LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık yieleme formülüyle çözüme gidilir. Bu basit bir algoritmayla özetleirse : a Başlagıç değerii ( seç. b f( foksiyouu g( = olarak ifade et. c = g( değerii hesapla d Hata = değeri hesapla e Hata isteile hata değeride büyükse = al ve c adımıa geri dö, değilse f. adımıa git f değerii yaz ve dur Örek: f( = 5. 5 3. g3( 5 5 (. g( g Örekte de alaşıldığı gibi f( foksiyouda birde fazla g( foksiyou türetilebilir. Burada öemli ola hagi g( foksiyou içi {} dizisii yakısak olacağıdır. Buu aşağıdaki taım ve teoremlerle alayacağız. Taım: Eğer = p oktasıda g(p = p sağlaıyorsa, p oktası g( foksiyouu bir sabit oktasıdır. Teorem: Eğer g Є C[a,b] ve her Є [a,b] içi g( Є [a,b] oluyorsa, g( foksiyou [a,b] de e azıda bir sabit oktaya sahiptir. Ve eğer g ( (a,b de mevcut ve her Є (a,b içi g ( k olacak şekilde bir < k < pozitif sayısı mevcutsa bu durumda [a,b] kesi olarak bir sabit okta vardır. 4 Örek: 54 g( g( 5 5 [,] aralığıda g( e az bir sabit oktaya sahiptir. Çükü teoremi ilk koşulu sağlaıyor.
Yai, her Є [,] içi g( Є [,] sağlaıyor ve g( bu aralıkta sürekli, ve her Є (a,b içi g ( k olacak şekilde bir < k < pozitif sayısı mevcut olduğuda g ( = /5 < 4/5 <, Є (, g(, [,] aralığıda tek sabit oktaya sahiptir. g( = olduğuda bu sabit okta p = dir. Örek: g( = 3 [,] aralığıda e az bir sabit oktaya sahiptir. Çükü, Her Є [,] içi g( sağlaıyor. Fakat, g ( = 3 l3 ve Є (, içi g ( olduğuda teoremi ikici koşulu sağlamıyor. Yai sabit oktaı var olduğuu söyleyebiliyoruz, fakat tek olduğuu söyleyemiyoruz. Aslıda durumu grafiksel olarak icelersek, y = g( ile y = [,] aralığıda tek bir oktada kesişiyorlar (g( = oluyor. Bu g( i tek sabit oktası olduğuu gösterir. Bu örekte alaşılıyor ki, teoremi ikici koşulu sağlamasa bile verile aralıkta tek sabit okta olabilir. Bu durumda ikici koşul teklik içi gerekli değil yeterli koşuldur. Şimdi, g ( ardışık yaklaşımıı yakısaklığı ile ilgili teoremi ifade edelim. Sabit Nokta Teoremi: g Є C[a,b] ve her Є [a,b] içi g( Є [a,b] olsu. Ve farz edelim ki, g ( (a,b de mevcut ve her Є (a,b içi g ( k olacak şekilde bir < k < pozitif sayısı mevcut olsu. Bu durumda herhagi bir Є [a,b] sayısı içi dizisi tek sabit okta p Є [a,b] ye yakısar. g (,
Bir öceki örekte aldığımız souç burada da geçerlidir. Yai g ( k olmasa bile {} dizisi yakısak olabilir. Yai verile koşul gerekli değil yeterli koşuldur. Örek: f( = 3 + 4 = deklemii [,] aralığıda tek bir kökü vardır. Bu köke sabit okta iterasyou ile yaklaşmaya çalışalım. Buu içi birkaç tae g( foksiyou seçelim. şeklide 5 farklı foksiyo taımladık. Başlagıç oktası olarak =.5 alırsak her bir foksiyo içi aşağıdaki dizileri elde ederiz: (a ve (b foksiyolarıda elde edile dizi sabit oktaya yakısamıyor diğer üçü ise p =.36533 sabit oktasıa yakısıyorlar, fakat yakısama hızları farklı, burada g( foksiyouu seçimii e kadar öemli olduğu ortaya çıkmış oluyor. ÖRNEK : =,5 ve = = ( e (,5 e =,6653 =,,.. içi çözüüz. (,6653 e =,54539
(,54539 3 e =,57973. (,56649 9 e =,56756 (,57973 4 e =,5665 (,56756 e =,56697 lim =,56743,56743.= (,56743... e NEWTON RAPHSON YÖNTEMİ Eşitlik köklerii bulumasıda e yaygı kullaıla yötemlerde birisi de Newto Raphso yötemidir. Yötemi temeli aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi başlagıç değerii foksiyou kestiği oktada çizile teğeti yatay eksei kestiği yei okta başlagıç değeri ile değiştirilerek köke yaklaşmaya çalışmaktır. Bu yei okta çoğu zama başlagıç değerie göre daha yaklaşık bir köktür. Taylor serisi açılımıda hareketle Newto Raphso yötemi yakısama ifadesi aşağıdaki şekilde elde edilebilir. h f( + h = f( + f '(. + R( ( R kala terimi ifade ediyor.! f( = = + h h = ( Burada yukarıdaki eşitlikler kullaılarak ilk eşitlik aşağıdaki şekilde yeide düzeleebilir. f( f( + (.f ' (. f ( h = = f '( f ( = f '( So bulua eşitlik başlagıç değeri, foksiyo değeri, ve foksiyou başlagıç değeri ile elde edile türevi kullaılarak elde edile yei yaklaşık kök değeridir. Bu ifadeyi geelleştirerek bir iterasyo ifadesi şeklide aşağıdaki eşitlik şeklide yazılabilir., f ( f '(
Bir başka yaklaşımla (f(, oktasıdaki teğeti eğimi aşağıdaki eşitlik şeklide olduğu bilimektedir. Bu eğim foksiyo değerii, başlagıç değeri ( ile yei yaklaşık değer ( farkıa oraı şeklide yazılabilir. ta (α = ( f ( = f ' ( y= f( Bu eşitlik düzeleirse daha öcede yazılmış ola Newto Raphso eşitliği ile ayı ifadedir. = = f ( f '( f ( f '( g( f ( g( f ( f ( g(, f '( f '( f ( f ( g(, f ( olduğuda yakısaklık içi yeterli şart : olmasıdır. ÖRNEK : f( = 45 foksiyouu köküü olduğu bilimektedir. Bu kökü elde edilmesi içi Newto Raphso yötemii kullaarak hesaplayıız. ÇÖZÜM : Yakısama kuralıı iceleyelim :
f ''(. f ( f '( olmalı f(= 45 f ' ( = 4 f '' ( = = başlagıç değeri aldığımızda üstteki formülde yerie yazılırsa de küçük çıktığı görümektedir. Bu yüzde de = a göre işlem yapmaya başlayabiliriz : f ( = f '( = (5/4 =,5 f ( = f '( = (,5 (,56/(6,5 =, f ( 3 f '( 3 = (, (,6/(6, =,9 3 f ( 3 4 = 3 f '( 3 4 = (,9 (,548/(6,8 =,346 yai kök 5 yararlı basamakla bulumuş olur. 4 Örek Algoritma: Compute f ( Set IF ( f (. Repeat Set Set Util AND, f ( ( f ( f ( toleras f ( toleras / f (. veya
3 KİRİŞ (SECANT YÖNTEMİ: f( deklemii = p oktasıda bir kökü bulusu ve f bu okta civarıda sürekli olsu. p oktasıa yakı ve başlagıç oktalarıı alalım. Öceki yötemde kulladığımız kiriş doğruları yardımıyla köke yaklaşacağız. Yai, (,f( ve (,f( oktalarıı birleştire doğruu ekseii kestiği oktayı olarak işaretliyeceğiz ve bu = p köküe ilk yaklaşımımız olacak. İşlem bu şekilde devam ettirildiğide f (,,,... ( ( f f dizisi elde edilir ve isteile hassasiyette dögü belli bir kriterle durdurulur. Örek Algoritma: Repeat Set Set Set Util *... f ( ( /[ f ( f ( ]. 4 LİNEER İNTERPOLASYON (FALSE POSITIONREGULA FALSİ YÖNTEMİ f( deklemii, aralığıda bir kökü bulusu ve f bu aralıkta sürekli olsu. f f ( ( Bu yötem de aralık yarılama yötemiyle ayı esasa dayamaktadır. Acak bu defa farklı işarete sahip f( ve f( değerlerii vere ve apsisleri arasıdaki oktası f( i f( ve f( de geçe kirişii ekseii kestiği okta olarak kabul edilmekte ve f( hesaplaarak bu değer f( ve f( da hagisi ile ayı işarette ise ou yerie koularak isteile hata düzeyie kadar işlem tekrar edilir. İterasyo içi kökü hagi aralığa düştüğü bilimesi gerekir. Kök ya (, ya da (, aralığıdadır. Buu alamak içi şu test yapılır: Eğer, f(.. f( ise kök (, aralığıdadır. Aksi halde f(.. f( ise kök (, aralığıdadır deir.
y f( y y y.kiriş.kiriş Yukarıdaki şekilde foksiyo ( ve ( oktalarıda geçe. kiriş yatayda oktasıı keser ve bu okta bizim başlagıç değerimiz olur. Bu oktaya karşılık gele f( değeri buluarak yei bir kiriş yai. kiriş çizilir. Bu işlem ardışık olarak sürdürüldüğüde foksiyou yatay eksei kestiği oktaya yaklaşıldığı görülür. Şekildeki. kirişi deklemi aşağıdaki eşitlik şeklide yazılabilir. y y = aşağıdaki eşitliğe döüşür. y = = = y y y y.(. kirişi ekseii kestiği oktada y= olduğu içi eşitlik.( y elde edilir. içi f( = y belirleir.böylece ortaya çıka yei kirişi ekseii kestiği okta araştırılır. Bezer adımlar sürdürüldüğüde:, 3,...,,,... dizisi elde edilir. Bu işlemler esasıda kök değerie ulaşılıp ulaşılmadığı f ( (*, kriterleride birisi seçilerek isteile hassasiyet değerie göre alaşılır.
Örek Algoritma: Repeat Set f ( ( If f ( of opposite sig to Set. Else Set. Edif. Util *. /[ f ( f ( : f ( ]. ÖRNEK : f( = si( = ı [,] aralığıda regula falsi ile çözelim : k f(,99757,9,99757,474,98346,99757,46,474,563 3,99757,4574,46