Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler"

Derya Zengin
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Bölüm 1 Ders 01 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler 1.1 Çözümler:Alıştırmalar 01 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1-1 Aşağıdaki ilk iki denklem sistemini grafik yöntemi ile, sonraki ikisini yerine koyma ve diğer ikisini de yok etme yöntemi ile çözünüz. 1.a) 1.b) x + y = 5 x y = 1 x = 3, y = 2 3x y = 2 x + 2y = 101 x = 2, y = 4 1.c) x y = 4 x + 3y = 12 x = 6, y = 2 1

2 2 BÖLÜM 1. DERS 01 Şekil 1.1: Soru1-1b Şekil 1.2: Soru1-1c

1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 01 3 1.ç) Şekil 1.3: Soru1-1cc 2x + y = 6 x y = 3 x = 1, y = 4 1.

3 1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR ç) Şekil 1.3: Soru1-1cc 2x + y = 6 x y = 3 x = 1, y = 4 1.d) Şekil 1.4: Soru1-1d 3u 2v = 4 4u + 4v = 12 u = 2, v = 1 1.e) 2x + 3y = 1 3x y = 7 x = 2, y = 1 2. Soru 2

2.a) Şekil 1.6: Soru1-2a 2x + 5y = 23 11x + 2y = 1 x = 1, y = 5 2.

4 4 BÖLÜM 1. DERS 01 Şekil 1.5: Soru1-1e Aşağıdaki denklem sistemlerini yerine koyma veya yok etme yöntemi ile çözünüz. 2.a) Şekil 1.6: Soru1-2a 2x + 5y = 23 11x + 2y = 1 x = 1, y = 5 2.b) 3x 6y = 9 2x + 4y = 12 Yok. Doğruar paralel 2.c) 0.8x y = 0 0.4x + y = 0.72 x = 3 5 = 0.6, y = = ç) 0.2x 0.5y = x + 0.2y = 0.72 x = = 1.1, y = 3 10 = 0.3

5 1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 01 5 Şekil 1.7: Soru2-2b Şekil 1.8: Soru 1-2c

6 6 BÖLÜM 1. DERS 01 Şekil 1.9: Soru 1-2cc Şekil 1.10: Soru 1-2d

1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 01 7 2.d) 2.e) 5 2 x 25 6 y = 5 2 5 x + 4 y = 6 x = 3.667, y = 3.4 3 Şekil 1.11: Soru1-2e x + y = 1 0.3x 0.4y = 0 x = 4 7 = 0.57143, y = 3 7 = 0.42857 3.

7 1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR d) 2.e) 5 2 x 25 6 y = x + 4 y = 6 x = 3.667, y = Şekil 1.11: Soru1-2e x + y = 1 0.3x 0.4y = 0 x = 4 7 = , y = 3 7 = Soru 3 x - 2y= -6, 2x + y= 8, x + 2y=-2, ve x - y= -5 denklemleri ile verilen doğruları aynı koordinat düzleminde çiziniz ve bu doğrulardan iki veya daha fazlasının kesiştiği noktaların koordinatlarını bulunuz. Şekil 1.12 den görüldüğü gibi üç doğru ortak bir noktda kesişmiyor. Öyleyse üç denklem tutarlı değildir; yani istemin çözümü yoktur. Ama doğrular ikişer ikişer kesişir. Kesişim noktaları şekilden görülüyor. 4. Soru 4 Bir tatil beldesinde satışa sunulan mayolar için, tanesi p TL den x tane mayonun satışa sunulması durumunda, haftalık fiyat-arz denklemi p= 0.1x + 3 ve fiyat-talep denklemi p=-2x + 87 TL olarak veriliyor. Pazar denge fiyatını ve denge satış miktarını bulunuz. 0.1x + 3 = 2x + 87 = 2.1x = 84 = x = 40 bulunur. Bu değer p = 0.1x + 3 eşitliğinde kullanılırsa p = 7 bulunur.

8 BÖLÜM 1. DERS 01 Şekil 1.12: Soru 1-3 5. Soru 5 30000 adet dinleyici kapasiteli konser salonuna, fiyatları 4 TL ve 8 TL olan biletler satılmaktadır.

8 8 BÖLÜM 1. DERS 01 Şekil 1.12: Soru Soru adet dinleyici kapasiteli konser salonuna, fiyatları 4 TL ve 8 TL olan biletler satılmaktadır. Tüm biletlerin alıcı bulacağı varsayıldığına göre, bilet satışından; a) TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? x + y = x + 8y = denklem sisteminin x 0, y 0 koşulunu sağlayan çözümünü arıyoruz. Bu sistemi çözersek x = 5000, y = olur. b) TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? Yukarıdaki denklemde TL yerine TL koymak yeterlidir. Öyleyse; x + y = x + 8y =

9 1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 01 9 denklem sisteminin x 0, y 0 koşulunu sağlayan çözümünü arıyoruz. Bu sistemi çözersek x = 10000, y = olur. c) TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? Yukarıdaki denklemde TL yerine TL koymak yeterlidir. Öyleyse; x + y = x + 8y = denklem sisteminin x 0, y 0 koşulunu sağlayan çözümünü arıyoruz. Bu sistemi çözersek x = 22500, y = 2500 olur. ç) TL gelir elde etmek mümkün müdür? TL gelir elde etmek mümkün müdür? 6. Soru 6 Yukarıdaki denklemde TL yerine TL koymak yeterlidir. Öyleyse; x + y = x + 8y = denklem sisteminin x 0, y 0 koşulunu sağlayan çözümünü arıyoruz. Bu sistemi çözersek x = 2500, y = olur. Bu çözüm x 0 koşulunu sağlamaz. Dolayısıyla(ç) şıkkının TL getiren çözümü yoktur TL gelir elde etmek mümkün değildir. Benzer biçimde, sistem TL için çözülürse x = 35000, y = 5000 olur. Bu çözüm y 0 koşulunu sağlamaz. Dolayısıyla (ç) şıkkının TL gelir getiren çözümü yoktur. Beslenme rejimi uygulayan bir kişi, günlük diyetindeki kalsiyum ve protein miktarını artırmak için beyaz peynir ve yoğurt kullanıyor. Kullandığı ölçeğe göre, bir ölçek beyaz peynirde 6 gram kalsiyunı ve 30 miligram protein; bir ölçek yoğurtta da 1 gram kalsiyum ve 41 miligram protein bulunmaktadır. Bu diyetten günde 63 gram kalsiyum ve 747 miligram protein kazanabilmesi için bu kişi günde kaç ölçek beyaz peynir ve kaç ölçek yoğurt tüketmelidir? 6x + y = 63 30x + 41y = 747

10 10 BÖLÜM 1. DERS 01 denklem sisteminin çözümü olan x = 8.5 ölçek peynir ve 12 ölçek yoğurt tüketmelidir. 7. Soru 7 Bir şirket, Seylan dan ithal ettiği çay ile Rize çayından harman yaparak Buruk A ve Buruk B markalarıyla satışa sunmak istiyor. Bir kg Buruk A, 300 gr Seylan ve 700 gr Rize çayı karıştırılarak elde ediliyor. Bir kg Buruk B, 600 gr Seylan ve 400 gr Rize çayı karıştırılarak elde ediliyor. Firmanın elinde, her birinin ağırlığı 60 kg olan 40 çuval Seylan çayı ve 50 çuval. Rize çayı bulunmaktadır. Şirketin elindeki çayın tamamını piyasaya sürebilmesi için kaç kg Buruk A ve kaç kg Buruk B marka çay üretmesi gerekir? 300x + 700y = x + 400y = x + 14y = 48 6x + 4y = 30 10y = 18 y = 1.8kg x = 3.8kg x = 3.8 kg ve y = 1.8 kg değerleri kullanılırsa, buruk A = 300x + 700y = 2400 kg ve buruk B = 700x + 400y = 3000 kg üretmetilmelidir. 8. Soru 8 Türkiye genelinde dağıtım yapan bir kargo şirketi, yirmi dört saat içinde adresine teslim edilmek üzere paket kabul etmekte; her paketin 500 grama kadar olan [500 gram dahil] ağırlığı için sabit bir ücret alıyor ve ilk 500 gramdan sonraki her 500 gram için de başka bir sabit ücret uyguluyor. 4.5 kg lık bir paket gönderen bir müşteri 15 TL, 12.5 kg lık paket gönderen bir müşteri de 39 TL ödediğine göre, ilk 500 gram için ve ondan somaki her 500 gram için uygulanan ücreti belirleyiniz. İlk 1 gr x kuruş, sonraki y kuruş ise 500x y = x y = 3900 x= 0.6 krş, y= 0.3 krş. İlk 500 gram için = 300 krş= 3 TL Sonraki her 500 gram için 39 3 = 36, = 150 krş= 1.5 TL olur.

11 1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR Soru 9 İkinci alıştırmadaki her denklem sisteminin ilaveli matrisini yazınız. a) A = [ 2 5 ] b) B = [ 3 6 ] c) [ ] C = d) G = [ ] d) D = [ ] e) E = [ 1 1 ] Soru 10 a) b) c) d) A = B = C = x 1 + 2x 2 = 3 3x 1 + x 2 = 4 2x 1 3x 2 = 7 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 3 3x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 = 4 2x 1 + 2x 2 3x 3 + 5x 4 = 7 [ ] x 1 + 2x 2 + x 3 = x 1 0x 2 + x 3 = D = x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 2x 1 x 2 + 5x 3 = 4 0x 1 + 3x 2 + 6x 3 = Soru 11 İlaveli matrisi aşagıda verilmiş olan denklem sistemlerini yazınız ve çözün kümelerini bulunuz.

12 12 BÖLÜM 1. DERS 01 Katsayılar matrislerinin indirgenmiş biçimlerini bulmalıyız. a) [ 1 0 ] S = { 2,1)} b) c) [ 1 1 ] [ 1 1 ] S = {t + 1, t) : t R} S = φ ç) [ ] S = {2t + 3, t, 1) : t R} d) [ ] S = {t,5 + 2t, 2 t,1) : t R} e) S = { 3,2,1)} A = matrisi veriliyor. a) A nın 2-3 girdisi kaçtır? 3-2 girdisi kaçtır? 1-4 girdisi ka çtır? b) A nın birinci satırındaki girdileri sırasıyla yazınız. c) A nın ikinci sütunundaki girdileri sırasıyla yazınız.

13 1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR ç) A nın birinci ve üçüncü satırlarının yerleri değiştirilince elde edilen matrisi yazınız. d) A nın birinci satırı -3 ile çarpılınca elde edilen matrisi yazınız. e) A nın birinci satırı 2 ile çarpılıp üçüncü satırına top1anınca(birinci satırı değistirmeden) elde edilen matrisi yazınız. a) a 23 = 3, a 32 = 4, a 14 = 1 b) {1,2, 2,1} c) {2,2,4} ç) A = d) A = e) A =

14 158 BÖLÜM 1. DERS 01

Benzer belgeler

Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

Bölüm 1 Ders 01 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler 1.1 Çözümler:Alıştırmalar 01 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Aşağıdaki ilk iki denklem sistemini grafik yöntemi ile, sonraki ikisini