Dr. Serkan Aksoy SAYISAL KARARLILIK Sayısal çözümlerin kararlı olması zorunludur. Buna göre ZUSF çözümleri de uzay ve zamanda ayrıklaştırma kapsamında kararlı olması için kararlılık koşullarını sağlaması gerekmektedir. ve t nin seçimine göre ZUSF ızgarasında yayılan dalgaların faz hızlarının etkilendiği ve böylece sayısal hatalara sebep olduğu bilinmektedir. in daha küçük seçimi ile sayısal hataların azaltılabileceği ve problemin geometrisinin daha detaylı incelenebileceği açık olmakla beraber, ZUSF'ın kararlı olması zorunluluğu nedeni ile t nin seçiminin rastgele olamayacağı açıktır. Bu kapsamda Sınırlı Giriş, Sınırlı Çıkış (SGSÇ) kuralı gereğince ZUSF kararlılığı incelenmelidir. Kararlılık incelemeleri genelde - Matris Özdeğer yöntemi (problem bağımlı), - Enerji yöntemi, - Fourier (von Neumann) yöntemi, - Kompleks Frekans yöntemi kullanılarak yapılır. Burada son iki yöntem için inceleme yapılacaktır. Fourier (von Neumann) Analizi: Kararlılıkla ilgili klasik temel çalışma Fourier serilerine dayalı olup Fourier veya von Neumann yöntemi olarak bilinir [Ritchmer ve Morton, 1967]. Bu çalışma her bir zaman adımında her bir Fourier bileşeninin sonlu toplamının toplam hatasının, sonlu kalması prensibine dayalıdır. Buna göre olmak üzere, bir boyutlu dalga denkleminde u(x, t) = u(i, n t) = X(i)Z(n t) = e jki Z n yerine konulursa x u(x, t) 1 c u(x, t) = 0 t x (e jki Z n ) 1 c düzenleme yapılırsa t (e jki Z n ) = Z n ( e jk(i+1) e jki + e jk(i 1) ) 1 Zn+1 Z n + Z n 1 c (e jki t ) e jki Z n ( e jk + e jk ) 1 Z + Z 1 c (e jki n Z t ) = e jki Z n [ e jk + e jk Her iki taraf e jki Z n a bölünerek, düzenleme yapılırsa = ( c t ) (cos(k) ) (Z + Z 1 ) = 0 olmak üzere, özel olarak c t/ = 1 olarak seçilip yeniden düzenlenirse olarak bulunur. Bu denklemin kökleri Z cos(k)z + 1 = 0 1 c Z + Z 1 t ] = 0 Z 1, = cos(k) 4 cos (k) 4 = cos(k) jsin(k)
Dr. Serkan Aksoy-015 olarak bulunur. Burada Z 1, = 1 olduğundan c t/ = 1 için sistem kararlıdır. Özel olarak c t/ = 1 kabulü yapılmaksızın cos(k) = 4sin (k ) olmak üzere, düzenleme yapılırsa, denklemin her iki tarafı Z ile çarparak, düzenlenirse = ( c t ) ( 4sin ( k )) + Z Z 1 = 0 Z [( c t ) ( 4sin ( k )) + ] Z + 1 = Z + [ ( c t ) Tekrar düzenleme yapılırsa Z [1 ( c t ) sin ( k )] Z + 1 = 0 burada A = 1 ( c t ) sin ( k ) olmak üzere, yukarıdaki denklem Z AZ + 1 = 0 sin ( k ) 1] Z + 1 = 0 halini alır. Denklemin kökleri Z = A ± A 1 = A ± j 1 A olmak üzere, köklerin birim daire üzerinde ve içinde olması gerektiğinden iken ZUSF kararsızdır. Aksi durumda Z > 1 A > 1 c t > 1 Z 1 A 1 c t 1 iken ZUSF kararlıdır. Bu şart Courant Friedrich Levy (CFL) kararlılık koşulu (nedensellik koşulu) olarak bilinir 1. Özel olarak D boyutlu problemler için, = y = z olmak üzere, CFL koşulu c t 1 D t c D olarak verilir. Kararlılık kriteri bir boyutta (D = 1) ele alınırsa ( = λ/n olmak üzere) t c = λ cn bulunur. Burada t = O(N 1 ) olduğu açıktır. Ayrıca y z ise üç boyutlu CFL koşulu t c ( 1 ) 1 + ( 1 y ) + ( 1 z ) 1 ZUSF yönteminin dağıtıcı (dissipative) bir sistem olarak modellenmesi ile, CFL koşulu genelleştirilmiş CFL koşulu olarak ta çıkartılabilir. Bu yöntem sınır koşulları, alt-ızgaralama vb. bölgeleri de içine alacak şekilde kararlılık analizi sağladığından avantajlıdır [Bekmambetova vd, 017]. Gerçekte t en yüksek yayılım hızı ile sınırlı iken, toplam iterasyon zamanı en düşük yayılım hızı (olay) ile sınırlıdır.
Dr. Serkan Aksoy-015 üst sınır (upper bound) olarak oluşur [Taflove ve Brodwin, 1975]. von Neuman yöntemi lokal olarak uygulanabilir. Bu nedenle dispersif ortam, SSK bölgesi vb. farklı ortamların kararlılığı için tekrar analiz yapılarak, tüm ortamlar için en küçük olan şart üzerinden çalışılmalıdır. von Neumann yöntemi kararlılık için kullanılabilmekle beraber, kararsızlığın ZUSF problem uzayında nerede meydana geldiğini (yerini) araştırmak için uygun değildir. O(4,) gibi yüksek mertebenden ZUSF algoritmalarının kararlılığı da von Neumann yöntemi ile incelenmiştir [Mufti, 1990]. Kompleks Frekans Analizi: ω = ω reel + jω sanal olmak üzere, yerine konulursa u(x, t) = u i n = e j(k Ni ωn t) u i n = e j(k Ni ωn t) = e j(k Ni [ω reel +jω sanal ]n t) = e ω sanaln t e j(k Ni ω reel n t) olarak bulunur. Burada ω sanal = 0 Sabit genlikli dalga yayılımı ω sanal > 0 Üstel azalan genlikli dalga yayılımı ω sanal < 0 Üstel artan genlikli dalga yayılımı Bu kapsamda i ve n den bağımsız olarak k N = 1 arccos [1 + (c t c t ) (cos(ω t) 1)] cos(ω t) = ( c t ) [cos(k N ) 1] + 1 olmak üzere denklem S = c t ve ω = ω reel + jω sanal için düzenlenirse 1 1 1 t t t arccos S cos kn x 1 1 arccos arcsin burada η = S [cos(k N ) 1] + 1 halini alır. Kararlılığın ω nın reel olması (üstel zayıflama ve kuvvetlenme olmaması için) için 1 cos(k N ) 1 aralığına (cos(k N ) = ±1) karşılık gelen 1 S η 1 aralığında araştırılması gerektiği açıktır. Şimdi bu aralığı iki alt aralık için inceleyelim: Kararlı Bölge, 1 η 1 aralığı: Bu aralık 0 S 1 aralığına (0 c t 1) karşı düşer (S pozitif olmalıdır). Bu durumda arcsin(η) reel değerli olduğundan, ω da reel değerli olacaktır. Yani ω sanal = 0 olup, sabit genlikli dalga yayılımı söz konusudur. Kararsız Bölge, 1 S η 1 aralığı: Bu aralık 1 S < 1 yani S > 1 aralığına karşılık gelir. Özel olarak cos(k N ) = 1 iken (bu durum λ sayısal = e karşılık gelen k N = (/λ = / = λ/), Nyquist (highest reachable) wave number halinde oluşur). ξ = ξ minimum minimum değerini alır. Bu değer η minimum = 1 S olarak hesaplanır. Bu aralıkta arcsin(η) = jln(jη + 1 η ) olmak üzere kompleks bir sayıdır. Bu durumda oluşan dalga yayılım karakterini anlamak için ω = 1 t [ arcsin(η)] = 1 t [ + jln (jη + 1 η )] = 1 t [ + jln (jη + j η 1)] olarak düzenlenebilir. Burada j = e j ilişkisi hatırlanırsa
Dr. Serkan Aksoy-015 ω = 1 t { + jln [(η + η 1) e j ]} = 1 t { + jln [( η η 1) e j ]} halini alır. Burada doğal logaritma işlemi uygulanırsa ω = 1 t { + j [ln ( η η 1) j ]} = 1 t [ + jln ( η η 1)] olarak yazılır. Burada ω = ω reel + jω sanal olduğu hatırlanırsa ω reel = t, ω sanal = 1 t ln ( η η 1) halini alır. Buradan u i n = e j(k Ni ωn t) = e ω sanaln t e j(k Ni ω reel n t) olduğu hatırlanırsa u n i = e 1 t ln( ξ ξ 1)nΔt e j(k NiΔx t nδt) 1 = ( η η 1) n e j(k NiΔx n) olarak bulunur. Buradan elektromanyetik dalganın genlik artış faktörü q artış = 1 η η 1 = η + η 1 olarak tanımlanabilir. Kararsız durumda η < 1 olduğundan her bir n zaman adımında dalganın genliği q artış kadar üstel artacaktır. En yüksek üstel artış en düşük negatif η değerinde meydana gelir. Bu değer daha önce hesaplandığı gibi η minimum = 1 S olmak üzere, yerine konulursa q artış = (1 S ) + (1 S ) 1 = S + S S 1 1 = (S + S 1) bulunur. Bu artış sınırlı giriş sınırlı çıkış ilkesi gereğince ZUSF algoritmasının kararlılığını bozacağından, artış olmayacak şekilde S değerinin seçilmesi gerekir. Öyle ki bu değerin S = 1 değeri olduğu açıktır. Bunun aksi bir durumda örneğin S = 1.0005 (% 0.05 büyük olması) durumunda Her 1 zaman adımda dalganın genliği q artış = 1.0653 kez Her 10 zaman adımda dalganın genliği q artış = 1.88 kez Her 100 zaman adımda dalganın genliği q artış = 558.7 kez Her 1000 zaman adımda dalganın genliği q artış =.96 10 7 kez artarak, ZUSF kararlılığını bozacaktır. Genlikteki bu artışla beraber incelenen dalga frekansı f 0 = ω reel = 1 t olmak üzere sadece t parametresine bağlıdır. Bu durumda faz hızı v f N = ω reel k N = t = t = c S olarak bulunur. Buradan Courant Kararlılık Koşulu olarak bilinen ilişki t = c S S = c t 1 t c
Dr. Serkan Aksoy-015 olarak bulunur. Buna göre uygulamada öncelikle parametresi seçilir. in seçimi çözülmesi istenen problemin geometrik detaylarının yeterince dikkate alınması prensibine dayanmalıdır. in seçiminden sonra kararlılık ilişkisi gereği t nin seçimi yapılmalıdır. Burada ZUSF kararlılığını korunduğu en üst sınırın t = /c, ( = c t, S = 1) olacak şekilde kiritik zaman adımlama sınırı olduğunda dikkat edilmelidir.