ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ öcede saptamış br stadarda göre sayısal değer belrlemes şe ölçüm der. Öcede saptamış bu stadarda se brm adı verlr. Öreğ br csm kütles klogram olduğu söyleyorsa, bu csm kütles klogram olarak taımlaa br brm katı olduğu söyler. Başka br deyşle br celğ ölçülmes demek, bu celğ brm veya brm bell br kesr kaç kere çerdğ saptaması demektr. Ölçme yaparke üzerde öemle durulması gereke k kavram doğruluk ve duyarlılıktır. Doğruluk, fzksel br celğ br ölçümüü gerçek değere e kadar yakı olduğuu gösterr. Duyarlılık, ayı büyüklüğü ölçülmesde elde edle k değer brbre e kadar yakı olduğuu gösterr. Ölçüm Souçları Nasıl Verlr? Ölçümler soucu elde edle sayısal değerler, acak ölçüm hataları le brlkte verldkçe alamlı olur. Öreğ fzksel br -celğ (uzuluk, zama, gerlm, elektrk akımı, vb) br ölçümüü yapalım. ölçümüü soucu -celğ değere bell br yaklaşıklıkla yakı olacaktır. İkc br ölçümü yaparsak, buu soucuu ölçümüü soucuda braz farklılaştığıı görürüz. Çok sayıda ölçüm yaparsak her br ölçüm ç farklı değer elde ederz. Bua göre -celğ gerçek değer tam olarak belrlemey bekleyemeyz. Buu yere çok sayıda ölçüm alarak, ölçüm souçlarıı asıl br dağılım gösterdğe ve e çok hag değer etrafıda topladığıa bakablrz. Ölçüm souçlarımızı; Ölçüle değer = E y tahm ± Hata (orta ya da ortalama değer) () şeklde fade ederz. Burada e y tahm dedğmz şey, ölçümler topladığı sayısal değerdr. Ölçümlerdek Hatalar Hçbr fzksel ölçüm hatasız değldr. Burada hatada kasıt, yalış ya da kusur değl, belrszlk tr. Kullaıla ölçüm alet duyarlılığı ve ölçümde zlele deeysel metoda bağlı olarak yapılacak ölçümü soucu belrl br hata sıırı çersde olacaktır. Öreğ mm bölmel br cetvel le br kurşu kalem boyuu 6,3 cm olarak ölçeblrz. A. Ozasoy, Akara 0
Acak kulladığımız ölçü alet duyarlılığıda dolayı kalem boyuu ölçerke vrgülde sorak kc basamağı e olduğuu blemeyz. 6,30 cm?, 6,35 cm? Buu ç kompas gb daha duyarlı ölçüm yapa br ölçüm alet kullamamız gerekr. 0 3 4 5 6 7 Ölçümlerdek hatalar; -) Sstematk Hatalar -) İstatstksel (Rastgelel)Hatalar olmak üzere k kısımda celeeblr. Sstematk Hatalar: Bu tp hatalar, kullaıla ölçüm aletlerde, deeyde zlele metotta ve dış etklerde kayaklaır. Bu tp hatalar ölçüm soucuu hep tek yöde etkler. Sstematk hataları, deey yötem değştrerek, daha hassas ölçü aletler kullaarak ya da deey souda gerekl düzeltmeler yaparak ortada kaldırablrz. İstatstksel (Rastgele) Hatalar: Ölçme duyarlılığıı doğal olarak sıırlı oluşuda kayaklaa hatalardır. Bu hatalar soucu çft yölü etkler. Daha fazla sayıda ölçüm alarak statstksel hataları azaltablrz. Alamlı Rakamlar Br ölçümü duyarlığı, ölçümü fade ede rakam sayısı le belrler. Yapıla br ölçümü belrtmede kullaıla rakamlara alamlı rakamlar der. Alamlı rakamlar doğruluğu keslkle ble rakamlarla brlkte şüphel br rakam daha çerr. Aks belrtlmedkçe, e so rakamı şüphel olduğu (bu rakamda belrszlk olduğu) kabul edlr. Öreğ; br ktabı kalılığıı,53 cm olduğu söyleyorsa burada üçücü rakam belrszlk taşır (şüpheldr). Buradak belrszlğ 0,0 cm mertebesde olduğu söyler. Alamlı rakam sayısı şu kurallarla belrleeblr.. Odalıklı sayılarda vrgülü yer belrtmek ç kullaıla sıfırlar alamlı değldr. Öreğ, 0,3 m olarak verle br ölçüm soucuu alamlı rakam sayısı kdr. Ayı souç 3 cm olarak verlseyd, alamlı rakam sayısı ye k olurdu. Dolayısıyla ölçümü duyarlılığı brmler değştrmekle artırılamaz. A. Ozasoy, Akara 0
. Ölçüm soucuu br parçası ola sıfırlar alamlıdır. Öreğ; 0,00400 sayısıı alamlı rakam sayısı beştr. 3. 4000 sayısı gb sıfırlar çere br sayıı alamlı rakam sayısıı bulmak ç blmsel gösterm kullamak daha kullaışlı olur. Blmsel göstermde bu sayıyı 0 u kuvvetler csde yazarız. 4 0 3 ( alamlı rakam) 4,0 0 3 ( alamlı rakam) 4,00 0 3 (3 alamlı rakam) 4. Br ölçümü soucu stele alamlı rakam sayısıda daha çok rakam çereblr. Böyle br durumda gereke alamlı rakam sayısıı buluması ç şular yapılır. Kalması stee so rakamda sora gele rakam 5 te küçük se so rakam aye bırakılır. Öreğ,73 sayısıı üç alamlı rakamla yazılışı,73 tür. Eğer kalması stee so rakamda sorak rakam 5 ve 5 te büyük se so rakam artırılır. Öreğ; 8,6547 sayısıı 4 alamlı rakamla yazılışı 8,655 tr. 5. Alamlı sayılarda çarpma ve bölme şlem: Soucu alamlı rakam sayısı, e az alamlı rakama sahp ola sayıı alamlı rakam sayısı le belrler. Öreğ; (0,745,) /(3,885) şlem soucu alamlı rakamla verlmeldr. Çükü şleme gre sayılar çde e az alamlı rakama sahp ola sayı, dr ve alamlı rakam sayısı kdr =0,4870 0,4 olarak verlr. 6. Alamlı sayılarda toplama ve çıkarma şlem: Souç e az odalık basamağa sahp sayıya göre belrler Öreğ; 7,53 + 38, -,74 = 53,63 3 odalık basamak odalık basamak odalık basamak Souç tek odalık basamak çermel =53,6 A. Ozasoy, Akara 0 3
Ölçüm Souçlarıı Değerledrlmesde Hata Hesabı Fzksel br büyüklük ç br ölçümüü yapalım (uzuluk, kütle, zama ölçümü vb.). Ölçümümüzü kez tekrar edelm. Ölçümümüz br değer çevresde br Gauss dağılımı (ormal dağılım) gösterecektr. μ ortalama değerl ve stadart sapmalı Gauss dağılımı ( μ ) f G( ; μ, ) = e () π le verlr. Çok sayıda ölçümü alıdığı br durumda fzksel olarak ölçümü tarf etmek ç kullaılır Gauss dağılımı kullaılır. Ortalama Değer: Br - celğ ayrık tae ölçümü ç ortalama değer artmetk ortalama alıarak buluur. ort = = [ + +... + ] = (3) Ölçümler değer cvarıda br Gauss dağılımı gösterr. değer, br fzksel ölçüm ç e olası değer ya da e y ölçüm değerdr. Sapma: Ayrık ( =,..., ) ölçümler her br ortalama değer de e kadar farklılaştığıı göstere fadeye sapma der.. ölçüm ç sapma a = (4) le verlr. a değerler poztf, egatf veya sıfır olablr. a ler heps çok küçükse ölçümlermz heps brbre çok yakıdır. Bu sapma değerler artmetk ortalamasıa bakmak stersek, bu sıfır vereblr. Dolayısıyla, sapmaı ortalaması ölçümü güverllğ le lgl blg vermeyeblr. Bu sıkıtıda kurtulmak ç k yol vardır: a = 0 olablr (5) Sapma değerler mutlak değerler ortalamasıı almak Sapma değerler kares alıp toplamak (böylelkle poztf sayılar elde ederz) ve daha sora toplamı kareköküü almak A. Ozasoy, Akara 0 4
Mutlak Hata: Sapma değerler mutlak değerler ortalamasıı alırsak, poztf br sayı elde ederz ve ölçümü güvelrlğ le lgl br fkr edeblrz. Mutlak sapma; [ a + a a ] a = a =... (6) şeklde taımlaır. Burada, mutlak hatayı kullaarak ölçüm souçlarıı şu şeklde vereblrz: Ölçüle değer= Ortalama değer ± hata = ± a (7) Bu verle souca göre, ölçümlermz a değer le + a değer arasıdadır. Başka br fadeyle, ölçümlermz le lgl mumum değer m = a ve maksmum değer maks = + a dır. Stadart Sapma: Ölçüm souçlarımızı daha hassas br şeklde değerledrmek styorsak, mutlak hatada başka br taımlamaya htyacımız vardır. Stadart sapma; = ( ) (8) ( a ) = şeklde taımlaır. Bu fade aslıda,,..., ölçümlerdek sapmaları kare ortalama karekökü (kok değer) olarak açıklaablr. Stadart sapma, ayrık,..., ölçümlerdek ortalama belrszlğ fade eder. Stadart sapma le lgl daha y br taımlama, (8) deklemde paydadak sayısı (-) le değştrlerek yapılır. Bua göre, = ( ) (9) ( ( a ) = ) ( ) (9) deklem le verle stadart sapma taımı, (8) deklem le verlede braz daha büyük br değer verr, acak özellkle ölçüm sayısı az se, ölçümlerdek belrszlğ alamada daha faydalıdır. Öreğ = (br ölçüm) gb uç br öreğ göz öüe alalım. Br ölçüm ç = olur. (8) le verle taıma göre, stadart sapma = 0 gb saçma br souç verr. A. Ozasoy, Akara 0 5
(9) deklem le verle düzeltlmş stadart sapma taımı se, 0 0 belrszlğ verr. Bua göre, taımsızdır ve br ölçüm ç hataı taımsız olacağı soucuu verr. İk taım arasıdak fark pek çok ölçüm ç öemszdr. Öreğ, 5 kez ölçüm yapmışsak (=5) =, ve = elde edlr. (8) dekleme göre = 0,7 ve (9) dekleme göre = 0, 8 elde edlr ve k souç öeml br farka sahp değldr. Stadart sapma ç her k deklem de akılda tutarak, kcs özellkle fzk laboratuarlarıda daha kullaışlı olduğuu belrtmekte fayda vardır. Ortalamaı Stadart Sapması: Ortalama değer üzerdek belrszlğ verr ve şu şeklde taımlaır: = ( ) (0) ( a ) = ( ) ( ) öeml br özellğ paydadak değerdr. stadart sapma ayrık ölçümlerdek ortalama belrszlğ veryordu. Eğer ayı deeysel tekğ kullaarak, daha fazla sayıda ölçüm yaparsak kayda değer br şeklde değşmez. Ya ölçüm sayısıı artırmakla ölçüm üzerdek hatayı öeml şeklde azaltmış olmayız. Dğer tarafta ölçüm sayısı artıkça, ortalamaı stadart sapması =, yavaşça azalır. Bu azalma bzm stedğmz şeydr. Burada, ortalamaı stadart sapmasıı kullaarak ölçüm souçlarıı şu şeklde vereblrz: Ölçüle değer= Ortalama değer ± hata = ± () a Bağıl Hata: oraıa bağıl hata der. Bağıl hata çoğu zama kesrsel hata olarak da adladırılır ve yüzde olarak verlr. Öreğ, br deey soucu bağıl hata a =0,003 olarak verlyorsa, ölçüm soucu %0,3 hata yapılmış demektr. A. Ozasoy, Akara 0 6
Kayaklar:. A Itroducto to Error Aalyss, J.R. Taylor, Secod edto, Uversty Scece Books, 997. Deel ve Çağdaş Fzk Laboratuar Deeyler, İsmet Ertaş, Ege Üverstes Fe Fak. Ktaplar Sers 44, 973 3. FİZ548 Yüksek Eerj Fzğde Smulasyo Tekkler Ders Notları, Orha Çakır, 004, http://scece.akara.edu.tr/ocakr 4. FİZ55 Blgsayar Destekl Mekak Lab. Deey Kılavuzu, Ç. Tarımcı, A. Kaşkaş, Ç. Yıldız, AÜFF Döer Sermaye İşletmes Yayıları 45, 004 A. Ozasoy, Akara 0 7