T I M U R K A R A Ç AY- H AY D A R E Ş - İ B R A H I M İ B R A H I M O Ğ L U C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K

Transkript

1

2

3 T I M U R K A R A Ç AY- H AY A R E Ş - İ B R A H I M İ B R A H I M O Ğ L U C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K

4 Copyright 7 Timur Karaçay-Haydar Eş-İbrahim İbrahimoğlu BU KITAP BAŞKENT ÜNIVERSITESINE HAZIRLANMIŞTIR. A N K A R A Büyün hakları saklıdır. Yazarların izni alınmaksızın, bu kitabın tamamı vaya bir kısmı elektronik, mekanik, fotokopi veya başka bir yolla çoğaltılamaz, kopyalanamaz, basılamaz, internet ve bilgisayar ortamında tutulamaz. Bu konuda TELİF HAKLARI YASASI HÜKÜMLERİ geçerlidir. Birinci baskı, Eylül 7

5 Contents Katlı İntegral 9 Hacim hesapları 33 Fiziksel uygulamalar 4 Üç Katlı İntegraller 67 Index 8

6

7 Cumhuriyeti kuranlara adanmıştır. 7

8

9 Katlı İntegral Bu bölümde iki ve üç katlı integral uygulmlarına yer verilecektir. Figure : Riemann toplamı İki katlı İntegral f : [a,b] R R, y f (x) fonksiyonunun tek katlı integralini, el t ax b ak t [x i, x i ] olmak üxere b a f (x)d x lim n n f (t) x i () Riemann toplamının limiti olarak tanımlamıştık. f (x) ise b a f (x)d x integrali [a,b] aralığı üzerinde ve f fonksiyonunun grafiği altında kalan i düzlemsel bölgenin alanına eşit olduğunu biliyoruz. Şimdi, tek değişkenli fonkiyonlar için bildiğimiz bu integral kavramının f : R R, z f (x, y) () Figure : Riemann toplamı iki eğişkenli fonksiyonuna genelleştireceğiz. tek katlı integraldeki küçük z uzunluğu yerine küçük el t axel y a y dikdörtgen alanı gelecektir. S yüzeyi S {(x, y, z) R 3 z f (x, y), (x, y) } (3) olsun. f : R R, z f (x, y) (4) fonksiyonu bölgesinde tanımlı ve her (x, y) için f (x, y) M olacak biçimde bir M sayısı var olsun. Eğer Figure 3: Riemann toplamı {(x, y) a x b, c y d} (5) ise, koordinat eksenleine paraleller çizerek, bölgesini Şekil (3) deki gibi sonlu sayıda küçük dikdörtgenlere ayıralım. Oluşan küçük dikdörtgenler ailesine bölgesinin bir bölüntüsü (partition) denilir. Bu bölüntüyü P ile gösterirsek; Figure 4: Bölüntü i j [x i, x i ] [y j, y j ] {(x, y) x i x x i, y j y y j } (i,,3,...,m; j,,3,...,n) olur. Bölüntü aralıklarını eşit alarak, x b a m, y d c n (6)

10 C A LC U LU S diyelim. i j dikdörtgenlerinin herbirisin alanı A i j x i. y j (7) dir. Bu dikdötgen alanının köşegen uzunluğuna d i j diyelim. pisagor teoreminden, d i j (δx i ) + ( y j ) olur. P max{d i j : (i,,3,...,m; j,,3,...,n)} (8) olacaktır. lim P m,n Tanım.. f (x, y) fonksiyonu bölgesinde sürekli ise, yukarıdaki limitler vardır. olayısıyla, bir bölgede sürekli olan iki değişkenli fonksiyonun o bölge üzerinde iki katlı integrali vardır. f (x, y) ise z f (x, y) yüzeyinin altında ve bölgesinin üzerinde oluşan katı cismin hacmi V f (x, y)d A (9) dır. 3 f (x, y) ise z f (x, y) yüzeyinin altında ve bölgesinin üzerinde oluşan katı cismin hacmi V A A olacağından, bölgesinin alanı A d A () olur. ve (s, t) i j olmak üzere f (x, y)d A lim m m,n i j lim m P i j n f (s, t) A i j n f (s, t) A i j limiti varsa, bu limite f (x, y) fonksiyonunun bölgesinde iki katlı integrali denilir. 3 Süreksizlik noktalarını atarak fonksiyonun sürekli olduğu bir bölgesinde integralini tanımlayabiliriz. R ve f fonksiyonu üzerinde sürekli olmak üzere f (x, y) (x, y) F (x, y) (x, y) tanımını yapalım. Buradan f (x, y)d A F (x, y)d A () çıkar. İki Katlı İntegralin Özelikleri. αf (x, y)d A α f (x, y)d A (α R) (). 3. ( f (x, y) ± g (x, y ) d A R f (x, y)d A ± f (x, y)d A (3) I f (x, y)d A f (x, y)d A + f (x, y)d A, (, ) 4. Her (x, y) için f (x, y) g (x, y) ise 5. f (x, y)d A g (x, y)d A (4) f (x, y)d A g (x, y) d A (5) Bunların ispatları iki katlı integral tanımından çıkarılabilir.

11 KATLI INTEGRAL Ardışık İntegral Çok katlı integral hesabı yaparken, tanımı kullanmak pratik değildir. Onun yerine katlı integrali tek katlı integrallerin art arda uygulanması haline dönüştürebiliriz. Bu yöntem işi çok kolaylaştırır. bölgesi (5) gibi verilsin. Bu durumda eşitliği vardır. f (x, y)d A b a ( d c ) f (x, y)d x d y (6) Bu eşitlikte x le y değişkenlerinin sırası değişirilebilir: d ( b ) f (x, y)d A f (x, y)d y d x (7) Örnek.. c a x yd A (8) integralini { x 3; y } bölgesi üzerinde bulunuz. Çözüm : I x yd A ( x yd yd x (x y 3 x d x ) x yd y d x y d x 7 Çözüm : I 3 x yd A ( 3 x yd x y (y x3 3 ) x yd y d x 3 9yd y x d y 7 Theorem.3. (Fubini) f (x, y) fonksiyonu {a x b;c y d} bölgesi üzerinde sürekli ise eşitliği vardır. f (x, y)d A b d a c f (x, y)d yd x d b c a f (x, y)d xd y

12 C A LC U LU S Örnek.4. { x ; y } bölgesi üzerinde x y 5 d A (9) integralini bulunuz. Çözüm : I x yd A ( ( ) x y 5 d y d x 7 8 ) x y 5 d x d y 7 8 Örnek.5. f (x, y) () fonksiyonunun { x 4; 3 y 6} bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Örnek.6. d A d x d y 4 3 4d y 8 f (x, y) 6x y () fonksiyonunun {[, 4] [, ]} bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Çözüm : 6x y d A (6x y )d y d x ( x y 3 ) d x 4x d x 7x 4 84 ntegrallerin sırasını değiştirirsek, Çözüm : 4 6x y d A (6x y )d y d x 4 y 3 84 ( 3x y ) 4 d x 4x36y d y Örnek.7. f (x, y) x 4y 3 () fonksiyonunun {[ 5, 4] [, 3]} bölgesi üzerinden integralini bulunuz.

13 KATLI INTEGRAL 3 Çözüm : 4 x 4y 3 d A (x 4y 3 )d y d x (x y y 4 ) 3 d x (6x )d x (3x 8x) Örnek.8. f (x, y sin x 3y 3 + 5, (3) fonksiyonunun {x + y } bölgesi üzerinden integralini bulunuz. d A + d A (sin x 3y 3 + 5)d x d y (sin x)d x d y + d A A ( 3y 3 )d x d y (5)d x d y Örnek.9. f (x, y 6x y, (4) fonksiyonunun A { x ; y x } bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Çözüm : d A A x x6 6x yd yd x (3x y x y d x 3x 5 d x (64) () 3

14 4 C A LC U LU S Çözüm : d A A y 6x yd yd x ( 3x y x y d x 3xy y d x (y 3y )d y (6y y 3 4 (6(4 ) 4 3 ) 6( ) 3 Örnek.. f (x, y y z (5) fonksiyonunun V { y ; z y ; x z} bölgesi üzerinden integralini bulunuz. z y Neden İntegral sırasını değiştiriyoruz* Katlı integrali ardışık integral (iterated) haline getirebidiğimiz durumlarda, birisini öne ya da sona almak çoğu kez önem taşımaz. ama bazı durumlarda birisini öne almanın kolaylık sağladığı görülebilir. Bununla ilgili iyi bilinen iki örnek verceğiz. Örnek.. f (x, y) e x y (6) fonksiyonunun { x y; y } bölgesi üzerinden integralini bulunuz. e x y d A y (e ) e x y d x d y y (ye x )d y (e y)d y yd y (e )y (e ) Burada intgralin sırasını değiştirirsek x y d y integralini hesaplayamayız.

15 KATLI INTEGRAL 5 Örnek.. f (x, y) e x (7) fonksiyonunun { y x; x } bölgesi üzerinden integralini bulunuz. e x d A x e x d y d x (ye x y )d y (yex ) x d x ( xex ) d x (e ) Burada intgralin sırasını değiştirirsek x y d y integralini hesaplayamayız. Örnek.3. f (x, y) 6x y (8) fonksiyonunun { x 3; y } bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Örnek x yd yd x 3 3 x x y y d x 3x d x f (x, y) 6x y (9) fonksiyonunun { x ; y 3} bölgesi üzerinden integralini bulunuz. Örnek x yd xd y f (x, y) 56y 8 x 3 y 3 x d y 56yd y y x + y y (3) fonksiyonunun { x 4; y } bölgesi üzerinden integralini bulunuz.

16 6 C A LC U LU S 4 y 4 d yd x x + y ( x + 4 x ) d x ( x + 4 x) 4 ( ) 8 4) ( 5 ) ( ( ) 5 + ) ( ) 5 Örnek.6. f (x, y) y x + y (3) fonksiyonunun { x 4; y } bölgesi üzerinden integralini bulunuz. 4 y d xd y x + y ( ) y 4 + y + y d y ( ) 5 ) Örnek.7. f (x, y) x y (3) fonksiyonunun {(x, y) :, y 3)}, bölgesi üzerinden integralini bulunuz. x yd A x y x y d yd x 3 d x x( 9 ) d x x Örnek.8. Figure 5: Riemann toplamı f (x, y) x y (33) fonksiyonunun {(x, y) : x 4, 4 y 9} bölgesi üzerinden integralini bulunuz.

17 KATLI INTEGRAL x y d yd x x y d y d x 9 x y d yd x 4 x(3 ) 9 4 d x x(3 ) d x ( 3 )( 3 ) x 3 4 ( 4 )(8 ) Örnek.9. f (x, y) ye x (34) Figure 6: Riemann toplamı fonksiyonunun {(x, y) : x, y } bölgesi üzerinden integralini bulunuz. ye x d yd x e x y d x ( ) e x d x ye x d x d y ye x x d x y(e )d y (e ) y y ( (e ) ) Aşağıdaki integrallerde integral sırası önem kazanmaktadır. Hesabı kolaylaştıran integral sırasını belirleyerek integrali hesaplayınız. a) {(x, y) : x, y )}, xe x y d A Figure 7: Yüzey Altında

18 8 C A LC U LU S Figure 8: Bölüntü xe x y d A ( x xe x y d y d x ) e x y d y d x ( e x e x) d x ex e x ( e ) ( ) e e e + b) {(x, y) : x, y }, x +x y d A} u + x y,du xd y konumuyla; x + x y d A l n( + x y) d x [ln( + x) ln]d x ln( + x)d x (x + ) (ln(x + ) ln) (ln ) Figure 9: Bölüntü Verilen denklemlerin grafikleri ile sınırlanan bölgeyi grafikle gösteriniz ve küme gösterimiyle, düzgün x-bölgesi ve/veya düzgün y-bölgesi olarak ifade ediniz. a) y 5 x, y b) y x, y 4 {(x, y) x, y 5 x } {(x, y) y 5, 5 y x 5 y} Figure : Yüzey Altında Hacim {(x, y) x, x y 4} {(x, y) y 4, y x y} c) y x 6x + 8, x + y 8 d) y 5 + 4x x, x + y 5 {(x, y) y x 6x + 8, x + y 8} Figure : Sütünların Oluşumu {(x, y) x 5, x + 5 y 5 + 4x x }

19 KATLI INTEGRAL 9 Köşeleri (,),(3,3),(4,3) ve (5,) noktalarında olan dörtgensel bölge olsun. yi sadece sınır noktalarında ortak noktaları bulunan düzgün bölgelerin birleşimi olarak ifade ederek a) 4xd A! 3 4xd A x x x x 4 4xd A + x xd yd x 4xd yd x 4xd yd x 4xd A + 4xd A 3 ann toplamı 4yd A x x x x 4 4yd A + x yd yd x 4yd yd x 4yd yd x 4yd A + 4yd A 3 3 İntegrasyon bölgesi verilmiş olan çift katlı integrali hesaplayınız. a) {(x, y) : y x, x }, (x + x y)d A x b) {(x, y) : x < y, y }, (x + x y)d yd x 6 (4x y 3 )d A Figure 5: Riemann toplamı y 4x y 3 d xd y x y 3 y d y y 3 (y )d y y 5 d y Figure 6: Riemann toplamı y 6 c) {(x, y) : y x y, y }, x yd A y y x yd xd y 7 Figure 7: Riemann toplamı ç) {(x, y) : x y, y }, yex d A Figure 8: Riemann toplamı

20 C A LC U LU S x ye x d xd y e x y y x d y (e y y y)d y e y y e d) {(x, y) : y x, x }, e x+y d A Figure 9: Riemann toplamı x e x+y d yd x x (e ) e x e y d yd x İntegrasyon bölgesinin grafiğini çizerek integral sırasını değiştiriniz. a) x 3 f (x, y)d yd x x 4 Figure : Riemann toplamı x 3 x 4 f (x, y)d yd x 4 y 3 y f (x, y)d xd y Aşağıdaki integralleri integrai sırasını değiştirerek hesaplayınız (integral sırasını değiştirmeden hesaplamayı denemeyiniz!) a) x e y d yd x y e y d xd y e y x y d y ye y d y e y y e (e ) Figure : Riemann toplamı

21 KATLI INTEGRAL b) ye x d xd y y x 6 3e x e x x ye x d yd x y e x xd x x 3(e ) d x c) 4 y 4y + x d xd y 4 x y + x d yd x + x y x d x y x + x d x x + x d x Figure : Riemann toplamı l n( + x ) 4 ln(7) l n() ln(7) ç) 4 x + y d yd x y + y d xd y + y x y + y 4yd y ( + y ) 3 d y Figure 3: Riemann toplamı 3 3 ( ) (6) 5 3 b) y f (x, y)d xd y y c) 4x x 3 f (x, y)d yd x f (x, y)d xd y x f (x, y)d yd x Figure 4: Riemann toplamı Figure 5: Riemann toplamı

22 C A LC U LU S ç) 8 4x x 3 y y f (x, y)d yd x 4 f (x, y)d xd y 8 3 y y/4 f (x, y)d yd x Figure 7: Riemann toplamı 8 y y/4 f (x, y)d xd y 4x x f (x, y)d yd x İntegrasyon bölgesi verilen denklemlerin grafikleri ile sınırlanan çift katlı integrali hesaplayınız. a) {y x, y x} ile sınırlı, y d A y d A x x 3 y d yd x y 3 x 3 d x x 3 (x 6 x 9 )d x 3 3 [ x7 7 x ] 7 b) {y x, y 8 x ile sınırlı }, (4 y )d A Figure 8: Riemann toplamı (4 y )d A + x 4 8 x 5 5 ( (4 y )d yd x (4 y )d yd x ) Figure 9: Riemann toplamı e x d A x/ e x y e x d yd x x/ e x x d x xe x d x 4 (e4 ) d x

23 KATLI INTEGRAL 3 ç) {x, x y, y } ile sınırlı bölge, e y d A e y d A x/ e y d yd x e y/ x/ d x ( e / e )d x/4 x ( ) xe / + 4e x/ d x [( e + 4e ] ) ( + 4) Katlı İntegral Uygulamaları 8 4 e 8 e 8e 4 e 8 e Theorem.. {a x b; g (x) y g (x)} bölgesi üzerinde f (x, y) fonksiyonu sürekli ise olur. f (x, y)d A b g (x) a g (x) f (x, y)d yd x eğişkenlerin yerleri değiştirilirse, benzer sonuç elde edilebilir: {c y d;h (y) y h (y)} bölgesi üzerinde f (x, y) fonksiyonu sürekli ise olur. f (x, y)d A d h (x) c h (x) İspat: Ardışık integral tanımından çıkarılır. f (x, y)d xd y Örnek.. {y, Y x, x } doğruları ile sınırlı bölge ise (x + y)d A (35) integralini bulunuz. Çözüm : Örnek.. I (x + y)d A ( x I ( ) (x + y)d y ) (x + y)d x y e x d x 4 3 d y 4 3 f (x, y)d yd x integralinin ardışık integral sırasını değiştiriniz.

24 4 C A LC U LU S Çözüm : I e lny f (x, y)d xd y Örnek.3. x I f (x, y)d yd x x integralinin ardışık integral sırasını değiştiriniz. Çözüm : I Örnek.4. y+ y+ integralini hesaplayınız.. Çözüm : Örnek.5. y+ f (x, y)d yd x + y I I I x y e x e y d yd x e y d xd y ye y d y (x + y)d yd x f (x, y)d yd x integralinin ardışık integral sırasını değiştirerek hesaplayınız. Çözüm : I 7 y (x + y)d xd y Örnek.6. bölgesi x + y çemberi ile x + y elipsi ile sınırlı bölge ise integralini hesaplayınız. I x d A Çözüm : şekilden görüldüğü gibi olarak iki parçaya

25 KATLI INTEGRAL 5 ayırmalıyız. I x d A x x x x d A + x d A x d yd x + x x x x d x ( ) x x d x 4 ( ) x d yd x x x d x, (x si nt,d x costd t) 4 ( ) π/ si n tcos td t ( 4 ) 4 ( 4 ) 8 ( 4 ) 8 ( 4 ) π 6 ( )π 4 π/ π/ ( t si n td t ( cos4t)d t si n4t 4 π/ Örnek.7. bölgesi birinci dörtte birlik alanda x y 6, y x, y, x 8 eğrileri ile sınırlı bölge ise integralini hesaplayınız. I x d A Çözüm : Çözüm : I x d A 4 6/y 3 y I 4 x 448 ( 6 3 y 3 x d A + x d A x d xd y + ) d y + 3 x d A x d yd x + 8 y x d xd y (8 3 y 3 )d y x d A + x d A 8 6/x 4 x d yd x Örnek.8. bölgesi y x, y 8 x eğrileri ile sınırlı bölgenin alanını bulunuz. Al an A d A

26 6 C A LC U LU S integralini hesaplayınız. Çözüm : I x d A 8 x x d yd x ( (8 x ) x ) d x x d A + x d A 64 3 Alıştırmalar Aşağıdaki katlı hesaplayınız x ( x y)d yd x x cos y 3 d yd x y x x 4 y y x + x / y 4 x x/ y sin x d xd y (x + y )d yd x (x + e y )d xd y (x y)d yd x x d xd y x yd yd x y x y (x y)d xd y e y d xd y xd yd x x y xd xd y Katlı integralde değişken değiştirme Tek değişkenlilerde olduğu gibi, bazı durumlarda değişken değiştirerek katlı integral daha kolay hesaplanabilir hale dönüştürülebilir. Aslında katlı integrali ardışık integraller olarak hesaplayabildiğinmize göre, değişken değiştirimi tek değişkenli integrallerde yaptığımızın tekrarı olacaktır. Yine de bu dönüşümün yapılabilmesini mümkün kılan teoremi ifade etmekte yarar vardır.

27 KATLI INTEGRAL 7 Theorem.9.. sürekli olsun. f (x, y) fonksiyonu xy-düzlemindeki bir bölgesinde. üzlemde tanımlı bir T dönüşümü x g (u, v) T : y h(u, v) parametrik biçiminde verilsin. 3. g ve h fonksiyonları üzerinde sürekli olsunlar. 4. T dönüşümü bire-bir örten olacak biçimde bölgesini bölgesine dönüştürsün. 5. J(u, v) (x, y) (u, v) [ x u y u x v y v ] (36) 6. J(u, v) dir. varsayıları sağlanıyorsa f (x, y)d yd x f ( g (u, v),h(u, v) ) J(u, v) dud v (37) İspat: T dönüşümü uv-düzlemindeki bir (u, v) noktasını xy-düzlemindeki (x, y) noktasına götüren dönüşümdür. g,h fonksiyonları bölgesinde tanımlı ve sürekli türevlere sahip fonksiyonlardır. T dönüşümünü vektör değerli bir fonksiyon imiş gibi düşünebiliriz. (,) baş noktasını (x, y) noktasına birleştiren vektörü r x i + y j ya da r g (u, v) i + h(u, v) j biçiminde yazabilirz. g,h fonksiyonları süreli türevlere sahip olduğuna göre g u, g v, h u, h v kısmi türevleri var ve süreklidirler. u u ve v v eğrileinin teğet vektörleri r r v u olacaktır. T dönüşümü altında boyutları u v olan dikdörtgen xy-düzleminde biçemi bozulmuş dikdörtgenimsi bir bölgeye dönüşür. Bunun alanı yaklaşık olarak, olur. Ayrıca, r u r v u v r u r i j k v x y u u k x v y v [ x u v u y u y v ] k (x, y) (u, v) olur. Buradan, r u r v u v (x, y) (u, v) u v elde edilir. Şimdi integral tanımına dönersek, f ( g (u, v),h(u, v) ) J(u, v) dud v

28 8 C A LC U LU S toplamının limiti varsa, bu limit f (x, y)d yd x integraline eşit olacaktır. O halde, f (x, y)d yd x f ( g (u, v),h(u, v) ) J(u, v) dud v (38) çıkar. Simgelerde birliği sağlamak için, olduğunu vurgulamak yeterlidir. d A d xd y i j k x y u x v u y v (x, y) (u, v) dud v x Örnek.3. + y ile sınırlı bölgesinin alanını değişken değiştirme a b yöntemi ile bulunuz. x au, y bv değişken değiştirimini yaparsak, bölgesi u + v açık diskine dönüşür. Bunu yapan parametrik dönüşümler sürekli türevlenebilir. olayısıyla Teorem (36) uygulanabilir. ( a >, b > olmak üzere olur. olayısıyla, çıkar. [ ] d xd y (x, y) (u, v) dud v a ab dud v b d xd y ab dud v ab(π ) πab Örnek.3. Köşeleri (, ),(, ),(, ) olan üçgeninin üzerinde, (x + y) 3 d xd y integralini değişken drğiştirimi yaparak bulunuz. u y x, v y + x değişken değiştirimini yaparsak, bölgesi köşeleri (,),(,),(,) olan üçgenine dönüşür. Bunu yapan parametrik dönüşümler sürekli türevlenebilir. olayısıyla Teorem (36) uygulanabilir. dir. Buradan, [ ] (u, v) (x, y) (x,y) (u,v) d xd y (x, y) (u, v) dud v dud v (x + y) 3 d xd y v 3 dud v v v 3 dud v 6 5 v 4 d v

29 KATLI INTEGRAL 9 Örnek.3. Köşeleri (, ),(, ),(, ) olan üçgeninin üzerinde, e y x y+x d xd y integralini değişken drğiştirimi yaparak bulunuz. u y x, v y + x x (u + v), y (v u u v, u v, v ) değişken değiştirimini yaparsak, bölgesi köşeleri (,),(,),(,) olan üçgenine dönüşür. Bunu yapan parametrik dönüşümler sürekli türevlenebilir. olayısıyla Teorem (36) uygulanabilir. olur. Buradan, [ (x, y) (u, v) e y x y+x d xd y e e e e ] dud v e u v v e u v v v d v dud v Alıştırmalar. Köşeleri (, ),(, ),(, ),(, ) olan yamuğu üzerinde, e y x y+x d xd y integralini bulunuz.. x y, x y 4,3x y,3x y 8 doğrularının sınırladığı bölgesi üzerinde, integralini hesaplayınız. i i nt x y 3x y d A 3. Köşeleri (, ),(, ),(, ),(, ) olan yamuğu üzerinde, ( ) y x cos d A y + x integralini hesaplayınız. 4. {(x, y) : π < x + y < π, π < x y < π} bölgesi üzerinden, integralini hesaplayınız. i i nt (x y )sin (x + y) d xd y 5. 9x + 4y elipsi üzerinden, sin(9x + 4y )d A integralini hesaplayınız.

30 3 C A LC U LU S 6. x + y eitsizliği ile belirlenen bölgesi üzerinden, e x+y d A integralini hesaplayınız. 7. Köşeleri (, ),(π, ),(, π) olan üçgeni üzerinden, sin(x + y).cos(x y)d A integralini hesaplayınız. 8. y x, y 4x, x y, x y 5 eğrilerinin sınırladığı bölgesi üzerinden, x yd A integralini hesaplayınız. İki Katlı İntegral İle üzlemsel Alan Hesabı. Pappus teoremini kullanarak dik dairesel koninin yanal yüzeyinin alanını ve hacmini bulunuz. Genel olması için koninin yüksekliği olarak herhangi bir r sayısı alalım. Koninin simetri doğrusu O y ekseni olacak şekilde tepe noktasını (O,O) başlangıç noktasına koyalım. Koni şekilde görüldüğü gibi baş aşağı konumlanmış olsun. Koninin yanal yüzeyindeki OB doğru parçasını kütle merkezi, OB bin orta noktasıdır: (x, y) ( r, h) dir (bkz. ). Alan A OB.πR r + h.π r πr r + h O AB üçgeninin kütle merkezi ( r 3, h ) dır. Hacim V (πr) r h i r 3. r h 3 πr h olur.. Pappus un ikinci teoremini kullanarak y r x, r x r yayının kütle merkezini bulunuz. Pappus un ikinci teoremini kullanacağız. Kürenin lanının 4πr olduğunu biliyouz. Buna göre; x, (39)

31 KATLI INTEGRAL 3 ỹdm y ydm r x. t + y d x d s r x. r r x d x r d x r x r r r d x r r r πr r π r r x d x Yüzey Alanı S: S (r π)π( r π ) çıkar. Buunu daha kısa yolla yapabiliriz. 4πr (r π)πy 4πr (4) y π r Verilen iki denklemin grafikleri arasında kalan bölgenin alanını çift katlı integralle hesaplayınız. a) y x 4, y x + 4 Al an +x/ x /4 4 d yd x ( x + x 4 ) d x ( ) ( ) Figure 3: Soru7-a b) x y 5, x + y 6 Al an 5 6 x 5/x 5 d yd x ( (6 x) 5 x ) d x (6 x 5 5ln(x)) ) (3 5 5ln5) (6 5ln) Figure 3: x y 5, x + y ln5 5ln5 9

32 3 C A LC U LU S c) y x, y x 3 Al an x ( x x4 4 ( 4 ) d yd x x 3 ( (x x 3 ) ) d x ) Örnek r yarıçaplı bir çember, çember düzleminde ve çember merkezine b,(b > r ) uzaklıkta sabit duran bir eksen etrafında döndürülüyor. Meydana gelen cismin (simit, torus, daughnut) yüzey alanını ve hacmini bulunuz. Çemberin ağırlık merkezi kendi merkezidir. Çemberin merkezi eksen etrafında bir dönüş yapınca πb kadar yol alır. Çemberin alanı πr dir. Pappus teoremine göre hacim V (πb)(πr ) π br olur, yüzey alanı ise S (πb)(πr ) 4π br olur. Alıştırmalar. x a, y a karesinden a yarıçaplı çember çıkarılıyor. Geri kalan düzlemsel bölgenin alanını bulınız.

33 Hacim hesapları Aşağıda tanımlanan hacimleri hesaplayınız (Sadece bölgesinin grafiğini çiziniz). a) Köşeleri (,), (,), (,) olan üçgeni ile z x + y nin grafiği arasındaki hacim, V x (x + y)d A (x + y)d yd x (x y + y x d x y ( x) [x( x) + [ x + ] d x x3 6 + x ] d x Figure 33: Köşeleri:(,),(,),(,)

34 34 C A LC U LU S b) Köşeleri (,), (,), (,) olan üçgeni ile z (x y) nin grafiği arasındaki hacim, V x 4 3 (x y) d A (x y) d yd x Figure 34: Köşeleri: (,),(,),(,) Hacim Hesapları y l x ve y ile sınırlanan bölgesi ile z 4 düzlemi arasında kalan hacim. Figure 35: Köşeleri: y x, y, z 4 V 4d A x 4d yd x 4y x y d x 4( x )d x (4 4x )d x (4x 4x önel Cisimleri Hacimlerin üzlemsel bir R bölgesinin, kendisini kesmeyen bir doğru etrafında dönmesiyle oluşan cisme dönel katı cisim denilir. Bu cisim gerçekte uxayda var olmayan ama hayal ettiğimiz bir cisimdir. üzlemsel R bölgesinin doğrusuna göre üst sınırı f (x) fonksiyonu ile belirlensin. R bölgesinin her noktasından onu kesmeyen doğrusuna dikmeler inelim. R bölgesi parçalı değilse, dikmelerin ayakları doğrusu üzerinde bir [a,b] aralığı oluşturur. doğrusunu koordinat ekseni olarak alırsak, [a,b] aralığı f fonksiyonunun tanım bölgesi içinde olacaktır. ikmelerin ayaklarını içeren [a,b] aralığının bir bölüntüsünü (partition) P ile gösterelim: a x < x < x <... < x n b (4) x i x i x i, M max{ x i i,,...,n} (4) olsun. Her bölüntü içinde bir x i t i x i olacak şekilde bir t i noktası seçelim. Şimdi tabanı x i ve yüksekliğ h i f (t i ) olan dikörtgenin doğrusu etrafında bir tam dönüş yaptığını varsayalım. Yarıçapı h i olan bir silindir oluşur. Bu silindirin hacmi πh i x i πf (t i ) x i (43)

35 HACIM HESAPL ARI 35 olacaktır. Bunların toplamı da asıl S cisminin hacmine yakın olacaktır. V n πf (t i ) x i (44) i Eğer M max{ x i } iken (44) toplamının limiti varsa, bu limit b V π f (x)d x π a b a y d x (45) integrali ile ifade edilir ve bu intgral S cisminin hacmine eşit olur. önme ekseni değişirse, Ox ile O y eksenlerini yer değiştirebiliriz: V π d c g (y)d y π d c x d y (46) Şimdi dönen R düzlemsel bölgesinin üstten y f (x), alttan y g (x) fonksiyonları ile sınırlı olduğunu düşünelim. Bu düzlem parçasının bir tam dönüş yapmasıyla oluşan dönel katı cismin hacmı f ile g fonksiyonlarına karşılık gelen iki dönel katı cismin hacimleri farkıdır. olayısıyla; V V f V g π b a ( f (x) g (x) ) d x (47) Silindirik Kabuklar Yöntemi y f (x), x a, x bveox ekseni ile çevrili düzlemsel bölgenin O y ekseni çevreinde bir tam dönüş yaptığını düşünelim. Bu dönme sonunda x ve x + x aralığı üzerindeki dar şeridin O y ekneni çevresinde kabuğu x kalınlığıda olan silindirik bir cisim oluşur. Bu silindirin merkex ekseni O y ekseni ve iç yarıça x dış yarıçapı, Şimdi η i [x, x + δ] olan bir η i noktası düşünelim. η i noktasının sözkonusu dönüş esnasında çizdiği çemberin uzunluğu πη i olacaktır. O halde η i üzerine kurulan silindirin yüzey alanı olacaktır. x i, η i x i + x i olduğuna göre A(η i ) πη i f (η i ) (48) f (x i ) x i f (η i ) x i f (x + x i ) x i olmalıdır. x + δx olur. [x, x + δx aralığının orta noktası r x + x + x x + x olur. Sözkonusu silindirin iç ve dış yüzeyleri maksimum x iken, söz konusu küçük aralığın r orta noktasından geçen silindir yüzeyine yaklaşacaklardır. r orta noktası söyldiğimiz bir tam dönüş sonunda r yarıçaplı bir çember çizer. Bu çemberin uzunluğu πr olduğuna göre, silindir duvarının alanı A πr

36 36 C A LC U LU S ilimleme Yöntemiyle Hacim Bulma Şekilde hacmi hesaplanacak bir cisim görülüyor. Uygun bir Ox- ekseni seçelim. Eksenin hangi konumda seçildiği ancak pratik değer taşır. Cismin her noktasından doğrusuna dikmeler inildiğini varsayalım. ikmelerin ayaklarını içeren [a,b] aralığının bir bölüntüsünü (partition) P ile gösterelim: a x < x < x <... < x n b (49) x i x i x i, M max{ x i i,,...,n} (5) olsun. x i noktasından doğrusuna dikey olacak biçimde çizilen düzlem S cismiyle kesişir ve onunla arakesiti düzlemsel bir R i bölgesi oluşturur. R i bölgesinin alanına A(x i ) diyelim. Bölüntünün ardışık x i, x i noktalarından deçen dikey düzlemlerin S ile arakesitleri arasında kalan dilimi düşünelim. Bu dilimin hacmı yaklaşık olarak, x i x i x i olmak üzere, V (x i ) A(x i ). x i (5) olacaktır. Bu yaklaşık hacimlerin toplamı S cisminin V hacmine yakın olur: n n V V (x i ) A(x i ) x i (5) i i x i bölüntü aralıklarının M maksimum uzunluğu sifıra giderken (5) toplamının limiti varsa söza konusu limit V b integraline eşit olur. Bu değer S cismini hacmidir. a A(x)d x (53) Kutupsal Koordinatlar Figure 36: Kutupsal koorinatlar Figure 37: önüşüm Kutupsal koordinatlara dönüşümü incelerken x r cosθ T : y r sinθ dönüşümü ile xoy- dikey kartezyen koordinat sisteminden (r,θ) kutupsal koordinat sitemine nasıl dönüşüm yapıldığını incelemiştik. Bu kesimde, bu dönüşümün katlı integrallerde kullanılışını ele alacağız. r x + y, x r cosθ, y r sinθ ve (x, y) (u, v) [ x r x θ y r y θ ] [ cosθ r sinθ çıkar. Öyleyse aşağıdaki teoremi söyleyebiliriz: ] sinθ r cosθ r Theorem.33. {(r,θ) a r b,αθ β, β α π bölgesinde f fonksiyonu sürekli ise b f (x, y) d A α β f (r cosθ,r sinθ)r dr dθ (54) eşitliği sağlanır. a

37 HACIM HESAPL ARI 37 Kanıt: Önceki kesimde ifade edilen Teorem 36 in varsayımları sağlandığından, sözkonusu teoremin burada geçerliolacağı açıktır. Örnek.34. x + y 4 kapalı diski üzerindeki (x + y + )d A katlı integralini kutupsal koordinatlara dönüşüm yaparak hesaplayınız. (x + y + )d A π π π (r + )r dr dθ ( r r Örnek.35. x + y 4, x + y e çemberleri arasında kalan halka bölgesi üzerindeki l n(x + y )d A katlı integralini kutupsal koordinatlara dönüşüm yaparak hesaplayınız. ln(x + y )d A π e 4π ln(r )r dr dθ ( r lnr 4 r π(e + 4 8l n) ) e Theorem.36. R {(r,θ) α θ β, r (θ) r r (θ),r (θ),r (θ) } bölgesinde f fonksiyonu sürekli ise eşitliği sağlanır. R f (r,θ) d A r α β (θ) f (r,θ)r dr dθ (55) r (θ) Örnek.37. a yarıçaplı kürenin hacmini kutupsal koordinatları kullanarak hesplayınız. x + y +z a küresinin xy-düzleminin üstünde kalan yarısını hacmini bulup çıkaı ile çarpabiliriz. z, z r x y Figure 38: Kürenin hacmi dir. Yarı kürenin x y düzlemi üzerindeki izdüşümü {(x, y) x + y

38 38 C A LC U LU S a dir. Buradan, V 3 3 π π π 3 (a3 θ π 4 3 πa3 ln(r x y ) d yd x ( ) a 3 (a r ) 3 dθ ( (a a ) 3 (a ) 3 (a 3 θ dθ π r ) dθ a r r dr dθ Örnek.38. bölgesi birinci dörtte birlik (first quadrant) bölgede r 3cosθ diskinden ile r + cosθ kalp eğrisi (cardioid) atılınca geri kalan bölge olsun. x d A katlı integralini kutupsal koordinatlara dönüşüm yaparak hesaplayınız. 3cosθ + cosθ cosθ,cosθ θ π 3 olduğundan, Figure 39: Alan x d A π/3 3cosθ +cosθ π/3 3cosθ +cosθ π/3 π/3 π/3 r dr dθ r cosθ secθ dr dθ r secθ 3cosθ +cosθ dθ (3cosθ secθ ( + cosθ)secθ)dθ / secθ)dθ θ ln secθ + tanθ π/3 π 3 ln( + 3) Örnek.39. bölgesi birinci dörtte birlik (first quadrant) bölgesi olsun. Bu sınırsız bölgede, e (x +y ) d A katlı integralini kutupsal koordinatlara dönüşüm yaparak hesaplayınız. Bu has olmayan bir integraldir. Öyleyse, Kutupsal koorinat

39 HACIM HESAPL ARI 39 sistemine geçerek, e (x +y ) π/ d A lim n π/ lim n π/ lim n ( lim n π lim n 4 π 4 n e r r dr dθ ( e r n ) dθ ( e n + e n).θ ( e n) π/ ) dθ Örnek.4. olduğunu gösteriniz. I π e x d x I I a a e x d x e x d x dersek, değişken adını serbestçe seçebildiğimizi de düşünerek, ( a )( a ) (I a ) e x d x e y d y e (x +y ) d xd y R π (önceki problemden) çıkar. Önceki problemin sonucunun bilinmediğini, varsayarak çözümü bulabiliriz. Şimdi, birinci dörtte birlik (first quadrant) bölgede R bölgesi a yarıçaplı disk, R bölgesi kenar uzunluğu a olan kare, R bölgesi a yarıçaplı disk olmak üzere, e (x +y ) d xd y R yazabiliriz. Kutupsal koordinatları kullanırsak, R e (x +y ) d xd y e (x +y ) d xd y R buradan, π/ a e r r dr dθ (I a ) π 4 π/ a ( e r ) (I a ) π ( e a) 4 lim a için istene sonuç elde edilr: I π e x d x e r r dr dθ

40 4 C A LC U LU S Alıştırmalar. {(x, y) π x + y 4π } ise integralini hesaplayınız. ) cos ( x 4y d xd y. z x + y parabolünün altında, x y düzleminin üstünde ve x + y x silindirinin içinde kalan katı cismin havcini bulunuz. 3. x + y + z küresi ile üstten ve z x + y konisi ile alttan sınırlı bölgenin hacmini bulunuz. 4. bölgesi x 4 y yarıçemberi ve y ekseni ile sınırlı bölge ise, e x y d A integralini hesaplayınız. 5. bölgesi x + y 4, x + y 4, çemberleri ile sınırlı bölge ise, x d A integralini hesaplayınız. 6. bölgesi x + y 4, x + y 4, çemberleri sınırlı bölge ise, integralini hesaplayınız. a x e x +y d xd y a a integralini hesaplayınız. 4 integralini hesaplayınız. integralini hesaplayınız. a y (x + y ) 3 d xd y 6 y 6 y (x.y ) d xd y x x x + y d yd x. Aşağıdaki ntegralleri tek bir integral işareti atında yazınız. / x x x y d yd x + integralini hesaplayınız. x x y d yd x + 4 x x yd yd x

41 Fiziksel uygulamalar üzlemsel bölgelerin kütle merkzi Tanım.4. üzlemsel bi bölgenin kütle merkezi, bütün noktalarının konsantre olduğu kabul edilen (x, y noktasıdır. üzlemsel bir A bölgesinin (x, y kütle merkezi M y x A xd A (56) M x y A yd A (57) (58) eşitliklerini sağlar. Bu eşitliklerden bağıntıları çıkarılır. xd A x A A yd A y A A (59) (6) Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Mekanikte bir cismin kütle merkezi (ağırlık merkezi), cismin bütün noktalarının konsantre olduğu bir noktadır.. x3 + y 5 çemberinin sınırladığı diskin ikinci dörttebirlik böldede (second quadrant) kalan kısmının ağırlık merkezini bulunuz. A π π (6) x 4 5π y 4 5π 5 5 x 5 x d x 3π y 5 y d x 3π (6) (63) (64) olur.

42 4 C A LC U LU S. x + y a ile sınırlı birim diskin birinci dörtte birlik bölgede (first quadrant) kalan kısmının kütle merkezini bulunuz. Yoğunluğun her yerde aynı ve olduğunu varsayalım δ olur. dm δd A a y d y M x a a 3() 3 a3 y dm y a a y d y ( y) a y d y ) 3 ( a y a y M x A a 3 3 πa 4 4a 3π x M y A 4a 3π simetri nedeniyle 3. y h x parabolü ile Ox ekseni arasında kalan bölgenin kütle merkzini bulunuz. M x d A R +h h x h +h h 8 5 h5 y d y (h x ) d x

43 FIZIKSEL UYGUL AMAL AR 43 A d A R +h h x h +h h y d yd x (h x )d x h x 3 x3 h 4 3 h3 h y M x A h 5 M y xd A R +h h x h +h h x d yd x x(h x )d x x M y A A 4. Birim kareden birim disk çıkarılıyor. Geri kalan üçgen benzeri düzlemsel bölgenin ağırlık merkezini bulunuz. Birim kareyi koordinat eksenind x, y doğruları ile koordinat eksenlerinin sınırladığı düzlemsel bölgedir. Birim disk x + y çemberi ve içidir. Şekilden birim kareden birim disk atılınca kalan bölge görülüyor. Problemi daha genel tutmak içim yerine a alalım. M x yd A R a a a a 6 a3 a x y d yd x ( a (a x ) ) d x x d x

44 44 C A LC U LU S A a a a π 4 a a (4 π) 4 a x d yd x Simetri nedeniyle, olur. y M x A a3 6 4 a (4 π) a 3π x a 3π 5. y si nx, x π ile Ox ekseni arasında kalan düzlemsel bölgenin ağırlık merkezini bulunuz. M x yd x R π si nx 4 π π (yd y)d x si n x d x ( cosx)d x 4 π si nπ 8 4 π A yd A R π si nx π cosx π si nx d x d y d x y M x A 8 π x M y A π simetri nedeniyle

45 FIZIKSEL UYGUL AMAL AR 45 Alıştırmalar Aşağıda verilen eğrilerle sınırlanmış düzlemsel bölgelerin kütle merkezlerini bulunuz.. y 4x, x 4y; ( 9 5, 9 5 ). y e x, x, x, y ; ( e, e+ 4 ) 3. x a(θ si nθ), y a( cosθ); (πa, 5a 6 ) 4. x asi nθ, y acosθ; ( 4a 3i, 4a 3i ) Yay ın Kütle merkezi üzlemsel bölgenin kütle merkezine benzer olarak bir yay ın kütle merkezi tanımlanabilir: M y sx M x s y xd s yd s Örnek: y a x, a > x, x > yayının kütle merkezini bulunuz. M x y s y a d s y a d x a x y asi x n a a y aπ y a π x simetri Alıştırmalar Aşağıdaki yayların kütle merkezlerini bulunuz:. x 3t, y 6t, t. x e t cost, y e t si nt, t π 3. x e y, y 4. x asi n 3 t, y acos 3 t 5. y coshx, x Yoğunluk Bir cismin P noktasını içeren küçük bir elementini V ile ve V nin kütlsini m ile gösterlim. Eğer m δ lim V to δv (65)

46 46 C A LC U LU S limiti varsa, buna cismin P noktasındaki yoğunluğu denilir. Bu tanımdan anlaşıldığı gibi, bir cismin yoğunluğu sabit olmayabilip her noktada farklı bir yoğunluğa sahip olabilir. Tabii, bazı cisimlerde yoğunluk her noktada aynı olabilir. (34) limitini δ dm dv dersek, dm δdv (66) biçiminde de yazabiliriz. Şimdi bir cismin kütlesi m olan çok küçük V parçacıklarına ayrıldığını varsayalım. Her parçacığın içerdiği P noktasındaki yoğunluğun δ olduğunu kabul edersek, m δ V (67) yazabiliriz. Şimdi bütün cismin bir noktaya yoğunlaştını ve bu noktanın koordinantlarının x m, ỹ m, z m (68) koşulunu sağladığını varsayalım. V iken, () ifadelerinden, koordinat düzlemlerine göre cismin momentlerini yazabiliriz: M y z xdm, M zx ỹdm, M x y Buradan, kütle merkezinin koordinatlarını yazabiliriz: x zdm (69) xdm ỹdm zdm, y, z (7) dm dm dm Moment Noktaya Göre Moment Figure 4: Moment Tanım.4. Bir parçacığın sabit bir noktaya göre momenti, parçacığın noktaya olan uzaklığı ile kütlesinin çarpımına eşittir. Parçacığın kütlesi m ve sabit noktaya olan uzaklığı d ise moment dm dir. oğru üzerinde Moment Figure 4: Moment Bir doğru üzerinde konuşlanan ve kütleleri m,m,...,m n olan n-tane parcağın her birisinin doğru üzerideki sabit bir O noktasına uaklıkları, sırasıyla, x, x,..., x n ise, bu parçacıklardan oluşan cismin O noktasına göre momenti, n x k m k (7) k sayısıdır. Bütün kütlenin söz konusu doğru üzerindeki x noktasına yığıldığını varsayarsak mk M kütlesinin momenti ( ) n x m k xm (7) k

47 FIZIKSEL UYGUL AMAL AR 47 olur. Yukarıdaki varsayımlar altında, kütlenin sabit noktaya olan uzaklığı olarak alınan x sayısına M cisminin kütle merkezi denilir. Buradan şunu yazabiliriz: n k x x n km k k n k m x km k (73) k M Buna göre,bir cisim n-tane parçacıktan oluşuyor ve n-tane parçacığın her birisinin kütlesi m,m,...,m n ve O y eksenine uzaklıkları x, x,..., x n ise cismin O y eksenine göre momenti n M y m i x i (74) i olur. Aynı cisim için Oy-ekseni yerine Ox eksenini koyarak, cismin Ox eksenine göre momentinin n M x m i y i (75) olduğunu söyleyebiliriz. i Kütle Merkezi Tanım.43. n Kütlesi M m i (76) olan bir cisim düşünelim. Sabit bir koordinat sistemine göre, M x M y ve M y M x (77) koşulunu sağlayan (x, y) noktasına cismin kütle merkezi denilir. i Noktanın Eksene Göre Momenti Şimdi parçacıkların bir doğru üzerinde değil de bir düzlem içine serpilmiş olduklarını düşünelim. üzlemde sabit bir doğruya göre bu parçacıkların momentlerini bulmak istiyoruz. Önce bir parçacığın sabit doğruya göre momentini tanımlayalım: Tanım.44. Kütlesi m olan bir parçacığın sabit bir doğruya uzaklığı d ise, parçacığın doğruya göre momenti dm dir. Figure 4: Moment Fiziksel uygulamalarda parçacığın koordinat eksenlerine göre momenti söz konusu olur. Buna göre, düzlem üzerinde koordinatları (x, y ),(x, y ),...,(x n, y n ) olan n-tane patçacığın her birisinin kütlesi, sırasıyla, m,m,...,m n ise, bu parçacıkaların koordinat eksenlerine göre momentleri; n M y x k m k (78) M x i n y k m k (79) i

48 48 C A LC U LU S olur. Bu parçacıklardan oluşam M cisminin bir (x, y) noktasınna yoğunlaştığını varsayarsak, bu noktaya söz konusu koordinat sistemine göre cismin kütle merkezi denilir. Söylediklerimizden şu bağıntıları yazabilirz: n i x x n km k i n i m x km k k M n i y y n km k i n i m y km k k M (8) (8) üzleme Göre Moment Kütlesi m olan bir parçacığın uzayda sabit bir düzleme uzaklığı d ise, parçacığın sabit düzleme göre momenti dm dir. Figure 43: Moment Figure 44: Moment (x, y, z ),(x, y, z ),...,(x n, y n, z n ) noktalarının üç boyutlu uzayda serpiştirildiğini düşünelim. Bu noktaların sabit bir koordinat sisteminde koordinat düzlemlerine göre momenti, sırasıyla, n M y z x k m k (8) M zx M x y k n y k m k (83) k n x k m k (84) k (85) olur. Burada, örneğn y z düzlemi yoz koordinat düzlemidir. Bu düzlemlere göre kütle merkezinin koordinatları n k x x n km k k n k m x km k k M n k y y n km k k n k m y km k k M n k z z n km k k n k m z km k k M (86) (87) (88) (89) Figure 45: Moment olur. Fiziksel dünyada kütle parçacıklarına ayrılmamış sürekli bir bütündür. O tür cisimlerin kütle merkezleri ve momentleri için limit işleminden yararlanırız. Anımsarsanız, integrali sonlu toplamların limiti olarak tanımlamıştır. Fiziksel uygulamlarda da hep aynı işi yapacağız. Alanı A olan düzlemsel bir R bölgesinin kordinat eksenlerne göre momentleri, sırasıyla, m x R yd A, M y xd A (9) R biçiminde tanımlanır. üzlemsel R bölgesinin, aynı düzlemdeki sabit bir koordinat sistemine göre (x, y) ile gösterilen kütle merkezi, x A M y y A M x

49 FIZIKSEL UYGUL AMAL AR 49 eşitliğini sağlayan x R xd A R d A, y R yd A R d A (9) Bir üzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti A bir düzlemsel alan ve d bir doğru olsun. Şekil?? de görüldüğü gibi, A bölgesini A i dar şertlerine bölelim. Şerit içinde alınan bir noktanı d doğrusuna uzaklığı l i olsun. n l i δa i (9) i toplamının, max A i iken (9) limitine A alanının d doğrusuna göre momenti denilir. Bu ifadeden; M d lim n max A i i l i δa i l d A (93) çıkar. Tabii, sağdaki integrain bürün A alanı üzrinden alındığı açıktır. Tek değişkenli fonksiyonla çalışıyorsak, M d hesaplanırken alanı çevreleyen y f (x), y g (x) fonksiyonlarının olduğunu ve d A nın d x cinsinden ifadwe edildiğini varsay yoruz. Örnek y 3 x parabolü ilşe y x doğrusu arasınada kalan alanın O y eksenine gör momemntini bulunuz. M y 3 3 x d A x(x 3 x )d x x3 3 x3 4.5 Bir Yayın Momenti üzlemsel alanların momemtlerini bulurken izlediğimiz yönteme benzer yöntemle bir yayın bir doğruya göre momentini bulabiliriz: M d burada l yaya ait noktanın doğruya uzaklığıdır. Örnek l d s (94) Üst yarı düzlemdeki çember yayının Ox eksenine göre momentini bulunuz. Üst yarı düzlemdeki çember yayının denklemi y a x, (y ) dir. Yay uzuluğu d s + y d x a d x (95) a x

50 5 C A LC U LU S dir. Buradan, M x y d s +a a a x a a x d x ax +a a a a Örnek I.dörtte birlik bölgedeki (first quadrant) çember yayının Ox eksenine göre momentini bulunuz. I.dörtte birlik bölgedeki çember yayının denklemi y a x, x a dir. Yay uzuluğu ( d s + y d x a d x (96) a x dir. Buradan, M x y d s +a a a x a x d x ax +a a Uygulamalar Aşağıdaki yayların koordinat eksenlerine göre momentlerini bulunuz.. y 8x, x 4. y e x, x 3. y cos x, x π 4. y cosh x, x 4 5. y a(θ sinθ), y a( cosθ), c ycloi d 6. y a cosθ, y b sinθ, θ π Örnek Üst yarı düzlemdeki yarı diskin y r eksenine göre momentini bulunuz. Üst yarı düzlemdeki yarı yarı diskin üst sınırı y a x, ( a x

51 FIZIKSEL UYGUL AMAL AR 5 a), ve alt sınırı y doğrusudur. Buna göre; M y+r x d A Örnek R +r r x r +r r r x d xd y ( r x + r )x d x ( ) (r x ) 3 +r + r x r r x a, y a karesinden a yarıçaplı çember çıkarılıyor. Geri kalan düzlemsel bölgenin ağırlık merkezini bulunuz. M x R a a a a 6 a3 y d A a x y d yd x ( a (a x ) ) d x x d x Simetri nedeniyle; yazılabilir. A a a a πa 4 a (4 π) 4 a x d yd x x a 3π Üç Katlı İntegral İle Moment 4 4 Yoğunluk, birim hacim başına düşen kütledir. (x, y, z) noktasındaki yoğunluğu ρ(x, y, z) ile österelim. T katı cisminin kütlesi, m ρ(x, y, z)dv (97) T dir. Koordinat düzlemlerine göre momentler, M x y zρ(x, y, z)dv (98) T M xz yρ(x, y, z)dv (99) T M y z xρ(x, y, z)dv () T

52 5 C A LC U LU S eşitlikleri ile tanımlanır. 5 6 T cisminin kütle merkezi (x, y, z) nin koordinatları, x M y z m, y M xz m, dir. 7 7 eylemsizlik momenti T cisminin eylemsizlik momentleri, z M x y m () I x I y I z T T T (y + z )ρ(x, y, z)dv () (x + z )ρ(x, y, z)dv (3) (x + y )ρ(x, y, z)dv (4) dir. Örnek.45. Birinci sekizde birlik (octant) bölgede yer alan x + y + z düzgün dörtyüzlüsünün yoğunluk fonksiyonu ρ(x, y, z)) (+x+y+z) 3 ) dür. Kütlesini bulunuz. 6 Figure 46: üzgün örtyüzlü örtyüzlüyü T ile gösterelim: m 5 ρ(x, y, z) ( + x + y + z) 3 dv T x x y d zd yd x 6 ( + x + y + z) 3 ) x ( x y 6 ( + x + y + z) ) d yd x x ( 8 ( + x + y + z) ) ) d y 4 ( 8 + x + y y x 4 d x ( 8 x + + x 3 ) d x 4 8 (l n(x + ) + 8 x 34 ) x 8ln 5 olur. Work (İş) İş günlük yaşamda farklı anlamlara sahiptir. Biz burada yalnızca işin fiziksel anlamı üzerinde duracağız. İşin fiziksel anlamı, bir kuvvetin etkisiyle cismin yer değiştirmesiyle orantılı oluşan fiziksel niceliktir. Buna göre, örneğin, üstündeki büyük ağırlığı taşıyan bir köprünün ayakları hiç iş yapmıyor. Ağır bavulunu elinde tutan ama hareketsiz duran kişinin kol kasları ağrısa bile hiç iş yapmıyor. Ama o bavulu alıp bineceği taşıtın rafına koyarsa bir iş yapmış olur.

53 FIZIKSEL UYGUL AMAL AR 53 Tanım.46. Sabit bir kuvvet x-ekseni boyunca bir cisme etki ediyor ve cisim a noktaından b noktasına gidiyorsa, yapılan iş olarak tanımlanır. W F (b a) (5) Başka bir deyişle, iş, kuvvet ile cismin aldığı yolun çarpımıdır. Tanım.47. Bir F kuvvetinin etkisiyle hareket eden cisim F vektörünün doğrultusunda s kadar yol giderse, yapılan iş dir. W F s (6) Fiziksel olayların çoğunda olduğu gibi, F kuvveti sabit olmayabilir; noktadan noktaya değişebilir. Bu durumda cismin s kadar yer değiştirmesini küçük s aralıklarının toplamı olarak düşünürüz. Böylece yapılan işi bir integralle ifade etme olanağı doğar. Bunu biraz ayrıntılı açıklayalım: Bir cisim sürekli bir kuvvetin etkisiyle a noktasından b noktasına gitsin. F kuvveti sabit olmasın ve her x noktasındaki değeri f (x)e eşit olsun. F (x) fonksiyonunu sürekli varsayalım. [a,b] aralığını a x < x <... < x n b ve x i x i x i koşulunu sağlayan küçük [x i, x i ] aralıklarına bölelim. Başka bir deyişle [a,b] aralığının bir ayrışımını (partition) oluşturalım. t i [x i, x i ] olmak üzere kuvvetin t i noktasında f (t i ) olduğunu varsayalım. Cismin a noktasından b noktasına gitmesi halinde yapılan iş yaklaşık olarak W n f (t i ) x i (7) i olcaktır. Şimdi max i n x i iken olur. Örnek: W lim n max x i i b f (t i ) x i f (x)d x (8) a Helikoid biçimindeki bir yayın doğal uzunluğu cm dir. yayın cm gerilmesi (genişlemesi) için 3 gr kuvvet gerekiyor. yayın doğal halinden 5cm gerilmesi halinde yapılan iş ne kadardır? Hook kuralına göre, yayın doğal halinden x kadar sündürülmedi için gereken F (x) kuvvetinin F (x) kx (k yaya bağlı sabit) (9) olduğu bilinir. Asıl problemi çözmek için k sabitini bulmalıyız. Verienlerden; F () 3 3 km k 3 F (x) 3 x çıkar. Bu değeri (8) de kullanırsak, 5 3 W x d x 3 x x (5 ) 8 3

54 54 C A LC U LU S olur. Örnek: kütleleri m ve m oln cisimlerinin birbirlerini çekimleri G m.m s bağıntısı ile verilir. Bu bağıntıda G sayısı çekim (gravitasyon) katsayısı denilen bir sabit, s ise iki cisim arasındaki uzaklıktır. Kütlesi m oln cisme göre kütlesi m olan cismin s konumundans konumuna gitmesi halinde yapılan iş nedir? s ( ) s W F (x)d x G m.m s s s d x g m m s s ) üzlemsel Bölgelerin Kütle Merkezi Tanım.48. üzlemsel bi bölgenin kütle merkezi, bütün noktalarının konsantre olduğu kabul edilen (x, y noktasıdır. üzlemsel bir A bölgesinin (x, y kütle merkezi M y x A xd A () M x y A yd A () () eşitliklerini sağlar. Bu eşitliklerden bağıntıları çıkarılır. xd A x A A yd A y A A (3) (4) Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Mekanikte bir cismin kütle merkezi (ağırlık merkezi), cismin bütün noktalarının konsantre olduğu bir noktadır.. x3 + y 5 çemberinin sınırladığı diskin ikinci dörttebirlik böldede (second quadrant) kalan kısmının ağırlık merkezini bulunuz. A π π (5) x 4 5π y 4 5π 5 5 x 5 x d x 3π y 5 y d x 3π (6) (7) (8) olur.

55 FIZIKSEL UYGUL AMAL AR 55. x + y a ile sınırlı birim diskin birinci dörtte birlik bölgede (first quadrant) kalan kısmının kütle merkezini bulunuz. Yoğunluğun her yerde aynı ve olduğunu varsayalım δ olur. dm δd A a y d y M x a a 3() 3 a3 y dm y a a y d y ( y) a y d y ) 3 ( a y a y M x A a 3 3 πa 4 4a 3π x M y A 4a 3π simetri nedeniyle 3. y h x parabolü ile Ox ekseni arasında kalan bölgenin kütle merkzini bulunuz. M x d A R +h h x h +h h 8 5 h5 y d y (h x ) d x

56 56 C A LC U LU S A d A R +h h x h +h h y d yd x (h x )d x h x 3 x3 h 4 3 h3 h y M x A h 5 M y xd A R +h h x h +h h x d yd x x(h x )d x x M y A A 4. Birim kareden birim disk çıkarılıyor. Geri kalan üçgen benzeri düzlemsel bölgenin ağırlık merkezini bulunuz. Birim kareyi koordinat eksenind x, y doğruları ile koordinat eksenlerinin sınırladığı düzlemsel bölgedir. Birim disk x + y çemberi ve içidir. Şekilden birim kareden birim disk atılınca kalan bölge görülüyor. Problemi daha genel tutmak içim yerine a alalım. M x yd A R a a a a 6 a3 a x y d yd x ( a (a x ) ) d x x d x

57 FIZIKSEL UYGUL AMAL AR 57 A a a a π 4 a a (4 π) 4 a x d yd x Simetri nedeniyle, olur. y M x A a3 6 4 a (4 π) a 3π x a 3π 5. y si nx, x π ile Ox ekseni arasında kalan düzlemsel bölgenin ağırlık merkezini bulunuz. M x yd x R π si nx 4 π π (yd y)d x si n x d x ( cosx)d x 4 π si nπ 8 4 π A yd A R π si nx π cosx π si nx d x d y d x y M x A 8 π x M y A π simetri nedeniyle

58 58 C A LC U LU S Alıştırmalar Aşağıda verilen eğrilerle sınırlanmış düzlemsel bölgelerin kütle merkezlerini bulunuz.. y 4x, x 4y; ( 9 5, 9 5 ). y e x, x, x, y ; ( e, e+ 4 ) 3. x a(θ si nθ), y a( cosθ); (πa, 5a 6 ) 4. x asi nθ, y acosθ; ( 4a 3i, 4a 3i ) Yay ın Kütle merkezi üzlemsel bölgenin kütle merkezine benzer olarak bir yay ın kütle merkezi tanımlanabilir: M y sx M x s y xd s yd s Örnek: y a x, a > x, x > yayının kütle merkezini bulunuz. M x y s y a d s y a d x a x y asi x n a a y aπ y a π x simetri Alıştırmalar Aşağıdaki yayların kütle merkezlerini bulunuz:. x 3t, y 6t, t. x e t cost, y e t si nt, t π 3. x e y, y 4. x asi n 3 t, y acos 3 t 5. y coshx, x Yoğunluk Bir cismin P noktasını içeren küçük bir elementini V ile ve V nin kütlsini m ile gösterlim. Eğer m δ lim V to δv (9)

59 FIZIKSEL UYGUL AMAL AR 59 limiti varsa, buna cismin P noktasındaki yoğunluğu denilir. Bu tanımdan anlaşıldığı gibi, bir cismin yoğunluğu sabit olmayabilip her noktada farklı bir yoğunluğa sahip olabilir. Tabii, bazı cisimlerde yoğunluk her noktada aynı olabilir. (34) limitini δ dm dv dersek, dm δdv () biçiminde de yazabiliriz. Şimdi bir cismin kütlesi m olan çok küçük V parçacıklarına ayrıldığını varsayalım. Her parçacığın içerdiği P noktasındaki yoğunluğun δ olduğunu kabul edersek, m δ V () yazabiliriz. Şimdi bütün cismin bir noktaya yoğunlaştını ve bu noktanın koordinantlarının x m, ỹ m, z m () koşulunu sağladığını varsayalım. V iken, () ifadelerinden, koordinat düzlemlerine göre cismin momentlerini yazabiliriz: M y z xdm, M zx ỹdm, M x y zdm (3) Buradan, kütle merkezinin koordinatlarını yazabiliriz: xdm ỹdm zdm x, y, z (4) dm dm dm üzlemsel Bölgelerin Kütle Merkezi Tanım.49. üzlemsel bir bölgenin kütle merkezi, bütün noktalarının konsantre olduğu kabul edilen (x, y) noktasıdır. üzlemsel bir A bölgesinin (x, y kütle merkezi M y x A xd A (5) M x y A yd A (6) (7) eşitliklerini sağlar. Bu eşitliklerden bağıntıları çıkarılır. xd A x A A yd A y A A (8) (9) Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Mekanikte bir cismin kütle merkezi (ağırlık merkezi), cismin bütün noktalarının konsantre olduğu bir noktadır.

60 6 C A LC U LU S. x3 + y 5 çemberinin sınırladığı diskin ikinci dörttebirlik böldede (second quadrant) kalan kısmının ağırlık merkezini bulunuz. A π π (3) x 4 5π y 4 5π 5 5 x 5 x d x 3π y 5 y d x 3π (3) (3) (33) olur.. x + y a ile sınırlı birim diskin birinci dörtte birlik bölgede (first quadrant) kalan kısmının kütle merkezini bulunuz. Yoğunluğun her yerde aynı ve olduğunu varsayalım δ olur. dm δd A a y d y M x a a 3() 3 a3 y dm y a a y d y ( y) a y d y ) 3 ( a y a y M x A a 3 3 πa 4 4a 3π x M y A 4a 3π simetri nedeniyle

61 FIZIKSEL UYGUL AMAL AR 6 3. y h x parabolü ile Ox ekseni arasında kalan bölgenin kütle merkzini bulunuz. M x d A R +h h x h +h h 8 5 h5 y d y (h x ) d x A d A R +h h x h +h h y d yd x (h x )d x h x 3 x3 h 4 3 h3 h y M x A h 5 M y xd A R +h h x h +h h x d yd x x(h x )d x x M y A A 4. Birim kareden birim disk çıkarılıyor. Geri kalan üçgen benzeri düzlemsel bölgenin ağırlık merkezini bulunuz.

62 6 C A LC U LU S Birim kareyi koordinat eksenind x, y doğruları ile koordinat eksenlerinin sınırladığı düzlemsel bölgedir. Birim disk x + y çemberi ve içidir. Şekilden birim kareden birim disk atılınca kalan bölge görülüyor. Problemi daha genel tutmak içim yerine a alalım. M x R a a a a 6 a3 yd A a x y d yd x ( a (a x ) ) d x x d x A a a a π 4 a a (4 π) 4 a x d yd x Simetri nedeniyle, olur. y M x A a3 6 4 a (4 π) a 3π x a 3π 5. y si nx, x π ile Ox ekseni arasında kalan düzlemsel bölgenin ağırlık merkezini bulunuz. M x yd x R π si nx 4 π π (yd y)d x si n x d x ( cosx)d x 4 π si nπ 8 4 π

63 FIZIKSEL UYGUL AMAL AR 63 A yd A R π si nx π cosx π si nx d x d y d x y M x A 8 π x M y A π simetri nedeniyle Alıştırmalar Aşağıda verilen eğrilerle sınırlanmış düzlemsel bölgelerin kütle merkezlerini bulunuz.. y 4x, x 4y; ( 9 5, 9 5 ). y e x, x, x, y ; ( e, e+ 4 ) 3. x a(θ si nθ), y a( cosθ); (πa, 5a 6 ) 4. x asi nθ, y acosθ; ( 4a 3i, 4a 3i ) Yay ın Kütle merkezi üzlemsel bölgenin kütle merkezine benzer olarak bir yay ın kütle merkezi tanımlanabilir: M y sx M x s y xd s yd s Örnek: y a x, a > x, x > yayının kütle merkezini bulunuz. M x y s y a d s y a d x a x y asi x n a a y aπ y a π x simetri

64 64 C A LC U LU S Alıştırmalar Aşağıdaki yayların kütle merkezlerini bulunuz:. x 3t, y 6t, t. x e t cost, y e t si nt, t π 3. x e y, y 4. x asi n 3 t, y acos 3 t 5. y coshx, x Yoğunluk Bir cismin P noktasını içeren küçük bir elementini V ile ve V nin kütlsini m ile gösterlim. Eğer m δ lim V to δv (34) limiti varsa, buna cismin P noktasındaki yoğunluğu denilir. Bu tanımdan anlaşıldığı gibi, bir cismin yoğunluğu sabit olmayabilip her noktada farklı bir yoğunluğa sahip olabilir. Tabii, bazı cisimlerde yoğunluk her noktada aynı olabilir. (34) limitini δ dm dv dersek, dm δdv (35) biçiminde de yazabiliriz. Şimdi bir cismin kütlesi m olan çok küçük V parçacıklarına ayrıldığını varsayalım. Her parçacığın içerdiği P noktasındaki yoğunluğun δ olduğunu kabul edersek, m δ V (36) yazabiliriz. Şimdi bütün cismin bir noktaya yoğunlaştını ve bu noktanın koordinantlarının x m, ỹ m, z m (37) koşulunu sağladığını varsayalım. V iken, () ifadelerinden, koordinat düzlemlerine göre cismin momentlerini yazabiliriz: M y z xdm, M zx ỹdm, M x y zdm (38) Buradan, kütle merkezinin koordinatlarını yazabiliriz: x xdm ỹdm zdm, y, z (39) dm dm dm Örnek.5. r yarıçaplı bir çember, çember düzleminde ve çember merkezine b,(b > r ) uzaklıkta sabit duran bir eksen etrafında döndürülüyor. Meydana gelen cismin (simit, torus, daughnut) yüzey alanını ve hacmini bulunuz.

65 FIZIKSEL UYGUL AMAL AR 65 Çemberin ağırlık merkezi kendi merkezidir. Çemberin merkezi eksen etrafında bir dönüş yapınca πb kadar yol alır. Çemberin alanı πr dir. Pappus teoremine göre hacim V (πb)(πr ) π br olur, yüzey alanı ise S (πb)(πr ) 4π br olur.

66

67 Üç Katlı İntegraller Üç katlı ya da n-katlı integral tanımı iki katlı integralin genellemesidir. Bu bölümde üç katlı integralleri iele alacağız. İki katlı intgralde integral bölgesi olarak düzlemdel bir blgesini alıyorduk. Üç katlı integralde, integral bölgesi düzlemsel olmak yerine üç boyutlu uzayda bir T hacmi olacaktır. w f (x, y z) fonksiyonunun tanım bölgesi Figure 47: Üç katlı integral T {(x, y, z) w f (x, y, z), a x b, c y d, e z f, x, y, z R} kümesidir. Bazı yerlerde yerine < bağıntısı gelebilir. Tabii bu küme bir dikdörtgenler prizmasıdır. Ama bu özel bir durumdur; T her zaman uzayda bilinen bir geometrik şekle benzemeyebilir. T kümesi üç boyutlu uzayda bir yer (hacim) doldurur. Bu hacme katı cisim (solid) denilir. Üç katlı interali tanımlamak için, ilk işimiz T tanım kümesinin bir bölüntüsünı oluşturmak olacaktır. Tek katlı integralde bir doğru parçasının,iiki katlı integralde bir dikdörtgenin bölüntüsünı oluşturmuştuk. Üç katlı integralde ise bir dikdörtenler prizmasının bölüntüsünı oluşturacağız. Bu iş, önce yaptıklarımızın bezeri oacaktır: [a,b] aralığının bir bölüntüsü n tane alt aralıktan oluşan P a x < x < x < x 3 <... < x n < x n b, n N + [c,d] aralığının bir bölüntüsü m tane alt aralıktan oluşan Q c y < y < y < y 3 <... < y m < y m d m N + [e, f ] aralığının bir bölüntüsü s tane alt aralıktan oluşan R e z < z < z < z 3 <... < z s < z s f s N + olsun. T hacminin aytrışımını T i j k P Q R Figure 48: Katı cismin bölüntüsü [x i, x i ] [y j, y j ] [z k, z i ] i I, j J, k K, I, J,K N + biçiminde ifade edebiliriz. İnteral tanımında bölüntü aralıklarının en uzununun uzunluğu sıfıra giderken limit alındığı için, her üç boyuttaki bölüntü aralıklarını kendi aralarında eşit almak bir kısıtlama getirmez. Simgeleri basitleştirmek için, P bölüntüsündeki aralıkların uzuluklarının aynı ve x, Q bölüntüsündeki aralıkların uzuluklarının aynı ve y, R Figure 49: Bir bölüntünün hacmi

68 68 C A LC U LU S bölüntüsündeki aralıkların uzuluklarının aynı ve z olduğunu varsayalım. Buna göre T prizmasının T i j k küçük prizmalarından oluştuğunu ve onların her birisinin hacminin V x y z (4) olduğunu söyleyebiliriz. Artık integral tanımı için Riemann toplamını oluşturabiliriz: (x i j k, y i j k, z i j k ) T i j k olmak üzere S nms n m s i j k f (x i j k, y i j k, z i j k ) V (4) diyelim. Tanım.5. T bölgesi üç boyutlu R 3 uzayında bir bölge ve f (x, y, z) fonksiyonu bu bölge üzerinde tanımlı bir fonksiyon olsun. T f (x, y, z)dv lim n m s n,m,s i j k f (x i j k, y i j k, z i j k ) V (4) diyelim. Sağdaki limit varsa, bu limit değerine f fonksiyonunun T bölgesi üzerindeki üç katlı integrali denilir ve soldaki simge ile gösterilir. Anımsanacağı gibi, iki katlı integrali tanımında hesaplamanın zorluğunu aşmak için, katlı integraliintegral tanımından hesaplamak yerine ardışık integrallerle hesaplama yoluna gitmiştik. Benzer düşünceyi üç katlı integrallere de uygulayacağı. Üç katlı integrali art arda uygulanan üç tane tek katlı integralin hesplanmasına indirgeyebiliriz. O durumda, tek katlı integral için bildiğimiz bütün integral alma yöntemlerini uygulayabileceğiz. Bu olgu Kaatlı integrallerin hepsi için geçerlidir ve integral hesabını çok kolaylaştırır. Yine anımsayacağınız gibi, düzlemsel bir bölgesi üzerinden iki katlı integrali ardşık integrallere dönüştürüken bölgesinin Ox ve O y eksenleri üzerine izdüşümlerini alıyor ve izdüşümün uç noktalarını en dıştaki integralinsınırları olark kullanıyorduk. Benzer işi üç boyut için de düşünebiliriz.ancak, bu kz izdüşümler koordinat eksenlei yerine x y, xz, y z koordinat düzlemleri üzerine yapılacaktır. Bu üçünü ayrı ayrı bir teorem halindeyazalım: Theorem.5.. x y koordinat düzlemine izdüşüm: f (x, y, z) fonksiyonu Figure 5: xy düzlemine izdüşüm T x y {(x, y,) bölgesi üzerinde sürekli ise, T (x, y, z) T, g (x, y) z g (x, y)} ( g (x,y) ) f (x, y, z)dv f (x, y,) d z d A (43) T x y g (x,y) eşitliği sağanır.

69 ÜÇ KATLI INTEGRALLER 69. xz koordinat düzlemine izdüşüm: f (x, y, z) fonksiyonu ine izdüşüm T xz {(x,, z) (x, y, z) T, h (x, z) z h (x, z)} bölgesi üzerinde sürekli ise, T eşitliği sağanır. ( h (x,z) ) f (x, y, z)dv f (x,, z) d y d A (44) T xz h (x,z) 3. xz koordinat düzlemine izdüşüm: f (x, y, z) fonksiyonu Figure 5: yz düzlemine izdüşüm T y z {(, y, z) (y, z) T, k (y, z) z k (y, z)} bölgesi üzerinde sürekli ise, T eşitliği sağanır. ( k (y,z) ) f (x, y, z)dv f (, y, z) d y d A (45) T xz k (y,z) Hacim T tanım bölgesine f (x, y z) ise, f nin T blgesi üzeinden ç katı interali T katı cisminin hacmine eşitir. Bunu bir teoremolarak ifade edbiliriz: Theorem.53. T ( g (x,y) ) f (x, y, z)dv f (x, y,) d z d A (46) T x y g (x,y) (g /x, y) g (x, y) ) d A (47) ifadesi iki yüzey araasında kalan katı cismin hacmini verir. Örnek.54. T katı cismi x, y, z, x4y + z düzlemlerinin sınırladığı düzgün dörtyüzlüdür. zdv (48) integralini hesaplayınız. T T bölgesinin x y düzlemi üzeeine izdüşümü T x y olsun. T bölgesi üstten z x y düzlemi ile ve alttan z düzlemi ile sınırlıdır: T {(x, y, z) : x, y x, z x y} (49) Figure 53: üzgün dörtyüzlü

70 7 C A LC U LU S dir. O halde, T zdv x x y x z x y x x z x y zd zd yd x d yd x d yd x ( x y) ;d yd x ( x y)3 3 ( x) 3 d x 6 ( x)4 ( x d x Ödev Aynı integrali T nin xz ve y z düzlemlei üzerine izdüşümleri için hesaplayınız. Örnek.55. T katı cismi z 8 x y, z x + y paraboloidleri arısında kalan bölgedir. dv (5) integralini T nin xz düzlemi üzerine izdüşümü (.Tip) ve xz düzlemi üzerine izdüşümü (3.Tip) üzerinde hesaplayınız. T Figure 55: paraboloid xy-düzlemi üzerindeki izdüşümü T x y x + y 4 diskidir. Çünkü z 8 x y denkleminde z konulursa T x y izdüşümü x + y 4 olur. Buradan 4 x I dv T 4 x 4 4 x 6π ( 8 (x + y ) ) d yd x 8 x y x +y d zd yd x olur. Ayrıca, Figure 56: paraboloid I 4 4 y z y z y d xd zd y + 8 y 4 8 z y 8 z y d xd zd y ya da ve I 4 z z x z z x d xd zd y z 8 z x 4 8 z 8 z x d xd yd z Figure 57: paraboloid I 4 z x x z x d yd zd x + 8 x 8 z x 4 8 z x d yd zd x

71 ÜÇ KATLI INTEGRALLER 7 ya da I 4 z z x z z x d yd xd z z 8 z x 4 8 z 8 z x d yd xd z olur. Üç KAtlı İntegrallerde eğişken eğiştirme Tek ve iki katlı inegrallerde yaptığımız gibi, üç katlı integral alırken de hesaplamayı kolaylaştıracak değişken değiştirimi yapabiliriz. Bunu sağlayan teorem şudur: Theorem.56.. φ f (x, y, z) fonksiyobu üç boyutlu uzaydaki bir S hacmi bölgesinde sürekli, bire bir ve örten τ dönüşümü, x g (u, v, w) τ : y h(u, v, w) z k(u, v, w) S bölgesini S bölgesine dönüştürsün. g,h,k fonksiyonları S üzerinde sürekli türevlenebilir olsunlar. τ dönüşümünün jacobian ı (x, y, z) x u x v x w J(u, v, w) (u, v, w) y u y v y w z u z v z w olmak üzere J(u, v, w) ise S olur. f (x, y, z)dv f ( g (u, v, w),h(u, v, w),k(u, v, w) ) J(u, v, w) dud vd w S Kanıt: İki katlı integrallerde yaptığımıza benzer olarak yapılabilir. Örnek.57. S {(x, y, z) x, x y, z } olmak üzere, u x τ : v x y w 3z dönüşümü altına S (x y + 3x y z) d xd yd z integralini hesaplayınız.

72 7 C A LC U LU S u x, v x y, w 3z x u, y v u, z w 3 S (x y + 3x y z) d xd yd z bulunur. 3 3 S 3 yazılablir. Buradan, (u ( v u ) + 3u( v u )( w 3 ) ) J(u, v, w) dud vd w 3 3 (v + v w dud vd w u ( + w ln) v d w ( + w ln) d w 3 ((w + w ) 3 ln ( + 3ln) 3 + ln8 o Alıştırmalar. x uv, y v w, z uv dönüşümünün Jacobiyanını bulunuz.. x e u v, y d u+v, z e u+v+w dünüşümünün Jacobiyanını bulunuz. 3. S : x 4 + x 4 + x 4 elipsoidinin sınırladığı bölgenin hacmini x u, y 3v, z 5w dönüşümünü kaullanarak hesaplayınız. Silindirsel Koordinatlar Üç boyutlu uzayda bir (x,y,z) noktasının dikey kartezyen koordinat sisteminden silindirsel koordinatlara dönüşümü, x r cosθ τ : R 3 R 3 y r sinθ z z denklemleri ile verilir. Silindirsel koordinatlar kullanılarak üç katlı integraller kolayca hesaplanabilir. Örnek.58. x +y a denklemini silindirsel koordinatlsra dönüştürünüz. Figure 58: Siindirsel koordinatlar Figure 59: Kartezyenden silindirsele dönüşüm ikey kartezyen koordinat sisteminde silindirsel koordinat sisatemine dönüşüm formülleri kullanılırsa, çıkar. r x + y tanθ y x, z z Örnek.59. dönüştürünüz. x + y a z paraboloidini silindirsel koordinatlara

73 ÜÇ KATLI INTEGRALLER 73 ikey kartezyen koordinat sisteminde silindirsel koordinat sisatemine dönüşüm formülleri kullanılırsa, V çıkar. Silindirsel kootlilardaki üç katlı integrali ardışık integrallere dönüştürmk için şu teoremi kullanırız: Theorem.6. T cismi üstten z v(t, θ) v3 alttan z u(r, θ) yüzeyleri le sınırlı olsun.. T nin x y düzlemi üzerine izdşümü kutupsal koordinatlarda verilsin.. f (x,θ, z) fonksiyonu S üzerinde sürekli olsun. 3. r (x, y, z) x r x θ x z cosθ r sinθ (r,θ, z) y r y θ y z sinθ r cosθ z v z θ z z ise, S v(r,θ f (r,θ, z)dv f (r,θ, z)r d zdr dθ (5) u(r,θ eşitliği sağlanır. Kanıt: Öncekiler gibi yapılabilir. Özel olarak, {(r,θ) : α θβ, h (θ) r h (θ)} Figure 6: x y düzlemine izdüşüm ise, olur. S bet a f (r,θ, z)dv al pha h (θ) v(r,θ) h (θ) u(r,θ) f (r,θ, z)r d zdr dθ (5) Örnek.6. S bölgesi birinci sekizde birlik (first octant) bölgde x + y ve x + y 4 silindirleri ile z, z, x, x y düzlemleri tarafından sınırlı bölge ise, integralini hesaplayınız. S (x + y )dv (53) S {(x, y, z) :. 4 x y 4 x, x + y z } Figure 6: İzdüşüm

74 74 C A LC U LU S olduğundan, S (x + y )dv π r π π r r d zdr dθ r 3 z r dr dθ r 3 ( r )dr dθ ( π r 4 5 r π Örnek.6. S {(x, y, z) : x + y, z } ise ze x y dv (54) S integralini hesaplayınız. Silindirik koordinatlar kullanılır ve ardılık integraller uygulanırsa, çıkar. S ze x y dv π π ( ) e ze r r dr dθd z Örnek.63. S cismi 8 r ve z r paraboloidleri ile sınırlı bölge ise S cisminin hacmini bulunuz. Hacim formülüuygulanırsa, Figure 6: x y düzlemine izdüşüm V π 8 r r π 6π r d zdr dθ (8 r r )r dr dθ bulunur. Üç Katlı İntegrallerde Küresel Koordinatlar Figure 63: Küresel koordinatlar Üç boyutlu uzayda bir P(x, y, z) noktasının dikey kartezyen koordinat sisteminden küresel koordinatlardaki (ρ,φ,θ) noktasına dönüştüren η dönüşümü, x ρ cosθ sinφ η : R 3 R 3 y ρ sinθ sinφ z ρ cosφ

75 ÜÇ KATLI INTEGRALLER 75 denklemleri ile verilir. Burada P noktasının başlangıç noktasına uzaklığı ρ, P noktasının x y düzlemine izdüşümü olan Q noktasının başlangıç noktasına uzaklığı r ρ sinφ, OQ nun Ox ekseniyle pozitif yöne yaptığı açı θ ( θ π), OP nin Oz ekseni ile pozizitif yönde yaptığı açı φ, ( φ π) dır. Örnek.64. ikey kartezyen koordinat sistemindeki denklemi x + y + (z ) olan küreyi küresel koordinat sisteminde gösteriniz. Figure 64: Küresel koordinatlar Yukrıdaki η dönüşümünü uygularsak, ρ sin φcos θ + ρ sin φsin θ + (ρ cosφ ) ρ sin φ ( cos θ + sin φ ) ρ cos φρ cosφ + ρ ( sin φ + cos φ ) ρ cosφ ρ ρ cosφ ρ cosφ çıkar. Örnek.65. ikey kartezyen koordinat sistemindeki denklemi z x + y Figure 65: ik dairesl koni olan koniyi küresel koordinat sisteminde gösteriniz. Yukrıdaki η dönüşümünü uygularsak, ρ cosφ ρ sin φ (ρ,sinφ ) ρ cosφ ρ sinφ cosφsinφ φ π 4 ( φ π) çıkar. ikey kartezyen koordinat sistemindeki üç katlı integrali küresel koordinat siteminde üç katlı integrale dönüştürmek için aşağıdaki teoremi kullanırız: Figure 66: ik dairesel koninin boyutları Theorem.66. :. Küresel koordinatlarda gösteilen S sınırlı cismi üzerinde ξ f (ρ,φ,θ) fonksiyonu sürekli,. η dönüşümü geçerli, 3. η dönüşümünün Jacobiyanı, ρ sinφ (x, y, z) x ρ x φ x θ (ρ,φ,θ) y ρ y φ y θ z ρ z φ z θ sinφcosθ ρ cosφcosθ ρ sinφsinθ sinφsinθ ρ cosφsinθ ρ sinφcosθ cosφ ρ sinφ