oluşan bir alt kümesi S W tarafından üretiliyorsa W ya Coxeter grubu denir. Daha açık bir şekilde, W nun gösterimi s 2 = id her s S için, ve (ss ) m ss = id, burada W = s S : m ss {2, 3,..., } her birbirinden farklı s, s S için şeklindeyse, Coxeter grubu olarak adlandırılır. Coxeter gruplarıyla ilgili bir ek bölüm İngilizce olarak hazırdır. Bu dersin geri kalanı o notlarda bulunmaktadır. References [1] Humphreys, J. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory 6