DEĞİŞİK GEOMETRİLERDEKİ LAMİNER AKIŞ ALANLARININ KOORDİNAT DÖNÜŞÜMÜ İLE HESAPLANMASI

Transkript

1 Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 13, ayı 1, 008 DEĞİŞİK GEOMETRİLERDEKİ LAMİNER AKIŞ ALANLARININ KOORDİNAT DÖNÜŞÜMÜ İLE HEAPLANMAI Yücel ÖZMEN Ertan BAYDAR Özet: Bu çalışmada, eğik ve eğrisel yüzeyler üzerinden laminer akış alanları sayısal larak incelenmiştir. Fiziksel alandan hesap alanına krdinat transfrmasynu gerçekleştirilerek, eğrisel yüzey üzerinden akış, yayıcı ve dairesel dirsek içinden akış alanları farklı Reynlds sayılarında değişik sınır şartları için çözülmüştür. Bu çözümlerden hız alanları ve ters akış bölgelerinin uzunlukları hesaplanmıştır. Artan Reynlds sayısı ile birlikte ters akış bölgesi byutlarının arttığı, artan eğim açısı ile akış ayrılmasının daha küçük Reynlds sayılarında gerçekleştiği görülmüştür. Anahtar Kelimeler: Laminer akış, Krdinat transfrmasynu, Eğik yüzey, Eğrisel yüzey, Ters akış bölgesi. Predictin f Laminar Flw Fields at Varius Gemetries with Crdinate Transfrmatin Abstract: In this study, laminar flw fields ver slanted and curved surfaces have been investigated numerically. Flw in diffusers with different slpe angles, flw ver a circular surface and flw in a circular bend have been slved fr different bundary cnditins, and different Reynlds numbers, perfrming crdinate transfrmatin frm physical dmain t cmputatinal dmain. Frm these slutins, the velcity fields and the reverse flw regin lengths have been predicted. It was seen that the dimensins f the reverse flw regin have increased with increasing Reynlds numbers, and flw separatin ccurs at small Reynlds numbers fr increasing slpe angle. Key Wrds: Laminar flw, Crdinate transfrmatin, lanted surface, Curved surface, Reverse flw regin. 1. GİRİŞ Bir akışkan, hareketi sırasında büyük ölçüde katı yüzeylerle temas halindedir. Bu yüzeyler, bir bru veya kanal gibi düz, bir yayıcı gibi eğik, ya da bir uçak kanadı veya dirsek gibi eğrisel gemetride labilirler. Yüzey eğriliği akış alanında büyük değişimler meydana getirmektedir. Yüzeyin eğikliği veya eğriliğine bağlı larak, akış byunca pzitif basınç gradyentinin meydana geldiği bölgelerde e- nerji kaybı nedeniyle akış yüzeyden ayrılmakta ve akış alanında ters akış bölgeleri luşmaktadır. Bu tür yüzeyler üzerindeki akış alanlarının incelenmesi, çeşitli araç ve yapıların tasarımında dayanıklılık, estetik ve eknmiklik açısından büyük önem taşımaktadır. Akışkanlar mekaniği ile ilgili prblemlerin sayısal çözümünde, eğik veya eğrisel yüzeylere sahip gemetriler için gemetriye uyumlu krdinat sisteminin kullanılması daha uygun lmaktadır. Bu tür gemetriler için kartezyen krdinatlardan eğrisel krdinatlara yapılan transfrmasyn snucunda, hareket denklemleri içinde transfrmasynla ilgili ilave terimler yer almaktadır. Krdinat transfrmasynu ve hesap ağı üretim teknikleri, akışkanlar mekaniği ile ilgili karmaşık ve değişik gemetrideki prblemlerin sayısal larak çözülmesinde önemli ilerlemeler sağlamıştır Andersn ve diğ., (1984); Fletcher, (1990); Hffmann, (1989). Kmpleks cisimler etrafındaki akış alanları için cisim sınırları ile uyumlu eğrisel bir krdinat sistemini nümerik larak luşturan bir yöntem Thmpsn ve diğ. (1974) tarafından geliştirilmiştir. Ortgnal lmayan ağ düzeninde kartezyen krdinatlardan eğrisel krdinatlara transfrmasynla ilgili bazı çalışmalar Maliska ve Raithby (1984), mith ve diğ. (1993) ve Liu ve diğ. (1994), rtgnal Karadeniz Teknik Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, 61080, Trabzn. 105

2 Özmen, Y. ve Baydar, E.: Laminer Akış Alanlarının Krdinat Dönüşümü İle Hesaplanması ağ düzeninde transfrmasynla ilgili bir kısım çalışma da Mbley ve tewart (1980) ve Hdge ve diğ. (1978) tarafından gerçekleştirilmiştir. Karki ve Patankar (1988), sıkıştırılamaz viskz akışkanlar için rtgnal lmayan bir krdinat sisteminde genel bir hesaplama yöntemi geliştirerek karmaşık akış alanlarının çözümüne uygulamışlardır. Chiu ve Wu (1990), çk byutlu nümerik çözümler için bir algritma geliştirerek eksenel simetrik, iki byutlu, zaman bağımlı silindir içindeki akışı rtgnal lmayan eğrisel krdinatlarda cebrik yöntemle ağ üreterek hesaplamışlardır. hyy ve diğ. (1985), gemetri uyumlu bir krdinat sistemi kullanarak, iki byutlu sıkıştırılamaz ters akış bölgeli prblemler için bir snlu fark algritması geliştirmişlerdir. Kartezyen krdinatlar için geliştirilmiş IMPLE çözüm algritmasını eğrisel krdinatlara uygulayarak, ağ dağılımının çözüm kararlılığı üzerinde etkili lduğunu belirlemişlerdir. Ge ve tirpuls (007), eğrisel krdinat sistemini kullanarak karmaşık gemetrilerdeki akış alanlarında, üç byutlu sıkıştırılamaz Navier-tkes denklemlerini çözmek üzere nümerik bir mett geliştirmişlerdir. Gemetriye uyumlu eğrisel krdinat sisteminin kullanıldığı ve snlu fark yaklaşımının esas alındığı bir diğer çalışma da Baghlani ve diğ. (008) tarafından gerçekleştirilmiştir. Eğrisel kanallarda laminer ve türbülanslı akışlar için bir kısım deneysel çalışma Taylr ve diğ. (198), Mri ve diğ. (1971), Hille ve diğ. (1985) ve ha ve diğ. (003) tarafından yapılmıştır. Bu çalışmalarda hız ölçümleri yapılarak ikincil akışların etkileri incelenmiştir. Humphrey ve diğ. (1977), kare kesitli eğrisel bir kanaldaki laminer akışı deneysel larak incelemişlerdir. Cheng ve diğ. (1976), eğrisel dikdörtgen kesitli kanallarda sürekli sıkıştırılamaz tam gelişmiş laminer akış alanlarını eğrilik ranı etkisini de dikkate alarak sayısal larak çözmüşlerdir. Eğrilik ranına bağlı larak yüksek Reynlds sayılarında ikincil akışların rtaya çıktığını belirlemişlerdir.. MATEMATİKEL FORMÜLAYON Viskz akış prblemlerinin çözümünde kullanılan Navier-tkes denklemleri, ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemlerdir. Çk sınırlı uygulamalar dışında, bu denklemlerin tam çözümleri elde edilememektedir. Bu nedenle, çeşitli akış prblemleri için sayısal yöntemler ile yaklaşık çözümler bulunabilmektedir..1. Hareket Denklemleri ıkıştırılamayan bir akışkanın iki byutlu, laminer, sürekli hareketi, P u u ρ u ρv = µ (1) v v P v v ρ u ρv = µ () şeklindeki Navier-tkes denklemleri ile ifade edilmektedir. üreklilik denklemi ise; ( u) () v = 0 (3) şeklindedir. Mmentum denklemleri (1, ) daha genel bir frmda (4) ( u ) ( v ) = Γ Γ R( x, y) larak yazılmaktadır. Denklemin sl tarafı knvektif akıyı, sağ tarafı difüzif akıyı göstermektedir. Denklemde, bağımlı değişken ( u veya v ), Γ efektif difüzyn katsayısı, R ise kaynak terimidir. Fiziksel ve hesaplama alanları arasındaki ilişki ξ = ξ x, y (5) ( ) ( x, y) η = η (6) 106

3 Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 13, ayı 1, 008 şeklinde tanımlanmaktadır. Kısmi türevler için zincir kuralı uygulanmakta ve alt indis ntasynunun kullanımı ile ξ x, ξ y, ηx, η y şeklinde transfrmasyn türevleri (metrik türevler) belirlenmektedir. Kartezyen krdinatlardan ( x, y) eğrisel krdinatlara ( ξ, η) transfrmasyn yapıldığında Denklem (5) ve Denklem (6)'daki transfrmasyn bağıntıları ile Denklem (4), 1 1 ξ 1 1 Γ ( ρu ) ( ρv ) = ( ) Γ η η ξ ( ) ( ξ, η) ξ şeklini almaktadır. Burada, 3 η 1 ξ η U = uy η vx η (8) (7) V = vx ξ uy ξ (9) 1 = x η yη (10) = xξ xη yξ yη (11) 3 = x ξ yξ (1) = xξ yη xη yξ (13) larak tanımlanmakta lup, U,V ve sırasıyla ( ξ, η) krdinatlarındaki hız bileşenlerini ve kaynak terimini göstermektedir. 1, ve 3 krdinat sistemleri arasındaki transfrmasyn bağıntıları, ise, hesap düzleminden fiziksel düzleme alan ranı larak tanımlanan akbiyen matrisdir. Metrik türevler ve akbiyen, akış hareketini karakterize eden kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünden önce değerlendirilmektedir. Önce x ξ, yξ, xη, yη terimleri hesaplanmakta, daha snra akbiyen belirlenmektedir... nlu Fark Ayrıklaştırması Akış alanını luşturan ağ içinde, tipik bir kntrl hacmi üzerinden mmentum denklemi integre edilmekte ve her bir terime ağ nktalarında ( P, E, W, N, ), nin ayrık değerleri ile yaklaşılmaktadır. Hız bileşenleri ağ nktaları arasına, diğer skaler değişkenler ise ağın düğüm nktalarına yerleştirilmiştir. Şekil 1a da görülen eğrisel ağlara bölünmüş fiziksel alan, eğrisel krdinatlara transfrmasyn snucu Şekil 1b deki dikgen ağlardan luşan hesap alanına dönüştürülmektedir. Hesap alanına ait hız bileşenleri de fiziksel alanda lduğu gibi skaler bir kntrl hacminin yüzeylerinin rtasında yer almaktadır. Şekil 1: nlu fark ağ gösterimi: (a) Fiziksel alan, (b) Hesap alanı. 107

4 Özmen, Y. ve Baydar, E.: Laminer Akış Alanlarının Krdinat Dönüşümü İle Hesaplanması 108 Denklem (7) kntrl hacmi üzerinden integre edildiğinde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V U U s n w e s n w e Γ Γ Γ Γ = η ξ η ξ η ξ η ξ ρ ρ ρ ρ (14) şeklini almaktadır. Burada 1 ve 3 'lü ifadeler difüzyn terimlerini ve 'li ifadeler de transfrmasyn snucu luşan çapraz türevli terimleri göstermektedir. Ortgnal (dikgen) krdinat sisteminde = 0 lmaktadır. Çözüm alanında, Şekil de gösterilen kaydırılmış bir ağ sistemi kullanılmaktadır. U ve V nktaları sırasıyla dğu-batı ve kuzey-güney yüzeyleri üzerinde yer aldığı için Denklem (8), kartezyen krdinatlarda türetilen snlu fark denklemi ile aynı frmda lmaktadır. Şekil : Kaydırılmış ağ sistemi gösterimi. Knveksiyn ve difüzyn terimleri ile çapraz türevli terimlerin yeniden düzenlenmesi ile mmentum denklemi ( ) ( ) ( ) ( ) D D D D C C C C P N N P P E E P W W n N s e E w W = (15) şeklini almaktadır. Bu denklemde s n w e,,, değerleri kntrl hacminin sınırlarında, N W E,,, değerleri ve bütün katsayılar ise ağ nktalarında tanımlanmışlardır. Kntrl hacmine giren akış pzitif işaretli, çıkan akış negatif işaretli larak göz önüne alınmıştır. Denklemde, C ler taşınım, D ler ise yayınım katsayılarını göstermektedir. nlu farklar yöntemine göre ve iki byutlu kartezyen krdinatlar için hazırlanmış bir bilgisayar prgramı eğrisel krdinatlarda çalışacak şekilde düzenlenmiş ve çözüm algritması larak Patankar (1980) tarafından geliştirilen IMPLE kullanılmıştır. Değişkenlerin ağ nktaları arasındaki değişiminde Van Drmaal ve Raithby (1984) ın HYBRID yaklaşımı kullanılmış, difüzyn terimleri için merkezi farklar uygulanmıştır. nlu fark denklemleri, tridiagnal matris algritmasi (TDMA) ile her bir ağ nktasında iteratif larak çözülmüştür. Nrmalize edilmemiş artıkların 10-5 den küçük lması, çözüm yakınsama kriteri larak kullanılmıştır. 3. HEAPLAMALAR Eğrisel krdinatlar için hazırlanan bir bilgisayar prgramı kullanılarak; sıkıştırılamaz, viskz bir akışkanın eğik ve eğrisel yüzeyler üzerinden iki byutlu, laminer, sürekli hareketi değişik Reynlds

5 Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 13, ayı 1, 008 sayıları için sayısal larak çözülmüştür. Değişik eğim açılarındaki yayıcı akışı, eğrisel yüzey üzerinden akış ve dairesel dirsek içinden akış alanlarının gemetrileri Şekil 3 de gösterilmiştir. Yayıcı gemetrisinde, H, yayıcı girişi yüksekliğini, L, yayıcı uzunluğunu, α ise yayıcı eğimini göstermektedir. Eğrisel yüzey üzerinden akış gemetrisinde, H, çözüm bölgesi giriş yüksekliği, L, eğrisel yüzeyin eğrilik yarıçapı, β, eğrisel kısmın başlangıcından itibaren eğrilik byunca değişken açı lmaktadır. Dairesel dirsek içinden akış gemetrisinde ise, d, dirsek bru çapını, θ ise dirseğin başından itibaren dirsek byunca değişken açıyı göstermektedir. Yayıcı akışında, U, ünifrm giriş hızı, L, karakteristik yayıcı uzunluğu ve υ kinematik viskzite lmak üzere Reynlds sayısı U L Re = (16) υ larak tanımlanmıştır. Reynlds sayısı tanımında yer alan karakteristik uzunluk eğrisel yüzey üzerinden akışta, eğrilik yarıçapı, dairesel dirsek içinden akışta ise dirsek bru çapı larak dikkate alınmıştır. Akış alanlarının hesaplanmasında Tabl 1 de verilen sınır şartları kullanılmıştır. Yayıcı akışı ve eğrisel yüzey üzerinden akışta, giriş sınır şartı larak ünifrm hız dağılımı seçilmiştir. Dairesel dirsek içinden akışta ise yakınsamayı klaylaştırmak amacıyla parablik bir dağılım uygulanmıştır. Her üç akış gemetrisinde de çıkışta türev sınır şartı dikkate alınmıştır. Akış alanlarının diğer sınırları için, tablda belirtilen sınır şartları kullanılmıştır. Knumla ilgili transfrmasyn bağıntıları Tabl de verilmiştir. (a) (b) 109

6 Özmen, Y. ve Baydar, E.: Laminer Akış Alanlarının Krdinat Dönüşümü İle Hesaplanması (c) Şekil 3: İncelenen akış gemetrileri: (a) Yayıcı akışı; (b) Eğrisel yüzey üzerinden akış; (c) Dairesel dirsek içinden akış. yayıcı akışı eğrisel yüzey üzerinden akış dairesel dirsek içinden akış v = 0 Tabl I. ınır şartları girişte katı sınırlarda serbest sınırlarda çıkışta u = U u = U v = 0 v = 0 = 1 = 1 u = 4 y(1 y) u = v = 0 = 0, v = 0 u = v = 0 = 0, v = 0 v = 0, = 0 v = 0, = 0 v u = v = 0 - = 0, = 0 yayıcı akışı dairesel yüzey üzerinden akış dairesel dirsek içinden akış x Tabl. Ağ nktalarının knumları için bağıntılar x = ξ y y ξ ( η ) tgα η tgα x y x y = x = ξ giriş y = 0.4η eğrisel η 1η η 1η η 1η kısım 4 ( x 1.05) x = y = y = ( 1 0.1η ) in ξ π π 1 in ξ ( 0.1η ) ( 1 0.1η ) 110

7 Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 13, ayı 1, BULGULAR VE TARTIŞMA 4.1. Yayıcı Akışı Yayıcı akışında, yayıcı uzunluğu L = 6. 67H larak sabit tutulup eğim açısı değiştirilmiştir. ayısal çözümler, ağ bağımsız durumun sağlandığı 4x1'lik ağ düzeni ile, Reynlds sayısının 5 ile 500 aralığındaki değerleri için ve yayıcı eğim açısının 5, 7, 10, 0, 45 değerleri için elde edilmiştir. Re = 500 de, eğim açısının α = 7, 0, 45 değerleri için akış yönünde değişik istasynlardaki hız prfilleri Şekil 4a, b ve c de verilmiştir. (a) (b) (c) Şekil 4: a) α = 7 ve Re = 500 için sayısal hız prfilleri, b) α = 0 ve Re = 500 için sayısal hız prfilleri, c) α = 45 ve Re = 500 için sayısal hız prfilleri 111

8 Özmen, Y. ve Baydar, E.: Laminer Akış Alanlarının Krdinat Dönüşümü İle Hesaplanması α = 7 için verilen hız prfillerinden yayıcı çıkışına dğru 3.05H uzunluğunda zayıf bir ayrılma bölgesinin luştuğu görülmektedir. α = 0 için yapılan çözümde 6.13H uzunluğunda ve rtalama 1.67H yüksekliğinde bir ayrılma bölgesi meydana gelmektedir. α = 45 için verilen hız prfillerinde ise, 8.57H uzunluğunda ve.33h yüksekliğinde bir ters akış bölgesi luşmaktadır. Yayıcı ekseni byunca akış yönünde hız azalmaktadır. Kesit genişlemesi snucu luşan basınç artışı ve hızdaki a- zalma nedeniyle hız prfilleri basıklaşmaktadır. Elde edilen çözümlerden ayrılmış akışın tekrar tutunmadığı ve yayıcı çıkışına kadar devam ettiği görülmüştür. Bu nedenle ters akış bölgesinin uzunluğu yerine ayrılmanın başladığı bölge göz önüne alınmıştır. Şekil 5 de, α = 5, 7, 10, 0 ve 45 eğim açıları için akışın ayrılma nktasının yayıcı girişine lan uzaklığının Reynlds sayısına göre değişimleri verilmiştir. Artan Reynlds sayısı ile birlikte ayrılma bölgesinin başlangıç nktası yayıcı girişine dğru yaklaşmaktadır. α = 5 lik eğim açısında Re = 1000 değerine kadar yapılan çözümlerden herhangi bir akış ayrılmasının lmadığı görülmüştür. Eğim açısının 7 'den büyük lması durumlarında yayıcı içindeki akışta ayrılma meydana geldiği bilinmektedir (chlichting, 1990). Eğim açısı arttıkça akış ayrılmasının daha küçük Reynlds sayılarında meydana geldiği görülmektedir a = 5 a = 7 a = 10 a = 0 a = Re Şekil 5: Değişik eğim açıları (α ) için ayrılma nktasının yayıcı girişine uzaklığının (L A ) Reynlds sayısı (Re) ile değişimi 4.. Eğrisel Yüzey Üzerinden Akış Eğrisel yüzey üzerinden akışta, çözüm bölgesi uzunluğu 13.33H larak dikkate alınmıştır. ayısal çözümler ağ bağımsız durumun sağlandığı x1'lik bir ağ yapısıyla sürekli durumda Reynlds sayısının 00, 300, 400, 500, 600, 800 değerleri için elde edilmiştir. Şekil 6 a, b ve c de, eğrisel yüzey üzerinden akışta sırasıyla Reynlds sayısının 00, 500 ve 800 değerleri için akış yönünde hesaplanan sayısal hız prfilleri görülmektedir. Re = 00 için, eğrisel yüzey üzerinde bir akış ayrılması luşmamakta, akış alanının üst kısmındaki hız değerlerinde azalma meydana gelmektedir. Re = 500 de, eğrisel yüzey üzerinde β = 37 de ayrılma meydana gelmekte ve çözüm alanının üst kısmında küçük bir negatif hız bölgesi luşmaktadır. Re = 800 de ise, ayrılma β = 5 de luşmakta ve Re = 500 deki duruma göre daha belirgin lmaktadır. Çözüm bölgesinin üst kısmı serbest sınır larak seçildiğinden, bu bölgelerde kısmen akış alanına mmentum girişi lmakta ve bu bölgelerde hız değerleri azalmaktadır. 11

9 Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 13, ayı 1, 008 (a) (b) (c) Şekil 6: a) Re= 00 için sayısal hız prfilleri, b) Re= 500 için sayısal hız prfilleri c) Re = 800 için sayısal hız prfilleri 113

10 Özmen, Y. ve Baydar, E.: Laminer Akış Alanlarının Krdinat Dönüşümü İle Hesaplanması Eğrisel yüzey üzerinden akışta, eğrilik byunca değişken açının ve ayrılma bölgesi uzunluğunun Reynlds sayısı ile değişimleri sırasıyla Şekil 7 a ve b de gösterilmektedir. Şekil 7a da, artan Reynlds sayısı ile birlikte eğrilik byunca değişken açının azaldığı ve ayrılma bölgesinin eğrisel kısmın başlangıcına dğru yaklaştığı görülmektedir. Ayrılma nktasının eğrisel kısmın başlangıcına u- zaklığı ile Reynlds sayısı arasındaki değişimde de, benzer şekilde artan Reynlds sayısı ile birlikte ayrılma nktasının eğrisel kısmın girişine yaklaştığı görülmektedir (Şekil 7b) Re Re (a) (b) Şekil 7: Ters akış bölgelerinin Reynlds sayısı ile değişimi: a) Eğrilik byunca açısal değişim b) Ayrılma bölgesi uzunluğu değişimi Dairesel Dirsek İçinden Akış Dairesel dirsek içinden akışta, sayısal çözümler, ağ bağımsız durumun sağlandığı 6x6'lik ağ düzeni ile Reynlds sayısının 790 değeri için elde edilmiştir. Şekil 8 de dairesel dirsek içinden akışta θ = 0, 30, 60 ve 90 için vektörel hız prfilleri görülmektedir. Dirsek byunca değişken açı arttıkça hız prfillerinin maximumları dirseğin dış çap yüzeyine yaklaşmaktadır. Şekil 8: Re = 790 için vektörel hız prfilleri. Şekil 9 a ve b de dairesel dirsek içinden akışta Re = 790 için θ = 30 ve θ = 60 de sayısal çözümle belirlenen hız prfilleri, Humphrey ve diğ. [10] nin kare kesitli bir dirseğin aynı açılarında ölçtükleri deneysel prfillerle karşılaştırılmıştır. 114

11 Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 13, ayı 1, 008 (a) (b) Şekil 9: Dirsek içinde sayısal ve deneysel hız prfilleri a) θ = 30 b) θ = 60 Laminer akış şartlarında ölçülmüş deneysel değerlerle karşılaştırmalı larak verilen sayısal çözümlerde hız prfillerinin maksimumlarının dirseğin dış çapına dğru yönlendiği ve sayısal snuçların deneysel verilere yakın lduğu görülmüştür. 5. ONUÇLAR nlu farklar yöntemi kullanılarak, değişik gemetrilerdeki akış alanları sürekli akış durumu için hesaplanmıştır. Yayıcı akışında, artan Reynlds sayısı ile birlikte ayrılma nktası yayıcı girişine yaklaşmaktadır. Eğim açısı arttıkça akış ayrılması daha küçük Reynlds sayılarında gerçekleşmektedir. Yayıcı akışında en büyük ayrılma bölgesi byutlarının 8.57H uzunluk ve.33h yükseklik larak, 45 eğimli yayıcı gemetrisinde Re = 500 için luştuğu görülmüştür. Eğrisel yüzey üzerinden akışta artan Reynlds sayısı ile birlikte eğrisel kısmın başlangıcından itibaren eğrilik byunca luşan açı küçülmekte ve ayrılma bölgesi eğrisel kısmın başlangıcına dğru yaklaşmaktadır. Dairesel dirsek içinden akışta dirsek eğriliği byunca artan açı ile birlikte hız prfillerinin maximumları dirseğin dış çap yüzeyine yaklaşmaktadır. Metrik türevlerin nümerik larak belirlenmesi nedeniyle, kullanılan yöntemden kaynaklanan kesme hataları ve bilgisayarların neden lduğu yuvarlatma hataları çözüm hassasiyetini etkilemektedir. Bu tip akışların sayısal larak incelenmesinde, genelleme açısından ldukça geniş başlangıç ve sınır şartları durumlarının göz önüne alınması gerekmektedir. Bu snuçların eğrisel gemetrilere sahip pratik uygulamalar için akış ayrılmasını kntrl etmeye yönelik katkılar sağlayacağı düşünülmektedir. 115

12 Özmen, Y. ve Baydar, E.: Laminer Akış Alanlarının Krdinat Dönüşümü İle Hesaplanması 6. EMBOLLER 116 C nlu fark denklemindeki taşınım katsayısı D nlu fark denklemindeki yayınım katsayısı H Giriş yüksekliği acbian L (m) Çözüm bölgesi uzunluğu L A (m) Ayrılma bölgesi uzunluğu R Fiziksel alanda mmentum denklemlerindeki kaynak terimi Re Reynlds sayısı Hesap alanında mmentum denklemlerindeki kaynak terimi U, V (m/s) Hesap alanındaki yatay ve düşey hız bileşenleri U 0 (m/s) erbest akış hızı p (Pa) Basınç 1,, 3 Krdinat sistemleri arasındaki gemetrik bağıntılar u, v (m/s) Fiziksel alanda yatay ve düşey hız bileşenleri x (m) Yatay uzunluk y (m) Düşey uzunluk α β Eğim açısı Ayrılma açısı µ (Pas) Dinamik viskzite ν (m /s) Kinematik viskzite ρ (m 3 /kg) Yğunluk Γ ξ, η 7. KAYNAKLAR Efektif difüzyn katsayısı Genel bağımlı değişken Eğrisel krdinat eksenleri P, E, W,, N Ağ düğüm nktaları e, w, n, s Kntrl hacmi yüzeyleri 1. Andersn, D.A., Tannehill,.C., Pletcher, R.H. (1984) Cmputatinal Fluid Mechanics and Heat Transfer, Hemisphere Publishing Crpratin, New Yrk.. Baghlani, A., Talebbeydkhti, N., Abedini, M.. (008) A hck-capturing Mdel Based n Flux-Vectr plitting Methd in Bundary-Fitted Curvilinear Crdinates, Applied Mathematical Mdelling, 3, Cheng, K.C., Lın, R.C., Ou,.W. (1976) Fully Develped Laminar Flw in Curved Rectangular Channels, Transactins f the AME - urnal f Fluid Engineering, Chiu, C.P., Wu, T.. (1990) tudy f Air Mtin in Reciprcating Engine Using an Algebraic Grid Generatin Techniue, Numerical Heat Transfer, Part A, 17, Fletcher, C.A.. (1990) Cmputatinal Techniues fr Fluid Dynamics - I, ecnd Editin, pringer-verlag, Berlin. 6. Ge, L., tirpuls, F. (007) A Numerical Methd fr lving the 3D Unsteady Incmpressible Navier- tkes Euatins in Curvilinear Dmains with Cmplex Immersed Bundaries, urnal f Cmputatinal Physics, 5, Hille, P., Vehrenkamp, R., chulz-dubis, E.O. (1985) The Develpment and tructure f Primary and ecndary Flw in a Curved uare Duct, urnal f Fluid Mechanics, 151,

13 Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 13, ayı 1, Hdge,.K., tne, A.L., Miller, T.E. (1978) Numerical lutin fr Airfils Near tall in Optimized Bundary-Fitted Curvilinear Crdinates, AIAA urnal, 17 (5), Hffmann, K.A. (1989) Cmputatinal Fluid Dynamics fr Engineers, Engineering Educatin ystem, Austin, Texas. 10. Humphrey,.A.C., Taylr, A.M.K., Whitelaw,.H. (1977) Laminar Flw in a uare Duct f trng Curvature, urnal f Fluid Mechanics, 83 (3), Karki, K.C., Patankar,.V. (1988) Calculatin Prcedure fr Viscus Incmpressible Flws in Cmplex Gemetries, Numerical Heat Transfer, 14, Liu, Z., Liu, Z., Liu, Z., McCrmick,. (1994) Multilevel Methds fr Tempral and patial Flw Transitin imulatin in a Rugh Channel, Internatinal urnal fr Numerical Methds in Fluids, 19, Maliska, C.R., Raithby, G.D. (1984) A Methd fr Cmputing Three Dimensinal Flws Using Nn- Orthgnal Bundary-Fitted C-rdinates, Internatinal urnal fr Numerical Methds in Fluids, 4, Mbley, C.D., teward, R.. (1980) On The Numerical Generatin f Bundary - Fitted Orthgnal Curvilinear Crdinate ystems, urnal f Cmputatinal Physics, 34, Mri, Y., Uchida, Y., Ukn, T. (1971) Frced Cnvective Heat Transfer in a Curved Channel with a uare Crss ectin, Internatinal urnal f Heat and Mass Transfer, 14, Patankar,.V. (1980) Numerical Heat Transfer and Fluid Flw, McGraw-Hill, New Yrk. 17. chlichting, H. (1990) Bundary-Layer Thery, eventh Editin, McGraw-Hill Bk C., New Yrk. 18. ha, X., Wang, H., Chen, Z. (003) Numerical Mdeling f Turbulent Flw in Curved Channels f Cmpund Crss-ectin, Advances in Water Researches, 6, hyy, W., Tng,.., Crrea,.M. (1985) Numerical Recirculating Flw Calculatin Using a Bdy-Fitted Crdinate ystem, Numerical Heat Transfer, 8, mith, K.M., Cpe, W.K., Vanka,.P. (1993) A Multigrid Prcedure fr Three-Dimensinal Flws n Nn- Orthgnal Cllcated Grids, Internatinal urnal fr Numerical Methds in Fluids, 17, Taylr, A.M.K.P., Whitelaw,.H., Yianneskis, M. (198) Curved Ducts with trng ecndary Mtin : Velcity Measurements f Develping Laminar and Turbulent Flw, Transactins f the AME - urnal f Fluid Engineering, 104, Thmpsn,.F., Thames, F.C., Mastin, C.W. (1974) Autmatic Numerical Generatin f Bdy-Fitted Curvilinear Crdinate ystem fr Field Cntaining Any Number f Arbitrary Tw-Dimensinal Bdies, urnal f Cmputatinal Physics, 15, Van Drmaal,.P., Raithby, G.D. (1984) Enhancements f the imple Methd fr Predicting Incmpressible Fluid Flws, Numerical Heat Transfer, 7, Makale tarihinde alınmış, tarihinde düzeltilmiş, tarihinde kabul edilmiştir. İletişim Yazarı: Y. Özmen (yucelzmen@htmail.cm). 117