ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE

ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE DOKTORA TEZİ Dez UÇAR DANIŞMAN Doç. Dr. Yaşar BOLAT MATEMATİK ANABİLİM DALI TEMMUZ

AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE Dez UÇAR DANIŞMAN Doç. Dr. Yaşar BOLAT MATEMATİK ANABİLİM DALI TEMMUZ

ONAY SAYFASI Doç. Dr. Yaşar BOLAT daışmalığıda, Dez UÇAR arafıda hazırlaa Zama kalaıda bazı kım damk deklemler alıımlılığı üzere başlıklı bu çalışma laüü eğm ve öğrem yöemelğ lgl maddeler uyarıca 6/7/ arhde aşağıdak jür arafıda Maemak Aablm Dalıda dokora ez olarak oy brlğ/oy çokluğu le kabul edlmşr. Üvaı, Adı, SOYADI İmza Başka Prof. Dr. Hüey Şr HÜSEYİN Üye(Daışma) Doç. Dr Yaşar BOLAT Üye Prof. Dr. Ömer AKIN Üye Prof. Dr. Ebar PENAHOV Üye Doç. Dr. Muhamme YÜRÜSOY Afyo Kocaee Üvere Fe Blmler Eüü Yöe Kurulu u.../.../... arh ve. ayılı kararıyla oaylamışır. Doç. Dr. Rıdva ÜNAL Eü Müdürü

ÖZET Dokora Tez ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE Afyo Kocaee Üvere Fe Blmler Eüü So yıllarda dfereyel deklemler eor ve fark deklemler eor le lgl araşırmalar hızla armakadır. Dfereyel deklemler le lgl brçok oucu fark deklemler le bezer olmaıa rağme farklı olduğu durumlar da bulumakadır. Zama kalaıda damk deklemler çalışılmaı bu farklılıkları oraya çıkarır ve bu ayede ouçları dfereyel deklemler ve fark deklemler ç ayrı ayrı alamaıa gerek kalmaz. Zama kalaı eor, Sefa Hlger arafıda ayrık ve ürekl aalz brleşrmek amacıyla kurulmuşur. Zama kalaı aalz emel fkr, aım küme reel ayıları boş olmaya keyf kaalı br al küme olarak adladırıla br zama kalaı olduğuda br damk deklem ç ouçları alamakır. Leraürde kım dfereyel deklemler ve fark deklemler alıımlılığı le lgl olarak brçok ouç elde edlmşr. Buula brlke yaıla araşırmalarda bu ouçları kım damk deklemlerde brleşre çalışmaya ralaamamışır. Bu ez brc bölümüde zama kalaı eor aıılmışır. İkc bölümde damk deklemler ç gerekl ola zama kalaı kavramıda bahedlmşr. Üçücü bölümde bazı kım damk deklemler alıımlılığı celemşr. Dördücü ve o bölümde ıraıyla geckmel bazı kım damk deklemler ve br eural kım damk deklem ç alıımlılık şarları araşırılmışır., 55 ayfa Aahar Kelmeler: Salıımlılık, Zama Skalaı, Kım Damk Deklemler.

ABSTRACT Ph. D. The ON OSCILLATION OF SOME PARTIAL DYNAMIC EQUATIONS ON TIME SCALES Afyo Kocaee Uvery Iue for he Naural ad Aled Scece I rece year, here ha bee much reearch acvy cocerg he heory of dffereal ad dfferece equao. Alhough may reul cocerg dffereal equao are mlar o he correodg dfferece equao, here are alo dcreace. The udy of dyamc equao o me cale reveal uch dcreace, ad hel avod rovg reul wce, oce for dffereal equao ad oce aga for dfferece equao. The heory of me cale wa roduced by Sefa Hlger order o creae a heory ha ca ufy dcree ad couou aaly. The geeral dea o rove a reul for a dyamc equao where he doma of he ukow fuco a o-called me cale, whch may be a arbrary cloed ube of he real. I he leraure, here are o may reul he ocllao heory of aral dfferece ad dffereal equao. However o he be of our kowledge, here o work doe aemg o ufy hee reul by mea of he me cale heory for aral dyamc equao. I he fr eco of he he, we roduce me cale heory. I he ecod eco, we meo he coce of me cale of whch dyamc equao are defed o. I he hrd eco, we udy he ocllao of ome aral dyamc equao. I he fourh ad he la eco, we udy he ocllao crera for ome delay aral dyamc equao ad a eural aral dyamc equao, reecvely., 55 age Keyword: Ocllao, Tme Scale, Paral Dyamc Equao.

TEŞEKKÜR Tez çalışmamı her aşamaıda blg ve ecrübeleryle be yöledre, yardımlarıı ergemeye ve her hafa bıkmada be dleye daışmaım Sayı Doç. Dr. Yaşar BOLAT a ve çalışmalarım ıraıda abrıyla bede lg ergemeye evgl eşme ouz eşekkürlerm uarım. Dez UÇAR

İÇİNDEKİLER ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ ŞEKİLLER ve ÇİZELGELER DİZİNİ v v. GİRİŞ. GENEL BİLGİLER 3. Zama Skalaıda Nokaları Sııfladırılmaı 3 3. BAZI DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIK DAVRANIŞI 3 3. u (, ) = au( ρ( ), ) + bu(, ) + cu( σ( ), ) Tdek Deklemler 3 3.. T = h Durumu 8 3.. T = R Durumu 3. u (, ) au( ρ( ), ρ( ) ) bu(, ) cu( σ( ), σ ( ) ) = + + Tdek Deklemler 3.. T = R ve T = kz Durumu 3 3.. T = hz ve T = kz Durumu 6 3..3 T = R ve T = R Durumu 8 3..4 T = hz ve T = R Durumu 8 4. BİR KISMİ DİNAMİK DENKLEM İÇİN SALINIMLILIK ŞARTLARI 3 4. Sıır değer roblemler 3 v

4. u (, ) u(, ) = Deklem Çözümler Varlığı ve Teklğ 36 4.3 Geckmel Br Kım Damk Deklem İç Salıımlılık Şarları 39 5. NEUTRAL KISMİ DİNAMİK BİR DENKLEMİN SALINIMLILIĞI 45 KAYNAKLAR 54 ÖZGEÇMİŞ v v

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ T Zama Skalaı Reel Sayılar Tam Sayılar Tolam embolü Crd (, ) A B A kümede B kümee rd-ürekl fokyoları küme σ ρ İler Sıçrama Oeraörü Ger Sıçrama Oeraörü Grae Fokyou := Taımlıdır = Eşr e Log Özdeşr Elemaıdır Elemaı değldr Euler Sayıı (,78 ) Doğal Logarma Fokyou v

ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa No Şekl. Nokaları ııfladırılmaı 4 Şekl 5. ( ) u x, = co x. fokyouu grafğ 53 ÇİZELGELER DİZİNİ Sayfa No Çzelge. Nokaları ııfladırılmaı 4 v

. GİRİŞ So yıllarda üzerde brçok çalışmalar yaıla zama kalaı eor Sefa Hlger arafıda, 988 yılıdak dokora ezde ürekl ve ayrık aalz brleşrmek amacıyla kurulmuşur (Hlger, 988). Zama kalaı üzerde damk deklemler çalışılmaı, dfereyel deklemler le fark deklemler araıdak farklılıkları oraya çıkarır ve bu ayede ouçları k defa alamaıa gerek kalmaz. Geel fkr, blmeye fokyou aım küme; reel ayıları boş olmaya keyf kaalı br al küme olarak adladırıla zama kalaı olduğuda, br damk deklem ç ouç çıkarmakır. Bu ezde amaç, ek değşkel damk deklemler alıımlılığı üzere yaıla çalışmalar celedke ora k veya daha fazla değşkel bazı kım damk deklemler alıımlılığı hakkıda ye ouçlar çıkarmakır. Uygulamalı maemak, okyaulardak dalgaları harekede, güç kayaklarıdak elekrk akımlarıa kadar gerçek düyaı alaşılmaıda maemağ kullaılmaıyla lgler. Maemak dl kullaılarak gerçek düya emlere uygu maemakel modeller aımlamaıı ağlar. Blm adamları düyadak emler, var ola maemak ekkleryle çözüleble modellerle çalışablrler. Uygulamalı maemake emel amaç ye ek maemakel modeller ç eorler gelşrmekr. Bu da daha fazla e olayları çalışılmaıı ve gerçek hayaa daha fazla uya modeller erch edlme ağlar. Üzerde çokça çalışıla maemakel modeller, ürekl değşkel olalardır. Bu modeller arkaıdak geel maemakel eor dfereyel aalzdr. Dfereyel aalz gelşmee aralel olarak ayrık değşkelere bağlı modeller de kullaılmaya başlamışır. Bu aladak çalışmalar da hızla armışır. Ayrık değşkel fokyoel deklemler ç adar erm de, fark deklemlerdr. Dfereyel deklemler ve fark deklemler eor araıdak ayrılıklar maemakel modelleme eçmde zorlukları oraya çıkmaıa ebe olmakadır. Hem ürekl hem de ayrık değşkel deklemler ola hbr damk emler alaıda çalışılmaya başlamışır. Acak bu aladak çalışmalar ayrık ve ürekl değşkeler ayı ada çere gerçek düya emler ç yeerl değldr. Bu ür emlere adar br

yaklaşım, bu modeller ürekl ve kekl değşkelerle lgl farklı aım bölgelere ayırmakır. Dğer br yaklaşım e model ayrık değşkeler arçalarıı yaklaşımlarla doldurarak veya ürekl değşkeler ayrık duruma gererek adece ürekl veya adece ayrık değşkelere drgemekr. Acak bu yaklaşımlar, modeller ç doğru olmayablrler. Model ürekl ve ayrık durumlarıı davraışları araıda farklılıklar olablr. Ayrık durumda ürekl duruma geçerke değşke davraışıdak değşklkler aımlamaıda roblemler oraya çıkablr. Zama kalaı aalz gelşme bu ür roblemlere çözüm oluşurmuşur. Hlger, ürekl ve ayrık değşkeler ayı ada çere modeller çalışılmaıı ağlaya br eor bulmak ç zama kalaı eor kurmuşur. Zama kalaı aalz k emel özellğ brleşrme ve geşlemedr. Bu özellklerde dolayı çok geş br uygulama alaı bulumakadır. Zama kalaı olarak, reel ayılar küme alııra, alışılmış dfereyel deklemler ç ouçlar verleblr. Dğer arafa zama kalaı olarak am ayılar küme alııra, fark deklemler ç ouçlar verleblr. Faka reel ayılar küme ve am ayılar küme dışıda brçok zama kalaı olduğuda daha fazla geel ouç buluablr. Güümüzde zama kalaı aalzdek çalışmalar ek değşkel durumda yaılmışır. Tek değşkel fokyolarda ürev ve egral kavramları verlmş ve keyf zama kalaları ç ürekllk durumlarıı brçok eor geelleşrlmşr. Brc ve daha yükek merebede ek değşkel damk deklemler üzere araşırmalar yaılmış ve alıımlılık durumları üzere ouçlar elde edlmşr. Acak k veya daha fazla değşke çere kım damk deklemler alıımlılığı le lgl herhag br çalışma yaılmamışır. Kım damk deklemler alıımlılık davraışlarıı celeme adece maemak ç değl; zama kalaıı uyguladığı dğer blm dallarıda; blgayar blm, ı blm, eomoloj (böcek blm), elekrkle lgl alalar ve ekoom ç de oldukça büyük öem aşımakadır.

. GENEL BİLGİLER Br zama kalaı, reel ayıları keyf boş olmaya kaalı br al küme olarak aımlaır. [ ] [ ] [ ] R, Z, N, N,,,3,, N ve Caor kümeler brer zama kalaı öreklerdr. Bu kümeler T le göerlr. Tek değşkel fokyolar ç zama kalaıda dfereyel ve fark healamalarıda kullaıla bazı emel aım ve kavramlar aşağıdak gb verleblr. Taım. T br zama kalaı olu. T ç σ: ve ρ:t T ger ıçrama oeraörü, () f { T : } σ = > () u { T : } ρ = < şeklde aımlaır (Boher ve Peero, ). T T ler ıçrama oeraörü, Taım. : T [, ) olmak üzere, ( ) = σ ( ) fokyou grae fokyou olarak aımlaır (Boher ve Peero, ).. Zama Skalaıda Nokaları Sııfladırılmaı: T okaı ç σ () > e ağ açılımlı, ( ) = adladırılır. ρ () < e ol açılımlı, ( ) = σ e ağ yoğu oka olarak ρ e ol yoğu okadır. Ayı ada hem ağ açılımlı hem de ol açılımlı ola okalara zole oka der. Hem ağ yoğu hem de ol yoğu ola okalara da yoğu oka der. 3

Çzelge. Nokaları ııfladırılmaı. σ () > ağ açılımlı σ () = ağ yoğu ρ () < ol açılımlı ρ () = ol yoğu () σ ( ) ρ < < zole () σ ( ) ρ = = yoğu Aşağıdak şeklde, zole, ağ yoğu ol açılımlı, 3 yoğu ve 4 ol yoğu ağ açılımlı okaları göermekedr: ρ () () σ () Şekl. Nokaları ııfladırılmaı. 3 4 Taım.3 T zama kalaıda ürelmş T κ şeklde aımlaır. T κ küme, ( ρ( u ),u, u T T T T< = T,uT= Eğer T ol açlımlı br m makmumua ah e T κ = T { m} T κ = T dr (Boher ve Peero, )., dğer durumlarda Taım.4 f : κ T R br fokyo ve T olu. O halde ε > ç, br ( δ, δ), ( δ ) U = + T > komşuluğudak her U ç [ f ( σ () ) f ( ) ] f () [ σ () ] ε σ () 4

olacak şeklde br f () ayıı vara bu ayıya okaıdak dela ya da Hlger ürev κ der. Buula brlke T ç f () vara f ye κ T da dela dfereyelleeblrdr der. Dela ya da Hlger ürev;. T= R e f = f alışılmış (ad) ürev,. T= Z e f = f ler farkır. Dfereyel ve fark heabıı bazı emel özellkler aşağıdak gbdr: Teorem.5 f : T R br fokyo ve. f, okaıda dfereyelleeblr e, de ürekldr.. f, de ürekl ve ağ açılımlı e f, de le dfereyelleeblr. 3., ağ yoğu ve f () = f κ T olu. O halde aşağıdakler ağlaır. ( σ ( ) ) f ( ) () () f () f lm lm olu e f, de dfereyelleeblrdr. Bu durumda olacakır. f () 4. f, okaıda dfereyelleeblr e dr (Boher ve Peero, ). f () f () f = lm ( σ () ) = f ( ) + ( ) f ( ) Taım.6 f : T R fokyouu T dek üm ağ yoğu okalarda ağda lm olu ve üm ol yoğu okalarda olda lm olu e f fokyou düzel (regulaed) fokyodur der (Boher ve Peero, ). 5

Taım.7 f : T R fokyouu T dek ağ yoğu okalarda ürekl ve ol yoğu okalarda lm olu e f fokyoua ağ yoğu ürekl (rd-ürekl) dr der (Boher ve Peero, ). Taım.8 f düzel br fokyo e D ç () f () F = olacak şeklde D dfereyelleme bölgee ah br F fokyou vardır. Bu F fokyoua f lkel der. Düzel br f fokyouu belrz egral, şeklde aımlaır. Cauchy egral e r, T ç ( ) = F( ) c f + f r () = F( ) F( r) şeklde aımlaır (Boher ve Peero, ). Teorem.9 Eğer κ f C ve T e dr (Boher ve Peero, ). rd σ ( ) f ( τ ) τ = () f () Teorem. ab, T ve f C olu.. T= R e rd olur. b b f () = f () a a d. Eğer [ a,b] kaalı aralığı adece zole okalar çeryora, 6

dr. b f a () = [ a,b) [ b,a) ( ) f ( ) () f (), a < b, a = b, a > b 3. Eğer { } T = h = hk: k, h> e dr. b a b h f ( kh) h, a < b a k= h f () =, a= b a h f ( kh) h, a > b b k= h 4. Eğer T = e b f (), a< b b = a f () =, a= b a a f (), a > b = b dr (Boher ve Peero, ). Taım. : T olu. f x y = f (,y,y σ ) dekleme brc merebede damk deklem der. Eğer y : κ T ç y () = f (,y(),y( σ () )) T fokyou, bağıııı ağlıyora yukarıdak brc merebede damk deklem br çözümüdür der. Deklem üm çözümler kümee geel çözüm der (Boher ve Peero, ). 7

Taım. T ve y verl. σ (,y,y ), y( ) y y = f = robleme başlagıç değer roblem (IVP) adı verlr (Boher ve Peero, ). Taım.3 h > ç π π h = z : < Im( z) < h h ve h = z : z h le aımlaır. h = ç = = komlek ayılar kümedr (Boher ve Peero, ). Taım.4 : κ T fokyou T ç ( ) ( ) + bağıııı ağlaıyora fokyoua regrefr der (Boher ve Peero, ). Taım.5 Eğer regref e, T ç üel fokyo e = le aımlaır (Boher ve Peero, ). (,) ex ξ ( )( ( τ )) τ τ Taım.6 h > ç ξ : h h ldr döüşümü ξ h ( z) = Log( zh) h + le aımlaır. Buradak Log doğal logarma fokyoudur. h = ç ( ) ξ z = z, z = dr (Boher ve Peero, ). Güümüzde zama kalaı aalzdek çalışmalar ek değşkel durumda yaılmışır. Tek değşkel fokyolarda ürev ve egral kavramları yaılmış ve keyf zama 8

kalaları ç ürekllk durumlarıı brçok eor geelleşrlmşr. Tek değşkel ve çok değşkel damk deklemler araıda belrl ayıda farklılıklar vardır. İk ve daha çok değşkee ah fokyoları zama kalaıdak kım dfereyel ve kım fark healamaları le bazı emel aım ve kavramlar aşağıdak gbdr: Taım.7 ç T br zama kalaı olmak üzere T =TxT x... xt karezye çarımı göz öüe alıı. T ç. σ : T T ler ıçrama oeraörü, T ve (, ) () = ( σ ( ), σ ( ),..., σ ( )) σ =,..., olmak üzere herhag. ρ : T T ger ıçrama oeraörü, () = ( ρ( ), ρ( ),..., ρ( )) ρ 3. : T grae fokyou, () = ( ( ), ( ),..., ( )) 4. T = T xt x... xt κ κ κ κ olarak aımlaır (Jacko, 6). Çok değşkel fokyolar ç verle bu aımlar br f ( ) fokyouu kım dela ürev aımıda kullaılablr. Br f ( ) fokyou ç =,,..., olduğuda şeklde aımlaı (Jacko, 6). () = f (,,...,, σ (),,..., ) σ f + () = f (,,...,,,,..., ) f + κ Taım.8 f : T br fokyo ve = (,,...,,..., ) T olu. O halde herhag ε > ç 9

() () () σ () ε σ () σ f f f, U olacak şeklde br U ( δ, δ) = + T komşuluğu vardır. f ye f fokyouu okaıda değşkee göre kım dela ürev der (Jacko, 6). değşkee göre kım dela ürev alıırke dğer değşkeler ab uulur ve T değşkee göre f () fokyouu dela ürev alıır. Böylece aım ürekl durumu br geelleşrlme olur. Her ç T = alııra kım dela ürev alışılmış kım ürevdr. Bezer şeklde her ç T = h alııra kım dela ürev j ler kım fark olur. O halde f () değer vara öce değşkee göre kım dela ürev alıarak f () buluur. Daha ora bu ürev fokyouu j değşkee j göre kım dela ürev alıarak f () = olur. j elde edlr. Böylece f ( f ) j Yükek merebede kım ürevler de bezer şeklde aımlaı healaablr. T değşkee göre () f fokyouu defa dela ürev ola f... () healamaı,, T zama kalaıda değşkee göre defa dela ürev göermek üzere f () healamaıyla ayıdır. Öreğ ve gb k değşkel br f fokyou verl. f fokyouu öce değşkee ora değşkee ve daha ora ekrar değşkee göre dela kım ürevler alımaı f bçmde göerlr. f fokyouu öce değşkee göre k defa dela kım ürev daha ora değşkee göre dela kım ürev alııra göerm f olur. Bu göerm çok açık değldr çükü hag değşkee göre k defa dela kım ürev alıacağı bell değldr. Buu yere şu göermler kullaılablr. Öreğ değşkee göre k defa dela kım ürev daha ora değşkee göre dela kım ürev alııra göerm f olur. Öce değşkee göre k defa dela kım

ürev daha ora değşkee göre dela kım ürev ve daha ora değşkee göre br defa dela kım ürev alııra göerm f olur. Kım ürev merebe, üm değşkelere göre fokyou alıa kım ürevler ayııdır. Öreğ f 4 f merebe alıdır. e üç defa dela kım ürev alımışır ve merebe üçür. Bu blgler ışığıda kım damk deklem aşağıdak gb aımlaablr: Taım.9 T ve T olmak üzere ve gb k değşkel br kım damk deklem σ σ F u, u, u, u, u, u σ,..., u σ, u, u = g, ( ) şekldedr. Eğer F( x,x,...,x ) leer e deklem leerdr der. (, ) = g e deklem homojedr. m kaayıı ıfırda farklı e yükek merebede kım ürev e deklem merebe m dr. (, ) ( ) f C T xt fokyou dela kım damk deklem ağlara damk deklem çözümü olarak adladırılır (Jacko, 6). Zama kalaıda kım dfereyel deklemler ç ayrıılı blg ayrıca (Ahlbrad ve Mora, ) ve (Boher ve Gueov, 4) makalelerde buluablr. Taım. Br damk deklem br u ( ) çözümü, [ ), T zama kalaıı br al yarı ouz ekede ab şarel e bu çözüme alıımızdır der. Eğer damk deklem br çözümü, [ ), T zama kalaıı her al yarı ouz ekede ab şarel değle bu çözüme alıımlıdır der. Eğer deklem çözümü her başlagıç fokyou ç alıımlı e dekleme alıımlı der.

Bu kavramlar başka br şeklde fade edleblr. Br çözüm alıımlı e ara ve ırakak br { } [ ), T dz vardır ve u ( ) u ( ( ) ) σ dr. Burada ç okaıa u fokyouu geelleşrlmş ıfırı der. Eğer br çözüm alıımlı değle şu k durum öz kouudur. Her [, ) T ç u () olacak şeklde yeerce büyük br buluablyora u çözümü ouda ozfr der. Her [, ) T ç u () olacak şeklde yeerce büyük br vara çözüme ouda egafr der. Taım. Br φ (, ) C rd TT fokyou yeerce büyük her T ç azalmaya, yeerce büyük her T ç φ () < ve lmφ() = e T üzerde br geckme fokyoudur. Taım. Türev oeraörü deklemdek blmeye fokyoa ve bu fokyou geckmel br erme uygulaıyora, dekleme eural deklem der.

3. BAZI DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIK DAVRANIŞI 3. u (, ) au( ρ( ), ) bu(, ) cu( σ( ), ) = + + Tdek Deklemler T ve T üe ve ala ıırız k zama kalaı olu. abc,, ve ye bağlı dela ürev olmak üzere, (, ) = ( ρ( ), ) + (, ) + ( σ( ), ), ( ) u au bu cu kım damk deklem göz öüe alalım. T = T = R ç u r (,) = e, (, ) x, r, T T (3.) dek çözüm br harekel dalga çözümü olarak adladırılır. Burada r harekel dalgaı hızıı fade emekedr. S. Che, Y. L ve G. Zhag (Che, L ve Zhag, ) T = T = Z durumu ç u r (,) = formuda harekel dalga çözümler bulmuşlardır. J. Hoffacker makalede (3.) deklem çözümler araşırmışır (Hoffacker, ). Bu bölümde T T ç uygu formlar deeyerek aralel ouçlar elde edlmeye çalışılmış ve belrl zama kalalarıda deklem çözümler ç alıımlılık şarları celemşr. Acak daha öce burada kullaılacak ola bazı eorem ve lemmalar verlmeldr. Teorem 3. : T regref ve ağ-yoğu ürekl olu. Bu durumda aşağıdakler ağlaır (Boher ve Peero, ).. e (,) ve (,) = = e. e ( σ (),) = ( + () () ) e (,). Teorem 3. Eğer f κ C ve T e rd σ( ) f ( τ) τ = ( ) () f 3

dr (Boher ve Peero, ). Lemma 3.3 Eğer C e her r,, T ç rd (, ) (, ) = (, ) e r e r e dr (Boher ve Peero, ). T ç + ( ) ve başlagıç okaı olmak üzere, (3.) deklem r T ç + () olduğuda, ( ) u (,) = e (, ) e r (, ) T T, o formuda çözümüü araşıralım. Verle çözüm (3.) deklemde yere yazılıra, ( e(, ) e r (, ) ) ae ( ( ), ) e r (, ) be (, ) e r (, ) = ρ + + ce ( σ( ), ) e r (, ) elde edlr. Burada Teorem 3. kullaılarak e ( σ ( ), ) = ( + ( ) ( ) ) e (, ) buluur. e ( ( ), ) ρ fade elde emek ç aşağıdak eorem verleblr. ( ) ( ()) Teorem 3.4 Her T ç + ρ () ρ olduğuu kabul edelm. O halde buluur. ( ρ(), ) = ( ρ() ) ( ρ(), ) e e ( ) ρ() İa : Öcelkle σρ() > olduğu kabul edl. Teorem 3. yardımıyla σ( ρ() ) ρ() ex ξ ( )( ( τ) ) τ ex ( )( τ ξτ ( τ) ) τ e ( ρ (), ) = ρ ex = σ( ρ() ) ρ() ( () ) ( () ) ξ ( )( ( τ) ) τ τ e, ρ ( ρ () ) 4

( ξ ( ())( ( ρ () )) ( ρ() ρ )) ex = e ρ ( () ) ( ( ( ))) ( (), ) = ξ ξ ρ e ρ ( ()) ( ()) () ρ ρ ( ρ( )) ( ρ( ), ) = e ( ρ(), ) buluur. ( ( ) ) ρ( ) σρ = olduğu kabul edl. Lemma 3.3 kullaılarak, ürev aımıda ( () ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ) e ρ, e ρ, ρ e ρ, ρ ρ ( ρ(), ) ( ρ(), ρ() ) ( ρ() ) ρ() ρ( ) = e e ρ() ( () ) ( )( ( )) ρ() ρ() ( )( ( )) ( ()) () ( ) ( () ()) = e ρ, ξ τ τ e ρ, ρ τ ρ() + ξ τ τ ρ ρ ρ τ ρ() ( () ) ( )( ( )) ρ() ρ() ( )( ( )) ( ()) () ( ) ( () ()) e ρ, ξ τ τ e ρ, ρ τ ρ() + ξ τ τ ρ ρ ρ τ ρ() ( () ) ( )( ( )) ρ() τ ρ() ( () ()) e ρ, ξ τ τ e ρ, ρ τ ρ() ( ) + e ( ρ(), ) ξ ( )( ( τ) ) ξ ( ρ() ) τ elde edlr. ( ) ρ( ) ( ) δ > olu. σρ( ) = ç ρ () = olduğuda lmξ r ( ( )) ( ) = ξ ( ) ρ r 5

dr. Eşzlğ ağ arafı δρ() ρ( ) de küçük olacak şeklde ρ () br U komşuluğuu olduğuu var olduğuu göerelm. τ U ç ( ) ( )( ( )) ( () ) ξ τ ξ ρ < τ olacak şeklde ρ () br ρ() 3 δ ( ρ () ) e, U komşuluğu vardır. ( ) U τ ρ() ρ olu. O halde δ e ( ρ(), ) ξ ( )( ( τ) ) ξ ( ( ρ() )) τ ρ ρ 3 buluur. L Hoal kuralıa göre komşuluğu vardır, böylece ρ( ) ρ( ) ρ() ρ( ) ( )( ( )) ρ() ρ( ) ( )( ( )) z e lm z z z ç U e ( ( ) ( )) ξ τ τ e ρ, ρ τ * ξ τ τ τ dr. ρ ( ) U : = U U olu. O halde ρ() ( () ) ( )( ( )) () ( ) = dır. Böylece ρ () br U δ < δ = m, + 3 ( ρ() ) e ( ρ(), ) ( () ()) e ρ, ξ τ τ e ρ, ρ τ ρ() ρ() * ( (), ) ( )( ( )) e ρ δ ξ τ τ τ ρ() ρ() * e ( ρ(), ) δ ξ ( )( ( τ) ) ξ( ( ρ() )) τ + ( ρ() ) ρ() ρ( τ ) ρ() ρ() ( ) e ( ρ(), ) ξ ( )( ( τ) ) ξ ( ρ() ) τ + e ρ, δ ρ ρ ρ τ ρ() δ ρ ρ + ρ δ ρ ρ ρ 3 * () ( ) e ( (), ) ( () ) () ( ) δ δ ρ ρ + ρ ρ 3 3 () ( ) () ( ) * ( () ) ( ()) () ( ) 6

δ = ρ 3 () ρ ( ) elde edlr. Böylece eorem alamış olur. ( ) ( ()) Lemma 3.5 Her T ç + ρ () ρ olu. O halde eşlğ ağlaır. ( ρ(), ) e ( σρ ( ()), ) ( () ) ( () ) e = + ρ ρ ( ( ) ) ( () ) ( () ) ( ()) ( () ) İa : e σρ(), e = ρ, = e ρ, + ρ e ρ, olduğu bldğde, Teorem 3.4 de buluur. ( σρ ( ()), ) = ( ρ (), ) + ρ ( ()) ( ρ() ) ( ρ(), ) e e e ( () ) ( () ) e ( () ) = + ρ ρ ρ, Elde edleler yardımıyla, çözümü (3.) deklemde yere yazılmaıyla oluşa deklem düzelere ( σρ ( ( )), ) ( ( ) ) ( ( ) ) e r e(, ) = a + be, + c + e, + ρ ρ buluur. ( ) ( ( ) ( )) ( ) (3.) Eğer bu deklem karakerğ br kökü e u(,) = e (, ) e r (, ) deklem br çözümüdür. Acak (3.) T ç ( ρ( )) = ( ) olmadıkça a, b, c abler bulumaı zor olacakır. a, b, c ye bağlı olmaı durumuda karakerk deklem kullaılarak çözümü varlığı göerleblr, acak buluamaz. T ç ( ) = h gb ab br fokyo olduğu özel durum göz öüe alıı. 7

3.. T = h Durumu = h T olmaı durumuda deklem ( ) ( ) T ç ρ ( ) = = h olacağıda, (3.) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) r e e(, ) = a + be, + c + e, + şekl alır. Bu fade düzelere br ab olmak üzere elde edlr. = r + r = a + b+ c + h + h ch + r + ( ) r ( bh + ch) + ( a + b + c) h Eğer bu deklem karakerğ br kökü e u(,) = e (, ) e r (, ) deklem br çözümüdür., (3.) a, b, c abler ye bağlı olmaı durumuda karakerk deklem kullaılarak çözümü varlığı göerleblr, acak buluamaz. α = bh + ch, β = a + b + c, γ = ch olarak alııra elde edlr. r + r + r = γ + α + β h (3.3) (3.3) karakerk deklem ozf olmaya kökler elde edlmee yöelk bazı şarlar elde emeye çalışalım. Buu ç, T T üzerde aımlı (, ) = (, ) (, ) ( ) h r = + r (, ) u e e h e formuda harekel br dalga çözümüü göz öüe alalım. Bu durumda karakerk deklem f şeklde olacakır. ( ) r+ r+ r : = γ + α + β h = (3.4) Teorem 3.6 T = h ve r ç α, β, γ ya göre aşağıdak şarlarda br ağlaıra (3.) deklem üm çözümler alıımlıdır. 8

. γ <, α =, β =,. γ <, α =, β <, 3. γ <, α <, β =, 4. γ =, α <, β =, 5. γ =, α =, β <, 6. γ =, α <, β <. İa : (3.4) karakerk deklemde f ( ). γ < α =, β = ve lm f ( ) = olacakır. Bu durumda,, e (3.4) karakerk deklem f ( ) r+ : = γ h olacakır = dur. Deklem üm kaayıları egaf olduğuda eşlğ ağlayacak ozf br değer buluamaz., e (3.4) karakerk deklem f ( ). γ < α =, β < olacakır. Yukarıdake bezer şeklde deklem ozf kökü yokur. γ β h r+ r : = + Bezer şeklde eorem 3, 4, 5 ve 6. şıklarıdak şarlar ç de karakerk deklem ozf kökü yokur. Dolayııyla (3.) deklem üm çözümler alıımlıdır. Teorem 3.7 T = h ve r = ç α, β, γ ya göre aşağıdak şarlarda br ağlaıra (3.) deklem üm çözümler alıımlıdır.. γ<, α< h, β<,. ( α h) < γ( β ) 4, 3. ( h) ( ) ( h ) α = 4γ β, α γ<, 4. γ ( β)( α h) =, <, 5. α ( ) = h, β γ<. İa : r = ç (3.4) karakerk deklem, ( ) ( h) şekle döüşmekedr. Karakerk deklem ç f ( ) g : = γ + α + β (3.5) = dr. 9

. γ < α < h, β < kökü yokur., ve lm f ( ). ( α h) 4γ( β ) = olduğuda karakerk deklem ozf < olduğuda kc derecede (3.5) karakerk deklem ç ( α h) γ( β ) = 4 < olacakır. O halde karakerk deklem reel kökü yokur. 3. ( α h) γ( β ) 4 = olduğuda (3.5) karakerk deklem çakışık kökü vardır. ( h αγ ) 4. < ç arabolü ee okaı, x-eke egaf kımıdadır. γ = olmaı durumuda (3.5) karakerk deklem g ( ) ( h) : = α + β şekldedr. O halde ( β)( α h) < ç β = < α h olacakır. 5. Eğer α = h e karakerk deklem kökü β = γ olur ve ( ) β γ< ç komlek br ayı olacakır. Böylece (3.) deklem üm çözümler alıımlıdır. 3.. T = R Durumu Karakerk deklem reel olmaya kökler oluşura şarları br küme araşıralım. T T üzerde aımlı u ( ) ( ) ( ) (, = e, e, e ) r = e r (, ) formuda harekel br dalga çözümüü göz öüe alıı. Teorem 3.8 a + b + c < ve deklem üm çözümler alıımlıdır. çf r = olduğuu kabul edelm. Bu durumda (3.) ek İa : = T R durumuda ρ ( ( ) ) ( ) = = olduğuda (3.) deklem

(, ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) e r e(, ) = a + be, + c + e, + ρ r = a + b + c şekle döüşür. O halde karakerk deklem reel köküü olmamaı ç a + b + c < ve alıımlıdır. çf r = olmalıdır. Bu durumda (3.) deklem üm çözümler ek Örek 3.9 T = h olduğuu kabul edelm. u (, ) = u( ρ( ), ) + 3u(, ) u( σ (, ) ), ( ), T T brc merebede kım damk deklem göz öüe alalım. ( ) başlagıç okaı olmak üzere deklem, u r + r, (, ) = e (, ) e (, ) = ( h ) h e ( ) T T, o formuda br çözüme ah olacakır. Burada α = bh + ch, β = a + b + c, γ = ch olduğuda γ <, α < ve β = olmakadır. T = h ç şekldedr. O halde karakerk deklem u u h ( ρ( ), ) = ( + h) h e (, ) + h r ( σ ( ), ) = ( + h) h e (, ) r formuda olacakır. r ( + h) + ( + h) 3( + h) + = r durumu ç, r = olarak eçl. O halde karakerk deklem şekldedr. Burada 3 ( + h ) + h = h + buluur. = ( + h ) ± + 4h, < h

r = durumu ç karakerk deklem h + h + = şekle döüşür ve bu deklem reel kökü yokur. O halde verle deklem üm çözümler alıımlıdır. Örek 3. T = R olduğuu kabul edelm. u (, ) = u( ρ( ), ) + u(, ) 5u( σ (, ) ), ( ), T T brc merebede kım damk deklem göz öüe alıı. ( ) başlagıç okaı olmak üzere deklem u ( ) ( ) ( ) (, = e, e, e ) r = e r (, ) T T, o formuda br çözüme ah olacakır. Burada α = bh + ch, β = a + b + c, γ = ch olduğuda a + b + c = < dır. Elde edle çözüm deklemde yere yazılıra r karakerk deklem elde edlr. Burada = + = çf buluur. Bu deklemde r = eçlre, komlek br kök olacakır. O halde verle ek deklem üm çözümler alıımlıdır. r 3. u (, ) au( ρ( ), ρ( ) ) bu(, ) cu( σ( ), σ ( ) ) = + + Tdek Deklemler T ve T üe ve ala ıırız k zama kalaı olu. abc,, ve ye bağlı dela ürev olmak üzere, (, ) = ( ρ( ), ρ( )) + (, ) + ( σ( ), σ ( )), ( ) u au bu cu T T, (3.6), kım damk deklem göz öüe alalım. (3.) deklemde olduğu gb r harekel dalgaı hızıı fade emekedr. (3.6) deklem (, ) = (, ) r (, ) u e e

formuda çözümüü araşıralım. Verle çözüm (3.6) deklemde yere yazılır ve düzelere, ( e (, ) e r (, ) ) ae ( ( ), ) r (, ) be (, ) e r (, ) = ρ + + ce ( σ ( ), ) e r ( σ (), ) r ( σρ ( ( )) ) ( ( )) ( ( )) (, ) r (, ) r ( σρ ( ()) ) r ( ()) ( ()) e, e, e (, ) e r (, ) = a + ρ ρ + ρ ρ + be e ( ) r ( ) r ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) + c + e, + e, (3.7) elde edlr. Eğer bu deklem karakerğ br kökü e u (,) = e (, ) e r (, ) ( ρ( )) ( ) (3.6) deklem br çözümüdür. Acak T ç ( ) () = veya T ç ρ () = olmadıkça a, b, c abler bulumaı zor olacakır. a, b, c ye bağlı olmaı durumuda karakerk deklem kullaılarak çözümü varlığı göerleblr acak buluamaz. O halde bu dekleme göre aşağıdak dör durum ç harekel dalga çözümler alıımlılığı celeeblr. ) T = R ve T = kz, ) T = hz ve T = kz, 3) T = R ve T = R, 4) T = hz ve T = R. 3.. T = R ve T = kz Durumu Bu durumda ( ρ ( ) ) = ( ) = ve ( ) ( ρ( )) ( ) T ç, T ( ) = = k olacakır. Böylece deklem r k ( ) ( ) u, = e + k formuda br çözümü vardır. O halde (3.7) deklem 3

r (, ) r (, ) e (, ) ( ( )) ( ( )) (, ) r (, ) e r (, ) r ( ()) ( ()) e e = a + ρ ρ + ρ ρ şekl alır ve ( ) karakerk deklem ( ) ( ) ρ + be e ( ) r ( ) r ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) + c + e, + e, = = ve ( ) ( ρ( )) = = k olduğuda, ab ç r r ( ) ( ) ( ) ( ) g : = a+ b+ c + k b+ c + k kc = şekldedr. Eğer karakerk deklem br kökü e u(,) = e (, ) e r (, ) (3.6) deklem br çözümüdür. α = a+ b+ c olarak alııra karakerk deklem ( c) ( ) β = k b+ γ = k kc ( ), r r g : = α + β + γ = (3.8) şekle döüşür. Karakerk deklem ozf olmaya kökler olablme ç aşağıdak eorem verleblr. Teorem 3. T = R ve T = kz ve r > olu. α, β, γ ç aşağıdak şarlarda br ağladığıda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. ) α, β ve γ ayı şarel,, q brer ek amayı olmak üzere ) α, β ve γ ayı şarel, çf ve q ek amayı olmak üzere r =, q r =, q 3) α =, βγ > ve, q brer ek amayı olmak üzere r =, q 4) α =, βγ > ve çf ve q ek amayı olmak üzere r =, q 5) β < 4αγ. r İa :. = olu. (3.6) karakerk deklemde 4

( ) g : = α + β+ γ = (3.9) buluur. (3.9) deklem kökler olamı β α < ve kökler çarımı γ α > olduğuda kökler egafr. Böylece, q brer ek amayı olmak üzere = ( ) r deklem ozf kökü yokur. r = ç q. Bu durumda (3.9) karakerk deklem kökler komlek ayılar olacakır. Dolayııyla karakerk deklem ozf kökü yokur. 3. α =, βγ > e (3.8) karakerk deklem ( ) r g : = β + γ = şekle döüşür ve deklem ağlayacak ozf kökü olmadığı açıkır. 4. Üçücü durumdake bezer olarak karakerk deklem kökler komlekr. 5. β < 4αγ olmaı koşuluda (3.9) karakerk deklem reel kökü yokur. Böylece (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. Teorem 3. T = R ve T = kz ve r < olu. α, β, γ ç aşağıdak şarlarda br ağladığıda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. ) α, β ve γ ayı şarel,, q brer ek amayı olmak üzere ) α, β ve γ ayı şarel, çf ve q ek amayı olmak üzere r =, q r =, q 3) γ =, αβ > ve, q brer ek amayı olmak üzere r =, q 4) γ =, αβ > ve çf ve q ek amayı olmak üzere r =, q 5) β < 4αγ. İa : r < olduğuda, (3.8) karakerk deklem ( ) r r g3 : = γ + β + α = şekle döüşür. Buradak dğer alar Teorem 3. de yaıla alara bezer olduğuda hmal edlmşr. O halde (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. 5

3.. T = hz ve T = kz Durumu Bu durumda ( ) ( ) T ç, T ( ) ( ) = = ve ( ) ( ρ( )) ρ h = = k olacakır. Böylece deklem r (, ) = ( + ) h ( + ) u h k formuda br çözümü vardır. O halde (3.7) deklem düzelere r (, ) r (, ) e (, ) ( ( )) ( ( )) (, ) r (, ) k e r (, ) r ( ()) ( ()) e e = a + ρ ρ + ρ ρ + be e ( ) r ( ) r ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) + c + e, + e, r ( ρ ( )) ( ρ ( )) r r ( ( ) ) ( () ) r ( ( ))( ( ( ))) () = a+ b + + + ρ + ρ r ( )( ( ())) + c + + ρ + + ρ karakerk deklem elde edlr. Eğer karakerk deklem br kökü e u (,) = e (, ) e r (, ), (3.6) deklem br çözümüdür. a, b, c ye bağlı olmaı durumuda karakerk deklem kullaılarak çözümü varlığı göerleblr, acak buluamaz. ( ) ( ) ( ) = = ve ( ) ( ρ( )) ρ h ( ) ( ) ( 4 ) r ( ) ( ) ( ) r+ + h kb+ kc + k b+ c + hkc+ hk kc + k kc = = k olduğuda r+ r+ r r+ = h c+ h b+ c + a+ b+ c + h kc (3.) karakerk deklem elde edlr. Bu karakerk dekleme göre aşağıdak ouçlar verleblr. Teorem 3.3 T = hz ve T = kz ve r olu. a, b, c ç aşağıdak şarlarda br ağladığıda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. ) c<, b+ c< ve a+ b+ c<, ) c<, b= ve a+ c<. 6

İa :. Bu durumda (3.) karakerk deklem ( ) ( ) ( ) r+ r + h( kb+ 4kc ) + k( b+ c) + hkc+ hk( kc ) + k( kc ) r+ r+ r r+ w : = h c+ h b+ c + a+ b+ c + h kc olarak düzelere, c, b c ve a b c < + < + + < ç w ( ) < ve lm w( ) olacakır. O halde karakerk deklem ozf kökü yokur.. Bu durumda (3.) karakerk deklem r+ r+ r r+ w ( ) : = h c+ hc+ ( a+ c) + h kc r+ r + h 4kc + kc ( ) [ ] ( ) ( ) + hkc+ hk kc + k kc = olarak düzelere, öceke bezer şeklde karakerk deklem ozf köküü olmadığı kolayca görüleblr. Böylece (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. Teorem 3.4 T = hz ve T = kz ve r = olu. a, b, c ç aşağıdak şarlarda br ağladığıda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. ) c<, b< ve a<, ) c<, b= ve a<. İa :. Eğer r = e (3.) karakerk deklem ( ): = ( + ) + ( + ) + ( )( + ) h h c k h c k b k + a+ b k+ + c k + k+ ( )( ) ( ) şeklde düzeleeblr. c, b ve a < < < ke h ( ) < ve lm w( ) = olacakır. Böylece karakerk deklem büü kaayıları egaf olduğuda, deklem ıfır yaacak ozf kök yokur.. r =, c<, b= ve a< e (3.) karakerk deklem ( ) ( ) ( ) ( ) h : = h c k+ + h k+ c k+ + a k+ + c k + k+ ( ) ( ) formuda olacakır. Br öcek şıkake bezer şeklde karakerk deklem ozf köke ah olmadığı açıkır. Böylece (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. 7

3..3 T = R ve T = R Durumu Bu durumda ( ) ( ) T ç, T ( ) ( ) ρ = = ve ( ) ( ρ( ) ) (, ) = = olur. Böylece deklem r ( ) ( ) u = e e formuda br çözümü vardır. O halde (3.7) deklem düzelere r (, ) r (, ) e (, ) ( ( )) ( ( )) (, ) r (, ) e r (, ) r ( ()) ( ()) e e = a + ρ ρ + ρ ρ şekl alır ve ( ) deklem ( ) ( ) ρ + be e ( ) r ( ) r ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) + c + e, + e, = = ve ( ) ( ρ( ) ) r ( ) ( ) = = olduğuda karakerk r f : = a+ b+ c = (3.) şeklde olacakır. Bu karakerk dekleme göre aşağıdak ouç verleblr: Teorem 3.5 T = R ve T = R olu. a b c + + < ve çf ve q ek amayı olmak üzere r = olduğuda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. q İa : (3.) deklemde r = a+ b+ c olarak buluur. Böylece a+ b+ c< ve çf ve q ek amayı olmak üzere r = ç komlek br ayı olacakır. Böylece q (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. 3..4 T = hz ve T = R Durumu Bu durumda ( ) ( ) T ç, T ( ) ( ) = = ve ( ) ( ρ( ) ) ρ h = = olur. Böylece deklem 8

(, ) = ( + ) h u h e r ( ) formuda br çözümü vardır. O halde (3.7) deklem düzelere r (, ) r (, ) e (, ) ( ( )) ( ( )) (, ) r (, ) e r (, ) r ( ()) ( ()) e e = a + ρ ρ + ρ ρ + be e ( ) r ( ) r ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) + c + e, + e, şekl alır ve ( ρ ( ) ) = ( ) = h ve ( ) ( ρ( ) ) = = olduğuda karakerk deklem r+ r+ r r+ r ( ) : = h c+ h( b+ c) + ( a+ b+ c) h = şekldedr. olarak alııra karakerk deklem ( c) α = hb+ β = a+ b+ c γ = hc r r+ r+ r ( ) ( γ α β h ) : = + + = (3.) şekle döüşür. Bu karakerk dekleme göre aşağıdak ouçlar verleblr: Teorem 3.6 T = hz ve T = R ve r olu.,, α β γ ç aşağıdak şarlarda br ağladığıda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. ) γ <, α = ve β =, ) γ <, α = ve β <, 3) γ <, α < ve β =, 4) γ =, α < ve β =, 5) γ =, α = ve β <, 6) γ =, α < ve β <. İa :. γ <, α = ve β = olduğuda, (3.) karakerk deklem r+ ( ) = γ h şeklde olacakır. ( ) = ve ( ) : lm öüe alııra karakerk deklem ozf köke ah değldr. = olduğu göz 9

. Bu durumda karakerk deklem de r+ ( ) r : = γ + β h şeklde olacağıda, brc şıkake bezer şeklde karakerk deklem ozf kökü yokur. Bu eoremde kala kıımları aları da yaıla alara bezer olduğuda hmal edlmşr. Teorem 3.7 T = hz ve T = R ve r = olu.,, α β γ ç aşağıdak şarlarda br ağladığıda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. ) γ <, α < hveβ <, ) ( α h) 4γ ( β ) <, 3) ( h) ( ) ( h ) α = 4γ β, α γ <, 4) ( )( h) γ =, β α γ <, 5) α ( ) = h, β γ <. İa : r = olduğuda (3.) karakerk deklem formudadır.. γ, α hveβ ( ) ( h) g : = γ + α + β = < < < ç g ( ) = ve lm g ( ) deklem ozf kökü yokur. = olduğuda karakerk. Karakerk deklem kc derecede olduğuda ( α h) 4γ ( β ) dkrmaı egafr ve reel kökü yokur. 3. ( α h) 4γ ( β ) < ç = olduğuda karakerk deklem kalı köke ahr. Parabolü ee okaıı egaf x koordalı olmaı ç ( h α) γ 4. γ = ç karakerk deklem formudadır. ( )( h) ( ) ( h) g : = α + β = β α γ < ç egaf olacakır. < olmaı gerekr. 3

5. Eğer α = h e β = γ, ( ) β γ < ç reel değldr. O halde (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. Örek 3.8 T = R ve T = kz olu. Brc merebede (, ) = ( ρ( ), ρ( )) + (, ) ( σ( ), σ ( )), ( ) T T (3.3) u u u u kım damk deklem göz öüe alalım. (, ) ( ) r k ( ) ( ) u, = e + k, T x T olmak üzere deklem şeklde br çözümü vardır. (3.3) deklem karakerk deklem r ( k k ) ( k) + + + 3 = r olur. r = durumu ç karakerk deklem şekl alır. Böylece alıımlıdır. ( k k ) ( k) + + + 3 = ( k k) + = < ( + 3k ) olduğuda deklem üm çözümler Örek 3.9 T = hz ve T = kz olu. Brc merebede kım damk deklem olarak verl. (, ) (, ) = ( ρ( ), ρ( )) ( σ( ), σ ( )), ( ) T T (3.4) u u u T x T olmak üzere (3.4) deklem r (, ) = ( + ) h ( + ) u h k k, şeklde br çözümü vardır. (3.6) geel dekleme a karakerk deklemde a =, b =, c= ve r = alııra (3.4) dekleme a karakerk deklem ( ) ( ) 4 3 = h + h k+ + h k + h + 4k + + k hk+ + k + k+ 3 ( )( ) şeklde olur. Deklem ozf kökü yokur. O halde üm çözümler alıımlıdır. 3

4. BİR KISMİ DİNAMİK DENKLEM İÇİN SALINIMLILIK ŞARTLARI Kım fark deklemler eor ve kım dfereyel deklemler eor, üfu harekeler ve göçler, kmyaal reakyolar, düzez hareke roblemler gb brçok kouya uygulaablmekedr. Zama kalaıda damk deklemler eor bu k eory brleşrmeke ve farklı zama kalaları ç geşlemekedr. Kım fark deklemler alıımlılığı le lgl olarak B. Zhag ve Y. Zhou adlı yazarları kabı (Zhag ve Zhou, 7) le kım dfereyel deklemler alıımlılığı le lgl olarak e N. Yohda adlı yazarı kabıda (Yohda, 8) geş blg elde edleblr. 4. Sıır değer roblemler Bu bölümde, ye bağlı dela ürev, G T de ıırlı br bölge, L T de Lalace oeraörü ve,u{ },( x, ) : G (, ) T T = Ω = T olmak üzere, deklem göz öüe alımışır. a ayrıca ( x, ) Ω ve ξ > ç c( x ) olmaı ç (, ) : (, ) T (, ) σ (, ) (,, ) (, ) u x alu x + c x u = f x (4.) +, c( x,, ) C rd (, ) = T le göerlmşr. ξ Ω, f ( x, ) C rd (, ) Ω ve ξ,, ξ olduğu kabul edl. Burada kolaylık Taım 4. Herhag br T ç u fokyou Ω bölgede br ıfıra ah e Ω üzerde alıımlıdır der. Ak halde u fokyou Ω bölgede alıımlı değldr der. Taım 4. u C ( G) C ( G) fokyou, Ω bölgede (4.6) deklem ağlıyora, rd (4.) deklem çözümüdür der. rd ( ) (, ; + ) G (, ) üzerde, ψ, ψ C ( ) T rd G, ; ve α C ( ) T rd G olmak üzere, (B) u = ψ ve T 3

(B) u ν + σ αu = ψ ıır koşulları göz öüe alıı. Özdeğer roblem olu. Özdeğer roblem brc özdeğer G bölgede Φ ( x) > olacak şeklde eçleblr. σ σ G bölgede Lw = w, (4.) G üzerde w =, (4.3) ozfr ve lgl öz fokyou Φ ( x) Teorem 4.3 Ψ () = ψφ ν ( x) S ve () (, ) ( ) G F = f x Φ x x olmak üzere, G ( () ()) y σ + ay ± aψ + F (4.4) eşzlğ ouda ozf çözümler yoka, (4.) ve (B) ıır değer roblem Ω bölgedek her u çözümü alıımlıdır. İa : Tere (4.) ve (B) ıır değer roblem Ω bölgede bazı > ç ıfır olmaya br u çözümüü olduğu kabul edl. İlk olarak Ω bölgede u > olu. Hoezde Ω bölgede ( ) c x,, ξ olacakır. Burada (, ) σ (, ) (, ) u x alu x f x (4.5) elde edlr. (4.5) eşzlğ her k arafı Φ ( x) le çarılır ve G üzerde egrallere, > ç u Φ ( x) x a ( Lu σ ) Φ ( x) x f ( x, ) Φ ( x) x (4.6) G G G buluur. Zama kalaıda Gree eorem (Boher ve Gueov, 7) gereğ σ ( Lu ) ( x) x ν σ ν ( x) u u ( x) σ Φ = Φ Φ S + u LΦ( x) x G G G ν σ ψ ( x) S u ( x) x (4.7) = Φ Φ G = Ψ σ () U () G 33

buluur. Burada ( ) ( ) > ç U = uφ x xolarak alımışır. (4.6) ve (4.7) brleşrlre, G σ () + () Ψ () + () U au a F olacakır. Böylece U( ) fokyou ( ) T aralığıda, () () y σ + ay aψ + F eşzlğ br ozf çözümüdür. Bu e hoezle çelşmekedr. Ω bölgede u < ç bezer şeklde v u V = vφ x x fokyou = olarak eçlre ( ): ( ) (, ) aralığıda T y σ + ay ( aψ () + F() ) eşzlğ br ozf çözümüdür. Bu da hoezle çelşmekedr. İa ber. G Souç 4.4 Yeerce büyük her T ç lm f, T ( )( () ()) e aψ + F S = a lm u, T ( )( () ()) e aψ + F S = a e (4.) ve (B) ıır değer roblem Ω bölgedek her u çözümü alıımlıdır. İa : y, () (4.4) eşzlğ ouda ozf br çözümü olu. O halde bazı T > ç [ T, ) T üzerde y> () olacakır. (4.4) eşzlğ her k arafı e (, ) çarılıra σ (, ) + (, ) ± ( Ψ ( ) + ( )) (, ) y e ae y a F e a a a le a (, ) ( () ()) (, ) ye ± aψ + F e a a buluur. (4.3) eşzlğ [ T, ] T aralığıda egrallere (4.8) e, y e T, y T ± aψ + F e, ( ) () ( ) ( ) ( () ()) ( ) (4.9) a a a T 34

elde edlr. Hoezde (4.9) eşzlğ ağ arafı üe ıırlı değldr. O halde a (, ) ( ) ouda ozf olamaz. Bu, e a (, ) y( ) e y fade ozf olmaı le çelşmekedr. Böylece (4.) eşzlğ ouda ozf çözümler yokur. Bu ouç Teorem 4.3 de elde edleblr. Teorem 4.5 Ψ () = ψ S G G, () (, ) F = f x x G ve G= x G olmak üzere, G ( () ()) y ± aψ + F (4.) eşzlğ ouda ozf çözümler yoka, (4.) ve (B) roblem Ω bölgedek her u çözümü alıımlıdır. İa : (4.) ve (B) roblemω bölgede bazı > ç u > olacak şeklde br u çözümüü olduğu kabul edl. Teorem 4.3 dek aa bezer şeklde, (4.5) eşzlğ ağladığı görüleblr. (4.5) eşzlğ G üzerde egrallere, > ç ν G G G G G (, ) (, ) ux a u S+ f x x a ψ S+ f x x veya dek olarak U () = ux G olmak üzere > ç G olacakır. Böylece U ( ), ( ), U a F T aralığıda () Ψ () + () y aψ + F () () eşzlğ br ozf çözümüdür. Bu hoezle çelşmekedr. Ω bölgede u < şekldek br u çözümü ç de bezer a yaılablr. İa ber. 35

4. u (, ) u(, ) = Deklem Çözümler Varlığı ve Teklğ Bu bölümde ye bağlı dela ürev olmak üzere, (, ) = (, ), ( ) u u T T (4.), deklem çözümüü varlık ve eklğ le lgl olarak aşağıdak eoremler elde edlmşr. Teorem 4.6 ( ) T T olmak üzere, (4.) deklem, şeklde br çözümü vardır. (, ) = (, ) (, ) u e e q İa : u (, ) = u(, ), deklem u(, ) e (, ) e (, ) çözümüü varlığıı göerelm. Burada k farklı durum vardır.. Durum: ( ) σ > olu. Bu durumda ( ) ( ) ( ) e, e, = e, = e q q q = e q (, ) ( ) olur. ( ) σ ( ) (,) = formuda q ex ξ ( r,)( ) r ex ξ ( r,)( ) r σ () ex ξ ( )( r, ) r + ξ ( r,)( ) r ex ξ ( r,)( ) r + σ () ex ξ r e, ( r, ) ( r, )( ) ( ), σ > e ağ açılımlıdır ve dr. O halde (,) ξ ( r,)( ) = log + r, ( r,) { ( ( r,) ) } (,) ( ( ) ) ex log + e (, ) e (, ) = e, e, ( ) ( ) q q 36

( ) (,) +, = e, e, ( ) ( ) ( ) ( ) e, e, = e, e, q q olarak buluur. ( ) ( ) q. Durum: ( ) σ = olu. u(, ) = e (, ) e (, ) e ürev aımıda olduğu göerlmeldr. q ( ) ( ) ( ) σ ( ) ε σ () σ u, u, u,, ( σ () ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] e, eq, e, eq, e, eq, () e (, ) e (, ) e (, ) e (, ) e (, ) e (, )[ ] = + q q q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] = e, e, e, e, e, e, q q q ( ) ( ) ( ) [ ] = e, e, e, q ( ) ( ) ξ ( )( ) τ τ ( ) ξτ ( )( ) τ [ ] = e, e, e, + q ( ) ( ) ξ ( )( ) τ ( ) e, e, e, q τ ( ) q( ) ξτ ( )( ) τ [ ] + e, e, ( ) ( ) ξ ( )( ) τ ( ) e, e, e, q τ ( ) ( ) ( )( ) ( ) + e, e, ξ ξ τ q τ δ > verl. σ ( ) = olduğuda lmξ r ( )( ) = ξ r ( ) dr. Eşzlğ ağ arafı ε de küçük olacak şeklde br U komşuluğuu var olduğuu göerelm. τ U ç 37

ξ ( )( ) ξ ( ) τ < δ ( ) ( ) 3 e, e q, olacak şeklde br U komşuluğu vardır. U olu. O zama e(, ) e (, ) δ ξ ( )( ) ξ ( ) τ < 3 q τ buluur. L Hoal kuralıa göre komşuluğu vardır k U ç z e lm z z z = dır. Böylece br U ξ ( )( ) τ e (,) τ ξ ( )( ) τ τ * δ < δ = m, + 3 e(,) eq(,) dr. U = U U olu. O halde * ( ) ( ) ( )( ) ( ) < ( ) ( ) ( )( ) e, e, ξ τ e, e, e, δ ξ τ q τ q τ * ( ) ( ) δ ξ ( )( ) τ ( ) ( ) q e, e, + τ * e(,) eq(,) δ ξ ( )( ) ξ( ) τ + τ ( ) ( ) ξ ( )( ) ξ ( ) τ ( ) ( ) e, e, + e, e, q τ q δ + e(,) eq(,) 3 δ δ δ + = 3 3 3 elde edlr. Burada δ δ u( σ (),) u(,) u (,)[ ] + = δ 3 3 buluur ve ee ouç elde edlmş olur. 38

Teorem 4.7 ( ) çözümü ekr. T T olmak üzere, (4.) deklem, (, ) = (., ) (., ) u e e q İa : u (, ) = u(, ), deklem ek çözümüü e (., ) e (., ) q formuda olduğuu göerelm. u(, ), (4.) deklem br çözümü olu., T ç e (, ) ve,k T ç eq (, k) olduğu kabul edl. u(,) ( ) ( ) e., e., q u(,) ( ) ( ) oraı göz öüe alııra ( ) ( ) q( ) ( ) ( ) q( ) ( ) ( ) ( σ ( ) ) u, e, e, u, e, e, = e., e q., e, eq, e, buluur. O halde ( ) ( ) q( ) ( ) ( ) q( ) e (, ) e (, ) e σ ( ), u, e, e, u, e, e, = = u(,) ( ) ( ) e., e., q ( ) ( ) ( ) ( ) q oraı abr. Böylece ( ) ( ) ( ) u, u, = = e., e., e, e, q q dr. u(, ) = e (., ) e (., ) olarak elde edlr. q 4.3 Geckmel Br Kım Damk Deklem İç Salıımlılık Şarları ve ıraıyla ve ye bağlı dela ürevler, { T } u{ T } = ve τ( ), φ( ) < < olmak üzere, ( ) ( ) ( ) ( τ( ) φ( )) u u u u u =,, +,, +, = (4.) deklem göz öüe alımışır. T ç ( ) + ve T ç q ( ) + olmak üzere, (4.) deklem (, ) = (, ) (, ), ( ) T T u e e q, 39

formuda br çözümüü varlığı kabul edlerek, aşağıdak eoremler elde edlmşr. Teorem 4.8 τ () ( ( ) + ) > ( ) + φ( ) ( ) () () () veya φ + > + τ olduğu kabul edl. Bu durumda eğer τ( ) φ( ) + + () ( ) ( ) ( ) φ ( ) ( ) τ( ) + + > τ() φ( ) τ() φ( ) + + ( ) + () + () ( ) () ( ). τ() (). φ( ) ( ) eşzlğ ağlaıyor e (4.) deklem üm çözümler alıımlıdır. (4.3) İa : Teorem aı ç, (4.3) eşzlğ ağlamadığıda (4.) deklem ozf br çözüme ah olduğuu göerlme yeerldr. u(, ) = e (, ) e (, ) çözümü, (4.) deklemde yere yazılıra, ( ) ( ) ( ) τ( ) φ( ) ( ) f, q : = + q q + + + = () ( ) q karakerk deklem elde edlr. Karakerk deklem ve q ya göre ürevler alıı ıfıra eşlere, ve τ ( ) ( ) + ( ) + φ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) =, φ τ φ ( ) () + () + τ() ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) q = φ τ elde edlr. Bulualar karakerk deklemde yere yazılıra, f ( q) ( ) + () + () ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ), : = φ τ τ() φ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( φ τ ). + + + ( ) + () + () ( ) τ φ τ() φ( ) τ() φ( ) + + () ( ). () (). ( ) ( ) olacakır. (4.3) eşzlğ ağlamadığıda τ ( ) + ( ) ( ) + ( ) + φ( ) φ ( ) () + () + τ() f, > ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ ( ) ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ( ) 4

ve τ ( ) ( ) ( ) φ( ) φ ( ) () () τ() + + + + f, ( ) ( ) φ ( ) ( ) τ ( ) ( ) ( ) φ ( ) ( ) τ( ) + + + + olur. f (, q) ürekl olduğuda, ( ) ve f, q = olacak şeklde τ ( ) ( ) + ( ) + φ( ) τ ( ) + ( ) ( ) + ( ) + φ( ), ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ ( ) ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ( ) q φ ( ) () + () + τ() ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) = φ τ buluablr. O halde (4.) deklem ozf br çözümü vardır. Şmd de (4.) deklem daha da geelleşrlerek αβ, olmak üzere ( ) ( ) α ( ) β ( τ( ) φ( )), +,, +, = (4.4) u u u u deklem göz öüe alıı. (4.4) deklem ç alıımlılık şarları celeecek oluura aşağıdak koşullar elde edleblr. Teorem 4.9 τ () ( ( ) + ) > ( ) + φ( ) ( ) () () () veya φ + > + τ, α >, β olduğu kabul edl. Bu durumda eğer τ( ) φ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( φ τ ) β + + > τ() φ( ) τ() φ( ) + + ( ) + () + α () ( ) () ( ). τ() (). φ( ) ( ) eşzlğ ağlaıyor e (4.4) deklem üm çözümler alıımlıdır. İa : Teorem aı br öcek eorem bezer şekldedr. u(, ) = e (, ) e (, ) çözümü (4.4) deklemde yere yazılıra, ( ) ( ) ( ) τ( ) φ( ) ( ) ϕ q, : = + q α q + + + β= () ( ) q karakerk deklem elde edlr. Karakerk deklem ve q ya göre ürevler alıı ıfıra eşlere, 4

ve τ( ) α ( ) ( ) φ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + =, φ τ φ( ) α () + () + τ() ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) q = φ τ elde edlr. Bulualar karakerk deklemde yere yazılıra, ϕ ( q) ( ) + () + α () ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ), : = φ τ τ() φ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( φ τ ). β + + + ( ) + () + α () ( ) τ φ τ() φ( ) τ() φ( ) + + () ( ). () (). ( ) ( ) olacakır. (4.3) eşzlğ ağlamadığıda τ ( ) + ( ) α ( ) + ( ) + φ( ) φ( ) α () + () + τ() ϕ, > ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ ( ) ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ( ) ve τ( ) α ( ) ( ) φ( ) φ( ) α () () τ() ϕ + +, + + ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ ( ) ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ ( ), = olur. ϕ (, q) ürekl olduğuda, ( q ) ve ϕ olacak şeklde τ( ) α ( ) + ( ) + φ( ) τ ( ) + ( ) α ( ) + ( ) + φ( ), ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ ( ) ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ( ) q φ( ) α () + () + τ() ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) = φ τ buluablr. O halde (4.) deklem ozf br çözümü vardır. Bezer şeklde αβ,, =,,..., m, m ozf br amayı olmak üzere m u u u u =, +,, +, = (4.5) ( ) ( ) α ( ) β ( τ( ) φ( )) deklem ç alıımlılık şarları celere bezer şeklde aşağıdak eoremler elde edleblr. 4

Teorem 4. τ () ( ( ) + ) > ( ) + φ( ) ( ) () () () veya φ + > + τ, α>, β olduğu kabul edl. Bu durumda eğer β τ( ) φ( ) + + () ( ) ( ) ( ) φ ( ) ( ) τ( ) + + > τ() φ( ) τ() φ( ) + + ( ) + () + α () ( ) () ( ). τ () (). ( ) ( ) φ eşzlğ ağlaıyor e (4.5) deklem üm çözümler alıımlıdır. İa : (4.5) dekleme a karakerk deklem ( ) ( ) ( ) τ( ) φ( ) ( ) φ q, : = + q α q + + + β = () ( ) şekldedr. Eğer eşzlk ağlaıra, karakerk deklem ozf çözümüü olmadığı a edlecekr. ( + q α ) olmadığı açıkır. ( + q α ) < ç karakerk deklem ozf köküü ç karakerk deklem düzelere τ () ( ) φ () ( ) ( ) + + q ( ) φ( q, ): = ( α q) β + = ( α q) buluur. ψ ( q) τ () ( ) φ () ( ) ( ) ( ) + + q, : = ( α q) olu. Karakerk deklem ve q ya göre ürevler alıı ıfıra eşlere, () ( ( ) ) ( ) ( ) τ + > + φ q ç, veya φ ( ) () + > () + τ() τ( ) α ( ) ( ) φ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + = >, φ τ φ( ) α ( ) + ( ) + τ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) = < φ τ ç, τ( ) α ( ) ( ) φ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + = <, φ τ 43

buluur. ( q), q φ( ) α () + () + τ() ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) = > φ τ ψ fokyou mmum değer τ() φ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( φ ) τ + + m ψ ( q, ) = ψ (, q) = q α () ( ) () + + ( ) + () + α () ( ) () ( ). τ () (). φ( ) < + < τ φ τ φ( ) ( ) değer ağlaya ( ),q okaıda alır. Böylece < + q < α ç τ() φ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( φ ) τ + + φ( q, ) ( α q) β + τ() φ( ) τ() φ( ) > + + ( ) + () + α () ( ) () ( ). τ () (). ( ) ( ) φ elde edlr. Burada karakerk deklem ozf köküü olmadığı görülür. Elde edle ouçlar kullaılarak aşağıdakler elde edleblr. T = ve T = durumları ç örekledrlre ( ) ( ) ( ) ( τ( ) φ( )) u u u u deklem göz öüe alıı. = = k, l olmak üzere () k y ble, +,, +, = T T olarak eçlre, ( ) = ( ) = τ = ve ( ) ( k l + ) olacakır. φ = l alııra kım fark deklemlerde k + l+ k l ( 3). k. l k + [ k + l + ] + > l+ alıımlılık şarı elde edlr. Burada = = olduğuda alıımlıdır. T T olmaı durumuda () = ( ) = k ve l ç lm alııra > ç deklem üm çözümler 44

5. NEUTRAL KISMİ DİNAMİK BİR DENKLEMİN SALINIMLILIĞI Zama kalaı eor oraya çıkmaıyla dfereyel deklemler ve fark deklemler eorler brleşrlmş ve geelleşrlmşr. Teor ayede ürekl ve kekl aalz ç ayrı ayrı ouçlar araşırmada br geelleme yamak mümkü olablmekedr. Böylece elde edle ouçlar reel ayılar küme veya am ayılar küme dışıda daha brçok zama kalaı ç geelleşrleblr. So yıllarda eural deklemler alıımlılığı ve alıımızlığı üzerde çalışmalar armakadır. Bu çalışmalar zama kalaı eor le de geşlelmşr. Acak yaıla çalışmalar ek değşkel aalzdedr. W. N. L ve B. T. Cu makalelerde eural geckmel arabolk dfereyel deklemler alıımlılığı ç gerek ve yeer şarlar elde emşlerdr (L ve Cu, ). S. H. Saker makalede ozf ve egaf kaayılı eural geckmel arabolk fark deklemler alıımlılığıı celemşr (Saker, 3). Acak yaıla araşırmalarda heüz kım eural damk deklemler alıımlılığı le lgl br çalışmaya ralamamışır. Bu bölümde, ye bağlı dela ürev, Ω, oeraörü ve,u{ },(,) [, ) T de ıırlı br bölge, L T T = x Ω G olmak üzere, T T de Lalace (, ) α (, φ( )) = () (, ) + () (, β ()) u x u x a Lu x ak Lu x k j= j k= ( j ) (), γ () q u x (5.) deklem göz öüe alımışır. Bu bölüm boyuca, (H) < α < olacak şeklde br ab, + ( T ) ( ) a, a, q C,,, k =,,..., ; j=,,...,, (H) [ ) k j rd (H3) C [ ) φ, β, γ, T, T fokyolarıı yeerce büyük değer ç (), (), () rd φ β γ şarıı ağlaya ıırız ara fokyolar olduğu kabul edlmşr. Burada kolaylık olmaı ç [, ) : [, ) ıır koşuluu = T le göerlmşr. Ayrıca T 45

u (, ) N x =, ( x, ) [, ) olduğu kabul edl. Burada N, Ω ıırıa dış ormal vekördür. Ω T (5.) Taım 5. u C ( G) C ( G) fokyou, G bölgede (5.) deklem ve (5.) rd rd ıır koşuluu ağlıyora, (5.) ve (5.) deklemler çözümüdür der. Taım 5. Herhag br ç u( x, ) = şarıı ağlaya br ( x, ) Ω [, ) okaı vara, (5.) ve (5.) deklemler u( x, ) çözümü, [, ) alıımlıdır der. T Ω T bölgede Temel eoremler aıda kullaılmak üzere elde edle lemmalar aşağıda verlmşr. Lemma 5.3 y> ( ) ve y ( ) <, γ ( * ) T = olmak üzere *, T ve { } q ( ) olduğuu göz öüe alıı. Ayrıca b mak φ(), T m{ γ () } ve z αzφ + q zγ T () ( ()) () ( ()), T ç = olu (5.3) egral eşzlğ T b T ç ürekl ozf br y: [ T b, ) (, ) çözümüe ah olduğu kabul edl. O halde lgl egral deklem x = αx φ + q x γ T () ( ()) () ( ()), de ürekl ozf br x [ T b, ) (, ) : T (5.4) çözümüe ahr. T İa : Λ fokyolarıı br küme ve br döüşümü + { w Crd ([ T b, ), ): w(), T b} Λ= ve T 46

( w)( ) αw( φ() ) z( φ() ) q() w( γ() ) z( γ() ), T z () + = T + b T + b ( w)( T) +, T b T b b şeklde aımlaı. (5.3) eşzlğde herhag w Λ ç [ T b, T) aralığıda Λ Λ ve ( w)( ) > olduğu görüleblr. Λ fokyolar kümede T b ç w ( ) = ve k () ( k)() { } w + = w, k =,,,... olacak şeklde br wk () dz aımlaı. (5.3) eşzlğde, ümevarım meodu le w w, k =,,,..., T b k+ elde edlr. Böylece T b ( ) k() ç w () lm w() = vardır ve T ç k w () = αw( φ() ) z( φ() ) q() w( γ() ) z( γ() ) z () + ve T b T ç T + b T + = + b b b () ( w)( T) w olur. x() = w() z() olarak eçlre, ( ) [, ) T b T ç () k x fokyou (5.4) deklem ağlar ve x> dır. [ T b, T] aralığıda x( ) ürekldr. (5.4) de x( ) fokyouu [ T b, ) aralığıda da ürekl olduğu görüleblr. So olarak T b ç x> () olduğu göerlmeldr. şeklde * * T b ç () x> ve ( ) T olduğuu kabul edelm. Böylece (5.4) deklemde yazılablr. O halde her α (,), *, T * * ( ) α ( φ( )) () ( γ() ) = x = x + q x, T * * ç α = ve q ( ) x( ( ) ) ( ) ç [, ), + qj Crd ve ( ) T zama [ T b, ) aralığıda x> () dr. İa ber. x * = olacak γ = olacakır. Bu da q olmaı le çelşr. O Lemma 5.4 α ( ) [ ) + ( ) γ ([ ) ),, q C,, ve C,, T olmak üzere rd T rd T 47