Newtoniyen olmayan bir akışkanın iki paralel levha arasındaki akışına viskoz ısınmanın etkisi

Transkript

1 itüdergisi/d mühendislik Cilt:3, Sayı:1, 15-1 Şubat 4 Newtniyen lmayan bir akışkanın iki paralel levha arasındaki akışına viskz ısınmanın etkisi Muharrem İMAL *, Ahmet PINARBAŞI Çukurva Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü, 133, Balcalı, Adana Özet Bu çalışma, bir kanal içerisinde basınç gradyeni altındaki newtniyen lmayan bir akışkanın kararlı, iztermal lmayan basınç etkisi altındaki akışının basınç gradyeni - debi ilişkisini viskz ısınma etkisini de hesaba katarak incelemektedir. Akışkanın viskzitesi hem sıcaklığa hem de kayma ranına bağlıdır. Akışkanın newtniyen lmayan davranışı Carreau relji bağıntıları ile mdellenmiştir. Akış mdelinin birbirine bağımlı hareket ve enerji denge denklemleri, lineer lmayan sınır değer prblemi larak elde edilmiş ve prblem Chebyshev plinmlarını esas alan pseudspectral mett kullanılarak ardışık nktalar metdu ile çözülmüştür. Aktivasyn enerji parametresi, Brinkman sayısı ve diğer parametrelerin akış üzerindeki etkisi incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Brinkman sayısı,iztermal lmayan akış, newtniyen lmayan akışkan. Nnistermal flw f a nn-newtnian fluid with viscus heating between tw parallel plates Abstract In this study the pressure gradient-flw rate relatinship fr steady-state nnisthermal pressure-driven flw f a nn-newtnian fluid in a channel is investigated including the effect f viscus heating is taken int accunt. The viscsity f the fluid depends n bth temperature and shear-rate. Expnential dependence f viscsity n temperature is mdelled thrugh Arrhenius law. Nn-Newtnian behaviur f the fluid is mdelled accrding t the Carreau rhelgical equatin, which reflects the characteristics f mst plymers adequately with an expnential temperature dependence f viscsity. Flw gverning mtin and energy balance equatins are cupled and the slutin f this nn-linear bundary value prblem is fund iteratively using a pseudspectral methd based n Chebyshev plynmials. The effect f activatin energy parameter and Brinkman number, as well as the pwer-law index and material time cnstant n the flw is studied. It is fund that while the pressure gradient-flw rate graph is mntnic fr certain ranges f flw cntrlling parameters, there is a large jump in the graph under certain values f these parameters. Keywrds: Brinkman number, nn-newtnian fluid, nnistermal channel flw. * Yazışmaların yapılacağı yazar: Muharrem İMAL. muharrem_imal@htmail.cm; Tel: (344) Makale metni..3 tarihinde dergiye ulaşmış,.1.4 tarihinde basım kararı alınmıştır. Makale ile ilgili tartışmalar tarihine kadar dergiye gönderilmelidir.

2 M. İmal, A. Pınarbaşı Giriş Bru ve kanallardaki akışa pek çk mühendislik ve endüstriyel uygulamalarda sıkça rastlanmaktadır. Pek çk çalışmanın knusu lan düzlem piseuille akış, sabit iki snsuz paralel levha arasındaki kayma akışıdır. Önceki çalışmalar iztermal akış üzerinde yğunlaşmış, iztermal lmayan viskz akış prblemine dikkat çeken çalışmalar da literatürde yer almıştır. Pearsn ve diğerleri (1973) ve Pearsn (1976), Newtniyen akışkanın düz kanal içerisindeki ısı iletimi prblemini sayısal yöntemler kullanarak çalışmışlar ve kararsız akış rejimlerinde parametrelerin aldıkları değerleri belirlemişlerdir.daha snraki çalışmada iztermal lmayan akışın karakteristikleri üzerinde ısı iletimi ve dissipatif ısıtmanın etkisini araştırmışlardır (Pearsn, 1978). Davis ve Kriegsmann (1983), sıcaklığa bağlı viskziteye ve viskz ısı üretimine sahip lan sıvı maddelerin sürekli paralel akış mdeli knusunda çalışmışlar ve kayma gerilmesikayma ranı karakteristiklerini göstererek aktivasyn enerji parametresinin snuçları etkilediğini belirlemişlerdir. Ayrıca kayma gerilmesikayma ranı eğrilerinin her ikisinin de ya mntn lduğunu yada kayma ranı ve cidar üzerindeki ısı iletimi değerlerinde büyük sıçramalar lduğunu gözlemlemişlerdir. Skuls kiy ve diğerleri (1999), terik ve deneysel çalışmalarından newtniyen lmayan bir akışkanın silindirik bir kanal içerisinde iztermal lmayan sürekli akış mdeli için basınç düşümü - debi ilişkisini araştırmışlardır. Akışkan özelliklerini viskzitenin ekspnansiyel bağımlılığını götseren üstel bağıntı (pwer-law) ile tanımlamışlar. Basınç düşümü - debi grafiğinin küçük basınç dalgalanmalarında keskin değişimler gösterdiğini ve bunun plimer işlemede rtaya çıkan kararsız rejimleri luşturan temel etmen lduğunu belirlemişlerdir. Sabit, paralel iki levha arasında Newtniyen lmayan bir akışkanın hareketine viskz ısınmanın etkisi daha önce hiç araştırılmadığından bu çalışma, viskz ısınma etkisini dikkate alarak iki paralel levha arasındaki Newtniyen lmayan akışkanın sabit basınç gradyeni etkisindeki kararlı, iztermal lmayan akışında basınç gradyeni - debi ilişkisini araştırmaktadır. Akışkan, bir çk plimer esaslı malzemenin karakteristiklerini ve viskzitenin sıcaklık ile ekspnansiyel ilişkisini gösteren Carreau akışkanı larak mdellenmiştir (Bird vd., 1987). Akış mdelini veren birbirine bağımlı mmentum ve enerji denge denklemleri lineer lmayan sınır değer prblemi larak Chebyshev plinmlarının kullanıldığı pseudspectral mett ile sayısal larak çözülmüştür. Aktivasyn enerji parametresi β, Brinkman sayısı Br, Üstel bağıntı indeksi n, ve malzeme zaman sabiti λ gibi çeşitli akış kntrl parametrelerinin basınç gradyeni - debi eğrisi üzerindeki etkileri analiz edilmiştir. Materyal ve metd Temel denklemler Bu çalışmada iki snsuz paralel levha arasındaki sıkıştırılamaz ve Newtniyen lmayan akışkanın iki byutlu, iztermal lmayan, piseuille akış mdeli ele alınmaktadır. Kanalın üst ve alt cidarları arasındaki mesafe l dir ve krdinat eksenleri alt cidar üzerine yerleştirilmiştir. Kanal cidarlarının her ikisi de sabit T sıcaklığında bulunmaktadır. Akış kanalın merkez ekseni byunca etki eden sabit basınç gradyeni tarafından luşturulmaktadır. Akışkanın viskzitesi yerel sıcaklığa ve kayma ranına bağlıdır. Elastik lmayan akışkan iki parametreli Carreau relji denklemi ile mdellenmiştir. Arrhenius yasası ile de akışkanın sıcaklığa bağımlılığı mdellenmiştir. Mmentum ve enerji denge denklemleri byutsuzlaştırıldığında aşağıdaki şekli almaktadır. dp dx ve, = d θ + dy d dy e n 1 du du 1 + λ (1) dy dy β θ θ + 1 βθ n 1 θ+ 1 ( Br) e 1+ λ = du dy du dy ()

3 İki paralel levha arasındaki akış prblemin sınır kşulları ise, u( ) = u( 1 ) = θ ( ) = θ ( 1 ) = (3) şeklini almaktadır. Yukarıdaki lineer lmayan temel denklemler, u,v u, v=, U T T = θ, T x, y, x, y =, l µ µ =, (4a) µ p l p = µ U (4b) eşitlikleri kullanılarak byutsuz hale getirilmiştir. Parametreler üzerindeki çizgi byutsuz büyüklükleri göstermektedir. Bu denklemlerde x akış yönünü, y düzlemin nrmalini, u cidarlara paralel hızı, P basıncı, β byutsuz aktivasyn enerji parametresini, θ byutsuz sıcaklığı, λ malzeme zaman sabitini, n pwer-law indeksini, U rtalama hızı, µ referans sıcaklığı T ' daki viskziteyi ve Br, Br µ U = kt (5) ifadesiyle verilen Brinkman sayısını vermektedir. Burada k ısı iletkenliğini tanımlamakta lup bu çalışmada ısı iletkenliği sabit kabul edilmiştir. Çözüm metdu Yukarıda adı geçen lineer lmayan sınır değer prblemi, Chebyshev plinmlarını esas alan pseudspectral mett kullanılarak sayısal yöntemlerle çözülmüştür. Bu mett kullanılarak öncelikle y 1 fiziksel bölgesi -1 Y 1 Chebyshev sanal bölgesine dönüştürülür. Bağımlı parametreler u ve θ, T n (cs θ) = cs ( nθ) eşitliği ile tanımlanan birinci tip T n (Y) Chebyshev plinmları serisine açılarak Y cinsinden yazılır. N u(y) = a T (Y), θ(y) = b T (Y) (6) n n n= n= N n n Bu metdun detayları Pınarbaşı () tarafından ayrıntılı larak verilmiştir. Böylelikle birbirine bağımlı lan mmentum ve enerji denklemlerinden elde edilen lineer lmayan denklemler iterasyn metdu kullanılarak IMSL Frtran Library (3) yazılımı ile çözülmüştür. Snuçlar ve tartışma Davis ve Kriegsmann (1983), aktivasyn enerji parametresinin akış davranışına etki ettiğini göstermiştir. Bu nktada akış davranışını etkileyen ve araştırılması gereken dört parametre vardır. Bunlar sıcaklıktaki değişmelere göre viskzitenin duyarlılığını ölçen byutsuz aktivasyn enerji parametresi β, viskz ısınmanın şiddetini ölçen Brinkman sayısı Br, kayma incelmesinin derecesini gösteren üstel bağıntı indeksi n ve kayma incelmesinin başlangıcını gösteren λ parametreleridir. Davis ve Kriegsmann (1983), β nın yeterince küçük değerleri için basınç gradyeni - debi eğrisinin mntnlaştığını, β nın değeri artarken eğrinin büyük bir sıçrama yaptığını açıkladılar. Tabl 1 de Br = 1 için uygulanan basınç gradyeninin mutlak değeri ( G = dp/dx ) ile debi arasındaki değişim gösterilmiştir. Görüleceği gibi, β = 1 için basınç gradyeninin artışı ile debinin artışı mntndur. Ancak β=5 için G =1. den G =1.3 e yükselirken Q=.75 den Q=.886 ya ani bir sıçrama yapmaktadır. β değeri yükselirken debi değerindeki sıçrama dikkat çekicidir. β=7 lduğu zaman G =.7 den G =.8 e çıkarken Q=.665 değerinden Q=38.13 değerine aniden bir sıçrama yapmaktadır. Bu snuç Davis ve Kriegsmann (1983) te verilen çalışmanın snuçları ile tamamen uyumludur. Bu snuçlardan viskzitesi sıcaklığın artışından etkilenmeyen akışkanlarda, uygulanan basınç gradyeni değerlerinin artmasıyla debi değerlerinde büyük sıçramalar luşmayacağı anlaşılır. Yüksek β değerleri için debi değerlerinde görülen sıçramaların nedeni cidarlara geçen tplam ısı iletimindeki azalmanın akışkan viskzitesinin düşmesine yl açmasıdır. Şekil 1 de Br=5 ve G=-1. sabit alınarak byutsuz aktivasyn enerji parametresinin değişik

4 M. İmal, A. Pınarbaşı değerleri için byutsuz hız eğrileri görülmektedir. Şekil 1a da β=1 ve β=5 değerleri için debi değerlerinde henüz bir sıçrama lmamıştır (Tabl 1 e bakınız.) ve bu nedenle hız değerleri hala çk küçüktür. Ancak β=7 için debi değerlerindeki sıçrama nedeniyle hız değerleri çk yükselir. Sıvıların viskzitesi sıcaklık ile ters rantılıdır, sıcaklık yükselirken viskzite azalır. Bu yüzden β sıvıların sıcaklığa karşı duyarlılığını gösterdiği için β değerlerindeki artış viskzitedeki azalmaya neden lur. β değerleri artarken sıvının viskzitesi azalacağı için byutsuz hız prfili de yüksek değerler alır. Hız prfili eğrilerinin rtadan geçen eksene göre simetrik ldukları ve eğriler üzerinde bulunan karşılıklı iki nktanın simetrik knumda bulunduğu Şekil 1 de açıkça görülmektedir. Tabl 1. Byutsuz aktivasyn enerji parametresinin değişik değerlerinde uygulanan basınç gradyeninin mutlak değerinin debi değerleri ile değişimi, Br = 1 G Q Debi (=1 (=5 (= Şekil de Br = 1 sabit alınarak değişik β değerlerinde byutsuz debi ile byutsuz basınç gradyeninin değişimi gösterilmektedir. Bu şekil Tabl 1 deki değerler kullanılarak çizilmiştir. β=1 iken karakteristik eğri mntndur ve debi değerlerinde sıçrama yktur. Uygulanan basınç gradyeninin artmasıyla debi değerlerinin de mntn larak arttığı gözlemlenmektedir. Ancak β=5 ve β=7 lduğu zaman debi değeri belirli bir kritik değer alıncaya kadar düzgün bir şekilde artmakta ve Tabl 1 de görüldüğü gibi basınç gradyeni daha da arttıkça debi değerlerinde büyük sıçramalar lmaktadır. Bundan snra bu iki değer birlikte düzgün larak artmakta ve bu durum Davis ve Kriegsmann (1983) nin snuçları ile kalitatif larak tam bir uyum göstermektedir. y y u β=1 β = 5 (a) u β= 7 (b) Şekil 1. Byutsuz aktivasyn enerji parametresi β nın değişik değerlerinde byutsuz hız prfillerinin değişimi. Diğer parametreler Br=5, G=-1.

5 İki paralel levha arasındaki akış Şekil 3 te β=5 sabit değeri için basınç gradyenidebi grafiği üzerinde Brinkman sayısının etkisini göstermektedir. Bu grafikteki değişim Şekil deki grafik ile benzerdir. Uygulanan basınç gradyeni değerlerinin artmasıyla debi değerleri kritik bir nktaya ulaşılıncaya kadar düzgün şekilde artmakta snra bu debi değerinde büyük bir sıçrama lmaktadır. En snunda bu iki değer birlikte düzgün larak artmaya devam etmektedir. Ancak Br değeri artarken eğrinin mntn larak yükselmeye devam ettiğini görmekteyiz lg G lg Q β=1 β=5 β=7 Şekil. Aktivasyn Enerjisi parametresi β nın değişik değerlerinde byutsuz debi ile byutsuz basınç gradyeninin değişimi, Br = 1.4. lg G lg Q Br = 5 Br = 1 Br = 5 Şekil 3. β = 5 iken değişik Br değerlerinde byutsuz debi ile byutsuz basınç gradyeninin değişimi

6 M. İmal, A. Pınarbaşı Br=5, β=5 ve λ=3 değerleri sabit alınarak üstel bağıntı indeksinin uygulanan basınç gradyenidebi eğrisi üzerindeki etkisi Şekil 4 te gösterilmektedir. n=1 durumunun Newtniyen akışkana karşılık geldiği vurgulanmalıdır. Üç eğri benzer karakteristik göstermektedir. Yani uygulanan basınç gradyeninin artmasıyla debi değerleri de düzgün bir şekilde artmaktadır. Bir nktadan snra debi değerinde büyük bir sıçrama lmakta ve en snunda bu iki değer yine düzgün bir şekilde artmaya devam etmektedir. Ancak n azalırken sıçrama daha küçük basınç gradyeni değerlerinde gerçekleşmekte ve sıçramanın şiddeti Şekil 4 te görüldüğü gibi artmaktadır. Şekil ve Şekil 3, Şekil 4 ile karşılaştırıldığı zaman hem Newtniyen akışkanlarda hem de Newtniyen lmayan akışkanlarda basıncın artmasıyla debinin de arttığı görülmektedir. Ancak Newtniyen lmayan akışkanlarda, basınç gradyeninin daha küçük değerlerinde (n azalırken) kayma incelmesinin derecesi artarken sıçrama meydana gelmektedir. Şekil 5, β = 5, Br = 5 ve n =.75 iken malzeme zaman sabiti λ nın basınç gradyeni-debi eğrisi üzerindeki etkisini gösterir. Değişik λ değerlerinde eğrilerin davranışı Şekil, Şekil 3, ve Şekil 4 te görüldüğü gibi aynıdır. Ancak λ nın eğri üzerindeki etkisi diğer akış kntrl parametrelerine kıyasla daha az belirgindir. Bu çalışmada, Newtniyen lmayan bir akışkanın bir kanal içerisinde kararlı, iztermal lmayan, sabit basınç gradyeni etkisindeki sürekli akışı araştırılmıştır. Yapısal bağıntı larak Carreau reljik mdeli ile sıcaklık prfilinin etkisini içeren Arrhenius mdeli kullanılmıştır. Chebyshev plinmlarını esas alan pseudspectral mett kullanılarak temel bağıntılar lineer lmayan denklemleri çözen yazılımlar ile ardışık nktalar metdu kullanılarak çözülmüştür. Malzeme zaman sabiti λ, ya kıyasla Aktivasyn enerji parametresi β, Brinkman sayısı Br ve Üstel bağıntı indeksi n gibi çeşitli akış kntrl parametrelerinin basınç gradyeni debi eğrisi üzerinde daha etkili lduğu gösterilmiştir. Bu kntrl parametrelerinin belli değer aralıklarında basınç gradyeni debi eğrisi mntndur. Diğer taraftan uygulanan basınç gradyeninin artmasıyla debi hızla yükselmekte ve belli bir değerden snra sıçrama yapmaktadır. Daha snra bu iki değer akış kntrl parametrelerinin belli değerlerinden snra birlikte yükselmektedir. Bu sıçramalar, cidarlara geçen indirgenmiş tplam ısı iletimi nedeniyle akışkan viskzitesinin azalmasından kaynaklanmaktadır. Bu çalışmada elde edilen snuçlar mühendislik uygulamalarında karşılaşılan viskz ısınma etkisinin önemini değerlendirmek için bir kriter larak kullanılabilir..4. lg G lg Q n=1 n=.75 n=.5 Şekil 4. β = 5, Br = 5, λ = 3 iken değişik Pwer law indeksi değerleri için byutsuz debi ile byutsuz basınç gradyeninin değişimi

7 İki paralel levha arasındaki akış.4. lg G lg Q λ=3 λ=7 Şekil 5. β=5, Br=5, n =.75 malzeme zaman sabiti λ nın değişik değerlerinde byutsuz debi ile byutsuz basınç gradyeninin değişimi Sembller Br k l n P Q T U :Brinkman Sayısı :Isı iletim katsayısı :Kanal genişliği :Pwer law indeksi :Basınç :Debi :Sıcaklık :Ortalama hız :Akış yönündeki hız :Sıcaklık :Aktivasyn enerji parametresi :Byutsuz sıcaklık u T β θ µ :Akışkanın viskzitesi λ :Malzeme zaman sabiti Kaynaklar Bird, R. B., Armstrng, R. C. ve Hassager, O., (1987). Dynamics f Plymeric Liquids: fluid mechanics, 1, Wiley, New Yrk. Davis, S. H. ve Kriegsmann, G. A., (1983). Physics f Fluids., 6, Pearsn, J. R. A., Shan, L. T. ve Viera, E. S. A., (1973). Chemical Engineering Science., 11, 79. Pearsn, J. R. A., (1976). Annual Review f Fluid Mechanics., 8, 163. Pearsn, J. R. A., (1978). Plymer Engineering Science., 18,. Pinarbasi, A., (). Cmputatinal Fluids, 9, 935. Skul skiy, O. I., Slavnv, Ye.V. ve Shakirv, N. V. J., (1999). Jurnal f Nn-Newtnian Fluid Mechanics., 81, 17. IMSL Frtran Library, (3). Visual Numerics Inc. San Ramn, Ca, USA. Imal, M., Pınarbası, A., (). Internatinal Cmmunicatin f Heat and Mass Transfer, 9, 8,