n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = 0 (2) olduğunu biliyoruz. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 1/ 20
Teorem p i ve f fonksiyonları I açık aralığında sürekli olmak üzere yö, (1) denkleminin bir özel çözümü ve y 1, y 2,..., y n fonksiyonları (2) denkleminin I aralığı üzerindeki her x I için lineer bağımsız çözümleri ise c 1, c 2,..., c n keyfi sabitler olmak üzere y g (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) + yö(x) (1) denkleminin genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 2/ 20
Teorem e göre y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) diferansiyel denkleminin genel çözümü, ilgili homogen denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = 0 (2) genel çözümü y h (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) ile (1) denkleminin bir özel çözümünün yö(x) toplamı olacağıdır. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 3/ 20
ÖRNEK y + 4y = 12x diferansiyel denklemini ele alalım. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 4/ 20
ÖRNEK y + 4y = 12x diferansiyel denklemini ele alalım. Bu denklemle ilgili homogen denklem Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 4/ 20
ÖRNEK y + 4y = 12x diferansiyel denklemini ele alalım. Bu denklemle ilgili homogen denklem denklemidir y + 4y = 0 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 4/ 20
ÖRNEK y + 4y = 12x diferansiyel denklemini ele alalım. Bu denklemle ilgili homogen denklem y + 4y = 0 denklemidir ve bu homogen denklemin genel çözümü Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 4/ 20
ÖRNEK y + 4y = 12x diferansiyel denklemini ele alalım. Bu denklemle ilgili homogen denklem y + 4y = 0 denklemidir ve bu homogen denklemin genel çözümü c 1 cos 2x + c 2 sin 2x olarak bulunabilir (y h (x)). Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 4/ 20
ÖRNEK y + 4y = 12x diferansiyel denklemini ele alalım. Bu denklemle ilgili homogen denklem y + 4y = 0 denklemidir ve bu homogen denklemin genel çözümü c 1 cos 2x + c 2 sin 2x olarak bulunabilir (y h (x)). y = 3x fonksiyonun homogen olmayan denklemi sağladığı kolayca gösterilebilir. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 4/ 20
ÖRNEK y + 4y = 12x diferansiyel denklemini ele alalım. Bu denklemle ilgili homogen denklem y + 4y = 0 denklemidir ve bu homogen denklemin genel çözümü c 1 cos 2x + c 2 sin 2x olarak bulunabilir (y h (x)). y = 3x fonksiyonun homogen olmayan denklemi sağladığı kolayca gösterilebilir. Yani y = 3x fonksiyonu denklemimiz için bir özel çözümdür (yö(x)). Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 4/ 20
ÖRNEK y + 4y = 12x diferansiyel denklemini ele alalım. Bu denklemle ilgili homogen denklem y + 4y = 0 denklemidir ve bu homogen denklemin genel çözümü c 1 cos 2x + c 2 sin 2x olarak bulunabilir (y h (x)). y = 3x fonksiyonun homogen olmayan denklemi sağladığı kolayca gösterilebilir. Yani y = 3x fonksiyonu denklemimiz için bir özel çözümdür (yö(x)). Teoreme göre homogen olmayan denklemin genel çözümü (y g (x)) y g (x) = y h (x) + yö(x) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 4/ 20
ÖRNEK y + 4y = 12x diferansiyel denklemini ele alalım. Bu denklemle ilgili homogen denklem y + 4y = 0 denklemidir ve bu homogen denklemin genel çözümü c 1 cos 2x + c 2 sin 2x olarak bulunabilir (y h (x)). y = 3x fonksiyonun homogen olmayan denklemi sağladığı kolayca gösterilebilir. Yani y = 3x fonksiyonu denklemimiz için bir özel çözümdür (yö(x)). Teoreme göre homogen olmayan denklemin genel çözümü (y g (x)) y g (x) = y h (x) + yö(x) = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + 3x olarak yazılabilir. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 4/ 20
Sonuç olarak n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin çözümünü bulmak istiyorsak, bu denklemle ilgili n. mertebeden homogen denklemin genel çözümünü bulmamız ve homogen olmayan denklemin bir özel çözümünü elde etmemiz gerek. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 5/ 20
Sonuç olarak n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin çözümünü bulmak istiyorsak, bu denklemle ilgili n. mertebeden homogen denklemin genel çözümünü bulmamız ve homogen olmayan denklemin bir özel çözümünü elde etmemiz gerek. Bir önceki bölümde n. mertebeden sabit katsayılı homogen lineer denklemlerin genel çözümlerini bulmayı öğrenmiştik. Bu bölümde homogen olamayan sabit katsayılı lineer denklemlerin çözümünü inceleyeceğiz. İlgili homogen denklemin genel çözümünü bulabildiğimize göre işimiz sadece homogen olmayan denklem için özel çözüm bulmaktır. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 5/ 20
Belirsiz Katsayılar Metodu y (n) + a 1 y (n 1) + + a n 1 y + a n y = f(x) (1) (1) denklemindeki f(x) fonksiyonu yö nin genel şekli için bir tahmin yapabileceğimiz kadar basit verilmiş ise, belirsiz katsayılar metodu yö yi bulmak için bir yoldur. İlk olarak f(x) veya onun herhangi bir türevinde bulunan hiçbir terimin homogen denklemi sağlamadığını kabul edelim. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 6/ 20
f(x) fonksiyonu m. dereceden bir polinom ise, özel çözüm yö aşağıdaki gibi seçilir yö(x) = A m x m + A m 1 x m 1 +... + A 1 x + A 0 ve A m, A m 1,..., A 1, A 0 bilinmeyenleri bulunur. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 7/ 20
ÖRNEK y + 3y + 4y = 3x + 2 diferansiyel denklemin bir özel çözümünü bulalım. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 8/ 20
ÖRNEK y + 3y + 4y = 3x + 2 diferansiyel denklemin bir özel çözümünü bulalım. Burada f(x) = 3x + 2 şeklinde 1. dereceden bir polinomdur. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 8/ 20
ÖRNEK y + 3y + 4y = 3x + 2 diferansiyel denklemin bir özel çözümünü bulalım. Burada f(x) = 3x + 2 şeklinde 1. dereceden bir polinomdur. Böylece bizim özel çözümümüz dir. yö(x) = A 1 x + A 0 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 8/ 20
ÖRNEK y + 3y + 4y = 3x + 2 diferansiyel denklemin bir özel çözümünü bulalım. Burada f(x) = 3x + 2 şeklinde 1. dereceden bir polinomdur. Böylece bizim özel çözümümüz yö(x) = A 1 x + A 0 dir.diferansiyel denklemimizde yerine yazıp A 1, A 0 bilinmeyenlerini bulalım. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 8/ 20
Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
y ö(x) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
y ö(x) = A 1 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
y ö(x) = A 1 y ö(x) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
y ö(x) = A 1 Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 0 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
y ö(x) = A 1 Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 0 0 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
y ö(x) = A 1 Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 0 0 + 3 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
y ö(x) = A 1 Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 0 0 + 3A 1 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
y ö(x) = A 1 Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 0 0 + 3A 1 + 4 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
y ö(x) = A 1 Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 0 0 + 3A 1 + 4(A 1 x + A 0 ) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
y ö(x) = A 1 Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 0 0 + 3A 1 + 4(A 1 x + A 0 ) = 3x + 2 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
y ö(x) = A 1 Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 0 0 + 3A 1 + 4(A 1 x + A 0 ) = 3x + 2 Düzenlersek; 4A 1 x + 3A 1 + 4A 0 = 3x + 2 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
y ö(x) = A 1 Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 0 Düzenlersek; 0 + 3A 1 + 4(A 1 x + A 0 ) = 3x + 2 4A 1 x + 3A 1 + 4A 0 = 3x + 2 Polinomların eşitliğini kullanarak A 1 = 3 4 ve A 0 = 1 16 bulunur. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
y ö(x) = A 1 Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 0 Düzenlersek; 0 + 3A 1 + 4(A 1 x + A 0 ) = 3x + 2 4A 1 x + 3A 1 + 4A 0 = 3x + 2 Polinomların eşitliğini kullanarak A 1 = 3 4 ve A 0 = 1 16 bulunur.böylece özel çözümümüz olarak bulunur. yö(x) = 3 4 x 1 16 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 9/ 20
f(x) = a cos kx + b sin kx, şeklinde ise, özel çözüm yö aşağıdaki gibi seçilir yö(x) = A cos kx + B sin kx ve A, B bilinmeyenleri bulunur. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 10/ 20
ÖRNEK y + y 2y = 2 cos x diferansiyel denklemin bir özel çözümünü bulalım. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 11/ 20
ÖRNEK y + y 2y = 2 cos x diferansiyel denklemin bir özel çözümünü bulalım. Burada f(x) = 2 cos x. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 11/ 20
ÖRNEK y + y 2y = 2 cos x diferansiyel denklemin bir özel çözümünü bulalım. Burada f(x) = 2 cos x. Böylece bizim özel çözümümüz dir. yö(x) = A cos x + B sin x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 11/ 20
ÖRNEK y + y 2y = 2 cos x diferansiyel denklemin bir özel çözümünü bulalım. Burada f(x) = 2 cos x. Böylece bizim özel çözümümüz yö(x) = A cos x + B sin x dir.diferansiyel denklemimizde yerine yazıp A, B bilinmeyenlerini bulalım. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 11/ 20
Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
y ö(x) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
y ö(x) = A sin x + B cos x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
y ö(x) = A sin x + B cos x y ö(x) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
y ö(x) = A sin x + B cos x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = A cos x B sin x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
y ö(x) = A sin x + B cos x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = A cos x B sin x ( A cos x B sin x) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
y ö(x) = A sin x + B cos x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = A cos x B sin x ( A cos x B sin x)+ Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
y ö(x) = A sin x + B cos x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = A cos x B sin x ( A cos x B sin x)+( A sin x+b cos x) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
y ö(x) = A sin x + B cos x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = A cos x B sin x ( A cos x B sin x)+( A sin x+b cos x) 2 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
y ö(x) = A sin x + B cos x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = A cos x B sin x ( A cos x B sin x)+( A sin x+b cos x) 2(A cos x+b sin x) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
y ö(x) = A sin x + B cos x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = A cos x B sin x ( A cos x B sin x)+( A sin x+b cos x) 2(A cos x+b sin x) = 2 cos x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
y ö(x) = A sin x + B cos x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = A cos x B sin x ( A cos x B sin x)+( A sin x+b cos x) 2(A cos x+b sin x) = 2 cos x Düzenlersek; (B 3A) cos x + ( A 3B) sin x = 2 cos x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
y ö(x) = A sin x + B cos x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = A cos x B sin x ( A cos x B sin x)+( A sin x+b cos x) 2(A cos x+b sin x) = 2 cos x Düzenlersek; (B 3A) cos x + ( A 3B) sin x = 2 cos x Yine katsayılar eşitliğini kullanarak A = 3 5 ve B = 1 5 bulunur. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
y ö(x) = A sin x + B cos x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = A cos x B sin x ( A cos x B sin x)+( A sin x+b cos x) 2(A cos x+b sin x) = 2 cos x Düzenlersek; (B 3A) cos x + ( A 3B) sin x = 2 cos x Yine katsayılar eşitliğini kullanarak A = 3 5 ve B = 1 5 bulunur.böylece özel çözümümüz olarak bulunur. yö(x) = 3 5 cos x + 1 5 sin x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 12/ 20
f(x) = e kx, şeklinde ise, özel çözüm yö aşağıdaki gibi seçilir ve A bilinmeyeni bulunur. yö(x) = Ae kx Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 13/ 20
ÖRNEK y 4y = 2e 3x diferansiyel denklemin bir özel çözümünü bulalım. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 14/ 20
ÖRNEK y 4y = 2e 3x diferansiyel denklemin bir özel çözümünü bulalım. Burada f(x) = 2e 3x. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 14/ 20
ÖRNEK y 4y = 2e 3x diferansiyel denklemin bir özel çözümünü bulalım. Burada f(x) = 2e 3x. Böylece bizim özel çözümümüz yö(x) = Ae 3x dir. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 14/ 20
ÖRNEK y 4y = 2e 3x diferansiyel denklemin bir özel çözümünü bulalım. Burada f(x) = 2e 3x. Böylece bizim özel çözümümüz yö(x) = Ae 3x dir.diferansiyel denklemimizde yerine yazıp A bilinmeyenini bulalım. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 14/ 20
Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 15/ 20
y ö(x) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 15/ 20
y ö(x) = 3Ae 3x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 15/ 20
y ö(x) = 3Ae 3x y ö(x) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 15/ 20
y ö(x) = 3Ae 3x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 9Ae 3x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 15/ 20
y ö(x) = 3Ae 3x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 9Ae 3x (9Ae 3x ) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 15/ 20
y ö(x) = 3Ae 3x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 9Ae 3x (9Ae 3x ) 4 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 15/ 20
y ö(x) = 3Ae 3x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 9Ae 3x (9Ae 3x ) 4(Ae 3x ) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 15/ 20
y ö(x) = 3Ae 3x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 9Ae 3x (9Ae 3x ) 4(Ae 3x ) = 2e 3x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 15/ 20
y ö(x) = 3Ae 3x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 9Ae 3x (9Ae 3x ) 4(Ae 3x ) = 2e 3x Düzenlersek; (5A)e 3x = 2e 3x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 15/ 20
y ö(x) = 3Ae 3x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 9Ae 3x (9Ae 3x ) 4(Ae 3x ) = 2e 3x Düzenlersek; Buradan A = 2 5 bulunur. (5A)e 3x = 2e 3x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 15/ 20
y ö(x) = 3Ae 3x Yerlerine yazılırsa y ö(x) = 9Ae 3x (9Ae 3x ) 4(Ae 3x ) = 2e 3x Düzenlersek; Buradan A = 2 5 (5A)e 3x = 2e 3x bulunur.böylece özel çözümümüz olarak bulunur. yö(x) = 2 5 e3x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 15/ 20
Belirsiz katsayılar metodu, (1) denklemindeki f(x) fonksiyonun aşağıdaki üç tip fonksiyon (sonlu) çarpımlarının bir lineer birleşimi olması durumunda uygulanır. x e göre polinom e ax tipi üstel fonksiyon cos (ax + b) ya da sin (ax + b) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 16/ 20
Tanim x n, n 0 pozitif tmasayı e ax cos (ax + b) ya da sin (ax + b) fonksiyonlarından birisi veya bunların lineer kombinasyonuna, BK (Belirsiz Katsayılar) fonksiyonu denir. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 17/ 20
Tanim f nin kendisinden ve ardışık türevlerini lineer birleşimleri ile oluşturulan diğer lineer bağımsız BK fonksiyonlarından oluşan kümeye, f in BK kümesi denir. BK fonksiyonu BK kümesi 1. x n {x n, x n 1,, x, 1} 2. e ax {e ax } 3. cos (ax + b) ya da sin (ax + b) {cos (ax + b), sin (ax + b)} 4. x n e ax {x n e ax, x n 1 e ax,, xe ax, e ax } 5. e ax cos (ax + b) {e ax cos (ax + b), e ax sin (ax + b)} Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 18/ 20
Belirsiz Katsayılar Yöntemi n. mertebeden homogen olmayan sabit katsayılı bir diferansiyel denklemde y (n) + a 1 y (n 1) + + a n 1 y + a n y = f(x) (3) f(x); u 1, u 2,, u m BK fonksiyonlarının lineer birleşimi olsun (f(x) = c 1 u 1 + c 2 u 2 + + c m u m ) u 1, u 2,..., u m BK fonksiyonlarına karşılık gelen S 1, S 2,..., S m, BK kümelerini belirleyelim Denk veya birbirinde içerilen kümeleri elemine edelim veya üst kümeyi seçelim. BK kümelerinin elemanları homogen kısmının çözümünde olmayacak sekilde x in en küçük kuvveti ile çarpıp kümeyi tekrar oluşturalım. Özel çözümü bu BK fonksiyonlarının lineer birleşimi olduğunu varsayıp özel çözümün yapısını belirleyelim. Lineer birleşimdeki bilinmeyen katsayıları denklemde yerine yazarak bulalım. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 19/ 20
ÖRNEK y 3y + 2y = 3e x diferansiyel denkleminin genel çözümünü elde ediniz. ÇÖZÜM Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican 20/ 20