GİİŞ Matematik bakış açısıyla doğrusal modelleri büyük bir avataı vardır. Doğrusal olmaya sistemleri matematiği aalitik yötemlerle oldukça zordur ve geellikle bir ümerik bir çözüm elde edebilmek içi bilgisayar kullaımıa ihtiyaç vardır. Çoğu durumda oldukça yüksek kapasiteli bilgisayarları bile yardımı olmaz. Fakat doğrusal modellerle çalışıldığıda ilgileile icelik içi ümerik çözümleri bulmak veya tam aalitik çözüm bulmak ispete daha kolaydır. Gerçek düyayı yeterli doğrulukla ele alma gibi aktörler e ve sosyal bilimleride doğrusal modelleri oldukça popüler ve kullaışlı bir araç hale getirmiştir. Matematikte doğrusal modelleri iceleye yaklaşımlarda biri doğrusal cebirdir. Doğrusal cebri kousu bu terimi oluştura iki kelime kısımlara ayrılarak açıklaabilir. Doğrusal kelimesii alamı bu dersi e öemli amaçlarıda birisidir ve dersi souda daha iyi kavramış olacaktır. Fakat şimdilik alaşılması gereke düz ya da düzgü alamıda kullaıldığıdır. Öreği y-düzlemi y m b doğrusal deklemii çözüm kümesii içermektedir. Burada m eğim y-ekseii kese b de doğruyu taımlaya sabittir. Eğer çok değişkeli kalkülüs ile ilgileiliyorsa çok boyutlu yüzeyler ile karşılaşılır. Üç boyutlu uzayda oktalar ( y z) üç reel sayı ile belirleir ve bu oktalar a by cz d şeklide taımlaa deklemleri çözüm kümeleridir. Burada a b c d birer sabittir ve birlikte düzlemi taımlarlar. Düzlemler birer düz yüzey olarak düşüülürke üç boyutlu uzayda doğrular düz çizgi şeklide düşüülebilir. Düzlüğü taımlamaı bir başka yolu da taımlaa oktalar kümesii göreli olarak kolay yapıda ola deklemleri çözüm kümeleri olduğuu düşüülmesidir. Göreli olarak kolay yapıda ola deklemlerde sadece toplama ve bir sabit ile çarpma işlemleri mevcuttur. Bazı durumlarda çıkarma ve bölme işlemlerie ihtiyaç duyulsa da geellikle doğrusal deklemler sadece toplama ve çarpma işlemlerii içerir. olay yapıda ola deklemlere bir kaç örek aşağıda verilmiştir: 3y 4z 3 4 5 3 4 5 1 0 9a b 7c d 7 Daha karmaşık yapıda ola ve bu ders kapsamıa girmeye deklemler içi örekler ise; y 3 4y 3
a b 4 5 4 5 3 45 e 1 3 si y 7 şeklide verilebilir. 0.1 DOĞUSALLI 1 Gerçek düya yeterli doğruluğa sahip doğrusal modeller olarak bilie modellerle sık sık temsil edilmektedir. Doğrusallık çok geel bir kavramdır (öreği: değişkeleri doğrusal deklemleri doğrusal adi ve kısmi dierasiyel deklemler doğrusal ark deklemleri doğrusal itegral deklemler vb.). Tüm doğrusal modeller ekleebilirlik (toplama) ve homoelik (skaler ile çarpma) özelliklerie sahiptirler. Ekleebilirlik: 1 1 etkisii göstere değişke etkisii göstere değişke ise 1 ve değişkelerii beraber (toplam) etkisii 1 kadar olduğu alamıa gelmektedir. Homoelik: 1 1 etkisii göstere değişke ve herhagi bir reel sayısı içi 1 değişkeii etkisii 1 kadar olduğu alamıa gelmektedir. Heme heme tüm doğrusal modeller doğrusal deklem sistemleri (eş alı deklemler) ya da eşitsizlikleri bir kümesi olarak karşımıza çıkmaktadır. Bua rağme oriial model doğrusal dierasiyel ya da ark deklemlerii bir kümeside oluşabilir. Doğrusal deklem sistemlerideki değişkeler oriial modeldeki iziksel değişkeler olmak zoruda değildirler akat olarla ilişkilidirler. Temel cebirde bilimektedir ki m tae doğrusal deklem sistemii ormu aşağıdaki gibidir: a a r 11 1 1 1 a a r 1 1 a a r m1 1 m m Burada a i geellikle bilie sabitlerdir. Bazı durumlarda r i 1 m değerleri sabitlerdir. ( 1 içi) değişkelerdir ve (1) deklem sistemii sağlar. Diğer bazı durumlarda hem r i hem de değişke olur. i (1) (1) iadesideki deklem sistemlerii kümesi daha somutlaştırılabilir. r i ye değişkelerii katkısı i a i dir ve tüm değişkelerii katkısıı toplamıdır. Eğer ˆ biçimide değiştirilirse ˆ i r i ye katkısı a ˆ a kadar olacaktır. Bu eşitlik homoeliği i i i
açıklamaktadır. Eğer i r i ye katkısı i a i olsaydı ˆ katkısı i olacağıda homoelik özelliği sağlamayacaktı. Doğrusal modeller içide değişkeleri birici mertebede başka herhagi bir kuvveti olamaz ve log veya ep gibi oksiyoları da içermezler. Tekrar (1) deklemie döülürse i r i ye katkısı ve k ile beraber kullaıldığıda a a yai bireysel katkıları toplamı olur. Bu doğrusallığı bir karakteri ola i ik k i ik toplama özelliğii göstermektedir. Bu özellik değişkeleri k biçimide çarpımsal olması durumuda geçersizdir. Böylece k ı katkısı e bağlı olur ve k ile birlikte katkıları bu değişkeleri toplamı kadar olmaz. Doğrusal cebir (1) deklemide olduğu gibi doğrusal deklem sistemlerideki çalışmalarda geliştirilmiştir. Daha ileri geellemeler e ve sosyal bilimlerde matematiği geiş bir uygulamasıa sahip ola bir alaa bizi yöledirmektedir. Doğrusal cebir tekikleri tüm doğrusal modellere geelleebilir. Bua ek olarak çok çeşitli doğrusal olmaya modeller arklı işlemlerle basitleştirilebilir. Bu meti amacı okuyucuu kedi özel alalarıda kouyu kullamasıa imka taıya doğrusal cebir içi kısa ve kapsamlı bir giriş sumaktır. 0. CEBİ CİSİMLE VE VETÖ UZAYLAI Cebir kelimesi büyük ihtimalle daha öcede reel sayıları ve kompleks sayıları cebriyle ilgileildiği içi aşia olua bir kelimedir. Fakat buları yaı sıra doğrusal cebir gibi arklı cebir türleri de mevcuttur. Yei bir cebir öğremek tıpkı yei bir dil öğremek gibi yoğu çaba gerektirmektedir ve kazaımları büyüktür. Dikkat edilmesi gereke yei öğreile cebirde daha öcede öreği reel sayılarda öğreile cebri kurallarıı artık geçerli olmayabileceğidir. Yukarıda doğrular ve düzlemler hakkıda verile kısa açıklamada da alaşılacağı gibi doğrusal cebir doğası gereği geometrik bir yapıya sahiptir. İki ve üç boyutu uzaylarda verile öreklere bakılarak bu dersi içeriğii öemiyle ilgili bir ikir sahibi oluabilir. Doğrusal cebir ile elde edilecek e büyük kazaımlarda biri çok boyutlu uzaylarda herhagi bir görsele ihtiyaç duyulmada doğru ya da düzlem ler ile çalışılabiliecek olumasıdır. Sezgileri çoğu iki ya da üç boyutlu uzayla ilgili öreklerde oluşsa da koular geometri ikici plaa atılarak cebirsel bakış açısıyla ele alıacaktır.
Foksiyoel Gösterimler: { a b } { a b } iki küme olmak üzere da kümesie bir gösterilir. kümesideki her bir a oksiyou mevcut olsu. kümesie a değerie elemaıa karşılık kümeside bir a oksiyouu değeri deir oksiyouu taım (domai) kümesi görütü (image) kümesi adı verilir. Her bir a içi ( ) a kümesie ( a) olacak biçimde elemaıı eşleye veya a ile oksiyouu kümeside e az bir çözüm varsa da kümesie bu oksiyo veya : biçimide gösterilir. Baze oksiyo kelimesi yerie döüşüm (trasormasyo) karşılık gele veya gösterimi ( a) Her içi olduğu içi a ı ve g g oksiyoua eşittir deir ve da kümesie O zama oksiyoları içi altıdaki görütüsü kullaılmaktadır. g ile gösterilir. oksiyou ve g kümeside olsu. Bu durumda kümesie de g oksiyou oksiyou taımlası. da kümesie bir oksiyo taımlamak mümküdür. g( ( )) biçimide taımlaa bu oksiyoa bileşke oksiyo deir ve g ile gösterilir. İki değişkeli bir oksiyo taımlayabilmek içi daha ileri bir bakış açısıa ihtiyacımız vardır. ve L keyi seçile boş kümede arklı kümeler olsular. L kümesi artezye çarpım kümesidir ve y L olmak üzere ( y) L olur. Burada ( y ) ye sıralı ikililer deir. da kümesie iki değişkeli oksiyo bu yötem kullaılarak taımlaır. Bu oksiyo; biçimide taımlaır. Bizim amacımız içi şeklide taımlaa oksiyolar oldukça öemlidir. Bu oksiyolar kümesi içide ikili işlem (veya operasyo) olarak adladırılırlar. Öreği; tamsayılar kümesi içide sırada toplama işlemi ve çarpma işlemi birer ikili işlemlerdir. : ZZ Z : ZZ Z ( a b) a b ( a b) a b Bu derste cisimleri ve vektörleri aritmetiği giriş seviyeside kullaılacaktır. Daha kolay alaşılması içi bir cisim ya da (karmaşık sayılar) olarak ve bir vektör uzayı ise 1 olmak üzere ya da olarak düşüülebilir. Fakat bu derste ispatlaacak ola iadeler daha öcede de aşia olua aritmetiği olağa özelliklerii sağlamaktadır. Aşağıda bu özellikler taımlamıştır: Taım: İkili İşlem F bir küme olsu. İkili işlem F F F şeklide bir oksiyodur. Örek: eel sayılarda toplama işlemi bir ikili işlemdir. İki reel sayı y y reel sayısıa atamaktadır. Taım (Cisim): Bir F kümesi üzeride toplama ve çarpma olmak üzere iki adet ikili işlem taımladığıda aşağıdaki özellikleri sağlaya ( F ) üçlüsüe cisim deir.
i. F F (toplama işlemie göre kapalılık özelliği) F (toplama işlemii birleşme özelliği) ii. iii. 0 F öyle ki F 0 (toplama işlemii birim elemaı) F F öyle ki 0 (toplama işlemii ters elemaı) iv. v. F (toplama işlemii değişme özelliği) vi. F F (çarpma işlemie göre kapalılık özelliği) vii. F (çarpmaı birleşme özelliği) F (çarpmaı toplama işl. üzerie dağılma özelliği) viii. i. 1 F öyle ki F 1 (çarpma işlemii birim elemaı). F F (çarpma işlemii tersi elemaı) 1 1 0 öyle ki 1 i. F (çarpma işlemii yer değiştirme özelliği) Yorum: Tam sayılar 1 de 8 e kadar ola özellikleri sağlar akat 9. özelliği tam olarak sağlamazlar. Tüm Z Örek: eel sayılar Örek: asyoel sayılar içi 1 dir. Bu edele tam sayılar cisim değildir. reel sayıları toplama ve çarpma özelliklerie göre cisimdir. rasyoel sayıları toplama ve çarpma özelliklerie göre cisimdir. Yorum: Bir cismi elemaları geellikle skaler olarak adladırılır. Yorum: Aslıda cisim ola 0F 0 V ola vektörde arklıdır. Fakat her ikisi içi de ayı otasyo kullaılmaktadır. Taımlamalar yapılırke bu ikisi arasıdaki arklılık uutulmamalıdır. Örek: üzeride bir vektör uzayıdır. Örek: içi üzeride bir vektör uzayıdır. Daha geel bir iadeyle herhagi bir doğal sayı ola üzeride bir vektör uzayıdır. Ayı şekilde herhagi bir cisim F içi N içi üzeride bir vektör uzayıdır. Örek: bir reel değişke olsu. değişkei e az azla dereceli olarak yer aldığı P kümesi üzeride bir vektör uzayıdır. Daha geel bir iadeyle değişkeii sosuz türevleebildiği oksiyolarıı kümesi C üzeride bir vektör uzayıdır. uzayıı elemaları sıralı -lilerde oluşmaktadır. Bu uzayda bir A F F oktası A ( a1 a a3 a ) biçimide gösterilir. stadart reel uzayı ile E Öklid uzayı birbirie karıştırılmamalıdır. uzayı üzeride bir Öklid iç çarpım taımladığıda ( ) E -boyutlu Öklid uzayı olur. Diğer bir iadeyle uzayda bir metrik taımlı değilse (metrik uzay değilse) uzaklık vektörleri boyları ve aralarıdaki açılar vs. gibi metrik
özellikleri ölçülemez. Bu kou ilerleye bölümlerde açıklaacaktır. Bu derslerde uzayıda taımlı bir Öklid metriği olduğu varsayılacaktır. oordiat sistemi oordiat düzlemi cebir ve geometri arasıdaki bağlatıdır. oordiat düzlemide cebirsel deklemleri graiklerii çizebiliriz. Graikler böylece bize deklemdeki değişkeleri arasıdaki ilişkiyi "görmemizi" sağlar. oordiat Düzlemi Nasıl ki bir doğru üzerideki oktalar reel sayılarla koordiat doğrusu şeklide taımlaabilirse bir düzlemdeki oktalar da sıralı sayı çitleri ile koordiat düzlemi veya artezye(cartesia) düzlem olarak taımlaabilir. Buu yapmak içi her doğruu 0 oktasıda kesiştiği iki dik reel doğru çizeriz. Geellikle bir doğru sağa doğru poziti yölü yataydır ve -eksei deir. Diğer doğru ise yukarı doğru poziti yölü dikeydir ve y-eksei olarak adladırılır. -eksei ve y-ekseii kesişim oktası orii O adıı alır ve iki ekse düzlemi dört bölgeye (çeyreğe kadraa) böler Şekil 1'de I II III ve IV umaraları ile bu bölgeler gösterilmiştir. (oordiat ekselerii üzerideki oktalar herhagi bir bölgeye ait değildir). ŞEİL 1 ŞEİL oordiat düzlemideki herhagi bir P oktasıı yeri Şekil 1'de gösterildiği gibi bir tek (ab) sıralı sayı çiti ile saptaabilir. İlk sayı a'ya P'i -koordiatı deir ikici sayı b'ye P'i y-koordiatı deir. P'i koordiatları bu oktaı "adresi" olarak düşüülebilir. Çükü düzlemdeki yerii belirtirler. Şekil 'de birkaç okta koordiatlarıyla gösterilmiştir.
ŞEİL 3 Üç boyutlu uzayda herhagi bir oktaı koumuu üç dik açılı koordiat ile belirtmek içi ayı presip kullaabilir. İşaretlee mesaeleri birbirie dik ola üç düzlemde (veya eşdeğer olarak üç birbirie dik çizgiye dikey olarak yasıtarak) belirtir. Geel olarak artezye koordiatlar (reel -boyutlu bir elemaı) herhagi bir boyut içi -boyutlu Öklid uzayıdaki oktayı belirtir. (bkz. Şekil 3). Üç boyutlu bir uzayda bir P oktasıa ulaşmak içi tabi ki yöe bağlı kalarak öce -ekseide birim y-ekseide y birim ve z-ekseide z birim yol alıır (bkz. Şekil 3). Üç boyutlu uzayda başlagıç oktası orii ve bitiş oktası A ( y z ) ola bir r [ y z ] vektörü gösterimi Şekil 3 te gösterilmiştir. a a a a a a a ŞEİL 4 17. yüzyılda eé Descartes taraıda kartezye koordiatlarıı keşi Öklid geometrisi ve cebir arasıdaki ilk sistematik bağlatıyı sağlayarak matematiği devrimleştirmiştir. artezye koordiat sistemii kullaarak geometrik şekiller (eğriler gibi) şekil üzeride uzaa oktaları koordiatlarıı
içere cebirsel deklemler kartezye deklemlerle iade edilebililir: Öreği düzlemi merkezii merkez ala yarıçapı ola bir çember ve y koordiatları oktaları kümesi olarak taımlaabilir (bkz. Şekil 4). y 4 deklemii sağlaya tüm artezye koordiatlar aalitik geometrii temelii oluşturur ve doğrusal cebir karmaşık (kompleks) aaliz dierasiyel geometri çok değişkeli kalkülüs grup teorisi ve daha azlası gibi matematiği diğer dalları içi aydılatıcı geometrik yorumlar sağlar. Taıdık bir örek bir oksiyou graiği kavramıdır. artezye koordiatlar astroomi izik mühedislik ve çok daha azlası dahil geometri ile uğraşa e uygulaa disipliler içi de gerekli araçlardır. Bilgisayar graikleride bilgisayar destekli geometrik tasarımlarda ve geometri ile ilgili diğer veri işlemeleride kullaıla e yaygı koordiat sistemidir utupsal koordiat sistemi utupsal koordiat sistemi düzlem içi ortak koordiat sistemidir. utup olarak bir merkez oktasıa ışı kadar bir mesaedeki oktaya kutupsal ekse deir. Öreği kutupsal eksede açı r mesaesi kadar (aksi belirtilmediği müddetçe saat yöüü terside) uzaklıktaki bir oktaı koordiatları ( r ) 'dir. Bu sadece tek bir oktaı koordiatlardır. Fakat herhagi bir okta birçok koordiat ile belirtilebilir. Öreği ( r ) ( r ) ayı oktaya ait kutupsal koordiatlardır. ŞEİL 5 artezye koordiatlara yapıla uygu döüşümler soucu kutupsal koordiatlar elde edilmiştir. Şekil 5 te iki koordiat sistemi iç içedir. Uygulamalarda hagi sistemi kullaılması daha avatalı ise o sistem seçilir. artezye koordiatlarda kutupsal koordiatlara geçmek içi trigoometrik özdeşliklerde yararlaılır: cos r rcos y y r si si r r y ta y Böylece P( y ) oktası ( r ) ciside iade edilmiş olur.