Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =

Transkript

1 Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme farklı bir açıdan yaklaşarak doğrusal bir denklem sistemini a b x çömenin anlamını görelim., x, olmak üere denklemi matris c d x notasyonuyla x = olarak yaabiliri. matrisi denklem sisteminde bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan katsayı matrisi, x vektörü bilinmeyenlerin, vektörü de parametre vektörüdür. Şimdi, denklem sisteminin a x c x b d olarak yaılabileceği açıktır. İşte, sistemi çömek parametre vektörünü katsayı matrisinin sütunlarının doğrusal bileşim olarak yaacak şekilde x, x katsayıları bulmak demektir. Yani, a b vektörü ile nın sütunları doğrusal bağımlı olmalıdır. Dolayısı ile {,, } vektör c d a b kümesinin doğrusal bağımlı olup olmadığına, yani C matrisinin rankına bakmak c d gerekiyor. Burada C matrisi, parametre vektörünün katsayı matrisine sonuncu sütun olarak eklenmesinden elde edilen genişletilmiş katsayı matrisidir. Şimdi, burada üç durum sö konusu olabilir. ) r() = dir, yani nın sütunları doğrusal bağımsıdır. ma R de en fala iki doğrusal bağımsı vektör vardır, dolayısı ile r(c) = r() = = bilinmeyen sayısıdır. Sistemin tek bir çöümü vardır. Çünkü nın sütunları doğrusal bağımsısa R nin bir tabanını oluştururlar ve tanım gereği herhangi bir parametre vektörü, her R, bu tabanın vektörlerine göre ifade edilebilir ve bu ifade tektir. Örneğin, x + x = x x = sisteminde, dir. det = -3 olduğundan nın sütunları doğrusal

2 Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0 bağımsıdır. Öyleyse C matrisinin rankı da dir. Yani r() = r(c) = dir. Bu 5 sistemin tek bir çöümü vardır ve x = 5/3, x = /3 dür. Yani, dir. 3 3 a b. r() = dir, nın sadece bir doğrusal bağımsı sütunu vardır. O halde C c d matrisinin rankına ilişkin iki durum olabilir. a) r(c) = r() = < bilinmeyen sayısıdır. Dolayısı ile parametre vektörü ile nın sütunları doğrusal bağımlıdır ve denklemin bir çöümü vardır. Bu durumda nın sadece bir doğrusal bağımsı sütunu olduğu için, parametre vektörünü bu sütun cinsinden ifade etmenin sonsu yolu vardır. İki bilinmeyenden birine keyfi değer vererek, diğerini çöebiliri. Örneğin, x + x = x + x = 4 sisteminde, dir. det = 0 olduğundan nın sütunları doğrusal bağımlıdır 4 ve r() = dir. Öte yandan C matrisinin rankı da dir. Yani r() = r(c) = dir. 4 Bunu anlamı iki denklemin doğrusal bağımlı, yani elimide sadece bir denklem olduğudur. Gerçekten de denklemlere bakılınca ikincinin birincinin iki katı olduğu, dolayısı ile elimide sadece x + x = denkleminin olduğu görülür. O halde, örneğin, x = α olmak üere, x biçimindeki her vektör denklemin çöümüdür. Örneğin, α = koyarak x =, x = ; α = koyarak x = 0, x = ; α = 5 koyarak x = -3, x = 5; gibi çöümler elde ederi. Yani her α R değeri için bir çöüm vardır ve bu anlamda çöümler sonsudur. ma en aından çöümü parametrik olarak, yani bir α ya bağlı olarak, bulabiliyoru. b) r(c) = > r() dır. nın sütunları ile parametre vektörü doğrusal bağımsıdır. O halde denklemin çöümü yoktur: parametre vektörünü nın sütunlarının bir doğrusal bileşimi olarak yaamayı ki bu da doğrusal bağımsılığın tanımıdır. Örneğin, x + x = x + x =

3 Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0 sisteminde, dir. det = 0 olduğundan nın sütunları doğrusal bağımlıdır. Öte yandan C matrisinin rankı dir. Yani r(c) = > r() = dir. Denklemler tutarsıdır ve çöümü yoktur. Gerçekten de ikinci denklemi iki ile bölünce x + x = elde edilir ve hem bu hem birinci denklem doğru olama. Buradan anlaşılacağı gibi katsayı matrisinin sütunları doğrusal bağımlıysa parametre vektörüne bağlı olarak çöüm olabilir (ama tek değildir) ya da olmayabilir. İki bilinmeyenli durumdan öğrendiklerimi genel halde de geçerlidir. Genel bir n bilinmeyenli m denklemli sistem a x + a x + + a n x n = a x + a x + + a n x n = a 3 x + a 3 x + + a 3n x n = 3 olacaktır. Burada. a m x + a m x + + a mn x n = m a a. am. a n a a n a,, C. amn m a m a a. n n a mn.. m olmak üere = katsayı (m x n) matrisi, R m = parametre vektörü, C = genişletilmiş katsayı matrisidir. Dolayısı ile sistemi, x R n olmak üere x = olarak yaabiliri. Sistemin çömek demek vektörünü nın sütunlarının doğrusal bileşimi yapacak şekilde x i katsayıları bulmak demektir. Bunun olabilmesi için ile nın sütunlarının doğrusal bağımlı olması gerekir. Bunu da C matrisinin rankına bakarak anlıyoru. Eğer r(c) = r() ise vektörünü nın sütunlarına katmak rankı arttırmıyor, yani doğrusal bağımsı vektör sayısı aynı kalıyor, dolayısı ile C nin sütunları doğrusal bağımlıdır demektir. Yok eğer r(c) > r() ise çöüm yoktur. Teorem.. (m x n) katsayı matrisi, R m parametre vektörü, x R n olmak üere n bilinmeyenli, m denklemli doğrusal denklem sistemi x = verilsin. C, matrisine parametre vektörünü sonuncu sütun olarak ekleyerek elde edilen genişletilmiş katsayı matrisi olsun. Öyleyse,. r(c) > r() ise sistem tutarsıdır çöüm yoktur.. r(c) = r() ise çöüm vardır ve a) r(c) = r() = n ise çöüm tektir. b) r(c) = r() < n ise (n r()) değişkenin değeri keyfi olmak üere kalan r() değişkenin değeri parametrik olarak bulunur. Sonsu çöüm vardır. 3

4 Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0 Uyarı:. (m x n) bir matris olduğuna göre r() min(m, n) dir. Dolayısı r(c) = r() olduğunda m < n ise, yani denklem sayısı bilinmeyen sayısından a ise, çöüm tek olama. Eğer n m ise r() = n ve çöüm tek olabilir.. Eğer katsayı matrisi (n x n) kare bir matris ve r() = n ise C matrisini kurup rankına bakmanın gereği yoktur. C nin rankına parametre vektörü ile nın sütunlarının doğrusal bağımlı olup olmadığını görmek için bakıyoru. Eğer r() = n ise nın sütunları doğrusal bağımsıdır, R n in bir tabanını oluşturur ve dolayısı ile her R n bunlarla doğrusal bağımlıdır, yani r(c) = r() = n dir ve bu durumda tek bir çöüm vardır: x = - dir. - ters matrisi ise r() = n olan bir (n x n) matrisi için her aman vardır (Teorem.0). Eğer r() < n ise C matrisinin rankına bakıp sistemin çöümü olup olmadığını görmek gerekir. Örnek.0. i. x + x = x x = 0 x x = denklem sisteminde, C 0 dir. r() = ve detc = -5 olduğu için de r(c) = 3 olur. Dolayısı ile r(c) > r() dır ve sistemin çöümü yoktur. Gerçekten de ilk iki denklemi çöersek x = x = 0.5 çıkar ama bu değer son denklemi sağlama. Öte yandan son iki denklemi çöersek x = x = - olur ama bu değer de ilk denklemi sağlama. Bir denklem sisteminin tutarsı olmasının anlamı budur. ii. x + x = x x = 0 x x = - denklem sisteminde, C 0 dir. r() = = r(c) dir (detc = 0 olduğuna dikkat edini). Bilinmeyen sayısı da iki olduğuna göre denklemin tek bir çöümü vardır. Örneğin, ilk iki denklemden x = x = bulunur ve bu değerler son denklemi de sağlar. Son iki denklemden, ya da birinci ve üçüncü denklemlerden de x = x = bulunacağına dikkat edini. Dolayısı ile tek çöümü olan bir sistemde herhangi bir r() sayıda doğrusal bağımsı denklem alındığında aynı çöüm bulunur. iii. x + x + x 3 + x 4 = x + x - x 3 + x 4 = 0 x - x + x 3 - x 4 = 4

5 Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0 denklem sisteminde, C 0 dir. r() = 3 = r(c) dir ( matrisinin son üç sütunundan oluşan almatrisin determinantı sıfırdan farklıdır dolayısı ile nın üç doğrusal bağımsı sütunu vardır. R 3 de en fala üç vektör doğrusal bağımsı olduğuna göre C matrisinin de 3 doğrusal bağımsı sütunu vardır). Dolayısı ile sistem tutarlıdır ve çöüm vardır, ama r() < n = 4 (bilinmeyen sayısı) olduğu için tek değildir. r() = 3 bilinmeyeni diğer bilinmeyeni parametrie ederek çöebiliri. Bunun için üç doğrusal bağımsı denklem seçmek gerekir. nın son üç sütunu ve dolayısıyla satırı doğrusal bağımsı olduğuna göre x = α koyarak x + x 3 + x 4 = α x - x 3 + x 4 = -α - x + x 3 - x 4 = - α üç denklem ve bilinmeyenli parametrik denklem sistemi elde ederi. Bu sistemin katsayı matrisi tekil olmayan bir matristir o halde çöüm vardır ve tektir, yani her α değeri için tek bir çöüm vardır. iv. x + x = 0 x x = 0 denklem sisteminde dir ve det 0 olduğundan Teorem.0 uyarınca x = 0 ancak ve ancak x = 0 olacaktır. Böyle parametre vektörünün sıfır vektör olduğu sistemlere homojen denklem sistemi denir. Bu durumda C matrisini kurup rankına bakmanın anlamı yoktur, çünkü sıfır vektör her vektör gurubuyla doğrusal bağımlıdır. Katsayı matrisinin kare matris olduğu homojen denklem sistemlerinde önemli olan r() dır. Eğer r() = n ise tek çöüm vardır o da sıfır vektördür. Sistemin x 0 olacak şekilde sıfırdan farklı bir çöümü olabilmesi için det = 0, r() < n olmalıdır. Örneğin, x - x = 0 x x = 0 sisteminde katsayı matrisi tekildir. Sadece bir doğrusal bağımsı denklem vardır: x - x = 0. Bunun çöümü de x = x olan bütün vektörlerdir. Çöüm x = α(, ) dir. Yani dülemde orijinden ve (, ) noktasından (vektöründen) geçen doğru üerindeki her vektör çöümdür. v. x + x + x 3 = 0 x + x - x 3 = 0 x - x + x 3 = 0 5

6 Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0 homojen denklem sisteminde dir ve det = 0 dır. Dolayısı ile bu sistemin sıfırdan farklı bir çöümü vardır. r() = olduğuna göre iki doğrusal bağımsı denklem vardır (örneğin ilk iki denklem) ve bunları kullanarak değişkenlerden birini parametrie ederek çöümü buluru. Örneğin, x 3 = α koyarsak ilk iki denklemden x + x = -α x + x = α buradan da x = -α, x = α buluru. Dolayısı ile x = α(-,, ) vektörü her α için bu sistemi çöer. Burada doğrusal bağımsı herhangi iki denklemi aldığımıda aynı sonucu bulacağımıa dikkat edini. Bir-üç ve iki-üç denklemlerini kullanarak bunu göstermeyi okuyucuya bırakıyoru. vi. x + x + x 3 = x + x + x 3 = x - x + x 3 = 0 denklem sisteminde ve det 0 dır. r() = 3 dır ve sistemin tek bir çöümü vardır. Burada C matrisini kurup rankına bakmaya gerek yoktur. Çünkü C (3 x 4) bir matristir, r(c) 3 olmalıdır ve nın üç doğrusal bağımsı sütunu, R 3 de de en fala 3 doğrusal bağımsı vektör olduğuna göre r(c) = 3 olmalıdır. Dolayısı ile çöüm x = - dir. Bu örnekte - hesaplayıp çöümü bulmayı okuyucuya bırakıyoru. vii. x + x + x 3 = x + x + x 3 = 3x + 3x + x 3 = 0 denklem sisteminde ve det = 0, r() = dir. O halde C matrisinin rankına bakmak gerekiyor. r(c) = 3 dür (C nin son üç sütunundan oluşan determinant sıfırdan farklıdır). r(c) > r() olduğundan sistemin çöümü yoktur. 0 viii. x + x + x 3 = x + x + x 3 = 3 3x + 3x + x 3 = 5 6

7 Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0 denklem sisteminde ve det = 0, r() = dir. O halde C matrisinin rankına bakmak gerekiyor. r(c) = dir. r(c) = r() < n olduğundan bir değişkeni keyfi olarak belirleyip diğer ikisini çöebiliri. Burada ilk iki denklem doğrusal bağımsı olduğundan x 3 = α koyarak x + x = - α x + x = 3 α elde ederi. Yeni denklem sisteminin katsayı matrisinin,, tekil olmayan matris olduğuna dikkat edini. Dolayısı ile denklemin tek bir çöümü vardır ve bulunması alıştırma olarak bırakılmıştır. Şimdi, katsayı matrisi (n x n) kare matris olan bir denklem (n denklem ve n bilinmeyenli) sisteminin tek çöümü olması için nın tekil olmayan bir matris olması gerektiğini, yani det 0, olması gerektiğini gördük. Denklem sistemi x = ise çöüm x = - dir. Öte yandan - = (/det)eş dır. Bunun anlamını görmek için (3 x 3) bir sistem varsayalım. O halde Buradan da a a a3 3 a a a3, 3 ve det a3 a3 a x x x 3 x = (/det)( ) x = (/det)( ) x 3 = (/det)( ) det olur. a a3 elde edilir. Şimdi x çöümünde parante içindeki ifadenin B a a3 matrisinin 3 a3 a33 determinantı olduğuna dikkat edini. Bu matris matrisinin birinci sütununun vektörüyle değiştirilmiş halidir. Matrisin determinantını birinci sütun üerinden Laplace açılımı ile hesaplarsak detb = olur. Çünkü B matrisinin birinci sütun elemanlarının kofaktörleri birinci sütunun çıkarılması ile elde edilir ve bu sütun dışında ve B matrisleri aynıdır. Dolayısı ile nın ve B in birinci sütun elemanlarının kofaktörleri aynıdır. O halde x = detb /det olarak hesaplanabilir. Bener şekilde x = detb /det dır ve B, nın ikinci sütununun parametre vektörü ile değiştirilmesiyle elde edilir. nın üçüncü

8 Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0 sütununu parametre vektörü ile değiştirerek B 3 elde edilir ve x 3 = detb 3 /det olur. Burada yapılan işlem Cramer kuralı olarak bilinir. Teorem.. (n x n) tekil olmayan bir matris olmak üere x = denklem sisteminin çöümü Cramer kuralıyla x i = detb i /det olarak bulunur. Burada B i (n x n) matrisi katsayı matrisinin i inci sütununun parametre vektörü ile değiştirilmesiyle elde edilir. Cramer kuralı büyük boyutlu sistemlerde çok kullanışlı bir yöntem değildir, çünkü yüksek mertebeden bir çok determinant hesaplanmasını gerektirir. ma analitik iktisadi uygulamalarda önemli avantajlar sağlar. Örnek.. i. Örnek 0 (vi) de çöümünü okuyucuya bıraktığımı x + x + x 3 = x + x + x 3 = x - x + x 3 = 0 denklem sisteminde ve det = 6 dır. Burada B, B, B 3 ve detb =, detb =, detb 3 = olmaktadır. Dolayısı ile Cramer kuralıyla x = detb /det = /3; x = detb /det = /3, x 3 = detb 3 /det = 0 çöümü bulunur. ii. x + x = α x + x = parametrik denklem sisteminde ve det = dir. Burada B, B dır. detb = α -, detb = - α olduğundan Cramer kuralıyla det B det B x ve x olur. Çöümlerin α ve parametreleri det det cinsinden elde edildiğine dikkat edini. iii. Örnek 0 (viii) de çöümünü okuyucuya bıraktığımı 8

9 Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0 x + x = α x + x = 3 α parametrik denklem sisteminin çöümü de bir önceki örneği takip ederek det B det B 4 x ve x olarak bulunur. det 3 det 3 iv. Örnek 0 (iii) de elde edilen x + x 3 + x 4 = α x - x 3 + x 4 = -α - x + x 3 - x 4 = - α sistemini Cramer kuralıyla çöelim. Burada det = 3, B ve det B = 3( α), B ve detb = 3( α), é - aù B3 = - - a ve detb 3 = -3 olur. O halde x = detb /det = - α; x 3 = detb /det ê- - a ú ë û = - α, x 4 = detb 3 /det = - olur. (m x n) bir matris, x R n olmak üere x = 0 homojen denklem sisteminin x = 0 olmak üere bir çöümü her aman vardır. Sistemin x 0 bir çöümü olması için r() < min(m, n) olması gerektiğini gösterini. şağıdaki homojen sistemlerin çöümlerini bulunu: i. ax + x = 0 x + bx = 0 denkleminin a ve b nin hangi değerleri için sıfırdan farklı bir çöümü vardır ve çöüm nedir? ii. x + x + x 3 = 0 x - x + x 3 = 0 -x + x - x 3 = 0 iii. x - x + x 3 + x 4 = 0 x + x - x 3 + x 4 = 0 x + x + x 4 = 0 9

10 Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0 iv. ax + x + x 3 = 0 bx x 3 = 0 cx 3 = 0 sisteminin a, b ve c nin hangi değerleri için sıfırdan farklı bir çöümü vardır ve çöüm nedir? v. ax + x + x 3 = 0 bx x 3 = 0 x - cx 3 = 0 sisteminin a, b ve c nin hangi değerleri için sıfırdan farklı bir çöümü vardır ve çöüm nedir?. şağıdaki denklem sistemlerinin çöümü olup olmadığını belirleyini. Çöümü olan sistemleri Cramer kuralıyla çöünü. i. x + x + x 3 = 4 x x + x 3 = 0 -x + x + x 3 = 0. ii. x + x = α x x = 0. iii. x + x + x 3 x 4 = x x + x 3 = 0 -x + x x 3 = 0. iv. x + x + x 3 + x 4 = x x + x 3 x 4 = 0 -x + x x 3 + 3x 4 =. -x + x 3 x 4 + 3x 5 =. v. x + x + x 3 = x x + x 3 = 0 3x + x 3 =. 0