Ders 02. Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi. 2.1 Çözümler:Alıştırmalar 02. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1. Soru

Transkript

1 4

2 Bölüm 2 Ders 02 Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi 2. Çözümler:Alıştırmalar 02 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Soru 3 2 A = matrisi için aşağıda verilen satır işlemlerini yapınız: a) S S 2 : A a = 3 2 b) 2 S 2 S 2 : 3 2 A b =

3 6 BÖLÜM 2. DERS 02 c) 2S S : A c = ç) 2S + S 2 S 2 : A g = d) 2S 3 + S 2 S 2 : 3 2 A d = e) 2 S 2 + S S : 2. Soru A e = Aşağıdaki matrislerin indirgenmiş biçimlerini bulunuz. a) S 2S 2 S b) A = [ ] S 3 S 3. 3S 3 + S S [ 0 ] B = /3 2/

4 2.. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 02 7 c) 3 S 2 S 2, S 2 + S 3 S 3 S 2S 2 S C = Soru 3 Aşağıda verilen indirgenmiş ilaveli matrislerin her birine karşılık gelen denklem sistemini ve sistemin çözüm kümesini yazınız. a) A = [ ] b) x + 0y =-2 0x + y =3 B = [ ] 2 3 = {(-2,3)} c) x - 2y =-3 0x + 0y =0 C = [ ] 2 2 = {(2t 3, t) t R} x + 2y =2 0x + 0y =0 Çözüm: {(2 2t, t) t R} ç) G = =

5 8 BÖLÜM 2. DERS 02 x - 2y + 0z -3w =5 0x + 0y + z +3w =2 0x + 0y + 0z +0w =0 x = 2y + 3w + 5, y = s, w = t, st R için z = 2 3w Çözüm: {(2s + 3t + 5, s,2 3t, t) : s, t R} d) D = x - 0y + 0z =-2 0x + y + 0z =2 0x + 0y + z =0 Çözüm: S = {( 2,3,0)} e) E = x - 2y + 0z =-3 0x + 0y + z =5 0x + 0y + 0z =0 Çözüm: S = {(2t 3, t,5) : t R} f) 0 0 F = x + 0y =0 0x + y =0 0x + 0y + 0z = Çözüm: {S = φ} ; çözüm yok. g) G = [ ]

6 2.. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 02 9 x - 2y + 0z + 3w =-5 0x + 0y + z + 3w =2 Çözüm: {(2s + 3t 5, s,2 3t, t) : y = s, s, t R} 4. Soru 4 Aşağıdaki denklem sistemlerini ilaveli matris kullanarak çözünüz. Çözüm: Herbirinin katsayılar matrisini indirgenmiş biçemlerine sokarsak, çözümü kolay buluruz: a) 2S + S 2 S 2, 7 S 2 S 2, 4S 2 + S S x 4x 2 = 2 2x + x 2 = 3 Çözüm: x = 2, x 2 = b) [ 4 ] [ 0 ] 2 0 2x x 2 = 8 2x + x 2 = 8 Çözüm: x = 0, x 2 = 8 c) 2S 2 + S S, [ 0 ] S S, 2S S 2 S 2 3x + 2x 2 = 4 2x x 2 = 5 Çözüm: x = 2, x 2 = [ ] Soru 5 Aşağıdaki denklem sistemlerini Gauss-Jordan yok etme yöntemi ile çözünüz a) 2x 2x 2 + 4x 3 = 6 3x + 9x 2 2x 3 = 0 x + 5x 2 2x 3 = Çözüm : x = 2, x 2 = 3, x 3 =

7 20 BÖLÜM 2. DERS 02 b) Çözüm : 5x + 9x 2 + 4x 3 = 0 2x + x 2 + 5x 3 = 8 2x + 4x 2 + 2x 3 = 4 Ekli matrisi indirgeyelim: S 2S 3 S, S 2 S 3 S 2, 3 S 2 S 2, S 3 S S 3 S 2 + S 3 S 2 2 S 2 S 2 ( )S 2 + S S, ( )S 2 + S 3 S 3 2 S 3 S Buradan çözüm çıkar: x = 0, x 2 = 2, x 3 = 2 c) Çözüm : 2x 2x 2 4x 3 = 3x 5x 2 + 4x 3 = 3 x 2x 2 + 3x 3 = 2 Ekli matrisi indirgeyelim: S S 3 S, 3S + S 2 S 2, 3 S 2 S S 3 S S 3, 2S 2 + S 3 S 3

8 2.. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR S S2 S, S 2 + S 3 S 2, S 3 S 2 S 3, Buradan çözüm olmadığı görülür: Ç= {φ} d) Çözüm : S 3 S 3 2x 3x 2 + 4x 3 = 8 3x + 2x 2 7x 3 = x + x 2 + 3x 3 = x =.5, x 2 =, x 3 = 0.5 d) Çözüm : 2x x 2 3x 3 = x 2x 2 = {(2t +, t +, t), t R} e) Çözüm : 2x x 2 = 0 3x + 2x 2 = 0 x x 2 = Ç= {φ}. 6. Soru 6 Aşağıdaki denklem sistemlerini Gauss-Jordan yok etme yöntemi ile çözünüz. a) Çözüm: 4x 0x 2 + 2x 3 = 26 2x + 5x 2 x 3 = 5 6x 5x 2 + x 3 = 9 Çözüm : x = 0.2, x 2 = 0.5, x 3 = 0.3 b) Çözüm: x 2x 2 3x 3 3x 4 = 2 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 2x 5 = 5 3x 6x 2 + x 3 + x 4 + 2x 5 = 4 x + 2x 2 + 3x 3 + x 4 + x 5 = 3

9 22 BÖLÜM 2. DERS Ç= φ Soru 7 Aşağıdaki denklem sistemlerini, katsayılarının aynı olduğuna dikkat ederek çözünüz. a) 3x 2x 2 + 5x 3 = 2 2x x 2 3x 3 = 4x 2x 2 + 4x 3 = 2 Çözüm : x =, x 2 =, x 3 = Çözüm: x = , x 2 = ,Quadx 3 = 3,-2,5;2,-,-3;4,-2,4]; b) 3x 2x 2 + 5x 3 = 2 2x x 2 3x 3 = 3 4x 2x 2 + 4x 3 = 2 Çözüm : x =, x 2 =, x 3 = x = 0.8, x 2 = 2.2,Quadx 3 = 0.8 c) 3x 2x 2 + 5x 3 = 2 2x x 2 3x 3 = 4x 2x 2 + 4x 3 = 4 Çözüm : x =, x 2 =, x 3 = Çözüm: x = 6.2, x 2 = 0.8,Quadx 3 = 0.2 Bu üç denklem istemin katsayıları aynı ama ikinci tarfaları farklıdır. İkinci tarafları birer sütun halinde katsayılar matrisine ekleyelim ve elde edilen matrisi indirgeyelim: /0 62/ /0 08/ /00 2/ /5 3/ /50 54/ /25 /5

10 2.. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR Sırasıyla denklem çözümleri S = {8, 2,)} S 2 = {( 2 5, 5, 68 5 )},S 3 = {( 3 5, 54 5, 5 )} Çözüm : x =, x 2 =, x 3 = 8. Soru 8 Bir taşıma şirketi, toplam 250 ton kapasiteli bir filoya sahip olmak için 24 adet kamyon satın almak istiyor. Alınması düşünülen kamyonlar, 6, 8 ve 8 tonluk üç farklı modelden oluşmaktadır. Bu modellerden her birinden kaç adet kamyon alınması uygun olur? Şirket kamyonlardan 9 adedini 8 tonluk modellerden alarak bu işlemi gerçekleştirebilir mi? x + y + z = 24 6x + 8y + 8z = 250 Çözüm: Denklm sayısı bilinmeyen sayısından az. Birden çok çözüm var: x =, y = 7, z = 6 ya dax = 6, y =, z = 7 ya da x =, y = 5, z = 8 9. Bir hava yolu şirketi, toplam 960 yolcu kapasiteli bir filoya sahip olmak için 30 adet uçak satın alacaktır. Alınması düşünülen uçaklar, 8, 24 ve 42 yolcu kapasiteli üç farklı modelden oluşmaktadır. Bu modellerden her birinden kaç adet uçak alınması uygun olur? Çözüm: x + y + z = 30 8x + 24y + 42z = 960 x = 8, y = 6, z = 6 0. Karışık meyve suyu pazarlayan bir firma elindeki 8000 lt elma, 6500 lt şeftali ve 3500 lt kaysı suyundan elma-şeftali, şeftali-kaysı ve elma-kaysı karışımı yapıp piyasaya sürmek istiyor. Elma-şeftali karışımının yarısı elma, yarısı şeftali suyu; şeftali-kaysı karışımının dörtte üçü şeftali, dörtte biri kaysı suyu ve elma-kaysı karışımının dörtte üçü elma, dörtte biri kaysı suyu olacağına göre firma elindeki stokun tamamını kullanarak her tür karışımdan kaçar litre üretmelidir? Çözüm: litre karışımdaki elma miktarını e, şeftali miktarını s, kayısı miktarını k ile gösterelim. kısalığı sağlamal için elma + şeştali karışımını eş, elma + kayısı karışımım ek ve şeftali kayısı karışımını şk ile gösterelim. eş içinde 2e ve 2s vardır. ek içinde 3e ve k/4 vardır. şk içinde 3s ve k/4 vardır. Bunları toplarsak, bütün karışımda 5e,5s ve k/2 vardır. O halde 5e + 5s + k 2 = 8000 litredir. Kayısı karışımının litresinde 4 litre kayısı vardır. Toplam kayısı 3500 lt olduğuna göre kayısı içeren litrelerin (ek + sk) sayısı 3500 = 4000 dir. Buradan eş=4000 çıkar. Kayısı içerenlerin sayısı değişmeyeceğine göre eş için Tablo 2. geçerlidir. 4 Sınama yanılma yöntemiyle, bu koşulları sağlayan tamsayı çözüm eş=4000 lt, ek= 8000 lt, şk=6000 lt olarak bulunur.

11 24 BÖLÜM 2. DERS 02 Karışımdaki toplam kayısı miktarı Karışımdaki toplam elma miktarı Karışımdaki toplam şeftali miktarı = 3500 lt. = 6500 lt. = 3500 lt Tablo 2.: Karışımlar. Soru Şekil 2.: Trafik Ağı Büyük bir şehrin merkezinde dört adet tek-yön caddeden oluşan bir yol ağındaki trafik akışı, Şekil 2. de verilmiştir. Her bir caddenin ucunda ve sonundaki sayılar, o caddeye bir saatte giren ve çıkan araç sayısını göstermektedir. x, x 2, X 3, x 4 değişkenlerinden her biri, işaretlendikleri cadde boyunca ok yönündeki kavşağa doğru bir saatte giden araç sayısını göstermektedir. Düzgün bir trafik akışında, bir saat boyunca bir kavşağa giren araç sayısı, o kavşaktan çıkan araç sayısına eşit olur. a) Düzgün bir trafik akışında sağlanması gereken doğrusal denklem sistemini bulunuz. b) Önceki şıkta bulduğunuz denklem sistemini çözünüz. c) Menekşe-Manolya kavşağından Manolya Caddesi boyunca Manolya-Akasya kavşağına saatte en çok kaç araç gidebilir? En az kaç araç gidebilir? d) Trafik ışıkları, Menekşe-Manolya kavşağından Manolya-Akasya kavşağına saatte 300 araç gidecek şekilde ayarlanmışsa, her bir kavşaktan her bir yönde saatte kaç araç gittiğini belirleyiniz. Çözüm: (a) Her kavşak için giren ve çıkan araç sayıları eşitlenerek; x + x 2 = 00 x 2 + x 3 = 200 x 3 + x 4 = 300 x + x 4 = 200

12 2.. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR ya da matris işlemlerini kolaylaştırmak için satırların yerlerini değiştirerek yzabiliriz. x + x 2 = 00 x 2 + x 3 = 200 x 3 + x 4 = 300 x + x 4 = 200 b) Bu sistemin ekli katsayılar matrisi üzerinde ( )S +S 2 S 2, ( )S +S 2 S 3, ( )S 3 + S 4 S 4 işlemleri yapılırsa; o 0 x + x 4 = 200 x 2 x 4 = 00 x 3 + x 4 = 200 çıkar. x, x 2, x 3 bağımlı, x 4 bğımsız değişkendir. Buna göre Çözüm: {(200 t, t 3,3 t, t), t 0, t R} olur. c) Menekşe-Manolya kavşağından Manolya Caddesi boyunca Manolya-Akasya kavşağına saatte en çok x = 200 araç gidebilir? En az araç sayısı x = 0 olmalıdır. d) Genel çözümde t = 300 için x = 900, x 2 = 200, x 3 = 000, x 4 = 300 her bir yöne satte geçen araç sayısı olur.

13 58 BÖLÜM 2. DERS 02