Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016

Transkript

1 Önsöz Bu kitap üniversitelerimizin Mühendislik Fakültelerinde, Doğrusal Cebir veya Lineer Cebir adıyla okutulan lisans dersine yardımcı bir kaynak olması amacıyla hazırlanmıştır. Konular, teorik anlatımdan ziyade, uygulamalı olarak anlatılmış, bol örneklerle ve gerekli yerlerde mühendislik uygulamalarıyla, mühendislik bölümlerine uygun şekilde verilmiştir. Bu kitapta, reel vektör uzayları ile, reel vektör uzaylarındaki vektörel hesaplamalar üzerinde durulmuş, diğer yandan soyut vektör uzayı kısaca verilip, bu konuda ayrıntıya girilmemiştir. Kitabın ilk bölümünde, lineer denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri incelenerek ve matris kavramının nasıl ortaya çıktığı verilmiştir. Bu bölümde lineer denklem sistemlerinin elektrik devreleri, yol akışı problemleri, kimyasal denklemlerdeki uygulamaları örneklerle pekiştirilmiştir. İkinci ve üçüncü bölümde ise matris cebiri ve determinant konusu detaylı olarak incelenmiştir. Dördüncü bölümde, vektörler ile vektörlerin bazı uygulamaları verildikten sonra, altıncı bölümde, özdeğer, özvektör, köşegenleştirme ile bu konuların uygulamaları ele alınmış, yedinci bölümde ise, özellikle mühendisliğin grafik, animasyon, hareket, bilgisayar, robot teknolojisi ve inşaat uygulamalarında sıkça kullanılan dönme, yansıma, simetri, izdüşüm gibi lineer dönüşümler üzerinde durulmuştur. En son bölümde de vektörel fonksiyon ve vektör alanı tanımları verilerek vektörel analize kısa bir girişyapılmıştır. Mühendislik fakültelerinde bölümlere göre ders saatleri değiştiğinden, kitaptaki bazı konular, mühendislik fakültelerinin bölümlerine uygun olarak atlanabilir veya hızlı ve kısaca verilerek geçilebilir. Kitabın anlatımında, her konudaki en önemli noktalar vurgulanmış ve her konu çeşitli örneklerle zenginleştirilmiştir. Ayrıca, örneklere benzer sorular, örneklerden hemen sonra yanıtlarıyla birlikte alıştırma olarak verilerek, konunun pekiştirilmesi amaçlanmıştır. Her konunun sonuna, konunun tekrar edilmesi amaçlanarak bir test sınavı eklenmiştir. Kitabın konu içeriğinde, düzeninde ve tashihinde bana yardımcı olan Akdeniz Üniversitesi öğretim üyeleri Prof.Dr. Mustafa Alkan ile Doç.Dr. Mehmet Cenkci ye teşekkür ederim. Kitabın, tüm öğrencilerimize faydalı olmasını diliyorum. Mustafa Özdemir Antalya 2016 "Dünya da her şey için, medeniyet için, hayat için, muvaffakiyet için en hakiki mürşit ilimdir, fendir. İlim ve fennin haricinde mürşit aramak gaflettir, cehalettir, dalâlettir." Mustafa Kemal Atatürk

2

3 İçindekiler BİRİNCİ BÖLÜM 9 Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri 9 Lineer Bağımlı ve Bağımsız Denklemler 13 Denklem ve Bilinmeyen Sayılarına Göre Denklem Sisteminin Çözüm Sayıları 14 Gauss Jordan Eliminasyon Yöntemi ile Denklem Çözümleri 14 Matris Tanımına Giriş 18 Elemanter Satır Operasyonları 21 Bir Matrisin Basamak Biçimi (Eşelon Form) 22 Bir Matrisin Rankı 23 Lineer Denklem Sisteminin Genişletilmiş Matrisinin Rankının Çözümde Etkisi 25 Lineer Homojen Denklem Sistemi 29 Lineer Denklem Sistemlerinin Uygulamaları 32 Kimyasal Denklemlerde Lineer Denklem Sistemlerinin Kullanılması 32 Yol Akışı Problemlerinde Lineer Denklem Sistemlerinin Kullanılması 33 Elektrik Devreleri Problemlerinde Lineer Denklem Sistemlerinin Kullanılması 35 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Lineer Denklem Sistemleri) 39 BİRİNCİBÖLÜM 43 Matrisler Martis Çeşitleri 44 Martislerde İşlemler 45 Matris Çarpımının Özellikleri 48 Bir Matrisin Transpozesi 53 Simetrik ve Ters Simetrik Matrisler 53 Bir Matrisin Tersi 56 Ortogonal Matris 59 Bir Matrisin İzi 61 Bir Matrisin Tersinin Bulunması 62 Katsayılar Matrisinin Tersini Kullanarak Denklem Sisteminin Çözülmesi 68 Şifrelemede Matrislerin Kullanılması 69 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Matrisler) 71

4 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM 75 Determinant Determinant 76 Determinantın Özellikleri 82 Kofaktör Yardımıyla Determinant Hesabı 90 Ek Matris 105 Lineer Denklem Sistemleri ve Determinant 109 Cramer Kuralı 110 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Determinant) 113 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 119 Vektörler Vektörlerde İşlemler 119 Vektör Uzayı 122 Altvektör Uzayı 123 Dik Koordinat Sistemi 124 Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık 126 Vektörlerin Dik Koordinat Sisteminde Gösterilmesi 128 Birim Vektör 131 Vektörlerin Bazı Uygulamaları 132 Doğru Denklemlerinin Vektörler Yardımıyla Bulunması 134 Lineer Bileşim 137 Bir Vektör Kümesinin Bir Uzayı Germesi 139 Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık 141 Taban 143 Bir Uzayda Bir Vektörün Bir Tabana Göre Koordinatları 146 İç Çarpım 148 Öklid İç Çarpımının Geometrik Uygulamaları 150 Ortogonal ve Ortonormal Taban 153 Öklid İç Çarpımı Yardımıyla Alan Hesaplanması 155 Simetri Yansıma 165 Gram Schmidt Ortogonalleştirme Yöntemi 168 Doğrultman Kosinüsleri 171 Vektörel Çarpım ve Geometrik Uygulamaları 172 Karma Çarpım ve Geometrik Uygulamaları 179 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Vektörler) 184

5 BEŞİNCİ BÖLÜM 191 Lineer Dönüşümlere Giriş Lineer Dönüşüm 191 Bir Lineer Dönüşüme Karşılık Gelen Matris 193 Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsü 196 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Lineer Dönüşümlere Giriş) 197 ALTINCI BÖLÜM 199 Özdeğer, Özvektör ve Uygulamaları Özdeğerlerin Bulunması 200 Özvektörlerin Bulunması ve Özuzaylar 206 Benzer Matrisler 212 Cayley Hamilton Teoremi ve Uygulamaları 214 Cayley Hamilton Teoremini Kullanarak Bir Matrisin Tersini Bulmak 215 Cayley Hamilton Teoremini Kullanarak Bir Matrisin Kuvvetini Hesaplamak 216 Bir Matrisin Köşegenleştirilmesi 217 Özdeğer ve Özvektörlerin Bazı Uygulamaları 221 Uzayda Dönme Ekseninin Bulunması 221 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemi Uygulamaları 223 Bir Matrisin Exponansiyelinin Hesaplanması 225 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Özdeğer Özvektör) 226 YEDİNCİ BÖLÜM 229 Lineer Dönüşümler ve Uygulamaları Düzlemde Lineer Operatörler ve Standart Matrisleri 229 Dik İzdüşüm Dönüşümü 229 Yansıma Dönüşümü 233 Dönme Dönüşümü 240 Kırpma (Shear) Dönüşümü 245 Küçültme veya Büyütme Dönüşümü 247 Öteleme Dönüşümü 248 Uzayda Lineer Operatörler ve Standart Matrisleri 250 Uzayda Dik İzdüşüm Dönüşümü 250 Uzayda Yansıma (Simetri) Dönüşümü 254 Uzayda Dönme Dönüşümü 257 Bir Lineer Dönüşümün Birebir ve Örtenliği 262

6 Bir Lineer Dönüşüm için Boyut Teoremi 264 Taban Değişimi 266 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Lineer Dönüşümler) 272 SEKİZİNCİ BÖLÜM 275 Vektörel Analize Giriş Vektör Fonksiyon Kavramı 275 Hız, İvme, Momentum ve Kuvvet Vektörleri 279 Yay Uzunluğu 280 Vektör Fonksiyonlar ve Eğriler 281 Skaler Fonksiyon (Skaler Alan) ve Vektör Alanı Kavramı 283 Bir Skaler Alanın Kısmi Türevi 284 Yüksek Mertebeden Kısmi Türevler 285 Gradiyent Vektör Alanı 286 Yöne Göre Türev 288 Bir Vektör Fonksiyonun Bir Vektör Yönündeki Türevi 294 Bir Vektör Alanının Diverjansı 296 Bir Vektör Alanının Rotasyoneli (Curl) 297 Bir Skaler Fonksiyonun Lablasyeni 299 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Vektörel Analize Giriş) 301

7 Lineer Denklem Sistemleri Lineer denklem sistemleri, matematik, fizik, kimya, mühendislikte karşılaşılan bir çok problemde karşımıza çıkarlar. Lineer denklem sisteminin çözüm yöntemlerinin aranması sonucunda, matris kavramı ve matris cebiri ortaya çıkmıştır. Matrisler, özellikle günümüzde mühendislikte, hareket geometrisinde, animasyon ve bilgisayar teknolojisinde bir çok problemin de çözümünü kolaylaştırmıştır. Bu bölümde, lineer denklem sistemlerinin çözüm yöntemlerini inceleyerek, matris kavramının nasıl ortaya çıktığını göreceğiz. Daha sonraki bölümlerde de, matris cebirinin ve determinantın kullanılmasıyla birlikte, lineer denklem sistemlerinin farklı çözüm yöntemlerini ele alacağız. Tanım Bir lineer (doğrusal) denklem deyince, 1, 2 reel sayılar, 1, 2 ise değişkenler olmak üzere, = formundaki bir denklem anlayacağız. Bu denklemde, 1 2 ye denklemin bilinmeyenleri de denir. Örneğin, =5 üç değişkenli, yani bilinmeyenli bir lineer denklemdir. Örnek 1.1 Aşağıdaki denklemlerin lineer olup olmadıklarını belirtiniz. a) =3 b) 3 2 3=0 c) + + =3 d) 2 ( 3 2) = 2 e) +sin + =1 f) +log =3 g) =1 h) (ln 3) (sin 45 ) + = Çözüm : Bir lineer denklemde, çarpım halindeki değişkenler, yüksek dereceden değişkenler, kök içindeki değişkenler, değişkenlerin üstel, logaritmik veya trigonometrik fonksiyonları lineerliği bozan durumlardır. Buna göre, b) seçeneğindeki terimi, c) seçeneğindeki terimi, e) seçeneğindeki sin terimi, f) seçeneğindeki log terimi, g) seçeneğindeki 2 terimi lineerliği bozarlar. Lineer olan seçenekler, sadece a), d) ve h) seçenekleridir. Bir lineer denklemin çözümü demek, bu denklemi sağlayan değerler demektir. Çözüm sayısı, değişkenlerin istendiği sayı kümesine ve denklemdeki bilinmeyen sayısına göre olmayabilir ya da, tek veya sonsuz olabilir. Örneğin, =5 üç değişkenli lineer denkleminin sonsuz çözümü vardır. =1 =1ve =0veya =4=0ve = 1 gibi çözümler bulunabilir. Bu lineer denklemin çözümlerini en genel şekilde parametreler yardımıyla verebiliriz.

8 10 Lineer Denklem Sistemleri Örnek 1.2 x +2y =3lineer denkleminin çözümünü bulunuz. Çözüm : değişkenine bir parametre vererek, diğer değişkenler de bu parametre cinsinden bulunabilir. = denilirse, =3 2 elde edilir. Buna göre, denklemin çözüm kümesini : {(3 2 ) : R} şeklinde ifade edebiliriz. Her R için, denklemin farklı bir çözümü elde edilir. Örneğin, =1 ( )=(1 1) ; =2 ( )=( 1 2) ; =10 ( )=( 17 10) bu denklemin bazı çözümleridir. En başta değişkenine parametre verilerek de denklem çözülebilirdi. Örnek 1.3 x +3y +4z =6lineer denkleminin çözümünü bulunuz. Çözüm : Denklemde üç değişken olduğundan, çözüm için iki parametre kullanmalıyız. = ve = denilirse, =6 3 4 olacaktır. Buna göre, çözüm kümesini : {(6 3 4 ) : R} şeklinde ifade edebiliriz. Örnek 1.4 x, y, z Z + olmak üzere, x +3y +4z =9lineer denkleminin çözümünü bulunuz. Çözüm : pozitif tamsayılar olduğundan, değeri sadece 1 olabilir. Aksi halde, ve nin pozitif tamsayı olabilmesi mümkün değildir. Buna göre, +3 +4=9 +3 =5 olur. Benzer düşünceyle =1olmalıdır. Buradan, =2olur. Yani, denklemin tek çözümü =2= =1 dir. 1.1 Alıştırma +3 =9lineer denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Yanıt : {(9 3 ) : R} 1.2 Alıştırma =10lineer denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Yanıt : {( ) : R} 1.3 Alıştırma Z + ise, 4++3 =10lineer denkleminin çözümünü bulunuz. Yanıt : ( ) =(1 3 1)

9 Mühendisler İçin Lineer Cebir 19 Tanım bilinmeyenli, denklemden oluşan = = = lineer denklem sistemini göz önüne alalım. Bu denklem sisteminde, katsayıların oluşturduğu matris ve sağ taraftaki sabit değerlerin oluşturduğu matris sırasıyla, =... ve = şeklinde yazılabilir. Bu iki matrisin yan yana, [ : ] = şeklinde yazılmasıyla elde edilen matrise, verilen lineer denklem sisteminin genişletilmiş katsayılar matrisi (Augmented Matrix) denir. Bundan sonra, bir lineer denklem sisteminin çözümünü, genişletilmiş katsayılar matrisini kullanarak yapacağız Örnek 1.10 x + y + z + t =3 x +2y +2z +3t =4 x + y +2z +2t =5 y + z +4t =7 denklem sistemini çözelim. Çözüm : Bu sistemin genişletilmiş katsayılar matrisi : [ : ] = biçimindedir. İlk satırı, ikinci ve üçüncü satırlardan çıkararak 11 elemanının altındaki tüm elemanları 0 yapalım = =1 + = =7 Şimdi de, ikinci satırı, dördüncü satırdan çıkararak 22 elemanının altındaki tüm elemanların sıfır olmasını sağlayalım

10 20 Elemanter Satır Operasyonları Bu durumda, = =1 + =2 2 =6 elde edilir ki, buradan =3= 1= 4 ve =5elde edilir. x + y + z =3 Örnek : 3x +2y +3z =4 denklem sistemini çözelim. 2x + y +2z =5 Çözüm : Bu sistemin genişletilmiş katsayılar matrisi : [ : ] = biçimindedir. İlk satırın, üç katını ikinci satıdan, iki katını da üçüncü satırdan çıkararak 11 elemanının altındaki tüm elemanları 0 yapalım = = = 1 Şimdi de, ikinci satırı, üçüncü satırdan çıkararak 22 elemanının altındaki tüm elemanların sıfır olmasını sağlayalım. Bu durumda, = = = 4 elde edilir ki, buradan 0=4tutarsızlığı çıkar. Bu denklemin çözümü olmadığını gösterir. denklem sistemini, genişletilmiş matrisini kulla 1.7 Alıştırma narak çözünüz =3 =3 + =3 Yanıt : =3=0ve =0 1.8 Alıştırma Genişletilmiş matrisi =3 Yanıt : +2 =2. = olan denklem sistemini yazınız.

11 Lineer Denklem Sistemleri 21 Elemanter Satır Operasyonları Yukarıdaki denklem sistemlerini çözerken, denklemler üzerinde uyguladığımız ve denklemlerin çözüm kümesini değiştirmeyen üç çeşit işlemle karşılaştık. Şimdi, bu işlemlerin matrisler için genel tanımını ve gösterimini verelim. Tanım Bir A matrisi verilsin. A matrisinin satırları üzerinde yapılan aşağıdaki üç çeşit işleme elemanter satır işlemleri denir. I) A matrisinin herhangi iki satırını kendi aralarında yer değiştirmek. satır ile satırın yer değiştirilmesi işlemini şeklinde göstereceğiz. Örneğin, II) A matrisinin herhangi bir satırını sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. satırın bir R ile çarpılmasını, şeklinde göstereceğiz III) A matrisinin herhangi bir satırını sıfırdan farklı bir sayı ile çarpıp başka bir satırına eklemek. satırın bir katının, satıra eklenmesini, + şeklinde göstereceğiz Tanım A ve B matrisleri aynı türden iki matris olsun. B matrisi, A matrisi üzerinde yapılacak elemanter satır işlemleri sonucu elde edilebiliyor ise A ile B matrisine denk matrisler denir. Bu durum şeklinde gösterilir. Örnek matrisinin birim matrise denk bir matris olduğunu gösteriniz. Çözüm : Elemanter operasyonları uygulayarak görelim

12 22 Mühendisler İçin Lineer Cebir Denk matrislere karşılık gelen denklem sistemlerinin çözüm kümesi de denktir. Bu nedenle, bir denklem sisteminin katsayılar matrisine elemanter satır operasyonları uygulanarak denklem sistemi çözülebilir. Yani, Gauss Jordan eliminasyon yönteminde matris kullanılarak çözüme ulaşılır. Bunu aşağıdaki teoremle ifade edebiliriz. 1.1 Teorem Herbiri bilinmeyenli, denklemden oluşan = ve = denklem sistemlerini göz önüne alalım. Eger [ : ] ve [ : ] genişletilmiş katsayılar matrisleri birbirine denk ise, bu lineer denklem sistemleri de birbirine denktir ve çözüm kümeleri aynıdır Bir Matrisin Basamak Biçimi (Eşelon Form) Tanım Bir matrisin tamamı sıfır olmayan herhangi bir satırındaki en solda bulunan sıfırların sayısı, bu satırdan bir önceki satırın en solundaki sıfırların sayısındanenazbir fazla ise bu matrise eşelon formdadır denir. Bu tanıma göre, eşelon formdaki bir matrisin bir satırı tamamen sıfır ise, bu satırın altındaki tüm satırlar da tamamen sıfır olmalıdır. Eşelon formdaki bir matriste, her satırdaki soldan sıfırdan farklı ilk elemana pivot denir. Eşelon formdaki bir matriste, matrisin sol tarafında bulunan sıfırlar merdiven şeklinde basamaklar oluşturdukları için, matrisin basamak biçimi tanımı da kullanılır. Aşağıdaki matrislerin her biri eşelon formdadır Aşağıdaki matrisler ise, eşelon formda değildir. Çünkü, birinci matriste, 4 üncü satırda en soldaki sıfır sayısı 1 dir ve bir önceki üçüncü satırdaki en soldaki sıfır sayısından 1 fazla değildir. Yine ikinci matriste ise, üçüncü satırdaki soldaki sıfır sayısı, bir önceki satırın soldaki sıfır sayısından en az 1 fazla değildir. Son matriste de, üçüncü satırın tamamı sıfır olduğundan, bu satırın altındaki satırların da tamamen sıfır olması gerekirdi ve Tanım Bunun yanında, eşelon formdaki bir matriste her satırdaki soldan sıfırdan farklı ilk eleman 1 ise ve bu ilk 1 in olduğu sütundaki geri kalan tüm elemanlar 0 ise bu matrise indirgenmişeşelon formdadır denir. Örneğin aşağıdaki matris indirgenmiş eşelon formdadır

13 Lineer Denklem Sistemleri 23 Tanım Herhangi bir A matrisine elemanter satır işlemleri uygulanarak, A matrisine denk olan eşelon matris elde edilebilir. Bu şekilde elde edilen matrise A matrisinin eşelon forma dönüştürülmüşmatrisidenir. Örnek 1.12 A = matrisini elemanter satır operasyonlarıyla eşelon forma getiriniz. Çözüm : Alıştırma getiriniz matrisini eşelon forma ve indirgenmişeşelon forma Yanıt : ve Bir Matrisin Rankı Tanım Bir matrisi verilsin. matrisini elemanter satır operasyonları yaparak eşelon forma getirebiliriz. matrisinin eşelon formunda, en az bir elemanı sıfırdan farklı olan satır sayısına matrisinin rankı denir ve Rank() ile gösterilir. Özel olarak, herhangi bir sıfır matrisinin rankı 0 kabul edilir. Örneğin, ve matrislerini göz önüne alalım. İlk matris eşelon formdadır ve rankını doğrudan söyleyebiliriz. En az bir elemanı sıfırdan farklı olan 2 satır (ilk iki satır) olduğundan, rankı 2 dir. Diğer yandan, ikinci matris eşelon formda olmadığı için, önce eşelon forma getirilmelidir. Bu haliyle, en az bir elemanı sıfırdan farklı 4 satır var gibi görünse de, ve elemanter satır operasyonlarıyla eşelon forma getirildiğinde, son iki satırın tamamen sıfır olduğu, ve dolayısıyla rankın 2 olduğu görülür. O halde, rankı bulmak için, yapılacak ilk işmatrisieşelon forma getirmek olmalıdır.

14 24 Mühendisler İçin Lineer Cebir Örnek 1.13 A = matrisinin rankını bulunuz. Çözüm : Önce, matrisine elemanter satır operasyonları uygulayarak eşelon forma getirelim matrisinde, tüm elemanları sıfır olmayan satır sayısı 2 olduğundan, Rank =2 dir. Örnek 1.14 A = matrisinin rankını bulunuz. Çözüm : Önce, matrisini, elemanter satır operasyonları uygulayarak eşelon forma getirelim matrisinde, tüm elemanları sıfır olmayan satır sayısı 2 olduğundan, Rank =2 dir Alıştırma = Yanıt : Alıştırma = Yanıt : matrisinin rankını bulunuz. matrisinin rankını bulunuz.

15 Lineer Denklem Sistemleri 29 Lineer Homojen Denklem Sistemi Tanım İkinci yanı sıfır olan, = = =0 biçimindeki lineer denklem sistemine lineer homojen denklem sistemi denir. Homojen denklem sistemini =0olarak yazabiliriz. Bu tür homojen denklem sistemleri için, 1 = 2 = = =0değerlerinin bir çözüm olduğu aşikardır. Bu çözüme aşikar çözüm denir. 1.3 Teorem türünde bir matris olmak üzere, = 0 biçimindeki bilinmeyenli homojen lineer denklem sistemi için, () = olmak üzere, i) = ise, sistemin tek çözümü aşikar çözümdür. Yani, tüm bilinmeyenler 0 dır. ii) ise denklemin parametreye bağlı sonsuz çözümü vardır. 1.4 Teorem Herbiri bilinmeyenli, denklemden oluşan =0ve =0 homojen denklem sistemlerini göz önüne alalım. Eger ve matrisleri birbirine denk ise, bu homojen lineer denklem sistemleri de birbirine denktir ve çözüm kümeleri aynıdır. Örnek 1.18 x y + z =0 3x y + z =0 x + y z =0 denklem sisteminin çözümünü bulunuz. Çözüm : Bilinmeyen sayısı =3 tür. Rank() yı bulalım. [ ] = olduğundan, Rank() =2 dir. O halde, bu denklemin =3 2=1parametreye bağlı sonsuz çözümü vardır. = diyelim. Son matrise göre, 2 2 =0 = ve + =0 =0elde edilir. Buna göre, Ç.K. = {(0): R} elde edilir.

16 32 Mühendisler İçin Lineer Cebir Lineer Denklem Sistemlerinin Uygulamaları 1. Kimyasal Denklemlerde Lineer Denklemlerin Kullanılması Örnek 1.22 a (CO) +10 (H 2 ) +b (CO 2 ) c (CH 4 ) +d (H 2 O) kimyasal denklemine göre, kullanılan (CO) karbonmonoksit molekülü sayısına göre, kullanılması gereken (CO 2 ) karbondioksit molekülü sayısını ve ortaya çıkan su (H 2 O) ve metan (CH 4 ) gazı molekül sayılarını belirleyiniz. Bu denkleme uygun, katsayıları doğal sayı olan bir kimyasal denklem bulunuz. Çözüm : Kimyasal denklemdeki giren ve çıkan atomların sayılarının eşitliğini kullanacağız. atomunun eşitliğine göre, + = atomunun eşitliğine göre, +2 = atomunun eşitliğine göre, 20 = 4 +2 elde edilir. Buna göre, = denilirse, = 2 = 2 + =10 denklem sistemi elde edilir. Buradan, bilinmeyenlerine göre, elde edilir. Yani, = 10 = 1 µ bulunur. Örnek olarak, = =2 =4=3ve =1 elde edilir. Yani, 2()+( 2 )+( 2 ) 3( 4 )+4( 2 ) kimyasal denklemi bulunur = ve = = Alıştırma ()+11( 2 )+ ( 2 ) 3( 4 )+ ( 2 ) kimyasal denklemine göre, yi bulunuz. Yanıt : =1=2ve =3

17 Lineer Denklem Sistemleri Alıştırma Yandaki, yolları ve yönleri gösteren yol haritasında, 1 saat içinde yoldan geçen araba sayıları, yolların yönlerini belirten okların yanında belirtilmiştir. Buna göre, yollardan geçen arabaların sayılarını veren genel çözümü bulunuz. Yanıt : =10 dur. = ise, =40 =50 ve =70 olur P z R y T x u t S Elektrik Devreleri Problemlerinde Lineer Denklem Sistemlerinin Kullanılması Şimdi de, lineer denklem sistemlerinin, elektrik devrelerinde kullanılan bazı uygulamalarını verelim. Ama önce, elektrik devreleriyle ilgili olarak kullanacağımız bazı temel kanunları hatırlayalım. Ohm Kanunu : Bir elektrik devresinde, iki nokta arasındaki iletkenden geçen akım, bu iki nokta arasındaki gerilim miktarıyla (potansiyel fark) ile doğru, bu iki nokta arasındaki dirençle ters orantılıdır. Yani, Akım = Gerilim Direnç eşitliği vardır. Bu formülü kısaca, akımı harfi, gerilimi harfi ve direnci de harfiyle gösterirsek = şeklinde yazarız. Birimleri de dikkate alınırsa, = eşitliği vardır. Kirchhoff Akım Kanunu (KCL) : Bir düğüme giren akımların toplamı, çıkan akımların toplamına eşittir. I 2 I 1 I 3 A I 4 I 1 I 2 +I 3 I 4 =0 Kirchhoff Voltaj(Gerilim) Kanunu (KVL) : Enerjinin korunumu ilkesine dayanan bir kanundur. Kapalı bir elektrik devresinde, harcanan tüm gerilimlerin toplamı, üretilen ya da sağlanan tüm gerilimlerin toplamına eşittir. Yani, kapalı bir elektrik devresindeki pil, üreteç gibi enerji kaynaklarından elde edilen gerilimleri toplamı, bu devredeki direnç, motor gibi araçlar üzerinde oluşan gerilim harcamaları ve düşmeleri toplamına eşittir. Bunu, kapalı bir devre boyunca, potansiyel farklarının cebirsel toplamı sıfırdır şeklinde de ifade edebiliriz.

18 36 Mühendisler İçin Lineer Cebir Üreteçler ters bağlı olursa yani, kabul edilen akım yönüne ters yönde akım üretirse gerilim değerinin negatif ( ) olacağı unutulmamalıdır. Çünkü böyle bir durumda üretici değil tüketici gibi davranır. Aşağıdaki elektrik devrelerini inceleyiniz. A I + V 4 V 2 R 3 R 1 V 1 D R 2 A I V 1 + V 4 V 2 B V 3 + V 5 C B V 3 + V 5 C I 1 +I 2 +I 3 = = = 4 R 3 R 1 D R 2 I 1 +I 2 +I = 4 Örnek Şekilde akım yönleriyle birlikte bir elektrik devresi verilmiştir. Buna göre 1 2 ve 3 akımlarının kaç amper olduklarını belirleyiniz. Çözüm : noktasındaki akım geçişine göre, 37V + 1 = eşitliği vardır. noktasındaki akım geçişine göre, yine 5 A I 1 I 2 I 3 B V 6 1 = eşitliği vardır. Ohm kanununa göre, Potansiyel Farkı = Akım Direnç, yani, = eşitliği olduğunu hatırlayalım. Buna göre, Elektrik devresinin sol döngüsüne göre, =37 eşitliği vardır. Şimdi de, sağ döngüye göre bir denklem bulalım. olduğu hemen görülebilir. Böylece, lineer denklem sistemi elde edilir = = = =18

19 Lineer Denklem Sistemleri 37 Buradan, yazılırsa, 3 =3 2 =2ve 1 =5olduğu görülür Örnek Şekilde akım yönleriyle birlikte bir elektrik devresi 2 2 I 1 I verilmiştir. Buna göre ve 3 akımlarının kaç amper olduklarını belirleyiniz. I 3 Çözüm : noktasındaki akım geçişine göre, 3 B + 44V 2 = eşitliği vardır. Aynı şekilde noktasındaki akım geçişine göre de, = 2 olur. Yani, 3Ω luk dirençten geçen akımın 1 olacağı görülür. Ohm kanunu göz önüne alınarak, elektrik devresinin sol ve sağ döngüsüne göre, = = = =22 denklemleri yazılabilir. Böylece, = = =22 lineer denklem sistemi elde edilir. Buradan, yazılırsa, 3 =1 2 =4ve 1 =3olduğu görülür. A

20 38 Mühendisler İçin Lineer Cebir Örnek Şekilde akım yönleriyle birlikte bir elektrik devresi verilmiştir. Buna göre 1 2 ve 3 akımlarının kaç amper olduklarını belirleyiniz. 68V + 1 A I 2 3 I 1 C 2 I D 2 Çözüm : Kirchhoff Voltaj (Gerilim) Kanununa göre, 1 +3( 1 2 )+2( 1 3 )= ( 2 3 )+3( 2 1 )=0 yani, ( 3 1 )+4( 3 2 )=0 denklem sistemi elde edilir. Buradan, B = = = olur. Böylece, 3 = =68 2 =16ve =0 1 =24 bulunur Alıştırma Şekilde akım yönleriyle birlikte bir elektrik devresi verilmiştir. Buna göre 1 2 ve 3 akımlarının kaç amper olduklarını belirleyiniz. 1 A 2 80V + I 2 1 I 1 C 3 I D 1 B Yanıt : 1 =29 2 =8 3 =19

21 Lineer Denklem Sistemleri 39 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Lineer Denklem Sistemleri) = =3 denklem sisteminin kaç çözümü vardır? + +2 =1 A) 1 B) 2 C) 3 D) Çözüm Yok E) Sonsuz Çözüm +2 + = =3 denklem sisteminin kaç çözümü vardır? 8 5 =1 A) 1 B) 2 C) 3 D) Çözüm Yok E) Sonsuz Çözüm ½ + =3 denklem sistemiyle ilgili aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? + = I. Bu sistemin daima sonsuz çözümü vardır. II. Bu sistemin sadece =3durumunda sonsuz çözümü vardır. III. =3için sistemin çözümü yoktur. IV. =3için sistemin çözümünün olabilmesi için, =9olmalıdır. V. =2ve =2için sistemin bir tek çözümü vardır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ½ + =3 denklem sisteminin çözüm kümesi hangisidir? + + =4 A) {(1 2 1)} B) {( ) =(1 3 ) R} C) Çözüm Yok D) {( ) =( 3 1) R} E) {( ) =( 3 0) R} +2 + = =4 denklem sistemi aşağıdakilerden hangisine denktir? = = =3 ½ +2 + =3 A) + +3 =1 B) +3 =1 C) +3 = =3 = = =3 D) +3 =1 E) +3 = =3 =1

22 40 Mühendisler İçin Lineer Cebir = = =3 denklem sisteminin kaç çözümü vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) Çözüm Yok E) Sonsuz Çözüm +2 + =2 + + =3 denkleminin sonsuz çözümünün olması için + =? + = A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) =1 + =5 3 3 = 2 + = sisteminin sonsuz çözümü varsa =? A) 10 B) 12 C) 8 D) 9 E) =0 +3 =0 +2 =0 homojen denkleminin sonsuz çözümü olması için kaç olmalıdır. A) 12 B) 13 C) 14 D) 13 E) = formundaki bir lineer denklem sisteminde, [ : ] genelleştirilmiş katsayılar matrisi matrisine denktir. Bu sistemin 1 parametreye bağlı sonsuz çözümü olduğuna göre, kaçtır? A) 0 B) 1 C) 1 D) 2 E) Hiçbiri 11. bilinmeyenlerine göre sırasıyla = formunda yazılan bir lineer denklem sisteminde, [ : ] genelleştirilmiş katsayılar matrisi matrisine denk olduğuna göre, =2için =? A) Çözüm yok B) 1 C) 1 D) 0 E) 2

23 Lineer Denklem Sistemleri = formundaki bir lineer denklem sisteminde, [ : ] matrisi elemanter satır operasyonlarıyla eşelon forma getiriliyor ve matrisi elde ediliyor. Buna göre aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I) =0için, sistemin 1 parametreye bağlı sonsuz çözümü vardır. II) =1için, sistemin 1 parametreye bağlı sonsuz çözümü vardır. III) =1için çözüm yoktur. IV) =0ve =1için sonsuz çözüm vardır. V) 6= 0için sistemin bir tek çözümü vardır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) = =0 + + =1 denklem sistemi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) =0için, sistemin 1 parametreye bağlı sonsuz çözümü vardır. B) = 2 için, sistemin çözümü yoktur? C) =1için çözüm yoktur. D) = 2 ve =1için sistemin çözümü yoktur. E) 6= 1için sistemin bir tek çözümü vardır. + =1 + = + = denklem sistemi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) = =1ise sonsuz çözüm vardır. B) =1ve 6= 1ise sistemin daima bir tek çözümü vardır. C) =0ise çözüm yoktur. D) =0ise çözüm yoktur. E) Hiçbiri 15. Aşağıdaki elektrik devresine göre 1 akımı kaç amperdir? 1 A 67V + I 2 2 I 1 C 3 I D 1. A) 24 B) 13 C) 17 D) 12 E) 16 B

24 88 Mühendisler İçin Lineer Cebir yandan, determinant tanımına göre, elde edilen son matriste, son satırdan sadece 44 üçüncü satırdan 33 ikinci satırdan 22 ve birinci satırdan da 11 alınabilir. O halde, permütasyonumuz, = 1234 olur ve det = = =36elde edilir. Not Alt üçgensel veya üst üçgensel bir kare matrisin determinantı köşegenlerin çarpımına eşittir. Örnek 3.17 A = matrisinin determinantı kaçtır? Çözüm : Önce, ilk satırı diğer tüm satırlardan çıkaralım. Bu determinantı değiştirmez Şimdi ise, ikinci satırı, 3 üncü, 4 üncü ve 5 inci satırlardan çıkaralım Benzer düşünceyle, üçüncü satırı 4 üncü ve 5 inci satırlardan çıkaralım Bundan sonra geriye, 4 üncü satırı 5 inci satırdan çıkarmak kalır. Böylelikle matrisi eşelon forma getirmiş oluruz Bu üst üçgensel matrisin determinantı ise asal köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. Buna göre, det =3 6 4=72elde edilir.

25 Determinant Alıştırma matrisinin determinantı kaçtır? Yanıt : 96. Örnek matrisinin determinantını bulunuz. Çözüm : En alt satırdan başlayarak, her satırdan bir üstündeki satırı çıkarırsak, elde edilir. Şimdi, beşinci kolonu diğer tüm kolanlara ilave edersek bulunur. Buradan, matrisin determinantı 6 ( 2) ( 2) ( 2) ( 1) = 48 elde edilir Alıştırma matrisinin determinantı kaçtır? Yanıt : 1024.

26 90 Mühendisler İçin Lineer Cebir Determinantın Kofaktörler Yardımıyla Hesaplanması (Laplace Açılımları) Tanım = [ ] matrisinin elemanının bulunduğu satır ve sütunun silinmesiyleeldeedilen( 1) ( 1) türünden matrisin determinantına elemanının minörü denir ve ile gösterilir. =( 1) + ile tanımlanan ifadesine de, elemanının kofaktörü denir Örnek 3.19 A = matrisinin A 23 A 31 A 33 kofaktörlerini bulunuz Çözüm : İstenen kofaktörler, 23 = ( 1) det = = ( 1) det = = ( 1) det =8 2 4 elde edilir Alıştırma A = matrisinin kofaktörlerini bulunuz Yanıt : 11 = 3 12 = 13 =0 21 =2 22 = 2 23 = 31 = 32 =0 33 = Teorem, =[ ] kare matrisinin elemanının kofaktörü olsun. Buna göre, veya det = det = şeklindedir. X = (r inci satıraçılımı) =1 X = (s inci sütun açılımı) =1

27 Determinant 91 Örnek 3.20 A = matrisinin determinantını bulunuz. Çözüm : En çok sıfır olan üçüncü satıra göre kofaktör açılımıyla determinantı hesaplayabiliriz. det =3 ( 1) = 3 [( ) ( )] = 3( 11) = Alıştırma = Yanıt : 8. Örnek 3.21 A = x 2 matrisinin determinantını bulunuz. Çözüm : İkinci sütuna göre kofaktör açılımı yapalım det = 2 ( 1) = ( 2) = ( 2) (5) ( 1) = 10( 3) ( 1) = 30( 1) olduğundan, =2elde edilir. matrisinin determinantı 30 ise x =? 1 0 İlk satıra göre açalım. Şimdi işlemi yapalım İlk satıra göre açalım.

28 Vektörler ve Uygulamaları Alıştırma u = (1 1 1) ve v = (1 2 3) vektörleri tarafından gerilen uzayı bulunuz. Yanıt : V = {( ) : 2 + =0 R} 4.22 Alıştırma w =(114 1) vektörünün, u =(152) ve v =(123) vektörleri tarafından gerilen düzlemde olduğunu gösteriniz. Yanıt : 1. Yol. det w u v =0olduğu görülebilir. 2. Yol : w =4 u 3 v olduğu görülebilir. 3. Yol : Sp u ª v = {( ) :11 3 =0} olduğu bulunur ve w vektörünün bu düzlem denklemini sağladığı görülebilir. Lineer Bağımsızlık ve Lineer Bağımlılık Tanım R uzayında, u 1 u 2 u vektörleri ve 1 2 R için, olması, ancak ve ancak 1 u u u = 0 1 = 2 = = =0 olmasıyla mümkün ise, u 1 u 2 u vektörlerine R de lineer bağımsız vektörler denir. Diğer yandan, 1 u u u = ~0 olacak şekilde 1 2 R sayılarından en az biri sıfırdan farklı olarak bulunabiliyorsa, u 1 u 2 u vektörlerine R de lineer bağımlı vektörler denir. Örneğin : R 2 de x =(13) ve y =(39) vektörleri lineer bağımlıdırlar. y =3 x dir. y 3 x = ~0 eşitliğinde, hem 1 =1hem de 2 = 3 sıfırdan farklıdır. R 2 de x = (1 1) ve y = (1 0) vektörleri için, 1 x + 2 y = 0 eşitliğinin sağlanması, ancak ve ancak 1 = 2 =0durumunda mümkündür. O halde, x ve y lineer bağımsızdır. R 3 de x =(234) y =(342) ve z =(126) vektörleri lineer bağımlıdırlar. Çünkü, z =2 x y yani, 2 x y z = 0 olduğundan, herhangi bir vektör diğerlerine bağlı olarak yazılabilir. R 3 de x =(111) y =(101) ve z =(110) vektörleri lineer bağımsızdırlar. Çünkü, bu vektörlerin herhangi birini, diğer ikisinden elde etmek hiç bir şekilde mümkün değildir. x y z arasındaki, 1 x +2 y+3 z = 0 eşitliğinin sağlanması için, ancak ve ancak 1 = 2 = 3 =0olması gerekir.

29 142 Mühendisler İçin Lineer Cebir R 2 de aynı doğrultudaki iki vektör lineer bağımlıdır Alıştırma R 2 de lineer bağımlı iki vektör yazınız. R 3 de aynı düzlemdeki üç vektör lineer bağımlıdır Alıştırma R 3 de lineer bağımlı üç vektör yazınız. Yanıt : Herhangi x ve y vektörleriyle birlikte, üçüncü bir z vektörü z = x + y R alınırsa, x y z vektörleri lineer bağımlı olur. Buna göre üç vektör yazınız. Örnek 4.26 R 3 de x = (1, 2, 3), y = (1, 1, 0) ve z = ( 1, 0, 1) vektörlerinin lineer bağımsızolduğunu gösteriniz. Çözüm : 1 x +2 y +3 z = 0 durumunun sadece 1 = 2 = 3 =0iken sağlandığını göstermeliyiz. eşitliğinden, 1 (1 2 3) + 2 (1 1 0) + 3 ( 1 0 1) = (0 0 0) { = =0ve =0 olur ki, tek çözüm 1 = 0 2 = 0 3 = 0 çözümüdür. O halde, x y z lineer bağımsızdır. Not i) R uzayında vektör verilsin. ise bu vektörler kesinlikle lineer bağımlıdırlar. Örneğin, R 3 uzayında verilen 4 vektör kesinlikle lineer bağımlıdır. ii) R uzayında, vektörle oluşturulan matrisin rankı, dan küçükse bu vektörler yine lineer bağımlıdırlar. Yani, verilen vektörler matrisin satırları gibi düşünülerek, matris formunda yazılıp, eşelon forma getirildiğinde, en altta tamamı sıfır olan satır varsa, bu vektörler kesinlikle lineer bağımlıdırlar. Fakat, rank tam ise, lineer bağımsızdırlar. iii) R uzayında verilen vektörün oluşturduğu matrisin determinantının sıfır olması demek, bu determinantın herhangi bir satırının diğer satırlara bağımlı olduğunu, dolayısıyla bu vektörlerin lineer bağımlı olduklarını gösterir. Örneğin, R 3 de verilen üç vektörün oluşturduğu 3 3 determinantı göz önüne alalım. Eğer, bu üç vektör lineer bağımlı ise, herhangi bir vektör, diğer vektörlere bağlı olarak yazılabileceğinden determinant sıfır olur. Örneğin, x y ve x + y vektörlerini gözönüne alalım. Determinant özellikleri kullanılırsa, det x y x + y = det x y x + x y y = 0+ 0=0 olduğu görülebilir.

30 Vektörler ve Uygulamaları 143 Örnek 4.27 R 3 de x = (1, 2, 2), y = (2, 2, 3) ve z = (3, 2, 4) vektörlerinin lineer bağımlı olduğunu gösteriniz. Çözüm : Vektörleri matrisin satırları olarak yazalım ve eşelon forma getirelim Eşelon formda, son satırın tamamen sıfır olması, bu vektörün diğer vektörler cinsinden yazılabileceğini, dolayısıyla, x y z vektörlerinin lineer bağımlı olduklarını gösterir. Örnek 4.28 R 3 de x=(1,k,3), y=(2, 2, 3) ve z = (2, 1, 1) vektörleri lineer bağımlı ise k kaçtır? Çözüm : x y z lineer bağımlı ise, det x y z =0olmalıdır. Buna göre, =4 7= olması gerektiğinden, =74 olur Alıştırma R 3 de x =(1 4 3), y =(03) ve z =(2 1 1) vektörleri lineer bağımlı ise kaçtır? Yanıt : Alıştırma R 4 de x =( ), y =(12 3), z =( ) ve w=( ) vektörleri lineer bağımlı ise kaçtır? Yanıt : det x y z w =0eşitliğinden =3olur. Taban (Baz) Tanım V bir vektör kümesi olsun. Bu kümede verilen u 1 u 2 u ª vektörleri hem lineer bağımsız ise, hem de V deki her vektör, bu vektörler cinsinden yazılabiliyorsa, yani V uzayını geriyorlarsa, u 1 u 2 u ª vektörlerine V uzayının bir tabanı denir. Örneğin,~i~j~k vektörleri R 3 uzayının bir tabanıdır. Bu üç vektör hem lineer bağımsızdırlar, hem de R 3 uzayını gererler Bu tabana, R 3 uzayının standart tabanı denir. R 3 uzayı için sonsuz sayıda taban bulunabilir. Örneğin, x =(1 1 0) y =(0 1 1) ve z =(1 0 1) vektörleri R 3 de lineer bağımsız olan ve R 3 ü geren üç vektördür. Bu vektörler de, R 3 için bir tabandır. R uzayındaki lineer bağımsız vektör, daima R uzayını gereceğinden, R uzayında alınan vektörden oluşan her lineer bağımsız vektör kümesi, R uzayı için bir tabandır.

31 144 Mühendisler İçin Lineer Cebir 4.27 Alıştırma R 2 uzayınınfarklı iki tabanını yazınız Alıştırma R 3 uzayınınfarklı iki tabanını yazınız. Örnek 4.29 Birvektöruzayında verilen vektörlerin lineer bağımsız olması, taban olması için yeterli midir? Bir tane örnek vererek açıklayınız. Çözüm : Yeterli değildir. Örneğin, R 3 uzayında x =(1 0 0) ve y =(0 1 0) vektörleri lineer bağımsızdır. Fakat, R 3 uzayını germezler. Bu nedenle x y ª taban olamaz. Örnek 4.30 Bir vektör uzayında verilen vektörlerin, o uzayı germesi, taban olması için yeterli midir? Bir tane örnek vererek açıklayınız. Çözüm : Yeterli değildir. Örneğin, R 2 uzayında x =(10), y =(01) ve z =(11) vektörleri R 2 uzayını gererler. Fakat, bu üç vektör lineer bağımsız olmadıklarından ( z = x + y ), R 2 uzayının tabanı değillerdir Alıştırma x =(100), y =(010) z =(111) ve w =(123) vektörleri R 3 uzayının tabanı olabilir mi? Yanıt : R 3 de, 4 vektör lineer bağımsız olamayacağından, taban olamazlar Alıştırma x = ( ), y = ( ) z = ( ) vektörleri R 4 uzayının neden tabanı değildir? Yanıt : R 4 uzayını, 3 vektörle germek mümkün olmadığından taban olamazlar. Not u 1 u 2 u vektörleri tarafından gerilen, Sp u 1 u 2 ª u = V uzayından, seçilecek maksimum sayıdaki lineer bağımsız vektör, V uzayının bir tabanı olur. R uzayından seçilen herhangi tane lineer bağımsız vektör, R uzayının tabanıdır. Tanım V bir vektör uzayı olsun. V uzayının tabanındaki vektör sayısına V uzayının boyutu denir ve (V) ile gösterilir. (R )= olduğu açıktır. boyutlu bir uzaydan seçilen vektör, bu uzayın bir tabanıdır.

32 Vektörler ve Uygulamaları 151 Öklid İç Çarpımını Kullanarak İki Vektörün Arasındaki Açının Bulunması 4.7 Teorem x ve y, R uzayında iki vektör olsun. x ve y arasındaki açı ise, cos = x y x y dir. Kanıt : R uzayında, aralarındaki açı olan x ve y vektörlerini alalım. x y ve x y vektörleri şekildeki gibi bir üçgen oluştururlar ve bu üçgenin kenarları x y ve x y uzunluğuna sahiptir. Şimdi, Kosinüs teoremini uygulayacağız. x y 2 = x 2 + y 2 2 x y cos eşitliğinde, sol taraftaki x y 2 normunu, x y 2 = x y x y = x x x y y x + y y = x 2 2 x y + y 2 şeklinde yazarsak, x 2 2 x y + y 2 = x 2 + y 2 2 x y cos eşitliğinde, sadeleştirmeler yapılarak, x y = x y cos elde edilir. Böylece, x y cos = x y bulunur. Örnek 4.40 Sıfırdan farklı iki vektörün dik olmasıyla, iç çarpımları arasında nasıl bir bağıntı vardır? Çözüm : Aralarındaki açı 90 olan x ve y vektörlerini alalım. cos 90 =0olduğundan, x y cos = x y =0 eşitliğinden, x y =0elde edilir. Sonuç olarak, iki vektörün iç çarpımı 0 ise, bu iki vektör birbirine dik olacaktır. ( x ve y birbirine diktir) x y x y =0

33 Vektörler ve Uygulamaları 153 Not Bir V vektör uzayının, tabanındaki tüm vektörler birbirine dik ise, bu tabana V uzayının ortogonal tabanı denir. Bu vektörlerin herbiri ayrıca birim vektör ise bu tabana ortonormal taban denir. Örneğin, R 2 uzayında, u 1 =(3 4) u 2 =(4 3) ª bir ortogonal tabandır. Bu vektörlerin herbirinin normuna bölünerek birim yapılırsa, elde edilen ½µ µ ¾ 5 tabanı, bir ortonormal tabandır. R 3 uzayında da, u 1 =(1 2 2) u 2 =(2 1 2) u 3 =(2 2 1) ª tabanı bir ortogonal taban, ½ u 1 = 1 3 (1 2 2) u 2 = 1 3 (2 1 2) u 3 = 1 ¾ (2 2 1) 3 tabanı ise bir ortonormal tabandır. Örnek 4.43 R 2 uzayının u = (5, 12) vektörünü içeren bir ortogonal tabanını bulunuz ve bu tabandan da bir ortonormal taban elde ediniz. Çözüm : v =( 12 5) alınırsa, u v =0olacağından, u =(5 12) ; v =( 12 5) ª bir ortogonal taban olur. Her bir vektör normuna bölersek, ½µ µ 12 ; ¾ 13 ortonormal tabanını elde ederiz. Not Ortogonal bir matriste : i) Tüm satır ve tüm sütun vektörleri birbirine diktir. ii) Tüm satır ve sütun vektörlerinin uzunluğu 1 dir. Örnek 4.44 A = 1 2 b =? c =? c 1 b a 1 matrisi bir ortogonal matris ise, a =? Çözüm : h 1 2 i =0eşitliğinden, =1 h 1 3 i =0eşitliğinden, =1ve son olarak, h 1 4 i =0eşitliğinden, = 1 elde edilir. Bu değerleri için = olduğunu görebilirsiniz.

34 Vektörler ve Uygulamaları 155 Öklid İç Çarpımını Kullanarak Alan Hesaplamalarının Yapılabilmesi 4.8 Teorem x ve y, R uzayında iki vektör olsun. x ve y arasındaki açı olmak üzere, x ve y ile oluşturulan paralelkenarınalanı dir. x y = q x x y y x y 2 Kanıt : Aralarındaki açı olan, x ve y vektörleriyle oluşturulan paralelkenarın alanını x y = x y sin ile bulabiliriz. sin = 1 cos 2 yazalım. Diğer yandan, cos = x y x y olduğunu da kullanırsak, v x y = x u x y t 2 y 1 x 2 y 2 = q x 2 y 2 x y 2 = q x x y y x y 2 elde edilir. Üçgenin alanı için bu değer 2 ye bölünür. Örnek 4.47 x=(1, 3, 2) ve y=(2, 3, 1) vektörleriyle oluşturulan paralelkenarın alanını bulunuz. Çözüm : x q x y = x y y x 2 y eşitliğinden, elde edilir. x y = =3 3 Örnek 4.48 Köşelerinin koordinatları A (1, 1, 1) B (4, 1, 3) ve C (1, 3, 4) olan üçgenin alanını bulunuz. Çözüm : Önce noktadan vektöre geçelim. x = = =(3 0 2) ve y = = =(0 2 3) denilirse, üçgenin alanı : () = 1 q x x y y x 2 1 y = = bulunur.

35 156 Mühendisler İçin Lineer Cebir Örnek Şekildeki dikdörtgenler prizması şeklindeki odanın bir köşesinde bulunan üçgen duvarın odaya bakan yüzü boyanacaktır. T [MC] nin orta noktası, S ise [ML] nin orta noktası olduğuna göre, bu yüzün alanını bulunuz. Çözüm : N(6 0 0) S(0 4 0) ve T(0 0 5) olduğundan, x = NT =T N= ( 6 0 5) y = NS =S N= ( 6 4 0) olduğu göz önüne alınırsa, () = 1 q x x y y x 2 1p y = = elde edilir Alıştırma Köşelerinin koordinatları (1,1,0) (2,3,3) ve (2,1,1) olan üçgenin alanını bulunuz. Yanıt : Alıştırma x = (1 2) ve y = (2 1) vektörleriyle oluşturulan paralelkenarın alanını bulunuz. Yanıt : 3. Örnek 4.50 Köşelerinin koordinatları A (1, 1, 1) B (2, 2, 1) ve C (1, 3, 3) olan üçgenin çevrel çemberinin alanını hesaplayınız. Çözüm : sin = 1 ( :Çevrel çemberin yarıçapı) olduğunu hatırlayınız. Buna göre, 2 x = =(110) ve y = =0olduğundan, x y cos = x y = 2 = sin = 2 q bulunur. Buradan, = = ( 1) = 6 olduğundan, = 6 2sin = = 2 3 bulunur ki, çevrel çemberin alanı : = 2 =2 elde edilir Alıştırma R 4 uzayında köşelerinin koordinatları ( ) ( ) ve ( ) olan üçgenin çevrel çemberinin alanını hesaplayınız. Yanıt : 27 5

36 Vektörler ve Uygulamaları 157 Öklid İç Çarpımını Kullanarak Dik İzdüşüm Vektörünün Bulunması 4.9 Teorem x y R sıfırdan farklı vektörleri verilsin. x vektörünün, y vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü ile bu vektörün uzunluğu x y = İzd x x y y = y y ve x x y y y = y ile bulunur. olduğu kullanılırsa, bulunur. Kanıt : ~e y doğrultusundaki birim vektör olsun. Buna göre, y x ~e = y = x yazılabilir. Bu eşitlikten, x x = y y elde edilir. Diğer yandan, x = x cos = x x y x y = x y y x = İzd x x y x y = y y 2 y = y y y Örnek 4.51 x=(1, 1, 3) vektörünün y=(2, 3, 1) vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünü bulunuz. Çözüm : Formül uygulanarak İzd x x y y = y y = 8 4 y = (2 3 1) y 14 7 elde edilir. Siz, formül uygulamak yerine, kanıtta kullandığımız yöntemle bulmaya çalışınız Alıştırma x =(01101) vektörünün y =(01111) vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğunu bulunuz. Yanıt : x x y y = y = Alıştırma x =(211) vektörünün y =(113) vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünü bulunuz. Yanıt : x = 6 (1 1 3) 11

37 172 Mühendisler İçin Lineer Cebir Vektörel Çarpım ve Geometrik Uygulamaları Tanım Skaler çarpımın sonucu bir skaler değerdir. İki vektörün vektörel çarpımı ise bir vektördür. Uzayda x =( ) ve y =( ) gibi iki vektörün vektörel çarpımı; ~i ~j ~k x y = x y = ( ) şeklinde tanımlanır. Bu tanıma göre, iki vektörün vektörel çarpımının sonucunda yeni bir vektör elde edilir. Örnek 4.65 bulunuz. Çözüm : x y =det x = (1, 2, 3) ve y = (0, 2, 1) olduğuna göre, x y vektörünü ~i ~j ~ k =( 4 12) olur. Bu vektörün hem x hem de y vektörüyle iç çarpımının sıfır olduğunu ve dolayısıyla x ve y vektörlerine dik olduğunu görünüz şeklinde hesap Not : x y = lanabilir. ~i ~j ~k = µ Alıştırma x = (1 1 2) ve y = (1 2 1) olduğuna göre, x y vektörünü bulunuz. Yanıt : ( 3 1 1) 4.72 Alıştırma x =( 123) ve y =(3 2 1) olduğuna göre, x y vektörünü bulunuz. Yanıt : (8 10 4)

38 ÖzdeğerveÖzvektör Bir Lineer Operatör Hangi Vektörün Doğrultusunu Değiştirmez? (Bir Matris Hangi Vektörle Çarpılırsa, Vektörün Doğrultusu Değişmez?) Özdeğer ve özvektör tanımını vermeden önce, bu bölüme bir problemle başlayalım. Soru : Herhangi bir türünden kare matrisi verilsin. Sıfır vektöründen farklı, öyle vektörler bulunuz ki, matrisiyle çarpımı, yine bu vektör doğrultusunda bir vektör versin. Kısaca, problemimiz R uzayından, yine R uzayına tanımlanmış bir dönüşümün hangi vektörlerin doğrultusunu değiştirmediği problemidir. Bu soruyu 2 2 türünden matris için çözelim. Bir 1 2 = 3 2 matrisi alalım. u =(1 2 ) 6= 0 olsun. u vektörünün, u doğrultusunda olmasını istiyoruz. Ohalde,bir R için, u = u olmalıdır = eşitliğini, = veya µ = 0 şeklinde yazabiliriz. u vektörü sıfırdan farklı bir vektör olduğuna göre, buradan elde edilecek homojen denklem sisteminin, sıfırdan farklı bir ( 1 2 ) çözümünün olması için ancak ve ancak µ det = olması gerekir. Buradan, 1 2 det 3 1 = =0 1 =4veya 2 = 1 elde edilir. Yani, istenilen şekildeki vektörler için, değeri ya 4, yada 1 olabilir. Buna göre, u vektörünü bulalım.

39 200 Özdeğer ve Özvektör u =4 u = = 0 0 = 0 eşitliğinden, 1 = elde edilir. Buna göre, 2 =3alınırsa, 1 =2olur ki, u = (2 3) = (2 3) vektörü, problemin koşulunu sağlar. Böylece, u 1 = (2 3) alabiliriz. = 1 için de, bir u vektörü bulalım. u = u = = = elde edilir. Buradan, 1 = 2 olur. 2 = ise 1 = dir ve u =( ) = ( 1 1) vektörü problemin koşulunu sağlar. Buna göre, problemin koşulunu sağlayan bir başka vektör de u 2 =( 11) alınabilir. Böylece, 2 2 bir matris için, istenen koşulu sağlayan iki lineer bağımsız vektör bulmuş olduk. Tanım türünden bir matris olmak üzere, skaleri ve sıfırdan farklı bir u vektörü için, u = u eşitliği sağlanıyorsa, sayısına matrisinin özdeğeri (karakteristik değeri), u vektörüne de sayısına karşılık gelen matrisinin özvektörü (karakteristik vektörü) denir. Yani, bir matrisinin, çarpıldığında doğrultusunu değiştirmediği vektörlere o matrisin özvektörleri denir. Bu tanımı, "R uzayında tanımlı bir lineer dönüşümün doğrultusunu değiştirmediği vektörlere, bu dönüşümün özvektörleri denir" şeklinde de ifade edebiliriz. u = u eşitliğini, u =( ) u ( ) u = ~0 şeklinde yazarak, bir homojen denklem sistemi elde ederiz. u vektörü sıfırdan farklı bir vektör olduğundan, böyle bir homojen denklem sisteminin sıfırdan, yani aşikar çözümden farklı çözümlerinin olabilmesi için, det ( ) =0olması gerekir. matrisi türünden olduğu için, bu eşitlik bize inci dereceden bir polinom denklem verir. () =det( ) inci dereceden polinomuna, matrisinin karakteristik polinomu denir. Bir matrisinin, tüm özdeğerlerinin kümesine kümesini tayf ı veya spektrum u denir.

40 202 Özdeğer ve Özvektör A = [a ] için, det (λi A) =0denkleminin kökleri, A matrisinin özdeğerleridir. Örnek matrisinin özdeğerlerini bulunuz. Çözüm : det ( 2 ) =0denkleminin köklerini bulacağız. µ 1 0 det = det 2 2 = 2 5 6=0 denkleminden, 1 = 1 ve 2 =6bulunur. Özdeğerleri 1 ve 6 dır. 6.2 Alıştırma Yanıt : Alıştırma matrisinin özdeğerlerini bulunuz. matrisinin özdeğerlerini bulunuz. Yanıt : Alıştırma matrisinin özdeğerlerini bulunuz. Yanıt : Reel özdeğeri yoktur. 6.5 Alıştırma Yanıt : Alıştırma Yanıt : matrisinin özdeğerlerini bulunuz. matrisinin özdeğerlerini bulunuz.

41 Özdeğer ve Özvektör 207 A = [a ] matrisinin özvektörlerinin bulunması Bir =[ ] matrisi verilsin. 1. Öncelikle det ( ) =0eşitliğinden, özdeğerlerinin bulunması gerekir. 2. Her bir değeri için, u =[ 1 2 ] olmak üzere, u = u yani, ( ) u = ~0 eşitliği kullanılarak, 1 2 bilinmeyenleri bulunur. ve parametreye bağlı iseler buna göre ifade edilir. Bu denklem sisteminin, katsayılar matrisi ( ) olan bir homojen denklem sistemi olduğuna dikkat ediniz. Bu katsayılar matrisi çoğu zaman elemanteer satır operasyonlarıyla basitleştiririlir. 3. u özdeğerine karşılık gelen herhangi bir özvektör olmak üzere, V 0 = u : R ª uzayı, özdeğerine karşılık gelen özuzaydır ve R uzayının bir altuzayıdır. Bu kümedeki, 0 vektörü dışındaki her vektör, özdeğeri için bir özvektördür. Örnek 6.10 A = Çözüm : det ( 2 ) =0eşitliğinden, µ µ matrisinin özvektörlerini bulunuz. = =0 olur ki, buradan 1 =2ve 2 =5bulunur. Buna göre, u = ve ( ) u = ~0 için, µ ½ =0 1 =2 2 = = =0 eşitliğinden, = = 2 olur. Buradan, =2 ye karşılık gelen özvektör u 1 =(1 2) ve özuzayı : V 2 = {(1 2) : R} olur. Benzer şekilde, µ 1 = = ½ 0 + =0 = =0 eşitliğinden, = = olur. Buradan, =5 e karşılık gelen özvektör u 2 =(1 1) ve özuzayı : V 5 = {(1 1) : R} olur.