tüdergs/d mühendslk Clt:6, Sayı:2, 95-8 Nsan 27 İk boyutlu betonarme yapı elemanlarında doğrusal olmayan sonlu eleman yaklaşımı Yıldır AKKAYA *, Zeka CELEP İTÜ Fen Blmler Ensttüsü, Yapı Mühendslğ Programı, 34469, Ayazağa, İstanbul Özet Homojen ve zotrop malzeme çn gelştrlen sonlu eleman yöntemnn betonarme yapı elemanlarına uygulanmasında genellkle çeştl sorunlarla karşılaşılır. Blndğ gb betonarme davranışı farklı olan beton ve donatıdan oluşur. Donatı br homojen malzeme olarak kabul edlebldğ çn malzeme özellkler kolaylıkla tanımlanablr. Dğer taraftan beton mekank özellkler oldukça genş alana dağılan br heterojen malzemedr. Bu k malzemenn yük etksnde etkleşm, betonun çatlamasının ve çatlama sonrası davranışının tanımlanması gerçekç br model gelştrmede öneml güçlükler ortaya çıkarır. Bu güçlükler beton çn gerlme-şekl değştrme bağıntılarının oluşturulmasını karmaşıklaştırır. Beton ve donatı arasında şekl değştrme uygunluk koşullarının sağlanması kolay br ş değldr. Uygunluk koşullarını sağlamak çn yapılan kabuller modeln davranışını etkler. Davranış doğrusal olmadığı çn, sayısal şlem hacmn arttıran adım adım çözümleme gerekl olur. Bu artış, kullanılan yaklaşım krterler ve sayısal stablte problemler, mühendslk problemlernde brncl öneme sahp olan denge denklemlernn sağlamasını zorlaştırır. Bu çalışmada monoton artan yüklemede k boyutlu kabul edleblecek betonarme krş, yüksek krş, perde gb yapı elemanlarının doğrusal olmayan davranışı çn kullanılan br sonlu eleman çözüm modelnde beton ve donatı davranışının modellenmes ve doğrusal olmayan artımlı çözümlemenn formülasyonu verlmştr. Önerlen sonlu eleman çözüm modelnde beton ve donatı elemanların malzeme ve eleman rjtlk matrsler ayrı ayrı oluşturulmuş ve daha sonra brleştrlmştr. Betonun güç tükenmes, çatlaması ve donatının akmasını çerecek şeklde, malzemenn doğrusal olmayan davranışı çn gerekl olan, artımlı gerlme-şekl değştrme lşks bu çözüm modelnde kullanılmıştır. Anahtar Kelmeler: Betonarme, beton, monoton artan yükleme, sonlu elemanlar. * Yazışmaların yapılacağı yazar: Yıldır AKKAYA. yakkaya@ns.tu.edu.tr; Tel: (22) 285 38 48. Bu makale, brnc yazar tarafından İTÜ Fen Blmler Ensttüsü, Yapı Mühendslğ Programı nda tamamlanmış olan "Düzlem gerlme durumunda betonarme elemanların doğrusal olmayan davranışlarının sonlu eleman yöntemyle ncelenmes" adlı doktora teznden hazırlanmıştır. Makale metn.4.26 tarhnde dergye ulaşmış, 7.7.26 tarhnde basım kararı alınmıştır. Makale le lgl tartışmalar 3.2.27 tarhne kadar dergye gönderlmeldr.
Y. Akkaya, Z. Celep Nonlnear fnte element approach for two-dmensonal renforced concrete structural elements Extended abstract Fnte element method developed for homogenous and sotropc materal can be appled n structural engneerng on analyss of renforced concrete elements. As t s well known, renforced concrete conssts of two materals,.e., concrete and steel, whch have dferent mechancal behavor. Steel can be consdered a homogenous materal and ts materal propertes are well defned. On the other hand concrete s a heterogeneous materal havng mechancal propertes scatter very wdely. Interacton of these two materals under loadng and crack formaton n concrete are prme dfcultes whch have to be consdered for developng realstc fnte element models. In the present study, a fnte element model s developed for the nonlnear behavor of the twodmensonal renforced concrete structural elements subjected to monotonc ncreasng loadng. Stfness matrces and typcal fnte elements are developed separately for concrete and steel. Snce step-wse solutons s requred to capture the nonlnear behavor of the materals, ncremental stress-stran relatonshp s used n the analyss by ncludng effects of crackng and falure of concrete as well as yeldng of steel. Behavor of concrete s not easy to defne. However, t can be roughly dvded nto three stages: the uncracked elastc stage, the development of cracks and the hghly nonlnear plastc stage. In the present study an ncremental baxal orthotropc fnte element for concrete s adopted. Ths model s assumed that the orthotropc materal axes concde wth the prncpal axes of the total stran. Furthermore, t s assumed that the prncpal axes of total stresses concde wth those of total strans. The concept, whch s known as equvalent unaxal stran, s used to represent the baxal behavor of concrete n ths study. By usng the concept of equvalent unaxal stran, the baxal behavor of concrete s derved from unaxal stress-stan relatons. Ths model s based on an ncremental stress-stran relaton. Generally, the axes of orthotropy change contnuously durng the analyss at each teraton step. Consequently so does the prncpal axs of stress. Ths approach s known as the rotatng crack model. For each axs of orthotropy the unaxal stress stran curves used for obtanng the total stresses and the materal propertes n the prncpal drectons are determned. These stresses n the local axes are transformed to the stresses n the global axes. The stfness matrx of the element for the baxal case s obtaned n the orthotropc drectons. The stfness matrx n the orthotropc drectons s transformed to the stfness matrx n the global reference system. Characterstc values of the unaxal curves are obtaned from the baxal strength envelope dependng on the locaton of the stress pont n the stress plane. The two ncremental stress-stran relatons are developed and used for representng the one for the uncracked and the other for the cracked concrete. The effect of crackng n concrete s taken nto consderaton by usng the smeared cracked model. Quadrlateral fnte elements havng four nodes are adopted for concrete and web steel renforcement. Furthermore, four ntegraton ponts are used for the surface ntegratons. Renforcng steels s represented n two ways n ths study;.e., dscrete and smeared (dstrbuted) models. In the dscrete modelng case, t suffces to dealze the steel bars as a one-dmensonal two-node truss element, subjected only to constant axal forces for computatonal smplcty. In case of the smeared model the renforcng steel s assumed to be dstrbuted over the concrete element at a certan orentaton angle relatve to the global axes. In the two dmensonal problems, as t s the case n the present study, the nodal ponts have two degrees-of-freedom. A unaxal stress-stran relaton needs to be speced for the renforcng steel. An elastc-lnear hardenng model s used for the modelng axal behavor of the renforcng steel. The relatve dsplacement or slp between concrete and steel s gnored and the perfect bond s assumed. Varous numercal solutons are carred out to check the accuracy of the model and to predct the behavor of the dferent renforced concrete elements. The present study ncludes the numercal analyses for deep beams, where the effects of varous parameters on the behavor of the deep beams are nvestgated n detal. The fgures, whch represent the numercal results, show clearly the behavor of the deep beam, the falure mechansm and the development of cracks. A compasson of the results wth the expermental results shows that the model provdes a very good approach. Keywords: Renforced concrete, concrete, monotonc ncreasng load, fnte elements. 96
Doğrusal olmayan sonlu eleman yaklaşımı Grş Betonarme elemanların boyutlandırılması (normal kuvvet, eğlme moment, kesme kuvvet ve burulma moment etks altında kullanma yükler etksnde davranışı veya güç tükenme yüklernn bulunması) mukavemet derslernde verlen lkelern küçük değşklklerle uygulanmasından barettr. Buna karşılık elastste teorsnn lkelernn uygulanması (gerlme ve şekl değştrme kavramlarından hareket edlmes) le çözüm elde edlmesnde büyük zorluklarla karşılaşılır. Bunun en öneml nedenler arasında; genel olarak betonun çok eksenl gerlme altında bulunması, çekme ve basınç gerlmeler altında farklı davranışı, beton ve çelğn değşk yük etkler altında karmaşık etkleşmdr. Betonarme yapı elemanlarında düşük gerlme altında ble betonda çatlaklar oluşur. Bu çatlaklar, artan yük etkler le elemanda yayılarak genşler. Bu çatlakların lerleyş, bütün yapının yada elemanın yükyerdeğştrme davranışını etkler; bazı bölgelerde gerlme ve şekl değştrmelern daha da artmasına neden olur. Bu tür davranışın ncelenmes çn yapılacak deneysel çalışmalar çn gerekl zaman ve malyet de yüksektr. Ngo ve Scordels (967) doğrusal olmayan sonlu elemanlar yöntemn betonarme krşlere uyguladığından ber, bu teknk gelşerek karmaşık betonarme elemanların davranışının belrlenmes ve tasarımında öneml br hesap aracı olmuştur. Betonarme yapı elemanların doğrusal olmayan çözümü le lgl gelştrlen teorlern temel esasları, sonlu elemanlar yöntemnde karşılaşılan zorluklar, çözümleme yöntemler ve uygulamalar ASCE Commttee 447 (982), ASCE Commttee 447 (993), Kotsovos ve Pavlovc (995) ve ACI-ASCE Commttee 447 (2) tarafından değerlendrlmştr. Mühendslk malzemes olarak gerlme-şekl değştrme bağıntıları; elastk malzeme kabülü le modellern ayrıntılı ncelemes ve yapılan çalışmaların değerlendrlmes Chen ve Saleeb (994) ve plastk beton ve metal malzeme modellern ayrıntılı ncelenmes Chen (994) tarafından yapılmıştır. Sonlu elemanlar yöntemnde programlama le lgl derleme se Crsfeld (997) tarafından verlmştr. Bu çalışmada monoton artan yüklemede k boyutlu kabul edleblecek krş, yüksek krş ve perde gb betonarme yapı elemanlarının doğrusal olmayan davranışı çn gelştrlen br sonlu eleman çözüm modelnde beton ve donatı davranışının tanımlanması ve doğrusal olmayan artımlı çözümleme yöntem verlmştr. Bu sonlu eleman çözüm model çn, Smth ve Grfths (997) tarafından yapılan çalışmadan da yararlanarak, hazırlanan blgsayar programı le br yüksek krş üzernde yapılan çözümlern sonuçları ncelenmştr. Malzeme modeller Beton Gelştrlen sonlu eleman çözüm modelnde beton doğrusal olmayan davranışa sahp k eksenl ortotrop malzeme olarak tanımlanır. Ortotrop malzeme eksenlernn toplam şekl değştrme asal eksenler le çakıştığı kabul edlr. Ayrıca beton asal şekl değştrme le asal gerlme doğrultularının çakıştığı da kabul edlmektedr. Düzlem gerlme durumunda betonun mekank davranışını tanımlamak çn gerekl k eksenl gerlme-şekl değştrme lşks, ortotrop malzeme eksenlernde tanımlanan ve deneysel olarak elde edlen br eksenl gerlme-şekl değştrme lşksnden türetlen eşdeğer br eksenl şekl değştrme olarak blnen yaklaşım le oluşturulur (Darwn ve Pecknold, 977). Betonun doğrusal olmayan gerlme-şekl değştrme lşks artımlı olarak yazılarak küçük yükleme aralığında doğrusal bağıntı halne getrlr. Yükleme arttıkça her terasyon adımında, toplam şekl değştrme asal doğrultu açısına bağlı olarak, ortotrop malzeme eksen doğrultuları sürekl değşr. Asal doğrultulardak malzeme sabtlern ve toplam gerlmeler elde etmek çn, ortotrop malzeme eksenlernde eşdeğer br eksenl gerlme-şekl değştrme lşkler belrlenr. Yerel eksende elde edlen gerlmeler global eksene dönüştürülür. Betonda çatlama önces ve sonrası doğrusal olmayan farklı davranış söz konusu olduğu çn ayrı ayrı artımlı gerlmeşekl değştrme lşks gerekldr. Beton ortotrop malzeme modeln oluşturmak çn, betonun k eksenl gerlme güç tükenmes 97
Y. Akkaya, Z. Celep zarfına, ortotrop malzeme eksenlernde br eksenl gerlme-şekl değştrme lşksne, beton çatlama modelne, eleman rjtlk matrsnn tanımlanmasına ve br eksenl gerlme-şekl değştrme eğrlernden verlen şekl değştrme durumu çn uygun gerlme durumunun belrlenmesne htyaç vardır. İk eksenl beton gerlme güç tükenme zarfı İncelenen herhang br yük artımı adımında gerlme düzlemnde geçerl gerlme noktasının yerne bağlı olarak, Kupfer ve dğerler (969) tarafından önerlen k eksenl gerlme güç tükenme zarfından br eksenl eğrnn karakterstk değerler elde edlr (Şekl ). Çekme-Basınç Bölges σ 2 /f c.2 Çekme- Çekme Bölges Basınç-basınç bölgesnde Blnen toplam asal gerlme çt (σ, σ 2 ) le, σ 2 σ, α=σ /σ 2 asal gerlme oranına göre eşdeğer br eksenl gerlme-şekl değştrme eğrlern tanımlayan maksmum gerlmeler ve karşı gelen şekl değştrmeler belrlenr: σ + 3.65α = ( + α) 2 p 2 fc σ = ασ () ve p 2p σ 2 p ε2 p = ε co 3 2 (2) f c σ α = (3a) c p f c 3 2 ( ) εp = εco.6αc + 2.25αc +.35αc (3b) -.2 -. -.8 -.6 -.4 -.2 σ =σ 2 σ =.52σ 2 -.2 -.4 -.6 -.8 σ =.22σ 2 -. σ t =f ct.2 σ /f c Çekme-basınç bölgesnde Blnen toplam asal gerlme çt (σ, σ 2 ) le, (σ 2 < ve σ >) olacak şeklde, α= σ / σ 2 asal gerlme oranına göre tanımlı eşdeğer br eksenl gerlme-şekl değştrme eğrsn tanımlayan maksmum gerlmeler ve karşı gelen şekl değştrmeler belrlenr. Çekme gerlme-şekl değştrme eğrsnde maksmum gerlme ve karşı gelen şekl değştrme; Basınç-Basınç Bölges -.2 Şekl. İk eksenl beton gerlme güç tükenme zarfı (Kupfer vd., 969) İterasyon adımında hesaplanan beton toplam asal gerlme çtnn (σ, σ 2 ) Şekl de verlen k eksenl gerlme güç tükenme zarfında hang bölgede olduğu asal gerlmelern şaretlerne bağlı olarak belrlenr. Ortotrop malzeme eksenlern her brnde tanımlı ve üç bölge çn ayrı ayrı eşdeğer br eksenl gerlme-şekl değştrme eğrler elde edlr. Bu eğrler oluşturmak çn gerekl olan maksmum gerlme ve karşı gelen şekl değştrmeler asal gerlme oranlarına bağlı olarak her br bölgede ve eksen çn hesaplanır..8 fct σ t = fct( ) f α +.8 f = t fc c ct α.2f ct / f c (4a) σ α α.2f ct / f c (4b) σ ε (5) t ct = E c olarak elde edlr. Basınç gerlme-şekl değştrme eğrs se gözönüne alınan malzeme eksenne dk doğrultuda betonun çatlamış ve çatlamamış olması durumu çn ayrı ayrı belrlenr. Bunun çn betonun br doğrultuda çatlamasının ardından çatlağa dk doğrultuda artan yanal çekme şekl değştrmelerne bağlı olarak beton basınç dayanımı β d katsayısı le azaltılır. Gözönüne alınan doğrultuya dk doğrultuda ε f ε ct 98
Doğrusal olmayan sonlu eleman yaklaşımı se betonun çatlamadığı, β d = alınarak azaltma yapılmadan, br eksenl durumdak basınç gerlme-şekl değştrme eğrs kullanılır. Eğer ε f ε ct se, betonun çatladığı kabul edlr ve β d katsayısı; βd =. +.27( ε / ε.37) f c (6) şeklnde hesaplanır (Veccho ve Collns, 982; 986). Basınç dayanımı azaltma katsayısı le eşdeğer br eksenl basınç gerlme-şekl değştrme eğrsnde maksmum gerlme ve karşı gelen şekl değştrme belrlenr: olarak kabul edlr (Saenz, 964). Denklem 9 da E beton başlangıç elastste modülü, ε malzeme eksennde tanımlı toplam eşdeğer br eksenl şekl değştrme, E sec = σ p /ε p sekant elastste modülü, σ p, ε p se k eksenl gerlme güç tükenme zarfı ve toplam asal gerlme oranına bağlı olarak belrlenen maksmum basınç gerlmes ve karşı gelen brm kısalmayı gösterr (Şekl 2). Eğrde şekl değştrmeyle sabt kalan kolda, ε p ε ε cu aralığında, beton σ p maksmum basınç gerlmesn taşımaya devam eder. Maksmum brm kısalma değer (ε cu ) aşıldığında betonun ezldğ kabul edlr. Çekme-basınç bölgesnde dk doğrultuda betonun çatlaması basınç gerlme-şekl değştrme eğrsn etkler (Şekl 2). Ortotrop malzeme eksennde eşdeğer br eksenl çekme gerlme-şekl değştrme eğrs artan ve azalan kol olmak üzere k bölümden oluşur (Şekl 3). Eğr betonun E, f ct, ε ct ve ε tu malzeme sabtler ve k eksenl gerlme güç tükenme zarfı çn tanımlı gerlme bölgelerne ve asal gerlme oranlarına göre belrlenen σ t maksmum gerlme ve ε ct karşı gelen şekl değştrme le oluşturulur. Beton eşdeğer br eksenl çekme gerlme-şekl değştrme eğrsn belrlemek çn eğσ σ p I. Çatlamamış beton f σ 2 p = β d c, 2p = c ε ε (7) σ p =β d f c II. Çatlamış beton Çekme-çekme bölgesnde Toplam asal gerlme çt çekme-çekme bölgesnde se asal gerlme oranlarına bakılmadan, gerlmelern etkleşm hmal edlerek eşdeğer br eksenl çekme gerlme-şekl değştrme eğrlernde, maksmum gerlmeler bast çekme deneylernden elde edlen beton çekme dayanımı olarak kabul edlr. Karşı gelen şekl değştrme de beton başlangıç elastste modülü le çekme dayanımı arasında doğrusal lşkden hesaplanır: f σ t = σ 2t = ct, ct 2ct f ε = ε = ct (8) E Ortotrop malzeme eksenlernde gerlme-şekl değştrme lşks Ortotrop malzeme eksennde eşdeğer br eksenl basınç gerlme-şekl değştrme eğrsnde şekl değştrmeyle artan kol, ε ε p aralığında σ = E ε 2 Esec E ε ε + + εp εp 2 (9) ε p Şekl 2. Eşdeğer br eksenl basınç gerlme-şekl değştrme lşks σ σ t a (Denklem 9) E ε ct b Şekl 3. Eşdeğer br eksenl çekme gerlme-şekl değştrme lşks c ε tu ε cu d ε ε 99
Y. Akkaya, Z. Celep rdek her br kolun (a,b,c,d) belrlenmes gerekr. a kolu çatlamamış betonun davranışını, b kolu çatlamış betonun yumuşamasını, c kolu betonun çekme rjtlğn ve d kolu da betonda oluşan çekme gerlmesnn donatılara aktarılablmesn ade eder. Her br kol aşağıdak şeklde belrlenr: σ = E ε ε ε () a ct kolu beton çekme yumuşama etksn ade eder. Maksmum brm uzama ε tu değerne erştğnde çatlağın oluştuğu kabul edlr. Bazant ve Oh (983) tarafından yapılan çalışmada, çatlak mekanğ teorsne göre çatlağın oluştuğu kabul edlen, ε tu değer betonun çatlaması le açığa çıkan enerjye (G f ) ve çatlağa dk doğrultuda eleman karakterstk boyuna (L), betonun çekme daynımına (f ct ) bağlı olarak verlmştr: σ b = σt ( ε εct ) ( ε ε ) tu ct ε ε () ct 2G f ε tu = (6) f L ct c σ t σ = + 5ε n 2 y s n ε ε (2) d σ = ρ ( f σ )cos θ ε ε (3) Beton eşdeğer br eksenl çekme gerlme-şekl değştrme eğrsnde ε şekl değştrmesne karşı gelen σ asal çekme gerlmes σ = σ a ε ε (4) b c σ = max( σ ; σ ) ε ε (5) şeklnde belrlenr. Azalan kol üzerndek Denklem 5 de belrlenen σ asal çekme gerlmes Denklem 3 den hesaplanan σ d gerlmesnden büyük olamaz (Veccho, 2). Denklem 3 de nc yayılı donatı katmanında global sstemdek yatay eksenle bu donatının yaptığı açı α se θ n =θ ε -α olarak belrlenr. Beton çatlama model Betonda çatlamanın davranışa etks yayılı çatlak model ve dönen çatlak yaklaşımı le gözönüne alınmıştır (Rashd, 968). Ortotrop malzeme eksennde brm uzama değer ε ct ε ε tu aralağındayken çatlama başlamış, beton çekme yumuşama ve rjtlğ etksnde ve çekme gerlme-şekl değştrme eğrsnde azalan kol üzerndedr. İk azalan kol tanımlanmıştır (Şekl 3). Denklem le tanımlanan b azalan ct ct ct ct Veccho (2) tarafından yapılan çalışmada G f beton çatlama enejs çn 75N/m değer önerlmştr. Bu çalışmada se ε tu maksmum brm uzama değer ver olarak grlr ve ortalama.5 değer kullanılmıştır. Betonun çekme yumuşaması donatının olmadığı yada az olduğu elemanlarda etkldr. Donatısı fazla olan elemanlarda da beton çekme rjtlğ, donatılar akma dayanımına ulaşana kadar, etkl olduğu bldrlmştr. Beton çekme rjtlğ etks çn Denklem 2 de verlen ade kullanılmıştır (Veccho, 2). Beton eleman rjtlk matrs Önce ortotrop malzeme eksenlernde artımlı gerlme-şekl değştrme lşks; σ ε σ 2 = [ D c ] ε LO 2 τ2 γ 2 (7) şeklndedr. Denklem 7 de [D c ] LO yerel malzeme rjtlk matrs aşağıdak şeklde E ν E D E E [ ] 2 c = 2 2 ν LO νν 2 ( νν 2) G (8) ade edlr. Denklem 8 de ortotrop malzeme eksenlernde tanımlı E ve E 2 teğet elastste modüller, ν ve ν 2 Posson oranlarıdır (ν 2 E =ν E 2 ). Kayma gerlmes le kayma şekl
Doğrusal olmayan sonlu eleman yaklaşımı değştrmes arasındak bağıntı malzeme eksenlernn dönmesnden etklenmeyecek şeklde νe2 G = ν + 2νν + ν 2 2 (9) belrlenr (Lu vd., 972). Çatlamamış beton durumunda kayma modülü (βg) çatlamaya dk doğrultudak malzeme eksenndek elastste modülünün /4 ü kabul edlmştr (Darwn ve Pecknold, 977). Büyük olan asal gerlme doğrultusunda Posson oranı.2 alınıp smetr koşulunu sağlayacak şeklde dğer doğrultudak Posson oranı belrlenmştr. Posson oranları her zaman.5 değernden küçüktür. Yerel eksenlerde tanımlanan artımlı gerlme-şekl değştrme lşks [T ε ] eksen dönüştürme matrs le yerel eksenlerden global eksenlere dönüştürülür: [D c ] GL =[T ε ] T [D c ] LO [T ε ] (2) Burada [T ε ] eksen dönüştürme matrs toplam asal şekl değştrme eksennn global eksenle yaptığı açı θ ε le belrlenr (c=cosθ ε ve s=snθ ε ): 2 2 c s sc 2 2 Tε = s c sc (2) 2 2 2 2 ( ) sc sc c s [ ] Beton gerlmelernn belrlenmes Artımlı çözümlenn safhalarından br, br yük artımı adımında verlen { R} yük artımı vektörü çn, her br terasyon adımında, beton elemanların blnen ε x, ε y ve γ xy toplam şekl değştrme bleşenlernden uygun şeklde σ x, σ y ve τ xy toplam gerlme bleşenlernn belrlenmesdr. Bu safha sırasıyla verlmştr: Aşağıda verlen denklemlerde (m+) hesap yapılan ve m br öncek yük artımı adımı, (m+) nc adımında terasyon sayısı olup, eştlklern sol tarafındak adeler (m+) nc adımda ve nc terasyonda elde edlen değerlerdr. Önce, terasyon adımında toplam şekl değştrmelerden karşı gelen toplam asal şekl değştrme doğrultu açısı hesaplanır: tan 2 θ = ε xy ε ε x γ y (22) Bu θ ε doğrultu açısı le Denklem 2 den [T ε ] şekl değştrme eksen dönüştürme matrs belrlenr. Dönüşüm matrs ve global eksenlerde toplam şekl değştrme vektöründen asal şekl değştrme vektörü belrlenr: + ( ) + {} = m [ ] {} () m () T Asal ε GL ε ε (23) Br öncek yük artımı adımı sonunda hesaplanan toplam asal şekl değştrme vektöründen bu adımda hesaplanan toplam asal şekl değştrme vektörü çıkarılarak asal şekl değştrme artımı vektörü bulunur: { } () m = + {} () m {} ε ε ε (24) Asal Asal Asal Her adımda toplam asal şekl değştrme doğrultu açısı değştğnden, br öncek adımdak asal şekl değştrme doğrultuları le bu terayon adımındak asal şekl değştrme doğrultuları çakışmaz. Fakat asal şekl değştrme artımının ve toplam asal şekl değştrme doğrultu açısındak değşmn küçük olması koşuluyla Denklem 24 kabul edleblr. Bununla brlkte asal şekl değştrme artımından, br öncek adımda belrlenen Posson oranları le eşdeğer br eksenl fkt asal şekl değştrme artımı hesaplanır: () m+ ( ) f v ε ε = 2 2 2 ε f vv v ε 2 (25) Br öncek yük artımı adımı sonunda hesaplanan eşdeğer br eksenl asal şekl değştrmelerle artımları toplanarak eşdeğer br eksenl asal şekl değştrmeler elde edlr: () m m+ () εf εf εf = + ε2 f ε2 f ε2 f (26) Br öncek yük artım adımı sonunda bulunan toplam asal gerlmeler, asal şekl değştrme
Y. Akkaya, Z. Celep doğrultularında elde edlen beton elastste modüller (E, E 2 ) ve bu terasyon adımında eşdeğer br eksenl asal şekl değştrme artımları le toplam asal gerlmeler belrlenr: () m m m+ ( ) σ σ E ε f = + 2 2 σ σ E 2 ε 2 f (27) Denklem 27 le bulunan toplam asal gerlmeler gerçek gerlme durumuna karşı gelmeyp, daha sonra düzeltlecektr. Bu aşamada (σ, σ 2 ) asal gerlme çt yaklaşık olarak betonun k eksenl gerlme güç tükenme zarfındak yern belrlemek çn kullanılır (Ayoub ve Fllppou, 998). Ayrıca bu asal gerlme çt (σ, σ 2 ) betonun k eksenl gerlme güç tükenme zarfındak gerçek yerne yeternce yaklaşıncaya kadar terasyona devam edlr. İterasyon adımında elde edlen asal gerlme çtn (σ, σ 2 ) kullanarak önce ortotrop malzeme eksenlernde eşdeğer br eksenl gerlme-şekl değştrme eğrler oluşturulur. Bu eğrlerden ve bulunan toplam eşdeğer br eksenl asal şekl değştrmelerden, karşı gelen toplam asal gerlmeler (σ, σ 2 ) elde edlr. Bu toplam asal gerlmeler global eksenlere dönüştürülerek beton elemanın {σ } toplam gerlme vektörü, θ ε açısını kullanarak, belrlenr (c=cosθ ε, s=snθ ε ): nc yayılı donatı katmanı (ξ, η ) yerel koordnatlarında tanımlıdır. Beton eleman le her br yayılı donatı katmanı (ξ le ξ eksenler) arasındak açı α, beton elemanın ξ yerel ve x global eksen arasındak açı β le verlmştr. y η η ξ Beton β Şekl 4. Beton ve yayılı donatı elemanında seçlen yerel, global eksen takımları ve aralarındak açılar Donatı gerlme-şekl değştrme lşks Yayılı donatı modelnde çelk çubukların sadece eksenel kuvvet taşıdığı kabul edlmştr. Çekme ve basınç çn aynı gerlme-şekl değştrme eğrs kullanılır. Donatılar çn elastk pekleşen plastk gerlme-şekl değştrme lşks kabul edlmştr (Şekl 5). α Yayılı Donatı ξ s=sn(α +β) c=cos(α +β) x () 2 2 σ x c s () 2 2 σ σ y = s c 2 σ τ xy sc sc (28) σ s f y E st Donatı Gelştrlen çözüm yöntemnde yayılı donatı model kullanılmıştır. Yayılı donatı modelnde, donatı sonlu eleman üzernde düzgün yayılı olarak eşdeğer br eksenl malzeme olarak tarlenr. Donatıyı beton eleman üzerne belrl br açıyla yerleştrmek de mümkündür (Şekl 4). Beton le çelğn malzeme matrsler üst üste toplanarak kompozt malzeme çn gerlme-şekl değştrme lşks yazılır. Şekl 4 de verlen beton elaman ve k farklı doğrultuda yayılı donatı katmanı bulunmaktadır. Beton eleman (ξ, η) ve E s ε sy ε su ε s Şekl 5. Donatının çekme ve basınç etksnde gerlme-şekl değştrme eğrs Sayısal stablte problemlern azaltmak çn, yapılan sayısal çözümlemelerde, donatı akma gerlmes aşıldığında donatı pekleşme oranı.5 olarak kabul edlmştr (E st =.5E s ). Donatıda maksmum şekl değştrme çn ε su =. değer hesaplarda kullanılmıştır. 2
Doğrusal olmayan sonlu eleman yaklaşımı Yayılı donatı eleman rjtlk matrs İk boyutlu çözümlemede her br yayılı donatı katmanı çn yerel koordnatlarda artımlı gerlme-şekl değştrme lşks { } = [ D ] { } σ ε (29a) LO s LO LO σ ξ ρ E ε s ξ = ση εη τξη γξη (29b) tanımlanır. Burada E s yerel eksen ξ doğrultusunda yerleştrlen donatının teğet elastste modülü ρ yerel eksen ξ doğrultusunda yerleştrlen donatı oranıdır. Elastste modülünün E s (ε ξ ) şekl değştrmeye bağlı olarak ade edlmes durumunda, bu adeler doğrusal olmayan davranış bölgelernde de kullanmak mümkündür. Yayılı donatı çn yerel koordnatlarda yazılan artımlı gerlme-şekl değştrme lşksnn global eksenlere taşınması gerekr. Denklem 2 de verlen [T ε ] dönüşüm matrsnde θ=β+α kabul ederek donatı malzeme matrs ve global eksenlerde artımlı gerlme-şekl değştrme lşks elde edlr: { } = [ T ] T [ D ] [ T ]{ } σ ε (3) GL ε s LO Doğrusal olmayan artımlı çözümleme Gelştrlen sonlu eleman modelnde yerdeğştrmelern küçük olduğu kabul edlerek, denge denklemler şekl değştrmemş geometrk sstemde yazılmıştır. Beton ve donatı elemanların malzeme ve eleman rjtlk matrsler ayrı ayrı oluşturulmuştur. Beton ve üzerndek her br yayılı donatı katmanı çn belrlenen global eksendek malzeme matrs toplanablr: [ ] = [ c] + [ s] GL GL GL ε D D D (3) Eleman rjtlk matrs eleman üzernde ntegrasyonla elde edlr: T [ ] [ ] [ ] [ ] k = B D B dv (32) GL V GL Burada [k] eleman rjtlk matrs, [B] şeklyerdeğştrme bağıntısını sağlayan matrsdr. Beton ve yayılı donatı çn k boyutlu dört noktalı zoparametrk dört kenarlı (doğrusal şekl değştrme) sonlu eleman kullanılmıştır. Eleman rjtlk matrsn belrlerken gerekl ntegrasyonu gerçekleştrmek çn Gauss sayısal ntegrasyon yöntem 2 2 sayısal ntegrasyon noktası le kullanılmıştır. Her br eleman çn hesaplanan eleman rjtlk matrs uygun şeklde brleştrlerek, [K] sstem rjtlk matrs elde edlr. Malzeme bakımından doğrusal olmayan çözümlemede, gerlme ve şekl değştrme vektörler arasında doğrusal br lşk olmadığından, artımlı çözümleme kullanılmıştır. Artımlı çözümlemede, belrl br yük adımında {R} dış yük vektörü o adıma kadar { R e } dış yük artımlarının toplamı olarak ade edleblr. Hesap yapılan (m+) nc adımda dış yük vektörü, m nc adımdak dış yük vektörünün bu adımdak { R e } dış yük artımı vektöründen m + m { R} = { R} + { R } (33) e şeklnde elde edlr. Br öncek m nc adım sonunda {U} yerdeğştrme, global eksende tanımlı {σ } gerlme ve {ε} şekl değştrme vektörlernn blndğ kabul edlrse, { R e } dış yük artımı vektörü uygulandığında (m+) nc adım sonunda toplam yerdeğştrme ve gerlme vektörler sırasıyla m m + m { U} = { U} + { U } (34) + m { σ } = { σ } + { σ } (35) şeklnde bulunur. Ancak Denklem 34 ve 35 n kullanılablmes çn { U} yerdeğştrme, elemanlarda { σ } gerlme artımı vektörlernn belrlenmş olması gerekr. Artımlı çözümleme { R e } dış yük artımı vektörüne karşı gelen, uygun { U} yerdeğştrme vektörü le tüm elemanlarda {σ } gerlme vektörünün belrlenmes olarak k safhaya ayrılablr. Tüm sstemde hesap yapılan (m+) nc adımda verlen br { R e } dış yük artımı vektörü çn 3
Y. Akkaya, Z. Celep { ( )} { } m+ m+ m+ m+ { } { } ψ ( U ) = F U R (36) adesn, ç kuvvetlerle dış kuvvetler arasında dengey sağlayan uygun { U} yerdeğştrme artımı vektörü aranır. Denklem 36 doğrusal olmayan br denklemdr. Bu denklemn çözüleblmes ve uygun { U} yerdeğştrme artımı vektörünün bulunablmes çn br terasyon yöntem kullanmak gerekr. Burada Değştrlmş Newton-Rapson terasyon yöntem kullanılmıştır. Artımlı çözümlemede m nc (br öncek) yük artımı adımı sonunda [K] sstem rjtlk matrs, {U} toplam yerdeğştrme vektörü, {R} toplam dış yük vektörü, elemanlarda {σ } toplam gerlme ve {ε} şekl değştrme vektörlernn blndğ kabul edlerek, (m+) nc adımda verlen { R e } dış yük artımı vektörü çn çözüm aranır. İlk terasyon adımında { R} yük artımı vektörü, { R e } dış yük artımı vektörüne eşttr. Dğer terasyon adımlarında { R} yük artımı vektörü, { R e } dış yük artımı vektörü le br öncek terasyon adımında elde edlen { R r } dengelenmemş kuvvet artımı vektörünün toplamından elde edlr: { R} = { R } + { R } (37a) m+ ( ) m+ m+ ( ) e r { R } = { R} { F } (37b) m+ ( ) m+ m+ ( ) r { R } = {} (37c) m+ () r İterasyon adımında belrlenen yük artımı çn, br öncek adımda belrlenen sstem rjtlk matrs kullanılarak, { U} yerdeğştrme artımı vektörü hesaplanır: () () [ ]{ } = + { } m m K U R (38) İterasyon adımında hesaplanan { U} yerdeğştrme artımı vektöründen, beton ve yayılı donatı elemanlar çn { d} eleman düğüm noktası yerdeğştrme artımı vektörü elde edlr. Eleman şekl-yerdeğştrme matrs le eleman yerdeğştrme artımı vektöründen, global eksenlerde, eleman şekl değştrme artımı vektörü hesaplanır: + { } = [ B] { d} () m () ε (39) İterasyon adımında, beton ve yayılı donatı elemanlar çn br öncek adımdak eleman toplam şekl değştrme vektörü le şekl değştrme artımı vektörü toplanarak toplam şekl değştrme vektörü elde edlr: {} ε = {} ε + { ε } (4) m+ ( ) m ( ) İterasyon adımında, elemanlardak toplam şekl değştrme durumu belrlendkten sonra elemanlarda bu şekl değştrme durumuna karşı gelen gerlmeler önceden tanımlı gerlme-şekl değştrme eğrler üzernden bulunur. Bu şlem beton ve yayılı donatı elemanlarında farklı hesap adımları le gerçekleştrlr. Bu çalışmada sadece beton elemanda {σ } toplam gerlme vektörünün belrlenmes verlmştr. İterasyon adımında, global eksende tanımlı, {σ } eleman toplam gerlme vektörü belrlendğ kabul edlrse, beton ve yayılı donatı elemanda düğüm noktalarında ç kuvvet vektörü T { } [ ] { } m+ ( ) m+ ( ) e V f = B σ dv (4) şeklnde bulunur. Bütün {f e } eleman ç kuvvet vektörlernn uygun şeklde toplanmasından her br terasyon adımında {F} ç kuvvet vektörü elde edlr: { } { } m+ ( ) m+ ( ) e n n F = f (42) İterasyon adımında hesaplanan yerdeğştrme artımı vektörü le br öncek yük artımı adımı sonundak toplam yerdeğştrme vektörü toplanarak terasyon adımında {U} toplam yerdeğştrme vektörü belrlenr (Denklem 34). Her br terasyon adımı sonunda önceden tanımlı yaklaşım krter koşulunun sağlanıp sağlanmadığı kontrol edlr. Seçlen yaklaşım krter çözüm sonuçlarını öneml oranda etklemektedr. Burada yerdeğştrme yaklaşım krter kullanılmıştır. Yaklaşım krter koşulu sağlanmadığında bu terasyon adımında hesaplanan ç kuv- 4
Doğrusal olmayan sonlu eleman yaklaşımı vet vektürü br öncek terasyon adımında hesaplanan ç kuvvet vektörüne dönüştürülür: { } = { } m+ ( ) m+ ( ) F F (43) Ardından Denklem 37 le yenden belrlenen { R} yük artımı vektörü le terasyon şlemne devam edlr. Eğer n nc terasyon adımında yaklaşım krter koşulu sağlanırsa aşağıdak değşklkler yapılarak br sonrak yük artımı adımına geçlr: m m+ { R} = { R }, { } = { } m m+ ( n) + ( ) { U} = { U }, [ ] = [ ] m m n F F (44a) m m+ ( n) K K (44b) + ( ) {} ε = {} ε, { } = { } m m n m m + ( n ) σ σ (44c) Uygulama W2 Yüksek krş Br çok araştırmacı, gelştrdkler çözüm modeln karşılaştırmada, Cervenka ve Gerstle (972) tarafından deneysel ncelenen W2 yüksek krşn kullanmıştır (Ayoub ve Flpou, 998; Kwak ve Km, 2). Bu çalışmada da W2 yüksek krş üzernde yapılan çözümlerle gelştrlen hesap modelnn deney sonucu le karşılaştırılması yapılmıştır. Şekl 6 da verlen W2 yüksek krş 76mm yükseklğnde, 76mm kalınlığında, ortada ve kenarlarda mm genşlğnde ve 3mm kalınlığında başlıkları olan, 72mm açıklığa sahp bast mesnetl ve ortasından tekl 2P yükü le yüklüdür. Donatı se alt 5mm lk bölgede yatay donatı oranı %.83, üst 6mm lk bölgede yatay donatı oranı %.92 ve tümünde düşey donatı oranı %.92 olacak şeklde yerleştrlmştr. Donatı elastste modülü E so =9GPa, donatı akma dayanımı f y =353MPa, akma ötes şekl değştrme durumunda pekleşme oranı.5 olarak alınmıştır. Beton basınç dayanımı f c =26.8MPa, basınç dayanımına karşı gelen brm kısalma ε co =.2, maksmum brm kısalma ε cu =.5, maksmum brm uzama ε tu =.86 olarak alınmıştır. Deney sonucu beton başlangıç elastste modülü E =2MPa, çekme dayanımı f ct =.7MPa alarak br çözüm yapılmıştır (Çözüm ). Bunun Şekl 6. W2 deney numunes geometrs ve donatı yerleşm (Cervenka ve Gerstle,972) 5
yanında TS 5 de basınç dayanımına bağlı olarak verlen sekant elastste modülünü başlangıç elastste modülü E =3825MPa ve çekme daynımını da f ct =.8MPa alarak ayrı br çözüm de yapılmıştır (Çözüm 2). Y. Akkaya, Z. Celep Sonlu elemanlar yöntemyle sayısal çözümde, yük ve geometrdek smetr nedenyle, W2 yüksek krşnn yarısı gözönüne alınmıştır. Sonlu eleman ağında 2 eleman kullanılmıştır (Şekl 7). Her br adımda yapılan yük artımı taşıyableceğ yükün yaklaşık.-. kadar alınmıştır. Br adımda maksmum terasyon sayısı 3 le sınırlanmış, yaklaşım krter yerdeğştrme krter olarak seçlmş ve yeterl yaklaşım değer.3 olarak alınmıştır. Şekl 8 de yapılan çözümler ve deney sonucunda elde edlen yük-yerdeğştrme lşks verlmştr. Yapılan çözümlerde deney sonucuna oldukça yakın davranış eğrs, güç tükenme yükü ve süneklk kapastes elde edlmştr. Çözüm ve 2 karşılaştırıldığında W2 yüksek krşnn davranışında beton başlangıç elastste modülünün ve çekme dayanımındak artışın öneml br etksnn olmadığı görülmektedr. Bu durum W2 yüksek krşnn davranışında beton davranışından daha çok donatı davranışının etkn, her k doğrultuda yerleştrlen donatı mktarının fazla olmasıyla açıklanablr. Şekl 7. W2 yüksek krş çn seçlen sonlu eleman ağı Şekl 8. W2 yüksek krş yük-yerdeğştrme eğrler W2 yüksek krşnde lk olarak orta başlık le brleşen alt gövde bölümünde beton çekme dayanımına ulaşmaktadır. P yükünün 2kN değernden başlayıp 8kN değerne kadar betonda çekme dayanımına ulaşılmış Gauss noktaları sayısı artmaktadır. Betonda çatlak oluşumu asal çekme şekl değştrmesnn.86 (donatının akma dayanımına karşı gelen brm uzama) değernde olduğu kabul edlrse, P yükünün 8kN değerne kadar betonda çatlama olmamaktadır. P yükünün 8kN değernde W2 yüksek krşnn hçbr bölümünde, beton asal basınç gerlmeler basınç dayanımına ve donatılar akma dayanımına ulaşmamıştır. Sadece W2 yüksek krşnn büyük br bölümünde beton çekme yumuşaması görülmektedr. Sonuç olarak P yükünün 8kN değerne kadar W2 yüksek krşnn davranışına sadece betonunun çekme dayanımı ve çekme rjtlğ etk etmştr. P yükünün 8kN değernden sonra Çözüm e göre W2 yüksek krşnn davranışını ncelemeye devam edlrse lk çatlaklar, yükün 85kN sevyesnde, perdenn ortasında alt bölümünde başlamaktadır. Ardından yükün kn değerne kadar artmasıyla çatlaklar W2 yüksek krşnn orta bölümlerne kadar lerlemektedr. Ayrıca yükün kn sevyesnde yükün etkdğ yerdek başlık elemanına brleşen gövde elemanında beton basınç dayanımına ulaşmış ve betonda basınç yumuşaması başlamıştır. Donatıların durumu se yüksek krşn alt 5mm lk bölümü le orta bölümündek yatay donatılar ve yükün 6
Doğrusal olmayan sonlu eleman yaklaşımı Ezlme Çatlama a) Çözüm (P u =6 kn) b) Deney (P u = kn) Şekl 9 Güç tükenme durumunda Çözüm ve deney sonucu elde edlen çatlak durumu etkdğ yerdek başlık elemanına brleşen gövde elemanındak yatay donatılar akma gerlmesne ulaşmıştır. Düşey donatılar akma gerlmesne ulaşmamıştır. P yükünün kn dan sonrak bölümde yük artıkça hızla W2 yüksek krş rjtlğn kaybetmektedr. Bunun sebeb, W2 yüksek krşnn büyük bölümünde meydana gelen çekme yumuşaması olablr. Yüksek krşn alt 5mm lk bölümündek donatıların br bölümü akma gerlmesne ulaşmıştır. Bunun yanında yükün etkdğ yerdek başlık elamanına brleşen gövde elemanında beton basınç dayanımına ulaşmış, betonda basınç yumuşaması başlamış ve yatay donatı da akma dayanımına ulaşmıştır. Deney sonucuna göre güç tükenmes durumuna başlık elemanına brleşen gövde bölümünde betonun ezlerek ayrılması le ulaşıldığı bldrlmştr (Cervenka ve Gerstle, 972). Yapılan çözümlerde de bu bölümde beton ezlmektedr. Göçme anında Çözüm ve deney sonucu elde edlen çatlak durumu Şekl 9 da verlmştr. Sonuçlar Betonarme krş, yüksek krş ve perde gb k boyutlu kabul edleblecek betonarme elemanların monoton artan yük etksnde doğrusal olmayan davranışlarını tahmn etmek çn gelştrlen sonlu eleman çözüm model kullanılablr. Yapılan sayısal çözümlerle elde edlen yükyerdeğştrme lşks le çatlakların oluşumu ve lerlemes deney sonuçları le oldukça uyumludur. Ayrıca burada verlen W2 yüksek krş üzernde gelştrlen çözüm model kullanılarak yapılan çözümlerle yüksek krşn davranışı, güç tükenmesne ulaşma bçmnn anlaşılmasına ve etkleyen parametrelern ncelemesne olanak tanımıştır. Beton çekme gerlme-şekl değştrme eğrsnde azalan kolun (çekme yumuşaması ve rjtlğ etksnn) gözönüne alınmasının öneml olduğu görülmüştür. Çekme basınç bölgesnde betonun çatlamasıyla çatlağa dk doğrultuda öneml oranda br basınç yumuşaması olmaktadır. Gelştrlen sonlu eleman çözüm modelnde kullanılan ortotrop beton model bastlğ yanında oldukça da etkldr. Yayılı çatlak model, dönen çatlak yaklaşımı da global yük yerdeğştrme lşks ncelendğnde ve donatı oranı yeterl olduğu durumlarda oldukça y yaklaşım sağlamaktadır. Kaynaklar ACI-ASCE Commttee 447, (2). Fnte Element Analyss of Renforced Concrete Structures, Amercan Concrete Insttute, T. Wllam, T. Tanabe, Edtors, Farmngton Hlls, Mchgan. ASCE Commttee 447, (982). Fnte Element Analyss of Renforced Concrete, State-of-the-art report, ASCE, New York. 7
Y. Akkaya, Z. Celep ASCE Commttee 447, (993). Fnte Element Analyss of Renforced Concrete Structures II. State-of-the-art report, ASCE, J. Isenberg, Edtor, New York. Ayoub, A. ve Fllppou, F.C., (998). Nonlnear Fnte-Element Analyss of RC Shear Panels and Walls, Journal of Structural Engneerng, ASCE, 24, 3, 298-38. Bazant, Z. P. ve Oh, B. H., (983). Crack Band Theory for Fracture of Concrete, Materals and Structures, RILEM, 6, 55-77. Cervenka, V. ve Gerstle, K. H. (972). Inelastc Analyss of Renforced Concrete Panels, Part II: Expermental Vercaton and Applcaton, Internatonal Assocaton of Brdge and Structural Engneers, Publcatons, 32,, 25-39. Chen, W.F. ve Saleeb, A.F., (994). Consttutve Equatons for Engnerng Materals, Volume I: Elastcty and Modellng, Elsever, Amsterdam. Chen, W.F., (994). Consttutve Equatons for Engnerng Materals, Volume II: Plastcty and Modellng, Elsever, Amsterdam. Crsfeld, M., (997). Nonlnear Fnte Element Analyss of Solds and Structures, John Wley & Sons, Inc., New York. Darwn, D. ve Pecknold, D. A. W., (977). Analyss of Cyclc Loadng of Plane R/C Structures, Computers and Structures, 7, 37-47. Kotsovos, M.D. ve Pavlovć, M. N., (995). Structural Concrete, Fnte-element analyss for lmt-state desgn, Thomas Telford Servces Ltd, London. Kupfer, H., Hlsdorf, H. K. ve Rusch, H., (969). Behavor of Concrete Under Baxal Stresses, Journal of the Amercan Concrete Insttute, 66, 8, 656-666. Kwak, H. G. ve Km D. Y., (2). Nonlnear Analyss of RC Shear Walls Consderng tensonstfenng effect, Computers and Structures, 79, 499-57. Lu, T. C. Y., Nlson, A. H. ve Slate, F. O., (972). Baxal Stress-Stran Relatons for Concrete, Journal Structural Dvson, ASCE, 98, ST5, 25-34. Ngo, D. and Scordels, A. C., (967). Fnte Element Analyss of Renforced Concrete Beams, Journal of the Amercan Concrete Insttute, 64,3, 52-63. Rashd, Y. R. (968). Analyss of Prestressed Concrete Pressure Vessels, Nuclear Engneerng and Desgn, 7, 4, Aprl, 334-344. Saenz, I. P., (964). Dscusson of Equaton for the Stress-Stran Curve of Concrete, by Desay and Krshnan, Journal of the Amercan Concrete Insttute, Proceedngs, 6, 9, September, 229-235. Smth, I.M. ve Grfths, D.V., (997). Programmng the Fnte Element Method, John Wlley & Sons Ltd, New York. Veccho, F. J., (2). Dsturbed Stress Feld Model for Renforced Concrete: Formulaton, Journal of Structural Engneerng, ASCE, 26, 9, 7-77. Veccho, F. J., ve Collns, M. P., (982). Response of Renforced Concrete to n-plane Shear and Normal Stresses, Report No. 82, 3, Department of Cvl Engneerng, Unversty of Toronto. Veccho, F. J., ve Collns, M. P., (986). The Moded Compresson Feld Theory for Renforced Concrete Elements Subjected to Shear, Journal of the Amercan Concrete Insttute, 83, 2, 29-23. 8